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La Integral de Feynman
Coloquio del Departamento de Matemática – FCE – UNLP
4 de junio de 2014
Dr. Gerardo Rossini
Matemática y Física
Coloquio
Integral de Feynman (1948)
Formulación alternativa de la mecánica cuántica:
Distribución de “probabilidades” sobre historias clásicas
Mecánica Cuántica de una partícula (1920-1930)
Formalismo de operadores lineales, autoadjuntos, en espacios de Hilbert
(Dirac, 1930 - von Neumann, 1932)
Vectores Estados de la partícula
Operadores autoadjuntos Cantidades medibles
Espectro Autovalores: posibles resultados de una medidaAutovectores: estados con valor predecible
Desarrollo en autovectores
Probabilidad de obtener al medir
(además, estos objetos evolucionan en el tiempo t)
Rescatemos que la mecánica cuántica es probabilística
Rescatemos que una realización posible de espacios de Hilbertes un espacio de funciones
Que al depender del tiempo serán
Y que para partículas libres los autovectores más usuales son ondas
El problema de autovalores es del tipo Sturm-Liouville
Función de onda:
Los operadores lineales son entonces operadores diferenciales
“mecánica ondulatoria” - muestra fenómenos de superposición e interferencia
Interferencia constructiva
Interferencia destuctiva
Superposición de ondas
Mecánica clásica de una partícula
Formalismo de Newton: ecuaciones diferenciales de 2do orden
Condiciones iniciales
Solución única,
teoría determinista
Mecánica clásica de una partícula – formalismo variacional
Se asocia a cada historia x(t) una funcional S[x(t)] : Acción clásica
La funcional acción se construye
L se llama función lagrangiana, por ejemplo
Historia solución: la evolución de Mínima Acción.
Cálculo variacional, ecuaciones de Euler-Lagrange:
Mecánica cuántica de una partícula – formalismo de Feynman
Todas las historias posibles ocurren simultáneamente, y no son excluyentes
Cada una tiene un “peso”, en una cierta distribución
La “probabilidad” de encontrar a la partícula en xb en el momento tb
se construye superponiendo la “probabilidad” de cada historia posible
b
Probabilidades clásicas (Laplace) vs. interferencia cuántica
Probabilidades clásicas (Laplace) vs. interferencia cuántica
tapando larendija 2
tapando larendija 1
Probabilidades clásicas (Laplace) vs. interferencia cuántica
Feynman propuso mantener las leyes de probabilidades, pero cambiar la forma de calcularlas
interferenciacuántica
Amplitud de probabilidad
Adición de amplitudes de probabilidad de eventos simultáneos:
interferenciacuántica
Probabilidad
Múltiples alternativas: historias
ba
tales que
Amplitud de probabilidad, por adición:
Postulado: la amplitud de probabilidad asociada a cada historia está relacionada con la acción clásica
(sugerido por Dirac, hacia 1930)
● Todas las historias aportan la misma probabilidad
● Lo que queda es una suma de fases interferencia
Comentario: interferencia, escalas y límite clásico
Amplitud de probabilidad de transición a b
● ¿sobre qué conjunto de funciones se suma?
● ¿con qué medida?
Integral de Riemann Integral de Feynman Path integralIntegral de caminosIntegral de trayectoriasIntegral Funcional
No es una definición rigurosa, sólo un método
Teoría de medida Medida heurística
Matemática y heurística
...
Relación con integrales estocásticas y la medida de Wiener
Rotación de Wick
oscilante gaussiana
integración estocásticamedida de Wiener
Cálculo de Ito, Stratonovich, etc
Aditividad respecto de puntos intermedios
Propagación y función de onda – Relación con la ecuación de Schrödinger
Es solución de la ecuación de Schrödinger
Integrales funcionales gaussianas – Desarrollos en funciones ortogonales Determinantes de operadores
Sea
Sean
autoadjunto
Conjunto completo de autofunciones ortonormales
Y la historia continúa ...