CURVAS PLANAS Y ECUACIONES

PARAMETRICAS

CALCULO VECTORIAL

Considérese la trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45°. Si la velocidad inicial del objeto es de 48 pies por segundo, el objeto recorre la trayectoria

parabólica dada por 𝑦 = −𝑥2

72+ 𝑥

De acuerdo con el ejemplo, no nos está proporcionando los datos que necesitamos, aunque nada más dice que en donde se encuentra el objeto más no en que tiempo se

da. Para ellos además de las variables X y Y se utilizará una variable más que es la letra “t” que es conocida como parámetro. Expresando x y y como funciones de t, se

obtienen ecuaciones paramétricas.

𝑥 = 24 2𝑡 Ecuación Paramétrica para x

𝑦 = −16𝑡2 + 24 2𝑡 Ecuación Paramétrica para y

A partir de esas ecuaciones, se puede determinar que en el instante t = 0, el objeto se encuentra en el punto (0 , 0), porque:

𝑥 = 24 2𝑡 = 24 2 0 = 0

𝑦 = −16𝑡2 + 24 2𝑡 = −16 0 2 + 24 2 0 = 0

∴ (0,0)

Y si lo hacemos, cuando t = 1:

𝑥 = 24 2𝑡 = 24 2 1 = 24 2

𝑦 = −16𝑡2 + 24 2𝑡 = −16 1 2 + 24 2 1 = −16 + 24 2 = 24 2 − 16

∴ (24 2, 24 2 − 16)

Y con estos pasos se puede encontrar nuevas coordenadas cuando t tiene diferentes valores.

Este problema de movimiento, X y Y son funciones continuas de t, y a la trayectoria resultante se le conoce como curva plana

CURVA PLANA

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las ecuaciones

x=f(t) y y=g(t)

Se les llama ecuaciones paramétricas y a “t” se le llama parámetro. Al conjunto de puntos (x , y) que se obtiene cuando t varía en el intervalo I se le llama la gráfica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la

gráfica, juntas, es a lo que se llama una curva plana, que se denota por C.

EJEMPLO: Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas:

𝑥 = 𝑡2 − 4 𝑦 =𝑡

2− 2 ≤ 𝑡 ≤ 3

En la siguiente tabla ya se muestran los resultados (los cálculos se hacen en la mente o en la calculadora para comprobar resultados):

t -2 -1 0 1 2 3

x 0 -3 -4 -3 0 5

y -1 -1/2 0 1/2 1 3/2

PASOS PARA LA ELIMINACION DEL PARAMETRO

ECUACIONES PARAMETRICAS

DADAS

DESPEJAR t DE UNA DE LAS ECUACIONES

SUSTITUIR EN LA OTRA ECUACION (LA

QUE NO FUE DESPEJADA)

SE OBTIENE LA ECUACION

RECTANGULAR

EJEMPLO: Dibujar la curva representada por las ecuaciones

𝑥 =1

𝑡 + 1𝑦 𝑦 =

𝑡

𝑡 + 1𝑡 > −1

eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular resultante.

SOLUCION:

De acuerdo con los pasos:

𝑥 =1

𝑡 + 1

𝑡 + 1 =1

𝑥

𝑡 + 1 =1

𝑥

2

𝑡 =1

𝑥

2

− 1 =1

𝑥2− 1

𝑦 =𝑡

𝑡 + 1=

1𝑥2

− 1

1𝑥2

− 1 + 1=

1𝑥2

−𝑥2

𝑥2

1𝑥2

=

1 − 𝑥2

𝑥2

1𝑥2

= 1 − 𝑥2

∴ 𝑦 = 1 − 𝑥2

𝑥 =1

𝑡 + 1𝑦 𝑦 =

𝑡

𝑡 + 1𝑡 > 1

t 0 1 2 3 4

x 1 1

2

1

3

1

2

1

5

y 0 ½ 2/3 ¾ 4/5

A continuación se presentarán dos graficas, la primera representa lo que son las ecuaciones paramétricas y la

segunda con el resultado que se obtuvo dando una ecuación rectangular.

EJEMPLOS: Dibujar la curva representada por 𝑥 = 5 cos 𝜃 𝑦 𝑦 = 9 𝑠𝑒𝑛 𝜃

al eliminar el parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente.

SOLUCION:

*Primero se despeja sen θ y cos θ

𝑥 = 5 cos 𝜃 𝑦 𝑦 = 9 𝑠𝑒𝑛 𝜃

cos 𝜃 =𝑥

5𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =

𝑦

9

*Después, por identidad trigonométrica, se obtiene lo siguiente:

𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1

𝑦

9

2

+𝑥

5

2

= 1

𝑦2

81+𝑥2

25= 1

A continuación se presentarán dos graficas, la primera representa lo que son las ecuaciones paramétricas y la

segunda con el resultado que se obtuvo dando una ecuación rectangular.

EJEMPLO: Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de 𝑦 = 1 − 𝑥2, usando cada uno de los parámetros siguientes:

a) t = x b) La pendiente 𝑚 =𝑑𝑦

𝑑𝑥en el punto (x , y)

SOLUCION:

a)

x = t

𝑦 = 1 − 𝑥2 = 𝟏 − 𝒕𝟐

b)

𝑚 =𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥1 − 𝑥2 = −2𝑥

𝑚 = −2𝑥

𝒙 = −𝒎

𝟐

Y de acuerdo con el resultado del inciso a) se obtiene lo siguiente:

𝑦 = 1 − 𝑡2𝑦 = 1 − −𝑚

2

2

= 𝟏 −𝒎𝟐

𝟒

Así que de forma definitiva, las ecuaciones paramétricas son:

𝑥 = −𝑚

2𝑦 = 1 −

𝑚2

4

Y GRAFICANDO SE OBTIENE LO SIGUIENTE (DE ECUACION RECTANGULAR Y ECUACION PARAMETRICA):

BIBLIOGRAFIAS

LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, “Cálculo de varias variables. Matemáticas 3”, 1ra Edición, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 págs.

Swokowski, Earl, “Cálculo con geometría analítica”, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da Edición, Estados Unidos de América, 1097

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