Post on 24-Jan-2016
ISOMETRIA
PR
OFESO
R
HUGO YAÑEZ
ISOMETRIA
• ISO = IGUAL• METRIA= MEDIDA
EN UNA TRANSFORMACION ISOMETRICA
• NO SE ALTERA LA FORMA NI EL TAMAÑO DE LA FIGURA.
• SOLO SE CAMBIA DE POSICIÓN (ORIENTACION O SENTIDO DE ESTA)
Coordenadas cartesianasCon las coordenadas cartesianas señalas un punto en un gráfico dando la distancia de lado y hacia arriba
El punto (12,5) está 12 unidades a la derecha y 5 arriba.
Ejes X e Y
La dirección izquierda-derecha (horizontal) se suele llamar X ...
... y arriba-abajo (vertical) se suele llamar Y.Las líneas de referencia (desde donde se miden distancias) se llaman ejes.
Hay un eje X y un eje Y.
El eje X pasa por cero horizontalmenteEl eje Y pasa por cero verticalmente
Cuando x (la primera coordenada) aumenta, el punto se mueve a
la derecha. (Si disminuye, el punto va a la izquierda.)
Cuando y (la segunda coordenada) aumenta, el punto se mueve arriba.
(Si disminuye, el punto va abajo.)
Direcciones
Escribir coordenadas
Las coordenadas siempre se escriben en el mismo orden: la dirección horizontal primero, después la vertical. Esto se llama un "par ordenado".
Y normalmente los números se separan con una coma, y se rodean con paréntesis así: (3,2)
Plano Cartesiano
Abscisas y ordenadas RENE DESCARTESTambién conocido como Cartesius, que era la forma latinizada en la cual escribía su nombre, nombre del que deriva la palabra cartesiano, formuló el célebre principio cogito ergo sum ("pienso, luego existo"), elemento esencial del racionalismo occidental. En física está considerado como el creador del mecanicismo, y en matemática, de la geometría analítica. Se lo asocia con los ejes cartesianos en geometría, con la iatromecánica y la fisiología mecanicista en medicina, con el principio de inercia en física, con el dualismo filosófico mente/cuerpo y el dualismo metafísico materia/espíritu.
Unidad de aprendizaje: Transformaciones Isométricas
TraslacionesRotaciones Reflexiones
Son traslacionesRegulares y
semi-regulares.-
Se obtiene con un vector (i,, j)
Se obtiene con Un ángulo de giro
Se obtiene entornoA un eje de
simetría y a un centro.
T. De ESCHERTransformaciones
Isométricas
Teselaciones
Transformaciones Isométricas
Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano
que se realizan sin variar las dimensiones y el área de las mismas; la figura inicial y
la final son semejantes, y geométricamente congruentes.
La palabra isometría tiene su origen en el griego iso(igual o mismo) y metria
(medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometrías:
traslación, simetría y rotación.
Transformaciones Isométricas
Son figuras que cambian de posición, según un vector, un ángulo de rotación y entorno a un eje de
simetría.
Es una Transformación Isométrica que produce un desplazamiento paralelo de una figura, de acuerdo a un vector,
y por lo tanto, mantiene sus lados de igual medida y paralelos que los de la figura original.
Se llama traslación definida por el vector v a la transformación geométrica que hace
corresponder a caca punto A del plano el punto A’, de la forma que el vector AA’ sea
equipolente a v.
Traslaciones
Se puede considerar una traslación como el
movimiento que se hace al deslizar una
figura, en línea recta, manteniendo su
forma y tamaño.
En una traslación:
Al deslizar la figura todos los puntos
describen líneas rectas paralelas entre
sí.
En una traslación se distinguen tres elementos:
Dirección (horizontal, vertical u oblicua).
Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo).
Magnitud del desplazamiento (distancia entre la posición inicial y final de cualquier punto)
Traslaciones en un sistema de ejes coordenados
En este caso se debe señalar las coordenadas del vector de traslación.
Estas son un par ordenado de números (x,y), donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical.
En el par ordenado la primera componente
recibe el nombre de abscisa y la segunda
componente el nombre de ordenada.
Sea A’, B’ los transformados de A,B por traslación del vector v. Se verifica siempre que |AB | = |A’B’ |
La traslación transforma los segmentos en iguales y paralelos
La traslación transforma una recta en otra paralela
La traslación transforma cualquier figura en otra figura igual.
En la abscisa:
Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha.
Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda.
En la ordenada:
Signo positivo: desplazamiento hacia arriba.
Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.
A(4,6)
A’ (2,3)
Traslación de A(4,6)
a través del vector v(-2,-3)
Traslación de B(-5,2)
a través del vector v(4,4) B(-5,2)
B’(-1,6)
Traslaciones de puntos en el sistema cartesiano.
Traslación de C(-4,-2)
a través del vector v(7,1)
C(-4,-2)
C’(3,-1)
Es una Transformación.Isométrica, tal que los puntos simétricos pertenecen a un mismo arco de circunferencia de centro el punto de rotación y ángulo
de medida en el cual se efectuó la rotación.
• http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/rotaciones.html
El ángulo se dice positivo si se realiza en sentido contrario a los punteros del reloj, y
negativo en el otro caso.
Los segmentos que unen los puntos homólogos son iguales.
Una rotación transforma los puntos de un segmento en los de otro igual a él.
Una rotación trasforma las rectas en otras rectas.
Una rotación trasforma un ángulo en otro igual a él. De ellos se deduce que dos figuras homólogas bajo las transformaciones de una rotación son directamente iguales.
El centro de giro O es homólogo de sí mismo y, por lo tanto, es punto doble.
En una rotación se identifican tres elementos:
O
MM’
N’
N
.
• El punto de rotación (centro de rotación),
punto en torno al cual se efectúa la rotación.La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura obtenida después de la rotación.
El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario)
Rotación en 90º en torno al origen:
A
x
yA
x
y
A’
A’x’
y’x’
y’
Entonces: x’ = -y y’ = x
Luego: A(x,y) => A’(-y,x)
Rotación en 180º en torno al origen:
A
x
y
A’
x’
y’
A
x
y
A’
x’
y’
Entonces: x’ = -x y’ = -y
Luego: A(x,y) => A’(-x,-y)
Resumiendo:
Se obtiene con un ángulo de giro.
• En el plano si el ángulo de giro es de 90º las coordenadas P( x, y) cambian a P(-y, x).
• Si el ángulo de giro es de 180º las coordenadas de P (x, y) cambian a P(-x, -y).
• Si el ángulo de giro es de 270º las coordenadas de P ( x, y) cambian a P (x,-y).
• http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/rotaciones.html
Simetrías o reflexiones
Se puede considerar una simetría como
aquel movimiento que aplicado a una
figura geométrica, produce el efecto de un
espejo.
Tipos de simetrías
Axial (reflexión respecto de un eje)
Central (reflexión respecto de un punto)
O
Es una Transformación Isométrica respecto a un eje de simetría de modo que el segmento que une dos puntos simétricos es perpendicular al eje de simetría, siendo
éste la mediatriz de dicho segmento.
La recta OX se llama eje de simetría
O
X
Todo punto del plano tiene uno y sólo un homólogo bajo una simetría axial.
Todos los puntos del eje de simetría son homólogos de sí mismos; se dice que son puntos dobles.
La simetría axial es una isometría, es decir, mantiene las distancias.
Las simetrías axiales transforman los segmentos en segmentos iguales y las rectas en otras rectas que cortan a las primeras en puntos M del eje de simetría.
En una simetría central:
El centro de rotación es el punto medio del trazo que une un punto con su simétrico.
Una simetría central equivale a una rotación en torno al centro de simetría en un ángulo de 180º.
O
A’
A
Se llama simetría central a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano otro punto A’ del plano tales que están
alineados con un punto fijo O, a distinto lado de él y a la misma distancia
El punto O recibe el nombre de Centro de simetría.
O
En una simetría de centro O, A’ es el homólogo de A y recíprocamente; por lo tanto, los elementos homólogos en una simetría central se corresponden doblemente.
RESUMIENDO