MATERIA: CÁLCULO I

Mgs. Carlos Viteri Chávez

TEMA: DERIVADAS

La derivada: términos

Recta tangente Recta secante

La recta tangente es una posición

límite de las rectas secantes.

La derivada: definición

Si llamamos h a la diferencia x2-x1,

entonces x2 = x1+h. Aquí se debe tener

que h ≠ 0, porque si h=0, entonces

x2=x1 y no existirá recta secante.

La derivada: definición

La derivada de una función f es la función, denotado por(léase “f prima”),y definida por

siempre que este límite exista. Si puede encontrarse, se diceque f es diferenciable y se llama derivada de f en x, o derivadade f con respecto a x.

El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación.

Ejemplo 1

Hallar la derivada de la función f(x)=x2,

Notaciones

Ejemplo 2

• Si f(x) = 2x2 + 2x + 3, encontrar una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en (1, 7).

Ejemplo 3

Encontrar la pendiente de la curva y=2x+3 en el punto en que x=6.

Como dy/dx=2, la pendiente cuando x=6, o de hecho en cualquier punto, es 2.

Ejercicios

Reglas de derivación

Ejemplos

Regla 1.- Derivada de una constante

Si c es una constante, entonces

Reglas de derivación

Ejemplos

Reglas de derivación

Ejemplos

g(x) = 5x3

Regla 3.- Regla del factor constante

Si f es una función diferenciable y c una constante, entonces cf(x) es diferenciable

y

Reglas de derivación

Regla 4.- Derivada de una suma o de una diferencia

Si f y g son funciones diferenciables, entonces f + g y f – g son diferenciables y

Ejemplo

Ejercicios

Hallar la derivada de las funciones

Reglas de derivación

Regla 5.- Regla del producto

Si f y g son funciones diferenciables, entonces el producto f g es diferenciable y

Ejemplo

F(x) = (x2 + 3x)(4x +

5)

Reglas de derivación

Regla 6.- Regla del cociente

Si f y g son funciones diferenciables y , entonces el cociente f/g es

también diferenciable y

Ejemplo

Ejercicios

Reglas de derivación

Regla 7 Regla de la cadena

Si y es una función diferenciable de u y u es una función diferenciable de x, entonces y es una función diferenciable de x, y

Reglas de derivación

Regla 8.- Regla de la potencia

Si u es una función diferenciable de x y n es cualquier número real, entonces

Ejercicios

Resumen de propiedades de derivadas

Derivadas De Funciones Logarítmicas

•

Ejercicios

En los problemas del 1 al 44 diferencie las funciones. Si es posible,utilice primero las propiedades de los logaritmos para simplificar lafunción dada.

Derivadas de Funciones exponenciales

•

Ejercicios

Derivadas de Orden Superior

Ejemplos:Encuentre y´´´ si y = 4x3 - 12x2 + 6x + 2. Y´ = 12x2 - 24x + 6

Y´´ = 24x - 24

Y´´´ = 24

Derivadas implícitas

•

Derivadas implícitas

Derivadas implícitas

Ejemplos

Hallar dy/dx si se tiene que

Hallar dx/dy si se tiene que

• Sea la función , hallar la derivada dx/dy

Ejemplos

•

Ejemplo.

Ejemplos

Cuando x = 0 la función tiene recta tangente vertical. Cuando x = 0 la función tiene 2 valores y = 0 o Y=4

la derivada de la inversa de

una función f es el recíproco

de la derivada de f.

Ejercicios

Ejercicios

Regla de L’Hôpital

•

Ejemplos

La derivada como razon de cambio

Aplicaciones de la razón de cambio a la economía

La derivada tiene varias aplicaciones en la administración y la economía enla construcción de lo que denominamos tasas marginales. En este campo, lapalabra “marginal” se utiliza para indicar una derivada, esto es, una tasa decambio.

Aplicaciones de la derivada

Existen muchas aplicaciones de la derivada en laeconomía y administración en la construcción de loque denominamos tasas marginales

A continuación detallaremos algunas de ellas:

- Costo, ingreso, utilidad

- Productividad

- Rendimiento

- Tasas de impuestos

- Tendencia de ahorro y consumo

Analisis Marginal

•

Ejemplos

Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es :

Encontrar la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal cuando se producen 50 unidades?

Ejemplos

Si la función de ingreso está dada por

R(x)= 10x + 0.01x2

en donde x es el número de artículos vendidos, determine el ingreso marginal. Evalúe el ingreso marginal cuando x = 200.

Así que cuando se venden 200 artículos, cualquier incremento pequeño en las

ventas provoca un aumento en los ingresos de $6 por artículo

Ejemplos

• La ecuación de demanda de cierto artículo es:

P - 0.1x = 80 y la función de costo es C(x)= 5000 + 20x

Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150unidades y también en el caso de que se produzcan y vendan 400unidades.

R(x)= xp = x(80 - 0.1x) = 80x - 0.1x2

.

Si x 150,

obtenemos P(x) = 60 - (0.2)(150) = 30.

Así pues, cuando se producen 150

artículos, la utilidad marginal, esto es, la

utilidad extra por artículo adicional

cuando la producción se incrementa en

una pequeña cantidad es $30.

Ejemplos

Si la ecuación de la demanda del producto de un fabricante es:

donde p está en dólares, encontrar la función de ingreso marginal y evaluarla cuando q=45.

Ejemplos

Si la ecuación de la demanda del producto de un fabricante es:

donde p está en dólares, encontrar la función de ingreso marginal y evaluarla cuando q=45.

Ejemplos

Una empresa determino que la fabricación y venta de los bienes que produce está determinada por la ecuación de la demanda

p + 0.003x = 6 , y la función del costo C = 2 + 1.2x determine:

a) El nivel de producción que producirá la máxima utilidad.

b) ¿Cuál es la utilidad máxima?

Análisis marginal

• Productividad marginal.- mide el incremento en la producción porunidad de mano de obra o capital adicional.

• Rendimiento Marginal.- representa el rendimiento por dólaradicional invertido cuando se realiza un pequeño incremento en elcapital.

• Tasa de impuesto marginal.-Representa la proporción de un incremento infinitamente pequeño en el ingreso que debe pagarse en forma de impuesto.

• Tendencias marginales a ahorrar y a consumir.- Representan las proporciones de un pequeño incremento en el ingreso nacional que se ahorran y se consumen (función de consumo)

Ejemplo de productividad

Un estudio de eficiencia en una empresa determina que trabajadorpromedio que llega a trabajar a las 7:00 a.m. habrá producido

unidades.

a) Calcular la tasa de producción del trabajador a las 10:00 a.m.

b) ¿A qué razón cambia la tasa del trabajador a las 10:00 a.m.?

c) Aplicar el cálculo para estimar el cambio de la tasa entre las 10:00 ylas 10:30 a.m.

d) Calcular el cambio real en la tasa de producción del trabajador entrelas 10:00 y 10:30 a.m.

Ejemplo productividad marginal

•

Función de consumo

Una función que desempeña un papel importante en el análisiseconómico es la función de consumo, o C=f(I) la que expresa unarelación entre el ingreso nacional total, I, y el consumo nacional total, C

La propensión marginal al consumo se

define como la razón de cambio del

consumo con respecto al ingreso, y es

la derivada de C con respecto a I:

Si la diferencia entre el ingreso I y el consumo C es el ahorro S, entonces S = I - C

Definimos dS/dI como la propensión marginal al ahorro

Ejemplo

Si la función de consumo está dada por

determinar la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando I=100

La propensión marginal al ahorro cuando I=100

es 1-0.536=0.464.

Esto significa que si un ingreso

actual de $100,000 millones

aumenta en $1000 millones, la

nación consume aproximadamente

el 53.6% (536/1000) y ahorra

46.4% (464/1000) de ese

incremento.

Ejemplo

Para Estados Unidos (1922-1942), la función de consumo se estimó por medio de la ecuación C = 0.672 I + 113.1.

Encuentre la propensión marginal al consumo.

Ejemplos

• La función de consumo de cierta nación está dada por

Encuentre las tendencias marginales a consumir y a ahorrar, si el ingreso nacional es I = 16 mil millones.

Ejemplo

El ahorro S de un país (en miles de millones de dólares) estárelacionado con el ingreso nacional I (en miles de millones de dólares)por la ecuación

a. Demuestre que la propensión marginal al consumo en función del ingreso es

b. Al millón más cercano, ¿cuál es el ingreso nacional cuando la propensión

marginal al ahorro es de 1 ?

Ejemplo

Productividad) La productividad laboral unitaria P (producción porhora de trabajo) es una función del capital invertido K en planta ymaquinaria. Suponga que P = 0.5K2 +K+ 5, donde K está medido enmillones de dólares y P en dólares por hora de trabajo. Si K es 10 y estácreciendo a razón de 2 por año, ¿con qué rapidez está creciendo P?