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7/25/2019 4.1 Analisis de Fourier
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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215
Series de Fourier:
Varios matemticos del siglo XVIII,
incluyendo a los suizos Leonhard
Euler y Daniel Bernoulli saban quepoda llegarse a una representacin
aproximada de una seal o funcin
f(t) mediante una suma finitaponderada de senoides relacionadas
armonicamente.
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La idea de describir las ondas como
una serie de funciones senoidales estil para el ingeniero moderno.
Por ejemplo, en la experiencia
cotidiana nos encontramos consintetizadores de voz o musicales que
producen sonidos vocales y musicales
como resultado de la generacin deuna serie apropiada de seales
senoidales.
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En 1807, el varn francs JeanBaptiste Joseph Fourier publica laTeora del calor un tratado en elcual introduce unas seriestrigonomtricas, de lo cual una onda o
seal peridica poda descomponerseen una serie infinita de senoides queal sumarse, reproduciran la forma
exacta de la onda original.En honor a l se debe el nombre deSeries de Fourier.
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Funciones o seales peridicas:
)()( nTtftf
Donde: n: mltiplo entero: 1,2,3,4,5,T: perodo fundamental (tiempo mnimo
para que la funcin vuelve a repetirse).
Son aquellas sealescuyos valores se
repiten a intervalos
iguales de tiempo y en
el mismo orden, o sea:
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Requisitos para que exista la Serie de Fourier
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La serie trigonomtrica de Fourier:
2 2
1
0
0 0 0
1 1
0 0 0
1
0 01
espectro de magnitud
espectro de fase
frecuen
( ) :
tan :
:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=2
n n
n
n
n
n n
n n
n
n
o
n n
n n
n
a b
b
a
w
A
f t a a cos nw t b sen nw t
a cos nw t sen nw t
f t a cos nw t
a b
A
f
cia fundamental o primer armnico
1o
of T
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Los Coeficientes de la Seriede Fourier:
0
00
1( )
t T
t
a f t dt T
a0 representa el Valor Promedio de f(t) en unperodo fundamental de la seal.Es el rea bajo la curva dividido entre elperodo fundamental (T)
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0
0
0cos2
( ) ( )
t T
n
t
a f t nw t dt T
Tambin denominada Integral en Coseno
Los Coeficientes de la Seriede Fourier:
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0
0
0
2( ) ( )
t T
n
t
b f t nse w tn t dT
Tambin denominada Integral en Seno
Los Coeficientes de la Seriede Fourier:
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W.H. Hayt, Jr., J.E. Kemmerly, S.M. Durbin, Engineering Circuit Analysis, Sixth Edition.
Copyright 2002 McGraw-Hill. All rights reserved.
(a) A waveformshowing even
symmetry.
f(t)=f(-t)
(b) A waveform
showing odd
symmetry.f(-t)=-f(t)
Simetra de seales peridicas:
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Uso de la simetra: funciones pares:
0 0
0
00
0
2
0
2
1 1( ) 2 ( )
22 ( ) cos( )
0
t t
n o
t
n
TT
T
tt
t
a f t dt f t dt T T
a f t nw t dt T
b
http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar
http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar7/25/2019 4.1 Analisis de Fourier
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W.H. Hayt, Jr., J.E. Kemmerly, S.M. Durbin, Engineering Circuit Analysis, Sixth Edition.
Copyright 2002 McGraw-Hill. All rights reserved.
Two waveforms,each of which
exhibits
half-wavesymmetry.
f(t)=-f(t T/2)
Simetra de media onda:
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0
0
0
0
2
2
0 ; n par
4( )cos( ) ; n impar
0 ; n par
4( )sin( ) ; n impar
n
n o
t
n
n o
t
T
t T
ta
a f t nw t dt T
b
b f t nw t dt T
Simetrade media onda: f(t)=-f(t T/2)
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0
048
( )cos( ) ; n impar
0 ; todo n
n ot
n
Tt
a f t nw t dt T
b
Simetra de cuarto de onda par:
simetra de media onda + funcin par:
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0
04
0 ; todo n
8( ) ( ) ; n impar
n
n o
t
t T
a
b f t sen nw t dt
T
Simetria de cuarto de onda impar:
Simetra de media onda + funcin impar:
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Una Serie de Fourier es unarepresentacin precisa de una sealperidica y consiste en la suma desenoides mltiplos de la frecuencia
fundamental, denominados frecuenciasarmnicas.
El Espectro discreto de armnicos es
una representacin grfica de lamagnitud(amplitud) y la fase de loscoeficientes de Fourier en trminos de lafrecuencia fundamental y las frecuencias
armnicas.
Discrete frequency spectrum(magnitud y fase)
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Discrete frequency spectrum
0 0 0
1 1
0
1
0
( ) ( ) ( )
( )
n n
n n
n n
n
f t a cos nw t sa b en nw t
a cosA wtn
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Figure
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Espectro discreto de frecuencias armnicas(magnitud y fase)
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La serie exponencial compleja de Fourier:
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La serie exponencial compleja de Fourier:
0
0
*
coeficiente exponencial complejo:
Equivalencias:
( )
1( )
1 ; ;
2
12
; ( )
o
o
n
t T
n
t
n n n n n o o
n n
n n n n n n
jnw
n
j
t
nw t
f t c e
c f t e dt T
c a jb c c c a
c A
a c c b j c c
L i i l l j d F i
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La serie exponencial compleja de Fourier:
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Figure
6.14
Aplicaciones de las Series de Fourier:
1) Response of a linear system to a phasor input
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2) Fourier y Superposicin al Anlisis de Circuitos:
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3) Potencia promedio de una Serie de Fourier:
0
0
0 0
0 0
0
0
( )
( )
( ) ( )
1
1
1
1
Potencia promedio:
cos( )
cos( )
1
1cos( )
cos( )
t DC n o n
t DC m o m
t T
t t
t
t T t T
m DCDC DC o m
mt t
t T
n DCo n
n t
DC DC
n
m
v V V nw t
i I I mw t
P v i dtT
I VP V I dt mw t dt
T T
V Inw t dt
T
P V I
max max
1
1
1cos( )
2
cos( )
n n
rms rms n n
n n V I
n
DC DC n n V I
n
V I
P V I V I
4) l fi d S i d i
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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215
4) Valor eficaz de una Serie de Fourier:
2 2 1
0 0
0 0
m ma axx max
2
2 2
0 01
2 2 2 2
0 0
1 1
2 2
0
2
( ) ; tan
1 1
( ) ( )
1 ; ; c
2
1 1( )
2 2
(
n n
n
n
n
rms r
t T t T
rms rmsnt t
n n
n n
n o o
rms n n
n
n
n n
rms n n
ba bA
a
F f t dt F a cos nA
A
w t dt T T
c a jb a
F a a b a
F a a b
max
2 2
01 1
2 22 2
0 0
1 1
2)
1
2
m rmss
rms
n n
rm
n
s n n
n n
a
F c C c
A
C
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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215
5) Total harmonic distortion (THD):
En los sistemas de potencia, la distorsin armnica de las seales de
tensin o corriente, se debe principalmente a cargas no lineales odispositivos de conmutacin, tales como:
a) Fuentes de alimentacin de funcionamiento conmutado (SMPS).
b) Estabilizadores electrnicos de dispositivos de iluminacin
fluorescente y leds.
c) Pequeas unidades de SAI (sistemas de alimentacin
ininterrumpida) o UPS
d) Variadores de frecuencia para motores(1 3) de velocidad
variable y grandes unidades de UPS.e) Dispositivos de electrnica de potencia.
f) Dispositivos ferromagnticos.
g) Dispositivos de arco elctrico.
5) Di i i l (THD)
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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215
5) Distorsin armnica total (THD):
Problemas que producen los armnicos en la red:
a) Sobrecarga de los conductores neutros.
b) Sobrecalentamiento de los transformadores.
c) Disparos intempestivos de los interruptores automticos.
d) Sobrecarga de los condensadores de correccin del factor de
potencia.
Algunos mtodos para reducir los armnicos:
a) Filtros pasivosb) Transformadores de aislamiento
c) Soluciones activas
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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215
5) Clculo de la distorsin armnica total (THD):
22
22
2
1 1
10010022
222
1 1
*100% *100%
nn
nn
nn
nn
AA
THDA A
AA
THDA A
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Ejemplo: Consideremos una seal cuadrada, a lacual le calculamos la serie y su respectivo espectro
de frecuencias de Fourier:
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Calculando los coeficientes trigonomtricos de Fourier:
a) el valor promedio:
Tambin por la simetria impar de la seal, se deduceque su valor promedio en T es cero!!!
0
0
0
2
0
0
1( )
1 ( ) ( )
2
0
t T
t
a f t dt T
V d wt V d wt
a
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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215
Tambin por la simetria impar de la seal, sededuce que la integral en coseno (an) es cero!!!
0
0
0
0
2
2( )cos( )
2cos( ) ( )
2
( ) cos( ) ( )
= 0
t T
n
t
n
n
a f t nw t dt
T
a V nwt d wt
V nwt d wt
a
b) la integral en coseno:
) l i l
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0
0
0
0
2
(para todo )
2( ) ( )
2( ) ( )
2
+ ( ) ( ) ( )
4 ; : impar
4 ;
2 1
t T
n
t
n
n
n n
b f t sen nw t dt
T
b Vsen n wt d wt
V sen n wt d wt
Vb nn
Vb n
( n - )
c) la integral en seno:
C l i d i
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Como a0 y an son ceros, la serie de Fourier sesimplifica a:
2 2
0 0
1
0
1
1
( ) ;
0
: impar
( ) ( )
=0
( ) ( )
4( ) ( ) ;
n n n n n
n n
n
n
n
n
n
n
A a b a A
n
f t a A cos nw t
b
v t b sen nw t
Vv t sen nwt
n
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La Serie trigonmetrica de Fourierde este
ejemplo, se puede expresar de formageneral y resumida como:
n
wtnsenn
Vtv
n
])12([)12(
4)(1
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Expandiendo la Serie de Fourier para los primeros 17armnicos (9 trminos impares):
4 4 4( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 ( ) ( ) ( )
4 4 4
1 3 5
7 9 11
13 ( ) ( ) ( )
...4
1 3 5
7
9 11
13 15
.
17
(2 1.
)
15 17
.
V V Vv t sen wt sen wt sen wt
V V Vsen wt sen wt sen wt
V V Vsen w
n
t sen wt sen wt
Vsen
(2 1( ))n wt
Sintetizando la seal original como una suma de c/u
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Sintetizando la seal original como una suma de c/ude sus componentes armnicos: (por facilidad V=1)
4( ) ( )
Vv t sen wt
: Componente fundamental o primerarmnico. (serie con 1 trmino)
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)3(3
4)(
4)( wtsen
Vwtsen
Vtv
fundamental + tercerarmnico:
(serie con 2 trminos)
1.200422
1.200422
f t( )
2 0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1.2
0.6
0.6
1.2
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)3(3
4)(
4)( wtsen
Vwtsen
Vtv
)5(
5
4wtsen
V
fundamental + tercer +quinto armnico:
(serie con 3 trminos)
1.18834
1.18834
f t( )
2 0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1.19
0.59
0.59
1.19
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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215
)3(3
4)(
4)( wtsen
Vwtsen
Vtv
)7(7
4
)5(5
4wtsen
Vwtsen
V
fundamental + tercer + quinto +sptimo armnico:
(serie con 4 trminos)
1.18416
1.18416
f t( )
2 0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1.18
0.59
0.59
1.18
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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215 http://33.media.tumblr.com/f691ee751790c36ba5238bef93adb046/tumblr_nhr191UoYM1tlppcdo1_400.gif
Animacin(gif): Suma de la componente fundamental + tercer + quinto +sptimo armnico: (serie con 4 trminos)
fundamental + tercer + quinto +
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)3(3
4)(
4)( wtsen
Vwtsen
Vtv
)9(9
4)7(
7
4)5(
5
4wtsen
Vwtsen
Vwtsen
V
fundamental + tercer + quinto +sptimo + noveno armnico (seriecon 5 trminos)
1.182328
1.182328
f t( )
2 0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1.18
0.59
0.59
1.18
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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215
Sumando hasta el armnico 199
(serie con 100 trminos)])12([)12(
4)(
100
1
wtnsenn
Vtv
n
1.14475
1.14475
f t( )
2 0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1.14
0.57
0.57
1.14
Sumando hasta el armnico 19 999
7/25/2019 4.1 Analisis de Fourier
45/82
Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215
Sumando hasta el armnico 19,999
(serie con 10,000 trminos).
Como puede observarse en elgrfico, casi se reproduce la
seal cuadrada original.
0.999968
0.999968
f t( )
2 0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1
0.5
0.5
1
10,000
1
4 [(2 1) ]( )
(2 1)n
Vsen n wt v t
n
Sntesis con una sumatoria de 3 000 trminos 3 000 4 [(2 1) ]V
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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215
Sntesis con una sumatoria de 3,000 trminoso hasta el armnico 5,999 (por facilidad V=1)grficas individuales hasta el armnico 17
1.27324
1.27324
f t( )
f1 t( )
f3 t( )
f5 t( )
f7 t( )
f9 t( )
f11 t( )
f13 t( )
f15 t( )
f17 t( )
2 0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1.27
0.64
0.64
1.27
3,000
1
4 [(2 1) ]( )
(2 1)n
Vsen n wt v t
n
Tabulando magnitudes armnicas del Espectro de frecuencias: 4V
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Ciclo II-2015
Tabulando magnitudes armnicas del Espectro de frecuencias: 4
(2 1)
1
n
VA
n
V
n An An2
51 0,0250 0,00062
53 0,0240 0,00058
55 0,0231 0,00054
57 0,0223 0,00050
59 0,0216 0,00047
61 0,0209 0,00044
63 0,0202 0,00041
65 0,0196 0,00038
67 0,0190 0,00036
69 0,0185 0,00034
71 0,0179 0,0003273 0,0174 0,00030
75 0,0170 0,00029
77 0,0165 0,00027
79 0,0161 0,00026
81 0,0157 0,00025
83 0,0153 0,00024
85 0,0150 0,0002287 0,0146 0,00021
89 0,0143 0,00020
91 0,0140 0,00020
93 0,0137 0,00019
95 0,0134 0,00018 An2
97 0,0131 0,00017
99 0,0129 0,00017 0,37076
n An An2
1 1,2732 1,62114
3 0,4244 0,18013
5 0,2546 0,06485
7 0,1819 0,03308
9 0,1415 0,02001
11 0,1157 0,01340
13 0,0979 0,00959
15 0,0849 0,00721
17 0,0749 0,00561
19 0,0670 0,00449
21 0,0606 0,0036823 0,0554 0,00306
25 0,0509 0,00259
27 0,0472 0,00222
29 0,0439 0,00193
31 0,0411 0,00169
33 0,0386 0,00149
35 0,0364 0,0013237 0,0344 0,00118
39 0,0326 0,00107
41 0,0311 0,00096
43 0,0296 0,00088
45 0,0283 0,00080
47 0,0271 0,00073
49 0,0260 0,00068
22
22
2
1 1
100
2
2
2
1
*100%
0.37076 *100%
1.
47.82
6211
%
4
nn
nn
n
n
AA
THDA A
A
A
THD
Example: Several of the infinite number of different waveforms which may
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Example: Several of the infinite number of different waveforms which maybe obtained by combining a fundamental and a third harmonic.
The fundamental is v1= 2 cos(w0t), and the third harmonic is:
(a)v3a= cos(3w0t);
(b) v3b= 1.5cos(3w0t);
(c) v3c= sin(3w0t).
Example:
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(a) The output of a half-wave rectifier to which asinusoidal input is applied.
(b) The discrete line spectrum of the waveform in part a.
p
Example:
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Figure
6.11
Square wave and its representation by a Fourier series.
(a) Square wave (even function); (b) first three terms;
(c) sum of first three terms
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Example:
(a) Pulse train
(b) signal spectrum;(c) approximation obtained
using 11 Fourier coefficients
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Example:
(a) periodic (sawtooth) function
(b) spectrum of sawtoothwaveform;
(c) approximation of sawtooth
waveform for n = 5
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https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier#/media/File:Periodic_identity_function.gif
Example:
https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier
E l
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Examples:
E l
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Examples:
Cargas lineales y no lineales que generan armnicos de corriente:
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g y q g
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Ex.: Write the Fourier series for the
waveform below.
Fourier Transform:
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Fourier Transform:
Una transformada es un cambio en la descripcinmatemtica de una variable fsica para facilitar elclculo(Dorf 3a ed. AlfaOmega)
La transformada de Fourier refleja el espectro de frecuenciasde una funcin.
Un buen ejemplo de eso es lo que hace el odo humano, yaque recibe una onda auditiva y la transforma en unadescomposicin en distintas frecuencias (que es lo quefinalmente se escucha).
El odo humano va percibiendo distintas frecuencias a medidaque pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fouriercontiene todas las frecuencias contenidas en todos lostiempos en que existi la seal; es decir, en la transformadade Fourier se obtiene un slo espectro de frecuencias paratoda la funcin.(http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier)
Fourier Transform:
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier7/25/2019 4.1 Analisis de Fourier
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Fourier Transform:
Generalmente la Transformada de Fourier se aplica a funcionesno peridicas y definidas en un intervalo infinito, pero que se
puede considerar como funciones peridicas con un peridoinfinito.
Para que exista la Transformada de Fourier es necesario dosrequisitos o condiciones:
1) ( )
2) el nmero de discontinuidades en f(t) sea finito
f t dt
Fourier Transform:
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Fourier Transform:
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Fourier Transform:
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Fourier Transform:
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Fourier Transform:
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Las ecuaciones (6) y (7) reciben el nombre de par detransformacin de Four ier.
(pg. 563 texto Anlisisde Circuitos en Ingeniera,Hayt & Kemmerly, 5a edicin)
( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
(6)
(7)
1
2jw
jw
jwt
jw t t
jwt
t jw jw
V F v e v dt
v F V e V dw
Esta relacin delpar de transformacin es importante!Debe memorizarse, marcarse con flechas y mantenerse mentalmenteen el nivel consciente de aqu a la eternidad. [1]
[1]Los futuros vendedores de autos y polticos pueden olvidarla...
Properties of the Fourier transform:
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Ciclo II-2015
Properties of the Fourier transform:
UES-FIA-EIE-AEL215 http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier
Properties of the Fourier transform:
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier7/25/2019 4.1 Analisis de Fourier
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Fourier transforms pairs
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Fourier transforms pairs
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier7/25/2019 4.1 Analisis de Fourier
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http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier7/25/2019 4.1 Analisis de Fourier
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Aplicaciones de la Transformada de Fourier:1) Teorema de Parseval
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1) Teorema de Parseval
Uniform continuity and the RiemannLebesgue lemma
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2) Circuito transformado: Resistoren dominio de la
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transformhttp://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform7/25/2019 4.1 Analisis de Fourier
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(
( ) ( )
)
R
aplicando transformada
en funcin de S
(
de Ohm: ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
Z ( )( )
( ) R [ ]
( ) R [
) ( )
]
S S S
jw
S
jw S jw S
S
S
S
R
R
jw
F F
F
v t i t R Ri t
V jw R I jwV jw
jw RI jw
Z jw
Z s
v t Ri t
Transformada de Fourier: F(jw)
2.1) Circuito transformado: Inductoren dominio de
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( )
( ) ( )
aplicando transformada
En funcin S
:
de
(
( )del inductor "L": ( )
( ) ( ) ( )
( )Z ( ) ( )
( )
( ) [ ]
( )(
( ) S [ ] ; )
)
0
jw
SS
S S
SL
S
L
Sw
L
S jw
L
j
j
F F
w
F
di tv t L
dt
V jw L jw I jw
V jwjw jw L
I jw
Z jw jwL
di tv t L
dt
Z L is
0
la Transformada de Fourier: F(jw)
2.2) Circuito transformado: Capacitoren dominio de
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( )
( ) ( )
aplican
En fu
do transforma
ncin de S
da :
( )del capacitor "C": ( )
( ) ( ) ( )
( ) 1Z ( )
( ) ( )
1
( ) [ ]
1Z ( ) [ ]
( )(
; 0
)
(
jw
CC
C C
CC
C
C
Cjw C j
C
w
C
jw
F F
F
dv ti t C
dt
I jw C jw V jw
V jwj
dv ti t C
dt
wI jw jw C
Z jw j
v
wC
s
SC
) 0
la Transformada de Fourier: F(jw)
3) Respuesta al impulso (t):
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) p p ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) )
)
(
) ((
para una excitacin
aplicando transformada de Fourier a la entrada:
aplicando transformada inversa de Fourier a la
( )
11jw jw
t
jw t t
jw jw jw jw jw j
jw
w
x t
X F x F
Y
X
H X X H H
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1
salida:
jw jwt jw jw t y F Y F H h
4) A conceptual development of the convolution integral.
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) p p g
a) A una excitacin x(t)la salida corresponder una respuesta y(t):
b) Para una excitacin x(t)=(t)la salida corresponder a la respuesta
al impulso: y(t)=h(t):
4) A conceptual development of the convolution integral.
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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215
g
c) A una excitacin x(t)=(t-)la salida corresponder a una
respuesta y(t)=h(t-). El nico cambio en la salida es el mismo
retraso en el tiempo de la seal de entrada. Principio de
Invarianza en el tiempo.
d) Supongamos que la entrada tiene un impulso diferente de la
unidad(1), especficamente el valor de x(t)en t=.
Si la entrada cambia a x()(t-), la respuesta correspondera x()h(t-). Principio de Linealidad.
4) A conceptual development of the convolution integral.
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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215
e) Ahora smese esta ltima entrada sobre todos los valores
posibles de y utilcese el resultado como entrada, la
linealidad establece que la salida es igual a la suma de las
respuestas que resulten del uso de todos los posibles valores
de . La integral de entrada producir la integral de la salida.
f) Los considerandos en e) corresponden al muestreo de la seal
de entrada x(t), por lo tanto la salida tambin corresponder a
y(t), conocida como la Integral de Convulucin.
4) A conceptual development of the convolution integral.
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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215
4) Teorema de Convolucin
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
La respuesta como la :
La respuesta como el producto de las transformadas de Fourier o Laplac
Integral de Convol i
e:
uc n
( ) ( )
( ) ( )
t t t
t t t
S S S S
y x h x h t d
y h x h x t d
Y X H H X
( )
( ) ( ) ( ) ( )
El Teorema de Convolucin:
La convolucin corresponde al producto de las transformadas:
; s
( )
S
t t S S
jw
h x HF X
Algunas propiedades de la Convolucin:
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