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T a b la d e c o n t e n i d o

TABLADECONTENIDO....................................................................................................... 1

4.LEVANTAMIENTODEUNAPOLIGONALABIERTA................................................. 2

4.1Generalidades............................................................................................................................... 2

4.2Procedimientoenelterreno.......................................................................................................... 3

4.3Procedimientoenlaoficina........................................................................................................... 4

4.3.1Clculoenformatodecimaldelnguloobservado(ColumnaH)..................................................5

4.3.2

Determinacin

del

azimut

calculado

(Columna

J)

.........................................................................

5

A. Elazimutinicialesmenorde180..............................................................................................6

B. Elazimutinicialesmayorde180..............................................................................................6

4.3.2.1Clculodelazimutreal(ColumnaK).......................................................................................7

4.3.3ClculodelasproyeccionesEsteyNortedelosladosdelapoligonal..........................................7

4.3.3.1ProyeccinEste(ColumnaL)..................................................................................................8

4.3.3.2ProyeccinNorte(ColumnaM)..............................................................................................8

4.3.4 Clculodelascoordenadasdelosvrtices................................................................................8

4.3.4.1CoordenadaEste(ColumnaN)...............................................................................................8

4.3.4.2CoordenadaNorte(ColumnaO).............................................................................................8

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4 . L E V A N T A M I E N T O D E U N A P O L I G O N A L

A B I E R T A

Este tipo de levantamientos es utilizado principalmente para desarrollar latopografa de proyectos de trazado de vas, acueductos, alcantarillados, canales, lneasde transmisin elctrica y en general, en levantamientos de lotes alargados.

4. 1 G eneralidades

Puede definirse una poligonal abierta como una lnea quebrada compuesta porun nmero determinado de segmentos de recta, que se interconectan en puntosconocidos como vrtices. Una poligonal abierta tendr n-1vrtices y nsegmentos olados.

Cuando se conocen las coordenadas de los puntos inicial y final, as como losazimutes de esos mismos segmentos, se dice que se trata de una poligonal concontrol, dado que es posible hacer ajustes y correcciones de errores angulares y dedistancias. Cuando estos datos se desconocen la poligonal no podr ajustarse y se ledenomina poligonal sin control. En este captulo se tratar la formulacin para ellevantamiento de una poligonal abierta sin control.

En la grfica 4.1 se ilustran los principales componentes de una poligonal.

Grfica

4.1

Para determinar una poligonal abierta es necesario conocer el azimut delsegmento inicial, la longitud de sus lados y los ngulos horizontales de sus vrtices,ya sean estos los externos o los internos. De igual forma es indispensable conocer lascoordenadas del punto inicial. Posteriormente, en la oficina, y, teniendo como base losdatos anteriores, se procede a calcular los azimutes de cada uno de los segmentos quejunto con las distancias medidas permiten evaluar las proyecciones y con stas, lascoordenadas de los otros puntos.

Los ngulos horizontales medidos en el terreno, sern los externos o losinternos, dependiendo del sentido en que se recorra la poligonal al levantarla. Cuandoel recorrido se hace de izquierda a derecha, es decir, comenzando por el punto 1 (ver

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grfica 4.1) y terminando en el punto 6 (sentido de las manecillas del reloj), losngulos ledos correspondern a los ngulos externos, mientras que si el recorridoinicia en el punto 6 y termina en el punto 1, los ngulos obtenidos en las lecturas sern

los internos.

4.2 Procedimiento en el terreno

Como ya se mencion, para determinar una poligonal abierta es necesariomedir en el terreno, las longitudes de sus lados, el azimut inicial y los ngulos de susvrtices. El trabajo de campo supone entonces los siguientes pasos:

1. Centrar y nivelar el aparato en el punto inicial, punto 1.2. Orientar el aparato hacia la Norte, ya sea esta real, magntica o arbitraria,

y, colocar en ceros el crculo horizontal del teodolito.3. Dar vista al punto 2 y registrar el azimut del segmento inicial, es decir, el

Azimut 1-2.4. Medir la distancia horizontal del segmento 1-25. Centrar y nivelar el aparato en el punto 2.6. Dar vista al punto al punto 1, y, colocar nuevamente en ceros el aparato.7. Dar vista al punto al punto 3 y registrar la medida del ngulo externo 1238. Medir la distancia horizontal del lado 2-39. Llevar el aparato a la siguiente estacin y repetir los pasos 5, 6, 7 y 8,

tantas veces como sea necesario, hasta llegar al ltimo de los vrtices de lapoligonal.

Los datos anteriores se registran en una cartera similar la que se observa en lagrfica 4.2

Grfica

4.2

En la columna denominada Estacin, se enumeran los puntos que componenla poligonal. Observe que el punto 1, el inicial, se repite, dado que en primer lugar seda vista a la Norte para colocar en ceros el crculo horizontal del aparato y luego se davista al punto 2 para conocer el azimut del primer segmento.

En la columna Punto observado, se enumeran los puntos hacia donde se davista desde cada estacin.

En las columnas Grados, Minutos y Segundos, se registran los valoresde los ngulos horizontales observados. Por ejemplo, para la estacin 4, el nguloobservado corresponder al ngulo 345.

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La columna Decimal del ngulo observado, corresponde al valor decimal delmismo, y su valor se determina en la oficina.

Finalmente, en la columna Distancia, se registra la longitud horizontal del

segmento correspondiente.

4.3 Procedimiento en la oficina

El trabajo de oficina supone la realizacin de 4 pasos:

1. Convertir los ngulos de formato sexagesimal a formato decimal2. Con base en el azimut inicial medido en el terreno, determinar los azimutes

de los otros lados de la poligonal3. Con las longitudes medidas y los azimutes calculados de cada segmento,

calcular sus proyecciones4. Calcular las coordenadas de cada uno de los puntos de la poligonal

En la grfica 4.3 se observan las caractersticas de la poligonal que servircomo ejemplo para el desarrollo de la cartera de un levantamiento de este tipo.

Grfica4.3

En la grfica 4.4 se muestra el formato de la hoja de clculo del archivodenominado Practica4.xlsx, con el que se trabaja en este captulo y que esindispensable tener abierto para comprender las explicaciones de cada una de lasfrmulas que contienen sus celadas. Las columnas C, D, E, F, G e I, sin resaltar,contienen los datos tomados en el terreno, tal como se explic en el numeral anterior.En las columnas H, J, K, L, M, N y O resaltadas en amarillo, se encuentra laformulacin necesaria para el desarrollo de la cartera.

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Grfica4.4

4.3.1 Clculo en formato decimal del ngulo observado Column a H)

El primer paso del desarrollo de la cartera, consiste en convertir los ngulosobservados, que fueron registrados en formato sexagesimal, es decir grados, minutosy segundos, a formato decimal. La celda H9contiene la frmula:

=E9+F9/60+G9/3600

Lo que significa que el valor de la celda H9, es decir, el ngulo observado enformato decimal, es igual al nmero de grados contenido en la celda E9, ms elnmero de minutos de la celda F9 dividido en 60, ms el nmero de segundosregistrado en la celda G9 divido en 3600. La frmula general para hallar el ngulodecimal medido en el vrtice Nser:

=EN+FN/60+GN/3600

4.3.2 Determinacin del azimut calculado Columna J)

Para calcular las proyecciones de un segmento de recta, es necesario conocer,adems de su longitud, su azimut. Aunque podra hacerse, resultara engorroso mediren el terreno los azimutes de todos los lados de la poligonal. En lugar de eso, en laprctica se mide nicamente el azimut inicial, y, con base en l y en los ngulosmedidos en los vrtices, se deducen los azimutes restantes.

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Grfica4.5

Dependiendo del valor del azimut conocido o inicial, se presentan dos casos:

A. El azimut inicial es menor de 180

En la grfica 4.5, el azimut inicial corresponde aAz 1-2, que fue medido en el terreno y queen este caso es menor de 180. Si observa el vrtice 2, el valor del azimut del segmento 2-3 ser:

Az 2-3 = Az 1-2 + 180 + A

Acorresponde al ngulo horizontal externo medido en el terreno.

B. El azimut inicial es mayor de 180

Una vez calculado el azimut del segmento 2-3, que ahora se convierte en elazimut inicial y que como se observa en la grfica, es mayor de 180; se procede adeterminar el azimut del siguiente segmento, es decir, el Az 3-4. De la grfica sededuce que:

Az 3-4 = Az 2-3 - 180 + B

Para generalizar se puede decir que:

Ac = Ai 180 + Ah

Ac= azimut calculado, Ai= azimut inicial y Ah= ngulo horizontal medido enel vrtice. En el ejemplo, el recorrido del levantamiento se realiza en el sentido de lasmanecillas del reloj, por lo que como ya se explic los ngulos Ahcorresponden a losexternos. En caso contrario, los ngulos Ahsern los internos.

Volviendo a la hoja de clculo, en la columna Jse obtienen los valores de losazimutes de cada uno de los lados de la poligonal utilizando la frmula deducidaanteriormente y teniendo como base el azimut del primer segmento, cuyo valor seencuentra en la celda J9, y, qu es igual al ngulo observado en la estacin 1. Si daclic en cualquiera de las otras celdas J, por ejemplo en la celda J10, encontrar lasiguiente funcin lgica:

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Excel verifica el valor del azimut inicial, es decir, el de la estacin anterior,contenido en este caso en la celda J9. Si ste valor es mayor que 180, entonces elazimut calculado ser igual al azimut inicial (J9) menos180 ms el ngulo observado,contenido en la celda H10. Si por el contrario el azimut anterior no es mayor que 180,al azimut calculado ser igual al azimut inicial (J9) ms180 ms el ngulo observado.

Si se establece X=N-1, la siguiente frmula aplica para hallar el valor de lacelda JN:

=SI(JX>180,JX-180+HN,JX+180+HN)

4.3.2.1 Clculo del azimut real Colum na K)

Por definicin un azimut no puede ser mayor ni igual que 360, por lo que en lacolumna K, se comprueba esta condicin comparando el valor del azimut hallado en lacolumna J. En caso de que ese valor sea mayor o igual que 360 (>=360), el azimutreal ser igual al azimut calculado menos 360; de lo contrario, el valor del azimut realser igual al del azimut calculado. Para calcular por ejemplo, el azimut real de la celdaK10se emplea la siguiente funcin:

Generalizando, para hallar el valor del azimut real ubicado en la celda KN seaplica la frmula:

=SI(JN>=360,JN-360,JN)

4.3.3 Clculo de las proyecciones Este y N orte de los lados de la poligonal

Este proceso es exactamente igual al explicado en el captulo del levantamientopor radiacin, por lo que solamente, y a manera de repaso se recordar que Exceltrabaja las funciones trigonomtricas con los ngulos dados en radianes. La funcininterna sealada en verde en las siguientes dos frmulas, es la encargada de convertirel azimut que se encuentra en decimal a radianes.

Si da clic por ejemplo en la celda L9, encontrar que la proyeccin Este delsegmento 1-2es igual al seno del azimut real de ese mismo segmento, multiplicadopor su longitud.

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La proyeccin Nortede ese mismo segmento, es igual al coseno de su azimutmultiplicado por su longitud.

Generalizando:

4.3.3.1 Proyeccin Este Columna L)

=SENO(RADIANES(KN))*IN

4.3.3.2 Proyeccin Norte Columna M)

=COS(RADIANES(KN))*IN

4.3.4 Clculo de las coordenad as de los vrtices

La coordenada de un vrtice en una poligonal es igual a la coordenada delvrtice anterior ms la proyeccin de la recta que une dichos vrtices. Es decir, lacoordenada Estedel vrtice Nser igual a la coordenada Estedel vrtice N-1 ms laproyeccin Estedel segmento respectivo. Si nuevamente se define X=N-1, entonceslas coordenadas Este y Norte del vrtice Nestarn dadas por las siguientes frmulas:

4.3.4.1 Coordenada Este Columna N)

=NX+LN

4.3.4.2 Coordenada Norte Columna O)

=OX+MN