Post on 26-Jul-2015
Definición
• - El Método de Gauss – Jordán o también llamado eliminación de Gauss – Jordán, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas
• Antes de resolver el sistema de ecuaciones, hay que convertirlo a una “Matriz Aumentada” que es la que se obtiene al combinar dos matrices (o un sistema de ecuaciones y sus resultados), tal y como se muestra aquí:
Transformaciones Básicas
• Existen 3 reglas o “pasos” que nos pueden ayudar a resolver las matrices aumentadas, y convertirlas en identidad:
• Multiplicar o dividir filas por escalaresFi (c)Fi
• Sumar o restar filasFj Fj + (c)Fi
• Intercambiar filas entre ellasFi Fj
Paso 1
• Primero, hay que pasar el sistema de ecuaciones a una matriz aumentada
2x +4y +6z = 184x +5y +6z = 243x + y -2z = 4
2 4 6 | 184 5 6 | 243 1 -2 | 4
Paso 2
• Dividir la primer fila para hacer el coeficiente de X = 1
F1 (1/2)F1
1 2 3 | 94 5 6 | 243 1 -2 | 4
Paso 3
• Eliminar los términos de X de las demás filas; multiplicando la primera fila por los números adecuados y sumándola/restándola a la segunda y tercer fila
F2 F2 – (4)F1F3 F3 – (3)F1
1 2 3 | 90 -3 -6 | -120 -5 -11 | -23
Paso 4
• Dividimos la segunda fila para hacer el coeficiente de Y = 1
F2 (-1/3)F2
1 2 3 | 90 1 2 | 40 -5 -11 | -23
Paso 5
• Hacemos 0 los coeficientes de Y en las filas 1 y 3
F1 F1 – (2)F2F3 F3 – (5)F2
1 0 -1 | 10 1 2 | 40 0 -1 | -3
Paso 6
• Multiplicamos la tercer fila para hacer el coeficiente de Z igual a 1
F3 (-1)F3
1 0 -1 | 10 1 2 | 40 0 1 | 3
Paso 7
• Hacemos 0 los coeficientes de Z en las filas 1 y 2
F1 F1 + F3F2 F2 – (2)F3
1 0 0 | 40 1 0 | -20 0 1 | 3
Solución
“X” “Y” “Z”Ecuación 1 1 0 0 | 4Ecuación 2 0 1 0 | -2Ecuación 3 0 0 1 | 3
“X” = 4“Y” = -2“Z” = 3
Solución:
Los pasos son:
• Colocar junto a la matriz dada la matriz unidad• Conseguir hacer 0´s todos los elementos
debajo de la diagonal principal• Hacer 1´s en la diagonal principal• Hacer ceros todos los elementos por encima
de la diagonal principal
Transformaciones Básicas
• Las operaciones que se utilizan en este caso son:
• Intercambiar filasFi Fj
• Multiplicar una fila por un escalaraFi = (c)Fi
Paso 1
• Crear una matriz aumentada con la matriz original y una matriz identidad del mismo orden
1 2 1 | 1 0 00 1 1 | 0 1 02 1 0 | 0 0 1
Paso 2
• Volver “0” los terminos de la primera columna que no sean la primera fila
F3 F3 – (2)F1
1 2 1 | 1 0 00 1 1 | 0 1 00 -3 -2 | -2 0 1
Paso 3
• Convertir en 0´s los elementos de la segunda columna, a excepción del de la segunda fila
F1 F1 – (2)F2F3 F3 + (3)F2
1 0 -1 | 1 -2 00 1 1 | 0 1 00 0 1 | -2 3 1
Paso 4
• Convertir en 0’s los elementos de la tercera columna, excepto el de la fila 3
F1 F1 + F3F2 F2 – F3
1 0 0 | -1 1 10 1 0 | 2 -2 -10 0 1 | -2 3 1
Solución
• Para dar por concluido, la parte izquierda de la matriz aumentada debe ser una matriz identidad; y con esto podemos decir que la parte derecha es la matriz inversa de “A”