Post on 13-May-2018
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11..11..44.. ASOCIACIONASOCIACION ENTREENTRE VARIABLESVARIABLES
EnEn lala investigacióninvestigación estadísticaestadística-- yy enen lolo
fundamentalfundamental aquellaaquella relacionadarelacionada aa variablesvariables
socioeconómicassocioeconómicas--,, eses comúncomún encontrarencontrar variablesvariables
relacionadasrelacionadas oo asociadasasociadas..
EstadísticamenteEstadísticamente eses importanteimportante analizaranalizar lala
relaciónrelación entreentre dosdos oo masmas variables,variables, siempresiempre queque
sese tengatenga unun indicioindicio queque entreentre ellasellas existeexiste porpor lolo
menosmenos ciertocierto gradogrado dede dependenciadependencia oo
asociaciónasociación..
22
Se trata de:Se trata de:
1.1. Explicar el comportamiento de una Explicar el comportamiento de una
variable dependiente ( Y ) en función de variable dependiente ( Y ) en función de
otras variables ( Xotras variables ( Xii ) )
2.2. Investigar si las variables están asociadas Investigar si las variables están asociadas
o correlacionadas entre si.o correlacionadas entre si.
33
EL ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACIONEL ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACION
ANALISIS DE REGRESIONANALISIS DE REGRESION
Se refiere al estudio de la dependencia de la Se refiere al estudio de la dependencia de la
Variable Dependiente (Y) en una o mas variables Variable Dependiente (Y) en una o mas variables
independientes o explicativas (Xindependientes o explicativas (Xii).).
El objetivo es estimar yEl objetivo es estimar y/o predecir el valor /o predecir el valor
promedio poblacional de la Variable dependiente promedio poblacional de la Variable dependiente
en términos de los valores fijosen términos de los valores fijos--en muestras en muestras
repetidasrepetidas--de la variables explicativas.de la variables explicativas.
μ;X,...,X,X,XY k321
44
O en su forma mas especifica: en este caso O en su forma mas especifica: en este caso
lineallineal
Donde :Donde :
Se considera la parte determinística o exacta, ySe considera la parte determinística o exacta, y
es la variable aleatoria o es la variable aleatoria o probabilísticaprobabilística
kk3322110 Xβ...XβXβXββ
μXβ...XβXβXββY kk3322110
μ
55
En el análisis de regresión se presenta asimetría En el análisis de regresión se presenta asimetría
en el tratamiento de la variable dependiente y las en el tratamiento de la variable dependiente y las
variables independientes o explicativas.variables independientes o explicativas.
Y:Y: es aleatoria, estadística; es decir tiene es aleatoria, estadística; es decir tiene
asociada una distribución de probabilidad.asociada una distribución de probabilidad.
Xi:Xi: se asumen que son valores fijos.se asumen que son valores fijos.
TIPOS DE REGRESION LINEALTIPOS DE REGRESION LINEAL
MULTIPLE: cuando la variable dependiente Y, MULTIPLE: cuando la variable dependiente Y,
depende de k variablesdepende de k variables
μXβ...XβXβXββY kk3322110
66
SIMPLE : cuando la variable dependiente Y SIMPLE : cuando la variable dependiente Y
depende de una sola variable explicativa X.depende de una sola variable explicativa X.
ESTIMACIONESTIMACION
Significa encontrar los valores aproximados de Significa encontrar los valores aproximados de
los parámetros los parámetros 00 y y 11 , a través de un, a través de un método método
particular de estimación y un conjunto muestral particular de estimación y un conjunto muestral
de datos.de datos.
μXββY 10
77
METODO DE MINIMOS CUADRADOS METODO DE MINIMOS CUADRADOS
ORDINARIOSORDINARIOS
Consiste en plantear la función que tenga el Consiste en plantear la función que tenga el
menor error respecto a los valores observados menor error respecto a los valores observados
de la variable endógena. Es decir se trata de de la variable endógena. Es decir se trata de
minimizar los errores entre los valores minimizar los errores entre los valores
observado y estimados de la variable endógena.observado y estimados de la variable endógena.
n
1i
2
i
n
1i
2i YYeMinQ
88
Donde:Donde:
XββY
YYe
eYY
μYY
μXββY
10
ii
ii
ii
i10i
99
n
1i
2
10i
n
1i
2i XββYeMinQ
0XXββY2β
Q
01XββY2β
Q
101
100
1010
0XXββY
0XββY
10
10
210
10
XβXβYX
XββnY
1111
XY
Y
XX
Xn
β
β
XY
Y
β
β
XX
Xn
1
21
0
1
0
2
1212
ANALISIS DE CORRELACIONANALISIS DE CORRELACION
En este caso el objetivo principal, es medir la En este caso el objetivo principal, es medir la
fuerza, intensidad o grado de asociación lineal fuerza, intensidad o grado de asociación lineal
entre dos variables. Por ejemplo, la relación entre dos variables. Por ejemplo, la relación
entre:entre:
a.a. Dieta alimenticia y peso de los niñosDieta alimenticia y peso de los niños
b.b. Hábitos de fumar y cáncer a los pulmonesHábitos de fumar y cáncer a los pulmones
c.c. Horas de estudio y notas promocionalesHoras de estudio y notas promocionales
1313
El coeficiente de correlación entre dos variables El coeficiente de correlación entre dos variables
XXii y Xy Xjj, se calcula de la siguiente manera:, se calcula de la siguiente manera:
En el análisis de correlación se presenta simetría En el análisis de correlación se presenta simetría
en el tratamiento de la variable dependiente y las en el tratamiento de la variable dependiente y las
variables independientes o explicativas. Es decir variables independientes o explicativas. Es decir
no existe distinción entre variable dependiente no existe distinción entre variable dependiente
e independiente.e independiente.
2j
2i
ji
XX
XX
XXr
ji
1414
Así por ejemplo:Así por ejemplo:
Es importante verificar que:Es importante verificar que:
Un coeficiente de correlación nulo, significa que Un coeficiente de correlación nulo, significa que
las variables no están asociadas.las variables no están asociadas.
ijji XXXX rr
0jiXXr
1515
Así mismo un coeficiente de correlación igual a Así mismo un coeficiente de correlación igual a
la unidad, significa que existe una asociación la unidad, significa que existe una asociación
lineal perfecta entre las variables lineal perfecta entre las variables
correspondientes.correspondientes.
1jiXXr
1616
X2 X2 r=+1 r=-1
X1 X1
X2
X1
X2
X1
r~+1 r~-1
1717
X2 X2
r>0, ~ 0 r<0, ~ 0
X1 X1
X2
X1
rx1x2 = 0
1818
1.1.5.1.1.5. TIPOS DE DATOSTIPOS DE DATOS
DE CORTE TRANSVERSAL (CrossDE CORTE TRANSVERSAL (Cross--section)section)
Se caracterizan por no estar definidos a lo largo Se caracterizan por no estar definidos a lo largo
de un periodo determinado.de un periodo determinado.
La variación se produce a través del espacio y La variación se produce a través del espacio y
esta referida a un momento especifico y único de esta referida a un momento especifico y único de
tiempo.tiempo.
Es necesario para obtención de este tipo de Es necesario para obtención de este tipo de
datos, primero aplicar una encuesta a las datos, primero aplicar una encuesta a las
unidades de análisis.unidades de análisis.
1919
SERIES CRONOLOGICAS ( Series de tiempo )SERIES CRONOLOGICAS ( Series de tiempo )
También se les denomina Datos Históricos, se También se les denomina Datos Históricos, se
definen en base a un periodo y periodicidad, y no definen en base a un periodo y periodicidad, y no
cuentan con una “variación espacial”; sino cuentan con una “variación espacial”; sino
temporal.temporal.
Cuentan con cuatro componentes: Tendencia, Cuentan con cuatro componentes: Tendencia,
ciclo, estacionalidad e irregularidad.ciclo, estacionalidad e irregularidad.
IS*C*T*Y
ISCTY
2020
Tendencia (T)Tendencia (T)
Es la dirección general hacia la cual puede Es la dirección general hacia la cual puede
encaminar la curva, tomando como referencia encaminar la curva, tomando como referencia
toda la muestratoda la muestra--
Ciclo (C)Ciclo (C)
Es el componente del ciclo económico, o Es el componente del ciclo económico, o
fluctuaciones que se presentan alrededor de la fluctuaciones que se presentan alrededor de la
tendenciatendencia
2121
T 1950 2000
TENDENCIA
CICLO
PBI
2222
Estacionalidad (S)Estacionalidad (S)
Son las oscilaciones que se repiten, casi Son las oscilaciones que se repiten, casi
sistemáticamente en los sub. periodos de sistemáticamente en los sub. periodos de
tiempo.tiempo.
Son movimientos que contienen algunas series Son movimientos que contienen algunas series
de tiempo con periodicidad menor a un año, de tiempo con periodicidad menor a un año,
generando características estacionales.generando características estacionales.
Irregularidad (I)Irregularidad (I)
Son movimientos que se dan de manera Son movimientos que se dan de manera
anormal, irregular que se presentan en una serie anormal, irregular que se presentan en una serie
de tiempo y que responden a hechos exógenos de tiempo y que responden a hechos exógenos
o inimaginableso inimaginables
2323
1.1.6.1.1.6. MATRICESMATRICES--OPERACIONESOPERACIONES
1.1. MATRIZMATRIZ
Es una colección de números ordenados Es una colección de números ordenados
rectangularmente.rectangularmente.
VECTOR: Es un conjunto ordenado de números VECTOR: Es un conjunto ordenado de números
dispuestos en fila o columnadispuestos en fila o columna
nk2n1n
k22221
k11211
ij
a...aa
......
......
......
a...aa
a...aa
aA
2424
VECTOR FILA: VECTOR FILA: MatrizMatriz de de unauna únicaúnica filafila
VECTOR COLUMNA: Matriz de una única VECTOR COLUMNA: Matriz de una única
columnacolumna
Así entonces, Matriz se define también conjunto Así entonces, Matriz se define también conjunto
de vectores filas o conjunto de vectores columna.de vectores filas o conjunto de vectores columna.
2.2. DIMENSION DE UNA MATRIZDIMENSION DE UNA MATRIZ
indica el numero de filas y el numero de indica el numero de filas y el numero de
columnas que contiene una matriz. columnas que contiene una matriz.
A A nknk , indica que la matriz A tiene n filas y k , indica que la matriz A tiene n filas y k
columnascolumnas
2525
Si n = k, entonces A es una matriz cuadradaSi n = k, entonces A es una matriz cuadrada
3.3. TIPOS DE MATRICES CUADRADASTIPOS DE MATRICES CUADRADAS
a.a. Matriz SimétricaMatriz Simétrica
Es aquella en que :Es aquella en que :
ji,j iij ,aa
127
253
731
A
2626
b.b. Matriz DiagonalMatriz Diagonal
Es una matriz cuadrada cuyos únicos Es una matriz cuadrada cuyos únicos
elementos distintos de cero aparecen en elementos distintos de cero aparecen en
su diagonal principal.su diagonal principal.
C.C. Matriz EscalarMatriz Escalar
Es una matriz diagonal con el mismo valor Es una matriz diagonal con el mismo valor
en todos los elementos de la diagonalen todos los elementos de la diagonal
d.d. Matriz IdentidadMatriz Identidad
Es una matriz escalar con unos en la Es una matriz escalar con unos en la
diagonal.diagonal.
2727
A la matriz identidad se designa por I, y a A la matriz identidad se designa por I, y a
veces se incluye un subíndice para veces se incluye un subíndice para
designar su tamaño u orden.designar su tamaño u orden.
e.e. Matriz TriangularMatriz Triangular
Es aquella que tiene ceros encima o bien Es aquella que tiene ceros encima o bien
debajo de la diagonal principal. Si los debajo de la diagonal principal. Si los
ceros están por encima de la diagonal , la ceros están por encima de la diagonal , la
matriz es triangular inferior.matriz es triangular inferior.
100
010
001
I3
2828
4.4. OPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICES
Las matrices proporcionan una forma adecuada Las matrices proporcionan una forma adecuada
de operar un conjunto de ecuaciones , y con de operar un conjunto de ecuaciones , y con
ecuaciones que constituyen series de elementos.ecuaciones que constituyen series de elementos.
a.a. Igualdad de MatricesIgualdad de Matrices
Las matrices A y B son iguales, Las matrices A y B son iguales, si y solo sisi y solo si
tienen la misma dimensión y cada tienen la misma dimensión y cada
elemento de A es igual al correspondiente elemento de A es igual al correspondiente
de B.de B.
jiijij ,;baBA
2929
b.b. Matriz TranspuestaMatriz Transpuesta
Matriz transpuesta de A, designada por AMatriz transpuesta de A, designada por A'' , ,
se se obtieneobtiene creandocreando una matrizuna matriz cuyacuya nn--
ésimaésima filafila eses lala jj--ésimaésima columna de la columna de la
matriz originalmatriz original..
Si A Si A nknk , entonces A, entonces A'' knkn
43
'
3x4
4553
1412
3651
413
546
515
321
A
x
A
3030
La definición de una matriz simétrica, La definición de una matriz simétrica,
implica que si A es simétrica, entonces implica que si A es simétrica, entonces
AA’’ = A= A
Para cualquier matriz A: (APara cualquier matriz A: (A’’))’’ = A= A
El vector transpuesto de un vector El vector transpuesto de un vector
columna es un vector fila, y viceversa.columna es un vector fila, y viceversa.
A A nx1nx1 = A= A’’ 1xk1xk k=nk=n
A A 1xk1xk = A= A’’ nx1nx1 n=kn=k
3131
c.c. Suma / resta de matricesSuma / resta de matrices
C = A + B = C = A + B = [[a a ijij ±± b b ijij]]
Para que las matrices puedan sumarse o Para que las matrices puedan sumarse o
restarse es necesario que tengan la misma restarse es necesario que tengan la misma
dimension.dimension.
En la suma / resta de matrices, la matriz En la suma / resta de matrices, la matriz
nulanula--matriz cuyos elementos son todos matriz cuyos elementos son todos
cerosceros-- juega el mismo papel que el escalar juega el mismo papel que el escalar
0 en la suma escalar.0 en la suma escalar.
A + 0 = AA + 0 = A
3232
A partir de lo anterior puede comprobarse A partir de lo anterior puede comprobarse
que la suma de matrices es:que la suma de matrices es:
ConmutativaConmutativa
A + B = B + A A + B = B + A
Asociativa Asociativa
(A + B ) + C = A + ( B + C )(A + B ) + C = A + ( B + C )
y quey que
( A + B )( A + B )’’ = A= A’’ + B+ B’’
3333
d.d. Producto de matricesProducto de matrices
Para multiplicar matrices, el numero de Para multiplicar matrices, el numero de
columnas de la primera matriz, debe columnas de la primera matriz, debe
coincidir con el numero de filas de la coincidir con el numero de filas de la
segunda matriz.segunda matriz.
nnnkkn CB*A xxx
154
231A 3x2
50
61
42
B 2x3
3434
1)(5)(5(6)4(4)1)(0)(5(1)4(2)
2(5)3(6)1(4)2(0)3(1)1(2)C 2x2
4113
325C 22x
k1,...,jn1,...,iij'
ijij ,;baC
3535
El producto de matrices no es conmutativoEl producto de matrices no es conmutativo
e.e. Traza de una matrizTraza de una matriz
Es la suma de los elementos de su Es la suma de los elementos de su
diagonal principaldiagonal principal
kxknxkkxn
nxnkxnnxk
CA*B
CB*A
ji
n
1i
ij;aTr(A)
3636
f.f. Rango de una matrizRango de una matriz
Es el orden de la Es el orden de la submatrizsubmatriz cuadrada mas cuadrada mas
grande cuyo determinante no sea CERO.grande cuyo determinante no sea CERO.
Puede verse que el Puede verse que el DetDet. . |A|=0, |A|=0, eses decirdecir eses
unauna matrizmatriz singular y no singular y no tienetiene inversainversa..
Aunque el orden es de 3x3, su rango es <3. Aunque el orden es de 3x3, su rango es <3.
Su rango =2Su rango =2
123
540
663
A
3737
g.g. Determinante de una matrizDeterminante de una matriz
Para cada matriz cuadrada A, existe un Para cada matriz cuadrada A, existe un
numero (escalar) conocido como numero (escalar) conocido como
determinante de la matriz, Det. A ó determinante de la matriz, Det. A ó |A||A|
El proceso de encontrar el determinante El proceso de encontrar el determinante
de una matriz de orden 2x2 es:de una matriz de orden 2x2 es:
2221
1211
aa
aaA
3838
h.h. Inversa de una matrizInversa de una matriz
Si A, es una matriz cuadrada y no singular; Si A, es una matriz cuadrada y no singular;
es decir es decir |A||A|≠0≠0 , su inversa puede , su inversa puede
encontrase de la siguiente manera. encontrase de la siguiente manera.
12212211 aaaaA
T
Adj AA
1A 1
3939
Los pasos para calcular la inversa, son los Los pasos para calcular la inversa, son los
siguientes:siguientes:
1.1. Encontrar el determinante de A. Si es Encontrar el determinante de A. Si es
diferente de cero, pasar al paso 2.diferente de cero, pasar al paso 2.
2.2. Reemplazar cada elemento aReemplazar cada elemento aijij de A por su de A por su
cofactor para obtener la matriz de cofactor para obtener la matriz de
cofactores.cofactores.
3.3. Transponer la matriz de cofactores para Transponer la matriz de cofactores para
obtener la matriz adjunta.obtener la matriz adjunta.
4.4. Dividir cada elemento de la matriz adjunta Dividir cada elemento de la matriz adjunta
por el determinante de A.por el determinante de A.
Luego se puede verificar que: AALuego se puede verificar que: AA--11 = I= Inn