Análisis del Transporte de Carga
y de los Fenómenos de Ruido Electrónico
en Estructuras Si/Si1-xGex Bipolares
María Jesús Martín Martínez Salamanca, 1996
Jesús Enrique Velázquez Pérez, Profesor Titular de Universidad del Area de Electrónica de la Universidad de Salamanca,
CERTIFICA: Que el trabajo de investigación que se recoge en la presente
Memoria, titulada “Análisis del transporte de carga y de los fenómenos de ruido electrónico en estructuras Si/Si1-xGex bipolares”, y presentada por Dª María Jesús Martín Martínez para optar al grado de Doctor en Ciencias Físicas, ha sido realizado en su totalidad bajo su dirección en el Area de Electrónica del Departamento de Física Aplicada de la Universidad de Salamanca.
Salamanca, 5 de Septiembre de 1996 Jesús Enrique Velázquez Pérez Profesor Titular de Universidad Departamento de Física Aplicada Universidad de Salamanca
Indice
INTRODUCCION ........................................................ 1 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
CAPITULO UNO Modelos del Estudio del Transporte de Carga en Semiconductores. Método de Monte Carlo .............................................. 9 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
I.1 Ecuaciones de transporte de portadores en semiconductores Modelo de Boltzmann ............................................ 10
I.2 Modelo de deriva-difusión ........................................ 16 I.3 Modelo Hidrodinámico ............................................ 19 I.4 Método de Monte Carlo ........................................... 21
I.4.1 Monte Carlo de partícula única .................................. 24 I.4.1.a Fundamentos del método de Monte Carlo ................. 24 I.4.1.b Esquema de la simulación del Monte Carlo
de partícula única ........................................ 26 I.4.1.c Definición del sistema físico .............................. 27 I.4.1.d Establecimiento de las condiciones iniciales del portador .. 37 I.4.1.e Recorrido libre ........................................... 38 I.4.1.f Acumulación de valores medios ........................... 41 I.4.1.g Elección del mecanismo de scattering ..................... 41 I.4.1.h Determinación del estado del portador después del
mecanismo de scattering ................................. 43
I.4.2 Ensemble Monte Carlo.......................................... 47 I.4.3 Monte Carlo de dispositivos .................................... 50
1.4.3.a Dinámica de la partícula en el Monte Carlo de dispositivos ........................................... 53
1.4.3.b Resolución de la ecuación de Poisson .................... 57 1.4.3.c Condiciones de contorno ................................. 61 1.4.3.d Cálculo de magnitudes medias ........................... 64
I.5 Procedimientos de realce estadístico del Método de Monte Carlo 65 I.5.1 Descripción de la técnica de asignación de carga variable ........ 67 I.5.2 Aplicaciones de la técnica de asignación de carga variable ....... 71
I.6 Teoría general del ruido electrónico .............................. 72 I.6.1 Magnitudes características ...................................... 73 I.6.2 Clasificación de ruido electrónico ............................... 76
1.6.2.a En equilibrio. Ruido térmico ............................. 76 1.6.1.b Fuera de equilibrio ....................................... 78
I.7 Coeficiente de difusión y fluctuaciones de velocidad en materiales homogéneos ........................................... 83
I.7.1 Ecuaciones básicas macroscópicas del proceso de difusión ...... 84 I.7.2 Función de autocorrelación y densidad espectral ................. 87
I.8 Análisis del ruido en dispositivos semiconductores .............. 90 I.8.1 Análisis del ruido en homouniones .............................. 91
I.8.1.a Modo de operación de ruido en corriente .................. 93 I.8.1.b Modo de operación de ruido en voltaje. Análisis
espacial del ruido ........................................ 97 I.8.2 Análisis del ruido en heterouniones ............................. 99
I.8.2.a Modo de operación de ruido en corriente .................. 100 I.8.2.b Modo de operación de ruido en voltaje. Análisis
espacial del ruido ........................................ 101 _______________________________________________________________________________________________________
CAPITULO DOS Modelización de Materiales Mediante el Método de Montecarlo: Silicio y Aleación Silicio-Germanio ................................ 103 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
II.1 Crecimiento de capas pseudomorficas de Si1-xGex ............... 106
II.2 Estructura de bandas del silicio, germanio y aleación Si1-xGex .............................................. 109
II.2.1 Banda de conducción .......................................... 109
Indice
II.2.3 Modificación de la estructura de bandas en la aleación
Si1-xGex con respecto a la del silicio ............................ 112
II.3 Mecanismos de scattering y parámetros físicos .................. 119
II.4 Resultados material homogéneo silicio........................... 120
II.4.1 Funciones de distribución en energía ........................... 120
II.4.2 Tiempo de permanencia en cada valle .......................... 122
II.4.3 Energía cinética media ......................................... 124
II.4.4 Velocidad de arrastre. Movilidad ............................... 124
II.5 Resultados material homogéneo: aleación Si1-xGex .............. 128
II.5.1 Funciones de distribución en energía ........................... 129
II.5.2 Tiempo de permanencia en cada valle .......................... 132
II.5.3 Velocidad de arrastre. Movilidad ............................... 135 _______________________________________________________________________________________________________
CAPITULO TRES Estudio de las Fluctuaciones de Velocidad de Electrones y Huecos en Materiales Homogéneos: Silicio y Aleación Silicio-Germanio 151 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
III.1 Coeficiente de difusión .......................................... 152
III.1.1 Silicio ......................................................... 152
III.2.1 Silicio electrones .............................................. 158
III.2.2 Silicio huecos ................................................. 168
III.2.3 Aleación Si1-xGex: electrones .................................. 172
III.2.4 Aleación Si1-xGex: huecos ..................................... 184 _______________________________________________________________________________________________________
CAPITULO CUATRO Análisis de las características estáticas y del ruido en homouniones unipolares de Si y Si1-xGex ...................... 193 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
IV.1 Geometría y dopaje de las estructuras semiconductoras simuladas ........................................................ 194
IV.1.1 Estructuras homogéneas y diodos n+nn+ y p+pp+ ............... 195
IV.1.2 Descripción de las estructuras analizadas ...................... 196
IV.2 Características estáticas .......................................... 198
IV.3.1 Ruido en corriente ............................................ 215
IV.3.1.a Normalización adoptada ................................ 215
IV.3.1.d Estructuras n+nn+ y p+pp+ de silicio ..................... 224
IV.3.1.e Estructuras n+nn+ y p+pp+ de Si 1-xGex ................... 228
IV.3.2 Ruido en voltaje .............................................. 230
IV.3.2.a Estructuras homogéneas de Si .......................... 230
IV.3.2.b Estructuras n+nn+ de Si y Si0.7Ge0.3 ...................... 239 _______________________________________________________________________________________________________
CAPITULO CINCO Análisis de las características estáticas y del ruido en estructuras bipolares de Si y Si1-xGex .......................... 247 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
V.1 Homouniones pn+ y p+n de silicio ................................ 250
V.1.1 Características estáticas ........................................ 252
V.1.2.a Ruido en corriente ....................................... 258
V.1.2.a Ruido en voltaje ......................................... 269
V.2 Heterouniones pn+ (Si0.7Ge0.3/Si) y p+n (Si/Si0.7Ge0.3) ........... 276
V.2.1 Descripción de las estructuras .................................. 276
V.2.2 Características estáticas ........................................ 278
V.2.3.a Ruido en corriente ....................................... 295
V.2.3.a Ruido en voltaje ......................................... 315
V.3 Heterouniones pn+ (Si1-xGex/Si) y p+n (Si/Si1-xGex) ............. 323
V.3.1 Descripción de las estructuras .................................. 323
V.3.2 Características estáticas ........................................ 324
V.3.3 Densidades espectrales de las fluctuaciones de la corriente ..... 328
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APENDICE DOS Tablas de parámetros físicos de los materiales .................. 353 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ................................... 357 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Semiconductores. Método de Monte Carlo
El objetivo de este primer Capítulo es introducir los conceptos y métodos
generales que serán utilizados asiduamente en el resto de esta Memoria. En este sentido
nos esforzaremos en presentar claramente tanto el binomio modelo microscópico-
método de Monte Carlo empleado para realizar el estudio del transporte en los distintos
materiales y dispositivos semiconductores abordados, como las diferentes técnicas
posibles a la hora de caracterizar los fenómenos de ruido en los mismos a las que el
anterior binomio da lugar.
En una primera sección recordaremos brevemente los modelos del transporte de
los portadores en un semiconductor usualmente empleados. De este modo,
presentaremos los modelos de deriva-difusión e hidrodinámico y, finalmente, el binomio
modelo microscópico-método de Monte Carlo1 y discutiremos en cada caso ventajas e
inconvenientes relativos.
1Con objeto de abreviar la nomenclatura, aunque con un cierto abuso del lenguaje, suele denominarse al binomio modelo microscópico-método de Monte Carlo simplemente método de Monte Carlo. Es evidente que método y modelo no tienen relación alguna de dependencia (de hecho el modelo puede implementarse
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Seguidamente, describiremos sistemática y detalladamente las diferentes
adaptaciones del método de Monte Carlo que han sido desarrolladas para la obtención
de los resultados en el estudio de cada problema abordado en Capítulos posteriores: el
método de Monte Carlo de partícula única, el Ensemble Monte Carlo y el método de
Monte Carlo de Dispositivos. En este último haremos hincapié en las técnicas de
optimización del procedimiento estándar en casos especiales en los que éste exige un
elevado tiempo de cálculo.
En último lugar, realizaremos un estudio pormenorizado de las aplicaciones de
los métodos de Monte Carlo al estudio de las fluctuaciones de magnitudes físicas
(responsables de la aparición de los fenómenos de ruido) en materiales y dispositivos
semiconductores.
EN SEMICONDUCTORES. MODELO DE BOLTZMANN
En los distintos problemas de transporte en dispositivos que serán abordados a lo
largo de esta Memoria2 las dimensiones consideradas en la dirección efectiva del
transporte son muy superiores a la longitud de onda de Broglie del portador (típicamente
entre 0.5 nm y 50 nm en un semiconductor)3. En estas condiciones, no será necesario
considerar en el estudio otros efectos mecánico-cuánticos que los subyacentes en la
aproximación semiclásica del transporte en semiconductores (Snowden 1986). Esto es,
suponemos que posición y momento de un portador pueden conocerse simultáneamente
en precisión arbitraria (esto supone una violación del principio de incertidumbre de
Heisemberg) a cambio de considerar al portador como una partícula con una masa
dependiente de la energía (aproximación de masa efectiva) y una carga positiva o
negativa dependiendo de su posición en el sistema de bandas de energía.
con técnicas booleanas). Sin embargo, dada la generalización de la denominación en la literatura la adoptamos teniendo bien en cuenta a qué nos referimos. 2Salvo en lo referente al estudio de la heterounión Si/(Si,Ge), que presenta un confinamiento parcial de portadores y una alteración mecánico-cuántica del transporte termoiónico. La discusión de estos efectos y su influencia sobre el modelo se tratarán en el Capítulo V. 3Las dimensiones no simuladas se suponen mucho mayores que la estudiada en la aproximación unidimensional.
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11
Normalmente, en sistemas con un gran número de portadores no estamos
interesados en comportamientos individuales sino en su respuesta colectiva. A estos
efectos, suele ser suficiente el conocimiento de la función de distribución de los
portadores para describir satisfactoriamente la evolución del sistema en términos
macroscópicos. Para partículas semiclásicas esta función será f(r,k,t), siendo r la
posición espacial, k el momento y t el tiempo4. Por tanto, f(r,k,t) proporciona la
evolución de los portadores del sistema como la de puntos equivalentes en el espacio
fásico.
Si consideramos que no existen mecanismos de tipo interbanda (generación-
recombinación) y restringimos f(r,k,t) bien a la banda de conducción para electrones,
bien a la de valencia para huecos5, podemos imponer una ecuación de conservación del
número de partículas en cada banda. Es decir, el número de puntos del espacio fásico
debe permanecer constante. Esta condición de conservación conduce a una ecuación de
evolución temporal de la función de distribución que se conoce como ecuación del
transporte de Boltzmann (BTE) y que a lo largo de esta Memoria será designada de
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
Los términos del primer miembro describen las modificaciones debidas a
evoluciones temporales (transitorios), presencia de campos externos y difusión debida a
inhomogeneidades, en tanto que el segundo miembro representa las modificaciones de
4Las cantidades vectoriales serán indicadas en negrita (p.ej. k) y su magnitud en itálica (p. ej. k). Esta notación se mantendrá a lo largo de toda la Memoria. 5Nótese que esto conduce a la necesidad de una obtención disociada de funciones de distribución para electrones y huecos. 6De manera rigurosa, la ecuación del transporte de Boltzmann es una simplificación de la de Liouville, que exige un detallado conocimiento de las matrices de probabilidad de presencia en un estado para cada partícula. Dado que, para una partícula concreta, esas matrices de probabilidad expresan, entre otras, la influencia del resto de las partículas del sistema físico, la pérdida de información que supone el abandono del formalismo de Liouville al pasar a una descripción del tipo BTE conduce a la aparición de dificultades de importancia a la hora de estudiar sistemas densamente poblados (por ejemplo, al tratar interacciones de tipo portador-portador). De hecho, nada prueba la conveniencia de emplear la BTE a la hora de estudiar sistemas que no sean de “tipo gaseoso con partículas no interactuantes entre sí”. Pero debe admitirse que la comparación con resultados experimentales es muy favorable al empleo de la BTE en el estudio de semiconductores (Nag 1980). De esta manera, podemos tratar el conjunto de electrones como un “gas de electrones” y el conjunto de huecos como un “gas de huecos”.
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12
puntos en el espacio fásico debidos a mecanismos de scattering del portador por el
medio.
∂ ∂
r v
t = (I.2)
que corresponde a la velocidad de grupo de los portadores, mientras que la derivada
∂ ∂
ext=
(I.3)
donde Fext es la fuerza externa global aplicada sobre el sistema de partículas y es la
constante de Planck normalizada.
Bastante más oscuro y difícil de evaluar es el término asociado a los mecanismos
de scattering. Este término recoge las modificaciones en la función de distribución de
los portadores en una banda debidas al intercambio neto de energía y momento entre el
gas de portadores residente en la citada banda y el resto del cristal. Esto tiene dos
implicaciones fundamentales, la primera permite una extensión de la ecuación (I.1) para
tratar procesos interbanda: los procesos de creación-aniquilación de pares electrón-
hueco suponen intercambios de partículas entre bandas que pueden ser tratados como
intercambios de momento y energía entre las bandas de valencia y conducción. Estos
intercambios normalmente son asistidos por la red y/o una excitación externa. En
cualquier caso resultan en una modificación de las funciones de distribución en cada
banda que se refleja en la densidad de portadores en éstas. En efecto, en el caso de
electrones en la banda de conducción su densidad se expresa como la integral de la
función f(r,k,t) en la primera zona de Brillouin:
n t d f t Z B
( , ) ( , , ) ª . .
(I.4)
Por tanto, el término de colisiones puede englobar la modificación de portadores
en las bandas vía intercambio con otras bandas o con niveles discretos (p. ej. utilizando
la estadística de Shockley-Read-Hall para modelizar los intercambios), como es bien
conocido.
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13
La segunda implicación tiene mayor importancia: dado que los procesos de
intercambio de momento y energía entre el gas de portadores y la red se realizan entre
partículas de mucha masa (iones) y portadores extremadamente móviles podemos
asumir que tienen lugar sin modificación de la posición del portador durante la
interacción. Esto significa que las colisiones son de tipo instantáneo (o, al menos, su
duración es mucho menor que el tiempo que necesita el portador para modificar
esencialmente su posición). De esta manera, el término de colisiones en (I.1) será
función de k exclusivamente, y podremos escribirlo como7:
[ ]( ) [ ]( ){ }∂ ∂ π


= − − −∫
k k' k' k k k k k' k' (I.5)
donde P(k,k') y P(k',k) expresan la probabilidad global de transición desde el estado k
al k' y viceversa por algún mecanismo de scattering en cada caso. En sistemas no
degenerados los términos entre corchetes son aproximadamente iguales a la unidad.
La aproximación de duración nula de los mecanismos de scattering portador-
portador es discutible dado que no podemos suponer en reposo uno de ellos, además
P(k,k') y P(k',k) dependen de la función de distribución, lo que conduce a un
acoplamiento adicional de la solución de la BTE con el término de colisiones de ésta.
Este grave problema no es una dificultad meramente matemática sino que tiene un
origen físico difícil de soslayar.
Pero, aún restringiendo la ecuación de Boltzmann a casos en los que las
interacciones portador-portador sean despreciables, resulta una ecuación integro-
diferencial:
{ }∂ ∂ π
+ ∇ + ∇ = −∫1 1 4 3
F v k k' k' k k k k'k r ( ) ( , ) ( ) ( , )
º . .
(I.6)
de muy difícil solución y en la que en el término de scattering debe establecerse la
influencia relativa de cada mecanismo para cada caso de aplicación de la BTE (por
ejemplo, para cada temperatura). Sólo en casos especialmente simples es posible su
resolución mediante métodos iterativos de tipo variacional (Nag 1980). En el resto de
casos se hace necesario recurrir a hipótesis simplificadoras del problema (por ejemplo,
7Suponemos en lo que sigue que los mecanismos de scattering son independientes de las fuerzas externas
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14
despreciar los mecanismos inelásticos), de validez dudosa, con el fin de obtener
soluciones matemáticas.
De esta manera, se desemboca en el clásico método de relajación del momento
que supone que el término de colisiones en la ecuación (I.1) puede expresarse como:
∂ ∂ τ
( , ) ( )r k k, (I.7)
donde fo(k) es la función de distribución en equilibrio termodinámico, tiene simetría en
k y carece de dependencia espacial, f(r,k,t) es la función de distribución fuera de
equilibrio termodinámico y τ es una constante de relajación “ad hoc” que puede
determinarse empleando la regla de Matthiessen (si bien solamente para mecanismos
elásticos). Las limitaciones de la ecuación (I.7) son evidentes, aunque proporciona
resultados aceptables en regiones de temperatura y semiconductores donde las
interacciones con impurezas o con fonones acústicos son dominantes.
Una mejora notable respecto de las posibilidades ofrecidas por la ecuación (I.7)
consiste en utilizar el método de los momentos. Básicamente, este procedimiento
consiste en multiplicar la ecuación de Boltzmann por momentos de orden creciente e
integrar el producto en la 1ª Zona de Brillouin. Para los tres primeros productos esto nos
conduce a ecuaciones de conservación de los portadores en cada banda, del momento y
∂ ∂
∂ ∂
scatt + ∇
scatt + ∇ ∇ ∇
1 .(
. (I.10)
(Barker y Ferry 1980) 8Evidentemente, pueden emplearse momentos de orden mayor, pero los resultados se hacen difíciles de interpretar y, lo que es más importante, difíciles de obtener (Tiwari 1992) 9La ecuación (I.9) se obtiene tras multiplicar no por k sino por v y la (I.10) tras multiplicar por la energía media en vez de hacerlo por k2. Además (I.10) se obtiene suponiendo que f(k,r,t) es una Maxwelliana desplazada. Esta suposición adicional no es rigurosamente necesaria (Blotekjaer 1970).
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15
donde se ha supuesto que solamente se aplica un campo eléctrico, E, como fuerza
externa, ε es la energía media en la banda considerada, s es el vector flujo de energía,
KB la constante de Boltzmann, q es el módulo de la carga del electrón y Te la
temperatura del gas de electrones. Además las ecuaciones (I.8)-(I.10) se han escrito para
una banda de conducción tipo esférica (masa m*) si bien puede generalizarse para
bandas de tipo elipsoidal.
ε = + 1 2
2m v K TB e* (I.11)
Los segundos miembros de las ecuaciones (I.8)-(I.10) representan los efectos de
los mecanismos de scattering sobre las magnitudes que se conservan en cada caso.
Introduciendo, como se hizo en (I.7), un formalismo de relajación de tipo exponencial
simple, podemos escribir:


= −
−
En (I.12) G es la probabilidad balanceada de generación-recombinación y
depende de la vida media de los portadores en la banda (τc). En la ecuación (I.13)
recuperamos una versión de la ecuación (I.7) en la que aparece el tiempo de relajación
del momento, τm(ε). Finalmente, la ecuación (I.14) tiene en cuenta la relajación de la
energía originada por los mecanismos de tipo inelástico cuyo efecto es ignorado en
(I.13) y (I.7), para ello se introduce un tiempo de relajación de la energía τe(ε). El
modelo supone que tanto τm(ε) como τe(ε) son funciones de la energía media de los
electrones. Evidentemente, pueden obtenerse ecuaciones análogas al conjunto (I.8)-
(I.14) para los huecos. El término εo en (I.14) es la energía en equilibrio termodinámico
(igual a la de la red).
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Partiendo de estas ecuaciones, surgen diferentes métodos a partir de la
introducción de conjuntos de hipótesis distintos para facilitar la resolución del sistema
de ecuaciones obtenido. Los más destacados son: el modelo de deriva difusión, el
modelo hidrodinámico y el método de Monte Carlo10.
A continuación vamos a presentar brevemente los dos primeros insistiendo en
sus limitaciones para describir correctamente el transporte en semiconductores bajo
ciertas condiciones y justificaremos por qué el método de Monte Carlo basado en el
modelo microscópico sí es adecuado para estudiar el transporte en esas situaciones.
I.2 MODELO DE DERIVA-DIFUSION
El modelo de deriva-difusión es de tipo macróscopico y resulta de la reducción
de las ecuaciones obtenidas mediante el método de los momentos tras imponer diversas
hipótesis simplificadoras. Entre éstas vamos a centrarnos en las más restrictivas:
-Bajo cualquier condición externa o interna, los portadores están siempre en
equilibrio con la red, esto es Te=T en todo punto (siendo T la temperatura de la red).
-El término de variación de la velocidad con el tiempo en la ecuación (I.9) es
despreciable frente al resto de los términos de la misma (esto es, si hay modificaciones
en la distribución de la velocidad en un dispositivo impuestas por la polarización
externa, por ejemplo, el reajuste de la velocidad de los portadores es instantáneo).
Si admitimos lo anterior la ecuación (I.10) pierde casi todo su interés dado que
se convierte en una reexpresión de la ecuación de Joule. No obstante, el modelo sigue
siendo válido para analizar transitorios de corriente y efectos de corriente difusiva
ligados a diferencias espaciales de temperatura en la red.
La ecuación (I.9) se reduce a una expresión típica de deriva-difusión, que en el
caso de electrones se escribe:
v En - n= − ∇µn nD
n (I.15)
10En los últimos años han aparecido otros métodos “alternativos”: el método de autómatas celulares (Kometer et al. 1992, Zandler et al. 1993, 1993b) y el método del scattered paket (Vaissière et al. 1993, Nougier et al. 1993).
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17
donde µn y Dn son, respectivamente, la movilidad y el coeficiente de difusión de los
electrones, definidos como:
µ (I.17)
Esta última relación es la relación de Einstein. Tanto µn como Dn suelen tomarse como
independientes del campo eléctrico. No obstante, algunos autores utilizan para µn y Dn
expresiones más realistas con dependencia respecto del módulo del campo eléctrico, y
en este caso la ecuación (I.17) suele extenderse para condiciones de fuera de equilibrio
(relación de Einstein modificada).
Introduciendo las hipótesis simplificadoras anteriores en la BTE la ecuación
(I.8), junto con (I.12), adopta la forma extremadamente simple de una ecuación de
∂ ∂
G= ∇ − 1
.Jp (I.19)
Jn y Jp son las densidades de corriente para electrones y para huecos
respectivamente:
J En = + ∇qn qD nn nµ (I.20)
J Ep = ∇qn qD pp pµ - (I.21)
donde n y p, Jn y Jp, µn y µp, Dn y Dp, son las concentraciones, las densidades de
corriente, las movilidades y los coeficientes de difusión de electrones y de huecos
respectivamente.
El campo eléctrico que aparece en las ecuaciones (I.20) y (I.21) debe calcularse
de manera autoconsistente mediante la ecuación de Poisson:
−∇ = − + −2 ε ε
q N n p N
o r D A( ) (I.22)
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es el potencial eléctrico, εoεr la permitividad dieléctrica del material, ND la
concentración de impurezas donoras y NA la concentración de impurezas aceptoras
ionizadas.
Las ventajas del modelo de deriva-difusión radican principalmente en su gran
simplicidad. Esto facilita su empleo dado que necesita de pocos recursos de cálculo para
resolver las ecuaciones y proporcionar resultados que en numerosos casos son de una
calidad muy aceptable.
Los inconvenientes de este modelo afloran a medida que las condiciones de
aplicación contradicen las hipótesis básicas de partida:
-En primer lugar al asumir que los portadores están en equilibrio térmico con la
red este modelo no puede considerar efectos ligados al calentamiento de los portadores y
no da cuenta de la degradación debida a este fenómeno en diferentes dispositivos (Lugli
1993).
-En segundo lugar, los efectos del material sobre el movimiento de los
portadores únicamente forman parte de las ecuaciones a través de la movilidad, el
coeficiente de difusión y la permitividad dieléctrica. A pesar de que el modelo puede
modificarse para incluir la posible variación de la movilidad con el campo eléctrico,
exige que la velocidad de los portadores se ajuste instantáneamente al campo eléctrico
local. Esto es, no puede tenerse en cuenta el tiempo requerido por los portadores para
alcanzar una velocidad estacionaria cuando hay variaciones del campo eléctrico. Para
fijar ordenes de magnitud, resultados de simulaciones Monte Carlo (Ruch 1972)
muestran que en una conmutación del campo eléctrico en un material un electrón recorre
una distancia media de 0.2 µm en silicio antes de alcanzar su velocidad estacionaria y
1.0 µm en GaAs (esta distancia es menor en silicio debido tanto a la menor movilidad
de los electrones como a su menor tiempo de relajación del momento). En consecuencia,
el modelo de deriva-difusión es incapaz de reflejar efectos de sobrevelocidad que
pueden aparecer en el estudio de la evolución de la velocidad de los portadores en un
dispositivo. El modelo no es válido, por tanto, para estudiar el transporte en dispositivos
de dimensiones geométricas suficientemente reducidas como para que la distancia sobre
la cual aparecen los fenómenos de no equilibrio portador-red sea comparable a ellas
(Ruch 1972, Maloney y Frey 1977, Kratzer y Frey 1978, Brennan et al. 1983, Brennan y
Hess 1984). Sin embargo, el modelo tiene validez absoluta en el estudio de dispositivos
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de dimensiones mayores debido a que las regiones de transporte no estacionario son
pequeñas en comparación con el resto del dispositivo. En conclusión, debido al hecho
de que el desarrollo de la tecnología implica una disminución progresiva de las
dimensiones de los dispositivos, debemos admitir que el modelo de deriva-difusión ha
dejado de ser útil en el estudio de dispositivos semiconductores hace más de una década.
-Como última limitación del modelo debemos señalar que éste no puede
proporcionar resultados transitorios fiables dado que asume ciertas condiciones
estacionarias: variación temporal de f nula y no dependencia temporal de las ecuaciones
de las densidades de corriente. Otra consecuencia adicional de que el método sea
estático es que no permite el estudio de fluctuaciones de magnitudes en el dispositivo u
otros fenómenos que estén basados en la evolución temporal de la distribución de los
portadores.
I.3 MODELO HIDRODINAMICO
También se conoce al modelo hidrodinámico como de transporte de energía y
aporta grandes mejoras sobre el modelo de deriva-difusión (Constant 1980). Continúa
siendo un modelo macroscópico pues hace uso de parámetros de este tipo (tiempos de
relajación para la energía y el momento) y proporciona información solamente sobre
magnitudes también de naturaleza macroscópica. Matemáticamente emplea las
ecuaciones de los tres primeros momentos de la ecuación de Boltzmann, ecuaciones
(I.8) a (I.10), incluyendo la aproximación de los tiempos de relajación para los términos
de colisiones, ecuaciones (I.12) a (I.14), junto con la ecuación de Poisson (I.22), y las
condiciones de contorno adecuadas para su utilización en la simulación de dispositivos.
Recapitulando, en este modelo se están empleando las ecuaciones de los
momentos completas (sin despreciar términos ni asumir equilibrio térmico de los
electrones con la red) a diferencia de lo que se hacía en el modelo de deriva-difusión.
Además, dado que los parámetros que intervienen en las ecuaciones se consideran
dependientes de la energía media de los portadores, se está introduciendo una cierta
correlación entre los fenómenos de relajación de la energía y el momento y la corriente
en el dispositivo. La dependencia de estos coeficientes con la energía media puede
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determinarse indirectamente a partir de datos experimentales en caso de materiales
homogéneos y en régimen de campos aplicados débiles o, en la práctica, extraer de
simulaciones Monte Carlo estacionarias11.
Las ventajas del modelo hidrodinámico sobre el de deriva-difusión son: en
primer lugar, mediante la consideración de tiempos de relajación diferentes para el
momento y la energía se describen los fenómenos de transporte no estacionario
portador-red cristalina tales como la sobrevelocidad. En segundo lugar, incorpora en las
ecuaciones la dependencia temporal de v y de ε por lo que es adecuado para el estudio
de transitorios en los dispositivos. Finalmente, como hemos mencionado, también puede
tener en cuenta el calentamiento de los portadores al incluir la dependencia de la
temperatura de los portadores con la energía. La única pequeña desventaja sobre el
método de deriva-difusión surge a la hora de la aplicación del modelo dado que requiere
muchos más recursos de cálculo y es más complejo.
Sin embargo, las limitaciones de este modelo siguen siendo muy importantes:
-En primer lugar el método tiene una relación de servidumbre respecto del
método de Monte Carlo que le proporciona la dependencia con la energía de los
diferentes parámetros que el modelo hidrodinámico necesita; sólo es capaz de utilizar
valores estacionarios de estos parámetros y no puede describir fenómenos básicos como
la transferencia entre valles no equivalentes (Blotekjaer 1970) en razón de su pobre
descripción de las bandas.
-De forma similar al modelo de deriva-difusión, no proporciona la función de
distribución instantánea de velocidades, por lo que no parece un método adecuado para
el estudio físico del fenómeno de fluctuaciones en material y dispositivos (ruido).
Aunque sí puede proporcionar cierta información complementaria como los cálculos de
impedancia y admitancia en función de la frecuencia (Gruzinskis et al. 1993)
-En términos generales, este modelo utiliza dos tiempos de relajación globales
para la energía y el momento, lo que no basta para describir la complejidad de los
mecanismos que influyen en el transporte de los portadores (Velázquez 1990).
11En rigor hay una tercera posibilidad que consiste en hacer un cálculo analítico de los parámetros τe(ε) y τm(ε) del mecanismo dominante en cada rango de energía siguiendo el concepto de movilidad determinado por tipo de mecanismo en rango de temperatura (Seeger 1989). Las limitaciones de este procedimiento son claras.
___________________________________________________________________________________________________________________
I.4 METODO DE MONTE CARLO
En las secciones anteriores hemos comprobado que la debilidad fundamental en
los modelos de deriva-difusión e hidrodinámico estriba en una descripción
excesivamente simplista del sistema (especialmente en el primero de ellos) por medio
de parámetros macroscópicos que, paradójicamente, en algunos casos son de difícil
determinación experimental (por ejemplo, τm(ε)). Esta situación conduce a que el
modelo de deriva-difusión no sea válido para el estudio de dispositivos en los que se
aplican campos medios y altos, con fuertes gradientes de portadores y/o en los que una
parte del transporte se efectúe en régimen de no equilibrio entre el portador y la red
(dispositivos submicrométricos). El problema se agrava si existen heterouniones, tal y
como ocurre en todos los dispositivos de reciente desarrollo. En estas condiciones la
aplicación del modelo hidrodinámico parece atractiva dado que (a diferencia del de
deriva-difusión) sí puede abordar problemas del tipo “portadores calientes”. No
obstante, persisten ciertos puntos que despiertan dudas a este respecto. Por ejemplo, la
complejidad de las bandas que afecta al transporte es difícilmente trasladable a nivel
macroscópico, parece difícil que el problema del “tratamiento de las colisiones” se
resuelva mediante dos parámetros que además no pueden medirse. Teniendo en cuenta
que los parámetros utilizados en el hidrodinámico son obtenidos en situaciones
estacionarias, bajo condiciones de alto campo y/o en presencia de heterouniones en los
que el transporte está dominado por portadores que poseen una energía muy superior a
la térmica (colas de la función de distribución), no es posible aceptar aproximaciones
únicamente razonables en el rango de energías medias.
El binomio modelo microscópico-método de Monte Carlo es una aproximación
al problema diametralmente opuesta a las dos anteriores dado que se realiza desde un
punto de vista microscópico (Jacoboni y Reggiani 1983). En primer lugar, el método de
Monte Carlo, como aplicación al transporte de carga en semiconductores, no consiste en
una modelización analítica del problema para después proceder a una resolución
numérica, sino en realizar una simulación del movimiento de los portadores sujetos, en
el seno del cristal, tanto a la acción de fuerzas externas debidas a la aplicación de
campos eléctricos y magnéticos como a la acción de la red cristalina. Esta última ejerce
un condicionamiento doble sobre el movimiento de los portadores dentro de la
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22
aproximación semiclásica: por una parte confiere al portador una masa efectiva variable
de acuerdo con la evolución del vector k en la estructura de bandas y, por otra, ocasiona
diversas alteraciones de su movimiento por intercambio de momento y energía en el
portador (interacciones o mecanismos de scattering)12. Tanto la duración de los
recorridos libres del portador (tiempo entre dos colisiones sucesivas), como el tipo de
mecanismo de scattering y sus efectos, son seleccionados aleatoriamente de acuerdo con
las probabilidades de aparición de cada proceso microscópico de scattering que puede
tener lugar. De esta manera puede simularse una parte de la historia del movimiento de
cada portador en el interior del cristal (o al menos la de una muestra estadísticamente
válida del “gas de portadores”), lo que permite acceder a valores individuales e
instantáneos de la velocidad del portador, de su energía, su posición en el espacio de las
fases, etc., como comprobaremos mas adelante. A partir de estos elementos pueden
obtenerse los parámetros presentes en las ecuaciones de transporte y, evidentemente, la
función de distribución f(r,k,t). Por lo tanto, representa una solución indirecta de la
ecuación del transporte de Boltzmann. Dado que la técnica Monte Carlo es una
simulación directa de la dinámica de los portadores de carga dentro del cristal, permite
investigar las propiedades de materiales y dispositivos con el fin de asistir
adecuadamente en la ingeniería de materiales y en la concepción/diseño de nuevos
dispositivos, por lo que tiene sin duda gran importancia. Este uso del método lo hace
similar a una técnica experimental y, en este sentido, amplía las posibilidades de una
modelización simple.
Dentro de la simulación Monte Carlo existen diversas modalidades, según se
detalla en la siguiente sección, que surgen de la adaptación del método para el estudio
del transporte de carga en diferentes situaciones. Pero en general la aplicación del
método de Monte Carlo al estudio del transporte requiere un mayor tiempo de cálculo
que los dos modelos anteriormente descritos, éste es su único inconveniente
comparativamente hablando. Aunque con la continua mejora de los medios de cálculo
no existe ninguna objeción para usar el método de Monte Carlo en la simulación de
dispositivos.
___________________________________________________________________________________________________________________
Las ventajas del modelo microscópico son múltiples (Velázquez 1990):
-Desde un punto de vista físico este modelo se emplaza en un nivel superior a los
presentados anteriormente dado que emplea un número de hipótesis más reducido, lo
que permite que los resultados obtenidos tengan más generalidad. En efecto,
proporciona una solución exacta instantánea de la ecuación de transporte de Boltzmann
en casos no estacionarios (dispositivos) y en condiciones no estacionarias. Describe
correctamente efectos no locales donde un electrón contribuye a la corriente en una
posición del espacio real r y en un tiempo t, viniendo de una posición r’ y en un tiempo
t’, donde la función f(r’,t’) era diferente de f(r,t) (Lugli 1993)13.
-Este modelo además reproduce con detalle la naturaleza aleatoria del transporte,
siendo el método idóneo para estudiar de manera directa los fenómenos que
estocásticamente condicionan el funcionamiento de los dispositivos. De este modo es
especialmente adecuado para el estudio de las fluctuaciones y el ruido electrónico en
dispositivos semiconductores.
-En el modelo microscópico los mecanismos de scattering no se caracterizan
únicamente por dos tiempos de relajación (de la energía y del momento), sino que el
portador sufre directamente el efecto del conjunto de las interacciones en los instantes
de tiempo adecuados de acuerdo con las probabilidades de cada una de ellas. Es decir, el
modelo incorpora naturalmente el transporte en régimen no-estacionario portador-red.
-Por último, como ya hemos señalado, simulando tiempos suficientemente largos
para que el transporte se realice en régimen estacionario, el método de Monte Carlo
proporciona la dependencia con la energía de los diferentes parámetros que necesita el
modelo hidrodinámico, tales como los tiempos de relajación de la energía y del
momento: τm(ε) y τe(ε). Queda claramente establecida así la relación de dependencia y
la escasa fiabilidad del modelo hidrodinámico en el estudio de regímenes no
estacionarios.
De todo lo expuesto anteriormente se deduce que el método de Monte Carlo es la
mejor técnica a la hora de estudiar el transporte en situaciones en las que no pueden
ignorarse los efectos no estacionarios, como ocurre en dispositivos submicrométricos.
_____________________________________________________________________________________________________________________
I.4.1 Monte Carlo de partícula única
Cuando el propósito del análisis es la investigación de un fenómeno de
transporte en régimen estacionario y en condiciones homogéneas, es suficiente, en
virtud del principio de ergodicidad, simular el movimiento de un único portador:
estadísticamente podemos admitir que el seguimiento de la historia de un solo portador
durante un periodo de tiempo suficientemente largo en la muestra nos suministra
información del comportamiento de todo el gas de portadores dado que éste habrá
recorrido en el espacio {r,k} las regiones con ocupación significativa (es decir, donde
f(r,k) no es nula).
Este es el caso que se presenta en el estudio del transporte de carga en
semiconductores homogéneos en condiciones estacionarias sometidos a la acción de un
campo eléctrico constante. El semiconductor se considera suficientemente grande como
para despreciar los efectos de “borde” y en ausencia de mecanismos de generación-
recombinación. Esto último permite no resolver la ecuación de Poisson. La simulación
Monte Carlo del movimiento de una partícula en las condiciones que acabamos de
describir suele denominarse de “partícula única” y permite estudiar las propiedades de
transporte estacionario en materiales homogéneos, por esta razón también se le
denomina también Monte Carlo de materiales. Su implementación es la más sencilla y
constituye la base para todas las aplicaciones del modelo microscópico.
I.4.1.a Fundamentos del método de Monte Carlo
Muchos parámetros de un sistema físico están gobernados por distribuciones de
probabilidad complejas que son muy difíciles de manejar analítica y numéricamente. El
método de Monte Carlo consiste, en líneas generales, en la manipulación de estas
distribuciones de probabilidad complejas mediante distribuciones matemáticas sencillas
pseudo-aleatorias. Como consecuencia, el método de Monte Carlo precisa de la
generación de secuencias de números pseudo-aleatorios con distribuciones de
probabilidad adecuadas. La distribución pseudo-aleatoria mejor adaptada al método y
más conveniente es la distribución uniforme. Esta distribución de probabilidad
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25
habitualmente se encuentra disponible en la mayoría de los compiladores de los
diferentes sistemas operativos actuales con buenos índices de calidad.
A partir de la distribución uniforme puede obtenerse cualquier otra. Sean p(r) y
q(φ) las densidades de probabilidad de dos distribuciones, p(r) correspondiente a una
distribución uniforme con r ∈ [0,1] e implementada de forma pseudoaleatoria, en tanto
que q(φ) es la densidad de probabilidad de una distribución de probabilidad arbitraria. Si
p(r) y q(φ) están normalizadas podemos escribir (Boardman 1980):
q d p r dr( ' ) ' ( ' ) 'φ φ φ
=∫ ∫ 0 0
r
(I.23)
En una distribución uniforme p(r)=1 por lo que la ecuación (I.23) pasa a ser:
r q d= ∫ ( ' ) 'φ φ φ
0 (I.24)
De este modo, si es posible evaluar de forma analítica esta integral, despejando φ
en función de r, se obtiene el valor aleatorio φ de acuerdo con su propia distribución de
probabilidad en términos del número aleatorio uniformemente distribuido14. En casos en
los que la integral (I.24) no pueda evaluarse fácilmente pueden aplicarse ciertas técnicas
para poder realizar la inversión que proporciona φ como se verá posteriormente.
El procedimiento descrito es la base del método de Monte Carlo y debe aplicarse
a cada mecanismo que actúe de manera aleatoria en el sistema bajo estudio. Esto exige
una modelización previa de la probabilidad de aparición del mecanismo aleatorio y de
sus efectos, pero no impone condiciones sobre la naturaleza del problema (siempre y
cuando este no sea markoviano) por lo que se aplica en diferentes campos de la Física y
otras ciencias. En concreto fue introducido en el estudio del transporte de carga en
semiconductores en 1966 por Kurosawa.
I.4.1.b Esquema de la simulación Monte Carlo de partícula única
14De ahora en adelante no insistiremos en la naturaleza pseudoaleatoria de las distribuciones obtenidas por este procedimiento
_____________________________________________________________________________________________________________________
26
En la Figura I.1 se muestra un diagrama de flujo del método de Monte Carlo de
partícula única empleado en el estudio del transporte en material homogéneo bajo
condiciones de campo eléctrico aplicado constante.
Definición del sistema físico y parámetros de la simulación
Condiciones iniciales del movimiento
Determinación del estado del portador al final del recorrido libre
Acumulación de datos para obtener valores medios
Ha sido la simulación
NO SI Evaluación de
resultados
FIN
Figura I.1. Diagrama de flujo de un algoritmo del tipo Monte Carlo de partícula única
Las operaciones efectuadas en cada uno de los bloques se detallan en los
apartados siguientes.
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I.4.1.c Definición del sistema físico
Es el primer paso del programa, en él deben incluirse la descripción del sistema
físico bajo estudio, los parámetros del material y valores de magnitudes físicas que
afectan al transporte de carga.
- Bandas de energía
Como hemos justificado en la presentación del modelo, éste necesita construir
las trayectorias semiclásicas de la partícula considerada en el espacio fásico. Estas
estarán condicionadas tanto por la estructura de bandas, que impone ciertas condiciones
a su vector de onda, ε(k), como por los mecanismos de scattering presentes en el cristal.
En nuestro modelo, por tanto, debemos considerar estas circunstancias.
Cada portador en el seno de una banda de energía n poseerá una velocidad media
que podemos identificar con la de grupo del paquete de ondas asociado:
v k n= ∇ 1
ε ( )k (I.25)
donde, es la constante Planck reducida y εn(k) es la energía asociada al estado k del
portador en la banda n.
De acuerdo con la dinámica de partículas dentro de la aproximación semiclásica
que estamos haciendo, podemos expresar la aceleración que experimenta un portador en
una banda bajo la acción de una fuerza F externa aplicada como:
a k k
∂ ε ∂ ∂
(I.26)
donde ai es la componente i-ésima del vector aceleración y Fj es la componente j-ésima
del vector de fuerzas externas aplicado.
La ecuación (I.26) es formalmente idéntica a la 2ª Ley de Newton expresada en
forma tensorial en la que las fuerzas que aparecen, como se ha indicado anteriormente,
son solamente las aplicadas exteriormente al sistema. Las fuerzas internas creadas por el
potencial periódico del cristal quedan representadas y englobadas en el tensor masa
efectiva inversa cuya componente ij se expresa:
_____________________________________________________________________________________________________________________
21
∂ ε ∂ ∂
(I.27)
Por tanto, la ecuación (I.26) describe la dinámica del portador en el sólido
cristalino en términos de las fuerzas externas aplicadas y de un tensor que resume los
efectos del potencial periódico del cristal (aproximación de masa efectiva). En estas
condiciones el portador puede ser tratado como una partícula cuasi-libre semiclásica.
Hay diferentes modos de describir la estructura de bandas en una simulación
Monte Carlo. El más comúnmente utilizado consiste en emplear expresiones analíticas
como aproximación local en torno a los mínimos y máximos de las diferentes subbandas
en las bandas de conducción y de valencia, respectivamente. Sin embargo, también es
posible hacer uso de modelos más sofisticados (Fischetti y Laux 1988, Shichijo y Hess
1981, Laux et al. 1990, Laux y Fischetti 1991, Yoder et al. 1992) en los que se emplea
una tabulación de la estructura de bandas numérica calculada mediante el método del
pseudo-potencial (Cohen y Bergstresser 1966, Cohen y Chelikowsky 1988).
Teniendo en cuenta que una buena descripción de las bandas es esencial para
tratar correctamente el transporte en el material, debemos escoger entre uno y otro
modo. Evidentemente, en ambos se comete un error numérico ya sea en el truncamiento
del desarrollo en serie de la relación energía vector de onda ε(k)15 en la banda en el
entorno del extremo considerada, ya sea en la tabulación de la misma. En el primer
modo este error numérico aumenta para energías elevadas del portador, en tanto que en
el segundo modo el error se minimiza recurriendo a tabulaciones más finas (esto es,
aumentando la ocupación de memoria del ordenador).
Siempre y cuando las energías cinéticas de los portadores no superen los 2 eV
suele ser aconsejable recurrir al primero de los modos dado que en este caso no surgen
serios problemas de separación entre la banda calculada numéricamente y su
aproximación analítica. Este primer método tiene además la ventaja de que las
trayectorias de los portadores también admiten un cálculo analítico por lo que la
ocupación de memoria y el tiempo empleado en cálculos de trayectorias son mínimos.
Afortunadamente, a temperatura ambiente y para el rango de campos
considerado en esta Memoria (0-50 kV cm-1), la región de energías cinéticas de interés
15En lo sucesivo omitiremos el índice de la banda
___________________________________________________________________________________________________________________
29
en el estudio de las propiedades de transporte es inferior a los 2 eV citados. Como
consecuencia de lo anterior hemos adoptado una descripción local analítica de las
bandas. En las bandas de conducción y de valencia, en entornos de los mínimos o
máximos de las diferentes subbandas, la función ε(k) puede aproximarse, en numerosos
casos, por una función cuadrática del vector de onda k (modelo de bandas de energía
esféricas parabólicas):
2 2 2 2 2m m
k k kx y z (I.28)
en este caso el tensor masa efectiva es un escalar m* y k, con componentes (kx, ky, kz),
es el vector de onda medido desde el mínimo o máximo considerado y ε es la energía
cinética del portador.
En otros casos la banda presenta localmente una fuerte anisotropía que se traduce
en curvaturas diferentes en las direcciones (kx, ky, kz) lo que conduce a la necesidad de
considerar masas diferentes en cada dirección. Debido a la simetría rotacional de las
superficies isoenergéticas alrededor de algunas direcciones cristalográficas16,
usualmente, la expresión analítica no parabólica de las bandas es:
ε ( ) ( )k = + + 2 2
tm m m (I.29)
Es decir, las superficies energéticas son elipsoides de revolución alrededor de
ciertas direcciones cristalográficas. En este caso el tensor masa efectiva inversa es
diagonal y tiene a ml -1, mt
-1 y mt -1 como sus componentes longitudinal y transversales,
siendo kl, kt1 y kt2 las componentes longitudinal y transversales de k respecto a las
direcciones principales de cada elipsoide y centradas en él. Este es el caso de los
mínimos de la banda de conducción del silicio en las direcciones cristalográficas ⟨100⟩
y⟨111⟩.
En estas aproximaciones, para valores de k suficientemente alejados de los
mínimos y de los máximos de las bandas de conducción y valencia respectivamente, se
produce una desviación de la relación ε(k) con respecto a las expresiones simples (I.28)
16Un caso más complejo se presenta en aquellas situaciones en las que no existen localmente simetrías en las bandas (caso de bandas warped)
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30
y (I.29) como apuntábamos anteriormente. Con objeto de extender el rango energético
de validez de la aproximación debe considerarse un factor adicional de no parabolicidad
(Tomizawa 1993) que corresponde matemáticamente a un desarrollo local en serie de
Taylor de la función ε(k) al tercer orden. La inclusión de este factor de no parabolicidad
se realiza de manera sencilla:
Caso de bandas esféricas no parabólicas:
ε α ε γ( )( ( )) ( ) *
k k k k
ε α ε γ( )( ( )) ( ) ( )k k k1 2
2 2 1 2
(I. 31)
A partir de las expresiones anteriores podemos escribir en ambos casos la
relación ε(k) de nuevo, en forma analítica simple:
ε α γ
(I. 32)
donde α es el coeficiente de no parabolicidad. Aunque este parámetro puede calcularse a
partir de la estructura de bandas mediante el método k.p, usualmente suele variarse
ligeramente para ajustar los resultados de las simulaciones Monte Carlo a resultados
experimentales.
Bajo la acción de un campo eléctrico E uniforme y de la estructura de bandas del
cristal a través de la masa efectiva, las ecuaciones semiclásicas que rigen la evolución
del vector de onda y la posición del portador(electrón ó hueco) cuasi-libre en ausencia
de mecanismos de interacción con la red, para el caso de banda esférica no parabólica,
son de la forma:
(I. 34)
___________________________________________________________________________________________________________________
31
donde los signos superior e inferior corresponden a huecos y electrones respectivamente,
q es el valor absoluto de la carga del electrón, y ko y ro son los valores del vector de
onda y del vector posición del portador al comienzo del recorrido libre.
Vamos a examinar brevemente el significado físico del coeficiente de no
parabolicidad. Expresando la ecuación (I.33) en el caso simple de una banda esférica no
parabólica, la velocidad del portador es formalmente idéntica a la que se obtiene en el
caso de banda esférica parabólica introduciendo una masa efectiva de conducción mc*:
v k k
m mc* * ( )= +1 2α ε (I. 36)
Por tanto, dado que el coeficiente de no parabolicidad produce un incremento de
la masa con la energía, tiende a reducir la velocidad asociada a un estado k e
incrementar la densidad de estados en energía. Luego la no parabolicidad contribuye a
reducir la movilidad de los portadores cuando ocupan estados de energía cinética
elevada (a altas temperaturas y/o cuando existen altos campos eléctricos aplicados). Este
parámetro tiene además gran influencia sobre las probabilidades de scattering (ver
Apéndice I).
En el caso del silicio, el mínimo de la banda de conducción está constituida por
seis elipsoides equivalentes en las direcciones ⟨100⟩, sin considerar efectos de no
parabolicidad la masa efectiva de conducción mc* puede escribirse como:
m m m
3 2
(I. 37)
bajo la hipótesis de que los seis elipsoides están equipoblados (hipótesis sólo cierta para
campos eléctricos muy bajos).
- Mecanismos de scattering
En un cristal perfecto ideal en el que no existieran interacciones entre red
cristalina y el portador libre, la aplicación de un campo externo constante aceleraría
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32
uniformemente al portador causando un incremento lineal de su velocidad de arrastre
con el tiempo en la dirección del campo17. Sin embargo, experimentalmente se
comprueba que este comportamiento de la velocidad de arrastre con el tiempo no se
produce en cristales reales, sino que la velocidad del portador alcanza un valor
estacionario medio constante para un campo dado. Esta limitación de la velocidad es
debida a las interacciones del portador con las imperfecciones y con las vibraciones de
los átomos del cristal llamadas mecanismos de scattering o procesos de colisión.
Si la densidad de puntos en los que se rompe la periodicidad de la red cristalina
es reducida comparada con la de átomos de la red podemos conservar la estructura de
bandas y la forma de las funciones de onda del portador en estados no localizados. Por
tanto la introducción de niveles bajos y moderados de dopaje no alteran la descripción
del transporte que hemos adoptado salvo por la aparición de colisiones de naturaleza
coulombiana entre los portadores y las impurezas.
En el caso de las imperfecciones cristalinas e impurezas que dan lugar a centros
profundos el estudio es más complejo dado que además de centros de scattering suelen
actuar como centros de recombinación muy eficaces. En el modelo considerado en esta
Memoria (como ya hemos mencionado) estamos interesados en procesos de
modificación de momento y energía de los portadores que son mucho más rápidos que
los de generación-recombinación de portadores (típicamente hay una relación entre los
tiempos característicos de 106-108), por tanto, no consideraremos otras modificaciones
del potencial periódico de la red cristalina que las debidas a impurezas (superficiales).
Los portadores también pueden intercambiar momento y energía con la red
cristalina a través de procesos de interacción con las ramas acústica y óptica de fonones.
Usualmente se considera que la temperatura de la red no se modifica. Sin
embargo, es evidente que en un material con una alta densidad de portadores y sometido
a un campo eléctrico elevado la temperatura de la red debe aumentar ligeramente con
respecto al valor del equilibrio termodinámico (Nag 1980). Para los rangos de dopaje y
campo eléctrico considerados en esta Memoria este efecto puede ser despreciado.
Finalmente, es posible una interacción coulombiana entre los portadores vía
intercambio de momento con choques elásticos de tipo clásico (interacción portador-
17Esto no conduciría a un incremento indefinido de la velocidad real del portador, dado que la 1ª Zona de Brillouin está limitada, sino a la aparición de un comportamiento oscilatorio del portador (Oscilaciones de
___________________________________________________________________________________________________________________
33
portador de rango corto o de corto alcance) o mediante interacción de un portador con
un modo de vibración colectivo del gas de portadores (interacción portador-portador de
rango largo)18.
En cualquiera de los casos descritos de interacción del portador con el medio se
asume en el modelo microscópico las hipótesis presentadas en la ecuación de
Boltzmann a la hora de escribir el término de colisiones, ecuación (I.5): las colisiones
modifican solamente la parte k del estado (r, k) del portador. Esto es, se consideran
instantáneas. Por tanto, el modelo microscópico de la historia de un portador considera
ésta como una sucesión de recorridos libres bajo la acción del campo, en los que el
estado (r, k) evoluciona en el espacio fásico según las ecuaciones (I.33) y (I.34),
interrumpidos por cambios aleatorios de k mediante mecanismos de scattering
efectuados en tiempo nulo.
Dado que existen excelentes presentaciones de los mecanismos de scattering en
semiconductores (Madelung 1981, Ridley 1993) únicamente vamos a clasificar de
manera breve en este Capítulo los diferentes mecanismos de scattering que pueden tener
lugar en un semiconductor. En el Apéndice I detallamos las probabilidades de
interacción utilizadas en la modelización de los mecanismos presentes en la aleación
Si1-xGex.
En la Figura I.2 mostramos la clasificación de los diferentes tipos de scattering
en el seno de un semiconductor19, en tres grupos: con imperfecciones de la red,
portador-portador y con modos de vibración de la red cristalina. Otras posibles
clasificaciones son dividir los mecanismos entre elásticos e inelásticos, según se
modifique o no la energía del portador en el proceso de scattering, o en isótropos y
anisótropos según si la dirección del vector de onda del portador tras la interacción es
esencialmente aleatoria o depende de la dirección del vector de onda del estado inicial.
Dentro de las interacciones con defectos, la más importante en semiconductores
simples y de alta calidad cristalina es la interacción con átomos de impurezas. Dado
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34
siempre persisten en él átomos de impurezas. Estas (ya sean introducidas
intencionadamente o no) originan una perturbación en el potencial periódico creado por
la red cristalina que actúa sobre los portadores. Esta perturbación del potencial cristalino
crece a medida que aumenta el dopaje y puede modelizarse como un mecanismo de
intercambio de momento entre el portador y el cristal. Dado que la naturaleza de la
perturbación es puramente coulombiana se estudia la interacción impureza-portador
como un “choque” clásico de partículas cargadas (Ridley 1993) por lo que es de tipo
elástico y anisótropo20.
Mecanismos de scattering
Defectos del cristal Impurezas Aleaciones
Neutras Ionizadas
Intravalle Intervalle
Acústico Optico
Figura I.2. Clasificación de los mecanismos de scattering
En la práctica se observa que el scattering por impurezas es muy importante para
campo débil en la región de temperaturas bajas y medias. El proceso de colisión
dominante a muy bajas temperaturas es el efectuado con átomos de impurezas neutras.
Al aumentar la temperatura de la red los átomos de impurezas comienzan a ionizarse y
los procesos de colisión pasan a ser dominados por la interacción de los portadores con
átomos de impurezas ionizadas. Teniendo en cuenta el mecanismo de acción de las
impurezas (fijas) sobre los portadores, la desviación de las trayectorias de estos
(relajación del momento) es muy importante para portadores poco energéticos
(termalizados) y poco importante para aquellos con elevada energía cinética. En
20Obsérvese que una interacción de tipo elástico no puede relajar la energía del portador hasta la de la red, por tanto, los mecanismos de relajación de energía y momento son necesariamente diferentes.
___________________________________________________________________________________________________________________
consecuencia, la influencia de las impurezas ionizadas para campos eléctricos elevados
sobre el transporte es escasa. Para temperatura ambiente (300K) y una concentración de
impurezas por debajo de 5 1017 cm-3 en la aleación Si1-xGex no es preciso considerar la
interacción con impurezas neutras.
Otra fuente posible de fluctuaciones del potencial periódico en el cristal aparece
en aleaciones, entendiendo por estas los compuestos no estequiométricos. Para aclarar
los conceptos, consideremos un semiconductor compuesto del tipo GaAs. Está
constituido por dos redes del tipo cúbico centrado en caras desplazadas entre sí
diagonalmente e interpenetradas. Al potencial cristalino del semiconductor contribuyen
las dos redes y es perfectamente periódico dado que en todo punto un átomo de la red
estará rodeado de una distribución espacial de otros átomos idéntica. Una variación de la
proporción relativa de Ga ó As rompería esta situación. Este es el caso de las aleaciones
ternarias y cuaternarias de elementos III-V y, evidentemente, de la binaria Si1-xGex que
consideramos en este trabajo, donde x es la fracción molar de germanio. En este punto
conviene hacer una precisión. La introducción de una fracción molar de germanio en
silicio tiene dos efectos: en primer lugar la modificación del potencial cristalino medio
con respecto al caso del silicio y en segundo lugar la aparición de las fluctuaciones a las
que hemos aludido. El primero de los efectos cambia la estructura de bandas con
respecto al silicio (modificación del Gap, ruptura de degeneraciones, etc.) como
veremos más adelante21 y el segundo introduce un mecanismo adicional de colisiones
entre la red y los portadores que se conoce como scattering de aleación.
Finalmente, otra posible fuente de fluctuaciones del potencial cristalino proviene
de defectos en la disposición de los átomos en la red (dislocaciones, defectos de
apilamiento, vacantes, etc.) introducidos durante el crecimiento. Pero los efectos de
estos defectos del cristal sobre el movimiento de portadores en dispositivos muy cortos
son (en materiales monocristalinos de alta calidad empleados en microelectrónica)
despreciables en comparación con los debidos a scattering por impurezas y aleación
(caso de estar este último presente).
En el desarrollo de la teoría de la estructura de bandas de energía, se asume que
los átomos de la red están fijos en el espacio. Una fuente importante de perturbaciones
21En algunos casos los efectos sobre ciertos parámetros son difíciles de calcular y se recurre a interpolaciones entre valores del mismo parámetro en cada material
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36
en el potencial periódico de la red se deberá a las interacciones del portador con modos
de vibración de la red cristalina (fonones). Estos últimos pueden clasificarse desde el
punto de vista del transporte según el tipo de transiciones que produzcan, pues en el
proceso de emisión o absorción de fonones el portador cambia su estado intercambiando
momento y energía con la red. Si atendemos a la banda de conducción de los
semiconductores de interés observamos que los mínimos relativos suelen localizarse en
extremos de la 1ª zona de Brillouin (salvo el mínimo absoluto en materiales de gap
directo). El intercambio de fonones entre valles exige la participación de fonones de
vector de onda elevado que en razón del tipo de transiciones a las que asisten se
denominan fonones intervalle22. Por otro lado los fonones con vector de onda pequeño
únicamente pueden producir transiciones intravalle.
Según la relación de dispersión de los fonones para los materiales
semiconductores de interés, que tienen dos clases de átomos o doble periodicidad, los
fonones pueden ser divididos en dos grupos: fonones acústicos y fonones ópticos. La
interacción tiene efecto mediante emisión o absorción de fonones.
Las formas de interactuar de los fonones son distintas, en un caso el scattering
tiene lugar vía un potencial de deformación (denominado scattering no polar en el caso
de fonón acústico) y en otro a través de las fuerzas electrostáticas producidas por el
desplazamiento de átomos vecinos (denominado scattering piezoeléctrico en el caso de
ser fonón acústico y scattering óptico polar en caso de ser fonón óptico).
En el caso de scattering de huecos en un semiconductor los cambios en la forma
de las bandas de valencia con respecto a las de conducción impone ciertas
modificaciones al esquema diseñado en la Figura I.2. En primer lugar, las interacciones
con fonones de gran vector de onda (límites de la 1ª Zona de Brillouin) carecen de
importancia dado que la población de las bandas para estos valores de k es nula. En
segundo lugar, todos los mecanismos de scattering pueden modificar la banda de
residencia del portador: dado que las tres subbandas de ocupación mas probable tienen
su mínimo de energía en el punto Γ, los huecos tendrán valores de k muy reducidos.
22A su vez los mecanismos intervalle se clasifican en equivalentes y no equivalentes según que el valle en que se encuentra el estado final del portador sea o no del mismo tipo que el del estado anterior al mecanismo.
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37
Hasta aquí hemos repasado los mecanismos de scattering ligados a correcciones
del potencial periódico de la red. Sin embargo, en un cristal real hay una elevada
densidad de portadores moviéndose cuasi-libremente dentro del mismo. Típicamente
esta densidad varía habitualmente entre 1013 y 1019 cm-3. Debemos por tanto considerar
la posibilidad de un intercambio de momento y energía en el seno del gas de portadores
mediante colisiones entre portadores libres (o portador-portador). El efecto de estas
colisiones es normalmente despreciable frente al debido a otros mecanismos de
scattering para concentraciones del orden de 1013-1018 cm-3. Como hemos mencionado
precedentemente es viable la inclusión de este mecanismo de scattering en el modelo
microscópico (Lugli y Ferry 1985, Mansour et al. 1992, Abramo et al. 1993) y muy
difícilmente en la ecuación de transporte de Boltzmann.
Otro efecto que influye en el tratamiento de los mecanismos de scattering en una
simulación Monte Carlo de materiales muy dopados es la degeneración del
semiconductor. En el cálculo habitual de las probabilidades se supone que todos los
estados posibles a los que puede ir el portador están disponibles, por lo que no se
considera el principio de exclusión de Pauli. Esto deja de ser cierto en el caso de la
aleación Si1-xGex con dopajes superiores a 5 1017 cm-3.
En el presente trabajo estudiaremos materiales y dispositivos semiconductores
con concentraciones de portadores libres que nos permiten ignorar los efectos de las
colisiones portador-portador, de la degeneración y de las impurezas neutras sobre el
transporte de portadores.
I.4.1.d Establecimiento de las condiciones iniciales del portador
En el caso bajo consideración, en el cual simulamos una situación estacionaria,
el tiempo de simulación deberá ser suficientemente elevado para que las condiciones
iniciales impuestas al portador no tengan influencia en los resultados finales. Por tanto,
estas condiciones iniciales pueden determinar que sean necesarios más o menos
mecanismos para obtener resultados fiables. Por ejemplo, cuando se elige un valor
inicial muy improbable tanto para el vector de onda del portador, la primera parte de la
simulación está fuertemente influenciada por esta elección inadecuada. Un valor de
energía conveniente como energía inicial del portador debe situarse en torno a la energía
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38
térmica de la red 3/2 KBT. Con el fin de evitar efectos indeseables de una elección
inapropiada de las condiciones iniciales y de obtener una mejor convergencia de los
resultados, no se tiene en cuenta la contribución a estos últimos de la primera parte de la
simulación.
Asimismo debemos tener en cuenta que una elección idónea de la duración del
tiempo de simulación está sometida a un compromiso entre la necesidad de que sea lo
mayor posible (de modo que se cumpla el principio de ergodicidad) y el ahorro de
tiempo de computación.
I.4.1.e Recorrido libre
Como hemos indicado en el modelo se asume que el movimiento del portador
puede dividirse en recorridos libres, entre los cuales el portador se desplaza en el cristal
bajo la acción del campo aplicado, interrumpidos por los distintos mecanismos de
scattering.
La duración del recorrido libre se determina aleatoriamente de acuerdo con la
probabilidad dependiente de la energía de que tenga lugar algún proceso de scattering,
como veremos a continuación (Boardman 1980).
Cada proceso de scattering que puede producirse al concluir un recorrido libre
está caracterizado por una probabilidad de transición Sn(k,k') desde el estado cuyo
momento es k al estado cuyo momento es k'. El subíndice n indica cada uno de los
procesos individuales de scattering dentro de los N mecanismos posibles. De acuerdo
con esto, la probabilidad de transición desde el estado inicial k hasta otro cualquiera
mediante el mecanismo n viene dada por:
λn nS d( ) ( , ' ) 'k k k k= ∫ (I.38)
donde la integral se realiza sobre todos los estados finales k' posibles para el mecanismo
k dentro de la primera zona de Brillouin (no se consideran mecanismos de tipo
Unklapp). La probabilidad total de que el portador en el estado k sufra un mecanismo de
interacción con la red o las impurezas se expresará como la suma de las debidas a cada
tipo de mecanismo, de la forma:
___________________________________________________________________________________________________________________
N
donde k es función del tiempo.
Supongamos que el arrastre del portador por el campo eléctrico (sin que se
produzca mecanismo de scattering alguno) se produce durante un tiempo t que podemos
subdividir en p intervalos δti (1 ≤ i ≤ p) suficientemente cortos. La probabilidad de que
no ocurra ningún mecanismo de scattering durante cada uno de esos intervalos de
tiempo es (1 - λ(k).δti). Luego la probabilidad de que se produzca un recorrido libre
durante un tiempo t es:
S t ti i
1 λ δk (I.40)
Si en esta ecuación se toman logaritmos y exigimos que se cumpla λ(k).δti<<1,
en la elección de δti, en el límite cuando p tiende a ∞:
S t dt
∫ λ k(t' )
0 (I.41)
Luego la densidad de probabilidad P(t) (probabilidad por unidad de tiempo) de
que un portador sometido a la acción de un campo eléctrico E durante un tie