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Análisis del Transporte de Carga
y de los Fenómenos de Ruido Electrónico
en Estructuras Si/Si1-xGex Bipolares
María Jesús Martín Martínez Salamanca, 1996
Jesús Enrique Velázquez Pérez, Profesor Titular de Universidad del
Area de Electrónica de la Universidad de Salamanca,
CERTIFICA: Que el trabajo de investigación que se recoge en la
presente
Memoria, titulada “Análisis del transporte de carga y de los
fenómenos de ruido electrónico en estructuras Si/Si1-xGex
bipolares”, y presentada por Dª María Jesús Martín Martínez para
optar al grado de Doctor en Ciencias Físicas, ha sido realizado en
su totalidad bajo su dirección en el Area de Electrónica del
Departamento de Física Aplicada de la Universidad de
Salamanca.
Salamanca, 5 de Septiembre de 1996 Jesús Enrique Velázquez Pérez
Profesor Titular de Universidad Departamento de Física Aplicada
Universidad de Salamanca
Indice
INTRODUCCION
........................................................ 1
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
CAPITULO UNO Modelos del Estudio del Transporte de Carga en
Semiconductores. Método de Monte Carlo
.............................................. 9
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
I.1 Ecuaciones de transporte de portadores en semiconductores
Modelo de Boltzmann ............................................
10
I.2 Modelo de deriva-difusión
........................................ 16 I.3 Modelo
Hidrodinámico ............................................ 19 I.4
Método de Monte Carlo ...........................................
21
I.4.1 Monte Carlo de partícula única
.................................. 24 I.4.1.a Fundamentos del
método de Monte Carlo ................. 24 I.4.1.b Esquema de la
simulación del Monte Carlo
de partícula única ........................................ 26
I.4.1.c Definición del sistema físico
.............................. 27 I.4.1.d Establecimiento de las
condiciones iniciales del portador .. 37 I.4.1.e Recorrido libre
........................................... 38 I.4.1.f Acumulación
de valores medios ........................... 41 I.4.1.g Elección
del mecanismo de scattering ..................... 41 I.4.1.h
Determinación del estado del portador después del
mecanismo de scattering ................................. 43
I.4.2 Ensemble Monte
Carlo.......................................... 47 I.4.3 Monte
Carlo de dispositivos .................................... 50
1.4.3.a Dinámica de la partícula en el Monte Carlo de dispositivos
........................................... 53
1.4.3.b Resolución de la ecuación de Poisson ....................
57 1.4.3.c Condiciones de contorno
................................. 61 1.4.3.d Cálculo de magnitudes
medias ........................... 64
I.5 Procedimientos de realce estadístico del Método de Monte Carlo
65 I.5.1 Descripción de la técnica de asignación de carga variable
........ 67 I.5.2 Aplicaciones de la técnica de asignación de carga
variable ....... 71
I.6 Teoría general del ruido electrónico
.............................. 72 I.6.1 Magnitudes características
...................................... 73 I.6.2 Clasificación de
ruido electrónico ............................... 76
1.6.2.a En equilibrio. Ruido térmico .............................
76 1.6.1.b Fuera de equilibrio
....................................... 78
I.7 Coeficiente de difusión y fluctuaciones de velocidad en
materiales homogéneos ...........................................
83
I.7.1 Ecuaciones básicas macroscópicas del proceso de difusión
...... 84 I.7.2 Función de autocorrelación y densidad espectral
................. 87
I.8 Análisis del ruido en dispositivos semiconductores
.............. 90 I.8.1 Análisis del ruido en homouniones
.............................. 91
I.8.1.a Modo de operación de ruido en corriente ..................
93 I.8.1.b Modo de operación de ruido en voltaje. Análisis
espacial del ruido ........................................ 97
I.8.2 Análisis del ruido en heterouniones
............................. 99
I.8.2.a Modo de operación de ruido en corriente ..................
100 I.8.2.b Modo de operación de ruido en voltaje. Análisis
espacial del ruido ........................................ 101
_______________________________________________________________________________________________________
CAPITULO DOS Modelización de Materiales Mediante el Método de
Montecarlo: Silicio y Aleación Silicio-Germanio
................................ 103
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
II.1 Crecimiento de capas pseudomorficas de Si1-xGex
............... 106
II.2 Estructura de bandas del silicio, germanio y aleación Si1-xGex
.............................................. 109
II.2.1 Banda de conducción
.......................................... 109
Indice
II.2.3 Modificación de la estructura de bandas en la aleación
Si1-xGex con respecto a la del silicio ............................
112
II.3 Mecanismos de scattering y parámetros físicos
.................. 119
II.4 Resultados material homogéneo
silicio........................... 120
II.4.1 Funciones de distribución en energía
........................... 120
II.4.2 Tiempo de permanencia en cada valle
.......................... 122
II.4.3 Energía cinética media
......................................... 124
II.4.4 Velocidad de arrastre. Movilidad
............................... 124
II.5 Resultados material homogéneo: aleación Si1-xGex
.............. 128
II.5.1 Funciones de distribución en energía
........................... 129
II.5.2 Tiempo de permanencia en cada valle
.......................... 132
II.5.3 Velocidad de arrastre. Movilidad
............................... 135
_______________________________________________________________________________________________________
CAPITULO TRES Estudio de las Fluctuaciones de Velocidad de
Electrones y Huecos en Materiales Homogéneos: Silicio y Aleación
Silicio-Germanio 151
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
III.1 Coeficiente de difusión
.......................................... 152
III.1.1 Silicio
......................................................... 152
III.2.1 Silicio electrones
.............................................. 158
III.2.2 Silicio huecos
................................................. 168
III.2.3 Aleación Si1-xGex: electrones
.................................. 172
III.2.4 Aleación Si1-xGex: huecos
..................................... 184
_______________________________________________________________________________________________________
CAPITULO CUATRO Análisis de las características estáticas y del
ruido en homouniones unipolares de Si y Si1-xGex
...................... 193
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
IV.1 Geometría y dopaje de las estructuras semiconductoras
simuladas ........................................................
194
IV.1.1 Estructuras homogéneas y diodos n+nn+ y p+pp+
............... 195
IV.1.2 Descripción de las estructuras analizadas
...................... 196
IV.2 Características estáticas
.......................................... 198
IV.3.1 Ruido en corriente
............................................ 215
IV.3.1.a Normalización adoptada ................................
215
IV.3.1.d Estructuras n+nn+ y p+pp+ de silicio .....................
224
IV.3.1.e Estructuras n+nn+ y p+pp+ de Si 1-xGex ...................
228
IV.3.2 Ruido en voltaje
.............................................. 230
IV.3.2.a Estructuras homogéneas de Si ..........................
230
IV.3.2.b Estructuras n+nn+ de Si y Si0.7Ge0.3
...................... 239
_______________________________________________________________________________________________________
CAPITULO CINCO Análisis de las características estáticas y del
ruido en estructuras bipolares de Si y Si1-xGex
.......................... 247
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
V.1 Homouniones pn+ y p+n de silicio
................................ 250
V.1.1 Características estáticas
........................................ 252
V.1.2.a Ruido en corriente .......................................
258
V.1.2.a Ruido en voltaje .........................................
269
V.2 Heterouniones pn+ (Si0.7Ge0.3/Si) y p+n (Si/Si0.7Ge0.3)
........... 276
V.2.1 Descripción de las estructuras
.................................. 276
V.2.2 Características estáticas
........................................ 278
V.2.3.a Ruido en corriente .......................................
295
V.2.3.a Ruido en voltaje .........................................
315
V.3 Heterouniones pn+ (Si1-xGex/Si) y p+n (Si/Si1-xGex)
............. 323
V.3.1 Descripción de las estructuras
.................................. 323
V.3.2 Características estáticas
........................................ 324
V.3.3 Densidades espectrales de las fluctuaciones de la corriente
..... 328
_______________________________________________________________________________________________________
APENDICE DOS Tablas de parámetros físicos de los materiales
.................. 353
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ................................... 357
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Semiconductores. Método de Monte Carlo
El objetivo de este primer Capítulo es introducir los conceptos y
métodos
generales que serán utilizados asiduamente en el resto de esta
Memoria. En este sentido
nos esforzaremos en presentar claramente tanto el binomio modelo
microscópico-
método de Monte Carlo empleado para realizar el estudio del
transporte en los distintos
materiales y dispositivos semiconductores abordados, como las
diferentes técnicas
posibles a la hora de caracterizar los fenómenos de ruido en los
mismos a las que el
anterior binomio da lugar.
En una primera sección recordaremos brevemente los modelos del
transporte de
los portadores en un semiconductor usualmente empleados. De este
modo,
presentaremos los modelos de deriva-difusión e hidrodinámico y,
finalmente, el binomio
modelo microscópico-método de Monte Carlo1 y discutiremos en cada
caso ventajas e
inconvenientes relativos.
1Con objeto de abreviar la nomenclatura, aunque con un cierto abuso
del lenguaje, suele denominarse al binomio modelo
microscópico-método de Monte Carlo simplemente método de Monte
Carlo. Es evidente que método y modelo no tienen relación alguna de
dependencia (de hecho el modelo puede implementarse
_____________________________________________________________________________________________________________________
Seguidamente, describiremos sistemática y detalladamente las
diferentes
adaptaciones del método de Monte Carlo que han sido desarrolladas
para la obtención
de los resultados en el estudio de cada problema abordado en
Capítulos posteriores: el
método de Monte Carlo de partícula única, el Ensemble Monte Carlo y
el método de
Monte Carlo de Dispositivos. En este último haremos hincapié en las
técnicas de
optimización del procedimiento estándar en casos especiales en los
que éste exige un
elevado tiempo de cálculo.
En último lugar, realizaremos un estudio pormenorizado de las
aplicaciones de
los métodos de Monte Carlo al estudio de las fluctuaciones de
magnitudes físicas
(responsables de la aparición de los fenómenos de ruido) en
materiales y dispositivos
semiconductores.
EN SEMICONDUCTORES. MODELO DE BOLTZMANN
En los distintos problemas de transporte en dispositivos que serán
abordados a lo
largo de esta Memoria2 las dimensiones consideradas en la dirección
efectiva del
transporte son muy superiores a la longitud de onda de Broglie del
portador (típicamente
entre 0.5 nm y 50 nm en un semiconductor)3. En estas condiciones,
no será necesario
considerar en el estudio otros efectos mecánico-cuánticos que los
subyacentes en la
aproximación semiclásica del transporte en semiconductores (Snowden
1986). Esto es,
suponemos que posición y momento de un portador pueden conocerse
simultáneamente
en precisión arbitraria (esto supone una violación del principio de
incertidumbre de
Heisemberg) a cambio de considerar al portador como una partícula
con una masa
dependiente de la energía (aproximación de masa efectiva) y una
carga positiva o
negativa dependiendo de su posición en el sistema de bandas de
energía.
con técnicas booleanas). Sin embargo, dada la generalización de la
denominación en la literatura la adoptamos teniendo bien en cuenta
a qué nos referimos. 2Salvo en lo referente al estudio de la
heterounión Si/(Si,Ge), que presenta un confinamiento parcial de
portadores y una alteración mecánico-cuántica del transporte
termoiónico. La discusión de estos efectos y su influencia sobre el
modelo se tratarán en el Capítulo V. 3Las dimensiones no simuladas
se suponen mucho mayores que la estudiada en la aproximación
unidimensional.
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11
Normalmente, en sistemas con un gran número de portadores no
estamos
interesados en comportamientos individuales sino en su respuesta
colectiva. A estos
efectos, suele ser suficiente el conocimiento de la función de
distribución de los
portadores para describir satisfactoriamente la evolución del
sistema en términos
macroscópicos. Para partículas semiclásicas esta función será
f(r,k,t), siendo r la
posición espacial, k el momento y t el tiempo4. Por tanto, f(r,k,t)
proporciona la
evolución de los portadores del sistema como la de puntos
equivalentes en el espacio
fásico.
Si consideramos que no existen mecanismos de tipo interbanda
(generación-
recombinación) y restringimos f(r,k,t) bien a la banda de
conducción para electrones,
bien a la de valencia para huecos5, podemos imponer una ecuación de
conservación del
número de partículas en cada banda. Es decir, el número de puntos
del espacio fásico
debe permanecer constante. Esta condición de conservación conduce a
una ecuación de
evolución temporal de la función de distribución que se conoce como
ecuación del
transporte de Boltzmann (BTE) y que a lo largo de esta Memoria será
designada de
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
Los términos del primer miembro describen las modificaciones
debidas a
evoluciones temporales (transitorios), presencia de campos externos
y difusión debida a
inhomogeneidades, en tanto que el segundo miembro representa las
modificaciones de
4Las cantidades vectoriales serán indicadas en negrita (p.ej. k) y
su magnitud en itálica (p. ej. k). Esta notación se mantendrá a lo
largo de toda la Memoria. 5Nótese que esto conduce a la necesidad
de una obtención disociada de funciones de distribución para
electrones y huecos. 6De manera rigurosa, la ecuación del
transporte de Boltzmann es una simplificación de la de Liouville,
que exige un detallado conocimiento de las matrices de probabilidad
de presencia en un estado para cada partícula. Dado que, para una
partícula concreta, esas matrices de probabilidad expresan, entre
otras, la influencia del resto de las partículas del sistema
físico, la pérdida de información que supone el abandono del
formalismo de Liouville al pasar a una descripción del tipo BTE
conduce a la aparición de dificultades de importancia a la hora de
estudiar sistemas densamente poblados (por ejemplo, al tratar
interacciones de tipo portador-portador). De hecho, nada prueba la
conveniencia de emplear la BTE a la hora de estudiar sistemas que
no sean de “tipo gaseoso con partículas no interactuantes entre
sí”. Pero debe admitirse que la comparación con resultados
experimentales es muy favorable al empleo de la BTE en el estudio
de semiconductores (Nag 1980). De esta manera, podemos tratar el
conjunto de electrones como un “gas de electrones” y el conjunto de
huecos como un “gas de huecos”.
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12
puntos en el espacio fásico debidos a mecanismos de scattering del
portador por el
medio.
∂ ∂
r v
t = (I.2)
que corresponde a la velocidad de grupo de los portadores, mientras
que la derivada
∂ ∂
ext=
(I.3)
donde Fext es la fuerza externa global aplicada sobre el sistema de
partículas y es la
constante de Planck normalizada.
Bastante más oscuro y difícil de evaluar es el término asociado a
los mecanismos
de scattering. Este término recoge las modificaciones en la función
de distribución de
los portadores en una banda debidas al intercambio neto de energía
y momento entre el
gas de portadores residente en la citada banda y el resto del
cristal. Esto tiene dos
implicaciones fundamentales, la primera permite una extensión de la
ecuación (I.1) para
tratar procesos interbanda: los procesos de creación-aniquilación
de pares electrón-
hueco suponen intercambios de partículas entre bandas que pueden
ser tratados como
intercambios de momento y energía entre las bandas de valencia y
conducción. Estos
intercambios normalmente son asistidos por la red y/o una
excitación externa. En
cualquier caso resultan en una modificación de las funciones de
distribución en cada
banda que se refleja en la densidad de portadores en éstas. En
efecto, en el caso de
electrones en la banda de conducción su densidad se expresa como la
integral de la
función f(r,k,t) en la primera zona de Brillouin:
n t d f t Z B
( , ) ( , , ) ª . .
(I.4)
Por tanto, el término de colisiones puede englobar la modificación
de portadores
en las bandas vía intercambio con otras bandas o con niveles
discretos (p. ej. utilizando
la estadística de Shockley-Read-Hall para modelizar los
intercambios), como es bien
conocido.
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13
La segunda implicación tiene mayor importancia: dado que los
procesos de
intercambio de momento y energía entre el gas de portadores y la
red se realizan entre
partículas de mucha masa (iones) y portadores extremadamente
móviles podemos
asumir que tienen lugar sin modificación de la posición del
portador durante la
interacción. Esto significa que las colisiones son de tipo
instantáneo (o, al menos, su
duración es mucho menor que el tiempo que necesita el portador para
modificar
esencialmente su posición). De esta manera, el término de
colisiones en (I.1) será
función de k exclusivamente, y podremos escribirlo como7:
[ ]( ) [ ]( ){ }∂ ∂ π
= − − −∫
k k' k' k k k k k' k' (I.5)
donde P(k,k') y P(k',k) expresan la probabilidad global de
transición desde el estado k
al k' y viceversa por algún mecanismo de scattering en cada caso.
En sistemas no
degenerados los términos entre corchetes son aproximadamente
iguales a la unidad.
La aproximación de duración nula de los mecanismos de scattering
portador-
portador es discutible dado que no podemos suponer en reposo uno de
ellos, además
P(k,k') y P(k',k) dependen de la función de distribución, lo que
conduce a un
acoplamiento adicional de la solución de la BTE con el término de
colisiones de ésta.
Este grave problema no es una dificultad meramente matemática sino
que tiene un
origen físico difícil de soslayar.
Pero, aún restringiendo la ecuación de Boltzmann a casos en los que
las
interacciones portador-portador sean despreciables, resulta una
ecuación integro-
diferencial:
{ }∂ ∂ π
+ ∇ + ∇ = −∫1 1 4 3
F v k k' k' k k k k'k r ( ) ( , ) ( ) ( , )
º . .
(I.6)
de muy difícil solución y en la que en el término de scattering
debe establecerse la
influencia relativa de cada mecanismo para cada caso de aplicación
de la BTE (por
ejemplo, para cada temperatura). Sólo en casos especialmente
simples es posible su
resolución mediante métodos iterativos de tipo variacional (Nag
1980). En el resto de
casos se hace necesario recurrir a hipótesis simplificadoras del
problema (por ejemplo,
7Suponemos en lo que sigue que los mecanismos de scattering son
independientes de las fuerzas externas
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14
despreciar los mecanismos inelásticos), de validez dudosa, con el
fin de obtener
soluciones matemáticas.
De esta manera, se desemboca en el clásico método de relajación del
momento
que supone que el término de colisiones en la ecuación (I.1) puede
expresarse como:
∂ ∂ τ
( , ) ( )r k k, (I.7)
donde fo(k) es la función de distribución en equilibrio
termodinámico, tiene simetría en
k y carece de dependencia espacial, f(r,k,t) es la función de
distribución fuera de
equilibrio termodinámico y τ es una constante de relajación “ad
hoc” que puede
determinarse empleando la regla de Matthiessen (si bien solamente
para mecanismos
elásticos). Las limitaciones de la ecuación (I.7) son evidentes,
aunque proporciona
resultados aceptables en regiones de temperatura y semiconductores
donde las
interacciones con impurezas o con fonones acústicos son
dominantes.
Una mejora notable respecto de las posibilidades ofrecidas por la
ecuación (I.7)
consiste en utilizar el método de los momentos. Básicamente, este
procedimiento
consiste en multiplicar la ecuación de Boltzmann por momentos de
orden creciente e
integrar el producto en la 1ª Zona de Brillouin. Para los tres
primeros productos esto nos
conduce a ecuaciones de conservación de los portadores en cada
banda, del momento y
∂ ∂
∂ ∂
scatt + ∇
scatt + ∇ ∇ ∇
1 .(
. (I.10)
(Barker y Ferry 1980) 8Evidentemente, pueden emplearse momentos de
orden mayor, pero los resultados se hacen difíciles de interpretar
y, lo que es más importante, difíciles de obtener (Tiwari 1992) 9La
ecuación (I.9) se obtiene tras multiplicar no por k sino por v y la
(I.10) tras multiplicar por la energía media en vez de hacerlo por
k2. Además (I.10) se obtiene suponiendo que f(k,r,t) es una
Maxwelliana desplazada. Esta suposición adicional no es
rigurosamente necesaria (Blotekjaer 1970).
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15
donde se ha supuesto que solamente se aplica un campo eléctrico, E,
como fuerza
externa, ε es la energía media en la banda considerada, s es el
vector flujo de energía,
KB la constante de Boltzmann, q es el módulo de la carga del
electrón y Te la
temperatura del gas de electrones. Además las ecuaciones
(I.8)-(I.10) se han escrito para
una banda de conducción tipo esférica (masa m*) si bien puede
generalizarse para
bandas de tipo elipsoidal.
ε = + 1 2
2m v K TB e* (I.11)
Los segundos miembros de las ecuaciones (I.8)-(I.10) representan
los efectos de
los mecanismos de scattering sobre las magnitudes que se conservan
en cada caso.
Introduciendo, como se hizo en (I.7), un formalismo de relajación
de tipo exponencial
simple, podemos escribir:
= −
−
En (I.12) G es la probabilidad balanceada de
generación-recombinación y
depende de la vida media de los portadores en la banda (τc). En la
ecuación (I.13)
recuperamos una versión de la ecuación (I.7) en la que aparece el
tiempo de relajación
del momento, τm(ε). Finalmente, la ecuación (I.14) tiene en cuenta
la relajación de la
energía originada por los mecanismos de tipo inelástico cuyo efecto
es ignorado en
(I.13) y (I.7), para ello se introduce un tiempo de relajación de
la energía τe(ε). El
modelo supone que tanto τm(ε) como τe(ε) son funciones de la
energía media de los
electrones. Evidentemente, pueden obtenerse ecuaciones análogas al
conjunto (I.8)-
(I.14) para los huecos. El término εo en (I.14) es la energía en
equilibrio termodinámico
(igual a la de la red).
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16
Partiendo de estas ecuaciones, surgen diferentes métodos a partir
de la
introducción de conjuntos de hipótesis distintos para facilitar la
resolución del sistema
de ecuaciones obtenido. Los más destacados son: el modelo de deriva
difusión, el
modelo hidrodinámico y el método de Monte Carlo10.
A continuación vamos a presentar brevemente los dos primeros
insistiendo en
sus limitaciones para describir correctamente el transporte en
semiconductores bajo
ciertas condiciones y justificaremos por qué el método de Monte
Carlo basado en el
modelo microscópico sí es adecuado para estudiar el transporte en
esas situaciones.
I.2 MODELO DE DERIVA-DIFUSION
El modelo de deriva-difusión es de tipo macróscopico y resulta de
la reducción
de las ecuaciones obtenidas mediante el método de los momentos tras
imponer diversas
hipótesis simplificadoras. Entre éstas vamos a centrarnos en las
más restrictivas:
-Bajo cualquier condición externa o interna, los portadores están
siempre en
equilibrio con la red, esto es Te=T en todo punto (siendo T la
temperatura de la red).
-El término de variación de la velocidad con el tiempo en la
ecuación (I.9) es
despreciable frente al resto de los términos de la misma (esto es,
si hay modificaciones
en la distribución de la velocidad en un dispositivo impuestas por
la polarización
externa, por ejemplo, el reajuste de la velocidad de los portadores
es instantáneo).
Si admitimos lo anterior la ecuación (I.10) pierde casi todo su
interés dado que
se convierte en una reexpresión de la ecuación de Joule. No
obstante, el modelo sigue
siendo válido para analizar transitorios de corriente y efectos de
corriente difusiva
ligados a diferencias espaciales de temperatura en la red.
La ecuación (I.9) se reduce a una expresión típica de
deriva-difusión, que en el
caso de electrones se escribe:
v En - n= − ∇µn nD
n (I.15)
10En los últimos años han aparecido otros métodos “alternativos”:
el método de autómatas celulares (Kometer et al. 1992, Zandler et
al. 1993, 1993b) y el método del scattered paket (Vaissière et al.
1993, Nougier et al. 1993).
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17
donde µn y Dn son, respectivamente, la movilidad y el coeficiente
de difusión de los
electrones, definidos como:
µ (I.17)
Esta última relación es la relación de Einstein. Tanto µn como Dn
suelen tomarse como
independientes del campo eléctrico. No obstante, algunos autores
utilizan para µn y Dn
expresiones más realistas con dependencia respecto del módulo del
campo eléctrico, y
en este caso la ecuación (I.17) suele extenderse para condiciones
de fuera de equilibrio
(relación de Einstein modificada).
Introduciendo las hipótesis simplificadoras anteriores en la BTE la
ecuación
(I.8), junto con (I.12), adopta la forma extremadamente simple de
una ecuación de
∂ ∂
G= ∇ − 1
.Jp (I.19)
Jn y Jp son las densidades de corriente para electrones y para
huecos
respectivamente:
J En = + ∇qn qD nn nµ (I.20)
J Ep = ∇qn qD pp pµ - (I.21)
donde n y p, Jn y Jp, µn y µp, Dn y Dp, son las concentraciones,
las densidades de
corriente, las movilidades y los coeficientes de difusión de
electrones y de huecos
respectivamente.
El campo eléctrico que aparece en las ecuaciones (I.20) y (I.21)
debe calcularse
de manera autoconsistente mediante la ecuación de Poisson:
−∇ = − + −2 ε ε
q N n p N
o r D A( ) (I.22)
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18
es el potencial eléctrico, εoεr la permitividad dieléctrica del
material, ND la
concentración de impurezas donoras y NA la concentración de
impurezas aceptoras
ionizadas.
Las ventajas del modelo de deriva-difusión radican principalmente
en su gran
simplicidad. Esto facilita su empleo dado que necesita de pocos
recursos de cálculo para
resolver las ecuaciones y proporcionar resultados que en numerosos
casos son de una
calidad muy aceptable.
Los inconvenientes de este modelo afloran a medida que las
condiciones de
aplicación contradicen las hipótesis básicas de partida:
-En primer lugar al asumir que los portadores están en equilibrio
térmico con la
red este modelo no puede considerar efectos ligados al
calentamiento de los portadores y
no da cuenta de la degradación debida a este fenómeno en diferentes
dispositivos (Lugli
1993).
-En segundo lugar, los efectos del material sobre el movimiento de
los
portadores únicamente forman parte de las ecuaciones a través de la
movilidad, el
coeficiente de difusión y la permitividad dieléctrica. A pesar de
que el modelo puede
modificarse para incluir la posible variación de la movilidad con
el campo eléctrico,
exige que la velocidad de los portadores se ajuste instantáneamente
al campo eléctrico
local. Esto es, no puede tenerse en cuenta el tiempo requerido por
los portadores para
alcanzar una velocidad estacionaria cuando hay variaciones del
campo eléctrico. Para
fijar ordenes de magnitud, resultados de simulaciones Monte Carlo
(Ruch 1972)
muestran que en una conmutación del campo eléctrico en un material
un electrón recorre
una distancia media de 0.2 µm en silicio antes de alcanzar su
velocidad estacionaria y
1.0 µm en GaAs (esta distancia es menor en silicio debido tanto a
la menor movilidad
de los electrones como a su menor tiempo de relajación del
momento). En consecuencia,
el modelo de deriva-difusión es incapaz de reflejar efectos de
sobrevelocidad que
pueden aparecer en el estudio de la evolución de la velocidad de
los portadores en un
dispositivo. El modelo no es válido, por tanto, para estudiar el
transporte en dispositivos
de dimensiones geométricas suficientemente reducidas como para que
la distancia sobre
la cual aparecen los fenómenos de no equilibrio portador-red sea
comparable a ellas
(Ruch 1972, Maloney y Frey 1977, Kratzer y Frey 1978, Brennan et
al. 1983, Brennan y
Hess 1984). Sin embargo, el modelo tiene validez absoluta en el
estudio de dispositivos
___________________________________________________________________________________________________________________
19
de dimensiones mayores debido a que las regiones de transporte no
estacionario son
pequeñas en comparación con el resto del dispositivo. En
conclusión, debido al hecho
de que el desarrollo de la tecnología implica una disminución
progresiva de las
dimensiones de los dispositivos, debemos admitir que el modelo de
deriva-difusión ha
dejado de ser útil en el estudio de dispositivos semiconductores
hace más de una década.
-Como última limitación del modelo debemos señalar que éste no
puede
proporcionar resultados transitorios fiables dado que asume ciertas
condiciones
estacionarias: variación temporal de f nula y no dependencia
temporal de las ecuaciones
de las densidades de corriente. Otra consecuencia adicional de que
el método sea
estático es que no permite el estudio de fluctuaciones de
magnitudes en el dispositivo u
otros fenómenos que estén basados en la evolución temporal de la
distribución de los
portadores.
I.3 MODELO HIDRODINAMICO
También se conoce al modelo hidrodinámico como de transporte de
energía y
aporta grandes mejoras sobre el modelo de deriva-difusión (Constant
1980). Continúa
siendo un modelo macroscópico pues hace uso de parámetros de este
tipo (tiempos de
relajación para la energía y el momento) y proporciona información
solamente sobre
magnitudes también de naturaleza macroscópica. Matemáticamente
emplea las
ecuaciones de los tres primeros momentos de la ecuación de
Boltzmann, ecuaciones
(I.8) a (I.10), incluyendo la aproximación de los tiempos de
relajación para los términos
de colisiones, ecuaciones (I.12) a (I.14), junto con la ecuación de
Poisson (I.22), y las
condiciones de contorno adecuadas para su utilización en la
simulación de dispositivos.
Recapitulando, en este modelo se están empleando las ecuaciones de
los
momentos completas (sin despreciar términos ni asumir equilibrio
térmico de los
electrones con la red) a diferencia de lo que se hacía en el modelo
de deriva-difusión.
Además, dado que los parámetros que intervienen en las ecuaciones
se consideran
dependientes de la energía media de los portadores, se está
introduciendo una cierta
correlación entre los fenómenos de relajación de la energía y el
momento y la corriente
en el dispositivo. La dependencia de estos coeficientes con la
energía media puede
_____________________________________________________________________________________________________________________
determinarse indirectamente a partir de datos experimentales en
caso de materiales
homogéneos y en régimen de campos aplicados débiles o, en la
práctica, extraer de
simulaciones Monte Carlo estacionarias11.
Las ventajas del modelo hidrodinámico sobre el de deriva-difusión
son: en
primer lugar, mediante la consideración de tiempos de relajación
diferentes para el
momento y la energía se describen los fenómenos de transporte no
estacionario
portador-red cristalina tales como la sobrevelocidad. En segundo
lugar, incorpora en las
ecuaciones la dependencia temporal de v y de ε por lo que es
adecuado para el estudio
de transitorios en los dispositivos. Finalmente, como hemos
mencionado, también puede
tener en cuenta el calentamiento de los portadores al incluir la
dependencia de la
temperatura de los portadores con la energía. La única pequeña
desventaja sobre el
método de deriva-difusión surge a la hora de la aplicación del
modelo dado que requiere
muchos más recursos de cálculo y es más complejo.
Sin embargo, las limitaciones de este modelo siguen siendo muy
importantes:
-En primer lugar el método tiene una relación de servidumbre
respecto del
método de Monte Carlo que le proporciona la dependencia con la
energía de los
diferentes parámetros que el modelo hidrodinámico necesita; sólo es
capaz de utilizar
valores estacionarios de estos parámetros y no puede describir
fenómenos básicos como
la transferencia entre valles no equivalentes (Blotekjaer 1970) en
razón de su pobre
descripción de las bandas.
-De forma similar al modelo de deriva-difusión, no proporciona la
función de
distribución instantánea de velocidades, por lo que no parece un
método adecuado para
el estudio físico del fenómeno de fluctuaciones en material y
dispositivos (ruido).
Aunque sí puede proporcionar cierta información complementaria como
los cálculos de
impedancia y admitancia en función de la frecuencia (Gruzinskis et
al. 1993)
-En términos generales, este modelo utiliza dos tiempos de
relajación globales
para la energía y el momento, lo que no basta para describir la
complejidad de los
mecanismos que influyen en el transporte de los portadores
(Velázquez 1990).
11En rigor hay una tercera posibilidad que consiste en hacer un
cálculo analítico de los parámetros τe(ε) y τm(ε) del mecanismo
dominante en cada rango de energía siguiendo el concepto de
movilidad determinado por tipo de mecanismo en rango de temperatura
(Seeger 1989). Las limitaciones de este procedimiento son
claras.
___________________________________________________________________________________________________________________
I.4 METODO DE MONTE CARLO
En las secciones anteriores hemos comprobado que la debilidad
fundamental en
los modelos de deriva-difusión e hidrodinámico estriba en una
descripción
excesivamente simplista del sistema (especialmente en el primero de
ellos) por medio
de parámetros macroscópicos que, paradójicamente, en algunos casos
son de difícil
determinación experimental (por ejemplo, τm(ε)). Esta situación
conduce a que el
modelo de deriva-difusión no sea válido para el estudio de
dispositivos en los que se
aplican campos medios y altos, con fuertes gradientes de portadores
y/o en los que una
parte del transporte se efectúe en régimen de no equilibrio entre
el portador y la red
(dispositivos submicrométricos). El problema se agrava si existen
heterouniones, tal y
como ocurre en todos los dispositivos de reciente desarrollo. En
estas condiciones la
aplicación del modelo hidrodinámico parece atractiva dado que (a
diferencia del de
deriva-difusión) sí puede abordar problemas del tipo “portadores
calientes”. No
obstante, persisten ciertos puntos que despiertan dudas a este
respecto. Por ejemplo, la
complejidad de las bandas que afecta al transporte es difícilmente
trasladable a nivel
macroscópico, parece difícil que el problema del “tratamiento de
las colisiones” se
resuelva mediante dos parámetros que además no pueden medirse.
Teniendo en cuenta
que los parámetros utilizados en el hidrodinámico son obtenidos en
situaciones
estacionarias, bajo condiciones de alto campo y/o en presencia de
heterouniones en los
que el transporte está dominado por portadores que poseen una
energía muy superior a
la térmica (colas de la función de distribución), no es posible
aceptar aproximaciones
únicamente razonables en el rango de energías medias.
El binomio modelo microscópico-método de Monte Carlo es una
aproximación
al problema diametralmente opuesta a las dos anteriores dado que se
realiza desde un
punto de vista microscópico (Jacoboni y Reggiani 1983). En primer
lugar, el método de
Monte Carlo, como aplicación al transporte de carga en
semiconductores, no consiste en
una modelización analítica del problema para después proceder a una
resolución
numérica, sino en realizar una simulación del movimiento de los
portadores sujetos, en
el seno del cristal, tanto a la acción de fuerzas externas debidas
a la aplicación de
campos eléctricos y magnéticos como a la acción de la red
cristalina. Esta última ejerce
un condicionamiento doble sobre el movimiento de los portadores
dentro de la
_____________________________________________________________________________________________________________________
22
aproximación semiclásica: por una parte confiere al portador una
masa efectiva variable
de acuerdo con la evolución del vector k en la estructura de bandas
y, por otra, ocasiona
diversas alteraciones de su movimiento por intercambio de momento y
energía en el
portador (interacciones o mecanismos de scattering)12. Tanto la
duración de los
recorridos libres del portador (tiempo entre dos colisiones
sucesivas), como el tipo de
mecanismo de scattering y sus efectos, son seleccionados
aleatoriamente de acuerdo con
las probabilidades de aparición de cada proceso microscópico de
scattering que puede
tener lugar. De esta manera puede simularse una parte de la
historia del movimiento de
cada portador en el interior del cristal (o al menos la de una
muestra estadísticamente
válida del “gas de portadores”), lo que permite acceder a valores
individuales e
instantáneos de la velocidad del portador, de su energía, su
posición en el espacio de las
fases, etc., como comprobaremos mas adelante. A partir de estos
elementos pueden
obtenerse los parámetros presentes en las ecuaciones de transporte
y, evidentemente, la
función de distribución f(r,k,t). Por lo tanto, representa una
solución indirecta de la
ecuación del transporte de Boltzmann. Dado que la técnica Monte
Carlo es una
simulación directa de la dinámica de los portadores de carga dentro
del cristal, permite
investigar las propiedades de materiales y dispositivos con el fin
de asistir
adecuadamente en la ingeniería de materiales y en la
concepción/diseño de nuevos
dispositivos, por lo que tiene sin duda gran importancia. Este uso
del método lo hace
similar a una técnica experimental y, en este sentido, amplía las
posibilidades de una
modelización simple.
Dentro de la simulación Monte Carlo existen diversas modalidades,
según se
detalla en la siguiente sección, que surgen de la adaptación del
método para el estudio
del transporte de carga en diferentes situaciones. Pero en general
la aplicación del
método de Monte Carlo al estudio del transporte requiere un mayor
tiempo de cálculo
que los dos modelos anteriormente descritos, éste es su único
inconveniente
comparativamente hablando. Aunque con la continua mejora de los
medios de cálculo
no existe ninguna objeción para usar el método de Monte Carlo en la
simulación de
dispositivos.
___________________________________________________________________________________________________________________
Las ventajas del modelo microscópico son múltiples (Velázquez
1990):
-Desde un punto de vista físico este modelo se emplaza en un nivel
superior a los
presentados anteriormente dado que emplea un número de hipótesis
más reducido, lo
que permite que los resultados obtenidos tengan más generalidad. En
efecto,
proporciona una solución exacta instantánea de la ecuación de
transporte de Boltzmann
en casos no estacionarios (dispositivos) y en condiciones no
estacionarias. Describe
correctamente efectos no locales donde un electrón contribuye a la
corriente en una
posición del espacio real r y en un tiempo t, viniendo de una
posición r’ y en un tiempo
t’, donde la función f(r’,t’) era diferente de f(r,t) (Lugli
1993)13.
-Este modelo además reproduce con detalle la naturaleza aleatoria
del transporte,
siendo el método idóneo para estudiar de manera directa los
fenómenos que
estocásticamente condicionan el funcionamiento de los dispositivos.
De este modo es
especialmente adecuado para el estudio de las fluctuaciones y el
ruido electrónico en
dispositivos semiconductores.
-En el modelo microscópico los mecanismos de scattering no se
caracterizan
únicamente por dos tiempos de relajación (de la energía y del
momento), sino que el
portador sufre directamente el efecto del conjunto de las
interacciones en los instantes
de tiempo adecuados de acuerdo con las probabilidades de cada una
de ellas. Es decir, el
modelo incorpora naturalmente el transporte en régimen
no-estacionario portador-red.
-Por último, como ya hemos señalado, simulando tiempos
suficientemente largos
para que el transporte se realice en régimen estacionario, el
método de Monte Carlo
proporciona la dependencia con la energía de los diferentes
parámetros que necesita el
modelo hidrodinámico, tales como los tiempos de relajación de la
energía y del
momento: τm(ε) y τe(ε). Queda claramente establecida así la
relación de dependencia y
la escasa fiabilidad del modelo hidrodinámico en el estudio de
regímenes no
estacionarios.
De todo lo expuesto anteriormente se deduce que el método de Monte
Carlo es la
mejor técnica a la hora de estudiar el transporte en situaciones en
las que no pueden
ignorarse los efectos no estacionarios, como ocurre en dispositivos
submicrométricos.
_____________________________________________________________________________________________________________________
I.4.1 Monte Carlo de partícula única
Cuando el propósito del análisis es la investigación de un fenómeno
de
transporte en régimen estacionario y en condiciones homogéneas, es
suficiente, en
virtud del principio de ergodicidad, simular el movimiento de un
único portador:
estadísticamente podemos admitir que el seguimiento de la historia
de un solo portador
durante un periodo de tiempo suficientemente largo en la muestra
nos suministra
información del comportamiento de todo el gas de portadores dado
que éste habrá
recorrido en el espacio {r,k} las regiones con ocupación
significativa (es decir, donde
f(r,k) no es nula).
Este es el caso que se presenta en el estudio del transporte de
carga en
semiconductores homogéneos en condiciones estacionarias sometidos a
la acción de un
campo eléctrico constante. El semiconductor se considera
suficientemente grande como
para despreciar los efectos de “borde” y en ausencia de mecanismos
de generación-
recombinación. Esto último permite no resolver la ecuación de
Poisson. La simulación
Monte Carlo del movimiento de una partícula en las condiciones que
acabamos de
describir suele denominarse de “partícula única” y permite estudiar
las propiedades de
transporte estacionario en materiales homogéneos, por esta razón
también se le
denomina también Monte Carlo de materiales. Su implementación es la
más sencilla y
constituye la base para todas las aplicaciones del modelo
microscópico.
I.4.1.a Fundamentos del método de Monte Carlo
Muchos parámetros de un sistema físico están gobernados por
distribuciones de
probabilidad complejas que son muy difíciles de manejar analítica y
numéricamente. El
método de Monte Carlo consiste, en líneas generales, en la
manipulación de estas
distribuciones de probabilidad complejas mediante distribuciones
matemáticas sencillas
pseudo-aleatorias. Como consecuencia, el método de Monte Carlo
precisa de la
generación de secuencias de números pseudo-aleatorios con
distribuciones de
probabilidad adecuadas. La distribución pseudo-aleatoria mejor
adaptada al método y
más conveniente es la distribución uniforme. Esta distribución de
probabilidad
___________________________________________________________________________________________________________________
25
habitualmente se encuentra disponible en la mayoría de los
compiladores de los
diferentes sistemas operativos actuales con buenos índices de
calidad.
A partir de la distribución uniforme puede obtenerse cualquier
otra. Sean p(r) y
q(φ) las densidades de probabilidad de dos distribuciones, p(r)
correspondiente a una
distribución uniforme con r ∈ [0,1] e implementada de forma
pseudoaleatoria, en tanto
que q(φ) es la densidad de probabilidad de una distribución de
probabilidad arbitraria. Si
p(r) y q(φ) están normalizadas podemos escribir (Boardman
1980):
q d p r dr( ' ) ' ( ' ) 'φ φ φ
=∫ ∫ 0 0
r
(I.23)
En una distribución uniforme p(r)=1 por lo que la ecuación (I.23)
pasa a ser:
r q d= ∫ ( ' ) 'φ φ φ
0 (I.24)
De este modo, si es posible evaluar de forma analítica esta
integral, despejando φ
en función de r, se obtiene el valor aleatorio φ de acuerdo con su
propia distribución de
probabilidad en términos del número aleatorio uniformemente
distribuido14. En casos en
los que la integral (I.24) no pueda evaluarse fácilmente pueden
aplicarse ciertas técnicas
para poder realizar la inversión que proporciona φ como se verá
posteriormente.
El procedimiento descrito es la base del método de Monte Carlo y
debe aplicarse
a cada mecanismo que actúe de manera aleatoria en el sistema bajo
estudio. Esto exige
una modelización previa de la probabilidad de aparición del
mecanismo aleatorio y de
sus efectos, pero no impone condiciones sobre la naturaleza del
problema (siempre y
cuando este no sea markoviano) por lo que se aplica en diferentes
campos de la Física y
otras ciencias. En concreto fue introducido en el estudio del
transporte de carga en
semiconductores en 1966 por Kurosawa.
I.4.1.b Esquema de la simulación Monte Carlo de partícula
única
14De ahora en adelante no insistiremos en la naturaleza
pseudoaleatoria de las distribuciones obtenidas por este
procedimiento
_____________________________________________________________________________________________________________________
26
En la Figura I.1 se muestra un diagrama de flujo del método de
Monte Carlo de
partícula única empleado en el estudio del transporte en material
homogéneo bajo
condiciones de campo eléctrico aplicado constante.
Definición del sistema físico y parámetros de la simulación
Condiciones iniciales del movimiento
Determinación del estado del portador al final del recorrido
libre
Acumulación de datos para obtener valores medios
Ha sido la simulación
NO SI Evaluación de
resultados
FIN
Figura I.1. Diagrama de flujo de un algoritmo del tipo Monte Carlo
de partícula única
Las operaciones efectuadas en cada uno de los bloques se detallan
en los
apartados siguientes.
___________________________________________________________________________________________________________________
I.4.1.c Definición del sistema físico
Es el primer paso del programa, en él deben incluirse la
descripción del sistema
físico bajo estudio, los parámetros del material y valores de
magnitudes físicas que
afectan al transporte de carga.
- Bandas de energía
Como hemos justificado en la presentación del modelo, éste necesita
construir
las trayectorias semiclásicas de la partícula considerada en el
espacio fásico. Estas
estarán condicionadas tanto por la estructura de bandas, que impone
ciertas condiciones
a su vector de onda, ε(k), como por los mecanismos de scattering
presentes en el cristal.
En nuestro modelo, por tanto, debemos considerar estas
circunstancias.
Cada portador en el seno de una banda de energía n poseerá una
velocidad media
que podemos identificar con la de grupo del paquete de ondas
asociado:
v k n= ∇ 1
ε ( )k (I.25)
donde, es la constante Planck reducida y εn(k) es la energía
asociada al estado k del
portador en la banda n.
De acuerdo con la dinámica de partículas dentro de la aproximación
semiclásica
que estamos haciendo, podemos expresar la aceleración que
experimenta un portador en
una banda bajo la acción de una fuerza F externa aplicada
como:
a k k
∂ ε ∂ ∂
(I.26)
donde ai es la componente i-ésima del vector aceleración y Fj es la
componente j-ésima
del vector de fuerzas externas aplicado.
La ecuación (I.26) es formalmente idéntica a la 2ª Ley de Newton
expresada en
forma tensorial en la que las fuerzas que aparecen, como se ha
indicado anteriormente,
son solamente las aplicadas exteriormente al sistema. Las fuerzas
internas creadas por el
potencial periódico del cristal quedan representadas y englobadas
en el tensor masa
efectiva inversa cuya componente ij se expresa:
_____________________________________________________________________________________________________________________
21
∂ ε ∂ ∂
(I.27)
Por tanto, la ecuación (I.26) describe la dinámica del portador en
el sólido
cristalino en términos de las fuerzas externas aplicadas y de un
tensor que resume los
efectos del potencial periódico del cristal (aproximación de masa
efectiva). En estas
condiciones el portador puede ser tratado como una partícula
cuasi-libre semiclásica.
Hay diferentes modos de describir la estructura de bandas en una
simulación
Monte Carlo. El más comúnmente utilizado consiste en emplear
expresiones analíticas
como aproximación local en torno a los mínimos y máximos de las
diferentes subbandas
en las bandas de conducción y de valencia, respectivamente. Sin
embargo, también es
posible hacer uso de modelos más sofisticados (Fischetti y Laux
1988, Shichijo y Hess
1981, Laux et al. 1990, Laux y Fischetti 1991, Yoder et al. 1992)
en los que se emplea
una tabulación de la estructura de bandas numérica calculada
mediante el método del
pseudo-potencial (Cohen y Bergstresser 1966, Cohen y Chelikowsky
1988).
Teniendo en cuenta que una buena descripción de las bandas es
esencial para
tratar correctamente el transporte en el material, debemos escoger
entre uno y otro
modo. Evidentemente, en ambos se comete un error numérico ya sea en
el truncamiento
del desarrollo en serie de la relación energía vector de onda
ε(k)15 en la banda en el
entorno del extremo considerada, ya sea en la tabulación de la
misma. En el primer
modo este error numérico aumenta para energías elevadas del
portador, en tanto que en
el segundo modo el error se minimiza recurriendo a tabulaciones más
finas (esto es,
aumentando la ocupación de memoria del ordenador).
Siempre y cuando las energías cinéticas de los portadores no
superen los 2 eV
suele ser aconsejable recurrir al primero de los modos dado que en
este caso no surgen
serios problemas de separación entre la banda calculada
numéricamente y su
aproximación analítica. Este primer método tiene además la ventaja
de que las
trayectorias de los portadores también admiten un cálculo analítico
por lo que la
ocupación de memoria y el tiempo empleado en cálculos de
trayectorias son mínimos.
Afortunadamente, a temperatura ambiente y para el rango de
campos
considerado en esta Memoria (0-50 kV cm-1), la región de energías
cinéticas de interés
15En lo sucesivo omitiremos el índice de la banda
___________________________________________________________________________________________________________________
29
en el estudio de las propiedades de transporte es inferior a los 2
eV citados. Como
consecuencia de lo anterior hemos adoptado una descripción local
analítica de las
bandas. En las bandas de conducción y de valencia, en entornos de
los mínimos o
máximos de las diferentes subbandas, la función ε(k) puede
aproximarse, en numerosos
casos, por una función cuadrática del vector de onda k (modelo de
bandas de energía
esféricas parabólicas):
2 2 2 2 2m m
k k kx y z (I.28)
en este caso el tensor masa efectiva es un escalar m* y k, con
componentes (kx, ky, kz),
es el vector de onda medido desde el mínimo o máximo considerado y
ε es la energía
cinética del portador.
En otros casos la banda presenta localmente una fuerte anisotropía
que se traduce
en curvaturas diferentes en las direcciones (kx, ky, kz) lo que
conduce a la necesidad de
considerar masas diferentes en cada dirección. Debido a la simetría
rotacional de las
superficies isoenergéticas alrededor de algunas direcciones
cristalográficas16,
usualmente, la expresión analítica no parabólica de las bandas
es:
ε ( ) ( )k = + + 2 2
tm m m (I.29)
Es decir, las superficies energéticas son elipsoides de revolución
alrededor de
ciertas direcciones cristalográficas. En este caso el tensor masa
efectiva inversa es
diagonal y tiene a ml -1, mt
-1 y mt -1 como sus componentes longitudinal y transversales,
siendo kl, kt1 y kt2 las componentes longitudinal y transversales
de k respecto a las
direcciones principales de cada elipsoide y centradas en él. Este
es el caso de los
mínimos de la banda de conducción del silicio en las direcciones
cristalográficas ⟨100⟩
y⟨111⟩.
En estas aproximaciones, para valores de k suficientemente alejados
de los
mínimos y de los máximos de las bandas de conducción y valencia
respectivamente, se
produce una desviación de la relación ε(k) con respecto a las
expresiones simples (I.28)
16Un caso más complejo se presenta en aquellas situaciones en las
que no existen localmente simetrías en las bandas (caso de bandas
warped)
_____________________________________________________________________________________________________________________
30
y (I.29) como apuntábamos anteriormente. Con objeto de extender el
rango energético
de validez de la aproximación debe considerarse un factor adicional
de no parabolicidad
(Tomizawa 1993) que corresponde matemáticamente a un desarrollo
local en serie de
Taylor de la función ε(k) al tercer orden. La inclusión de este
factor de no parabolicidad
se realiza de manera sencilla:
Caso de bandas esféricas no parabólicas:
ε α ε γ( )( ( )) ( ) *
k k k k
ε α ε γ( )( ( )) ( ) ( )k k k1 2
2 2 1 2
(I. 31)
A partir de las expresiones anteriores podemos escribir en ambos
casos la
relación ε(k) de nuevo, en forma analítica simple:
ε α γ
(I. 32)
donde α es el coeficiente de no parabolicidad. Aunque este
parámetro puede calcularse a
partir de la estructura de bandas mediante el método k.p,
usualmente suele variarse
ligeramente para ajustar los resultados de las simulaciones Monte
Carlo a resultados
experimentales.
Bajo la acción de un campo eléctrico E uniforme y de la estructura
de bandas del
cristal a través de la masa efectiva, las ecuaciones semiclásicas
que rigen la evolución
del vector de onda y la posición del portador(electrón ó hueco)
cuasi-libre en ausencia
de mecanismos de interacción con la red, para el caso de banda
esférica no parabólica,
son de la forma:
(I. 34)
___________________________________________________________________________________________________________________
31
donde los signos superior e inferior corresponden a huecos y
electrones respectivamente,
q es el valor absoluto de la carga del electrón, y ko y ro son los
valores del vector de
onda y del vector posición del portador al comienzo del recorrido
libre.
Vamos a examinar brevemente el significado físico del coeficiente
de no
parabolicidad. Expresando la ecuación (I.33) en el caso simple de
una banda esférica no
parabólica, la velocidad del portador es formalmente idéntica a la
que se obtiene en el
caso de banda esférica parabólica introduciendo una masa efectiva
de conducción mc*:
v k k
m mc* * ( )= +1 2α ε (I. 36)
Por tanto, dado que el coeficiente de no parabolicidad produce un
incremento de
la masa con la energía, tiende a reducir la velocidad asociada a un
estado k e
incrementar la densidad de estados en energía. Luego la no
parabolicidad contribuye a
reducir la movilidad de los portadores cuando ocupan estados de
energía cinética
elevada (a altas temperaturas y/o cuando existen altos campos
eléctricos aplicados). Este
parámetro tiene además gran influencia sobre las probabilidades de
scattering (ver
Apéndice I).
En el caso del silicio, el mínimo de la banda de conducción está
constituida por
seis elipsoides equivalentes en las direcciones ⟨100⟩, sin
considerar efectos de no
parabolicidad la masa efectiva de conducción mc* puede escribirse
como:
m m m
3 2
(I. 37)
bajo la hipótesis de que los seis elipsoides están equipoblados
(hipótesis sólo cierta para
campos eléctricos muy bajos).
- Mecanismos de scattering
En un cristal perfecto ideal en el que no existieran interacciones
entre red
cristalina y el portador libre, la aplicación de un campo externo
constante aceleraría
_____________________________________________________________________________________________________________________
32
uniformemente al portador causando un incremento lineal de su
velocidad de arrastre
con el tiempo en la dirección del campo17. Sin embargo,
experimentalmente se
comprueba que este comportamiento de la velocidad de arrastre con
el tiempo no se
produce en cristales reales, sino que la velocidad del portador
alcanza un valor
estacionario medio constante para un campo dado. Esta limitación de
la velocidad es
debida a las interacciones del portador con las imperfecciones y
con las vibraciones de
los átomos del cristal llamadas mecanismos de scattering o procesos
de colisión.
Si la densidad de puntos en los que se rompe la periodicidad de la
red cristalina
es reducida comparada con la de átomos de la red podemos conservar
la estructura de
bandas y la forma de las funciones de onda del portador en estados
no localizados. Por
tanto la introducción de niveles bajos y moderados de dopaje no
alteran la descripción
del transporte que hemos adoptado salvo por la aparición de
colisiones de naturaleza
coulombiana entre los portadores y las impurezas.
En el caso de las imperfecciones cristalinas e impurezas que dan
lugar a centros
profundos el estudio es más complejo dado que además de centros de
scattering suelen
actuar como centros de recombinación muy eficaces. En el modelo
considerado en esta
Memoria (como ya hemos mencionado) estamos interesados en procesos
de
modificación de momento y energía de los portadores que son mucho
más rápidos que
los de generación-recombinación de portadores (típicamente hay una
relación entre los
tiempos característicos de 106-108), por tanto, no consideraremos
otras modificaciones
del potencial periódico de la red cristalina que las debidas a
impurezas (superficiales).
Los portadores también pueden intercambiar momento y energía con la
red
cristalina a través de procesos de interacción con las ramas
acústica y óptica de fonones.
Usualmente se considera que la temperatura de la red no se
modifica. Sin
embargo, es evidente que en un material con una alta densidad de
portadores y sometido
a un campo eléctrico elevado la temperatura de la red debe aumentar
ligeramente con
respecto al valor del equilibrio termodinámico (Nag 1980). Para los
rangos de dopaje y
campo eléctrico considerados en esta Memoria este efecto puede ser
despreciado.
Finalmente, es posible una interacción coulombiana entre los
portadores vía
intercambio de momento con choques elásticos de tipo clásico
(interacción portador-
17Esto no conduciría a un incremento indefinido de la velocidad
real del portador, dado que la 1ª Zona de Brillouin está limitada,
sino a la aparición de un comportamiento oscilatorio del portador
(Oscilaciones de
___________________________________________________________________________________________________________________
33
portador de rango corto o de corto alcance) o mediante interacción
de un portador con
un modo de vibración colectivo del gas de portadores (interacción
portador-portador de
rango largo)18.
En cualquiera de los casos descritos de interacción del portador
con el medio se
asume en el modelo microscópico las hipótesis presentadas en la
ecuación de
Boltzmann a la hora de escribir el término de colisiones, ecuación
(I.5): las colisiones
modifican solamente la parte k del estado (r, k) del portador. Esto
es, se consideran
instantáneas. Por tanto, el modelo microscópico de la historia de
un portador considera
ésta como una sucesión de recorridos libres bajo la acción del
campo, en los que el
estado (r, k) evoluciona en el espacio fásico según las ecuaciones
(I.33) y (I.34),
interrumpidos por cambios aleatorios de k mediante mecanismos de
scattering
efectuados en tiempo nulo.
Dado que existen excelentes presentaciones de los mecanismos de
scattering en
semiconductores (Madelung 1981, Ridley 1993) únicamente vamos a
clasificar de
manera breve en este Capítulo los diferentes mecanismos de
scattering que pueden tener
lugar en un semiconductor. En el Apéndice I detallamos las
probabilidades de
interacción utilizadas en la modelización de los mecanismos
presentes en la aleación
Si1-xGex.
En la Figura I.2 mostramos la clasificación de los diferentes tipos
de scattering
en el seno de un semiconductor19, en tres grupos: con
imperfecciones de la red,
portador-portador y con modos de vibración de la red cristalina.
Otras posibles
clasificaciones son dividir los mecanismos entre elásticos e
inelásticos, según se
modifique o no la energía del portador en el proceso de scattering,
o en isótropos y
anisótropos según si la dirección del vector de onda del portador
tras la interacción es
esencialmente aleatoria o depende de la dirección del vector de
onda del estado inicial.
Dentro de las interacciones con defectos, la más importante en
semiconductores
simples y de alta calidad cristalina es la interacción con átomos
de impurezas. Dado
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34
siempre persisten en él átomos de impurezas. Estas (ya sean
introducidas
intencionadamente o no) originan una perturbación en el potencial
periódico creado por
la red cristalina que actúa sobre los portadores. Esta perturbación
del potencial cristalino
crece a medida que aumenta el dopaje y puede modelizarse como un
mecanismo de
intercambio de momento entre el portador y el cristal. Dado que la
naturaleza de la
perturbación es puramente coulombiana se estudia la interacción
impureza-portador
como un “choque” clásico de partículas cargadas (Ridley 1993) por
lo que es de tipo
elástico y anisótropo20.
Mecanismos de scattering
Defectos del cristal Impurezas Aleaciones
Neutras Ionizadas
Intravalle Intervalle
Acústico Optico
Figura I.2. Clasificación de los mecanismos de scattering
En la práctica se observa que el scattering por impurezas es muy
importante para
campo débil en la región de temperaturas bajas y medias. El proceso
de colisión
dominante a muy bajas temperaturas es el efectuado con átomos de
impurezas neutras.
Al aumentar la temperatura de la red los átomos de impurezas
comienzan a ionizarse y
los procesos de colisión pasan a ser dominados por la interacción
de los portadores con
átomos de impurezas ionizadas. Teniendo en cuenta el mecanismo de
acción de las
impurezas (fijas) sobre los portadores, la desviación de las
trayectorias de estos
(relajación del momento) es muy importante para portadores poco
energéticos
(termalizados) y poco importante para aquellos con elevada energía
cinética. En
20Obsérvese que una interacción de tipo elástico no puede relajar
la energía del portador hasta la de la red, por tanto, los
mecanismos de relajación de energía y momento son necesariamente
diferentes.
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consecuencia, la influencia de las impurezas ionizadas para campos
eléctricos elevados
sobre el transporte es escasa. Para temperatura ambiente (300K) y
una concentración de
impurezas por debajo de 5 1017 cm-3 en la aleación Si1-xGex no es
preciso considerar la
interacción con impurezas neutras.
Otra fuente posible de fluctuaciones del potencial periódico en el
cristal aparece
en aleaciones, entendiendo por estas los compuestos no
estequiométricos. Para aclarar
los conceptos, consideremos un semiconductor compuesto del tipo
GaAs. Está
constituido por dos redes del tipo cúbico centrado en caras
desplazadas entre sí
diagonalmente e interpenetradas. Al potencial cristalino del
semiconductor contribuyen
las dos redes y es perfectamente periódico dado que en todo punto
un átomo de la red
estará rodeado de una distribución espacial de otros átomos
idéntica. Una variación de la
proporción relativa de Ga ó As rompería esta situación. Este es el
caso de las aleaciones
ternarias y cuaternarias de elementos III-V y, evidentemente, de la
binaria Si1-xGex que
consideramos en este trabajo, donde x es la fracción molar de
germanio. En este punto
conviene hacer una precisión. La introducción de una fracción molar
de germanio en
silicio tiene dos efectos: en primer lugar la modificación del
potencial cristalino medio
con respecto al caso del silicio y en segundo lugar la aparición de
las fluctuaciones a las
que hemos aludido. El primero de los efectos cambia la estructura
de bandas con
respecto al silicio (modificación del Gap, ruptura de
degeneraciones, etc.) como
veremos más adelante21 y el segundo introduce un mecanismo
adicional de colisiones
entre la red y los portadores que se conoce como scattering de
aleación.
Finalmente, otra posible fuente de fluctuaciones del potencial
cristalino proviene
de defectos en la disposición de los átomos en la red
(dislocaciones, defectos de
apilamiento, vacantes, etc.) introducidos durante el crecimiento.
Pero los efectos de
estos defectos del cristal sobre el movimiento de portadores en
dispositivos muy cortos
son (en materiales monocristalinos de alta calidad empleados en
microelectrónica)
despreciables en comparación con los debidos a scattering por
impurezas y aleación
(caso de estar este último presente).
En el desarrollo de la teoría de la estructura de bandas de
energía, se asume que
los átomos de la red están fijos en el espacio. Una fuente
importante de perturbaciones
21En algunos casos los efectos sobre ciertos parámetros son
difíciles de calcular y se recurre a interpolaciones entre valores
del mismo parámetro en cada material
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36
en el potencial periódico de la red se deberá a las interacciones
del portador con modos
de vibración de la red cristalina (fonones). Estos últimos pueden
clasificarse desde el
punto de vista del transporte según el tipo de transiciones que
produzcan, pues en el
proceso de emisión o absorción de fonones el portador cambia su
estado intercambiando
momento y energía con la red. Si atendemos a la banda de conducción
de los
semiconductores de interés observamos que los mínimos relativos
suelen localizarse en
extremos de la 1ª zona de Brillouin (salvo el mínimo absoluto en
materiales de gap
directo). El intercambio de fonones entre valles exige la
participación de fonones de
vector de onda elevado que en razón del tipo de transiciones a las
que asisten se
denominan fonones intervalle22. Por otro lado los fonones con
vector de onda pequeño
únicamente pueden producir transiciones intravalle.
Según la relación de dispersión de los fonones para los
materiales
semiconductores de interés, que tienen dos clases de átomos o doble
periodicidad, los
fonones pueden ser divididos en dos grupos: fonones acústicos y
fonones ópticos. La
interacción tiene efecto mediante emisión o absorción de
fonones.
Las formas de interactuar de los fonones son distintas, en un caso
el scattering
tiene lugar vía un potencial de deformación (denominado scattering
no polar en el caso
de fonón acústico) y en otro a través de las fuerzas
electrostáticas producidas por el
desplazamiento de átomos vecinos (denominado scattering
piezoeléctrico en el caso de
ser fonón acústico y scattering óptico polar en caso de ser fonón
óptico).
En el caso de scattering de huecos en un semiconductor los cambios
en la forma
de las bandas de valencia con respecto a las de conducción impone
ciertas
modificaciones al esquema diseñado en la Figura I.2. En primer
lugar, las interacciones
con fonones de gran vector de onda (límites de la 1ª Zona de
Brillouin) carecen de
importancia dado que la población de las bandas para estos valores
de k es nula. En
segundo lugar, todos los mecanismos de scattering pueden modificar
la banda de
residencia del portador: dado que las tres subbandas de ocupación
mas probable tienen
su mínimo de energía en el punto Γ, los huecos tendrán valores de k
muy reducidos.
22A su vez los mecanismos intervalle se clasifican en equivalentes
y no equivalentes según que el valle en que se encuentra el estado
final del portador sea o no del mismo tipo que el del estado
anterior al mecanismo.
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37
Hasta aquí hemos repasado los mecanismos de scattering ligados a
correcciones
del potencial periódico de la red. Sin embargo, en un cristal real
hay una elevada
densidad de portadores moviéndose cuasi-libremente dentro del
mismo. Típicamente
esta densidad varía habitualmente entre 1013 y 1019 cm-3. Debemos
por tanto considerar
la posibilidad de un intercambio de momento y energía en el seno
del gas de portadores
mediante colisiones entre portadores libres (o portador-portador).
El efecto de estas
colisiones es normalmente despreciable frente al debido a otros
mecanismos de
scattering para concentraciones del orden de 1013-1018 cm-3. Como
hemos mencionado
precedentemente es viable la inclusión de este mecanismo de
scattering en el modelo
microscópico (Lugli y Ferry 1985, Mansour et al. 1992, Abramo et
al. 1993) y muy
difícilmente en la ecuación de transporte de Boltzmann.
Otro efecto que influye en el tratamiento de los mecanismos de
scattering en una
simulación Monte Carlo de materiales muy dopados es la degeneración
del
semiconductor. En el cálculo habitual de las probabilidades se
supone que todos los
estados posibles a los que puede ir el portador están disponibles,
por lo que no se
considera el principio de exclusión de Pauli. Esto deja de ser
cierto en el caso de la
aleación Si1-xGex con dopajes superiores a 5 1017 cm-3.
En el presente trabajo estudiaremos materiales y dispositivos
semiconductores
con concentraciones de portadores libres que nos permiten ignorar
los efectos de las
colisiones portador-portador, de la degeneración y de las impurezas
neutras sobre el
transporte de portadores.
I.4.1.d Establecimiento de las condiciones iniciales del
portador
En el caso bajo consideración, en el cual simulamos una situación
estacionaria,
el tiempo de simulación deberá ser suficientemente elevado para que
las condiciones
iniciales impuestas al portador no tengan influencia en los
resultados finales. Por tanto,
estas condiciones iniciales pueden determinar que sean necesarios
más o menos
mecanismos para obtener resultados fiables. Por ejemplo, cuando se
elige un valor
inicial muy improbable tanto para el vector de onda del portador,
la primera parte de la
simulación está fuertemente influenciada por esta elección
inadecuada. Un valor de
energía conveniente como energía inicial del portador debe situarse
en torno a la energía
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térmica de la red 3/2 KBT. Con el fin de evitar efectos indeseables
de una elección
inapropiada de las condiciones iniciales y de obtener una mejor
convergencia de los
resultados, no se tiene en cuenta la contribución a estos últimos
de la primera parte de la
simulación.
Asimismo debemos tener en cuenta que una elección idónea de la
duración del
tiempo de simulación está sometida a un compromiso entre la
necesidad de que sea lo
mayor posible (de modo que se cumpla el principio de ergodicidad) y
el ahorro de
tiempo de computación.
I.4.1.e Recorrido libre
Como hemos indicado en el modelo se asume que el movimiento del
portador
puede dividirse en recorridos libres, entre los cuales el portador
se desplaza en el cristal
bajo la acción del campo aplicado, interrumpidos por los distintos
mecanismos de
scattering.
La duración del recorrido libre se determina aleatoriamente de
acuerdo con la
probabilidad dependiente de la energía de que tenga lugar algún
proceso de scattering,
como veremos a continuación (Boardman 1980).
Cada proceso de scattering que puede producirse al concluir un
recorrido libre
está caracterizado por una probabilidad de transición Sn(k,k')
desde el estado cuyo
momento es k al estado cuyo momento es k'. El subíndice n indica
cada uno de los
procesos individuales de scattering dentro de los N mecanismos
posibles. De acuerdo
con esto, la probabilidad de transición desde el estado inicial k
hasta otro cualquiera
mediante el mecanismo n viene dada por:
λn nS d( ) ( , ' ) 'k k k k= ∫ (I.38)
donde la integral se realiza sobre todos los estados finales k'
posibles para el mecanismo
k dentro de la primera zona de Brillouin (no se consideran
mecanismos de tipo
Unklapp). La probabilidad total de que el portador en el estado k
sufra un mecanismo de
interacción con la red o las impurezas se expresará como la suma de
las debidas a cada
tipo de mecanismo, de la forma:
___________________________________________________________________________________________________________________
N
donde k es función del tiempo.
Supongamos que el arrastre del portador por el campo eléctrico (sin
que se
produzca mecanismo de scattering alguno) se produce durante un
tiempo t que podemos
subdividir en p intervalos δti (1 ≤ i ≤ p) suficientemente cortos.
La probabilidad de que
no ocurra ningún mecanismo de scattering durante cada uno de esos
intervalos de
tiempo es (1 - λ(k).δti). Luego la probabilidad de que se produzca
un recorrido libre
durante un tiempo t es:
S t ti i
1 λ δk (I.40)
Si en esta ecuación se toman logaritmos y exigimos que se cumpla
λ(k).δti<<1,
en la elección de δti, en el límite cuando p tiende a ∞:
S t dt
∫ λ k(t' )
0 (I.41)
Luego la densidad de probabilidad P(t) (probabilidad por unidad de
tiempo) de
que un portador sometido a la acción de un campo eléctrico E
durante un tie