CRECIMIENTO CRECIMIENTO EXPONENCIALEXPONENCIAL

El número de bacterias de un cultivo El número de bacterias de un cultivo aumenta 20% por minuto. Es decir la aumenta 20% por minuto. Es decir la tasa de crecimiento de la población de tasa de crecimiento de la población de bacterias es constante. Si inicialmente bacterias es constante. Si inicialmente hay 1 000 bacterias. ¿cuántas habrá hay 1 000 bacterias. ¿cuántas habrá luego de tres minutos?luego de tres minutos?

Después de un minuto, el número de Después de un minuto, el número de bacterias será 1 000 más el 20% de bacterias será 1 000 más el 20% de 1000.1000.

Como Como

habrá 1200 bacterias al cabo de un minuto.habrá 1200 bacterias al cabo de un minuto.

Después de dos minutos: Después de dos minutos:

Luego de tres minutosLuego de tres minutos

1 0001 0002020

1001001 0001 000 1 0001 000 200200 1 2001 200

1 2001 2002020

1001001 2001 200 1 2001 200 240240 1 4401 440

1 4401 4402020

1001001 4401 440 1 4401 440 288288 1 6281 628

Si A es el número de bacterias y r, la Si A es el número de bacterias y r, la tasa de crecimiento por minuto, tasa de crecimiento por minuto, entonces en el primer minuto habrá entonces en el primer minuto habrá A + rA bacterias. En el segundo, el A + rA bacterias. En el segundo, el número de bacterias será la que número de bacterias será la que había al término del primer minuto había al término del primer minuto (A + rA) más el crecimiento (A + rA) más el crecimiento correspondiente correspondiente

r (A rA)

Entonces A + rA + r(A + rA)= A + Entonces A + rA + r(A + rA)= A + 2Ar + Ar² = A (1 + 2r + r²) = A (1 + 2Ar + Ar² = A (1 + 2r + r²) = A (1 + r)², A(1 + r)² es el número de r)², A(1 + r)² es el número de bacterias al final del segundo minuto.bacterias al final del segundo minuto.

En el tercer minuto, habrá el número En el tercer minuto, habrá el número de bacterias del segundo minuto A(1 de bacterias del segundo minuto A(1 + r)² mas el incremento respectivo:+ r)² mas el incremento respectivo:

A (1 r) 2r

A(1 + r)² + rA(1 + r)² = (A + rA)(1 A(1 + r)² + rA(1 + r)² = (A + rA)(1

+ r)² = A(1 + r)(1 + r)²= A(1 + r)³.+ r)² = A(1 + r)(1 + r)²= A(1 + r)³.

A(1 + r)³ es el número de A(1 + r)³ es el número de

bacterias que hay al concluir el bacterias que hay al concluir el

tercer minuto. tercer minuto.

Si se concentran los valores en una Si se concentran los valores en una

tabla, es posible encontrar una tabla, es posible encontrar una

expresión para calcular el número de expresión para calcular el número de

bacterias en bacterias en nn minutos. minutos.

TiempoTiempo 00 11 22 33 ...... nn

Núm. de BacteriasNúm. de Bacterias AA A(1+r)A(1+r) A(1+r)²A(1+r)² A(1+r)³A(1+r)³ ...... A(1+r)A(1+r)nn

Por ejemplo, si se quiere saber cuántas bacterias habrá en cinco minutos, se calcula:

1 000 = 1 000(1.2)5

= 1 000(2.48832)

= 2 488.32

Entonces a los cinco minutos habrá 2 488 bacterias.

5

10020

1

La gráfica de la función 1 000 (1.2)La gráfica de la función 1 000 (1.2)tt se se

presenta en seguida.presenta en seguida.

Las funciones de la forma kaLas funciones de la forma kaxx es una es una

constante diferente de cero, a una constante diferente de cero, a una

constante positiva y x la variable constante positiva y x la variable

independiente, se llaman funciones independiente, se llaman funciones

exponenciales. En el ejemplo, la función exponenciales. En el ejemplo, la función

A(1 + r)A(1 + r)tt es una función exponencial es una función exponencial

porque A y (1 + r) son constantes y t es la porque A y (1 + r) son constantes y t es la

variable independiente tiempo.variable independiente tiempo.

Una lista de números de la forma a, ar,

ar², ar³, ar4, ar5, ar6 ... es una sucesión de

crecimiento exponencial también

llamada de crecimiento geométrico.

La lista presenta

crecimiento geométrico, porque se

puede escribir como:

1,

1, 1

2,

1

4,

1

8,

1

16

,21

,21

2

,21

3

...

21

4

EJERCICIOSEJERCICIOS

a) Una persona deposita en el Una persona deposita en el banco $100,000.00. Si la tasa banco $100,000.00. Si la tasa de interés es 25% anual y los de interés es 25% anual y los intereses reinvierten como intereses reinvierten como capital cada año, ¿cuál es el capital cada año, ¿cuál es el capital depositado después capital depositado después de uno, dos, tres y cuatro de uno, dos, tres y cuatro años?años?

b) El Sr. Gómez depositó $200,000.00 en una cuenta de ahorro. Si la tasa de interés anual es 19% y los intereses se reinvierten como capital cada año, ¿cuánto dinero tendrá el Sr. Gómez al finalizar uno, dos, tres, cuatro y cinco años?

c)Elabora la gráfica de los Elabora la gráfica de los valores obtenidos en valores obtenidos en

el inciso anterior. Recuerda el inciso anterior. Recuerda que, en el tiempo que, en el tiempo

tt = 0, el capital es $ 200 000. = 0, el capital es $ 200 000.

d) Se depositan en un banco Se depositan en un banco $200,000.00; la tasa de interés es $200,000.00; la tasa de interés es 21% anual y los intereses se 21% anual y los intereses se reinvierten cada año. Calcula reinvierten cada año. Calcula qué cantidad de dinero se tiene qué cantidad de dinero se tiene en el banco después de uno, dos, en el banco después de uno, dos, tres, cuatro y cinco años. tres, cuatro y cinco años. Elabora la gráfica Elabora la gráfica correspondiente.correspondiente.

e) La velocidad de un cohete es 360 La velocidad de un cohete es 360 km/h. Si ésta aumenta con una km/h. Si ésta aumenta con una tasa de crecimiento constante de tasa de crecimiento constante de 65% cada minuto, ¿cuál es la 65% cada minuto, ¿cuál es la velocidad del cohete después de velocidad del cohete después de uno, dos, tres, cuatro y cinco uno, dos, tres, cuatro y cinco minutos?minutos?

Elabora la gráfica respectiva.Elabora la gráfica respectiva.

f)Se estima que la población Se estima que la población mundial en 1995 era 5.69 mundial en 1995 era 5.69 miles de millones de miles de millones de personas. Si la población personas. Si la población creciera a una tasa constante creciera a una tasa constante de 2.9% anual, ¿cuántos de 2.9% anual, ¿cuántos habitantes habría en el año habitantes habría en el año 2000?2000?

a)a) 1, 3, 9, 27, 81... 1, 3, 9, 27, 81...

b)b) 1, 1,

c)c)

d)d) 4, 2, 1, 4, 2, 1,

e)e) 1, 10 1, 1066, 10, 101212, 10, 101818, 10, 102424

f)f) 7, 7 7, 777, 7, 71414, 7, 72121, 7, 72828......

2 Comprueba que las siguientes sucesiones Comprueba que las siguientes sucesiones presentan crecimiento geométrico e indica la presentan crecimiento geométrico e indica la tasa de crecimiento de cada una.tasa de crecimiento de cada una.

12

, 1

10,

150

, 1

250,

11 250

...81

16,

27

8,

9

4,

3

2

...4

1,

2

1

3

Calcula el séptimo Calcula el séptimo término de la primera término de la primera colección de la colección de la actividad anterior.actividad anterior.

4

Obtén los términos octavo, Obtén los términos octavo, noveno y décimo de la noveno y décimo de la segunda colección anterior.segunda colección anterior.

5

Indica qué lugar ocupa el Indica qué lugar ocupa el número en la número en la

cuarta sucesión de la cuarta sucesión de la actividad 2.actividad 2.

64

1