El Cálculo Integral (también conocido como cálculo infinitesimal) es una rama de la matemática en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o antiderivación.

Es muy común en la ingeniería y en la matemática en general, y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, Descartes, Newton y Barrow.

Barrow, junto con aportaciones de Newton, creó el teorema fundamental del cálculo integral, el cual propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Una de las nociones fundamentales del cálculo integral es la llamada “area bajo la curva”. Veamos cómo surge esta interesante noción:

Si fueran estudiantes de secundaria y les pidieran que calcularan lo más exactamente posible el área bajo la curva de la siguiente figura, ¿cómo lo harían?

Una propuesta de solución podría ser la siguiente: intentar cubrir toda el área deseada bajo la curva llenándola con círculos, de los cuales conociéramos su área:

Sin embargo, como es evidente, existen espacios que aun no han sido cubiertos y que tienen un área suficientemente importante como para dejar de tomarla en cuenta, además de que podría resultar impráctico llenar los espacios con círculos cada vez más pequeños…

Otra propuesta de solución sería intentar llenar el área bajo la curva con triángulos. Así:

Sin embargo, al igual que el llenado con círculos, resulta impráctico en el sentido de que tendríamos que calcular el área de diferentes tipos de triángulos, rectángulos o cualquier otra figura, y calcular su área particular.

Ciertamente, quizá el área que falta por cubrir es menor, aunque aun sigue resultando impráctico este método.

Pero, ¿qué sucedería si realizáramos una aproximación con otra figura regular, como lo es un rectángulo? Así:

Como sabemos, resulta más fácil calcular el área de un rectángulo. Han quedado algunas áreas sin llenar y algunos rectángulos han sobrepasado el margen de la curva, pero este cálculo es menos impreciso que las propuestas anteriores.

Así, a medida que hacemos crecer el número de rectángulos que cubren la misma área bajo la curva, es decir, al poner rectángulos cada vez más delgados, tendremos una mejor aproximación a la medida de la misma, al igual que sucedería con los círculos y los triángulos cada vez más pequeños.

Recordemos del cálculo diferencial que los elementos diferenciales se generan a partir de incrementos pequeños, por lo que podríamos pensar que a medida que angostamos los rectángulos tendremos lo siguiente:

Esta fue la forma clásica en que surgió el concepto de integración. Posteriormente, de esta aproximación se fue modificando su notación hasta adquirir la simbología conocida por todos:

Por lo anterior, una aproximación más acorde para el cálculo del área bajo la curva la podemos representar de la siguiente manera:

Por lo anterior, una aproximación más acorde para el cálculo del área bajo la curva la podemos representar de la siguiente manera: