Post on 17-Apr-2020
Capıtulo 8 2a. Edicion
Patrones No-Idealesde Flujo
Dr. Fernando Tiscareno Lechuga
Departamento de Ingenierıa Quımica
Instituto Tecnologico de Celaya
Introduccion
�Modelos para flujo “real”•Distribucion de tiempos de residencia (Datos)
•Dispersion axial (DL)
•Tanques agitados en serie (n)
� 6= Tapon: Flujo laminar (0 parametros)
�Datos experimentales especıficos:¡imprescindible!•DL y n V Optimizacion de 1 parametro
• ¿Vale la pena “complicar” los modelos continuosideales? V Incertidumbres de los parametros
(incluyendo los cineticos)
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p2
Continuo de Tanque Agitado
Alimentación
Producto����������� �������������� ����� ��������������� ����! ���"����������#��$��%�& �����'� � ����$�������$��
()�*� ��,+-����./��������0+1����������32'�4������� � ����� �5��$������6�-�����$�����
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AB����� ���:�� ��������� C����$�����$���� ����$��%���������� & �������
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p3
Tubular
�Desviaciones de la suposicion “tapon”•Efectos de los extremos◦ Turbulencia (6= Re↑)◦ Zonas muertas
◦ Distribuidores (Manifold)
•Perfiles “desarrollados”◦Mezclado axial y radial (turbulencia)
◦ Pelıcula en la pared del tubo
◦ Flujo laminar (¡que es un modelo ideal!)
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p4
Lecho Empacado
�Desviaciones de la suposicion “tapon”•Cambios de direccion al sortear el catalizador◦Mezclado al encontrarse elementos con diferentes trayectorias
•Empacado no-uniforme, εB◦ Proximidad a la pared > Resto
• ¿∆P? ¿Canalizacion? ¿dP uniforme? ¿dP/D?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p5
Datos Dinamicos
�Trazador•No se degrada o reacciona, inocuo y barato
•Facil de cuantificar◦ Espectrofotometro, conductımetro (pH), cromatografo,...
◦ Tecnicas gravimetricas o volumetricas
• ¿Componente radioactivo? Sı pero...
•Adquisicion en lınea◦ OK, pero ¡verificar el tiempo de respuesta!
• ¿Concentracion del trazador?◦ No saturar el detector
◦ ¿Lımites de deteccion e incertidumbres del analisis?
◦ Evitar maximos o mınimos en curvas de calibracion
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p6
Datos Dinamicos
�Perturbaciones•Mas comunes y faciles de analizar:
•Funcion Escalon
•Funcion Pulso
• ¿Como realizar dichas perturbaciones? ¿Trivial?◦ ¡No se deben afectar los perfiles de velocidad!
◦ ¿Pulso para tanque agitado o tubular? ¿Mezclado del trazador?
◦ ¿Escalon? ¡Difıcil hacerlo bien!
� Perturbacion V Detector a la salida
V Curva de Calibracion V Respuesta: Ctrazador
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p7
Datos Dinamicos
�Respuestas•Obtenerlas a condiciones de operacion
•De ser posible: ¡reaccionando!
•Tiempo de Residencia
◦ Para lıquidos: t = VRV0
◦ Para gases:
t =
∫ VR
0
dVR
V
¿Trivial? ¡NO! V Resto de la discusion: fase lıquida
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p8
Tubular
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�
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����� ������ � � � � � �� ����� ���������
�
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
∆ t
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p9
Tanque Agitado
����� ������������ �������������
���
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� �"!#%$ &('*),+-�/.�0 � �21
0.631 6= 0.618 (Seccion dorada)
������������ � � � � � �� ����� ��������
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
∆ t
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p10
Distribucion de Tiempos de Residencia
�Funciones de Probabilidad•Funcion acumulada, pt(t)◦ Es una fraccion y representa la probabilidad de que un elemento
de volumen que entra con la alimentacion cruce el plano de lasalida del reactor en un tiempo igual o menor a t
◦ pt(0) = 0, y pt(∞) = 1
•Distribucion, Dpt(t) = d[pt(t)]dt
◦ El area bajo su curva representa la probabilidad de que el elementode volumen salga entre los lımites de tiempo seleccionados
◦ Debe estar “normalizada” la distribucion:∫∞
0 Dpt(t) dt = 1
�Aun en estado estacionario, estas funciones ¡cambian!
pero...c©Dr. Fernando Tiscareno L./p11
Distribucion de Tiempos de Residencia
•Tiempo de residencia experimental (gases o lıquidos)
t =
∫ ∞0
tDpt(t) dt =
∫ 1
0
td[pt(t)] (8.1ayb)
•Obtencion de las funciones:
◦ Funcion escalon (Favorecer uso de Ecuacion 8.1a):
pt(t) =C − C0
C+ − C0(8.2)
◦ Funcion pulso (Favorecer uso de Ecuacion 8.1b):
Dpt(t) =C − C0∫∞
0 (C − C0) dt(8.3)
◦ ¿Que es el termino en el numerador de la Ecuacion 8.3?
◦ NOTA: Evitar derivacion numerica porque es poco confiable
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p12
Ejemplo 8.1Operacion estable con C0 = 0.122 MPerturbacion escalon con C+ = 0.548 M
t, s 10 20 30 45 60 90 120 200 400 1000C, M 0.126 0.143 0.207 0.314 0.378 0.484 0.505 0.527 0.544 0.547
a) Obtenga pt(t)b) Polinomio de orden 4c) t por trapeciosd) t con el polinomio
• a) De los datos V Funcion acumulada; ¿Por que?
pt(t) =C − C0
C+ − C0=
0.126− 0.122
0.548− 0.122= 0.0094
t, s 0 10 20 30 45 60 90 120 200 400 1000pt(t), M 0.0000 0.0094 0.0493 0.1995 0.4507 0.6009 0.8498 0.8991 0.9507 0.9906 0.9977
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p13
Ejemplo 8.1 (Continuacion 1)
• b) Polinomio de 4o orden
�����
�����
�����
�����
� ��� ��� ��� ��� �����
���� ��
��������� �"!#
¿Predice los datos? ≈; ¿y para interpolar?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p14
Ejemplo 8.1 (Continuacion 2)
•Dos ajustes parcialesDatos: Polinomio t ≤ 120s y tipo Monod t ≥ 90s
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 200 400 600 800 1000
p t(t)
Tiempo, s
Ajuste con polinomio de 3er orden
Ajuste tipo Monod
• Ecuaciones acotadas a regiones:pt(t) = −0.005989− 0.00234 t + 0.0003846 t2 − 2.816× 10−6 t3
pt(t) =t
14.052 + 0.9865 t
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p15
Ejemplo 8.1 (Continuacion 3)
• c) Integrando por trapecios: t ≈ 70.7 s ¿cual es x? ¿cual es y?
t =
∫ 0.9977
0
td[pt(t)]
≈ (t1 + t2)
2· [pt(t)2 − pt(t)1] +
(t2 + t3)
2· [pt(t)3 − pt(t)2] + . . . +
(tn−1 + tn)
2· [pt(t)n − pt(t)n−1]
≈ (0 + 10)
2· [0.0094− 0] +
(10 + 20)
2· [0.0493− 0.0094] + . . . +
(400 + 1000)
2· [0.9977− 0.9906]
• Con “ajustes” no podemos utilizar directamente∫td[pt(t)]
•V t =∫∞
0 tDpt(t) dt. Derivamos analıticamente
Dpt(t) = −0.00234 + 0.0007692 t− 8.448× 10−6 t2 Dpt(t) = 14.052(14.052+0.9865 t)2
• ¿Y los lımites de integracion? V [pt(t)]A = 0; [pt(t)]A− [pt(t)]B = 0 y [pt(t)]B = 1
Las curvas se cruzan en 88.03 y 117.61 s; ¿Cual?
t =
∫ 88.03
0 (0.003217 t + 0.0003960 t2 − 4.026× 10−6 t3)dt +∫ 1000
88.0314.052 t
(14.052+0.9865 t)2dt∫ 88.03
0 (0.003217 + 0.0003960 t− 4.026× 10−6 t2)dt +∫ 1000
88.0314.052
(14.052+0.9865 t)2dt
• t ' 71.32 s ¿Normalizacion? pt(1000) = 0.9977
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p16
Modelo de Flujo Segregado•Basado en Distribucion de Tiempos de Residencia
•∑ reactorcitos-por-lotes infinitesimales e independientes
•Una reaccion lıquida y solucion analıtica para frl
frl =
∫ ∞0
Dpt(t) frl(t) dt (8.4a)
•Cineticas complejas y/o varias reacciones lıquidasdCidt
= ri (4.8)
dCidt
= Dpt(t)Ci (8.5)
◦ 2× nrxn ODEs simultaneas (mınimo)
◦ Para datos de un pulso favorecer calculos con Dpt(t)
◦ Integrar de t = 0 hasta t =∞
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p17
Modelo de Flujo Segregado•Una reaccion lıquida:
frl =
∫ 1
0frl(t) d[pt(t)] (8.4b)
•Cineticas complejas y/o varias reacciones lıquidasdCidt
= ri (4.8)
Ci =
∫ 1
0Ci(t) d[pt(t)] (8.6)
◦ Procedimiento numerico mas complejo (t es el “enlace”)
◦ Para datos de un escalon favorecer calculos con pt(t)
◦ Integrar de pt(0) = 0 hasta pt(∞) = 1
◦ Error conceptual comun: Evaluar efluente con t
¡frl 6= frl(t)! ¡Ci 6= Ci(t)!
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p18
Modelo de Flujo Segregado
• ¿Fase gaseosa?
◦ Si alguna ∆νr 6= 0, la extension no es directa
◦ En fase lıquida, puede ser OK datos sin reaccionPara gases, en los experimentos ¡debe existir la expansion!
◦ Considerar reactorcitos-por-lotes de volumen variable◦ Suponiendo condiciones isotermicas e isobaricas
dξrdt
= r r
(RT
PT
)(nT 0 +
nrxn∑r=1
∆νr ξr
)(8.7)
Ci =yi PTRT
=PTRT
(ni0 +
∑nrxnr=1 νir ξr
nT 0 +∑nrxn
r=1 ∆νr ξr
)(8.8)
◦ ¿Y nT porque para reactores continuos? V Seleccionar B.C.
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p19
Modelo de Flujo Segregado• ¿Operacion no-isotermica?
◦ Posible si conociesemos T = F(t) para los reactorcitos
◦ Si tα = tβ
αβ
αβ
����� � ������
���
αβ
αβ
a) Caso isotérmico:
b) Caso no-isotérmico:
¿fα = fβ?
• ¿Si PT 6= Cte?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p20
Ejemplo 8.2Reactor continuo en fase lıquida
2A� B r1 = k1CA2 − k′1CB
2B → Subproductos r2 = k2CB
Dpt(t) =
{0.01334 t− 8.89× 10−4 t2 + 1.48× 10−5 t3 si 0 ≤ t ≤ 30 min
0 si t > 30
¿fA1 y SA B1? (subındice k indicando salida, 6= r)
a) Modelo de flujo segregadob) Flujo taponc) Continuo de Tanque Agitado (ideal)
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p21
Ejemplo 8.2 (Continuacion 1)
• a) Ecuaciones diferenciales ordinarias simultaneas(¿hasta t =∞ o 30 s?)
dCAdt
= −2 k1C2A + 2 k′1CB
dCBdt
= k1C2A − k′1CB − 2 k2CB
dCA
dt= (0.01334 t− 8.89× 10−4 t2 + 1.48× 10−5 t3)CA
dCB
dt= (0.01334 t− 8.89× 10−4 t2 + 1.48× 10−5 t3)CB
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 5 10 15 20 25 30
Con
cent
raci
ón, M
Tiem po, m in
CA
CB
CA
CB
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p22
Ejemplo 8.2 (Continuacion 2)
• CA1 = CA = 0.613 M y CB1 = CB = 0.416 M
fA1 = CA0−CACA0
= 0.639 y SA B1 = 2CBCA0−CA
= 0.784
• Para (b) y (c) necesitamos t
t =
∫ 30
0
(0.01334 t− 8.89× 10−4 t2 + 1.48× 10−5 t3) tdt +
∫ ∞30
(0) tdt = 11.97 min
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 5 10 15 20 25 30
Dp t(t
) pt (t)
Tiem po, m in
TiempoPromedio
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p23
Ejemplo 8.2 (Continuacion 3)
• Flujo Segregado: CA = 0.613 M, CB = 0.416 M, fA = 0.639 y SB = 0.784
• b) Del inciso (a) para τ = t = 12 min, CA = 0.545 M y CB = 0.460 M
[fA1]Piston = 0.674 y [SB1]Piston = 0.797
• c) Tanque agitado
τ1 =CA0 − CA1
2 k1CA21 − 2 k′1CB1
τ1 =CB1
k1CA21 − k′1CB1 − 2 k2CB1
Para τ = 12 min, CA1 = 0.693 M y CB1 = 0.257 M
[fA1]Tanque Agitado = 0.592 y [SB1]Tanque Agitado = 0.510
• ¿A cual de los modelos ideales se asemeja mas el reactor real?
•OJO: Flujo segregado 6= [Tapon]τ=t ¿Cuando seran iguales?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p24
Ejemplo 8.3Reactor continuo en fase lıquida
2A + B → C r1 = k1CACBA + 2B → D r2 = k2 CACB
2
A + D → E r3 = k3CACD
Datos de escalon:
t, min 35 47 60 67 75 81 85 93 115pt(t) 0.00 0.01 0.07 0.16 0.45 0.8 0.92 0.98 1.00
CA0 = 0.55 M y CB0 = 0.25 M
¿CA1, CB1, CC1, CD1 y CE1? ¡subındice sin lugar a confusion!
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p25
Ejemplo 8.3 (Continuacion 1)
• Preparativos (Capıtulo 1):
CD = −(CA0 − CA) + (CB0 − CB) + CC (A)
CE = (CA0 − CA)− 0.5 (CB0 − CB)− 1.5CC (B)
• Primera Etapa: Reactor por Lotes:
dCAdt
= −2 k1CACB − k2CACB2 − k3CACD (C)
dCBdt
= −k1CACB − 2 k2CACB2 (D)
dCCdt
= k1CACB (E)
Condiciones Iniciales: CA = CA0, CB = CB0 y CC = 0 @ t = 0
Integramos... ¿hasta t =∞ o 115 min?
De tabla de resultados EXTRAEMOS los concordantes con pt(t)
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p26
Ejemplo 8.3 (Continuacion 2)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 20 40 60 80 100 120
C ,
Mi p (t)
Tiempo, min
ABCD
E t
t, min pt(t) CA, M CB, M CC, M CD, M CE, M
35 0.00 0.2920 0.0752 0.1023 0.0191 0.0171
47 0.01 0.2615 0.0593 0.1145 0.0167 0.0214
60 0.07 0.2378 0.0475 0.1240 0.0142 0.0251
67 0.16 0.2277 0.0427 0.1208 0.0130 0.0267
75 0.45 0.2178 0.0380 0.1319 0.0117 0.0283
81 0.80 0.2114 0.0350 0.1345 0.0109 0.0294
85 0.92 0.2074 0.0332 0.1361 0.0104 0.0300
93 0.98 0.2004 0.0300 0.1389 0.0094 0.0312
115 1.00 0.1852 0.0231 0.1451 0.0072 0.0337
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p27
Ejemplo 8.3 (Continuacion 3)
• CA, CB y CC en tabla con ecuaciones de diseno
• CD y CE en tabla con Ecuaciones A y B (Capıtulo 1)
• Concentraciones de salida con la Ecuacion 8.6 aproximada por tra-pecios:
Ci1 = Ci =
∫ 1
0
Ci(t) d[pt(t)] 'N∑n=2
{Ci|tn + Ci|tn−1
2[pt(tn)− pt(tn−1)]
}(F)
CA1 = 0.2196 M, CB1 = 0.0389 M, CC1 = 0.1312 M,CD1 = 0.0119 M y CE1 = 0.0280 M
• Solucion recomendada:
◦ No obtener perfiles de CD y CE ni usar Ecuacion F
◦ Con CA1, CB1 y CC1 en Ecuaciones A y B calcular directamente CD1 y CE1
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p28
Flujo Laminar• De bases en Fenomenos de Transporte:
v(r) = vmax
[1−
(rR
)2]
vmax = 2 v = 2 V0πR2
• Tiempo que salga los elementos a cada r
t =L
v=
L
2 v[1−
(rR
)2] =
t
2[1−
(rR
)2]
• [t]r=0 = t2, Despejando
r = R
√1− t
2 t(8.9)
• ¿t < t2?, Derivando
dr =
[1− t
2t
]−0.5(R t
4 t2
)dt (8.10)
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p29
Flujo Laminar
• Estamos tras pt(t)
◦ Si r ↑ V t ↑, tmin = [t]r=0 y tmax = [t]r=R =∞◦ Conforme r ↓ aumenta la frecuencia con que entran y salen elementos con ese r
◦ Conforme r ↑ hay “mas” elementos de que entran y salen con ese t
pt(t) =
∫ r0
1t 2πrdr∫ R
01t 2πrdr
=
∫ r0 t−1 rdr∫ R
0 t−1 rdr
• ¿Por que 1t? ¿Por que 2πrdr?
• Sustituyendo dr = F(t), ¡notar los nuevos lımites para la integracion!
pt(t) =
∫ tt2
R2t4t3
dt∫∞t2
R2t4t3
dt=
∫ tt2t−3dt∫∞
t2t−3 dt
=
[t−2
−2
]tt2[
t−2
−2
]∞t2
=4t 2 − 1
t2
4t 2 − 1
∞
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p30
Flujo Laminar
• Funcion acumulada:
pt(t) = 1−(t
2 t
)2
(8.11)
•Distribucion:
Dpt(t) =t2
2 t3(8.12)
•Muy importante: ¡aplicables solo para t2 < t <∞!
Las ecuaciones “cineticas” deben integrase desde t = 0, ¿por que?
• Error conceptual grave asociado a LECHOS EMPACADOS
“Aunque los flujos sean muy pequenos, si se tiene un reactortubular empacado no sera adecuado suponer flujo laminar en la
direccion radial del reactor”
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p31
Modelo de Dispersion Axial
πR2
[−DL
dCidz
]z
+vπR2 [Ci]z−πR2
[−DL
dCidz
]z+∆z
−vπR2 [Ci]z+∆z+r i πR2 ∆z = 0
• Es mezclado pero se trata como difusion, DL
DLd2Cidz2
− vdCidz
+ r i = 0 (8.13)
• ¿Y si fuera lecho empacado?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p32
Dispersion Axial: Primer Orden
• Para Z = z/L y (−r i) = k Crl
DL
v L
d2CrldZ2
− dCrldZ− k L
vCrl = 0
• Solucion general para a y′′ + b y′ + c = 0
Crl = c1e[
1+β2
(vLDL
)Z]
+ c2e[
1−β2
(vLDL
)Z]
β =
√1 + 4 k
(DLvL
) (Lv
)• Numero de Peclet: Pe ≡ vL
DL, ¿Que representa?
• ¿Opciones para C.F.? ¿para dispersiones moderadas?
• Danckwerts obtuvo soluciones analıtica:C.F: Crl − DL
vLdCrldZ = Crl0 en Z = 0+ y dCrl
dZ = 0 en Z = 1
Crl1Crl0
= 1− frl1 =4β
(1 + β)2 e−(1−β)Pe
2 − (1− β)2 e−(1+β)Pe
2
(8.15)
• Notar que es conversion a la salida (k = 1) y ¡no representa un perfil!
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p33
Entendiendo las C.F.
ENTRADA Nodo sin rxn: V0Crl0 = V0 [Crl]z→0+ − AT DL
[dCrldz
]z→0+
• [Crl]Z→0+ − DLvL
[dCrldZ
]Z→0+
= Crl0 implica DISCONTINUIDAD, es decir,
[Crl]Z→0+ 6= Crl0
• Interpretacion: ¿Mezclado justo DESPUES de la entrada?
• Esta discontinuidad ⇒ Tanque Agitado cuando DL →∞
SALIDA Nodo sin rxn: V0 [Crl]z→L− − AT DL
[dCrldz
]z→L−
= V0Crl1
• ¿dCrldZ = 0? ¿No-rxn y/o no-mezclado?
• Explicacion de Danckwerts: a la salida sı debe existir continuidad
• Para que [Crl]Z→1− = Crl1, concluye que dCrldZ = 0
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p34
Dispersion Axial: 6= Primer Orden
• Para cineticas complejas o varias reacciones
DLd2Cidz2− vdCi
dz+ r i = 0 (8.13)
• Segundo V ODEs Primer OrdendCidz
= Yi (8.16)
dYidz
=v Yi − r i
DL(8.17)
•Metodo de disparo recomendado:
◦ Suponer [Ci]Z=1 sabiendo que ademas [Yi]Z=1 = 0
◦ Integrar de la salida a entrada
◦ Comprobar convergencia: ¿[Crl]Z=0 − DLvL
[dCrldZ
]Z=0
= Crl0?
• ¿Cuantas ecuaciones? ¿1 × rxn? ¿1 × iinterviene en cineticas?
• ¿Cuantos valores de DL? ¿Por que?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p35
Ejemplo 8.4
2A→ B Segundo orden
V0 = 15 lts , y CA0 = 0.8 M
Reactor empacado: VT = 5,000 lt, εB = 0.45 y ρB = 0.8 gcm3
I.D. = 88 cm y DL = 500 cm2
sa) rcatalıticaV rhomogenea y [fA]Pistonb) [fA]Dispersion
• Equivalente a “‘volumen de reactor”
VR = VT εB = 5000 lt× 0.45volumen vacıo intergranular
volumen del recipiente= 2, 250 lt
• Catalıtica V homogenea
(−rA) =ρBεB
2 rP = 2×0.8 g
cm3 lecho× 1000cm3
lt
0.45 cm3 vacıocm3 lecho
× 8.7× 10−6 lt2
mol g sCA
2
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p36
Ejemplo 8.4 (Continuacion 1)
• Velocidad en la cama, 6= vS
v =V0
Area transversal vacıa real=
15 lts × 1000cm3
lt
0.45 π (88 cm)2
4
× m
100 cm= 0.055
m
s
• Longitud del reactor
L =VT
π (Dinterno)2
4
=5, 000 lt× 1000cm3
ltπ (88 cm)2
4
× m
100 cm= 8.22 m
• Sustituyendo ¿... +0.03093 ...?
dCAdz
= Y en unidades demol
m ltdY
dz=
0.055 ms Y + 0.03093 lt
mol s CA2
500 cm2
s × m2
10,000cm2
• ¿C.F. y metodo?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p37
Ejemplo 8.4 (Continuacion 2)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Flujo Tapón
CA
, M
Longitud de Reactor, m
∞
0.005
0.05
0.5
5
Coef. Dispersión, m2/s
• Convergencia: CAZ = 1 = 0.2034 M
• Notese la discontinuidad y aunque se fijo [YA]Z = 1 = 0,
se “aprecia” cierta pendiente cuando z → L− y DL → 0
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p38
Ejemplo 8.4 (Continuacion 3)
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8
∞
YA
, M/m
Longitud de Reactor, m
0.005
0.05
0.5
5
Coef. Dispersión, m2/s0.001
• Notar que se cumple [YA]Z = 1 = 0
• Conforme se aproxima a flujo tapon[
d2CAdz2
]Z → 1
⇒∞
y se tendran problemas numericos; ¿importa?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p39
Estimacion de DL
• Algunas correlaciones V
Levenspiel, “Chemical Reaction Engineering,” 3a. Edicion, Wiley (1999) p309-311.
• Evaluacion propia: Escalon con C0 = 0
pt(t) =C
C+(8.20)
•Modelo dinamico para Trazador (Obvio: sin rxn)
DL∂2C
∂z2− v∂C
∂z=∂C
∂t(8.21)
• C.I. y abiertas, ¿validas? ¿abiertas? ¿semi-abiertas? ¿otras posibles?
C = C+ para t = 0 y z < 0 (1)
C = 0 para t = 0 y z > 0 (2)
C = 0 para z = +∞ y t ≥ 0 (3)
C = C+ para z = −∞ y t ≥ 0 (4)
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p40
Estimacion de DL
• Cambio de variable para solucion: α ≡ z−v t√4DL t
(8.22)
d2C
dα2− 2α
dC
dα= 0 (8.23)
• y′′+f (x)y′+g(x) = 0V buscar 2 soluciones particulares independientes
• Condiciones equivalentes: y (3) V (1’); (2) y (4) V (2’)
C = 0 para α = +∞ (1’)
C = C+ para α = −∞ (2’)
• ¿Ventajas de cambio de variable? ¿Implicaciones de “abiertas”?
• Solucion aplicada a L
pt(t) =1
2
1− fer
√Pe
2· 1− t/(VR/V0)√
t/(VR/V0)
(8.24)
• ¿Que es fer(x)? ¿fer(0)? ¿fer(-x)? ¿fer(∞)? ¿d[fer(x)]/dt?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p41
Estimacion de DL
• ¿Como aplicamos la Ecuacion 8.24 con mınimos cuadrados?
Min∑
[pt(t)exp − pt(t)
est]2
•Metodo de la pendiente: Derivando Ecuacion 8.24{d[pt(t)]
dt
}t=
VR1V0
=1
2× VR1
V0
√vL
πDL(8.26)
• ¿Ventajas y desventajas del Metodo de la Pendiente?
• Otros: Metodo de la Variancia, Dpt(t) ≈ Curva Normal
Ver: C.G. Hill, Jr., “An Introduction to Chemical Engineering Kinetics & Reactor
Design,” Wiley (1977)
• ¡Seleccionar cuidadosamente los datos respecto a t para evitar un
ajuste tendencioso! What’s that?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p42
Tanques Agitados en Serie• El modelo mas facil de visualizar y es aplicable a tanto a tubulares
como tanques agitados
(VR)c/reactor del modelo = VRn tc/reactor del modelo = t
n
• B.M. Dinamico para el trazador en segmento κ
V0Cκ−1 − V0Cκ =VRn· dCκ
dt
• Para un escalon y κ = 1: [C0]todo t = C+ y [C1]t=0 = 0
C1
C+= 1− e−nt/t
• Para κ = 2 y κ = 3: C1 = F(t) y [C2]t=0 = 0; C2 = F(t) y [C3]t=0 = 0
C2C+ = 1− e−nt/t
[1 + nt
t
]C3C+ = 1− e−nt/t
[1 + nt
t+ 1
2
(ntt
)2]
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p43
Tanques Agitados en Serie• Generalizando y notando que pt(t) = Cn/C+
pt(t) = 1− e−nt/t[
n∑κ=1
1
(κ− 1)!
(nt
t
)κ−1]
(8.28)
• Derivandola {d[pt(t)]
dt
}t=t
=nn e−n
t (n− 1)!(8.29)
• OJO: n debe ser ENTERO
• ¿Podemos aplicar Metodo de la Variancia o Mınimos Cuadrados?
• ¿Y si los datos son de un PULSO?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p44
Extension a Fase Gaseosa
• Si V ≈ constante, aplicacion directa
• Datos dinamicos deben obtenerse con REACCION
◦ Dinamicos respecto al trazador, en E.E. respecto a la reaccion
• ¿Se podrıan desarrollar solucion analıticas equivalentes a las Ecua-
ciones 8.24 y 8.28? [pt(t) para dispersion y n-tanques]
• ¿Que tipo de problema numerico representa la optimizacion?
• ¿Es posible resolverlo?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p45
Comparacion entre los Modelos
�����
�����
�����
�����
�����
���
����� ����� ��� ��� �����
p ( t )
t / t
������������������� �
�!�"�#�$��%'& ()�*�+&-,
/. & �101�3254�67�"�8&�9+�
�:2;#<-<-<;#<-<;#<;
�=>;#?
@"ACB#DFEFG3H8B IKJ
@*ACB ELGMHNB J∞∞∞∞ ∞∞∞∞
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p46
Ejemplo 8.5: Retoma Ejemplo 8.1
Operacion estable con C0 = 0.122 M
Perturbacion escalon con C+ = 0.548 Mt, s 10 20 30 45 60 90 120 200 400 1000C, M 0.126 0.143 0.207 0.314 0.378 0.484 0.505 0.527 0.544 0.547
Optimice Pe y n
• Comparando datos con Figura 8.14, t ≈71 s
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 200 400 600 800 1000
p t(t)
Tiempo, s
Ajuste con polinomio de 3er orden
Ajuste tipo Monod
�����
�����
�����
�����
�����
���
����� ����� ��� ��� �����
p ( t )
t / t
������������������� �
�!�"�#�$��%'& ()�*�+&-,
/. & �101�3254�67�"�8&�9+�
�:2;#<-<-<;#<-<;#<;
�=>;#?
@"ACB#DFEFG3H8B IKJ
@*ACB ELGMHNB J∞∞∞∞ ∞∞∞∞
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p47
Ejemplo 8.5 (Continuacion 1)
• Se trata de la funcion acumulada de probabilidad, ¿que ecuaciones?
• De la comparacion V Aprox. Iniciales Pe=5 y n=3
pt(t) Error2
t, s Experimental Pe = 5 n = 3 Pe = 5 n = 3
10 0.0094 0.0001 0.0092 0.000086 0.000000
20 0.0493 0.0162 0.0541 0.001096 0.000023
30 0.1995 0.0801 0.1355 0.014256 0.004096
45 0.4507 0.2335 0.2967 0.047176 0.023716
60 0.6009 0.3949 0.4652 0.042436 0.018414
90 0.8498 0.6465 0.7316 0.041331 0.013971
120 0.8991 0.7994 0.8812 0.009940 0.000320
200 0.9507 0.9565 0.9903 0.000034 0.001568
400 0.9906 0.9990 1.0000 0.000071 0.000088
1000 0.9977 1.0000 1.0000 0.000005 0.000005∑0.1564 0.0622
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p48
Ejemplo 8.5 (Continuacion 2)
• Se trata de la funcion acumulada de probabilidad, ¿que ecuaciones?
�������
�������
������
������
����� �
�������
�������
� � � � � �
� �������
Pe
ΣΣ ΣΣ
n∑
Error2
1 0.1001
2 0.0416
3 0.0623
4 0.0924
5 0.1218
6 0.1487
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p49
Ejemplo 8.5 (Continuacion 3)
• Comparacion final OJO: No se incluyen datos para t > 200 s
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 .0
0 5 0 1 00 1 5 0 200
P e = 3 .2n = 2
p �(t)
Tiempo, s
• ¿Cual es mejor? ¿Por que resulto pobre el ajuste con dispersion?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p50
Recapitulacion
• Existen otros modelos reportados
• Flujo segregado: Reactorcitos-por-lotes con Dpt(t)
• Dispersion: Un parametro DL
◦ Como “difusion” pero representa mezclado
◦ Se pueden emplear metodos numericos para otras C.F.
• Tanques agitados: Un parametro n
◦ Optimizacion entera
• Es muy riesgoso utilizar polinomios sin verificar su comportamiento
en el rango de interes (No solo para reactores)
• ¿Orden en la dificultad para adaptarlos a fase gaseosa?
c©Dr. Fernando Tiscareno L./p51