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ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
125
Las inecuaciones son expresiones donde dos términos se comparan por medio
de símbolos particulares, por esto las inecuaciones se le llama también
desigualdades.
Para este tema, se va a estudiar inicialmente los intervalos; ya que la solución
de una desigualdad se da por un intervalo. También analizaremos las
propiedades que gobiernan las desigualdades, demostrando algunas de ellas.
Al igual que se hizo en las ecuaciones, vamos a estudiar las clases de
inecuaciones tales como: lineales con una y dos variables,cuadráticas con una
variables y mixtas; que pueden ser lineal y cuadrática con una incógnita.
Las desigualdades son la base para abordar temáticas más avanzadas como la
programación lineal y la investigación de operaciones en general, área de las
matemáticas muy importante para la optimización en problemas de ingeniería,
administración, economía y otras.
Para desarrollar la temática de inecuaciones, es importante tener en cuenta el
concepto de comparación entre dos expresiones algebraicas. Dichos signos son
≤≥<> ,,, . Que indica mayor, menor, mayor o igual y menor o igual
respectivamente. A las dos primeras se les llama desigualdades estrictas.
Un trabajo juicioso y sistemático para el desarrollo de desigualdades permitirá
adquirir conocimientos sólidos que conllevan a resolver problemas del mundo
real en donde se necesitan las desigualdades.
INECUACIONES
Introducción
UNAD
126
Objetivo general
. Que los estudiantes identifiquen claramente las inecuaciones, sus propiedades,
principios, clasificación y las formas de resolverlas; además, plantear
situaciones descriptivas con desigualdades.
Objetivos específicos
. Conocer los principios sobre intervalos y desigualdades.
. Reconocer una inecuación lineal, sus carcterísticas y la forma de resolución.
. Identificar inecuaciones cuadráticas y la forma de resolverlas.
. Plantear y resolver problemas que involucren inecuaciones
ESIGUALDAD
Una desigualdad es una expresión de la forma , donde ( )xP es un
polinomio; al igual que ( )xQ , pero también uno de ellos puede ser un término
independiente. la expresión indica que ( )xP es menor que ( )xQ . Otras
formas de expresar desigualdades:
( ) ( )xQxP > : indica que ( )xP es mayor que ( )xQ
( ) ( )xQxP ≤ : indica que ( )xP es menor o igual que ( )xQ
( ) ( )xQxP ≥ : indica que ( )xP es mayor o igual que ( )xQ
Por ejemplo si decimos: 2a > , está indicando que cualquier valor mayor que
dos satisface la expresión dada. Cuando decimos , nos indica que cual-
quier valor menor que cinco satisface la expresión, pero además cinco también lo
satisface.
D
( ) ( )xQxP <
5a ≤
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
127
Propiedades de las desigualdades
Sean a, b y c números reales, entonces:
1. cbcaentonces,baSi +<+<
Demostración:
Como ba < , por deinifición ab − es positivo, como ( ) ( ) abcacb −=+−+ ,
entonces ( ) ( )cacb +−+ es positivo, así: cbca +<+ .
2. cbcaentonces,baSi −<−<
Demostración:
Para el mismo argumento de la propiedad uno, tenemos: ( ) ( )cbca −+<−+ ,
así: cbca −<−
3. cbcaentonces,0cybaSi ⋅<⋅><
Demostración:
Como ba < , entonces ab − es positivo; como c es positivo, el producto ( ) c.ab −
espositivo, luego cacb ⋅−⋅ es positivo, por lo tanto cbca ⋅<⋅ .
4. cbcaentonces,0cybaSi ⋅>⋅<<
Demostración:
Hacer la demostración individual, en grupo colaborativo, como último recurso
con el tutor.
5. Tricotomía: sea a y b números reales, una de las siguientes expresiones
se cumple: baobaoba >=< ¿qué pasa cuando b = 0? ¡Analícelo!
u
UNAD
128
I
u
6. La No negatividad: para cualquier número real a;
0a2 ≥
7. Para cualquier número real a:
0a
1entonces,0aSi
0a
1entonces,0aSi
<<
>>
Se recomienda que plantee ejemplos que ilustren las 7 propiedades de las
desigualdades, por lo menos dos de cada una. Esto le permitirá comprender la
esencia de las mismas.
NTERVALOS
Podríamos preguntarnos cómo gráfico: 4x1;5x,2x,3x <<−−<≤> . la
respuesta está en los intervalos. Un intervalo es un segmento de recta que
contiene los valores que satisfacen la desigualdad, limitado por dos extremos.
Veamos las clases de intervalos.
Intervalo cerrado
Son todos aquellos donde los extremos hacen parte del intervalo, La notación
se hace con paréntesis angular: [ ]b,a , en desigualdad bxa ≤≤ y
gráficamente.
vemos que hay dos formas de presentación gráficas.
[ ]a b a b
/////////////// //////////
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u
u
Intervalo abierto
Son todos aquellos donde los extremos no hacen parte del intervalo. La notación
se hace con paréntesis circular ( )b,a , en desigualdad bxa << y gráficamente.
Intervalo semiabierto
Ocurre cuando uno de los extremos no hacen parte del intervalo. Se conocen
como semiabiertos de izquierda o semiabierto a derecha.
( ]
[ ) bxa;b,a
bxa;b,a
<≤
≤<
Operaciones con intervalos
Las operaciones realizadas entre conjuntos, tales como: unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento, se puede trasladar a los
intervalos, ya que los intervalos se puede considerar como un conjunto de
números.
Unión: sean los intervalos ( ) ( )d,cRyb,aS == , entonces: RS∪ sea la unión
de los elementos de S y los de R.
u
a b a b
( )
a b a b
( ]
[a b a b
)
a b c d
( ) ( )/////////////// ////////// /////////////// //////////
///////////////
///////////////
//////////
////////// )(
UNAD
130
(
//////////
u
(
Sea [ ) ( ] RShallar,10,0Ry2,4S ∪=−=
Solución:
[ ]10,4RS −=∪ , gráficamente
Dado ( ) ( ) qphallar,10,2qy20,8p ∪=−=
Solución: vemos que los extremos de la unión son ( )20,8− , gráficamente
La solución nos hace ver que pq⊂ (q contenido en p).
Intrersección
Se busca identificar los elementos comunes en los intervalos que participan en la
operación.
( ) ( )30,10By18,2A == . la intersección será el conjunto de [ ]18,10
La solución es donde se cruzan las líneas.
Ejemplo 1
-4 0 2 10
)[ ]
Ejemplo 2
(-8 0 2 10 20
)( )
(0 2 10 18 30
) )
//////////////////// ////////// //////////
//////////////////// ////////////////////xxxxxx
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
131
Las demás oepraciones son similares a como se hace en los conjuntos. Para el fin
de las desigualdades, las operaciones más importantes son la unión y la
intersección.
sea [ ) ( ]10,1vy5,4u =−= . Hallar la unión, intersección,
diferencia uvyvu −− y la diferencia simétrica.
Solución:
.
( )
( )
[ ]
[ ]
[ ] [ ]01,51,4vu
01,5uv
1,4vu
5,1vu
10,4vu
∪−=∆
=−
−=−
=∩
−=∪
NECUACIONES LINEALES
Las inecuaciones lineales que vamos a analizar en este aparte son de dos tipos:
una inecuación con una incógnita y dos inecuaciones con dos incógnitas.
Inecuaciones lineales con una incógnita
Son inecuaciones de la forma cbax <+ , puede ser con cualquiera de los signos
de comparación. Para resolver inecuaciones de éste tipo se busca despejar la
I
[
[ ]
(-4 0 1 5 10
)[ ]
(-4 0 1 5 10
)[ ]
(-4 0 1 5 10
)[ ]
(-4 0 1 5 10
)xxxxxx
](-4 0 1 5 10
)xxxxxx
u
////////////////////
////////////////////
////////////////////
UNAD
132
(
variable, aplicando las propiedades estudiadas anteriormente y las leyes
matemáticas básicas; como la de los signos, términos semejantes y demás.
Resolver la desigualdad: 114x3 <+−
Solución: la idea es despejar x dejándola al lado derecho de la desigualdad.
aplicamos la propiedad 2.
3/7x3
7
3
x3
luego,3porosdimdivi,7x341144x3
−>⇒−
>−−
−<−⇒−<−+−
La solución será todo valor mayor de 3/7−
para comprobar reemplazamos cualquier valor de intervalo solución en la
intersección original; por ejemplo 0.
( ) 11411403 <⇒<+−
observamos que la solución No incluye el extremo, ya que es una desigualdad
estricta.
Hallar el conjunto solución de la desigualdad: ( ) ( )1x3x5x2 +≥++
Solución: primero hacemos la multiplicación, luego:
310luego,3x310x33x3x10x2 ≥+≥+⇒+≥++
como la desigualdad es verdadera, ésta es equivalente a la desigualdad original.
Ejemplo 1
3/7− 0 α)
Ejemplo 2
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
133
Como la expresión es verdadera independiente del valor de x, nos indica que
cualquier valor es solución de la desigualdad.
Probemos; tenemos 3 valores para x.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 121913335323x
31010305020x
5416210412325222x
≥⇒+≥++⇒=
≥⇒+≥++⇒=
−≥⇒+−≥−+−⇒+−≥−+−⇒−=
como es obvio los extremos son abiertos ya que infinito es una símbolo más no
una cantidad.
Resolver: 12
x345 <
−≤−
Solución: como debemos despejar x y por ser una desigualdad compuesta,
aplicamos las propiedades para tal fin.
( )21
2
2x3425 ⋅<
⋅−≤⋅− , multiplicamos todo por 2 para que la expresión
quede entera.
2x3410 <−≤− , ahora restamos 4− a todo
2x31442x344410 −<−≤−⇒−<−−≤−−
Nos falta solo eliminar el 3− que acompaña a la x, luego dividimos todo por
3− , ojo el signo de la desigualdad cambia, recordemos la propiedad 7.
(α− 0 α+
)
Ejemplo 3
UNAD
134
3/14x3/23
2
3
x3
3
14≤<⇒
−
−>
−
−≥
−
−
La solución será todos los x entre 2/3 y 14/3, vemos que incluye el extremo superior.
Hallar los valores de x que satisfacen la expresión.
02x
1>
−
Solución: para que la función sea mayor que cero, como el numerador siempre
es positivo, entonces el denominador debe ser mayor que cero, esto sucede
cuando: 2x02x >⇒>− .
La solución son todos los valores mayores que 2.
Resolver la desigualdad: ( ) ( )1y332y5 −>−+
Solución: como ya sabemos la técnica, procedemos secuencialmente a despejar
la incógnita. Entonces:
10y27377y237y2:Obtenemos
3y3y37y3y53y37y53y3310y5
−>⇒−−>−+⇒−>+
−−>+−⇒−>+⇒−>−+
0 2/3 2 4 14/3
Ejemplo 4
( ) 0 2 α
Ejemplo 5
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
135
I
5y2
10
2
y2:últimopor −>⇒−> en este caso el signo de la desigualdad no
cambia, ya que se dividió por un valor
positivo.
La solución son los valores mayores de 5− ( )α,5
Hallar el conjunto solución para la expresión:
2
1x
3
1x +≤
+
Solución: lo primero que debemos hacer es transformar las fracciones a
enteros, ya que los denominadores son constantes. Luego:
( ) ( )
x1:Finalmente
33x323x23x2x32x2x2
:Ahora.3x32x21x31x2
≤−
−+≤−⇒+≤⇒+−≤+−
+≤+⇒+≤+
La solución son todos los valores mayores o iguales a 1− .
NECUACIONES RACIONALES
Las inecuaciones racionales son aquellas donde el numerador y denominador
de la fracción que la define son polinomios lineales, se pueden esquematizar
así:
( )( ) ( ) ≥≤>≠< ,,conserpuede,0xQparacxQ
xP
[
Ejemplo 6
-2 -1 0 1 2
)α
UNAD
136
Resolver inecuaciones de éste tipo, se puede hacer por dos métodos, el que relaciona
el valor de la desigualdad respecto a cero, llamada por conectivos lógicos y el otro
se le llama por diagrama de signos.
Con ejemplos modelos ilustrar los métodos propuestos.
Resolver la inecuación: 03x
2x>
+
+
Solución: resolvámoslo por los dos métodos:
Método de conectivos lógicos: como la desigualdad está comparada con
cero, entonces; para que la fracción sea mayor que cero, hay dos posibilidades:
a. 03x,,02x >+∧>+ . dicho en otras palabras cuando el numerador es
positivo y el denominador positivo, el cociente será mayor que cero.
Resolviendo:
3x,,2x −>∧−> . Obtenemos dos intervalos que debemos intersectar, ya que
la ∧ , indica intersección.
b. 03x,,02x <+∧<+ . Cuando el numerador es negativo y el denominador
negativo, el cociente será positivo.
Ejemplo 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 α)(
-3 -2 -1 0 1 2 3 α( )
-3 -2 -1 0 1 2 3
( )
( )α−−> ,2;2x
( )α−−> ,3;3x
( )α− ,2:Soluciónxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
137
)
3x03x;2x02x −<⇒<+−<⇒<+
Luego, para la fracción puede ocurrir: b,,a ∨ . Quiere decir que para que la
fracción sea positiva, puede ocurrir a ó b. Siendo ∨ , la disyunción, que indica
unión.
Con este principio la solución general es la unión de las dos soluciones obtenidas
en las posibildiades propuestas.
Solución: ( ) ( ) α<<−−<<α−α−∪−α− x2y3x;,23
La solución la dimos en forma de conjunto, en forma de desigualdad y en forma
gráfica.
Método de diagrama de signos: existe método que es relativamente más
corto que el anterior. Graficamos cada parte de la fracción y determinamos en
donde ésta es positiva y negativa en la recta real, por último hacemos ley de
signos para cociente que cumple la desigualdad. Veamos.
3críticopunto3x03x
2críticopunto2x02x
−−=⇒=+
−−=⇒=+
Luego miramos como es 2x + y después de 2− , igual para 3x + .
(
( )
( )
(
α− -2 0
)(
α− -3 0
α− -3 0
( )2;2x −α−−<
( )3;3x −α−−<
( )3,:Solución −α−
α− -3 -2 0
)α
//////////
//////////
xxxxxxx
xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx
UNAD
138
2x +
3x +
Solución:
La ley de signos para cociente produce que entre ( )3−α− la función sea
positiva, entre ( )2,3 −− la fracción sea negativa y entre ( )α− ,2 la fracción sea
positiva.
Como la expresión original nos dice que la fracción debe ser positiva, entonces
la solución será la parte positiva de los intervalos; luego, la solución es:
( ) ( )α−∪−α− ,23,
vemos que las soluciones son iguales.
Hallar el conjunto solución para la expresión: 06x2
12x3<
+
−
Solución:
Método conectivos lógicos: para que la fracción sea menor que cero, se
pueden presentar dos posibilidades.
a. 06x2,,012x3 <+∧>− , porque positivo sobre negativo produce un
cociente negativo
3x6x206x2
4x12x3012x3
−<⇒−<⇒<+
>⇒>⇒>−
++++++−−−
αα− 02−
++++++−−−
αα−
0
Las x menores que 2− ,
son negativos y los
mayores que 2− ,
positivos
Las x menores que 3− ,
son negativos y los
mayores que 3− ,
positivos
Ejemplo 2
++−−+ 23
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
139
(
)(
b. 06x2,,012x3 >+∧<− , porque negativo sobre positivo produce
cociente negativo.
3x6x206x2
4x12x3012x3
−>⇒−>⇒>+
<⇒<⇒<−
Método diagrama de signos: despejamos la incógnita en numerador y
denominador para identificar los puntos críticos.
críticopunto,3x6x206x2
críticopunto,4x12x3012x3
−=⇒−=⇒=+
=⇒=⇒=−
Ahora, para 12x3 − :
para 6x2 + :
Cociente:
+++++++++−−−−
(
( 0 4 α
)
α− -3 0
-3 0 4 α( ) ( )
( )α>− ,4;012x3
( )3,,06x2 −α−<+
{ }φvacío:Solución
α− 0 4
-3 0 α
-3 0 4
)
)
( )xxx x xxxxxx
( )4,;012x3 α−<−
( )α−>+ ,3;06x2
( )4,3:Solución −
+++−−−−−−−−
0 4
-3 0
+++−−−−−++
//////////
//////////
////////// //////////
UNAD
140
xxxxx
como la fracción debe ser menor que cero, se toma el cociente que sea negativo
Solución: ( ) 4x3;4,3 <<−−
Hallar la solución de la desigualdad.
03x
8x4≥
+
−
Solución:
Método conectivos lógicos:
a. 3xy2x:8x403xy08x4 −>≥≥⇒>+≥− , no puede ser igual
porque incluiría el denominador y no habría solución.
b. 3xy2x:8x403xy08x4 −<≤≤⇒<+≤−
( ]//////////////////
)
Ejemplo 3
(
0 2 α
-3 0 α
-3 0 αxxxxxxxxx
[ )//////////////////
)
( [ )
[ )α≥− ,2;08x4
(
α− 0 2
α− -3 0
α− -3 0
)(
( ]2,;08x4 α−≤−
( ]3,;03x −α−<+
( )3,:Solución −α−
( )α−>+ ,3;03x
( )α,2:Solución
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
141
Solución total: ( ) [ )α∪−α− ,23,
Método diagrama de signos:
críticopunto3x03x
críticopunto2x8x408x4
−=⇒=+
=⇒=⇒=−
8x4para −
3xpara +
Cociente
Como el cociente de la fracción debe ser positiva o igual a cero, se escoge donde
se obtiene cociente positivo.
Solución: ( ) [ )α∪−α− ,23.
Resolver 21x2
4x<
−+
Solución: antes de aplicar cualquiera de los métodos descritos, debemos llevar
la fracción a comparación con cero, veamos como se hace.
+++++++++−−−
xxxxx
α− -3 0 2 α
)( [ )xxxxxxxxx
20
03−
03− 2
Ejemplo 4
++++++++−−−−−
++++++−−+
UNAD
142
++++++++−−−−−−
−−−++++++++++
( )0
1x2
1x224x02
1x2
4x2
1x2
4x<
−−−+
⇒<−−+
⇒<−+
operando y simplidicando:
01x2
6x3≤
−+−
Con esta última fracción si aplicamos cualquiera de los métodos propuestos,
para este caso vamos a aplicar el diagrma de signos.
Dejamos como ejercicio que usted estimado estudiante lo resuelva por conectivos
lógicos y compara resultados.
punto2/1x1x201x2
2x6x306x3
=⇒=⇒=−
=⇒−=−⇒=+−
6x3para +−
1x2para −
cociente
Solución: ( ) [ )α∪+α− ,22/1,
0 2
0 1/2
−−−+++++−−
0 1/2 2
punto crítico
unto crítico
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
143
EJERCICIOS: INECUACIONES LINEALES Y RACIONALES
1. Dada la desigualdad 42 −>− cuál será la desigualdad obtenida si:
a. Se suma 4− Rta: 86 −>−
b. Se resta 10 Rta: 148 −>−
c. Se multiplica por 3− Rta: 5218 <
2. Expresar las siguientes desigualdades como intervalo y hacer la gráfica.
a. 4x < Rta: ( )4,α−
b. 3x −≥ Rta: [ )α− ,3
c. 2x5 ≤<− Rta: ( ]2,5−
d. 8x0 ≤≤ Rta: [ ]8,0
3. Expresar los siguientes intervalos como desigualdad.
a. ( )4,3− Rta. 4x3 ≤<−
b. ( ) [ ]56, −−α− Rta: desarrollar con el tutor
c. [ ] ( )04,2 −− Rta. desarrollar con el tutor
4. Resolver los siguientes desigualdades lineales.
a. 75x2 ≥+ Rta: ( ]1,;1x α−≤
b.6
x2
3
x+≥ Rta: [ )α≥ ,12;12x
c. 75
3x23 <
−≤ Rta: [ )19,9;19x9 <≤
UNAD
144
d. x2
14x
3
19 −≥+ Rta: [ )α− ,6
5. Resolver las siguientes desigualdades racionales.
a. 02x3
4≥
+Rta: 3/2x −>
b. 0x1
1x<
−+
Rta: ( ) ( )α∪−α− ,11,
c.( )( )
0x
1x1x<
+−Rta: ( ) ( )1,01, ∪−α−
d. 25x2
2x3−≥
+
−Rta: ( ) [ )α−∪−α− ,7/82/5,
e. 3R7
R7>
+Rta: 4/21R >
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
145
I NECUACIONES CUADRÁTICAS
Las desigualdades cuadráticas son de la forma 0cbxax2 <++ ,
0cbxax2 >++ ; también puede ser ≥≤ ó , con 0a ≠ .
La resolución de este tipo de inecuaciones, se puede hacer por los métodos ya
descritos en desigualdades racionales.
Como ya sabemos resolver una expresión cuadrática, solo la conjugamos con
las desigualdades.
Resolver la inecuación: 06xx2 ≤−−
Solución: primero expresamos el trinomio como factores lineales. Luego
aplicando el método de conectivos lógicos, debemos definir la siguiente
propiedad:
Si 0b,,0a,,0b,,0a:ocurrirpuede;0ba <∧<∨>∧>>⋅
Si 0b,,0a,,0b,,0a:ocurrirpuede;0ba >∧<∨<∧><⋅
Aplicando el ejemplo propuesto:
( ) ( ) 02x3x06xx2 ≤+−⇒≤−− . Para que esto ocurra:
a. 2x,,3x02x,,03x −≤∧≥⇒≤+∧≥−
Ejemplo 1
0 3 α[ )//////////////
( ]α− -2 0
0
[ )α≥ ,3;3x
( ]2,;2x −α−−≤
{ }φvacío:Solución
UNAD
146
+++++++−−−
b. 2x,,3x02x,,03x −≥∧≤⇒≥+∧≤−
Solución total: [ ] { } [ ]3,23,2 −=φ∪−
Hallar la solución para la desigualdad:
012x4x2 >−−
Solución: usemos para este ejercicio el método de diagrama de signos, primero
expresamos el polinomio como producto de factores lineales.
( ) ( )
( ) ( )
críticopunto,2x2xpara
críticopunto,6x6xpara
02x6x
:luego,2x6x12x4x2
−=⇒+
=⇒−
>+−
+−=−−
6x − :
2x + :
producto:
+++−−−−−−−
[ )
α− 0 3
-2 0
( ]/////////////////////////
[ ]-2 0 3
( ]3,;3x α−≤
[ ]3,2:Solución −
Ejemplo 2
+−−−−+
0 6
-2 0
-2 6
xxxxxxx xxxxx
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
147
+++++++++
++++++−−−−
++++−−−−−−
como la desigualdad debe ser mayor que cero; es decir, positiva, se selecciona los
intervalos que dieron positivo el producto.
Solución: ( ) ( )α∪−α− ,62, , otra forma de dar la solución.
α<<−<<α− x6y2x
Aunque el ejemplo que proponemos en seguida no es cuadrático, pero se puede
resolver de igual manera que polinomios cuadráticos.
Hallar la solución de: xx4 ≤
Solución: recordemos que debemos llevar la desigualdad a compararla con cero,
luego:
( ) 01xx1xx01xx0xx 234 ≤
++−→≤
−⇒≤−
Resolvamóslo por diagrama de signos:
puntos críticos: 1xy0x == ¡verifíquenlo!
El trinomio 1xx2 ++ , no tiene solución real, pero podemos ver que esta expresión
siempre será positiva para todo Rx ∈ .
Entonces:
:x
:1x −
1xx2 ++
Ejemplo 3
0
0 1
0 1
UNAD
148
+++−−+++producto:
Indica incluye extremo
Indica no incluye extremo
Solución: [ ] 1x0:decires;1,0 ≤≤ .
Observación: los ejemplos modelos muestran que las inecuaciones racionales y
cuadráticas (también polinómicas) se pueden resolver por el método de conectivos
lógicos o diagramas de signos, también llamado técnica del cementerio; por aquello
de las cruces. Cualquiera de los métodos es válido, pero en muchos casos es más
práctico el diagrama de signos, como lo veremos a continuación.
NECUACIONES MIXTAS
Se le ha denominado a aquellas inecuaciones que son racionales, pero el numerador
y denominador son polinomios cuadráticos o de mayor grado. Para este tipo de
desigualdades el método más adecuado es el de diagrama de signos.
Hallar la solución para: 0xx
6xx
2
2
<−
−−
Solución: expresamos la fracción como productos lineales.
( ) ( )( )1xx
2x3x
−+−
Ahora se identificamos los puntos críticos:
1x01xy0x
2x02xy3x03x
=⇒=−=
−=⇒=+=⇒=−
0 1
Ejemplo 1
I
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
149
+++−−−++−−++
+++++++−−−−−−−−−
++++++++++++−−−−−
+++++++++−−−−−−−
3x − :
2x + :
x:
1x − :
producto:
como la desigualdad indica que la fracción es negativa; entonces la solución
es: ( ) ( )3,10,2 ∪−
Resolver: 21x
2xx2
≤−−−
Solución: llevamos la fracción a compararla com cero; luego:
01x
x3x0
1x
2x22xx02
1x
2xx 222
≤−−
⇒≤−
+−−−⇒≤−
−−−
Ahora expresamos el numerador como factores lineales:
( )0
1x
3xx≤
−−
+++−−−−−−−−−−−−
0 3
-2 0
0
0 1
-2 0 1 3
Ejemplo2
UNAD
150
+++−−−+++−−−
En seguida, podemos aplicar el diagrama de signos.
críticopunto,1x01x
críticopunto,3x03x
críticopunto0x
=⇒=−
=⇒=−
=
por las condiciones de la desigualdad, 1x ≠ .
:x
3x − :
1x − :
producto:
Solución: ( ] ( ]3,10, ∪α−
3x1y0x ≤<≤<α−
En la medida que se estudien detalladamente los ejemplos modelos y se
resuelvan los ejercicios propuestos, se podrá comprender, interiorizar y aplicar
las temáticas de inecuaciones, en cualquier contexto.
0 3
0 1 3
0 1
0
α−+++++−−−−−−−−−
++++++++++−−−−
+++++++++−−−−−
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
151
EJERCICIOS: INECUACIONES MIXTAS
1. ( )( )( ) 0x41x2x <−−+ Rta: ( ) ( )α− ,41,2 U
2. 12x2x2 2 <− Rta: ( )3,2−
3. ( ) 8x4x2
1+>− Rta: ( )20,−α−
4. 0x3x2x 23 ≥−− Rta: [ ] [ ]α+∪− ,30,1
5. 23 xx > Rta: α<< x1
Hallar el conjunto solución de las inecuaciones racionales polinómicas
propuestas a continuación:
6. 12x
4x≤
−+
Rta: 2x <<α−
7.1x
1x
1x
5x2
−+
>++
Rta: ( ) ( ) ( )α∪−∪−α− ,21,13,
8. 0x2x
xx
2
2
≤+
−Rta: ( ) ( ]1,00,2 ∪−
9. 010x3x
2x
2>
−−
−Rta: ( ) ( )α∪− ,52,2
10.( ) ( )( )
010x3x
5x4x3x
2
22
>−−
+−+Rta: ( ) ( ] [ ) ( )α∪∪−∪−α− ,44,33,55,
UNAD
152
Para resolver problemas con inecuaciones, aparece una inquietud nueva y es
el planteamiento de la desigualdad, lo cual se hace por medio de una lectura
y análisis cuidadoso del problema, se debe comprender términos como: a lo
más, mínimo, máximo, que son quienes darán las condiciones para plantear
la inecuación.
Por favor lea el problema las veces que sea necesarias hasta que sea bien
comprendido, ya que así es posible plantear la inecuación.
Esperando que los ejemplos modelos seleccionados sean suficientes para
enfrentarse a cualquier situación.
La función utilidad al valor x unidades está dado por:
120x7xP 2 −+= , ¿cuál será el mínimo de unidades para que no haya pérdida,
tampoco ganancia?
Solución: para que no haya pérdida, ni ganancia, 0P = . Entonces.
( ) ( ) 015x8x120x7x0 2 =−+⇒−+=
por la ley de producto nulo:
15x015xy8x08x =⇒=−−=⇒=+
En número de unidades que se debe producir para que no haya pérdida ni
ganancia es de 15.
ROBLEMAS CON INECUACIONES DE UNA
VARIABLE
Ejemplo 1
P
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
153
Para el problema del ejemplo 1, cual será el número mínimo de unidades para
obtener ganancia.
Solución: para obtener ganancia 0P > , luego:
( ) ( )
críticopunto,15x015x
críticopunto,8x08x
signosdemagradiapor,015x8x
oresolviend,0120x7x2
=⇒=−
−=⇒=+
>−+
>−+
8x + :
15x − :
producto:
Solución: ( ) ( )α∪−α− ,158,
por las condiciones del problema es obvio que la solución debe ser positiva.
Entonces para obtener utilidad se deben producir más de 15 unidades; es decir,
mínimo 16 unidades.
-8 0 15
+++−−−−−+
0 15
++++++++−−
-8 0
Ejemplo 2
++−−−−−−−
UNAD
154
En una clase de matemáticas un estudiante obtuvo las notas en sus primeras
cuatro evaluaciones de 60, 80, 78, 82, faltando el examen. Para obtener una
calificación de aprobatoria el promedio de las 5 notas debe ser mayor o igual a
80 y menor que 95, ¿cuál debe ser la nota mínima que necesita el estudiante
para aprobar el curso?
Solución: según las condiciones del problema, el promedio de las notas es:
5
x84788568 ++++, este promedio debe estar entre 80 y 90 para aprobar, luego:
160x85
:luego,315475x300300315400
475x315400
955
x8278806080
<≤
−<+−≤−
<+≤
<++++
≤
para aprobar el curso, el estudiante debe obtener mínimo 85 de calificación en el
examen.
En la fabricación de un equipo para calentamiento, la renta obtenida por venta de
x unidades es de 450x. El costo de producción para x equipos es 200x + 750,
¿cuántos equipos mínimo se deben fabricar para obtener utilidad?
Solución: la utilidad se mide así: ingresos- egresos, luego.
( ) ( ) 0750x200x450 >+−
Ejemplo 3
Ejemplo 4
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
155
xxxxx
0750x2500750x200x450 >−⇒>−− , luego:
3250
750x750x250 =>⇒> , por consiguiente:
3x > . Se deben fabricar mínimo 4 equipos para obtener utilidad.
Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 90 m/seg.
La distancia y de la pelota al suelo después de t segundos es: 2t16t80y −= .
¿En qué intervalo de tiempo la pelota estará a más de 96 metros de altura?
Solución: como entonces,96yademásyt16t80y 2 >−=
096t16t8096t16t80 22 >−−⇒>− , luego por cambio de signo:
096t80t16 2 <+− , dividiendo por 16 tenemos:
06t5t2 <+− , factorizamos
( )( ) 02t3t <−− , resolvemos por conectivos lógicos
a. 02t,,03t <−∧>− , recordemos mayor y menor, produce menor
2t,,3t <∧>
No hay solución, ya que la intersección es { }φ
b. 02t,,03t >−∧>− , para este caso, menor y mayor da menor
2t,,3t >∧<
La solución es ( )3,2 , luego la pelota estará a más de 96 metros entre 2 y 3
segundos.
Ejemplo 5
( ) ( )////////////////α− 0 3 α
( ) 0 2 3
UNAD
156
Lea cuidadosamente cada problema y resuélvalos con todos los pasos necesarios.
1. El costo de producir x unidades está dada por la expresión:
x6xc 2 += , la utilidad por concepto de ventas está dada por xx2u 2 += ,
¿cuántas unidades se deben vender para obtener la utilidad?
Rta: 5x >
2. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, cuya función altura está dada
por t147t8.9h 2 +−= , donde h en metros y t en segundos. ¿En qué intervalo
de tiempo el objeto estará por encima de 529,2m?
Rta: 9t6 <<
3. Según la ley de Boyle, para un gas específico a temperatura constante; se
tiene la relción 200V.P = . Donde P es presión en p si y V volumen en 3lgp
¿En qué intervalo se desplaza la presión; si el volumen se encuentra entre
25 y 50 plg?
Rta: 8p4 ≤≤
4. El cuerpo humano tiene una temperatura normal de 37°C; si una
temperatura x difiere a lo normal en menos en 2°, se considera anormal,
¿cuál será el intervalo de temperatura para que considere anormal?
Rta:C37x
yC35x
°=
°≤
5. La función ingreso por venta de un producto está dado por la
ecuación2x
5
1x40 − . El costo de producir una unidad del artículo es de
$28, ¿cuántos relojes se deben vender para que la utilidad sea de $100?
Rta: 50x10 <<
EJERCICIOS: PROBLEMAS CON INECUACIONES DE UNA VARIABLE
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
157
NECUACIONES CON DOS VARIABLESI
Las inecuaciones con dos variables son aquellas de tipo:
Rksiendo,kbyax,lbxax 2 ∈>−<+ .
Inicialmente analizaremos la técnica de resolución de este tipo de inecuaciones
y posteriormente algunas aplicaciones.
Resolver una inecuación con las variables es hallar, un conjunto de puntos
en el plano, que llamaremos R que satisfagan la desigualdad.
Vamos a describir una metodología general para resolver desigualdades con
dos variables:
1. Dada la desigualdad, graficar la ecuación que aparece al cambiar de >< ó
a =. Si la desigualdad es >< ó ,usar líneas interrumpidas;pero si la
desigualdad es ≥≤ ó , usar líneas continuas.
2. La gráfica divide el plano en 2 semiplanos, se prueba un punto ( )y,x de cada
semiplano, para determinar cuál de ellos la desigualdad es verdadera.
3. El punto que haga verdadera la desigualdad incluye el semiplano que lo
contiene, luego dicho semiplano será la solución, generalmente se subraya
o sombrea.
Resolver la desigualdad 2y >
Solución: primero hacemos y = 2 y graficamos
Ejemplo 1
UNAD
158
Solución el semiplano superior.
Resolver el sistema x2y ≥
Solución: primero hacemos x2y = y graficamos ( ) ( )2,1,0,0 que satisfecen la
ecuación propuesta.
2y =
x
y
.P
.Q
Ahora reemplazamos un punto en
los dos semiplanos obtenidos.
( )3,2P para este punto 2y > . La
desigualdad se hace verdadera
( )1,1Q , para este punto 2y < , no
es verdadera
Ejemplo 2
x
y
Q1
2
3
1 3
Como tenemos los dos semiplanos,
reemplazamos un punto en cada
uno de estos.
( ) ( ) 4y22yLuego.2,2P −=⇒−=−
entonces 4y −≥ es verdadero, ya
que 2y = .
( )1,3Q . Luego ( ) 6y32y =⇒=
6y ≥ , es falso porque 1y =Solución el semiplano que contiene
a P
P
2 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
159
Hallar el conjunto solución de: 2y2x <+
Solución: primero planteamos la ecuación 0y2x =+ , para
1y,2xpara,0y;0x −==== .
Escogemos dos puntos, uno por encima
y otro por debajo de la recta, digamos
( ) ( )2,2Qy2,2P −− .
Ahora para P tenemos:
( ) ( ) 2222 <−+− verdadero
La solución será el semiplano que
contiene a Q.
Recordemos que la línea es inte-
rrumpida porque la desigualdas es
estricta.
Enseguida veremos la resolución de unn sistema de desigualdades.
Resolver el sistema: 4yx2y2yx ≤−>+
Solución: como en los casos anteriores.
x
y
P
Q
Ejemplo 3
Ejemplo 4
UNAD
160
Para 4yx2 ≤− , escogemos los puntos ( ) ( )2,2qy4,3p −−− . Ahora:
para ( ) ( ) 4432:p ≤−− , falso
para q: ( ) ( ) 4222 ≤−−− , verdadero
La solución será el semiplano que contiene a q.
Hallar la solución para: 2y4x >+
Solución: 0y4x 2 >>+ , graficamos
para p: 0142 >−+ , verdadero
para q: ( ) 0344 2 >−+− , falso
( )1,2p
x
( )3,4Q −
4−2−
2
x
y
y
.P
q. .a4yx2 =−→
2yx =+→
4yx2y2yx =−=+ para
graficar.
Para 2yx >+ . Escogemos los
puntos ( ) ( )1,2by2,2a −− ,
para 222:a >+ , verdadero
para 212:b >−− , falso
La solución será el semiplano
que contiene el punto a.
.b
Ejemplo 4
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
161
Solución es la región que contiene p, es decir la parte interna de la curva.
Hallar la solución común para el sistema:
6yx2;4yx;0y;0x ≤−<+≥≥
Solución: graficar 6yx2y4yx,0y,0x =−=+== , obtenemos 4 rectas
que encierran una región del plano, dicha región será la solución común.
ISTEMA DE INECUACIONES; PROBLEMAS
Para raesolver problemas que involucran inecuaciones, lo fundamental es plantear
las desigualdades, ya que la resolución de éstas se puede hacer como lo planteamos
anteriormente.
Una almacén vende dos clases de artículos, la demanda exige tener al menos
tres artículos, tipo A que tipo B. Además se debe tener al menor 12 artículos tipo
B. El espacio permite tener máximo 80 artículos exhibidos.
Ejemplo 6
x
y
6yx2 =−→
4yx =+→0y =→
Gráficamente, la solución es
la región que rodea las 4
rectas.
Por favor estimado estu-
diante verifique las 4
soluciones individuales.
Ejemplo 1
S
UNAD
162
70
50
30
Plantear elsistema de desigualdades y describir la región solución del sistema.
Solución: si leemos cuidadosamente el problema, podemos plantear:
x = cantidad artículo A
y = cantidad artículo B
y3x ≥ tener tres veces de artículos tipo A que B
12y ≥ tener al menos 12 artículos tipo B
36x ≥ tener tres veces artículos tipo A
80yx ≤+ capacidad de exhibición en la tienda
La compañía π desea comprar cable tipo AA y tipo BB para instalaciones
telefónicas, para el cual cuenta con un capital que oscila entre 600 y 1.200
millones de pesos. El valor de la unidad de cable tipo AA es de 400 mil pesos y
de tipo BB es de 300 mil pesos. La compañía requiere al menor dos veces más
cable tipo BB que tipo AA. ¿Cuál será la zona de solución del sistema y enumerar
2 posibles propuesta de compra?
Solución: se x = cable tipo AA y y = cable tipo BB, según el problema:
°1
x
y
36x =→
y3x =→
Región de la solución
12y =
10 30 50 70
Ejemplo 1
80yx =+→
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
163
y
.P
Q
.
.
.x
a. 600y300x400 ≥+ valor mínimo de capital para la compra
b. 200.1y300x400 ≤+ valor máximo de capital para la compra
c. x2y ≥ requerimiento de cable
Vamos a resolver cada desigualdad por separado y al final las agrupamos para
tener la solución total. Entonces:
a. 6y3x4600y300x400 =+⇒=+
b. 12y3x4200.1y300x400 =+⇒=+
.x
y
.P
Q..
Tenemos dos puntos para graficar
la recta:
para 23/6y;0x ===
para 4/6x;0y ==
Veamos si el punto
( ) ( )2,2Qo3,2p − es solución de la
desigualdad.
para ( ) ( ) 63324:p ≥+ , verdadero
para ( ) ( ) 62324:Q ≥−+− , falso
como p es solución, el semiplano
que contiene p es la solución.
para 4y;0x ==
para 3x;0y ==
sea ( ) ( )2,2Qy2,4p −
para ( ) ( ) 122344:p ≤+ , falso
para ( ) ( ) 122324:Q ≤−+ ,
verdadero
UNAD
164
c. x2y =
Agrupando las tres gráficas:
y
.PQ
..
. x
para 0y;0x ==
para 4y;2x ==
sea ( ) ( )2,2Qy2,3p −
para ( )222:p ≥ , falso
para ( )222:Q −≥+ , verdadero
Solución el semiplano que contiene
a Q
y
..
. x
. .
12y3x4 ≤+
6y3x4 ≥+
La región R solución, está demarcada por las líneas oblicuas.
Una posible solución es:
( )2,2/1 ,ya que está dentro de R
Otra posible solución es: ( )2,1 .
Así las demás posibles soluciones
x2y ≥
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
165
EJERCICIOS: SISTEMA DE INECUACIONES
Para los siguientes problemas, leerlos cuidadosamente y resolverlos. Las
respuestas dadas son matemáticas; las gráfics no, por lo cual se deben compartir
con sus compañeros y su tutor.
1. x2y4y3yx3 <−<+ Rta: hacer la gráfica
2. 10y5x2y0xy <+<− Rta: hacer la gráfica
3. 22y2x3y19y3xy2yy1x ≤+≤+≥≥ Rta: hacer la gráfica
4. Un negociante de fina raíz vende casas y apartamentos, por la demanda se
debe tener al menos tres veces más casas que apartamentos. Se debe tener
disponible al menos 6 casas y 2 apartamentos para su ocupación. Las casas
cuestan 30 millones y los apartamentos 20 millones. El comerciante desea
mantener sus costos de inventario en 600 millones o menos. Elaborar el
sistema de desigualdades y hacer la gráfica.
Rta:600A20c30
10A2c;2A;6c
≤+
≥−≥≥
5. Una refinería de petróleo puede producir hasta 5.00 barriles por día, el petróleo es de
dos tipos A y B del tipo A se deben producir por día al menos 1.000 y a lo más 3.500
barriles, si hay una utilidad de 7 dólares por barril para A y 3 dólares por barril para
B. ¿Cuál será la utilidad máxima por día?
Rta: 3.500 tipo A y 1.500 tipo B
6. La empresa Sport fabrica dos tipos de balones para fútbol, el modelo pieduro
de una utilidad de 20 mil pesos y el modelo pie blando una utilidad de 13
mil pesos, para satisfacer la demanda la empresa debe producir diriamente
del modelo pieduro entre 20 y 100 inclusive, mientras que del modelo
pieblando entre 10 y 70, inclusive, por las condiciones de la fábrica el total de
producción diaria debe ser máximo de 150. ¿Cuántos balones se deben fabricar
en un día para obtener la máxima utilidad?
Rta: 100 balones pieduro y 50 balones pie blando
UNAD
166
CUACIONES E INECUACIÓN CON VALORABSOLUTO
El valor absoluto es una figura matemática que se creó con el fin de relacionar
un valor con una distancia. En los casos de matemática básica se estudia el
concepto de valor absoluto de un número. Vamos a estudiarlo con algo de detalle.
Valor absoluto: la definición del valor absoluto de un número x,
esquematizado así: x , es como sigue:
<−
=
>
=
0xsix
0xsi0
0xsix
x
Esta definición quiere decir que el valor absoluto de una cantidad positiva, es
positivo. El valor absoluto de una cantidad negativa, es negativo, y el valor
absoluto de cero es cero.
Como vemos el valor absoluto está relacionado con una medida de distancia,
ya que el valor absoluto de cualquier cantidad siempre será positivo.
Hallar el valor absoluto de π− ,5,10
Solución:
( )
positivovalorunesqueya;
55ndosimplifica;negativoes5porque,55
positivoes10porque,1010
ππ=π
=−−−−=−
=
E
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
167
E
Determinar el valor absoluto de: π−− 2,5e . e = número de Euler cuyo valor es
2,71828... y =π 3,141592
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) negativoes2queya,222
negativoes5eporque;e55e5e
π−−π=π−−=π−
−−=−−=−
Con este concepto de valor absoluto, podemos abordar los temas siguientes:
CUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Ya sabemos resolver ecuaciones; además, se hizo un análisis de valor absoluto:
Ahora vamos a combinar los dos conceptos.
De la misma definición de valor absoluto, podemos definir una técnica para resolver
ecuaciones con valor absoluto.
Sea 0xtodopara,ax,v,ax:entonces,ax ≠−=== , como vamos a resolver
este tipo de ecuaciones se resuelve aplicando la definición.
Hallar la solución para la ecuación:
83x =−
Solución: aplicando la definición expuesta anteriormente:
Ejemplo 2
Ejemplo 1
UNAD
168
11y5:essoluciónLa
538x83x
1138x83x
oresolviend,83x,v,83x
−
−=+−=⇒−=−
=+=⇒=−
−=−=−
podemos comprobarlo:
( )
88311
88835
==−
=−−=−=−−
Resolver: 124
8x2=
−
Solución: aplicamos las dos posibilidades
124
8x2,v,12
4
8x2−=
−=
−
Resolviendo:
20x40848x2488x2124
8x2
28x56848x2488x2124
8x2
−=⇒−=+−=⇒−=−⇒−=−
=⇒=+=⇒=−⇒=−
La solución es 28y28− , por favor comprobar las soluciones.
Ejemplo 2
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
169
En los ejemplos propuestos, observamos que se obtienenn dos soluciones, una
positiva y una negativa. por consiguiente para ecuaciones de primer grado
con valor absoluto, la solución es doble.
Resolver: 218x8x2 =−−
Solución:
Ejemplo 3
( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
244;244,10,2:estotalsoluciónla
244x
244x
2441
244
2
288x
2
2648
2
1288
12
161488x
:cuadráticaecuaciónlapor
016x8x0218x8x218x8x)b
2x02xy10x010x
nuloproductodelleylapor,02x10x
:osFactorizam.020x8x0218x8x)a
:solvemosRe.218x8x)b,v,218x8x)a
2
1
2
222
22
22
−+−
−=
±=
±=±
=±
=
−±=
±=
−−−±−−=
=−−⇒=+−−⇒−=−−
−=⇒=+=⇒=−
=+−
=−−⇒=−−−
−=−−=−−
para ecuaciones de segundo grado con valor absoluto, se tienen 4 soluciones.
UNAD
170
Resolver la ecuación: x34x2 =−
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) 1xy4x01x4x4x3x)b
1xy4x01x4x4x3x)a
:osFactorizam
04x3xx34x)b
04x3xx34x)a
2
2
22
22
=−=⇒=−+=−+
−==⇒=+−=−−
=−+⇒−=−
=−−⇒=−
Los valores negativos No satisfacen la igualdad, luego las únicas soluciones son 1
y 4.
Para terminar las ecuaciones con valor absoluto, es pertinente recordar algunas
propiedades:
1. yxyx ⋅=⋅
2.y
x
y
x=
3.nn xx =
Estas propiedades nos puede servir en muchas situaciones.
Ejemplo 4
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
171
NECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
En la naturaleza existen muchos fenómenos que suceden bajo ciertos límites o
mejor en un intervalo determinado, las inecuaciones con valor absoluto, es el
dispositivo matemático que ayuda a resolver tales fenómenos. Por ejemplo la
temperatura corporal, la resitencia de un cable, otros.
Para resolver inecuaciones con valor absoluto, recurrimos a las siguientes
propiedades.
1. axa:entonces,ax <<−<
Esta propiedad no dice que cuando el valor absoluto de la variable es menor
que un valor fijo, éste se encuentra en el intervalo entre el negativo y positivo
del valor definido.
2. axóax:entonces,ax >−<>
Para este caso el valor absoluto de la variable es mayor que un valor
fijo, ésta puede ser menor que el negativo o mayor que el positivo del
valor fijado.
Las dos propiedades se definieron para desigualdades estrictas, pero se pueden
definir para las no estrictas; es decir: ≥≤ ó .
Si observamos detalladamente las gráficas al asociar las dos propiedades
obtenemos la recta real.
Resolver 8x <
- a 0 a
- a 0 a
Ejemplo 1
I
UNAD
172
Solución: aplicando la propiedad uno, tenemos:
8x8 <<− . Esto significa que cualquier valor entre 8y8− es solución de la
desigualdad, probemos con dos ejemplos.
( ) 8quemenores5quevemos;555 =−−=−
22 = ; obviamente 2 es mejor que 8
Hallar el conjunto solución para: 6x >
Solución: aplicando la propiedad dos, tenemos: 6x,v,6x >−< . Tenemos
dos intervalos, luego por la disyunción los unimos.
La solución es: ( ) ( )α∪−α− ,66, , probemos con un valor en cada intervalo.
( ) 777 =−−=− , vemos que 7 es mayor que 6, entonces dicho intervalo es
solución.
88 = , también 8 es mayor que 6.
Hallar la solución de: 46x2 ≤−
Solución: por la propiedad uno.
46x24 ≤−≤− , como estudiamos despejar la incógnita en las desigualdades
compuestas, tenemos:
Ejemplo 2
()////////////// //////////////
- 6 0 6
Ejemplo 3
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
173
+−−++++
+−−−−−−
+++−−−−
5x12
10
2
x2
2
2
:ahora,10x226466x264
≤≤⇒≤≤
≤≤⇒+≤+−≤+−
La solución son todos los valores que están entre 1 y 5: [ ]5,1
Resovler 24x
x≥
−
Solución: aunque resolver esta desigualdad es algo extensa, pero no difícil,
con la ventaja que los pasos para resolverla ya los conocemos, veamos:
a. 24x
x.b,v,2
4x
x≥
−−≤
−
Resolvemos a y luego b, para finalmente unir las dos soluciones-
a.
signosdemagradiapor,04x
8x3
04x
8x2x02
4x
x2
4x
x
≤−−
≤−−+
⇒≤+−
⇒−≤−
8x3 − :
4x − :
cociente:
La solución: [ )4,3/8 . Justifique porque el intervalo es cerrado en el límite
inferior y abierto en el superior.
Ejemplo 4
0 8/3
0 4
0 8/3 4
UNAD
174
−−++−−−−
++++−−−−−−
−−++++++++
04x
8x
04x
8x2x02
4x
x2
4x
x
≥−+−
≥−+−
⇒≥−−
⇒≥−
8x +− :
4x − :
cociente:
La solución es: ( ]8,4 . Justificar igual que en la solución aterior.
solución total: [ ) ( ]8,44,3/8 ∪
La solución No incluye el 4, ¿por qué?
0 8
0 4
0 4 8
[ )( ]//////// /////////////0 2 4 6 8 10
b.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
175
EJERCICIOS: ECUACIONES- INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto.
.
1qq
1x23x
25
2
3
x
541
53x2
=−
−=+
=+
=−
=+
11.El peso de llenado de un recipiente que contiene granos debe cumplir p=
peso en gramos. Un tarro se pesa y marca 17 gr. Dicho tarro está en el rango
del peso.
Rta: No; el rango debe ser ( )05,1695,15 −
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
2
1q:Rta
3/2x;4x:Rta
5
24x;
5
36x:Rta
2/3y;1y:Rta
1x;4x:Rta
−=
−==
=−
=
=−=
=−=
( )
( ) ( )
−<<−
=
α∪−α−
<<−−
5
31,
5
29:Rta
1x4:Rta
2/7w:Rta
,216,:Rta
7x7:7,7:Rta
Hallar la solución de las siguientes desigualdades:
10
13x
2
1
21x
2x
07w2
33
7y
7z
<−
>+−
≤−
>+
<
UNAD
176