Post on 03-Aug-2015
“ Familia Exponencial”
Prof. Matías Hernández Sergio Alejandro
Integrantes:
Romero González Verónica
Ponce Rosas Diana Gisela Gpo.1502
Universidad Nacional Autónoma De México
Facultad de Estudios Superiores Acatlán
MAC
Índice1. Objetivo2. Introducción3. Familia Exponencial4. Ejemplos5. Generalización para k-parámetros6. Ejemplos7. Conclusión8. Bibliografía
Objetivo
Conocer la FAMILIA EXPONENCIAL , y su utilidad para obtener estadísticos suficientes.
IntroducciónIMPORTANCIA:
Si la distribución de Probabilidad de la muestra representada por f( •, θ) admite la descomposición exponencial, esto facilita el cálculo de un estadístico suficiente de dimensión k para θ (parámetro poblacional)
mu
Tenemos muestra aleatoria x1,…,xn f(•,θ) , tal que la función de densidad se pueda expresar como:
Entonces dicha distribución pertenecea la FAMILIA EXPONENCIAL y no es una estadística suficiente.
De hecho, se puede demostrar que la estadística suficiente para obtener es mínima.
muestra
θ=?
Parámetros Poblacionales
m.a.
Estadísticos MuéstralesPara cada parámetro poblacional se elige un estadístico
muestra
Estimación Máxima
verosimilitud
Método de los Momentos
Estimación Mínima Chi-Cuadrada
MÉTODOS DE ESTIMACIÓN PUNTUAL
Estimador de θ
PROPIEDADES DESEALES
INSESGADO
EFICIENTE
CONSISTENTE
SUFICIENCIA
Famil ia Exponencial de Densidades
DEFINICIÓN. Una familia con un parámetro (θ es
unidimensional)
de densidad f(*,θ) se puede expresar como:
Para y para una elección
adecuada de las funciones se
definen concretamente a la familia exponencial o clase
exponencial.
Ejemplos
Si
entonces pertenece a la familia
exponencial para:
Distribución Exponencial
∴ pertenece a la clase exponencial
Distribución Poisson
Ejemplos
Si f(x, θ)= f(θ,λ) es la función de densidad de una Poisson entonces :
Para
∴ pertenece a la clase exponencial
K-Parámetros de la Familia Exponencial
DEF. Una familia de densidad
puede ser expresada como:
K-Parámetros de la Familia ExponencialPara una elección adecuada de las funciones
pertenece a la familia exponencial.
Observación: note que el número de
términos en la suma de exponentes es
k y por tanto la dimensión del
parámetro.
EjemplosDistribución Normal
Si ,
donde
entonces
pertenece a la familia exponencial
Tome:
∴ pertenece a la clase exponencial
Distribución BetaTenemos la función de densidad de una distribución beta
Entonces se puede expresar
∴ pertenece a la clase exponencial
donde
Conclusiones
Una herramienta para encontrar los mejores estimadores, es verificar que pertenecen a la CLASE EXPONENCIAL brinda:
Estimadores con CARACTERÍSTICAS DESEABLES.
f(•,θ) de una m.a es MIEMBRO DE LA CLASE EXPONENCIAL con k-parámetros entonces
d(x) es suficiente.
Condensa la info. en la muestra sin perder la info. de θ
¿Por qué es una estadística suficiente mínima?
Si pusiste atención…Al pertenecer a la clase exponencial cumple con ser insesgado, eficiente, y suficiente.
Donde tenemos 2 estimadores insesgados (T y T´) y var (T)≤ var (T´) con mínima varianza entonces, NO solamente tenemos un estimador insesgado sino un UMVUE.(Estimador Uniformemente insesgado de mínima varianza)
•Mood, Alexander McFarlane. “Introduction to the theory of statistics” Ed. McGraw – Hill. 1913
•Cepeda Cuervo, Edilberto. “Estadística Matemática” Ed. Universidad Nacional de Colombia
• Mateos, Gregoria. et. al. “Statistical Methods”
Bibliografía