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Ensamblaje de navesOsciladores no lineales

Modelos de propagacion del SIDA

Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias

Metodos Numericos Avanzados

3 de noviembre de 2005

Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias

Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios

Contenidos

Ensamblaje de navesUtilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios

Osciladores no linealesEl plano de fases

Modelos de propagacion del SIDALa ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion

Metodo de Euler

Ejemplo mas simple de los llamados Metodos Taylor

y ′ = f (x , y) y(x + h) = y(x) + y ′(x)h + O(h2)

Se reemplaza y ′ por f (x , y):

yk+1 = yk + hf (xk , yk)

Si continuamos calculando terminos con el polinomio de Taylorpodemos obtener metodos mas precisos con el coste de tener quecalcular las derivadas parciales de f .

Metodo de Runge-Kutta

Se evita calcular las derivadas de f mediante mas evaluaciones dela funcion:

y ′(x) = f (x , y)

y ′′(x) = fx + fyy ′ = fx + fy f

∆y = hf +h2

2(fx + fy f ) + O(h3)

2(f + hfx + hfy f ) + O(h3)

f + h(fx + fy f ) = f (x + h, y + hf ) + O(h2)

F1 = f (x , y) F2 = f (x + h, y + hF1)

yk+1 = yk +h

2(F1 + F2)

Ecuacion para la trayectoria de la nave

x ′(t) = s(t)(X (t)− x(t)),

y ′(t) = s(t)(Y (t)− y(t)),

z ′(t) = s(t)(Z (t)− z(t)).

s(t) = k

√X ′(t)2 + Y ′(t)2 + Z ′(t)2√

(X (t)− x(t))2 + (Y (t)− y(t))2 + (Z (t)− z(t))2

Pasos de la resolucion numerica

I Definir una funcion para la trayectoria circular de la nave.

I Utilizar el comando ode45(‘funcion’,tspan,y0).

I Visualizacion: estatica o dinamica.

Trayectoria de la nave

function c=circulo(t)global w teta fi %fi es el angulo del eje de rotacion

%respecto de e3

%teta es el angulo sobre el plano xy del corte del

%plano de rotacion con el xyt=t’; w=1; fi=pi/3; teta=pi/4;x=cos(w*t).*cos(teta)-sin(w*t).*cos(fi)*sin(teta);y=cos(w*t).*sin(teta)+sin(w*t).*cos(fi)*cos(teta);z=sin(w*t).*sin(fi); c=[x; y ;z];

Metodo de Runge-Kutta-Fehlberg

I Utiliza dos metodos R-K para adaptar el paso

I Es eficiente en el numero de evaluaciones.

Metodo de Runge-Kutta-Fehlberg

I Utiliza dos metodos R-K para adaptar el paso

I Es eficiente en el numero de evaluaciones.

Visualizacion: Ejemplo de animacion en 3D

clear all...p=plot3(estacion(1,1),estacion(2,1),estacion(3,1),...’+g’,’EraseMode’,’none’,’MarkerSize’,5);hold on;

% poner EraseMode ’none’ para que se vea la estelaq=plot3(y(1,1),y(2,1),y(3,1),’*r’,...’EraseMode’,’xor’,’MarkerSize’,10);legend(’nave’,’estacion’)y=y’; axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5 -1.5 1.5])for i=2:length(t);set(p,’XData’,estacion(1,i),’YData’,estacion(2,i),...’ZData’,estacion(3,i))set(q,’XData’,y(1,i),’YData’,y(2,i),’ZData’,y(3,i))

drawnow, end, hold off

Ejercicio 1: Modelo de competencia

I Definir una funcion competicion.m.

I animar la solucion para visualizar los puntos de equilibrio.

Ejercicio 1: Modelo de competencia

I Definir una funcion competicion.m.

I animar la solucion para visualizar los puntos de equilibrio.

Ejercicio 2: Modelo de Robertson

I Utilizar el comando subplot para comparar la evolucion delas distintas especies.

I Comparar el numero de nodos de cada solucion.

I Comparar el tiempo de resolucion de ambos metodosutilizando los comandos tic,toc o etime

El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2

Contenidos

Sistema autonomo de dos ODE’s

x ′(t) = f (x(t), y(t))

y ′(t) = g(x(t), y(t))

g(x , y)

f (x , y)

x ′(t) = f (x(t), y(t))

y ′(t) = g(x(t), y(t))

g(x , y)

f (x , y)

x ′(t) = f (x(t), y(t))

y ′(t) = g(x(t), y(t))

g(x , y)

f (x , y)

Ecuacion de segundo orden

y ′′ = f (y , y ′)⇐⇒ y2 = y ′(t) y1 = y(t)

y ′1 = y2

y ′2 = f (y1, y2)

Ecuacion de segundo orden

y ′′ = f (y , y ′)⇐⇒ y2 = y ′(t) y1 = y(t)

y ′1 = y2

y ′2 = f (y1, y2)

Ecuacion de pendulo

y ′′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)

I Definir la funcion del segundo miembro pend.m

I Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar losdatos iniciales.

I Programa pendulo.m (script).

Ecuacion de pendulo

y ′′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)

Ecuacion de pendulo

y ′′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)

Ecuacion de pendulo

y ′′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)

Efectos de friccion

y ′′ + y ′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)− y2

I Definir la funcion del segundo miembro pendf.m

I Programa pendulof.m (script).

Efectos de friccion

y ′′ + y ′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)− y2

Efectos de friccion

y ′′ + y ′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)− y2

Efectos de friccion

y ′′ + y ′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)− y2

Modelo depredador-presa

I Utilizar los comandos meshgrid y contour para ver lascurvas de nivel de la solucion exacta.

I Utilizar quiver para visualizar el plano de fases.

I Valores de las constantes: a=0.2, b=0.005, c=0.15*b, d=0.3y realizar la grafica entre los lımites: [0 1000,0 100].

Modelo depredador-presa con competicion

I Utilizar los comandos meshgrid y quiver para visualizar lospuntos de equilibrio en el plano de fases.

I Valores de c : 2,−2.

Modelo depredador-presa con competicion

I Utilizar los comandos meshgrid y quiver para visualizar lospuntos de equilibrio en el plano de fases.

I Valores de c : 2,−2.

La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion

Contenidos

Ejemplo

Un modelo simplificado: La tasa de infectados es proporcional alnumero de interacciones entre la poblacion sana y la enferma:

A′(t) = c(P − A(t))A(t)

P es la poblacion total, A(t) es el numero de afectados por laenfermedad en el instante t.P − A(t) representa el numero de individuos sanos dentro de lapoblacion en el instante t.Si P = 50000, A(0) = 100, se puede calcular c a partir de algundato empırico A(10) = 1000. c = 4,6416× 10−6. Para infectar a lamitad de la poblacion harıan falta aproximadamente 27 semanas.

Hipotesis

I El flujo de nuevos individuos susceptibles de ser contagiadoses constante.

I Los individuos susceptibles pueden convertirse en infecciosos omorir de muerte natural.

I Los individuos infecciosos pueden morir de muerte natural,desarrollar el SIDA o convertirse en no infecciosos.

I La gente con SIDA puede morir de SIDA o de muerte natural.

Hipotesis

Tipos de poblacion

I X representa a los individuos susceptibles de desarrollar elSIDA.

I Y representa a los individuos infecciosos, capaces de contagiarel HIV.

I Z representa al numero de individuos seropositivos noinfecciosos.

I A representa a los individuos que han desarrollado el SIDA.

Tipos de poblacion

Parametros

I β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.

I µ tasa de muerte natural.

I λ probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.

I c numero de parejas que tiene un individuo por unidad detiempo (ano).

I d tasa de muerte por SIDA.

I ν tasa de seropositivos infecciosos que mutan a seropositivosno-infecciosos.

I p proporcion de individuos que contraen el sida entre losinfecciosos.

Parametros

X ′ = β − µX − λcX λ =A + Y

NY ′ = λcX − (µ + ν + p)Y

A′ = pY − (d + µ)A

Z ′ = νY − µZ

N(t) = X (t) + Y (t) + Z (t) + A(t)

Valores de las constantes:

X (0) = 90000, Y (0) = 10000, A(0) = 0, Z (0) = 0

β = 13333,3, d = 1,33, ν = 0,237, µ = 1/32, p = 0,3

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