Ecuación diferencial homogénea de primer orden: Concepto de Homogeneidad

Ecuación Diferencial Homogénea de

Primer Orden

CONCEPTO DE

HOMOGENEIDADpor Manuel Alejandro Vivas Riverol

Introdución

Según la Doctora Barbara Oakley profesora de ingeniería en el depar-tamento de ingeniería de sistemas e industrial de la universidadde Oakland en Rochester, Michigan; una de las formas no solo derecordar información si no también de comprenderla es realizandoanalogías y/o metáforas que realcionen la información que queremosaprender con conocimiento facil de recordar para nosotros.

En esta presentación utilizaremos la analogía como técnica de apren-dizaje para entender y recordar con facilidad el concepto de homoge-neidad para una Ecuación Diferencial de 1er orden.

01

Ejemplo de una analogía

Por ejemplo cuando visualizamos la corriente electrica como flujo de agua:

Figura 1. Analogía entre el flujo de agua y el flujo de carga eléctrica

02

Ejemplo 2: analogía

O cuando hacemos las metaforas para relacionar los CAtIONES conel signo (+) y los AnIONES con el signo (- , n EGATIVO) utilizandosus propias letras.

Por este motivo, te propongo realizar la siguiente analogía pararecordar cómo identificar una ED homogénea de primer orden.Cuando veas una ED escrita de esta forma:

M(x, y)dx+N(x, y)dy=0

Para determinar su homogeneidad corrobora que la suma de losexponentes para las variables de cada uno de sus términos sea lamisma.

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Es decir, supongamos que M = −Cxrys − Bxpyq y N = Axmyn,entonces:

−(Cxrys+Bxpyq)dx+Axmyndy=0 (1)

Donde A, B, C son funciones polinomiales también.

De tal manera de que si la suma TOTAL de los exponentes de cadatermino es la misma, es decir, siguiendo con la ecuación anterior:

r+ s= p+ q=m+n=K

Entonces la ED es homogenea.

Suma de las exponentes de cada término









Metafora sobre Homogeneidad de una ED de primer orden

Piensa sobre la homogeneidad de una ED de 1er orden como una ecuación cuyos términos sonDE NATURALEZA SIMILAR. Dicha naturaleza la determinan los exponentes de la ecuación.

Una metáfora podría ser la siguiente, los términos en (1) son:

1) −Cxrys,

2) −Bxpyq,

3) Axmyn

Entonces si decimos que:

x=TORO yy=Yegua









Ecuacion en terminos metaforicos

y tenemos la ecuación:

−((

4 2√

+1

3

)

x4y8)

dx+((

1+ 2√ )

x3y9)

dy= ex6y6dx (2)

podríamos decir:

−((

4 2√

+1

3

)

toro4 ∗ yegua8)

d toro +((

1 + 2√ )

toro3 ∗ yegua9)

d yegua =

e (toro6 ∗ yegua6)d toro (3)









Exponentes en el termino 1

Donde analizando cada término vemos que la CARGA TOTAL es la misma:

Termino 1: toro4 ∗ yegua8

* =CARGA

Figura 2. toro4 ∗ yegua8=CARGA12 porque 4+ 8= 12










Término 2: toro3 ∗ yegua9

* =CARGA

Figura 3. toro3 ∗ yegua9=CARGA12 porque 3+9 = 12










Término 3: toro ∗ yegua

* = CARGA

Figura 4. toro6 ∗ yegua6=CARGA12 porque 6+ 6= 12

6 6Alejandro Vivas Riverol









Descripcion de las figuras 2, 3 y 4

En las Figuras 2, 3 y 4, la homogeneidad está representada por lacantidad de sacos (por ejemplo de arina) que suman la CARGATOTAL del toro y la yegua en cada caso. Para los tres casos la cargatotal suma 12.

Este hecho nos permite UNIR ambos animales de carga en uno soloy SIMPLIFICAR nuestra dependencia de ambos, si los podemossustituir por otro animal y así utilizar un solo animal en vez de 2.

Esto, aplicado a matemáticas, necesita de cierto criterio algebraicopara realizar dicha UNIÓN de variables.









Criterio para convertir la ED en una función f(

y

x

)

0 f(

x

y

)

función de la forma:dy

dx=F

( y

x

)

[o en su defecto de la formadx

dy=F

(

x

y

)

]

y así poder sustituir la unión de x e y por una nueva variable, reduciendonuestra función a depender de solo una variable (la variable x) en vez dedos (x e y).

Este criterio es el de utilizar la suma total de los exponentes, que en cadatérmino es la misma (en este caso 12), para que sirva de exponente de x

o y (según nos convenga) con la cual dividiremos la ED para obtener una









Como multipliacamos x o y con el nuevo esponente para obtener

f(

y

x

)

o f(

y

x

)

Veamos el siguiente desarrollo, primero escribimos la ecuación (3) en la formady

dx=F (x, y)

−((

4 2√

+1

3

)

toro4 ∗ yegua8)

d toro +((

1 +

2√ )

toro3 ∗ yegua9)

d yegua = e (toro6 ∗ yegua6)dx((

1+ 2√ )

toro3 ∗ yegua9)

d yegua = e (toro6 ∗ yegua6)dx +((

4 2√

+1

3

)

toro4 ∗ yegua8)

d toro((

1+ 2√ )

toro3 ∗ yegua9)d yegua

d toro= e (toro6 ∗ yegua6) +

((

4 2√

+1

3

)

toro4 ∗ yegua8)

d yegua

d toro= e (toro6 ∗ yegua6) +

((

4 2√

+1

3

)

toro4 ∗ yegua8)

((

1+ 2√ )

toro3 ∗ yegua9)









Multipliacamos1

variable (xoy)exponente total

1

toro12

Ahora, utilizamos la variable «toro» con el exponenete 12, para dividir toda la ED:

d yegua

d toro=

e (toro6 ∗yegua6)+((

4 2√

+1

3

)

toro4 ∗yegua8)

((

1+ 2√ )

toro3 ∗yegua9) ∗

1

toro12

1

toro12

Y desarrollamos:

d yegua

d toro=

e(toro6 ∗ yegua6)

toro 12+

((

4 2√

+1

3

)

toro4 ∗ yegua8)

toro 12((

1+ 2√ )

toro3 ∗ yegua9)

toro 12

=e

(yegua6)

toro 6 +

((

4 2√

+1

3

)

yegua8)

toro 8((

1+ 2√ )

yegua9)

toro 9

=e( yegua

toro

)

6+(

4 2√

+1

3

)( yegua

toro

)

8

(

1+ 2√ )( yegua

toro

)

9

, paranuestro caso









Sustituimosy

xo

x

ypor la nueva varaible, en este caso u.

Y ahora podemos depender solo de un «ñu» por ejemplo:

yegua

toro=u: ñu que tenga la fuerza de los otros

dos.









La ED escrita con la nueva varaible

De manera que transformemos la ED en:yegua

toro=u ⇒ yegua=u ∗toro ⇒

d yegua

d toro=u+

du

d toro,

Por tanto:

d yegua

d toro=

e( yegua

toro

)

6+(

4 2√

+1

3

)( yegua

toro

)

8

(

1+ 2√ )( yegua

toro

)

9

u+du

dtoro=

e(u)6+(

4 2√

+1

3

)

(u)8(

1+ 2√ )

(u)9









La ED con matematicas en terminos de f(

y

x

)

O en matematicas:

−((

4 2√

+1

3

)

x4y8)

dx+((

1+ 2√ )

x3y9)

dy = ex6y6dx(

1+ 2√ )

x3y9dy = ex6y6dx+(

4 2√

+1

3

)

x4y8dx(

1+ 2√ )

x3y9dy

dx= ex6y6+

(

4 2√

+1

3

)

x4y8

dy

dx=

e x6y6+(

4 2√

+1

3

)

x4y8

(

1+ 2√ )

x3y9

dy

dx=

ex6y6+(

4 2√

+1

3

)

x4y8

(

1+ 2√ )

x3y9∗

1

x12

1

x 12

=ex

6y

6

x 12+(

4 2√

+1

3

)

x4y

8

x12

(

1+ 2√ )

x3y

9

x12

=ey

6

x6 +(

4 2√

+1

3

)

y8

x8

(

1+ 2√ )

y9

x9

=e(

y

x

)

6+(

4 2√

+1

3

)(

y

x

)

8

(

1+ 2√ )(

y

x

)

9









Determinando si la ED es o no Homogenea.

u+ xdu

dx=

eu6+(

4 2√

+1

3

)

u8

(

1+ 2√ )

u9

Así, la ecuación:

−(toro4 ∗ yegua8)dx+(toro3 ∗ yegua9)dy=(toro5 ∗ yegua5)dx

O mas bien dicho la ED:

−(x4y8)dx+(x3y9)dy=(x5y5)dx

es una ED homogenea.

Y, adicionalmente la podemos transformar en:









Ejemplo de como buscar la homogeneidad en una ED

Un ejemplo más formal e importante para entender cómo los exponentes setratan dentro de las ecuaciones para determinar la homogeneidad de estas es el

siguiente, tomemos la ED xdy

dx= y+ x2− y2

√

, donde x> 0 y determinemos sies o no homogénea. Analizemos cada término:

Primer término:

x1 ,

Segundo término:

y1,

Tercer término:

x2− y2√

= x2(

1−(

y2

x2

))

√

= x1 1−( y

x

)

2√

, donde vemos que el exponente

es también 1.









Escribiendo la ED en la forma f(

y

x

)

Esto implica que si dividimos cada lado de la ecuación x dy

dx= y+ x2− y2

√

entre

x 1, entonces se puede obtener una ecuación de la forma dy

dx= F

( y

x

)

, como seevidencía a continuación:

x∗1

x

dy

dx= y∗

1

x+ x2− y2√

∗1

x

dy

dx=

y

x+

x2− y2√

x

dy

dx=

y

x+

x2− y2

x2

√

dy

dx=

y

x+ 1−

(

y

x

)

2√

Por tanto la ED si es homogénea.









Metodologia para resolver una ED Homogenea de primer orden

Para resolver ED homogéneas utilizaremos los sigueinte 4 pasos, que describimos a continua-ción:

1. Determinamos Homogeneidad

a). Escribimos la ED en la forma:

dy

dx= f(x, y) o

dx

dy= f(y, x)

b). Multiplicamos la ED resultante por un factor adecuado que nos la convierta en laforma:

dy

dx= f

( y

x

)

odx

dy= f

(

x

y

)

2. Seleccionamos la sustitución adecuada:

u=y

xo v=

x

y

3. Desarrollamos la nueva ED (que ahora es separable y), que tiene la forma:

ydu

dx=F (u)− u o x

dv

dx=F (v)− v

4. Integramos e inmediatamente despues de aplicar la formula de integración regresamosa las variables originales.











Dynamic Systems Intelligence

Manuel Alejandro Vivas Riverol

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Se pueden ver varios ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas con el método propuesto en el siguiente artículo, dar un click sobre el nombre: Ecuacion Diferencial Homogenea de Primer Orden



http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/ecuacion-diferencial-homogenea-de-primer-orden-2

Manuel Alejandro Vivas Riverol

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Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

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