FASCÍCULO: MATRICES Y DETERMINANTES
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FASCÍCULO:
MATRICES Y DETERMINANTES
Con el avance de la tecnología y en especial con el uso de computadoras
personales, la aplicación de los conceptos de matriz y determinante ha cobrado
alcances sin precedentes en nuestros días.
El tema Álgebra de matrices apareció por primera ocasión en una memoria de
1858 y surgió de observaciones sobre el modo en que se combinan las
transformaciones lineales de la teoría de los invariantes algebráicos. El autor
de esta memoria es el inglés Arthur Cayley (1821 – 1895) nacido en Surrey, y
descendiente de una antigua familia de Yorshire. Cayley inició sus estudios
universitarios, en el Trinity College de Cambridge. Sus compañeros lo
consideraban como “un simple matemático”.
Para ilustrar el trabajo de Cayley sobre discriminantes y su invariancia, se
presenta en el siguiente caso de uso de transformaciones.
Sean dos transformaciones del tipo (la flecha debe leerse como “es
reemplazado por”):
SRz
QPzx
srx
qpxy
la segunda de las cuales ha de aplicarse a la x de la primera. Se obtiene
sSrQzsRrP
qSpQzqRpPy
Considerando sólo los coeficientes de las tres transformaciones y
representándolas en forma rectangular:
sSrQsRrP
qSpQqRpP
SR
QP
sr
qp
Se observa que el resultado de realizar sucesivamente las dos primeras
transformaciones podría haberse expresado mediante la siguiente regla
multiplicación
sSsRrQrP
qSqRpQpP
RS
PQ
rs
pq
donde los renglones del arreglo de la derecha se obtienen, aplicando los
renglones del primer arreglo de la izquierda sobre las columnas del segundo.
Los arreglos de esta forma, con cualquier tipo de elementos en los renglones y
en las columnas, se denominan matrices.
En diferentes épocas y por el trabajo de muchos matemáticos surgió el
concepto y la teoría de los determinantes, entre otros se pueden citar a Cramer
(1704-1752), Lagrange (1736-1813), Bezout (1739-1783), Cauchy (1789-1857).
Éste último presentó en 1812 un trabajo sobre determinantes en el cual
introdujo el nombre de determinante, usó la notación que se emplea en la
actualidad del doble subíndice para un arreglo cuadrado de números, definió el
arreglo de menores a un arreglo dado, mostró la manera de calcular el
determinante empleando para dicho cálculo cualquier renglón o columna.
La teoría actual presenta el concepto de determinante como una consecuencia
de la teoría de matrices. Sin embargo como ya se mencionó anteriormente el
concepto de determinante es más antiguo que el concepto de matriz.
Etimológicamente la palabra matriz proviene de madre. El hijo nació antes que
la madre.
Definición
Una matriz es una expresión de la forma
Dicho de otra manera es un arreglo rectangular de números dispuestos en
renglones y columnas.
Los renglones son los arreglos horizontales y las columnas los arreglos
verticales
renglones
Columnas
Algunas de operaciones que se realizan con matrices son binarias por ejemplo:
Adición
Sean dos matrices del mismo orden (mxn) con elementos
en los complejos. La suma de A más B se define como:
para y
Sustracción
Sean dos matrices del mismo orden (mxn) con elementos
en los complejos. La suma de A menos B se define como:
para y
Multiplicación de una matriz por un escalar
Sean una matriz de orden (mxn) con elementos en los complejos y β
un escalar complejo. La multiplicación de una matriz por un escalar βA se
define como:
para y
Multiplicación de matrices
Sean dos matrices con elementos en los complejos, de
orden qxn y nxp respectivamente. La multiplicación de A por B se define como:
donde P es una matriz de orden qxp y
para y
1. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles
son falsas. Justifique su respuesta.
a) Las matrices son conformables para la adición si son del mismo
orden.
b) Si el producto AB = 0 entonces A = 0 y/o B = 0.
c) Sólo las matrices cuadradas tienen transpuesta.
d) AB = BA si y sólo si A y B son matrices cuadradas.
e) (AB)T = BT AT para cualquier par de matrices conformables para el
producto.
f) A(B+C) = BA + CA se cumple siempre que las matrices A, B y C sean
conformables para el producto.
SOLUCIÓN:
a) Las matrices son conformables para la adición si son del mismo
orden.
VERDADERA.
Por definición las matrices del mismo orden son conformables para la
adición.
b) Si el producto AB = 0 entonces A = 0 y/o B = 0
FALSO.
Demostración por contra ejemplo:
00
00
22
00
02
01AB
A 0 y B 0
No se cumple para todas las matrices.
c) Sólo las matrices cuadradas tienen transpuesta.
FALSO.
Todas las matrices tienen transpuesta
Si
m,...,2,1i
n,...,2,1j;aA
n,...,2,1j
m,...,2,1i;aA
ji
T
ij
d) AB = BA si y sólo si A y B son matrices cuadradas.
FALSO.
Frecuentemente AB BA. Como ejemplo:
03
01
20
01
03
01BA
06
01
03
01
20
01AB
AB BA
e) (AB)T = BT AT para cualquier par de matrices conformables para el
producto.
VERDADERO.
Demostración:
Sean A = ijij bBya dos matrices con elementos en C, de mxn y
nxq respectivamente; y sean AT = ij
T
ij dBy;s sus respectivas
transpuestas. Entonces.
q,...,1j
m...,,1i;bap:donde;pAB
n
1k
kjikijij
de donde
TTT
n
1k
kjik
T
n
1k
kjik
T
ABAB
caAB
n...,,1j
m...,,1i;baAB
f) A (B+C) = BA + CA se cumple siempre que las matrices A, B y C sean
conformables para el producto A(B+C) = BA + CA.
FALSO.
Por contra ejemplo:
Si
1...03
03
21
03
01
01
10
31
30
02
01
01CBA
10
01C;
30
02B;
01
01A
4. Calcular la inversa de la matriz:
A =
211
210
301
SOLUCIÓN:
111
010
001
100
210
301
101
010
001
110
210
301
100
010
001
211
210
301
R1(-1) + R3 R2(-1) + R3 R3(2) + R2
111
212
334
100
010
001
111
212
001
100
010
301
R3(-3) + R1
111
212
334
A 1
comprobación
100
010
001
AA
100
010
001
211
210
301
111
212
334
AA
1
1
5. Determinar la inversa de la matriz A, si se sabe que A = PQP-1 donde:
t
t
t
e300
0e0
00e
Q;
100
011
002
P
SOLUCIÓN:
A = PQP-1
AP = PQ
APQ-1 = PQQ-1
APQ-1 = P
APQ-1P-1 =I
A-1 = PQ-1P-1
Obteniendo P-1
P I
diagonal ser por
3e00
0e0
00e
Q
100
012
1
002
1
P
100
012
1
002
1
100
010
001
100
110
002
1
100
011
001
100
010
001
100
011
002
t
t
t
1
1
3e00
0e0
00e
A
200
021
001
3e00
0e0
00e
100
011
002
2
1A
t
t
t
1
t
t
t
1-
9. Sea la ecuación matricial:
PDP-1 = A
En donde:
15
12P;
45
21A
a) determinar la matriz D que satisface a la ecuación anterior,
b) obtener el determinante de P-1.
SOLUCIÓN:
a)
10
06D
APPD
15
12P;
45
21A;
25
11
7
1P
1
1
b)
det P-1 = 17
10. Si A y B son dos matrices simétricas de orden n, demostrar que A + B es
simétrica.
SOLUCIÓN:
Para dos matrices cualesquiera conformables para la adición se cumple
que:
TTTBABA
si A y A son simétricas, entonces:
AT = A
BT = B
por lo que
BABAT
en consecuencia
A + B es simétrica
q.e.d.
11. Sea la ecuación matricial
AX – BT = C – X
donde:
81
14C;
22
14B;
42
20A
a) despejar la matriz X,
b) obtener la matriz X que satisface a la ecuación.
SOLUCIÓN:
a)
T1
T
T
BCIAX
BCXIA
BCXAX
b)
52
21IA
obtención de (A + I)-1
12
25
10
01
12
01
10
21
10
01
52
21
R1(2) + R2 R2(2) + R1
80
170X
60
10
12
25X
60
10BC
12
25IA
T
1
12. Sean las matrices:
13
26C;
87
13B;
1
2A
obtener la matriz Y, si existe, tal que se verifique la ecuación
A Y B = C
SOLUCIÓN:
A Y B =C
2x1 2x2 2x2
1x2
A es una matriz singular (que no tiene inversa), por lo que no puede
despejarse la matriz Y. Para resolver la ecuación matricial se procede de
la siguiente manera:
Se supone 21 yyY y se sustituye A, B, C, Y en la ecuación matricial.
13
26
87
13yy
1
221
por la propiedad de asociatividad en multiplicación de matrices
13
26
y8yy7y3
y16y2y14y6
13
26
87
13
yy
y2y2
2121
2121
21
21
por igualdad de matrices
1y8y
2y16y2
3y7y3
6y14y6
21
21
21
21
resolviendo el sistema de ecuaciones
1y8y
3y7y3
21
21
por el Método de Gauss
0
1
10
01
0
1
10
81
0
1
170
81
3
1
73
81
21 R3R 17
1R2 12 R8R
del primer renglón y1 = 1
del segundo renglón y2 = 0
por lo tanto: 01Y
13. Sea la ecuación matricial
AZ + ZB = C
donde:
52
42C;
30
03B;
01
23A
Obtener la matriz Z que satisface a la ecuación.
SOLUCIÓN:
A Z + Z (-3I) =C
A Z + (-3I)Z = C
(A – 3I) Z = C
Z = (A – 3I)-1C
21
11Z
42
22
2
1Z
52
42
01
23
2
1Z
01
23
2
1I3A
31
20I3A
1
14. Para las siguientes matrices:
30
01
12
B;
411
230
303
A
y la ecuación X A – BT = 2X
a) obtener la expresión X, en términos de A y B.
b) obtener los elementos de la matriz X que satisface a la ecuación.
SOLUCIÓN:
a)
1T
T
T
I2ABX
BI2AX
BX2XA
b)
001
456X
111
212
334
301
012X
111
212
334
2A
211
210
301
200
020
002
411
230
303
2A
1I
I
15. Obtener la matriz X que satisface la ecuación matricial:
CXB4AXBT11
donde:
53
21C;
12
35B;
13
21A
SOLUCIÓN:
BCI4AX
BCX4AX
CXB4AXB
CXB4AXB
T1
T
T11
T11
33
23
3
1X
10
01
12
35
52
31BC
33
23
3
1I4A;
33
23I4A
T
1
80
170X
60
10
12
25X
60
10BC
12
25IA
T
1
12. Sean las matrices:
13
26C;
87
13B;
1
2A
obtener la matriz Y, si existe, tal que se verifique la ecuación
A Y B = C
SOLUCIÓN:
A Y B =C
2x1 2x2 2x2
1x2
A es una matriz singular (que no tiene inversa), por lo que no puede
despejarse la matriz Y. Para resolver la ecuación matricial se procede de
la siguiente manera:
Se supone 21 yyY y se sustituye A, B, C, Y en la ecuación matricial.
13
26
87
13yy
1
221
por la propiedad de asociatividad en multiplicación de matrices
13
26
y8yy7y3
y16y2y14y6
13
26
87
13
yy
y2y2
2121
2121
21
21
por igualdad de matrices
1y8y
2y16y2
3y7y3
6y14y6
21
21
21
21
resolviendo el sistema de ecuaciones
1y8y
3y7y3
21
21
por el Método de Gauss
0
1
10
01
0
1
10
81
0
1
170
81
3
1
73
81
21 R3R 17
1R2 12 R8R
del primer renglón y1 = 1
del segundo renglón y2 = 0
por lo tanto: 01Y
13. Sea la ecuación matricial
AZ + ZB = C
donde:
52
42C;
30
03B;
01
23A
Obtener la matriz Z que satisface a la ecuación.
SOLUCIÓN:
A Z + Z (-3I) =C
A Z + (-3I)Z = C
(A – 3I) Z = C
Z = (A – 3I)-1C
21
11Z
42
22
2
1Z
52
42
01
23
2
1Z
01
23
2
1I3A
31
20I3A
1
14. Para las siguientes matrices:
30
01
12
B;
411
230
303
A
y la ecuación X A – BT = 2X
a) obtener la expresión X, en términos de A y B.
b) obtener los elementos de la matriz X que satisface a la ecuación.
SOLUCIÓN:
a)
1T
T
T
I2ABX
BI2AX
BX2XA
b)
001
456X
111
212
334
301
012X
111
212
334
2A
211
210
301
200
020
002
411
230
303
2A
1I
I
15. Obtener la matriz X que satisface la ecuación matricial:
CXB4AXBT11
donde:
53
21C;
12
35B;
13
21A
SOLUCIÓN:
BCI4AX
BCX4AX
CXB4AXB
CXB4AXB
T1
T
T11
T11
33
23
3
1X
10
01
12
35
52
31BC
33
23
3
1I4A;
33
23I4A
T
1
19. Resolver la ecuación matricial
AX – PQT = BX
donde:
1
3Q;
i
i1P;
i30
i24B;
i0
i4A
SOLUCIÓN:
T1
T
T
T
PQBAX
PQXBA
PQBXAX
BXPQAX
4
1
4
3
i16
1
16
1i
16
3
16
3
X
i8i24
i22i66
i32
1X
ii3
i1i33
80
i22i4
i32
1X
ii3
i1i3313
i
i1PQ
80
i22i4
i32
1BA
i40
i228
i30
i24
i0
i4BA
T
1
Calcular la matriz X tal que satisfaga la ecuación matricial:
XB = AC + 4X
donde:
21
21
21
21
C;75
27B;4321A
SOLUCIÓN:
1I4BACX
ACI4BX
X4ACXB
81435
2342X
35
23I4B;
35
23
10
01
75
27I4B
42
21
21
21
21
4321AC
1