Cálculo de derivadas Letter CambiadaNumeracion - copia

Introducción Se presentan en este trabajo, las técnicas y procedimientos necesarios para el aprendizaje del cálculo

de derivadas, a través de multitud de ejemplos y ejercicios con soluciones. No pretende ser un tratado

formal del cálculo diferencial. El objetivo es que el lector llegue a ser capaz de calcular cualquier tipo de

derivada, utilizando las técnicas expuestas, y superar la dificultad de reducir el resultado a una expresión

elegante, autentico caballo de batalla en el aprendizaje del cálculo de derivadas.

El nivel alcanzable con ayuda de este texto seria el correspondiente a estudios superiores científico-

técnicos, Las destrezas aprendidas serían aplicables al cálculo diferencial avanzado. No obstante, para

facilitar el estudio de este texto en diferentes niveles educativos, se han clasificado los ejercicios en dos

niveles de dificultad, correspondientes a estudios de nivel medio y superior. En este sentido, se

diferencian los ejercicios de dificultad más alta con un asterisco (*) en su enunciado.

Nota: Si desea ponerse en contacto para cualquier sugerencia, o notificar alguna errata detectada,

utilice el correo [email protected]

Contenido

1 Conceptos básicos ..................................................................................... 1 1.1 Definición de derivada ............................................................................. 1

1.1.1 Derivada de una función ...................................................................... 1 1.1.2 Derivada de una función en un punto ..................................................... 1 1.1.3 Interpretación geométrica de la derivada ................................................ 2

1.2 Reglas de derivación ................................................................................ 3 1.2.1 Derivada de la función constante ........................................................... 3 1.2.2 Derivada de la suma de funciones ......................................................... 3 1.2.3 Derivada de un función por una constante .............................................. 3 1.2.4 Derivada del producto de funciones ....................................................... 3 1.2.5 Derivada del cociente de funciones ........................................................ 4 1.2.6 Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena ............................. 5

1.3 Demostración de algunas fórmulas de derivación ..................................... 5 1.3.1 Función Identidad ............................................................................... 5 1.3.2 Función Potencial ................................................................................ 5 1.3.3 Función Potencial Compuesta ................................................................ 6 1.3.4 Función Racional ................................................................................. 6 1.3.5 Función Racional Compuesta ................................................................ 7 1.3.6 Función Irracional ............................................................................... 7 1.3.7 Función Logarítmica General ................................................................. 8 1.3.8 Función Logarítmica Natural ................................................................. 9 1.3.9 Función Logarítmica General Compuesta ................................................ 9 1.3.10 Función Logarítmica Natural Compuesta ................................................ 10 1.3.11 Función Exponencial General ............................................................... 10 1.3.12 Función Exponencial ........................................................................... 10 1.3.13 Función Exponencial Compuesta ........................................................... 10 1.3.14 Función Exponencial Potencial Compuesta ............................................. 11 1.3.15 Función Seno .................................................................................... 11 1.3.16 Función Coseno ................................................................................. 12 1.3.17 Función Tangente............................................................................... 12

1.4 Tabla de derivadas. ................................................................................ 13 2 Ejercicios resueltos ................................................................................. 15

2.1 Lista de ejercicios resueltos ................................................................... 15 2.2 Calcular la derivada aplicando la definición ............................................ 18 2.3 Hallar la derivada aplicando las fórmulas y reglas de derivación ............ 23 2.4 Derivación de funciones implícitas ......................................................... 74 2.5 Derivación de funciones inversas. .......................................................... 78 2.6 Derivación logarítmica ........................................................................... 86 2.7 Derivación de funciones paramétricas .................................................... 94 2.8 Derivada enésima .................................................................................. 97

Apéndice A. Transformaciones útiles ...................................................... 103 Transformaciones con binomios ..................................................................... 103 Propiedades de los logaritmos ....................................................................... 103 Fórmulas trigonométricas .............................................................................. 104

Apéndice B. Tabla de derivadas .............................................................. 107 Apéndice C. Aplicaciones Android ........................................................... 109

1. Conceptos básicos

1

1 Conceptos básicos

1.1 Definición de derivada

1.1.1 Derivada de una función

Derivada de una función ( )f x , se define como el valor del límite siguiente:

0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h

Ejemplo: Calcular la derivada de la función 2( ) 3f x x Solución:

2 2 2

0

(3 ) 3( ) 3'( ) lim

h

d x x h xf x

dx h

Desarrollando el binomio 2( )x h

2 2 2

0 0 0

3 6 3 3 (6 3 )lim lim lim(6 3 )h h h

x xh h x h x hx h

h h

Finalmente, al aplicar el límite

'( ) 6f x x

1.1.2 Derivada de una función en un punto

Derivada de una función ( )f x en un punto 0x a , se define como el valor del límite siguiente:

0

( ) ( )'( ) lim

h

f a h f af a

h

Ejemplo: Calcular la derivada de la función 2( ) 2 5f x x en el punto 3x Solución:

2 2

0 0

(3 ) (3) (2 (3 ) 5) (2 3 5)'(3) lim lim

h h

f h f hf

h h

Desarrollando el binomio 2(3 )h

2

0 0 0

(2 (9 6 ) 5) (18 5) (12 2 )lim lim lim(12 2 )h h h

h h h hh

h h

Finalmente

'(3) 12f

Cálculo de derivadas

2

1.1.3 Interpretación geométrica de la derivada

En esta secciona vamos a dar una interpretación de la derivada observando el comportamiento de la expresión que define la derivada en el plano XY . Analicemos el cociente que aparece en el límite de la definición de derivada:

( ) ( )f a h f a

h

En la siguiente figura tenemos una representación grafica, sobre el plano, de los elementos que componen este cociente.

Fig. 1 Interpretación geométrica de la derivada

Como podemos observar en el triangulo de la derecha, la recta secante PQ tiene un pendiente, tg , que podemos calcular:

( ) ( )tg

f a h f a

h

Y que coincide con el cociente mencionado de la definición de derivada. Conforme h tiende a 0, observamos que el punto Q se va acercando al punto P

Fig. 2 Cuando h tiende a 0, Q se acerca a P

En el limite, el punto Q coincide con P, y la recta PQ ya no corta a la curva en dos puntos, sino que solo toca a la función en un punto, el punto P=Q, es decir, deja de ser secarte para ser una recta tangente a la curva en el punto P. Es decir:

0

( ) ( )'( ) lim tg

h

f a h f af a

h

Fig. 3 En el límite Q coincide con P

La derivada de una función f en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.


3

1.2 Reglas de derivación

Aplicaremos la definición de derivada para determinar algunas reglas de derivación fundamentales.

1.2.1 Derivada de la función constante

Sea la función ( )y f x C

0 0

( ) ( )' '( ) lim lim 0

h h

dy f x h f x C Cy f x

dx h h

Por lo tanto:

' 0y

1.2.2 Derivada de la suma de funciones

Sea la función ( ) ( )y f x g x . Su derivada será:

0

( ) ( ) ( ) ( )' lim

h

dy f x h g x h f x g xy

dx h

Podemos descomponer este limite:

0 0

( ) ( ) ( ) ( )' lim lim

h h

f x h f x g x h g xy

h h

O lo que es lo mismo:

' '( ) '( )y f x g x

1.2.3 Derivada de un función por una constante

Sea la función ( )y K f x

0 0 0

' ( ( )) '

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )lim lim limh h h

dyy Kf x

dx

K f x h f xKf x h K f x f x h f xK

h h h

' '( )y K f x

1.2.4 Derivada del producto de funciones

Sea la función ( ) ( )y f x g x Calculamos la derivada de y aplicando la definición.

0

( ) ( ) ( ) ( )' ( ( ) ( )) ' lim

h

dy f x h g x h f x g xy f x g x

dx h

Se suma y se resta en el numerador ( ) ( )f x g x h

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' lim

h

f x h g x h f x g x h f x g x f x g x hy

h


4

Sacamos factor común en el numerador por un lado de ( )g x h , y por otro lado de ( )f x

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' lim

h

g x h f x h f x f x g x h g xy

h

El límite de esta suma lo podemos poner como la suma de dos límites

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' lim lim

h h

g x h f x h f x f x g x h g xy

h h

O bien:

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )' lim ( ) lim lim ( ) lim

h h h h

f x h f x g x h g xy g x h f x

h h

Observemos que el

0

( ) ( )limh

f x h f x

h

representa la deriva de ( )f x , es decir:

0

( ) ( )lim '( )h

f x h f xf x

h

Asimismo:

0

( ) ( )lim '( )h

g x h g xg x

h

Entonces

0 0' lim ( ) '( ) lim ( ) '( )

h hy g x h f x f x g x

Finalmente, aplicando el límite se obtiene:

' '( ) ( ) ( ) '( )y f x g x f x g x

1.2.5 Derivada del cociente de funciones

Sea la función ( )

( )

f xy

g x . Como en el ejemplo anterior, calculamos la derivada de y aplicando la

definición

0

( ) ( )( ) ( )

' limh

f x h f xg x h g xdy

ydx h

Desarrollamos el numerador

0

( ) ( ) ( ) ( )' lim

( ) ( )h

f x h g x f x g x hy

h g x g x h

Separamos el factor ( ) ( )g x g x h en el denominador

0

1 ( ) ( ) ( ) ( )' lim

( ) ( )h

f x h g x f x g x hy

g x g x h h

Sumando y restando en el numerador ( ) ( )f x g x


5

0 0

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' lim lim

( ) ( )h h

f x h g x f x g x f x g x f x g x hy

g x g x h h

En el segundo limite sacamos factor común de ( )g x y ( )f x

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1' lim lim lim

( ) ( )h h h

g x f x h f x f x g x h g xy

g x g x h h h

Los factores que no tienen h pueden salir del límite

0 0 0

1 ( ) ( ) ( ) ( )' lim ( ) lim ( ) lim

( ) ( )h h h

f x h f x g x h g xy g x f x

g x g x h h h

Resolviendo los límites:

2'( ) ( ) ( ) '( )

'( )

f x g x f x g xy

g x

1.2.6 Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Sea la función ( )y f u con ( )u g x , es decir ( )y f g x Entonces, la derivada de y respecto a x será:

'dy dy du

ydx du dx

1.3 Demostración de algunas fórmulas de derivación A continuación se demuestran las principales fórmulas de derivación de funciones usuales. Algunas de

estas fórmulas se determinan aplicando la definición de la derivada. Otras se demostrarán utilizando resultados de fórmulas o reglas ya demostradas.

1.3.1 Función Identidad

y x

La aplicación de la derivada a esta función no tiene dificultad:

0 0 0

( )' lim lim lim1

h h h

x h x hy

h h

' 1y

1.3.2 Función Potencial

ny x

0

( )' lim

n n

h

x h xy

h

Aplicando el desarrollo del Binomio de Newton a ( )nx h tenemos:


6

1 2 2 1

0

...0 1 2 1

' lim

n n n n n n

h

n n n n nx x h x h x h h x

n ny

h

Podemos simplificar 00

n nnx x

1 2 2 1

0

...1 2 1

' lim

n n n n

h

n n n nx h x h x h h

n ny

h

Observemos que h está como factor en todos los términos de numerador. Extraemos el factor común:

1 2 2 1

0

...1 2 1

lim

n n n n

h

n n n nh x x h x h h

n n

h

Que se simplifica con el denominador

1 2 2 1

0' lim ...

1 2 1n n n n

h

n n n ny x x h x h h

n n

Al aplicar el límite, el único término que no se hace 0 es 1

1nn

x

. Por tanto:

1' ny n x

1.3.3 Función Potencial Compuesta

ny u Siendo ( )u g x

Aplicando la regla de la cadena:

( ) ny f u u 1ndyn u

du

( )u g x '( ) 'du

g x udx

1' 'ndy duy n u u

du dx

1.3.4 Función Racional

1y

x

Este ejemplo, lo calcularemos de dos formas diferentes para ilustrar el uso de las reglas y fórmulas de derivación.. Primero, utilizaremos la definición de derivada, y como segundo método obtendremos la misma solución empleando las fórmulas y reglas de derivación obtenidas en las paginas anteriores. Con esto, se pretende demostrar que, a menudo, existen varios caminos para llegar a obtener la misma derivada. La experiencia nos ayudará a elegir el método más eficiente.


13

1.4 Tabla de derivadas.

A continuación se resumen las reglas y fórmulas de derivación, demostradas en el apartado anterior.

La tabla se amplia con algunas fórmulas usuales no demostradas.

Reglas de derivacióny K ' 0y ( ) ( )y f x g x ' '( ) ( ) ( ) '( )y f x g x f x g x

( ) ( )y f x g x ' ( ) ( )y f x g x ( )

( )

f xy

g x

2'( ) ( ) ( ) '( )

'( )

f x g x f x g xy

g x

( )y K f x ' '( )y K f x ( )y f g x f u 'dy dy du

ydx du dx

Fórmulas de derivaciónFunción simple Función compuesta

y x ' 1y ny x 1' ny n x ny u 1' 'ny n u u

1y

x

2

1'y

x

1y

u

2

''

uy

u

y x 1

'2

yx

y u '

'2

uy

u

ny x 1

1'

n ny

n x

ny u 1

''

n n

uy

n u

xy e ' xy e uy e ' ' uy u e xy a ' lnxy a a uy a ' ' lnuy u a a xy x ' 1 lnxy x x vy u 1' ' ln 'v vy u v u u v u

lny x 1

'yx

lny u '

'u

yu

logay x 1

'ln

yx a

logay u '

'ln

uy

u a

seny x ' cosy x seny u ' ' cosy u u cosy x ' seny x cosy u ' ' seny u u

tgy x 2

1'

cosy

x tgy u

2

''

cos

uy

u

seny arc x 2

1'

1y

x

seny arc u

2

''

1

uy

u

cosy arc x 2

1'

1y

x

cosy arc u

2

''

1

uy

u

tgy arc x 2

1'1

yx

tg ( )y arc f x 2

''1

uy

u

2. Ejercicios resueltos

15

2 Ejercicios resueltos

2.1 Lista de ejercicios resueltos Se listan a continuación todos los ejercicios resueltos en las paginas siguientes, agrupados por

diferentes técnicas de derivación que se explican en la sección correspondiente. Inténtese resolver antes de mirar la solución.

Calcular la derivada aplicando la definición

1. 3y x

2. 2 2 3y x x

3. 1

yx

4. 1

yx

5. 2 5y x 6. cosy x

Calcular la derivada aplicando las fórmulas y reglas de derivación

7. 33y x

8. 4 23 6y x x

9. 3 26y x x

10. 5 2

yx x

xa b a b

11. 3 2 1

5y

x x

12. 2

32y axx

cb

13. 7 5

2 26 4 2y x x x

14. 2 2

2 2y

x m x n

m x n x

15. 3 13y x x

x

16. 3 2 2 5y x x

17. 2 3

3y

ax b x

x x x x

18. 2 2 1y x x

19. 3 21 4 1 2y x x

20. 2 1 3 2y x x x

21. 22 1 6 3y x x x

22. 3 2

2 1y

x

x

23. 4

2 2

2y

x

b x

24. ya x

a x

25. 3

21y

t

t

26. 24

3y

s

s

27. 3

2

1

2y

x

x x

28. p

m my

x

x a

29. 32 3y x

30. 222 3y x

31. 22 3 5y x x

32. 52 2y x a

33. 2 2y x a

34. y a x a x

35. 1

1y

x

x

36. 2

2

2 1

1y

x

x x

37. 331y x

38. 2seny x

39. cos3y x

40. 2sen cos3y x x

41. tgy ax b

42. sen

1 cosy

x

x

43. sen 2 cos3y x x

44. 2cotg 5y x 45. sen cosy t t t

46. 3sen cosy t t

47. cos 2y a x


16

48. 3sen3

y a

49. tg cotg2 2y

x x

x

50. 2

21 cos2

y ax

51. 21tg

2y x

52. ln cosy x 53. ln tgy x

54. 2ln seny x

55. tg 1

sec

xy

x

56. ln1 sen

1 seny

x

x

57. ln tg4 2

yx

58. sen cosy x a x a

59. sen lny x

60. tg lny x

61. sen cosy x

62. 3tg1

tg3

r

63. 2cotgy x x

64. lny ax b

65. 2log 1ay x

66. ln1

1y

x

x

67. 23log seny x x

68. 2

2ln1

1y

x

x

69. 2lny x x

70. 3ln 2 5y x x

71. lny x x

72. 3lny x

73. 2ln 1y x x

74. ln lny x

75. ln1

1y

x

x

76. 2

2ln

1

1y

x x

x x

77. 2 2

2 2lny

a a xa x a

x

78. 2 2

2 2lny

a xx a x

x

79. 2

lncos 1

tg2 22sen

yx x

x

80. 2

sen

2cosy

x

x

81. 21tg ln cos

2y x x

82. axy e

83. 4x by e

84. 2xy a

85. 2 27x xy

86. 2 2a xy c

87. xy ae

88. r a

89. lnr a

90. 21xy e x

91. 1

1

x

xy

e

e

92. ln1

x

xy

e

e

93. 2

x x

a aya

e e

94. sen xy e

95. tg nxy a

96. cos senxy e x

97. ln senxy e x

98. senn xy x e

99. xy x

100. 1

xy x

101. ln xy x

102. xxy e

103. nx

yx

n

104. sen xy x

105. senx

y x

106. tgsenx

y x

107. tg1

1

x

xy

e

e

108. sen 1 2xy

109. tg10x xy

110. arccos

yx

x

111. 2 2 2 arcseny xx

a x aa

112. 2 2 arcsenyx

a x aa

113. arctg1

yx a

ax

114. 2

1 3arctg

13y

x

x

115. arcseny x x

116. arctg1 cos

1 cosy

x

x

117. arctg2

x x

ye e

118. arctg lnya x a

x x a

119.

1

4arctg

1 1ln

1 2y x

x

x

120. 2

2arccos

1

1

n

ny

x

x


17

Derivación de funciones implícitas

121. 2 4y px

122. 2 2 2x y a

123. 2 2 2 2 2 2b x y aa b

124. 3 3 2 0y y ax

125. 1 1 1

2 2 2x y a

126. 2 2 2

3 3 3x y a

127. 2 22 0y xy b

128. 3 3 3 0x y axy

129. cosy x y

130. cos xy x

Derivación de funciones inversas

131. arcsenx

ya

132. 2arcseny x

133. 2arctg 1y x

134. 2

arctg2

1y

x

x

135. 2arccosy x

136. arccos lny x

137. 1

arcsen2

yx

138. arcsen seny x

139. arctg4sen

3 5cosy

x

x

Derivación logarítmica

140.

2

32

1

1y

x x

x

141.

3 34

25

1 2

3y

x x

x

142.

2

3 4

1

2 3y

x

x x

143.

25

3 734

1

2 3y

x

x x

144.

2

2

1

1y

x x

x

145. 3 25 3 2y x a x a x

146. arctg xy e

147. arcsen xy x

Derivación de funciones paramétricas

148. cos

sen

x a t

y b t

149.

sen

1 cos

x a t t

y a t

150.

3

3

cos

sen

x a t

y b t

151. 2

2

2

3

1

3

1

atx

t

aty

t

Derivada enésima

152. 1

1y

x

153. kxy e

154. x xy e e

155. y x 156. seny x 157. cosy x

158. xy a

159. Lny x


23

2.3 Hallar la derivada aplicando las fórmulas y reglas de derivación

7. 33y x

Solución: Vemos que la función es el producto de una constante por un función, es decir: ( )y K f x con

3K y 3( )f x x . Por lo tanto:

' '( ) 3 '( )y K f x f x

Calcularemos '( )f x aplicando la fórmula de derivación de la función potencial

1'( ) nf x n x

y obtenemos

3 1 2'( ) 3 3f x x x

Finalmente:

2' 3 3y x

2' 9y x

8. 4 23 6 y x x

Solución: Vemos que la función está compuesta de la suma de tres funciones

4 2( ) ( ) 3 ( ) 6f x x g x x h x

Aplicando la regla de derivación de la suma de funciones, la derivada de la función será de la forma:

' '( ) '( ) '( )y f x g x h x

Veamos las derivadas de cada una de ellas.

Con 4( )f x x , aplicamos la fórmula de derivación 1' ny n x , entonces

4 1 3'( ) 4 4f x x x

Observemos que la función 2( ) 3g x x es similar al ejercicio anterior. Se obtiene:

2 1'( ) 3 2 6g x x x

La función ( ) 6h x es una constante, por lo tanto:

'( ) 0h x

Entonces, la derivada de la función completa será:

3' 4 6y x x


24

9. 3 26 y x x

Solución: Vemos que esta función es polinómicas, del estilo de las anteriores. Aplicamos la fórmula de derivación

de la función potencial a cada término.

3 1 2 1' 6 3 3y x x

2' 18 2y x x

10. 5 2

x x

y xa b a b

Solución: Pongamos la función de la siguiente manera:

5 2 11 1

y x x xa b a b

Los factores 1

a b y

1

a b son constantes que multiplican a un potencial de x . Cada potencial se

deriva como en los ejercicios anteriores.

5 1 2 1 1 11 1' 5 2 1y x x x

a b a b

45 2' 1

x xy

a b a b

11. 3 2 1

5

x xy

Solución: Vemos que la función que se pide es el producto de una constante por una expresión polinómica:

3 21( 1)

5y x x

El polinomio se deriva como en ejercicios anteriores, utilizando la propiedad de la derivada de la suma de funciones en combinación con la derivada de la función potencial:

3 1 2 11' (3 2 0)

5y x x

23 2'

5

x xy

12. 2

32 x

y ax cb

Solución: Los símbolos a , b y c representan constantes: Nuevamente tenemos una expresión polinómica que

podemos escribir de la siguiente forma:


25

3 212y a x x c

b

Derivamos cada término de x utilizando la fórmula de la función potencial:

3 1 2 12' 2 3 0y a x x

b

2 2' 6

xy ax

b

13. 7 5

2 26 4 2 y x x x

Solución: Aunque en este polinomio encontramos exponentes racionales, se aplica la fórmula de la derivada de

la función potencial de la misma forma:

7 51 1 1 12 2

5 3

2 2

7 5' 6 4 2

2 2

42 202

2 2

y x x x

x x

Simplificando:

5 3

2 2' 21 10 2y x x

14. 2 2

2 2 x m x n

ym x n x

Solución: Ponemos cada término en forma potencial:

1 2 2 22

1 1y x mx x n x

m n

Derivamos aplicando la fórmula del potencial:

2 2 32

1 1' 2 2y mx x n x

m n

2

2 2 3

1 2 2'

m x ny

m x n x

15. 3 13 y x x

x

Solución: Pongamos cada término en forma de función potencial:

1 1

12 33y x x x

Derivamos utilizando la fórmula de la función potencial:


26

211 1

1 1 1 1 2322 31 1 3 1

' 3 12 3 2 3

y x x x x x x

Que podemos poner:

23 2

3 1 1'

2 3y

xx x

16. 3 2 2 5 y x x

Solución: 2 13 22 5y x x

Derivamos aplicando la fórmula del potencial:

1 13 22 1

' 23 2

y x x

O bien:

3

2 1'

3y

x x

17. 2 3

3

ax b xy

x x x x

Solución: Antes de intentar resolverla derivada de esta función, pondremos cada termino en forma potencial e

intentaremos reducir en lo posible la expresión:

1 11 12 13 32 2

5 133 62

y ax x bx x x x

ax bx x

Ahora podemos derivar mas fácilmente aplicando la fórmula del potencial y se obtiene:

2 753 625 3 1

3 2 6y ax bx x

O en forma radical:

3 2

62 5 7

5 3 1'

3 2 6

a x by

x x

18. 2 2 1 y x x

Solución: Aplicaremos la regla de derivación del producto de funciones, ' '( ) ( ) ( ) '( )y f x g x f x g x con:

2( ) 2f x x '( ) 2f x x


27

( ) 1g x x '( ) 1g x

Entonces:

2' 2 1 2 1y x x x

Operamos y simplificamos:

2 2' 2 2 2y x x x

2' 3 2 2y x x

19. 3 21 4 1 2 y x x

Solución: Aplicaremos la regla de derivación del producto de funciones con:

3( ) 1 4f x x 2'( ) 12f x x

2( ) 1 2g x x '( ) 4g x x

2 2 3' 12 1 2 1 4 4y x x x x

Operamos los paréntesis y simplificamos:

2 4 4

4 2

' 12 24 4 16

40 12 4

y x x x x

x x x

Sacamos factor común para dejar el resultado más elegante:

3' 4 10 3 1y x x x

20. 2 1 3 2 y x x x

Demostración previa: En este caso se trata de hallar la derivada del producto de tres funciones. Hallaremos la fórmula para

derivar este tipo de funciones a partir de la fórmula de la derivada del producto de dos funciones. Sea

( ) ( ) ( )y f x g x h x

Si hacemos

( ) ( ) ( )p x g x h x (1)

podemos escribir

( ) ( )y f x p x

Aplicamos la regla de derivación del producto de dos funciones a esta. Entonces:

' '( ) ( ) ( ) '( )y f x p x f x p x (2)

Por otro lado, aplicamos la misma regla de derivación a la función ( ) ( ) ( )p x g x h x , para obtener:

'( ) '( ) ( ) ( ) '( )p x g x h x g x h x (3)


28

Combinamos las ecuaciones (1) y (3) en (2)

' '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )y f x g x h x f x g x h x g x h x

Operamos el paréntesis y obtenemos:

' '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )y f x g x h x f x g x h x f x g x h x

Solución: Ahora podemos aplicar esta regla de derivación a la función propuesta, formada por el producto de 3

funciones, donde:

( )f x x '( ) 1f x

( ) 2 1g x x '( ) 2g x

( ) 3 2h x x '( ) 3h x

' 2 1 3 2 2 3 2 2 1 3y x x x x x x

Operamos y reducimos:

2 2 2

2

' 6 4 3 2 6 4 6 3

18 2 2

y x x x x x x x

x x

2' 2 9 1y x x

21. 22 1 6 3 y x x x

Solución: Aplicaremos la regla de derivación del producto:

( ) 2 1f x x '( ) 2f x

2( ) 6 3g x x x '( ) 2 6g x x

2' 2 6 3 2 1 2 6y x x x x

Operamos los paréntesis:

2 2' 2 12 6 4 12 2 6y x x x x x

Simplificando obtenemos:

2' 6 26 12y x x

22. 3 2

2 1

x

yx

Solución:

Aplicaremos la regla de derivación del cociente de funciones, 2

'( ) ( ) ( ) '( )'

( )

f x g x f x g xy

g x

con:

( ) 3 2f x x '( ) 3f x

( ) 2 1g x x '( ) 2g x


29

Entonces:

2

3 2 1 3 2 2'

2 1

x xy

x

Operamos el numerador:

26 3 6 4

'2 1

x xy

x

Simplificando se obtiene:

21

'2 1

yx

23. 4

2 2

2

x

yb x

Solución: Igual que en el ejercicio anterior, Aplicamos la regla de derivación del cociente: con:

4( ) 2f x x 3'( ) 8f x x

2 2( )g x b x '( ) 2g x x

Aplicamos la regla 2

'( ) ( ) ( ) '( )'

( )

f x g x f x g xy

g x

:

3 2 2 4

22 2

8 2 2'

x b x x xy

b x

Operamos el numerador y simplificamos:

2 3 5 5 2 3 5

2 22 2 2 2

8 8 4 8 4'

b x x x b x xy

b x b x

Sacando factor común en el numerador obtenemos:

3 2 2

22 2

4 2'

x b xy

b x

24.

a xy

a x

Solución: Operamos igual que en el ejercicio anterior:

( )f x a x '( ) 1f x

( )g x a x '( ) 1g x :


30

2 2

1'

a x a x a x a xy

a x a x

22

'a

ya x

25. 3

21

t

yt

Solución: Similar al ejercicio anterior:

3( )f t t 2'( ) 3f t y

2( ) 1g t t '( ) 2g t t :

2 2 3 2 4 4

2 22 2

3 1 2 3 3 2'

1 1

t t t t t t ty

t t

Simplificamos

4 2

22

3

1

t t

t

Se obtiene:

2 2

22

3'

1

t ty

t

26. 24

3

s

ys

Solución:

2( ) 4f s s '( ) 2 4f s s

( ) 3g s s '( ) 1g s :

Aplicamos la fórmula de la derivación del cociente

2

2

2 4 3 4'

3

s s sy

s

Sacamos factor común de 4s en el numerador

2

4 2 3 4'

3

s s sy

s

Operamos la expresión dentro del corchete:


31

2

4 2 6 4'

3

s s sy

s

24 2

'3

s sy

s

27. 3

2

1

2

x

yx x

Solución: Igual que en el ejercicio anterior, Aplicamos la regla de derivación del cociente: con:

3( ) 1f x x 2'( ) 3f x x

2( ) 2g x x x '( ) 2 1g x x


2 2 3

22

3 2 1 2 1'

2

x x x x xy

x x

Operamos los productos en el numerador

4 3 2 4 3

22

3 3 6 2 2 1'

2

x x x x x xy

x x

Simplificando se obtiene:

4 3 2

22

2 6 2 1'

2

x x x xy

x x

28.

p

m m

xy

x a (*)

Solución: Este ejercicio es similar a los anteriores, con la salvedad de que los exponentes están dados en forma

de parámetros. Procederemos como en los anteriores:

( ) pf x x 1'( ) pf x px

( ) m mg x x a 1'( ) mg x mx


1 1 1 1

2 2'

p m m p m p m m p m

m m m m

px x a x mx px x a mxy

x a x a

Sacamos factor común en el numerador de 1px


32

1 1

2 2'

p m m m p m m m

m m m m

x p x a mx x px pa mxy

x a x a

Dentro del corchete podemos sacar factor común en los términos que contienen mx Se obtiene:

1

2'

p m m

m m

x p m x pay

x a

29. 33 y x

Solución: Aplicaremos la fórmula de la función potencial compuesta:

( )ny f x 1' ( ) '( )ny n f x f x

Donde:

( ) 3f x x '( ) 1f x

2' 3 3 1y x

2' 3 3y x

30. 222 3 y x

Solución: Aplicaremos la fórmula de la función potencial compuesta con:

2( ) 2 3f x x '( ) 4f x x

2' 2 2 3 4y x x

2' 8 2 3y x x

31. 22 3 5 y x x

Solución: Aplicaremos la fórmula de la función potencial compuesta:

2( ) 3 5f x x x '( ) 2 3f x x

2' 2 3 5 2 3y x x x

Operamos los paréntesis y simplificamos:

3 2 2' 2 2 3 6 9 10 15y x x x x x

3 2' 2 2 9 15y x x x

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