Post on 10-Mar-2016
description
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
297
En el contexto de este capítulo, cuando hablemos de trigonometría hacemos
referencia a triángulos y cuando se hable de hipernometría, estamos haciendo
referencia a funciones hiperbólicas.
Analizadas las funciones trigonométricas e hiperbólicas, es imporante profundizar
en estas temáticas que son necesarias para afianzar los conocimientos en este
campo, como son las identificadas y las ecuaciones trigonométricas, también
identidades hiperbólicas, cuyas temáticas inducirán al desarrollo en los estudiantes
competencias cognitivas muy importantes en el campo de las matemáticas.
Pero con la profundización no es suficiente; por lo cual, se hace un énfasis a la
transferencia, por medio de diversas aplicaciones a través del análisis de ejemplos
modelos, los cuales se deben estudiar con detenimiento para adquirir sólidos
conocimientos y poder aplicarlos cuando así se requiera.
Esperando; como sabemos que es, que este capítulo sea de su agrado y les de
buenos aportes en trigonometría y hipernometría.
Objetivo general
. Profundizar en los conceptos trigonometría analítica e hipernometría, que
permitan adquirir las herramientas para ser utilizadas cuando así se requiera.
Objetivos específícos
. Analizar las identidades trigonométricas e hiperbólicas.
. Resolver identidades trigonométricas e hiperbólicas.
. Desarrollar ecuaciones trigonométricas.
. Estudiar los triángulos no- rectángulos y sus aplicaciones.
TRIGONOMETRÍA
Introducción
UNAD
298
En trigonometría existen unas ecuaciones muy particulares a las cuales se han
llamado identidades trigonométricas, debido a que son ecuaciones que se
satisfacen para cualquier ángulo. Existen unas identidades llamadas básicas,
otras llamadas específicas.
t Identidades básicas: se definen a partir del análisis del círculo
trigonométrico unitario, analizado en el capítulo anterior.
1. Identidad fundamental, partiendo del teorema de pitágoras y la relación
de los lados del triángulo.
h = 1 radio de la circunferencia unidad
22222 yx1yxh +=⇒+=
Pero: y)(senh
y)(sen =α⇒=α
x)(cosh
x)(cos =α⇒=α
Si reemplazamos x e y en la ecuación de Pitágoras, tenemos:
Como: .1)(sen)(cos1yx 2222 =α+α⇒=+ Luego la identidad fundamental
es:
1)(cos)(sen 22 =α+α
A partir de ésta se pueden obtener otras identidades.
2. Identidades de cociente, sabemos que:
,h
x)(cosy
h
y)(sen =α=α si hacemos el cociente )(cos
)(sen
αα
tenemos:
x
y
hx
hy
)(cos
)(sen==
α
α. Este cociente por definición es )(tan α , luego:
)(cos
)(sen)(tan
αα
=α
α
hy
x
DENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
299
Ahora realicemos los mismo, pero al contrario, es decir: )(sen
)(cos
αα
, entonces:
y
x
hy
hx
)(sen
)(cos==
αα
. Cociente que por definición es )(cot α , luego:
)(sen
)(cos)(cot
αα
=α
3. Identidades recíprocas: se llaman así debido a que por definición, al
intercambiar los términos del cociente de la relación trigonométrica se
obtienen éstas. Veámos:
)(cscy)(senentonces;y
h)(cscy
h
y)(sen αα=α=α
son recíprocas, luego: )(csc
1)(sen
α=α . Lo mismo con las demás.
x
h)(secy
h
x)(cos =α=α , entonces )(secy)(cos αα son
recíprocas. En general:
)(csc
1)(sen
α=α
)(sen
1)(csc:también
α=α
)(sec
1)(cos
α=α
)(cos
1)(sec:también
α=α
)(cot
1)(tan
α=α
)(tan
1)(cot:también
α=α
4. Identidades pitagóricas: a partir de la identidad fundamental, a veces
llamada también pitagórica, se puede obtener las llamadas identidades
pitagóricas.
Si dividimos la identidad fundamental por )(cos α , tenemos otra identidad:
UNAD
300
)(sec1)(tan)(cos
1
)(cos
)(cos
)(cos
)(sen 22
22
2
2
2
α=+α⇒α
=α
α+
α
α, entonces:
)(sec1)(tan 22 α=+α
Ahora, dividamos la identidad fundamental por )(sen α , luego:
),(csc)(cot1)(sen
1
)(sen
)(cos
)(sen
)(sen 22
22
2
2
2
α=α+⇒α
=α
α+
α
α entonces:
)(csc1)(cot 22 α=+α
5. Identidades pares-impares: cuando definimos la simetría de las funciones
trigonométricas, identificamos las funciones pares e impares. De aquí se
pueden definir las identidades pares e impares.
Pares: )(cos)(cos α=α−
)(sec)(sec α=α−
Impares: )(sen)(sen α−=α− )(cot)(cot α−=α−
)(tan)(tan α−=α− )(csc)(csc α−=α−
6. Identidades de cofunción: cuando a 2π se le resta un ángulo cualquiera,
se obtiene la confunción: veamos:
a. )x(senx2
cosy)x(cosx2
sen =
−
π=
−
π
b. )x(tanx2
coty)x(cotx2
tan =
−
π=
−
π
c. )x(secx2
cscy)x(cscx2
sec =
−
π=
−
π
Para x medida en radianes de un ángulo agudo. De esta manera se dejan definidas
las identidades trigonométricas básicas.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
301
t Identidades de suma y diferencia
En muchas ocasiones, se puede expresar un ángulo dado, como una suma o una
resta de ángulos notables, por ejemplo: 15º es igual a 45º - 30º; 75º es igual a 30º
+ 45º y así muchos más. Para este tipo de situaciones es que se utilizan las
llamadas identidades de suma y diferencia de ángulos.
Iniciemos con: cos ( a - b ); siendo a y b medidas de angulos y por conveniencia
a > b. Entonces:
cos ( a - b ) = cos ( a ) . cos ( b ) + sen ( a ) . sen ( b )
Demostración
Vamos a utilizar como herramienta la geometría del círculo trigonométrico
unitario.
Las coordenadas de cada punto son:
A ( 1, 0 )
B ( ))ba(sen,)ba(cos −−
P ( ) ( ))b(sen,)b(cosyx1,1
=
Q ( ) ( ))a(sen,)a(cosyx2,2
=
UNAD
302
La distancia de AB es igual a la distancia de PQ . Por la fórmula de distancia:
[ ] [ ] =−+−−⇒= 22 )ba(sen1)ba(cos)PQ(d)AB(d
[ ] [ ] 22 )b(sen)a(sen)b(cos)a(cos −+− elevamos al cuadrado ambos
términos de la ecuación, tenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) 2222 ))b(sen)a(sen)b(cos)a(cos)ba(sen1)ba(cos −+−=−+−−
Desarrollando cuadrados:
)b(cos)a(cos2)a(cos)ba(sen1)ba(cos2)ba(cos 222 −=−++−−−
)b(sen)b(sen)a(sen2)a(sen)b(cos 222 +−++
Agrupamos términos:
+
+=+−−
−+− )a(sen)a(cos1)ba(cos2)ba(sen)ba(cos 2222
);b(sen)a(sen2)b(cos)a(cos2)b(sen)b(cos 22 −−
+ entonces:
1 - 2 cos ( a - b ) + 1 = 1 + 1 - 2 cos ( a ) cos ( b ) - 2 sen ( a ) sen ( b ).
Operando:
2 - 2 cos ( a - b ) = 2 - 2 cos ( a ) cos ( b ) - 2 sen ( a ) sen ( b ).
Simplificando:
cos ( a - b ) = cos ( a ) cos ( b ) + sen ( a ) sen ( b )
Asì queda demostrada la identidad de diferencia de coseno.
Ahora: cos ( a + b ); de igual manera que el caso anterior.
cos ( a + b ) = cos ( a ) cos ( b ) - sen ( a ) sen ( b )
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
303
Demostración
Demostrando la diferencia de ángulos para coseno, lo podemos utilizar para otras
identidades como cos ( a + b ). Veámos:
cos ( a + b ) = cos ( a - ( - b ) ) = cos ( a ) . cos ( - b ) + sen ( a ) sen ( - b )
Sabemos que cos ( - b ) = cos ( b ) y sea ( - b ) = - sen ( b ), luego:
cos ( a + b ) = cos ( a ) cos ( b ) - sen ( a ) sen ( b ).
En seguida analizamos la suma y diferencia para seno.
sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( b ) + cos ( a ) sen ( b )
Demostración
Para demostrar esta identidad vamos a utilizar la identidad de suma y diferencia
de coseno, la identidad de cofunción y algunas transformaciones sencillas.
Llamamos a ( a + b ) = w, entonces.
( ) )w(senw2
cos =−π por la identidad de cofunción, ahora:
( ) ( ) ( )( )ba2
cosba2
cos)ba(2
(cos −−π=−−π=+−π , pero:
( ) ( ) ( ) bsena2
senbcosa2
cosb)a2
(cos −π+−π=−−π
pero: ( ) )a(sena2
cos =−π , luego:
( )( ) )b(sen)a(cos)b(cos)a(senba2
cos +=−−π . Finalmente como:
( )( ) ),ba(sen)w(senba2
cos +==−−π entonces:
)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen)ba(sen +=+
Así queda demostrada la identidad de suma de ángulos para seno.
Sigamos con )ba(sen −
)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen)ba(sen −=−
UNAD
304
Demostración
( ) )b(sen)a(cos)b(cos.)a(sen)b()a(sen)ba(sen −+−=−+=−
pero por identidades pares e impares:
:luego,)b(sen)b(seny)b(cos)b(cos −=−=−
)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen)ba(sen −=−
Finalmente veamos la suma y diferencia para tangente.
)b(tan.)a(tan1
)b(tan)a(tan)ba(tan
−+
=+
Demostración:
Como )ba(cos
)ba(sen)ba(tan
++
=+ desarrollemos el cociente.
)b(sen)a(sen)b(cos)a(cos
)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen)ba(tan
−+
=+
dividimos todo por cos (a ) cos ( b )
)b(cos)a(cos
)b(sen)a(sen
)b(cos)a(cos
)b(cos)a(cos
)b(cos)a(cos
)b(sen)a(cos
)b(cos)a(cos
)b(cos)a(sen
)ba(tan
−
+
=+
Simplificando:
)b(tan)a(tan1
)b(sen11)a(tan)ba(tan
•−•+•
=+ resumiendo:
)b(tan)a(tan1
)b(tan)a(tan)ba(tan
•−+
=+
Ahora veamos la resta de dos ángulos para tangente:
)b(tan)a(tan1
)b(tan)a(tan)ba(tan
•+−
=−
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
305
Demostración
Queda como ejercicio para que lo desarrollen en pequeño grupo colaborativo.
Hallemos ( ) º1522
sen =ππ
Solución: podemos expresar ( )2
sen π como: 64π−π , luego:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )6
sen4
cos6
cos4
sen64
sen12
sen ππ•π−π=π−π=
π
4
26
4
2
4
6
2
1
2
2
2
3
2
2
12sen
−=−=•−•=
π
Calcular: )º75(cos ∴ 75º = 30ª + 45º
Solución
Cos ( 75º ) = cos ( 30º + 45º) = cos ( 30º ) cos ( 45º ) - sen ( 30º ) sen ( 45º )
4
2
4
6
2
2
2
1
2
2
2
3)º75(cos −=•−•=
4
26)º75(cos
−=
Demostrar que: )(tan)(tan σ=σ+π
Solución: por identidad de suma para tangente
( ) ( ))(tan01
)(tan0
)(tan)(tan1
tan)(tantan
σ•−σ+
=σ•π−σ+π
=σ+π , entonces:
( ) ( ))(tan
1
tantan σ=
σ=σ+π
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
UNAD
306
Identidades de ángulo doble
Cuando en la suma o diferencia de ángulos, si a = b, entonces se obtienen los que
llamamos ángulos dobles, que son herramienta en el análisis del movimiento
curvilíneo.
1) )a(cos)a(sen2)a2(sen =
Demostración
Sabemos que sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( b ) + cos ( a ) sen ( b ), pero a = b, luego:
sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( a ) + cos ( a ) sen ( a )
2) )a(sen)a(cos)a2(cos 22 −=
Demostración
Al igual que en el caso anterior:
cos ( a + a ) = cos ( a ) • cos ( a ) - sen ( a ) • sen ( a ) = cos2 ( a ) - sen2 ( a )
Luego:
cos ( 2a ) = cos2 ( a ) - sen2( a )
3))a(tan1
)a(tan2)a2(tan
2−=
Demostración
Se deja como ejercicio para realizar en pequeño grupo colaborativo.
Identidades de ángulo mitad
En matemáticas, especialmente en cálculo el ángulo mitad es muy utilizado, por
esto es pertinente referenciar los ángulos mitad.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
307
( )2
)a(cos12
asen−
±=
Demostración
De la identidad de ángulo doble, podemos hacer esta demostración.
)a(sen1)a(cospero);a(sen)a(cos)a2(cos 2222 −=−= por la identidad
fundamental, luego:
),a(sen21)a(sen)a(sen1)a2(cos 222 −=−−== despejamos )a(sen 2
2
)a2(cos1)a(sen)a(sen21)a2(cos 22 −=⇒−=−
Hacemos un cambio así:2
xa= y reemplazamos en la ecuación:
( ) ,2
)x(cos1
2
2
x2cos1
2xsen2 −
=
•−
= por consiguiente:
2
)x(cos1
2
xsen
−±=
)a(cos1
)a(sen
2
atany
2
)a(cos1
2
acos
+=
+±=
Demostración
La demostración de las dos anteriores identidades, se dejan como ejercicio para
resolver en pequeño grupo colaborativo o con asistencia del docente.
UNAD
308
Identidad de producto-suma
Vamos a referenciar este tipo de identidades; los demostraciones se dejan como
investigación, para que lo resuelvan individualmente y luego socializarlo con los
compañeros y el docente.
1. [ ])ba(sen)ba(sen2
1)b(cos)a(sen −++=•
2. [ ])ba(cos)ba(cos2
1)b(sen)a(sen −−−=•
3. [ ])ba(sen)ba(sen2
1)b(sen)a(cos −−+=•
4. [ ])ba(cos)ba(cos2
1)b(cos)a(cos −++=•
Identidades de suma-producto
Al igual que en el caso anterior, las demostraciones se dejan como investigación.
1.
−•
+=+
2
bacos
2
basen2)b(sen)a(sen
2.
−•
+=−
2
basen
2
bacos2)b(sen)a(sen
3.
−•
+=+
2
bacos
2
bacos2)b(cos)a(cos
3.
−•
+−=−
2
basen
2
basen2)b(cos)a(cos
Demostración de identidades trigonométricas
En el inicio de este capítulo se hizo referencia a las identidades básicas, en este
aparte se va a trabajar en la demostración de otras identidades, utilizando los
principios matemáticos que se conocen y las identidades básicas.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
309
Como una identidad es una igualdad, la demostración se centra precisamente en
demostrar dicha igualdad.
El proceso se puede hacer de tres maneras distintas, como la igualdad tiene dos
términos; digamos:
a = b
Entonces, podemos escoger uno de los siguientes caminos:
1. A partir del primer término, con el uso del álgebra y las identidades conocidas,
obtener el segundo término.
2. A partir del segundo término, obtener el primero.
3. Hacer transformaciones simultáneamente a los dos términos de la igualdad
y llegar a una equivalencia.
Por experiencia y facilidad, es aconsejable utilizar la técnica 1 ó la 2, dando
prioridad al término más complejo; es decir, el que presente más términos,
partiendo de este para llegar al otro término.
Demostrar la identidad: [ ] )x(sen)x(cos)x(sec)x(cos 2=−
Solución
[ ]
−=
−=−
)x(cos
)x(cos1)x(cos)x(cos
)x(cos
1)x(cos)x(cos)x(sec)x(cos
2
)x(sen)x(cos
)x(sen)x(cos 2
2
=
Así queda demostrada la igualdad.
En cada paso se hizo cambio usando identidades conocidas, el trabajo que
debe hacer estimado estudiante, es que identifique que funciones fueron
reemplazadas y por cuáles, pero verificar que en el proceso es correcta.
Ejemplo 1
UNAD
310
Demostrar que )x(sen)x(sec
)x(tan=
Solución
Como es obvio partimos del primer término:
)x(sen)x(cos
)x(cos)x(sen
)x(cos1
)x(cos)x(sen
)x(sec
)x(tan=
•==
Reducir la siguiente expresión en términos solo de la función seno.
)x(sec1
)x(tan)x(sec)x(tan
+•+
Solución
Por medio de las identidades básicas y las conocidas, podemos hacer la
transformación.
)x(cos
11
)x(cos
)x(sen
)x(cos
)x(sen
)x(cos
11
)x(cos
)x(sen
)x(cos
1
)x(cos
)x(sen
)x(sec1
)x(tan)x(sec)x(tan 2
+
+
=+
•+
=+
•+
por la identidad fundamental )x(sen1)x(cos)x(sen1)x(cos 222 −=⇒−=
entonces:
)x(sen1
1)x(sen1
)x(sen1)x(sen1
)x(sen1)x(sen))x(sen1()x(sen
)x(sen1
11
)x(sen1
)x(sen
)x(sen1
)x(sen
2
2
22
22
2
22
−
+−
−•−
−+−
=
−+
−+
−
Ejemplo 2
Ejemplo 3
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
311
+−
−−
−•+−−
=1)x(sen1)x(sen1)x(sen1
)x(sen1)x(sen)x(sen1()x(sen)x(sen1
222
222
+−
−
+
−
=1)x(sen1)x(sen1
)x(sen.1)x(sen)x(sen1)x(sen
22
22
+
−
−+
+−=
1)x(sen1)x(sen1
)x(sen1)x(sen
1)x(sen1
)x(sen
22
2
2
Demostrar la identidad:
[ ])x(sen1
)x(sen1)x(sec)x(tan 2
+−
=−
Solución
Para este ejemplo, vamos a aplicar la tercera técnica; es decir, partimos de los
dos términos para llegar a una equivalencia.
[ ])x(sen1
)x(sen1)x(sec)x(tan 2
+−
−
)x(sec)x(sec)x(tan2)x(tan 22 +−
)x(cos
1
)x(cos
1
)x(cos
)x(sen2
)x(cos
)x(sen
22
2
+•−( )( ) ( ))x(sen1)x(sen1
)x(sen1()x(sen1
−+−−
)x(cos
1
)x(cos
)x(sen2
)x(cos
)x(sen
222
2
+−)x(sen1
)x(sen)x(sen)x(sen1
2
2
−
+−−
)x(cos
1)x(sen2)x(sen
2
2 +−
)x(cos
)x(sen)x(sen21
2
2+−
Ejemplo 4
UNAD
312
Como podemos ver los dos puntos de la ecuación, llegan a una equivalencia.
Demostrar
)x(cos)x(sen1)x(sen)x(cos
)x(sen)x(cos 33
•+=−−
Solución
Por la estructura de la identidad, es conveniente partir del término primero para
llegar al segundo; veamos:
))x(sen)x(cos(
)x(sen)x(sen)x(cos)x(cos())x(sen)x(cos(
)x(sen)x(cos
)x(sen)x(cos 2233
−++−
=−−
Simplificando:
)x(sen)x(cos)x(sen)x(cos 22 •++ por la identidad fundamental:
)x(sen)x(cos1+ . Que corresponde al segundo término de la identidad.
Reflexión
Para demostrar identidades se requiere algunos principios: conocer las identidades
básicas de suma y diferencia y las demás analizadas en este capítulo. Algo de
ingenio para saber de que parte iniciar y a dónde se quiere llegar y lo más
importante, bastantes ejercicios que permitan adquirir destreza para hacer este
tipo de demostraciones. Como se dice en el lenguaje matemático popular; pedaliar,
pedaliar... haciendo referencia a que pedaliando se llega a la meta.
Para los ejercicios propuestos a continuación, reducir a una sola función las
expresiones dadas.
Ejemplo 5
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
313
EJERCICIOS: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Para los ejercicios propuestos a continuación, reducir a una sola función las
expresiones dadas.
1. )x(sec1
)x(tan)x(sec)x(tan
+•+
Rta. tan ( x )
2.)x(cot
1)x(csc
2
2 −Rta. 1
3. )A(csc
)A(cot)A(tan +Rta. sec ( A )
4. )x(sen
)x(cos1
)x(cos1
)x(sen ++
+ Rta. 2 csc ( x )
Demostrar las siguientes identidades.
5.( )
)x(tan)x(sec)x(sen1
2sen
=−−
π
6. [ ] [ ] 2)(cos)(sen)(cos)(sen 22 =σ−σ+σ+σ
7. )x(sen)º180x(sen −=+
8. )x(tan1
)x(tan1)º45x(tan
−+
=+
9. 1)x(cos21
)x(cos)x(sen
2
44
=−
−
10. ( ) ( ))t(sen)t(cos2
2
4tcos +=π−
11. )4(cot)(sen)7(sen
)(cos()7(cosσ=
σ+σσ+σ
12. )y2(sen)x2(sen
)y2(sen)x2(sen
)yx(tan
)yx(tan
+−
=+−
UNAD
314
E CUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Anteriormente se decía que las identidades son igualdades que se cumplen para
cualquier ángulo. existen unas identidades muy particulares, ya que solo se
cumplen para ciertos ángulos, dichas identidades son llamadas ecuaciones
trigonométricas.
Definición
Las ecuaciones trigonométricas, son identidades que satisfacen solo ciertos
ángulos. La solución se expresa en medidas de ángulos, puede ser grados o
radianes.
La resolución de ecuaciones trigonométricas, requiere un buen manejo de las
funciones trigonométricas inversas; además, de los principios de álgebra y
trigonometría, por otro lado, es recomendable reducir la ecuación a una función
para poderla resolver, generalmente se reducen a seno o coseno.
Es importante aclarar que si no se dice otra cosa, la solución para nuestro caso se
dará solo para la circunferencia unidad de π≤≤ 2x0 . Algunos autores
acostumbran a dar la solución general para todo círculo, recordemos que las
funciones trigonométricas son periódicas, luego se repiten cada x intervalo.
Resolver:2
1)x(sen =
Solución
Como debemos despejar el ángulo, es decir, x; entoncs aplicamos la función inversa.
( ) ( )2
1senx2
1sen))x(sen(sen 111 −−− =⇒= . Lo que nos indica que
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
315
debemos buscar en el intervalo π≤≤ 2x0 , en donde el seno vale 1/2.
Evidentemente con algo de trabajo se puede detectar que el ángulo es 30º ( )6
π .
Pero el seno es positivo en el I y II cuadrante, luego nos faltaría la solución en el
II cuadrante, con el concepto de reducción de ángulo al primer cuadrante
(estudiado anteriormente), podemos saber que se trata de 150º ( )6
5π .
Respuesta: 65y
6x ππ=
Hallar la solución de:
2
1)x(cos −=
Solución
( ) ( )2
1cosx2
1cos))x(cos(cos2
1)x(cos 111 −=⇒−=⇒−= −−−
Debemos hallar el o los ángulos donde el coseno vale 21− , el coseno es negativo
en el II y III cuadrante, luego habrá una solución en cada uno de ellos.
Sabemos que el coseno vale 21 en 60º para el primer cuadrante, para el segundo
por reducción de ángulo es 120º ( )3
2π en el II cuadrante y 240º ( )3
4π en el III
cuadrante.
Respuesta: x = 34y
32 ππ
Resolver la ecuación:
0)x(cos)x(sen =−
Recordemos que la recomendación es trabajar con una sola función, luego:
)x(cos)x(sen0)x(cos)x(sen =⇒=− dividimos por cos (x ), entonces:
Ejemplo 2
Ejemplo 3
UNAD
316
1)x(tan)x(cos
)x(cos
)x(cos
)x(sen=⇒= . Ya tenemos la ecuación con una sola función.
Ahora despejamos x, como:
)1(Tanx)1(Tan))x(tan(tan1)x(tan 111 −−− =⇒=⇒=
Debemos identificar en donde la tangente vale 1. Recordemos que la tangente es
positiva en el I y III cuadrantes. La tangente vale 1 en 45º ( )4
π , también en
225º ( )4
5π .
Respuesta: 45y
4x ππ=
Comprobación
Al igual que en las ecuaciones algebráicas, en las ecuaciones trigonométricas
también se pueden hacer las comprobaciones del caso.
( ) 02
2
2
20
4cos
4sen
4x =−⇒=π−ππ= , luego la solución es verdadera.
( ) ( ) 02
2
2
20
45cos
45sen:
45x =
−−−⇒=π•ππ= ,también la solución
es correcta.
Hallar la solución de la ecuación:
0)x(tan9)x(tan 5 =−
Solución
Factoricemos: 09)x(tan)x(tan 4 =
− , por el teorema del producto nulo:
,09)x(tanó0)x(tan 4 =−= desarrollemos cada uno:
)0(Tanx)0(Tan))x((tantan0)x(tan 111 −−− =⇒=⇒=
la tangente vale 0 en 0 y π .
Ahora: 9)x(tan09)x(tan 44 =⇒=− extraemos raíz cuadrada.
Ejemplo 4
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
317
3)x(tan 2 = , de nuevo raíz cuadrada:
3)x(tan ±= Ahora función inversa para despejar x.
( )3Tanx 2 ±= −
La tangente vale 3en3 π . Pero como tiene signo positivo y negativo habrán
cuatro ángulos, dos del valor positivo y dos del valor negativo.
Para + 3 : x = 3π y 6
7π
Para 35y
32x:3 ππ=−
Respuesta: 35,
67,,
32,
3,0x πππππ=
Resolver la ecuación:
Sec ( x ) − tan ( x ) = cos ( x )
Solución
Como se dijo en el inicio del estudio de las ecuaciones, lo primero es reducir a una
sola función trigonométrica, para luego poder hallar la solución.
( ) )x(cos)x(cos
)x(sen1)x(cos
)x(cos
)x(sen
)x(cos
1xcos)x(tan)x(sec =
−⇒=−⇒=−
),x(sen1)x(cos:como)x(cos)x(sen1 222 −==− reemplazamos:
0)x(sen)x(sen)x(sen1)x(sen1 22 =−⇒−=−
Como ya tenemos la ecuación expresada como una sola función; resolvemos:
[ ] ,01)x(sen)x(sen0)x(sen)x(sen 2 =−⇒=− por producto nulo,
01)x(senó0)x(sen =−= : despejamos x en cada una.
π==⇒= − ,0x:)0(senx0)x(sen 1
Ejemplo 5
UNAD
318
2x:)1(senx1)x(sen01)x(sen 1 π==⇒=⇒=− − , se rechaza ¿por qué?
Luego: la solución total es: π= ,0x
Resolver la siguiente ecuación:
0)x2(sen)x2(cos 22 =−
Solución
Expresemosla como una sola función, veámos:
)x2(sen)x2(cos 22 = , dividimos por )x2(cos2 .
1)x2(tan1)x2(tan)x2(cos
)x2(sen
)x2(cos
)x2(cos 22
2
2
2
±=⇒=⇒=
Utilizamos la fórmula de ángulo doble para tangente.
,1)x(tan1
)x(tan2
)x(tan1
)x(tan2)x2(tan
22=
−⇒
−= luego.
)x(tan1)x(tan2))x(tan1()x(tan2 22 −=⇒−= , reorganizando:
01)x(tan2)x(tan 2 =−+ . Por la cuadrática:
21xy21x1
21x
2
222
2
442
2
)1()1(442x
21−−=+−=⇒
±−=
±−=
+±−=
−−±−=
Debemos identificar en donde la tangente toma estos valores.
( )8
º5,22x21Tanx 11
π==⇒+−= − en el primer cuadrante, pero también
la tangente es positiva en el tercer cuadrante, el ángulo es:
180 + 22,5 = 202,5º = 89π .
Ejemplo 6
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
319
Ahora:
( ) º5,67x21Tanx 1 −==⇒−−= − que es equivalente en ángulo positivo es:
813º5,292 π= . En el cuarto cuadrante, pero nos falta en el segundo cuadrante
donde también la tangente es negativa, en este el ángulo será:
85º5,1125,67º180 π==− Luego la solución general:
.8
13y8
9,8
5,8
ππππ
Estimado estudiante, compruebe la solución.
Podemos hacer una reflexión sobre la solución de ecuaciones trigonométricas. Es
importante conocer las identidades básicas, de ángulo suma y diferencia, de
ángulo doble y ángulo mitad; además de las herramientas algebráicas, para
resolverlas adecuadamente, pero también una buena gama de ejercicios permitirán
adquirir destreza, como se dijo antes: pedaliando, pedaliando, se llega lejos.
UNAD
320
EJERCICIOS: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas; para la circunferencia unidad.
1.2
3)x(cos = Rta. x = 30º y 330º
2. 01)x(sen 2 =− Rta.2
3y
2x
ππ=
3. 03
32)(sec =−σ Rta. 611y
6ππ=σ
4. )2(sen)4(cos σ=σ Rta. º135yº75,º15=σ
5. 0)(tan)(tan 2 =α+α Rta. π=απ=α y4
3
6. 01)(sen)(sen2 2 =−α+α Rta. 23;
65;
6π=απ=απ=α
7. 0)x5(sen)x3(sen =+ Rta. 23,
45,,
43,
2,
4,0x ππππππ=
8. )(sen2
cos2
3sen2 σ=
σ
σRta. º270,º180,º90,º0=σ
9. 12
)x(cos21=
+Rta. 3
4y3
x ππ=
10. 0)(sen3)(sen2 =α+α Rta. π=α
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
321
A NÁLISIS DE TRIÁNGULOS NO-RECTÁNGULOS
En los apuntes anteriores, hemos analizado lo referente al triàngulo rectàngulo,
pero existen muchas situaciones que se describen con triángulos que no son
rectángulos, es decir, triángulos oblicuos. El trabajo en este aparte se centrará
en analizar los triángulos no rectángulos y sus aplicaciones.
Teorema de seno
Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos A, B, C, respectivamente,
se cumple:
c
Csen
b
Bsen
a
Asen==
Demostración
Para hacer la demostración vamos a utilizar un triángulo acutángulo, pero el
teorema se puede aplicar para cualquier triángulo.
Según la gráfica:
tesimilarmenBsenchc
hBsen =⇒=
Igualando.Csenbhb
hCsen =⇒=
c
Csen
b
Bsen:ndoreorganizaCsenbBsenc ==
Similarmente se puede probar que:
c
Csen
b
Bsen
a
Asen:teconsiguienpor
b
Bsen
a
Asen===
BC
b
a
c
A
UNAD
322
De esta manera podemos hallar los lados y los ángulos de cualquier triángulo,
aunque esta metodología es utilizada para triángulos no rectángulos.
Para esto, podemos encontrar varios casos:
1. LAA o ALA: conocen un lado y dos ángulos.
2. LLA: conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
3. LAL: conocen dos lados y el ángulo entre ellos.
4. LLL: conocen los tres lados.
Hallar todos los lados y todos los ángulos del triángulo descrito a continuación:
Solución
Corresponde al caso: LLA. Entonces:
...4283,03
285,1
3
)º40(sen2)(sen
2
)(sen
3
)º40(sen===β⇒
β=
Luego: sen ( β ) = 0,4283: debemos despejar β :
°≅=β⇒=β −−− 36,5)4283,0(sen)4283,0(sen))(sen(sen 111
Así podemos hallar r.
°=°+°−°=⇒°=+β+α 64,114)36,2540(180r180r
En seguida podemos hallar c, veamos:
Ejemplo 1
2
c
3
α β
r
º40=α
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
323
)40(sen
)64,114(sen3
)r(sen
)r(sen3c
3
)(sen
c
)r(sen
°°−
==⇒α
= entonces:
24,46428,0
7268,2c ==
En un triángulo dos de los ángulos miden 48º y 57º; el lado que está entre ellos
mide 47 cm. Hallar los lados restantes.
Solución
°=°+°−°= 75)5748(180C
)C(sen
)A(senca
c
)C(sen
a
)A(sen=⇒=
reemplazando:
966,0
417,39
)75(sen
)57(senxcm47a =
°°
=
a = 40,80 cm.
Hallemos ahora b; aplicamos el mismo teorema:
)75(sen
)48(senx47b
)C(sen
)B(sencb
c
)C(sen
b
)B(sen
°°
=⇒=⇒=
cm16,36966,0
927,34b ==
Teorema de coseno
Existen situaciones donde el teorema del seno no se puede aplicar de forma
directa, en casos como tener dos lados y el ángulo entre ellos o cuando se tienen
los tres lados. Para estos casos se aplica la llamada ley del coseno.
Sea un triángulo cuyos lados son a, b, c y ángulos A, B, C, respectivamente
opuestos, se cumple:
Ejemplo 2
C
480
570
a b
47
UNAD
324
Ccosab2bac
Bcosac2cab
Acosbc2cba
222
222
222
−+=
−+=
=+=
La demostración ha haremos con un
triángulo, obtusángulo pues se puede
hacer con cualquiera. Las coordena-
das de cada vértice.
0 ( 0, 0 )
A ( b, 0 )
B ( x,y ) = ( a cos ( α ), a sen ( α ) )
Por medio de la ecuación de distancia euclidia, podemos hallar c, veamos:
212
212
2 )yy()xx(c −+−=
Pero: ))(sena0(yyy))(cosab(xx1212
α−=−α−=− , luego:
222 ))(sena0())(cosab(c α−+α−=
)(sena)(cosa)(cosab2bc 222222 α+α+α−=
)(cosab2b))(sen)(cos(ac 22222 α−+α+α= por la identidad fundamental:
)(cosab2bac 222 α−+=
La demostración de 22 cyb ; se hace de forma similar; el estudiante debe
hacer las dos demostraciones faltantes y compartidas con los compañeros y el
tutor.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
325
Del triángulo propuesto a continuación determinar sus lados y ángulos.
Solución
Calculamos c: )C(cosab2bac 222 −+=
)50(cos24169)50(cos)4()3(243c 222 °−+=°−+=
5731.94269,1525c2 =−=
094,3c=
Ahora hallemos el ángulo α :
:)(cosdespejamos,)(cosbc2cba 222 αα−+=
bc2
cba)(cos)(cosbc2cba
222222
−−−
=α⇒α−=−−
752,24
57.16
752,24
57,9169
)099,3()4(2
)094.3(43)(cos
222
−
−=
−
−−=
−
−−=α
.6694,0)(cos =α Para hallar el ángulo, aplicamos la inversa:
°=α⇒=α −− 98,47)6694,0(cos))(cos(cos 11
Por último calculamos B:
°=°−°=+°−°= 02,8298,97180)98,4750(180B
Ejemplo 1
α
3
4
c
β
500
UNAD
326
Dado el triángulo T, cuyos lados miden: a= 80cm; b= 50cm y c=70cm. Hallar
los ángulos de dicho triángulo.
Solución
)A(cosbc2cba 222 −+=
despejamos cos ( A ), luego:
bc2
cba)A(cos
222
−−−
=
)80()50(2
)80()50()70()A(cos
222
−−−
=
5,0000.8
000.4)A(cos
000.8
400.6500.2900.4)A(cos
=−−
=
−−−
=
Despejamos A;º60)5,0(cosA
)5,0(cos))A(cos(cos
1
11
==
=
−
−−
Para el ángulo B:
),B(cosac2cab 222 −+=
200.11
400.6900.4500.2
)80()70(2
)80()70()50(
ac2
cab)B(cos
222222
−
−−=
−
−−=
−
−−=
7857,0200.11
800.8)B(cos =
−−
=
º21.38)7857,0(cosB 1 == −
Para hallar C, por teoría de triángulos sabemos que A + B + C = 180º, luego:
C = 180º - ( 60º + 38,21º ) = 180º - 98,21º
C = 81,79º
Ejemplo 2
7050
80
C
A B
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
327
Problemas de aplicación
Para abordar problemas con triángulos no rectángulos, ya tenemos todos los
principios, teorías y demás, solo falta recomendar:
a. Leer el problema las veces que sean necesarias, para comprenderlo.
b. Hacer en lo posible una gráfica que explique el fenómeno.
c. Aplicar el teorema adecuado, según las condiciones del problema.
d. Hacer los cálculos matemáticos de manera correcta, para obtener lo que se
requiere.
Hallar la longitud de las diagonales de un paralelogramao, si sus lados miden 50
cm y 80 cm, además, uno de sus ángulos mide 70º.
Solución
Asumido el punto a, vamos al b, la gráfica explicativa.
Calculamos el lado BC, entonces:
cm51,78BC84,163.6)BC(
16,736.2900.8)º70(cos000.8400.6500.2)BC(
)A(cos)80()50(2)80()50()BC(
2
2
222
=⇒=
−=−+=
−+=
Ejemplo 1
A
B
C
D80 cm
50 cm
700
UNAD
328
Ahora calculamos AD, pero necesitamos el ángulo B ó C.
º.110º70º180B =−=
)º110(cos000.8400.6500.2)Bcos()80()50(2)80()50()AD( 222 −+=−+=
22cm16,636.1116,2736900.8)AD( =+=
cm87,107AD=
Así quedan determinadas las longitudes de las dos diagonales del paralelogramo.
Un topógrafo quiere determinar la distancia entre dos casas A y B. Del punto de
observación el ángulo entre las dos casas y éste es de 60º. La distancia del punto
de observación a la casa A es de 120m y a la casa B es de 100m. ¿Qué distancia
separa las dos casas?
Solución
La incógnita es x.
)60(cos)100()120(2)100()120(x 222 °−+=
Por el teorema del coseno
)60(cos000.24000.10400.14x2 °−+=
400.12000.12000.24x2 =−=
x = 111,35 m.
Las casas se separan 111,35 m.
Ejemplo 2
A B
P
600
100120
x
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
329
Un golfista golpea la pelota y la desplaza 220 m en línea recta, la pelota queda a
250 m del hoyo. El ángulo que se forma en el punto donde queda la pelota con la
ubicación del golfista y el hoyo es de 150º. ¿Cuál es la distancia del golfista al
hoyo?
Solución
G = ubicación del golfista
H = Ubicación del hoyo
P = punto donde queda la pelota
a = 220 m
c = 250 m
)B(cosac2cab 222 −+=
)º150(cos)250()220(2)250()220(b 222 −+=
79,206162794,95262900.110b2 =+=
m05,454b =
El golfista está a 454,05 m del hoyo.
La puerta del baúl de un auto tiene 1,10 m de largo, el soporte que sostiene la
puerta mide 0,65 m cuando está completamente extendida y en posición vertical,
quedando un espacio de apertura de 0,85m. ¿Cuál será la longitud desde la base
del baúl al punto donde esta fijado el soporte y qué ángulo de apertura presentará
el baúl?
Ejemplo 3
Ejemplo 4
G H
P
b
250 m220 m150
0
UNAD
330
Solución
AB = Longitud de la puerta
del baúl = 1,10 m
UV = longitud del soporte extendido.
BC = espacio de apertura = 0,85 cm.
A = ángulo de apertura
Por triángulos semejantes:
84,085,0
65,0x10,1AU
:AUdespejamos,AU
65,0
10,1
85,0
AU
UV
AB
BC
==
=⇒=
Ahora calculamos el ángulo A:
)A(cos)AC()AB(2)AC()AB()BC( 222 −+=
Reemplazando valores:
)A(cos)10,1()10,1(2)10,1()10,1()85,0( 222 −+=
:luego)A(cos42,221,121,17225,0 −+=
º46,45A)7014,0(cosA
7014,042,2
6975,1)A(cos
1 =⇒=
=−−
=
−
A
B
C
v
u
0,8
5m
0,6
5m
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
331
EJERCICIOS: PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS NO-RECTÁNGULOS
1. Una circunferencia tiene un radio de 25 cm, suntendido por el ángulo
central de 36º. ¿Cuál será la longitud del arco de la circunferencia?
Rta. S= 15,71 cm.
2. Una persona se encuentra a 120 metros de la base de una torre inclinada,
el ángulo de elevación desde su posición a la punta de la torre es de 24º, a
su verz la torre forma un ángulo con el suelo de 72º. ¿Cuál es la altura de
la torre?
Rta. h = 49,08 metros.
3. Asumiendo que las órbitas de mercurio y tierra son circulares y se
encuentran en el mismo plano. La tierra se encuentra a 9,3 x 107 millas
del sol y mercurio se encuentra a 3,6 x 107 millas del sol. Si mercurio se ve
desde la tierra y el ángulo entre mercurio, tierra y sol es de 8,35º; seindo la
tierra el vértice. ¿Qué tan lejos esta la tierra de mercurio?
Rta: D = 1,25 x 108 millas
4. Las casas de José y Alberto están a los lados opuestos de un rio, un ingeniero
debe hacer un puente que comunique las dos casas, para esto ubica a 100
metros de la casa de José por la misma orilla el teodolito, obteniendo los
siguientes datos: el ángulo entre la casa de José, Alberto y el teodolito es de
50º, siendo ésto último el vértice. El ángulo enter la casa de José, Alberto
y el teodolito es de 40º, siendo la casa de José el vértice. ¡Cuál será la
longitud del puente entre las casas?
Rta. L = 76,604 metros
5. Para medir la altura de una montaña, un topográfo determina que el ángulo
de elevación desde su ubicación a lapunta de la montaña es de 25º, luego
camina 100 metros y mide el nuevo ángulo de elevación el cual fue de 15º.
¿Cuál será la longitud de la punta de la montaña hasta la ubicación inicial
del topógrafo?
UNAD
332
6. Dos autos parten de una intersección de dos conectores cuya separación es
de 80º, uno viaja a 80 km/hr y el otro a 100 km/hr. Al cabo de 45 minutos,
¿qué tan separados estarán los autos?
Rta. L = 87,53 km
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
333
H IPERNOMETRÍA
Cuando hablamos de trigonometría hacemos referencia al estudio del triángulo,
la hipernometría la estamos referenciando al estudio de las hipérbolas,
específicamente a las funciones hiperbólicas. Ya se han estudiado las funciones
hiperbólicas, en este aparte se analizarán algunos aspectos referentes a las
identidades hiperbólicas.
Identidades hiperbólicas
De manera análoga a las trigonométricas, las hiperbólicas presentan identidades
básicas y específicas.
Identidad fundamental: 1)x(hsen)x(cosh 22 =−
Pitagóricas: 1)x(hsec)x(tanh 22 =+
1)x(hcsc)x(coth 22 =−
Cociente: )x(hcos
)x(senh)x(tanh =
)x(hsen
)x(hcos)x(coth =
Recíprocas: )x(senh
1)x(cosh =
)x(hcsc
1)x(hsen =
Suma y diferencia:
)y(hsen)x(cosh)y(cosh)x(senh)yx(hsen •±=±
)y(hsen)x(hsen)y(cosh)x(cosh)yx(hcos •±=±
UNAD
334
Ángulo doble:
2
1)x2(hcos)x(senh2 −=
2
)x2(hcos1)x(cosh 2 +=
)x(hcos)x(hsen2)x2(hsen =
)x(hsen)x(hcos)x2(hcos 22 +=
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
335
AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 1
1. Resolver la ecuación:
)1x(3
x41
6
1
)1x(2
3x
−−
−=−−
2. Hallar la solución para el siguiente sistema; utilice la metodología de
eliminación por cualquiera de sus métodos.
1y3
2x
2
1−=−
2
5y
3
1x
4
3=+
3. Resolver el siguiente sistema utilizando el método de Kramer.
0zx
1z4y3
2yx18
=−
=+
=−
4. Un tanque de forma cilíndrica se puede llenar por medio de un tubo, una
manguera o los dos conductos. Utilizando el tubo para llenar el tanque
tarda 12 horas; utilizando el tubo y la manguera, el llenado tarda 748
horas. ¿Qué tiempo tardará en llenar el tanque la manguera?
5. Hallar el conjunto solución para la desigualdad:
2
x
5
3x
2x
4<
−<
−
6. Resolver:
4xx3 2 >−
7. Un ascensor para poder funcionar, máximo debe traer de carga 700 kg. A
él se subieron 5 mujeres y 5 hombres, cuyos peso promedio para las mujeres
es de 68 Kg. ¿Cuál será el peso promedio de los hombres, si el ascensor
funcionó con su límite de peso?