La Integral de Feynman -...
Transcript of La Integral de Feynman -...
![Page 1: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/1.jpg)
La Integral de Feynman
Coloquio del Departamento de Matemática – FCE – UNLP
4 de junio de 2014
Dr. Gerardo Rossini
![Page 2: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/2.jpg)
Matemática y Física
Coloquio
![Page 3: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/3.jpg)
Integral de Feynman (1948)
Formulación alternativa de la mecánica cuántica:
Distribución de “probabilidades” sobre historias clásicas
![Page 4: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/4.jpg)
Mecánica Cuántica de una partícula (1920-1930)
Formalismo de operadores lineales, autoadjuntos, en espacios de Hilbert
(Dirac, 1930 - von Neumann, 1932)
Vectores Estados de la partícula
Operadores autoadjuntos Cantidades medibles
Espectro Autovalores: posibles resultados de una medidaAutovectores: estados con valor predecible
Desarrollo en autovectores
Probabilidad de obtener al medir
(además, estos objetos evolucionan en el tiempo t)
![Page 5: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/5.jpg)
Rescatemos que la mecánica cuántica es probabilística
Rescatemos que una realización posible de espacios de Hilbertes un espacio de funciones
Que al depender del tiempo serán
Y que para partículas libres los autovectores más usuales son ondas
El problema de autovalores es del tipo Sturm-Liouville
Función de onda:
Los operadores lineales son entonces operadores diferenciales
“mecánica ondulatoria” - muestra fenómenos de superposición e interferencia
![Page 6: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/6.jpg)
Interferencia constructiva
Interferencia destuctiva
Superposición de ondas
![Page 7: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/7.jpg)
Mecánica clásica de una partícula
Formalismo de Newton: ecuaciones diferenciales de 2do orden
Condiciones iniciales
Solución única,
teoría determinista
![Page 8: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/8.jpg)
Mecánica clásica de una partícula – formalismo variacional
Se asocia a cada historia x(t) una funcional S[x(t)] : Acción clásica
La funcional acción se construye
L se llama función lagrangiana, por ejemplo
Historia solución: la evolución de Mínima Acción.
Cálculo variacional, ecuaciones de Euler-Lagrange:
![Page 9: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/9.jpg)
Mecánica cuántica de una partícula – formalismo de Feynman
Todas las historias posibles ocurren simultáneamente, y no son excluyentes
Cada una tiene un “peso”, en una cierta distribución
La “probabilidad” de encontrar a la partícula en xb en el momento tb
se construye superponiendo la “probabilidad” de cada historia posible
b
![Page 10: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/10.jpg)
Probabilidades clásicas (Laplace) vs. interferencia cuántica
![Page 11: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/11.jpg)
Probabilidades clásicas (Laplace) vs. interferencia cuántica
tapando larendija 2
tapando larendija 1
![Page 12: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/12.jpg)
Probabilidades clásicas (Laplace) vs. interferencia cuántica
Feynman propuso mantener las leyes de probabilidades, pero cambiar la forma de calcularlas
interferenciacuántica
![Page 13: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/13.jpg)
Amplitud de probabilidad
Adición de amplitudes de probabilidad de eventos simultáneos:
interferenciacuántica
Probabilidad
![Page 14: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/14.jpg)
Múltiples alternativas: historias
ba
tales que
Amplitud de probabilidad, por adición:
![Page 15: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/15.jpg)
Postulado: la amplitud de probabilidad asociada a cada historia está relacionada con la acción clásica
(sugerido por Dirac, hacia 1930)
● Todas las historias aportan la misma probabilidad
● Lo que queda es una suma de fases interferencia
Comentario: interferencia, escalas y límite clásico
![Page 16: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/16.jpg)
Amplitud de probabilidad de transición a b
● ¿sobre qué conjunto de funciones se suma?
● ¿con qué medida?
![Page 17: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/17.jpg)
Integral de Riemann Integral de Feynman Path integralIntegral de caminosIntegral de trayectoriasIntegral Funcional
No es una definición rigurosa, sólo un método
![Page 18: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/18.jpg)
Teoría de medida Medida heurística
Matemática y heurística
![Page 19: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/19.jpg)
...
![Page 20: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/20.jpg)
Relación con integrales estocásticas y la medida de Wiener
Rotación de Wick
oscilante gaussiana
integración estocásticamedida de Wiener
Cálculo de Ito, Stratonovich, etc
![Page 21: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/21.jpg)
Aditividad respecto de puntos intermedios
![Page 22: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/22.jpg)
Propagación y función de onda – Relación con la ecuación de Schrödinger
Es solución de la ecuación de Schrödinger
![Page 23: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/23.jpg)
Integrales funcionales gaussianas – Desarrollos en funciones ortogonales Determinantes de operadores
Sea
Sean
autoadjunto
Conjunto completo de autofunciones ortonormales
![Page 24: La Integral de Feynman - UNLPmate.unlp.edu.ar/coloquiodm/charlas/seminario-rossini-int-feynman.pdfLos operadores lineales son entonces operadores diferenciales “mecánica ondulatoria”](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040812/5e559db9a9279d104a379942/html5/thumbnails/24.jpg)
Y la historia continúa ...