UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

CURSO DE NIVELACIÓN DE CARRERA

OPERACIONES CON MATRICES Y DETERMINANTES

MATEMÁTICAS

PROFESOR: Ing. Jorge López

PERIODO: Abril-Septiembre 2014 

QUITO – ECUADOR

MATRICESSe denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

2 1 7 53 22 0 54 -1 5 9

Fila 2

Fila 2

Fila 2

LAS FILAS SE CUENTAN DESDE ARRIBA PARA ABAJO

2 1 7 53 22 0 54 -1 5 9

MATRICES

COLU

MN

A 1

CO

LU

MN

A 2

COLU

MN

A 3

CO

LU

MN

A 4

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Una matriz con m filas y n columnas es una matriz m x n o es de dimensión m x n

2 1 7 53 22 0 54 -1 5 9

Una matriz con n filas y n columnas es una matriz cuadrada de dimensión n x n

0 2 4

-4 -8 1

3 X 4

2 X 2

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas

MATRICES DIAGONALES

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

                                                                                                                    

Matriz traspuesta

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Propiedades de la suma de matrices

A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa

Elemento neutro: A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa A + B = B + A

8 -4 01 2 -1

SUMA DE MATRICES

5 2-1 -3 -1

4

58 + 4-4 + 20 +-11 + -32 + -1-1+

A + B =

A = B =

13 0 20 -1 -2A + B =

La resta de matrices consiste en restar las entradas que son correspondientes.

RESTA DE MATRICES

8 -4 01 2 -1

5 2-1 -3 -1

4

58 - 4-4 - 20 -(-1)1 - (-3)2 - (-1)-1 -

A = B =

A - B =

3 -8 -22 5 0A - B =

Ejemplo combinado (suma y resta)

Multiplicación de una Matriz por un Escalar

La multiplicación de un escalar por una matriz consiste en multiplicar el escalar por cada una de las entradas de la matriz.

Un escalar es un número real, constante o complejo que sirve para describir un fenómeno físico con magnitud, pero sin dirección.

8 -4 01 2 -17 ×

35 -28 07 14 -7

=

Multiplicación de MatricesLa multiplicación de matrices es un proceso diferente a las operaciones estudiadas hasta el momento. Para entender de mejor manera la multiplicación entre matrices, primero vamos a definir la multiplicación de una fila por una columna.Multiplicación de una fila por una columnaSi A es una matriz m × n y B es una matriz n × k , podemos hallar la multiplicación de la fila i de A por la columna j de B, de la siguiente manera:

Multiplicar la primera fila de A por la segunda columna de B

1 0 32 -1 -2

8 -421 2 -11 11

A B

SOLUCIÓN

1 02 -1 -2

2 38 -41 2 -11 11

A = B =

(1 × -4) + (0 × 2) + (2× 1) = -2

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Multiplicación de Matrices

EJEMPLO:

• Asociativa:A · (B · C) = (A · B) · C

• Elemento neutro:A · I = ADonde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

• No es Conmutativa:A · B ≠ B · A

• Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

Propiedades de la Multiplicación

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:   Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.

División de Matrices

DETERMINANTESA cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A| =

Determinante de orden uno

|a11| = a11

Ejemplo: |5| = 5

Determinante de orden dos

Ejemplo:

= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 − − a13 a22 a31 − a12 a21 a 33 − a11 a23 a32.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

Determinante de orden tres

3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

EJEMPLO: