Post on 14-Sep-2020
CLASE 01: Modelo de crecimiento exponencialIntroducción a las Ecuaciones Diferenciales
Faculad de Ciencias, UNAM Facultad de Ciencias, UNAM
El Problema de Valores InicialesEl modelo de crecimiento exponencial estáplanteado con el PVI siguiente:
p′(t) = kp(t), t > t0,
p(t0) = p0
El fenómeno
Supongamos que queremos estudiar cómo unapoblación crece o decrece a través del tiempo.El supuesto fundamental:En condiciones ideales (abundancia de recursosy espacio suficiente) es razonable suponer quelas tasas de nacimiento y muerte son uniformesen el tiempo (i.e. son las mismas en cualquiermomento) e independientes del tamaño de lapoblación.
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El modelo
Supongamos que p0 > 0 es el tamaño de la población altiempo inicial t0 ≥ 0. Sea p(t) el tamaño de la poblaciónal tiempo t, para cualquier t > t0. Queremos encontrar elmejor modelo para p(t). Sean
kbirth := tasa de nacimiento x u. de tiempokdeath := tasa de muerte x u. de tiempo
En un lapso de tiempo arbitrariamente pequeño (t, t+h), elnúmero de nacimientos y de muertes son aproximadamenteiguales a
kbirth p(t)∆t y kdeath p(t)∆t,
respectivamente, donde ∆t := h.
Por lo tanto, la variación poblacional (crecimiento o decre-mento) durante el pequeño intervalo de tiempo (t, t + h) esaproximadamente
∆p ≈ kbirth p(t)∆t − kdeath p(t)∆t,
donde ∆p = p(t + h)− p(t). Equivalentemente∆p
∆t≈ kp(t),
donde
k = kbirth − kdeath,
es la razón neta de variación de población.En consecuencia
p′(t) = lim∆t→0
∆p
∆t= kp(t)
En otras palabras, la tasa de variación poblacional (quepuede ser creciente o decreciente) al tiempo t es propor-cional a la población presente al tiempo t.
Solución
Si suponemos que p(t) > 0 para cada t ≥ t0, entoncespodemos reescribir
1
p(t)p′(t) = k .
De donde, para cada t > t0,∫ t
t0
1
p(s)p′(s)ds =
∫ t
t0
kds
En cuanto a la integral de la izquierda, con el cambio u = p,tenemos ∫ t
t0
1
p(s)p′(s)ds =
∫ p(t)
p0
1
udu = log
p(t)
p0.
En consecuencia,
logp(t)
p0= k(t − t0).
Equivalentemente
p(t) = p0ek(t−t0), t > t0.
t
p
p(t) = p0ek(t−t0), t ≥ t0
población creciente, k > 0
t0
p0
t
p
p(t) = p0ek(t−t0), t ≥ t0
población decreciente, k < 0
t0
p0
CLASE 01: Modelo de crecimiento exponencialIntroducción a las Ecuaciones Diferenciales
Faculad de Ciencias, UNAM Facultad de Ciencias, UNAM
Teorema (Solución General)
Dada una constante fija k ∈ R, la solución general de laecuación diferencial
p′(t) = kp(t), t ∈ R, (1)
es de la forma
p(t) = Cekt, t ∈ R, (2)
donde C es una constante arbitraria.
Demostración
Primero vamos a comprobar que una función de la forma(2) es solución de (1). Sea p una función de la forma (2).Entonces para cada t,
p′(t) = Ckekt = kCekt = kp(t).
Lo que muestra efectivamente que toda función de la forma(2) es solución de (1).En segundo lugar debemos mostrar que cualquier otra solu-ción de (1) tiene la forma (2). Para ello, supongamos quep es cualquier solución de (1), y sea
u(t) = p(t)e−kt para cada t ∈ R.Entonces, para cada t ∈ R,
u′(t) = −kp(t)e−kt + kp(t)e−kt = 0.
Se sigue que u es una función constante. Esto es, paraalguna constante C ,
u(t) = C para cada t ∈ R.Por lo tanto
p(t) = Cekt, t ∈ R.
Curvas Integrales
Las siguientes gráficas muestran las curvas solución de laecuación diferencial (1) para distintos valores de C .
t
p(t) = Cekt
k > 0
t
p(t) = Cekt
k < 0
En el caso del PVI(t0, p0), observe que C = p0e−kt0.
El Teorema de Cambio de Variables(Sustitución)
Si g es una función de clase C1 sobre un intervalo [a, b]
y f es una función continua, entonces f (g(x))g ′(x) esuna función intregrable sobre [a, b] y∫ b
a
f (g(x))g ′(x) dx =
∫ g(b)
g(a)
f (u)du.
Demostración
Si F es una primitiva de f , esto es, F ′ = f , entonces∫ g(b)
g(a)
f (u)du = F (g(b))− F (g(a)).
Y por otra parte, usando la regla de la cadena,
(F ◦ g)′ = (F ′ ◦ g)g ′ = (f ◦ g)g ′.
Por lo que F ◦ g es una primitiva de (f ◦ g)g ′. Luego∫ b
a
f (g(x))g ′(x) dx = F (g(b))− F (g(a)).
De donde se sigue la igualdad del teorema.
Lecturas recomendadas
1 Sección 1.3. “Ecuaciones diferenciales como modelosmatemáticos”. Del libro Ecuaciones diferenciales deDennis G. Zill y Michael R. Cullen.
2 Sección 1.1. “Modelación por medio de ecuacionesdiferenciales”. Del libro Ecuaciones diferenciales dePaul Blanchard, Robert L. Devaney, Glen R. Hall.