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ÁREA DE APOYO ACADÉMICO

MATERIALES DE INSTRUCCIÓN SUPLEMENTARIA

APLICACIONES

DE LA FUNCIÓN LINEAL

A LA ECONOMÍA

MATEMÁTICA I

Caracas ,2021

2

Ejercicios Resueltos

3

Definiciones

2

3

1

Tabla de Contenido

3 Ejercicios Propuestos

3

Las empresas continuamente deben informar sobre los

resultados que obtienen y, para ello, deben evaluar los

procesos que se emplean en las actividades que realizan y

la relación en el mercado correspondiente a los productos

(servicios) que producen y ofrecen.

Introducción

En estos problemas se aplican fórmulas que se relacionan

con la economía y se emplean las funciones lineales

(antes estudiadas) para ello.

4

Funciones de costo, ingreso y beneficio

Definiciones

La diferencia entre ingresos y costos es lo que se gana, es

decir, el beneficio, ganancia o utilidad.

Las empresas, en sus actividades realizan ventas (por las que

generan ingresos) y compras (que representan costos o

gastos).

Los ingresos (I) de una empresa se calculan por el número de

unidades vendidas (q) multiplicadas por el precio al que se

venden (p).

𝑰 = 𝒑. 𝒒

5

Son aquellos que sí dependen de la cantidad producida (q) y

aumentan o disminuyen junto a la producción.

Los gastos o costos totales (CT) de una empresa se dividen

en:

Costos Totales (CT)

Son aquellos que se deben desembolsar (pagar)

independientemente de la cantidad producida, es decir,

siempre son los mismos.

Costos Fijos (CF)

Costos Variables (CV)

Pueden expresarse como una cantidad de costo por unidad

producida, (siendo “c” el coste variable por unidad, que

siempre debe ser inferior al precio para que la empresa

pueda tener beneficios o, al menos, cubrir costos).

𝑪𝑻 = 𝑪𝑽 + 𝑪𝑭

𝑪𝑻 = 𝒄. 𝒒 + 𝑪𝑭

6

Es la diferencia entre los ingresos y los costos.

Si el beneficio es cero, es decir, en donde los ingresos solo

cubren los costos, se representa de la siguiente forma:

𝑰 = 𝑪𝑻

El beneficio, puede ser positivo (si los ingresos son mayores que los

costos) o negativo (si los costos son mayores que los ingresos). En

el segundo caso, se dice que la empresa incurre en pérdidas.

Ganancia (G)

𝑮 = 𝑰 − 𝑪𝑻

7

P r o b l e m a s d e F u n c i o n e s L i n e a l e s

Ejercicio Resuelto

1

Para resolver estos problemas lo primero que debe hacerse

es analizar cuáles son los datos de entrada y cuáles son los de

salida para identificar a las variables, dependiente e

independiente, y formular la ecuación correctamente.

Ecuación de ingreso.

Si la empresa obtiene 6 U.M. al vender 2 productos, ese 6 es “y” y 2

es el vector “x”.

Primer problema

Una empresa de productos de limpieza obtiene como ingresos 6

U.M. cuando vende 2 productos y 9 U.M. cuando vende 3

productos. Asimismo, para producir un producto de limpieza, la

empresa necesita de 2 U.M. y para 6 productos necesita de 12

U.M. Los costos fijos son de 8 U.M. Obtenga el punto de equilibrio y

la ecuación de beneficio.

1

Se hallan las ecuaciones de ingreso y costos aplicando la

fórmula de la pendiente y de punto pendiente.

8

Punto uno = [𝑥1; 𝑦1] = [2;6]

Punto dos = [𝑥2; 𝑦2] = [3;9]

Con los datos anteriores calcular la pendiente.

𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

Costo variable

Si para producir un producto se necesitan 2 U.M., ese sería el vector

“y” y un producto es el vector de “x” en ese punto.

𝒎 =𝟗−𝟔

𝟑−𝟐

𝒎 = 𝟑

Ecuación de ingreso, aplicando la fórmula de punto pendiente.

𝒎(𝒒 − 𝒙𝟏) = 𝑰 − 𝒚𝟏

𝟑(𝒒 − 𝟐) = 𝑰 − 𝟔

𝟑𝒒 − 𝟔 = 𝑰 − 𝟔

𝑰 = 𝟑𝒒

Ecuación de costos

Punto uno = [𝑥1; 𝑦1] = [1;2]

Punto dos = [𝑥2; 𝑦2] = [6;12]

9

Con los datos anteriores calcular la pendiente.

𝑪𝑽 = 𝟐𝒒

Ecuación de costos

𝑪𝑻 = 𝟐𝒒 + 𝟖

Ecuación de beneficio

𝑩 = 𝑰 − 𝑪𝑻

𝑩 = 𝟑𝒒 − (𝟐𝒒 + 𝟖)

𝑩 = 𝟑𝒒 − 𝟐𝒒 − 𝟖

𝑩 = 𝒒 − 𝟖

𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

𝒎 =𝟏𝟐−𝟐

𝟔−𝟏

𝒎 =𝟏𝟎

𝟓= 𝟐

Aplicando la fórmula de punto pendiente.

𝟐(𝒒 − 𝟏) = 𝑪𝑽 − 𝟐

𝟐𝒒 − 𝟐 = 𝑪𝑽 − 𝟔

𝒎(𝒒 − 𝒙𝟏) = 𝑰 − 𝒚𝟏

10

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

Ingr

eso

-C

ost

o T

ota

l

Productos producidos y vendidos

Ingreso y Costos

ingresos costo total

Equilibrio (Break Even)

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20

Be

ne

fici

o

Cantidades producidas y vendidas

Beneficio

beneficio

En el punto de equilibrio la empresa no tiene pérdidas ni

beneficios, por ello, B = 0.

𝟎 = 𝒒 − 𝟖

𝒒 = 𝟖

Gráficas.

2

Equilibrio

11

Funciones de Oferta y Demanda

Cuanto mayor sea el precio que se cobra por un bien, menor

será la cantidad que una persona está dispuesta a comprar y

cuanto menor sea el precio, mayor será el número de

unidades que se quieren comprar.

Función de demanda

Función de oferta

La cantidad que una persona comprará de un bien,

dependerá de su precio.

Es la relación entre el precio de mercado de un bien y la

cantidad que los productores están dispuestos a producir y

vender, manteniéndose todo lo demás constante.

Punto de equilibrio

Los productores como los consumidores están de acuerdo en

cuanto al precio y la cantidad de artículos.

Cuando aumenta el precio de un bien, aumenta la cantidad

ofrecida.

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A cualquier precio mayor que el de equilibrio, la cantidad que

los productores desean ofrecer excede la cantidad que los

demandantes desean adquirir, en este escenario hay un

exceso de oferta y, la competencia entre los vendedores hará

que el precio baje.

Por el contrario, si el precio es menor que el de equilibrio, la

cantidad que los demandantes desean adquirir es mayor que

la ofrecida por los productores, es decir, hay exceso de

demanda. En éste caso los compradores que no hayan podido

obtener la cantidad deseada del producto presionan al alza

del precio tratando de adquirir la cantidad deseada.

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Ejercicio Resuelto

1

𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

Segundo problema

Un vendedor de chicha está dispuesto a vender 5 chichas por 15

U.M. y 10 chichas por 30 U.M., mientras que los consumidores de la

misma están dispuestos a comprar 20 chichas por 80 U.M. y 30

chichas por 70 U.M. Hallar el punto de equilibrio, ecuación de

oferta, demanda y graficar.

La variable dependiente es la cantidad ofertada y la variable

independiente es el precio.

Punto uno = [𝑥1; 𝑦1] = [15;5]

Punto dos = [𝑥2; 𝑦2] = [30;10]

1

Se hallan las ecuaciones de ingreso y costos aplicando la

fórmula de la pendiente y la de punto pendiente.

Oferta

𝒎 =𝟏𝟎−𝟓

𝟑𝟎−𝟏𝟓

𝒎 =𝟓

𝟏𝟓=

𝟏

𝟑

14

Aplicando la fórmula de punto pendiente.

𝒎(𝒑 − 𝒙𝟏) = 𝑰 − 𝒚𝟏

𝟏

𝟑(𝒑 − 𝟏𝟓) = 𝒒 − 𝟓

𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

La variable dependiente es la cantidad demandada y la

variable independiente es el precio que se paga.

Punto uno = [𝑥1; 𝑦1] = [70;30]

Punto dos = [𝑥2; 𝑦2] = [80;20]

Demanda

𝒎 =𝟐𝟎−𝟑𝟎

𝟖𝟎−𝟕𝟎

𝒎 = −𝟏𝟎

𝟏𝟎= −𝟏

𝒑

𝟑− 𝟓 = 𝒒 − 𝟓

𝒒 =𝒑

𝟑− 𝟓 + 𝟓

𝒒 =𝒑

𝟑

15

Aplicando la fórmula de punto pendiente.

𝒎(𝒑 − 𝒙𝟏) = 𝑰 − 𝒚𝟏

−𝟏(𝒑 − 𝟕𝟎) = 𝒒 − 𝟑𝟎

−𝒑 + 𝟕𝟎 = 𝒒 − 𝟑𝟎

𝒒 = −𝒑 + 𝟕𝟎 + 𝟑𝟎

𝒒 = −𝒑 + 𝟏𝟎𝟎

Demanda

Oferta

𝒑

𝟑

−𝒑 + 𝟏𝟎𝟎

Equilibrio

𝑶𝒇𝒆𝒓𝒕𝒂 = 𝑫𝒆𝒎𝒂𝒏𝒅𝒂

𝒑

𝟑+ 𝒑 = 𝟏𝟎𝟎

𝟒𝒑 = 𝟑𝟎𝟎

𝒑 + 𝟑𝒑 = 𝟑𝟎𝟎

𝒑

𝟑= −𝒑 + 𝟏𝟎𝟎

16

0

5

10

15

20

25

30

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

Pre

cio

Cantidad

Equilibrio

oferta demanda

Gráfica.

2

𝒑 =𝟑𝟎𝟎

𝟒

𝒑 = 𝟕𝟓

𝒒 =𝒑

𝟑

𝒒 = 𝟐𝟓

𝒒 =𝟕𝟓

𝟑

Exceso de oferta

Equilibrio Exceso de demanda

17

1.

2.

3.

4.

Ejercicios Propuestos

Una empresa que fabrica radios tiene costos fijos de

$3.000 y el costo de la mano de obra y del material es

de $15 por radio. Determine la función de costo, es

decir, el costo total como una función del número de

radios producidos. Si cada radio se vende por $25,

encuentre la función de ingresos y la función de

utilidades.

La ecuación de demanda del producto de una

compañía es 2𝑝 + 3𝑥 = 16, en donde x unidadeses de

(100 + 2𝑥) dólares, exprese la utilidad 𝑈 como función

de:

a) La demanda x.

b) El precio p.

A un precio de $2.200, la oferta de cierto bien es de 110

unidades, mientras que su demanda es 530 unidades.

Determine las ecuaciones de oferta y demanda y el

precio y la cantidad de equilibrio.

Si la función de costo de una compañía viene dada por

𝐶(𝑥) = 10−6𝑥3 − ((3)(10−3)𝑥2 + 36𝑥 + 2000)

Calcule el costo de producir:

a) 2.000 unidades.

b) 500 unidades.

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Arya, J. y Lardner, R. (2009). Matemáticas

Aplicadas a la Administración y a la

Economía. Quinta Edición. México:

Editorial Pearson Educación.

Campos, J. (s/f). Unidad IV. Tema 1:

Funciones. Guías de Apoyo

Matemática I. Caracas, Venezuela:

UCAB

Referencias

Cierre

Las funciones lineales permiten

que se estudien, de forma

matemática, escenarios que se

presentan en la economía.

Para así aplicar estrategias,

procesos adecuados, de

acuerdo a los objetivos de las

empresas.

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Esto es un aporte de:

En el marco del Programa de

Apoyo Personal Académico.

Profesor Asesor:

Jenifer Campos

Estudiante IS:

Nardy Zambrano

Edición y Montaje:

José Ucha

Sof ía Sandoval

MATEMÁTICA I

Caracas ,2021