Post on 07-Jul-2018
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
1/26
La suma tiene las siguientes propiedades:Conmutativa: el orden de los sumandos no altera el resultado.Por ejemplo: 2 + 3 = 3 +2Asociativa: en una suma de 3 o más sumando se puede empezarsumado los 2 primeros y al resultado sumarle el tercero; o empezarsumando el segundo y el tercero y al resultado sumarle el primero.3 + 5 +6 = (3 +5 +6 = ! + 6 = "#3 + 5 +6 = 3 + (5 +6 = 3 + "" = "#Elemento neutro: la suma tiene un elemento neutro $ue es el %. &i se lesuma % a cual$uier n'mero el resultado es el mismo n'mero: + % = Cálculo de los elementos de la suma:)n una suma* cual$uier sumando es igual al resultado (suma menos losotros sumandos:3 + 6 + # = "3
)l primer sumando (3 es igual:3 = "3 6 #)l segundo sumando (6 es igual:6 = "3 3 #Propiedades de la resta,álculo de los elementos de la resta:)l minuendo es igual a la suma del sustraendo y la di-erencia:"% = 3)l minuendo ("% es igual:"% = + 3
)l sustraendo es igual al minuendo menos la di-erencia:"2 ! = #
)l sustraendo (! es igual:! = "2 #
Propiedades la multiplicación y de la división
P/0P1))& ) 4& 0P)/,10)&uc7as 8eces* cuando se presenta un cálculo* se pueden 7acer algunastrans-ormaciones para resol8erlo más -ácilmente. Para poder asegurar$ue estas trans-ormaciones se pueden 7acer ya $ue no modi-ican elresultado* es necesario conocer las P/0P1))& ) 4& 0P)/,10)&.
P/0P1))& ) 4 941P41,,1
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
2/26
4a propiedad ,091 3 = ?%%3 > 3%% = ?%%
4a propiedad &0,11 5 > # = 5#% 5 > (3 > 2 = (5 > 3 > 22 > 2% = 5#% 5 > 6 = "5 > 23% = 3%
4a propiedad 1&/1@91 ! ? > 25(!% + > ! (!% " > 25
!% > ! + > ! !% > 25 " > 25
P/0P1))& ) 4 1
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
3/26
"5% : 3 + "5% : 35% + 5% = "%%o es 8álido 7acer3%% : 3 = "%%
3%%: (" + " + "3%% : " + 3%% : " + 3%% : "3%% + 3%% + 3%% = ?%%
)&,0P0&1,1 941P41,1
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
4/26
a, numerador* indica el numero de unidades fraccionarias
elegidas"
#ipos de fracciones
Fracciones propias
$on auellas cuyo numerador es menor ue el
denominador"
Fracciones impropias
&on a$uellas cuyo numerador es mayor $ue el denominador.
%úmero mi&to es el $ue está compuesto de parte entera y
-raccionaria.
Para pasar de n'mero mi&to a fracción * se deja el mismo
denominador y el numerador es la suma del producto del
entero por el denominador más el numerador* del n'mero
mi>to.
Para pasar una fracción impropia a número mi&to * se
divide el numerador por el denominador" El cociente es
el entero del número mi&to y el resto el numerador de la
fracción, siendo el denominador el mismo"
Fracciones unitarias
$on auellas cuyo numerador es igual al denominador"
Fracciones decimales
$on auellas cuyo denominador es una potencia de '("
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
5/26
Fracciones euivalentes
)os fracciones son euivalentes cuando el producto de
e&tremos es igual al producto de medios"
a y d son los e&tremos* b y c, los medios"
&i se multiplica o divide el numerador y denominador de
una fracción por un número entero* distinto de cero* se
oAtiene otra fracción euivalente a la dada.
l primer caso le l lamamos ampliar o amplificar .
l segundo caso le l lamamos simplificar.
Fracciones irreducibles
$on auellas ue no se pueden simplificar"
+educción de fracciones a común denominador
/educir 8arias -racciones a com'n denominador consiste en
con8ertir las en otras e$ui8alentes $ue tengan el mismo
denominador. Para ello:
"E &e determina el denominador común* $ue será el
mnimo común múltiplo de los denominadores.
2E Este denominador, común, se divide por cada uno de
los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido
por el numerador correspondiente"
Comparación de fracciones
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
6/26
Fracciones con igual denominador
e dos -racciones $ue tienen el mismo denominador es
menor el $ue tiene menor numerador"
Fracciones con igual numerador
e dos -racciones $ue tienen el mismo numerador es menor
el $ue tiene mayor denominador"
Con numeradores y denominadores distintos
)n primer lugar las tenemos $ue poner a común
denominador.
Es menor la ue tiene menor numerador"
%úmeros racionales
&e l lama número racional a todo n'mero $ue puede
representarse como el cociente de dos enteros, con
denominador distinto de cero . &e representa por .
$uma y diferencia de números racionales
Con el mismo denominador
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
7/26
$e suman los numeradores y se mantiene el
denominador"
Con distinto denominador
)n primer lugar se reducen los denominadores a común
denominador* y se suman o se restan los numeradores
de las fracciones euivalentes obtenidas .
Propiedades
". -nterna:
)l resultado de sumar dos números racionales es otro
número racional .
a . b
2. Asociativa:
)l modo de agrupar los sumandos no 8arDa el resultado.
(a . b/ . c 0 a . 1b . c/ F
3. Conmutativa:
)l orden de los sumandos no 8arDa la suma.
a . b 0 b . a
#. Elemento neutro:
)l ( es el elemento neutro de la suma por$ue todo n'mero
sumado con Gl da el mismo n'mero.
a . ( 0 a
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
8/26
5. Elemento opuesto
)os números son opuestos si al sumarlos obtenemos
como resultado el cero"
a . 12a/ 0 (
)l opuesto del opuesto de un n'mero es igual al mismo
n'mero.
,omo consecuencia de estas propiedades* la diferencia de
dos números racionales se de-ine como la suma del
minuendo más el opuesto del sustraendo .
a 3 b 0 a . 13b/
Producto de números racionales
)l producto de dos números racionales es otro número
racional $ue tiene:
Por numerador el producto de los numeradores .
Por denominador el producto de los denominadores .
Propiedades
". -nterna:
a 4 b
2. Asociativa5
1a 4 b/ 4 c 0 a 4 1b 4 c/
3. Conmutativa5
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
9/26
a 4 b 0 b 4 a
#. Elemento neutro:
a 4' 0 a
5. Elemento inverso:
6. )istributiva:
a 4 1b . c/ 0 a 4 b . a 4 c
. $acar factor común5
a 4 b . a 4 c 0 a 4 1b . c/
Cociente de números racionales
)l cociente de números racionales es otro número
racional $ue tiene:
Por numerador el producto de los e&tremos .
Por denominador el producto de los medios .
Potencia de fracciones
Propiedades
".
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
10/26
2.
3. Producto de potencias con la misma base :
#. )ivisión de potencias con la misma base:
5. Potencia de una potencia :
6. Producto de potencias con el mismo e&ponente :
. Cociente de potencias con el mismo e&ponente :
#ransformar decimal a fracción
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
11/26
4os n'meros decimales pueden clasi-icarse en:
a/ decimales finitos: son a$uellos $ue tienen -in* es decir* no 7ay unn'mero $ue se repita.
)jemplos: #*56 ; %*%%%3 ; 2*?!6 : %*" ; 3*#2 * etc.
&iempre $ue se di8ida el numerador por el denominador* y la di8isintermine y se oAtenga resto cero* la di8isin es e>acta y su resultado seráun decimal -inito.
9n decimal -inito representa una fracción decimal"
b/ decimales infinitos: son a$uellos n'meros $ue no se acaAan* esdecir* 7ay uno o 8arios n'meros $ue se repiten in-initamente. Porejemplo: %*333333..... es in-inito por $ue el 3 se repite inde-inidamente.)stos n'meros son di8isiones ine>actas. %o representan una -raccindecimal.
4os decimales in-initos pueden ser: infinitos puros, infinitosperiódicos e infinitos semiperiódicos"
l conjunto de los números racionales slo pertenecen los n'merosdecimales in-initos peridicos y semiperidicos. Los decimales infinitospuros pertenecen al con6unto de los números irracionales, por$ueno pueden transformarse en fracción"
c/ decimales infinitos periódicos: son a$uellos $ue tiene una o másci-ras $ue se repiten sucesiva e infinitamente* -ormando el perodo.&e escriAe en -orma aAre8iada coronando al perDodo con un pe$ueHotrazo.
d/ decimales infinitos semiperiódicos5 En estos decimales
aparecen una o más cifras antes del perodo" El número formado
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
12/26
por dic!as cifras se llama anteperodo 1es un número ue estáentre la coma y la rayita/"
#ransformación de un decimal finito a fracción
&e con8ierte el n'mero a -raccin decimal y* si se puede* se simpli-ica.Para trans-ormar el n'mero decimal a -raccin decimal se utilizanpotencias de die7 ("%* "%%* ".%%%* etc.. &e colocan tantos ceros comoci-ras decimales tenga el n'mero.
E6emplo '5
&e anota el n'mero* en este caso #5. &e di8ide por ".%%%* por$ue 7aytres espacios decimales ocupados* luego simpli-icamos por 5
E6emplo 85
#ransformación de un decimal infinito periódico en fracción
4os pasos a seguir son los siguientes:
" &e anota el n'mero y se le resta Gl o los n'meros $ue están antes delperDodo (de la rayita
2 &e coloca como denominador un 9 por cada n'mero $ue está en elperDodo (si 7ay un n'mero Aajo la rayita se coloca un ?* si 7ay dosn'meros Aajo el perDodo se coloca ??* etc.. &i se puede simpli-icar* sesimpli-ica.
:tro e6emplo5 )>presar como -raccin 5*"!"!"!"!....
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
13/26
#ransformación de decimal infinito semiperiódico a fracción" )l numerador de la -raccin se oAtiene, al igual ue en el casoanterior, restando al n'mero la parte entera y el anteperDodo* o sea*todo lo $ue está antes de la IrayitaJ.
2 )l denominador de la -raccin se oAtiene colocando tantos 9 comoci-ras tenga el perDodo y tantos ( como ci-ras tenga el anteperDodo. ,omosiempre* el resultado se e>presa como -raccin irreductiAle (no se puedesimpli-icar más o como n'mero mi>to.
Fracción a decimal
Para trans-ormar una -raccin a n'mero decimal Aasta dividir elnumerador por el denominador.
)jemplos:
0tro:
'" :peraciones combinadas sin par;ntesis
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
14/26
'"' Combinación de sumas y diferencias
? K + 5 + 2 K 6 + ! K 3 = !
,omenzando por la iz$uierda* 8amos e-ectuando las
operaciones seg'n aparecen.
'"8 Combinación de sumas, restas y productos
3 F 2 K 5 + # F 3 K ! + 5 F 3 =
= 6 K 5 + "2 K ! + "5 = 2%
/ealizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
Posteriormente e-ectuamos las sumas y restas.
'"< Combinación de sumas, restas, productos y
divisiones
"% : 2 + 5 F 3 + # K 5 F 2 K ! + # F 2 K 2% : # =
= 5 + "5 + # K "% K ! + ! K 5 = ?
/ealizamos los productos y cocientes en el orden en el $ue los
encontramos por$ue las dos operaciones tienen la misma
prioridad.
)-ectuamos las sumas y restas.
'"= Combinación de sumas, restas, productos,
divisiones y potencias
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
15/26
23 + "% : 2 + 5 F 3 + # K 5 F 2 K ! + # F 2 2 K 2% : # =
= ! + "% : 2 + 5 F 3 + # K 5 F 2 K ! + # F # K 2% : # =
= ! + 5 + "5 + # K "% K ! + "6 K 5 = 25
/ealizamos en primer lugar las potencias por tener mayor
prioridad.
&eguimos con los productos y cocientes.
)-ectuamos las sumas y restas.
8" :peraciones combinadas con par;nteis
("5 K # + 3 K ("2 K 5 F 2 + (5 + "6 : # K 5 + ("% K 2 2 =
= ("5 K # + 3 K ("2 K "% + (5 + # K 5 + ("% K #=
= "" + 3 K 2 + ? K 5 + 6 = 22
/ealizamos en primer lugar las operaciones contenidas en
ellos* respetando el orden de prioridad.
Luitamos parGntesis realizando las operaciones.
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
16/26
Primero operamos con las potencias* productos y cocientes de
los parGntesis.
/ealizamos las sumas y restas de los parGntesis.
)n 8ez de poner corc7etes pondremos parGntesis
directamente.
0peramos en los parGntesis.
espuGs multipl icamos.
Oinalmente restamos y sumamos.
=" :peraciones combinadas con llaves
5 + "% M2% : 5 K 2 + # (5 + 2 F 3N K ! F 3 2Q + 5% (6 F
2 =
= M5 + "% (# K 2 + ## K ! F 3 2N + 5% ("2 =
= (5 + "% F #6 K 2 + 6%% =
= (5 + #6% K 2 + 6%% =
= 2"#
Primero operamos con las potencias* productos y cocientes de
los parGntesis.
/ealizamos las sumas y restas de los parGntesis.
)n 8ez de poner corc7etes pondremos parGntesis directamente
y donde 7aADa l la8es escriAimos corc7etes.
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
17/26
0peramos en los parGntesis.
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
18/26
Potencias de e&ponente racional y negativo
>ultiplicación de potencias con la misma base
am 4 a n 0 am .n
25 F 22 = 25+2 = 2
)ivisión de potencias con la misma base
a
m
5 a
n
0 a
m 2 n
25 : 22 = 25 2 = 23
Potencia de un potencia
1am/n0am 4 n
(253 = 2"5
>ultiplicación de potencias con el mismo
e&ponente
an 4 b n 0 1a 4 b/ n
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
19/26
23 F #3 = !3
)ivisión de potencias con el mismo e&ponente
an 5 b n 0 1a 5 b/ n
63 : 33 = 23
E6ercicios
33 F 3# F 3 =
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
20/26
(22# = 8?
(# F 2 F 3 # = 8==
(25# = 88(
M(23 #N% = (2"2% = 2% = '
(225 =M(332N5 = (365 =
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
21/26
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
22/26
Un radical es una e&presión de la forma , en
la ue n y a * con tal ue cuando a sea
negativo, n !a de ser impar"
E&presión de un radical en forma de potencia
$implificación de radicales
$i e&iste un número natural ue divida al
ndice y al e&ponente 1o los e&ponentes/ del
radicando, se obtiene un radical euivalente"
+educción de radicales a ndice común
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
23/26
'Sallamos el mnimo común múltiplo de los
ndices* $ue será el com'n Dndice
8)ividimos el común ndice por cada uno de
los ndices y cada resultado oAtenido se multiplica
por sus e&ponentes correspondientes.
E&tracción de factores fuera del signo radical
$e descompone el radicando en factores. &i:
9n e&ponente es menor $ue el Dndice* el -actor
correspondiente se de6a en el radicando .
9n e&ponente es igual al Dndice* el -actor
correspondiente sale fuera del radicando .
9n e>ponente es mayor ue el ndice * se divide
dic7o e>ponente por el ndice . )l cociente oAtenido
es el e&ponente del factor fuera del radicando y el
resto es el e&ponente del factor dentro del
radicando.
-ntroducción de factores dentro del signo radical
$e introduce los factores elevados al ndice
correspondiente del radical"
$uma de radicales
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
24/26
$olamente pueden sumarse 1o restarse/ dos
radicales cuando son radicales seme6antes, es
decir, si son radicales con el mismo ndice e igual
radicando"
Propiedades de los radicales
Producto de radicales
+adicales del mismo ndice
Para multipl icar radicales con el mismo Dndice se
multiplican los radicandos y se de6a el mismo
ndice.
+adicales de distinto ndice
Primero se reducen a ndice común y luego se
multiplican"
Cociente de radicales
Para di8idir radicales con el mismo Dndice se
dividen los radicandos y se de6a el mismo ndice"
http://www.vitutor.net/2/4/5.html#rehttp://www.vitutor.net/2/4/5.html#re
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
25/26
+adicales de distinto ndice
Primero se reducen a ndice común y luego se
dividen"
Potencia de radicales
Para ele8ar un radical a una potencia se eleva a
dic!a potencia el radicando y se de6a el mismo
ndice"
+a7 de un radical
La ra7 de un radical es otro radical de igual
radicando y cuyo ndice es el producto de los dos
ndices"
+acionali7ar radicales
Consiste en uitar los radicales del
denominador* lo $ue permite -acil itar el cálculo de
operaciones como la suma de -racciones.
Podemos distinguir tres casos.
http://www.vitutor.net/2/4/5.html#rehttp://www.vitutor.net/2/4/5.html#re
8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx
26/26
'el tipo
$e multiplica el numerador y el denominadorpor .
8el tipo
$e multiplica numerador y denominador por.