Post on 10-Jul-2015
Ecuación Diferencial Homogénea de
Primer Orden
CONCEPTO DE
HOMOGENEIDADpor Manuel Alejandro Vivas Riverol
Introdución
Según la Doctora Barbara Oakley profesora de ingeniería en el depar-tamento de ingeniería de sistemas e industrial de la universidadde Oakland en Rochester, Michigan; una de las formas no solo derecordar información si no también de comprenderla es realizandoanalogías y/o metáforas que realcionen la información que queremosaprender con conocimiento facil de recordar para nosotros.
En esta presentación utilizaremos la analogía como técnica de apren-dizaje para entender y recordar con facilidad el concepto de homoge-neidad para una Ecuación Diferencial de 1er orden.
01
Ejemplo de una analogía
Por ejemplo cuando visualizamos la corriente electrica como flujo de agua:
Figura 1. Analogía entre el flujo de agua y el flujo de carga eléctrica
02
Ejemplo 2: analogía
O cuando hacemos las metaforas para relacionar los CAtIONES conel signo (+) y los AnIONES con el signo (- , n EGATIVO) utilizandosus propias letras.
Por este motivo, te propongo realizar la siguiente analogía pararecordar cómo identificar una ED homogénea de primer orden.Cuando veas una ED escrita de esta forma:
M(x, y)dx+N(x, y)dy=0
Para determinar su homogeneidad corrobora que la suma de losexponentes para las variables de cada uno de sus términos sea lamisma.
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Es decir, supongamos que M = −Cxrys − Bxpyq y N = Axmyn,entonces:
−(Cxrys+Bxpyq)dx+Axmyndy=0 (1)
Donde A, B, C son funciones polinomiales también.
De tal manera de que si la suma TOTAL de los exponentes de cadatermino es la misma, es decir, siguiendo con la ecuación anterior:
r+ s= p+ q=m+n=K
Entonces la ED es homogenea.
Suma de las exponentes de cada término
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Metafora sobre Homogeneidad de una ED de primer orden
Piensa sobre la homogeneidad de una ED de 1er orden como una ecuación cuyos términos sonDE NATURALEZA SIMILAR. Dicha naturaleza la determinan los exponentes de la ecuación.
Una metáfora podría ser la siguiente, los términos en (1) son:
1) −Cxrys,
2) −Bxpyq,
3) Axmyn
Entonces si decimos que:
x=TORO yy=Yegua
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Ecuacion en terminos metaforicos
y tenemos la ecuación:
−((
4 2√
+1
3
)
x4y8)
dx+((
1+ 2√ )
x3y9)
dy= ex6y6dx (2)
podríamos decir:
−((
4 2√
+1
3
)
toro4 ∗ yegua8)
d toro +((
1 + 2√ )
toro3 ∗ yegua9)
d yegua =
e (toro6 ∗ yegua6)d toro (3)
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Exponentes en el termino 1
Donde analizando cada término vemos que la CARGA TOTAL es la misma:
Termino 1: toro4 ∗ yegua8
* =CARGA
Figura 2. toro4 ∗ yegua8=CARGA12 porque 4+ 8= 12
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Exponentes en el termino 2
Término 2: toro3 ∗ yegua9
* =CARGA
Figura 3. toro3 ∗ yegua9=CARGA12 porque 3+9 = 12
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Exponentes en el termino 3
Término 3: toro ∗ yegua
* = CARGA
Figura 4. toro6 ∗ yegua6=CARGA12 porque 6+ 6= 12
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Descripcion de las figuras 2, 3 y 4
En las Figuras 2, 3 y 4, la homogeneidad está representada por lacantidad de sacos (por ejemplo de arina) que suman la CARGATOTAL del toro y la yegua en cada caso. Para los tres casos la cargatotal suma 12.
Este hecho nos permite UNIR ambos animales de carga en uno soloy SIMPLIFICAR nuestra dependencia de ambos, si los podemossustituir por otro animal y así utilizar un solo animal en vez de 2.
Esto, aplicado a matemáticas, necesita de cierto criterio algebraicopara realizar dicha UNIÓN de variables.
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Criterio para convertir la ED en una función f(
y
x
)
0 f(
x
y
)
función de la forma:dy
dx=F
( y
x
)
[o en su defecto de la formadx
dy=F
(
x
y
)
]
y así poder sustituir la unión de x e y por una nueva variable, reduciendonuestra función a depender de solo una variable (la variable x) en vez dedos (x e y).
Este criterio es el de utilizar la suma total de los exponentes, que en cadatérmino es la misma (en este caso 12), para que sirva de exponente de x
o y (según nos convenga) con la cual dividiremos la ED para obtener una
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Como multipliacamos x o y con el nuevo esponente para obtener
f(
y
x
)
o f(
y
x
)
Veamos el siguiente desarrollo, primero escribimos la ecuación (3) en la formady
dx=F (x, y)
−((
4 2√
+1
3
)
toro4 ∗ yegua8)
d toro +((
1 +
2√ )
toro3 ∗ yegua9)
d yegua = e (toro6 ∗ yegua6)dx((
1+ 2√ )
toro3 ∗ yegua9)
d yegua = e (toro6 ∗ yegua6)dx +((
4 2√
+1
3
)
toro4 ∗ yegua8)
d toro((
1+ 2√ )
toro3 ∗ yegua9)d yegua
d toro= e (toro6 ∗ yegua6) +
((
4 2√
+1
3
)
toro4 ∗ yegua8)
d yegua
d toro= e (toro6 ∗ yegua6) +
((
4 2√
+1
3
)
toro4 ∗ yegua8)
((
1+ 2√ )
toro3 ∗ yegua9)
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Multipliacamos1
variable (xoy)exponente total
1
toro12
Ahora, utilizamos la variable «toro» con el exponenete 12, para dividir toda la ED:
d yegua
d toro=
e (toro6 ∗yegua6)+((
4 2√
+1
3
)
toro4 ∗yegua8)
((
1+ 2√ )
toro3 ∗yegua9) ∗
1
toro12
1
toro12
Y desarrollamos:
d yegua
d toro=
e(toro6 ∗ yegua6)
toro 12+
((
4 2√
+1
3
)
toro4 ∗ yegua8)
toro 12((
1+ 2√ )
toro3 ∗ yegua9)
toro 12
=e
(yegua6)
toro 6 +
((
4 2√
+1
3
)
yegua8)
toro 8((
1+ 2√ )
yegua9)
toro 9
=e( yegua
toro
)
6+(
4 2√
+1
3
)( yegua
toro
)
8
(
1+ 2√ )( yegua
toro
)
9
, paranuestro caso
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Sustituimosy
xo
x
ypor la nueva varaible, en este caso u.
Y ahora podemos depender solo de un «ñu» por ejemplo:
yegua
toro=u: ñu que tenga la fuerza de los otros
dos.
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La ED escrita con la nueva varaible
De manera que transformemos la ED en:yegua
toro=u ⇒ yegua=u ∗toro ⇒
d yegua
d toro=u+
du
d toro,
Por tanto:
d yegua
d toro=
e( yegua
toro
)
6+(
4 2√
+1
3
)( yegua
toro
)
8
(
1+ 2√ )( yegua
toro
)
9
u+du
dtoro=
e(u)6+(
4 2√
+1
3
)
(u)8(
1+ 2√ )
(u)9
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La ED con matematicas en terminos de f(
y
x
)
O en matematicas:
−((
4 2√
+1
3
)
x4y8)
dx+((
1+ 2√ )
x3y9)
dy = ex6y6dx(
1+ 2√ )
x3y9dy = ex6y6dx+(
4 2√
+1
3
)
x4y8dx(
1+ 2√ )
x3y9dy
dx= ex6y6+
(
4 2√
+1
3
)
x4y8
dy
dx=
e x6y6+(
4 2√
+1
3
)
x4y8
(
1+ 2√ )
x3y9
dy
dx=
ex6y6+(
4 2√
+1
3
)
x4y8
(
1+ 2√ )
x3y9∗
1
x12
1
x 12
=ex
6y
6
x 12+(
4 2√
+1
3
)
x4y
8
x12
(
1+ 2√ )
x3y
9
x12
=ey
6
x6 +(
4 2√
+1
3
)
y8
x8
(
1+ 2√ )
y9
x9
=e(
y
x
)
6+(
4 2√
+1
3
)(
y
x
)
8
(
1+ 2√ )(
y
x
)
9
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Determinando si la ED es o no Homogenea.
u+ xdu
dx=
eu6+(
4 2√
+1
3
)
u8
(
1+ 2√ )
u9
Así, la ecuación:
−(toro4 ∗ yegua8)dx+(toro3 ∗ yegua9)dy=(toro5 ∗ yegua5)dx
O mas bien dicho la ED:
−(x4y8)dx+(x3y9)dy=(x5y5)dx
es una ED homogenea.
Y, adicionalmente la podemos transformar en:
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Ejemplo de como buscar la homogeneidad en una ED
Un ejemplo más formal e importante para entender cómo los exponentes setratan dentro de las ecuaciones para determinar la homogeneidad de estas es el
siguiente, tomemos la ED xdy
dx= y+ x2− y2
√
, donde x> 0 y determinemos sies o no homogénea. Analizemos cada término:
Primer término:
x1 ,
Segundo término:
y1,
Tercer término:
x2− y2√
= x2(
1−(
y2
x2
))
√
= x1 1−( y
x
)
2√
, donde vemos que el exponente
es también 1.
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Escribiendo la ED en la forma f(
y
x
)
Esto implica que si dividimos cada lado de la ecuación x dy
dx= y+ x2− y2
√
entre
x 1, entonces se puede obtener una ecuación de la forma dy
dx= F
( y
x
)
, como seevidencía a continuación:
x∗1
x
dy
dx= y∗
1
x+ x2− y2√
∗1
x
dy
dx=
y
x+
x2− y2√
x
dy
dx=
y
x+
x2− y2
x2
√
dy
dx=
y
x+ 1−
(
y
x
)
2√
Por tanto la ED si es homogénea.
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Metodologia para resolver una ED Homogenea de primer orden
Para resolver ED homogéneas utilizaremos los sigueinte 4 pasos, que describimos a continua-ción:
1. Determinamos Homogeneidad
a). Escribimos la ED en la forma:
dy
dx= f(x, y) o
dx
dy= f(y, x)
b). Multiplicamos la ED resultante por un factor adecuado que nos la convierta en laforma:
dy
dx= f
( y
x
)
odx
dy= f
(
x
y
)
2. Seleccionamos la sustitución adecuada:
u=y
xo v=
x
y
3. Desarrollamos la nueva ED (que ahora es separable y), que tiene la forma:
ydu
dx=F (u)− u o x
dv
dx=F (v)− v
4. Integramos e inmediatamente despues de aplicar la formula de integración regresamosa las variables originales.
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