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Introducao Definicao de Limite Operacoes com Limites Limites Laterais Limites Infinitos Operacoes com Limites Infinitos Limites no Infinito
MAT146 - Calculo I - Limites
Alexandre Miranda AlvesAnderson Tiago da Silva
Edson Jose Teixeira
MAT146 - Calculo I - Limites UFV
Introducao Definicao de Limite Operacoes com Limites Limites Laterais Limites Infinitos Operacoes com Limites Infinitos Limites no Infinito
Limites
Considere a funcao f : R \ {−1} → R dada por
f (x) =x
x + 1
Apliquemos f a pontos proximos de −1.
x f (x) x f (x)
−3 1, 5 0 0−2 2 −0, 5 −1−1, 5 3 −0, 8 −4−1, 1 11 −0, 9 −9−1, 01 101 −0, 99 −99−1, 001 1001 −0, 999 −999
......
......
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Introducao Definicao de Limite Operacoes com Limites Limites Laterais Limites Infinitos Operacoes com Limites Infinitos Limites no Infinito
Sabemos que nao existe f (−1). Na verdade, o numero −1 nem faz partedo domınio de f . Mas o que acontece quando a variavel x se aproxima de−1?Observe o grafico da funcao
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5x
−3
−2
−1
1
2
3
4
5y
0
Figura : Grafico da Funcao f (x) =x
x + 1
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Introducao Definicao de Limite Operacoes com Limites Limites Laterais Limites Infinitos Operacoes com Limites Infinitos Limites no Infinito
Seja I um intervalo aberto em R, a ∈ I e f uma funcao real definida emtodo ponto de I , exceto possivelmente em a (note que o domınio de fneste caso e I ou I \{a}). Dizemos que o limite de f (x) quando a variavelx tende a a sera o numero L se a seguinte condicao for verdadeira:
Condicao: (ε, δ)Dado ε > 0 qualquer, existe um δ > 0, tal que se 0 < |x − a| < δentao |f (x)− L| < ε.
Aqui, as letras gregas ε e δ representam respectivamente as distanciasentre f (x) e L e entre x e a.
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Introducao Definicao de Limite Operacoes com Limites Limites Laterais Limites Infinitos Operacoes com Limites Infinitos Limites no Infinito
x
y
L
L− ε
L + ε
aa− δ a + δ
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Introducao Definicao de Limite Operacoes com Limites Limites Laterais Limites Infinitos Operacoes com Limites Infinitos Limites no Infinito
O seguinte resultado e fundamental para a teoria de limites. Ele estabeleceque uma funcao nao pode tender a dois limites diferentes ao mesmo tempo.
Teorema (Unicidade do Limite)Seja I um intervalo aberto em R, a ∈ I e f uma funcao real definida emI ou em I \ {a}. Se
limx→a
f (x) = L1 e limx→a
f (x) = L2
entao L1 = L2.
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Introducao Definicao de Limite Operacoes com Limites Limites Laterais Limites Infinitos Operacoes com Limites Infinitos Limites no Infinito
Aplicar diretamente a definicao de limite, para obter informacoes sobre ocomportamento de uma funcao, na vizinhanca de algum ponto a, pode seruma tarefa ardua e ate impraticavel.. Vamos ver agora alguns resultadosoperacionais que facilitarao muito o calculo de limites.
Teorema
(a) limx→a
c = c , onde c e uma constante;
(b) limx→a
x = a;
(c) limx→a
kx = ka, onde k e uma constante;
(d) Se limx→a
f (x) = L e limx→a
g(x) = M, entao
limx→a
[f (x)± g(x)] = L±M;
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ExemploSeja f (x) = 2x + 3 e a = 5. Pelo Teorema acima, temos
limx→5
f (x) = limx→5
(2x + 3)
= limx→5
2x + limx→5
3
= 2.5 + 3 = 13.
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TeoremaSuponha que lim
x→af (x) = L e que lim
x→ag(x) = M. Entao
(a) limx→a
[f (x).g(x)] = L.M;
(b) limx→a
[f (x)]n = Ln, onde n e um numero inteiro positivo;
(c) limx→a
f (x)g(x) = L
M , se M 6= 0;
(d) limx→a
n√
f (x) = n√
L, onde L ≥ 0, caso n seja um numero inteiro
positivo par, ou L e um numero qualquer caso n seja um numerointeiro positivo ımpar.
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ExemploCalcule o seguinte limite
limx→−2
(5x + 17)3
Solucao: Pelo Teorema acima,
limx→−2
(5x + 17)3 = [ limx→−2
(5x + 17)]3
= [5(−2) + 17]3 = 73
= 343.
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ExemploSeja f uma funcao dada por
f (x) =
x2 − 1
x − 1, se x 6= 1
1, se x = 1
Encontre o limx→1
f (x).
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−3 −2 −1 1 2 3
x
−1
1
2
3
4
y
0
f
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ExemploCalcular os limites
(a) limx→3
x − 3√
x −√
3
(b) limx→−2
x2 + 5x + 6
2x2 − 8
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Introducao Definicao de Limite Operacoes com Limites Limites Laterais Limites Infinitos Operacoes com Limites Infinitos Limites no Infinito
Quando calculamos o limite de uma funcao em um ponto a, estamosavaliando os valores que esta funcao assume quando a variavel se aproximade a. Como estamos trabalhando com funcoes definidas em subconjuntosde R, a variavel pode se aproximar do ponto a somente pela direita, ouapenas pela esquerda ou ambos os lados.
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Seja f uma funcao real cujo domınio contem o intervalo (a, c). O limitede f (x) quando x tende a a pela direita e L se,
para todo ε > 0, existir um δ > 0 tal que se 0 < x − a < δ entao|f (x)− L| < ε.
Escrevemos neste casolim
x→a+f (x) = L.
Analogamente, se o domınio de f contem o intervalo (b, a), definimos olimite lateral a esquerda de f (x), quando x tende a a pela esquerda, comosendo o numero L se,
para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < a − x < δ entao|f (x)− L| < ε.
Escrevemos neste casolim
x→a−f (x) = L.
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ExemploSe f (x) =
√x − 1, da definicao acima segue que
limx→1+
f (x) = limx→1+
√x − 1 =
√1− 1 = 0.
Note que nao faz sentido tentar calcular limx→1−
√x − 1, pois quando x
tende a 1 pela esquerda temos que x − 1 < 0, e a raiz quadrada nao estadefinida para numeros negativos.
Note que o intervalo (b, 1) nao pertence ao domınio de f seja qual for ovalor de b.
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TeoremaO lim
x→af (x) existe e sera igual a L se, e somente se, existem os limites
laterais limx→a+
f (x) e limx→a−
f (x) e alem disso,
limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = L.
ObservacaoAs operacoes com limites permanecem validas para limites laterais,observando-se as restricoes devidas.
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ExemploA funcao sinal e definida sobre o conjunto dos numeros reais da seguinteforma
sgn(x) =
1, se x > 00, se x = 0−1, se x < 0
.
Faca um esboco do grafico desta funcao e calcule, caso existam, oslimites lim
x→0−sgn(x) e lim
x→0+sgn(x).
Solucao: Note que
limx→0−
sgn(x) = limx→0−
(−1) = −1
limx→0+
sgn(x) = limx→0−
(1) = 1.
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Observe que existem os limites laterais, porem sao diferentes. Neste caso,nao existe lim
x→0sgn(x). Segue abaixo o esboco do grafico.
−3 −2 −1 1 2 3
x
1
y
0
−1
Figura : Grafico da funcao sgn
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ExemploConsidere a seguinte funcao
f (x) =
3x − 2, se x > 2
0, se x = 2
x2−4x−2 , se x < 2
.
Faca um esboco do grafico desta funcao e calcule, caso existam, oslimites lim
x→2−f (x) e lim
x→2+f (x).
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Solucao: Note que
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3x − 2) = 2.
Por outro lado,
limx→2−
f (x) = limx→2−
x2 − 4
x − 2= lim
x→2−
(x − 2)(x + 2)
x − 2= lim
x→2−(x + 2) = 4.
Neste caso, como os limites laterais existem e sao iguais, temos que
limx→2
f (x) = 4.
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−1 1 2 3 4 5
x
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10y
0
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Considere a funcao
f (x) =1
x2
Observe que x = 0 nao pertence ao domınio desta funcao. Qual e ocomportamento de f quando x se aproxima de zero?
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Abaixo sao mostrados alguns valores de f para varios pontos do seudomınio.
x1
x2
1 10.5 40.2 250.1 100
0.01 100000.001 1000000−1 1−0.5 4−0.1 100−0.01 10000−0.001 1000000
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−2 −1 1 2
x
−20
20
40
60
80
y
0
Figura : Grafico da funcao f . Observe que f (x) assume valores cada vezmaiores quando x se aproxima de 0.
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Seja I um intervalo em R contendo um ponto a e f uma funcao real,definida em todo ponto de I , exceto possivelmente em a. Quando x tendea a, dizemos que f (x) cresce indefinidamente se, para qualquer numeroN > 0 dado, existir um δ > 0 tal que
se 0 < |x − a| < δ entao f (x) > N
neste caso escrevemos que
limx→a
f (x) = +∞.
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ObservacaoA definicao acima nao diz que existe o limite de f quando x tende a a,diz somente que f (x) cresce indefinidamente. Na verdade tal limite naoexiste.
Nas condicoes acima, quando x tende a a, dizemos que f (x) decresceindefinidamente se, para qualquer numero N < 0 dado, existir um δ > 0tal que
se 0 < |x − a| < δ entao f (x) < N
neste caso escrevemos que
limx→a
f (x) = −∞
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Definicoes analogas sao feitas para os limites laterais.
Quando x tende a esquerda de a, dizemos que f (x) cresce indefinidamentese, para qualquer numero N > 0 dado, existir um δ > 0 tal quese 0 < a− x < δ entao f (x) > N e neste caso escrevemos
limx→a−
f (x) = +∞
Quando x tende a direita de a, dizemos que f (x) cresce indefinidamentese, para qualquer numero N > 0 dado, existir um δ > 0 tal quese 0 < x − a < δ entao f (x) > N e neste caso escrevemos
limx→a+
f (x) = +∞
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Quando x tende a esquerda de a, dizemos que f (x) decresceindefinidamente se, para qualquer numero N < 0 dado, existir um δ > 0tal que se 0 < a− x < δ entao f (x) < N e neste caso escrevemos
limx→a−
f (x) = −∞
Quando x tende a direita de a, dizemos que f (x) decresce indefinidamentese, para qualquer numero N < 0 dado, existir um δ > 0 tal quese 0 < x − a < δ entao f (x) < N e neste caso escrevemos
limx→a+
f (x) = −∞
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TeoremaSe r for um inteiro positivo qualquer, entao
(i) limx→0+
1
x r= +∞
(ii) limx→0−
1
x r=
{−∞, se r for ımpar+∞, se r for par
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Exemplo
Seja f (x) =x + 1
x3. Observe abaixo o grafico de f .
−1 1x
−80
−60
−40
−20
20
40
60
80y
0
Figura : Grafico da funcao f .MAT146 - Calculo I - Limites UFV
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Note quelim
x→0+f (x) = +∞
De fato, temos
limx→0+
f (x) = limx→0+
x + 1
x3
= limx→0+
(1
x2+
1
x3
)= ∞+∞ =∞.
Como veremos no proximo teorema, temos
limx→0−
f (x) = −∞.
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TeoremaSeja a ∈ R e suponha que lim
x→af (x) = 0 e lim
x→ag(x) = c, onde c 6= 0.
Entao
(i) Se c > 0 e existe δ > 0 tal que f (x) > 0 quandox ∈ (a− δ, a + δ) \ {a}, entao
limx→a
g(x)
f (x)= +∞.
(ii) Se c > 0 e existe δ > 0 tal que f (x) < 0 quandox ∈ (a− δ, a + δ) \ {a}, entao
limx→a
g(x)
f (x)= −∞.
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(iii) Se c < 0 e existe δ > 0 tal que f (x) > 0 quandox ∈ (a− δ, a + δ) \ {a}, entao
limx→a
g(x)
f (x)= −∞.
(iv) Se c < 0 e existe δ > 0 tal que f (x) < 0 quandox ∈ (a− δ, a + δ) \ {a}, entao
limx→a
g(x)
f (x)= +∞.
ObservacaoO mesmo resultado vale para limites laterais infinitos.
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Exemplo
Calcule limx→3+
√x2 − 9
2x − 6.
Note que
√x2 − 9
2x − 6=
√(x + 3)(x − 3)
2√
(x − 3)2
=
√(x + 3)(x − 3)
2√
(x − 3)(x − 3)
=
√(x + 3)
2√
(x − 3)
Note que a terceira igualdade e valida pois x > 3.
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Agora
limx→3+
√x2 − 9
2x − 6= lim
x→3+
√(x + 3)
2√
(x − 3)
Como limx→3+
2√
(x − 3) = 0 e 2√
(x − 3) > 0, temos
limx→3+
√x2 − 9
2x − 6=∞.
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Abaixo mostramos o grafico da funcao f .
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5x
−1
1
2
3
4
y
0
Figura : Grafico da funcao f
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Teorema
(i) Se limx→a
f (x) = +∞ e limx→a
g(x) = c, onde c ∈ R, entao
limx→a
[f (x) + g(x)] = +∞.
(ii) Se limx→a
f (x) = −∞ e limx→a
g(x) = c, onde c ∈ R, entao
limx→a
[f (x) + g(x)] = −∞.
(iii) Se limx→a
f (x) = +∞ e limx→a
g(x) = c, onde c > 0, entao
limx→a
[f (x).g(x)] = +∞.
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(iv) Se limx→a
f (x) = +∞ e limx→a
g(x) = c , onde c < 0, entao
limx→a
[f (x).g(x)] = −∞.
(v) Se limx→a
f (x) = −∞ e limx→a
g(x) = c , onde c > 0, entao
limx→a
[f (x).g(x)] = −∞.
(vi) Se limx→a
f (x) = −∞ e limx→a
g(x) = c , onde c < 0, entao
limx→a
[f (x).g(x)] = +∞.
ObservacaoO mesmo resultado vale para limites laterais infinitos.
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ExemploCalcule
limx→2
x
(x − 2)2.
Note quex
(x − 2)2= x .
1
(x − 2)2,
onde
limx→2
x = 2 e limx→2
1
x2 − 2= +∞.
Assim,
limx→2
x
(x − 2)2= +∞.
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Abaixo mostramos o grafico da funcao f .
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7x
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10y
0
Figura : Grafico da funcao f .
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Em muitas situacoes, precisamos analisar o comportamneto de uma funcao,quando a variavel assume valores cada vez maiores (positivos ou negativos),ou seja quando x →∞ ou quando x → −∞.
Se f (x) = x , entao claramente sabemos o comportamento de f (x), quandox assume valores muito grandes. Veja figura abaixo:
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−4 −3 −2 −1 1 2 3 4x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
0
Figura : Funcao Identidade
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Em outros casos a situacao nao e tao simples. Considere a funcao realdefinida por
f (x) =3x2
x2 + 1.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
x
1
2
3
y
0
Figura : Grafico da funcao f
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O que podemos dizer sobre o comportamento de f quando x → ∞ ouquando x → −∞?
Sera que f (x) cresce indefinidamente? Ou o comportamento de f seriaimprevisıvel?
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Seja f uma funcao real definida no intervalo (a,∞), onde a pode ser umnumero real ou a = −∞. Dizemos que o limite de f (x) quando x cresceindefinidamente e L se, para todo ε > 0 existir um numero N > 0 tal que
se x > N entao |f (x)− L| < ε
neste caso escrevemoslim
x→∞f (x) = L
ObservacaoPode ser que L =∞ ou que L = −∞, ou seja, podemos ter
limx→∞
f (x) =∞ ou limx→∞
f (x) = −∞
Em ambos os casos nao existe o limite.
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Analogamente, se f e uma funcao real definida no intervalo (−∞, a),onde a pode ser um numero real ou a =∞, dizemos que o limite de f (x)quando x decresce indefinidamente e L se, para todo ε > 0 existir umnumero N < 0 tal que
se x < N entao |f (x)− L| < ε
neste caso escrevemoslim
x→−∞f (x) = L
ObservacaoAnalogamente, pode ser que L =∞ ou que L = −∞, ou seja, podemoster
limx→∞
f (x) =∞ ou limx→∞
f (x) = −∞
Novamente, em ambos os casos nao existe o limite.
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Introducao Definicao de Limite Operacoes com Limites Limites Laterais Limites Infinitos Operacoes com Limites Infinitos Limites no Infinito
Voltamos a funcao f (x) =3x2
x2 + 1.
x 3 · x2
x2 + 1−1 1.5−2 2.4−3 2.7−5 2.8846153846−10 2.9702970297−100 2.99970003−1000 2.999997
x 3 · x2
x2 + 11 1.52 2.43 2.75 2.8846153846
10 2.9702970297100 2.99970003
1000 2.999997
Nas tabelas acima sao apresentados alguns valores de f . Parece que f (x)tende a 3 quando x tende a∞ e tambem quando x tende a −∞. Veremosadiante como comprovar tais suspeitas.
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Introducao Definicao de Limite Operacoes com Limites Limites Laterais Limites Infinitos Operacoes com Limites Infinitos Limites no Infinito
TeoremaSe r for um inteiro positivo qualquer, entao
(i) limx→∞
1
x r= 0.
(ii) limx→−∞
1
x r= 0.
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Exemplo (Revisitado)Agora podemos voltar ao exemplo anterior e provar que
limx→∞
3x2
x2 + 1= 3.
Note que3x2
x2 + 1=
3
1 +1
x2
Temos
limx→∞
1
x2= 0.
Assim,
limx→∞
3x2
x2 + 1= lim
x→∞
3
1 +1
x2
=limx→∞ 3
limx→∞ 1 + limx→∞1
x2
=3
1 + 0= 3
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ExemploCalcule o seguinte limite no infinito
limx→∞
x − 5
95x + 17
Note que
x − 5
95x + 17=
1− 5
x
95 +17
x
.
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Logo,
limx→∞
x − 5
95x + 17= lim
x→∞
1− 5
x
95 +17
x
=lim lim
x→∞1− 5 lim
x→∞
1
x
limx→∞
95 + 17 limx→∞
1
x
=1− 5.0
95 + 17.0=
1
95.
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ExemploCalcule o seguinte limite
limx→−∞
x + 2√x2 − 3
.
Observe que
x + 2√x2 − 3
=
x
(1 +
2
x
)√
x2
(1− 3
x2
) =
x
(1 +
2
x
)|x |√
1− 3
x2
Como x → −∞ podemos assumir que x < 0,
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Assim
x + 2√x2 − 3
=
x
(1 +
2
x
)−x
√1− 3
x2
=1 +
2
x
−√
1− 3
x2
.
Portanto
limx→−∞
x + 2√x2 − 3
= limx→−∞
1 +2
x
−√
1− 3
x2
=1 + 0
−√
1− 0= −1.
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ExemploCalcule o limite
limx→∞
2x3
x2 + 1.
Observe que2x3
x2 + 1=
21
x+
1
x3
.
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Assim,
limx→∞
2x3
x2 + 1= lim
x→∞
21
x+
1
x3
Note que
limx→∞
(1
x
)+ lim
x→∞
(1
x3
)= 0 + 0 = 0.
Temos que o limite do numerador e 2 e e o limite do denominador tendea zero por valores positivos. Assim,
limx→∞
2x3
x2 + 1=∞.
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