Post on 20-Jan-2020
Resolver Problemas de Matemáticas
vs
Resolución de Problemas de Matemáticas
¿Qué hacemos y qué evaluamos?
Lorenzo J. Blanco NietoUniversidad de Extremadura
Zaragoza, 14 de enero de 2016
Diferenciamos entre:
Resolución de Problemas
Conocimientosobre Resolución de
Problemas
Resolver problemas Conocimiento matemático
(Conceptos y procesos)Enunciar/inventar Modelizar/
¿Qué hacemos y qué evaluamos?
6 cm.
Resolver Problemas de Matemáticas
Calcular el área del cuadrado de la figura cuya diagonal mide 6 cm.
Resolved el problemaLevantad la mano cuando tengáis la solución
Utilizamos y evaluamos conocimiento matemático
Con los dos lados y la diagonal tenemos un triángulo rectángulo y podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado del cuadrado
l
l
d = 6 cm.
d2 = l2 + l2 62 = l2 + l2 = 2 l2
36 = 2 l2 18 = l2 l = √18
A = 4,24 cm x 4,24 cm = 17,9 cm2
Solución: El área del cuadrado mide 17,9 cm2
l = √18 = 4,24
Con los dos lados y la diagonal tenemos un triángulo rectángulo y podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado del cuadrado
l
l
d = 6 cm.
d2 = l2 + l2 62 = l2 + l2 = 2 l2
36 = 2 l2 18 = l2 l = √18
El lado del cuadrado vale √18 cm
El área del cuadrado es l2
A = √18 cm x √18 cm = 18 cm2
Solución: El área del cuadrado mide 18 cm2
Utilizamos y evaluamos conocimiento matemático
¿QUE EDAD TIENEN?Dos amigos se encuentran por la calle después de mucho
tiempo sin verse. Uno de ellos, tras los saludos correspondientes, pregunta acerca de las edades de los hijos del otro. Este, enigmático le contesta:
- El producto de las edades de mis tres hijas es 36, y su suma es el número de la casa de enfrente.
El amigo, tras escuchar la curiosa respuesta y observar el número de la casa, le respondió:
- Me falta un datoA lo que el primero añadió:- Mi hija mayor toca el piano.¿Qué edades tenían las hijas del intrigante amigo?. ¿Cuál es el
número de la casa de enfrente?.
Tenemos el conocimiento matemático implícito en
su resolución,pero, dificultades para
abordar el problema
6 cm.
Calcular el área del cuadrado de la figura cuya diagonal mide 6 cm.
Modelo General de Resolución de Problemas
Trabajemos con esta situación matemática
Acomodación/análisis/comprensión/ familiarización con la situación
Búsqueda/diseño de estrategia/s de solución
Ejecución de la/s estrategia/s
Análisis del proceso y de la solución
SugerenciasEtapasRESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
. . .
. . .
. . . ¿Cómo me siento? ¿Qué he
aprendido?. . .
RelajaciónAutoinstrucciones
Heurísticos
1. Acomodación / análisis / comprensión/ familiarización . . .
Calcular el área del cuadrado de la figura
A B
D C
6 cm.
O
1. Acomodación / análisis / comprensión/ familiarización . . .
Figuras¿Qué nombres podemos asociar a la figura ABCD?
¿Conocemos la fórmula o fórmulas que podemos
aplicar para calcular su área?
ABCD
A B
D C
O
Cuadrado; Rombo; Rectángulo; Cuadrilátero; Polígono; Polígono regular
6 cm.
Para el CuadradoPara el Rombo
1. Acomodación / análisis / comprensión/ familiarización . . .
Sus catetos son los lados del cuadrado
¿Qué relación tiene con el cuadrado/rombo ABCD?
Son triángulos rectángulos e isóscelesTriángulos ABC; BCD; ADC; ABD
A B
D C
O
6 cm.
b = 6 cm.
La hipotenusa es la diagonal del cuadrado/rombo
¿Podemos calcular el área del triángulo ABC?
A
B
C
h = 3 cm.
1. Acomodación / análisis / comprensión/ familiarización . . .
Sus catetos miden 3 cm. La mitad de la diagonal
¿Cómo podemos
conocer su área?
¿Qué relación tiene con el cuadrado ABCD?
Es un triángulo rectángulo e isóscelesEl triángulo ABO
A B
D
A
O
6 cm.
3 cm.
b = 3 cm.
h = 3 cm.
C BO
Recortamos y giramos
Dibujamos triángulos más pequeños: AEO; EDF
Podemos calcular el área de los triángulos AEO y EDF
¿Qué datos conocemos o podemos conocer de estos triángulos?
Es decir, una base EF mide 3 m. ¿Cuánto medirá la altura DP?
DP medirá la mitad de OD.DP = 1,5 m.
1. Acomodación / análisis / comprensión/ familiarización . . .
¿Qué relación tiene con el cuadrado original?
A B
D C
O
6 cm.
F
E
p
3 cm.
A B
D C
O
¿Conocemos el valor del lado de la nueva figura?
E
F
G
H
La figura anterior sugiere otra división del cuadrado
¿Sabemos calcular su área?
¿Qué relación tiene con el cuadrado/rombo otiginal ABCD?
1. Acomodación / análisis / comprensión/ familiarización . . . A B
D C
O6 cm.
F
E
p
Seguro que ya se os han ocurrido diferentes estrategias para resolver el problema
Repasamos los conceptos que hemos utilizado en esta primera fase de la resolución del Problema
Cuadrado; Rombo; Rectángulo; Cuadrilátero; Polígono; Polígono regular; Lado de un cuadrado;
Diagonal de un cuadrado;Triángulo; Triángulo Isósceles; Triángulo
Rectángulo; Cateto de un Triángulo Rectángulo; Hipotenusa de un Triángulo Rectángulo; Altura de
un Triángulo; Base de un Triángulo; Área de un Cuadrado; Área de un Rombo; Área de un
Triángulo; Área de un Triángulo Rectángulo.
¿Qué estrategias podemos seguir para resolver el problema?
2. Búsqueda y diseño de estrategia/s de solución
A B
D C
O
6 cm.Escribid
estrategias diferentes
para calcular
el área del cuadrado
Redactar cinco estrategias diferentes para resolver el problema.: Calcular el área de un cuadrado de diagonal 6 cm.
En el desarrollo de la primera fase se habían sugerido, explícita o implícitamente, algunas de ellas.La primera observación de la actividad de los estudiantes nos muestra la dificultad que tienen para diferenciar la redacción de la estrategia y el proceso de resolución del problema. Pero, igualmente,
muchos estudiantes renuncian a los apuntes tomados en la primera fase, incluido las figuras y representaciones, e intentan redactar las estrategias partiendo de cero. Es decir, no aprovechan el trabajo
que ellos mismos han realizado.Las respuestas de los alumnos muestran las dificultades que tienen para escribir las estrategias concretas
para resolver el problema. Así, por ejemplo, podemos encontrar una redacción como la que sigue:“Hallar el área mediante el teorema de Pitágoras, dado que conocemos la diagonal (que sería la
hipotenusa de un triángulo cuya área es la mitad del cuadrado) y con ella averiguamos los catetos, que son los lados del cuadrado. Con ello ya podemos aplicar el área del cuadrado, aplicando la fórmula”.La redacción anterior muestra, en primer lugar algunas afirmaciones que no son precisas y rigurosas. Así, “Hallar el área mediante el teorema de Pitágoras”, no es una afirmación cierta. El teorema de
Pitágoras relaciona la medida de los lados o la superficie de los cuadrados que podemos forma con ellos.Pero al mismo tiempo indica dificultades claras para discernir entre una estrategia concreta para un
problema específico y una estrategia general para problemas similares.Así, podemos encontrar: “Usamos el teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2. Con el mismo averiguamos el
valor de los lados del cuadrado. Multiplicando un lado por el otro obtenemos el área”. Que son cuestiones generales pero sin relación específica con el problema y sin unir específicamente las
proposiciones entre sí.También resulta interesante la falta de rigor en el uso de los símbolos. Así, por ejemplo, pueden utilizar para calcular el valor del lado del cuadrado la expresión h2 = c2 + c2 y cambiar la letra ‘h’ por la ‘l’ para
significar la expresión del área del cuadrado
* Las respuestas de los alumnos muestran las dificultades que tienen para escribir las estrategias concretas para resolver el problema, * Y para diferenciar la redacción de la estrategia y el proceso de resolución del problema.* Poca precisión en el lenguaje: “Hallar el área mediante el teorema de Pitágoras, . . . ”.* Pero al mismo tiempo indica dificultades claras para discernir entre una estrategia concreta para un problema específico y una estrategia general para problemas similares: “Usamos el teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2. Con el mismo averiguamos el valor de los lados del cuadrado. Multiplicando un lado por el otro obtenemos el área”. * Falta de rigor en el uso de los símbolos. Utilizan para calcular el valor del lado del cuadrado la expresión h2 = c2 + c2 y cambiar la letra ‘h’ por la ‘l’ para significar la expresión del área del cuadrado
10/03/2014
“Usamos el teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2.
Con el mismo averiguamos el valor de los lados del
cuadrado. Multiplicando un lado por el
otro obtenemos el área”.
Estrategia general sin relación directa con los datos del problema
10/03/2014
“Tomando como referencia el triángulo (AOB),
calculamos el área b x h /2. Este resultado . . . ”.
Estrategia general sin relación directa con los datos del problema
La base y la altura del triángulo AOB pueden variar
“Hallar el área mediante el teorema de Pitágoras, dado que conocemos la diagonal
. . .
El Teorema de Pitágoras solo nos permite calcular el lado del cuadrado,
Falta de rigor en el uso de los símbolos para describir
la estrategia de solución
Para calcular el valor del lado del cuadrado utiliza la expresión
h2 = c2 + c2
. Luego, cambia la letra ‘h’ por la ‘l’ para significar la expresión del
área del cuadradoA = l2
¿Qué estrategias podemos seguir para resolver el problema?
Consideramos el triángulo rectángulo e
isósceles BCD,
Conocemos su hipotenusa (BD = 6 cm)
Los catetos del Triángulo coinciden con
los lados del Cuadrado,
Aplicamos el Teorema de Pitágoras y
calculamos el valor del lado de cuadrado.
Luego, aplicamos la fórmula A = L2
2. Búsqueda y diseño de estrategia/s de solución
A B
D C
O
6 cm.
¿Qué estrategias podemos seguir para resolver el problema?
Dado que la figura ABCD es un rombo, podemos aplicar la fórmula de A = (D x d) / 2 para calcular su área.Sabemos que la diagonal mide 6 cm.
2. Búsqueda y diseño de estrategia/s de solución
A B
D C
O
6 cm.
¿Qué estrategias podemos seguir para resolver el problema?
Consideramos el triángulo ABD
2. Búsqueda y diseño de estrategia/s de solución
La base BD vale 6 cm. Y la altura mide 3 cm.
Podemos calcular su área puesto que conocemos la base (AC = 6cm y la altura que vale 3 cm.El área del cuadrado es el doble del área del triángulo ABD
A B
D C
O
b = 6 cm.
h = 3 cm.
b = 6 cm.A
B
C
h = 3 cm.
¿Qué estrategias podemos seguir para resolver el problema?
Miramos el triángulo rectángulo BOC.
2. Búsqueda y diseño de estrategia/s de solución
Los catetos BO y OC miden 3 cm.
En los triángulos rectángulos un cateto es una base y el otro su altura.
Aplicamos la fórmula para calcular el área del triángulo
A B
DC
O
6 cm.
El área del cuadrado es cuatro veces el área del triángulo ABD
A
b = 3 cm.
h = 3 cm.
BO
¿Qué estrategias podemos seguir para resolver el problema?
Miramos el triángulo rectángulo BOC.
2. Búsqueda y diseño de estrategia/s de solución
Los catetos BO y OC miden 3 cm.
La hipotenusa es el lado del cuadrado
Aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular el lado del cuadrado
A B
DC
O
6 cm.
Luego, aplicamos la fórmula para calcular el área del cuadrado
A
b = 3 cm.
h = 3 cm.
BO
Observemos y repasemos el procedimiento seguido
l
ld = 6 cm.
d2 = l2 + l2 62 = l2 + l2 = 2 l2
36 = 2 l2 18 = l2 l = √18
El lado del cuadrado vale √18 cm
El área del cuadrado es l2
A = l2 √18 cm x √18 cm = 18 cm2
Solución: El área del cuadrado mide 18 cm2
Sabemos que el área del cuadrado es l2
18 = l2
Registrar, explicar y controlar todos los pasos, actuando con rigor, orden y precisión
3. Ejecución de la/s estrategia/sRegistrar, explicar y controlar todos los pasos, actuando con rigor, orden y precisión
¿Alguna
observación sobre
esta resolución?
Con los dos lados y la diagonal tenemos un triángulo rectángulo y podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado del cuadrado
l
l
d = 6 cm.
d2 = l2 + l2 62 = l2 + l2 = 2 l2
36 = 2 l2 18 = l2 l = √18
A = 4,24 cm x 4,24 cm = 17,9 cm2
Solución: El área del cuadrado mide 17,9 cm2
l = √18 = 4,24
Registrar y explicar todos los pasos, actuar con rigor, orden y precisión
3. Ejecución de la/s estrategia/s
Área de la figura A = ( 6 cm. x 6 cm. ) / 2 = 36 / 2 = 18 cm2
La diagonal del rombo ABCD viene dada en el enunciado del problema y vale 6 cm.
A B
D C
O
6 cm.
Registrar y explicar todos los pasos, actuar con rigor, orden y precisión
3. Ejecución de la/s estrategia/s
Área del cuadrado será Ac = 18 cm2 x 2 = 18 cm2
A B
D C
O
6 cm.
b = 6 cm.A
B
C
h = 3 cm.
Área del Triángulo ABCAt = 6 cm. x 3 cm. / 2 = 18 cm2 / 2 = 18 cm2
Registrar y explicar todos los pasos, actuar con rigor, orden y precisión
3. Ejecución de la/s estrategia/s
Área del cuadrado será Ac = 4,5 cm2 x 4 = 18 cm2
A B
D C
O
6 cm.
Área del Triángulo AOBAt = 3 cm. x 3 cm. / 2 = 9 cm2 / 2 = 4,5 cm2
A
b = 3 cm.
h = 3 cm.
BO
Triángulo AOB
Recordamos el enunciado y leemos el problema resuelto
4. Examen/control de la solución y del proceso
Comprobamos que el resultado es el mismo en todas las
estrategias desarrolladas
Observamos la consistencia de la solución obtenida con el
objetivo el problema
Repasamos los conceptos utilizados en la resolución del problema
Cuadrado, rombo, rectángulo, triángulo, t. rectángulo, t. isósceles . . . Lado, diagonal, cateto, hipotenusa, . . .
Expresiones para calcular las áreas del cuadrado, rombo y del triángulo . . . Teorema de Pitágoras
El resultado ha sido el mismo A = 18 cm2, salvo en un caso
Son unidades de superficie
Analizamos el problema resuelto para obtener conclusiones del resultado y del proceso. Recordamos y comparamos las diferentes estrategias
Para calcular el área del cuadrado hemos:* Utilizado la expresión A = l2
4. Examen/control de la solución y del proceso
* ¿Qué estrategia nos ha gustado más? ¿Cuál nos ha parecido más fácil?
* Realizado composición y descomposición de las figuras interiores al cuadrado
* Utilizado la expresión A = (D x d) / 2
Y, también hemos utilizado la expresión cateto x cateto / 2, para calcular el área de un triángulo rectángulo
Enunciamos problemas similares
4. Examen/control de la solución y del proceso
A B
D
C
D
DO
6 cm.
Calcular el área de un hexágono regular, sabiendo que su diagonal mide 6 cm.
Calcular el área de un hexágono regular, sabiendo que su radio mide 3 cm.
3 cm.
Sugerencias
He fallado o tenido dificultad en algún paso pero he intentado seguir, en lugar de quedarme bloqueado. Me he esforzado
Me he dado la oportunidad de aprender,
5. ¿Cómo me siento? ¿Qué he aprendido?
Autoinstrucciones
He aprendido algo nuevoNo me ha parecido difícil
Creo que podré aprender a hacerlo
Resolver /Formular
Problemas de Matemáticas
Resolución de Problemas de Matemáticasvs
La Resolución de Problemas
es un contexto y pretexto
para hacer/aprender Matemáticas
FORMAR UNA CADENA CERRADATenemos 4 piezas de una cadena teniendo cada parte 3 eslabones, todos cerrados como se muestra en la figura.Abrir un eslabón cuesta 2 euros y cerrarlos 3 euros.
¿Cuánto costaría hacer una cadena cerrada con todos los eslabones?
Abrir un eslabón cuesta 2 euros
La primera reacción es abrir un eslabón de la punta, enganchar otro y cerrar.
Se repite la operación 4 vecesTotal 4 x 5 euros = 20 euros
Hemos obtenido un resultado. ¿Podríamos
asegurar que hemos resuelto el problema?
Cerrar un eslabón cuesta 3 euros
Abrir/Cerrar 1 eslabón cuesta 5 euros
Hemos obtenido un resultado. ¿Podríamos
asegurar que hemos resuelto el problema?
Abrir un eslabón cuesta 2 euros
La primera reacción es abrir un eslabón de la punta, enganchar otro y cerrar.
Se repite la operación 4 vecesTotal 4 x 5 euros = 20 euros
Cerrar un eslabón cuesta 3 euros
Abrir/Cerrar 1 eslabón cuesta 5 euros
Supongamos la misma situación en la realidad, bien por un
caso personal o un empresario que trabajara con cadenas
similares ¿cómo abordaría el problema?
La pregunta implícita en estos casos sería ¿cuál es el
procedimiento más barato?
¿Es válida la solución para este caso?
¿Cómo se plantearía la resolución del problema?
¿Es posible hacerlo más barato?
Hemos abierto un eslabón. ¿Es el único que podemos abrir?
Podemos abrir un eslabón del medio
Y los otros dos eslabones
Unimos la cadena de otra manera
Cada eslabón abierto y cerrado unirá dos grupos de 3 eslabones
Hemos abierto 3 eslabones (6 euros) y cerrado 3 eslabones (9 euros).El precio total es de 15 euros
Dos personas comparten la comida. El primero aporta dos panes y tres, el segundo. Al comenzar, llega un tercero que no aporta ningún pan y, a cambio, da cinco monedas a los dos comensales anteriores. ¿Cómo deberían distribuirse las cinco
monedas los dos primeros?
Comensal 1º Comensal 2º
Dos panes Tres panes
Comensal 3º
Cinco monedas
Solución trivial
Se le da dos monedas al primer comensal y tres monedas al segundo
Dos personas comparten la comida. El primero aporta dos panes y tres, el segundo. Al comenzar, llega un tercero que no aporta
ningún pan, pero da cinco monedas a los comensales anteriores. ¿Cómo deberían distribuirse las cinco monedas los dos primeros?
Dividimos cada pan en tres partes (15 trozos en total)
El comensal 3º coge un trozo de pan del comensal 1
Dos panes Tres panesHacemos una representación
de la situación
Comensal 1º Comensal 2º
Comensal 3º
que repartimos a partes iguales 5 trozos a cada uno
El comensal 3º coge 4 trozos de pan del comensal 2¿Cómo debería ser el reparto?*
Bibliografía
Blanco, L.J.; Guerrero, E. y Caballero, A. (2013) Cognition and Affect in Mathematics Problem Solving with Prospective Teachers.The Mathematics Enthusiast. Special Issue : International Perspectives on Problem Solving Research in Mathematics Education. Guest Edited by Manuel Santos-Trigo & Luis Moreno-Armella (Mexico). Vol.10, No. 1 & 2 (January 2013). 335 –364. http://www.math.umt.edu/tmme/vol10no1and2/13-Blanco-et%20al_pp335_364.pdf
Blanco, L.J. y Cárdenas, J.A. (2013). La Resolución de Problemas como contenido en el Currículo de Matemáticas de Primaria y Secundaria. Revista Campo Abierto 32(1), pp. 137-156 http://revistas.ojs.es/index.php/campoabierto/issue/view/206/showToc
Blanco Nieto, L.J.; Cárdenas Lizarazo, J.A. y Caballero Carrasco, A. (2016). La Resolución de Problemas de Matemáticas en la Formación Inicial de Profesores de Primaria. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura. Manuales Unex On-line.http://mascvuex.unex.es/ebooks/sites/mascvuex.unex.es.mascvuex.ebooks/files/files/file/Matematicas_9788460697602.pdf
Caballero, Blanco, L.J. y Guerrero, E. (2011). Problem Solving and Emotional Education in Initial Primary Teacher EducationEURASIA Journal of Mathematics, Science and Technology Education Volume 7, Number 4, Nov. 281-292.
file:///D:/Users/Lorenzo/Downloads/Eurasia.pdf