Cálculo integral_introducción
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El Cálculo Integral (también conocido como cálculo infinitesimal) es una rama de la matemática en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o antiderivación.
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Es muy común en la ingeniería y en la matemática en general, y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
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Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, Descartes, Newton y Barrow.
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Barrow, junto con aportaciones de Newton, creó el teorema fundamental del cálculo integral, el cual propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
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Una de las nociones fundamentales del cálculo integral es la llamada “area bajo la curva”. Veamos cómo surge esta interesante noción:
Si fueran estudiantes de secundaria y les pidieran que calcularan lo más exactamente posible el área bajo la curva de la siguiente figura, ¿cómo lo harían?
Una propuesta de solución podría ser la siguiente: intentar cubrir toda el área deseada bajo la curva llenándola con círculos, de los cuales conociéramos su área:
Sin embargo, como es evidente, existen espacios que aun no han sido cubiertos y que tienen un área suficientemente importante como para dejar de tomarla en cuenta, además de que podría resultar impráctico llenar los espacios con círculos cada vez más pequeños…
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Otra propuesta de solución sería intentar llenar el área bajo la curva con triángulos. Así:
Sin embargo, al igual que el llenado con círculos, resulta impráctico en el sentido de que tendríamos que calcular el área de diferentes tipos de triángulos, rectángulos o cualquier otra figura, y calcular su área particular.
Ciertamente, quizá el área que falta por cubrir es menor, aunque aun sigue resultando impráctico este método.
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Pero, ¿qué sucedería si realizáramos una aproximación con otra figura regular, como lo es un rectángulo? Así:
Como sabemos, resulta más fácil calcular el área de un rectángulo. Han quedado algunas áreas sin llenar y algunos rectángulos han sobrepasado el margen de la curva, pero este cálculo es menos impreciso que las propuestas anteriores.
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Así, a medida que hacemos crecer el número de rectángulos que cubren la misma área bajo la curva, es decir, al poner rectángulos cada vez más delgados, tendremos una mejor aproximación a la medida de la misma, al igual que sucedería con los círculos y los triángulos cada vez más pequeños.
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Recordemos del cálculo diferencial que los elementos diferenciales se generan a partir de incrementos pequeños, por lo que podríamos pensar que a medida que angostamos los rectángulos tendremos lo siguiente:
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Esta fue la forma clásica en que surgió el concepto de integración. Posteriormente, de esta aproximación se fue modificando su notación hasta adquirir la simbología conocida por todos:
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Por lo anterior, una aproximación más acorde para el cálculo del área bajo la curva la podemos representar de la siguiente manera:
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Por lo anterior, una aproximación más acorde para el cálculo del área bajo la curva la podemos representar de la siguiente manera: