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MATEMATICAS 11 PARA LA EMPRESA
EJERCICIOS
PARTE 11 INTEGRACIÓN
1°.- Calcu lar las siguientes primitivas inmediatas:
a) J 3xdx e) . - J 2x dx - d). J e3x dx x2 + 4 e 3x + 6
e).J R 1 -x2
h). J cosx dx i) J ba; dx : Jl - sinx
2°.- Integración por descomposición, por partes y sustitución:
a).-J(3x4- 5x3)dx b).Jxi3dx c).J ( (x~3)- (x~2) )dx
d) Jxcosxdx e) J xexdx j).x2 lnxdx
g) J (x2: 1) f dx h)f X 4dx l+x
i) J 4x3 + 14x dx
x 4 + 7x2 + 2
3°.- Integración de funciones racionales y transcedentes:
a)J X dx b) f 1 +X dx (x - 1 ) (x + 1) ( 1 - x) 2
e) J sinxcos3xdx
4°.- Integral definida:
2 d) Area limitada por las curvas y = x e y = x
4
e) Area de un circulo de radio r
5°.- Integrales impropias y funciones eulerianas:
a) r dx o x2 b) r 1 dx
-«> 1 + x 2 c)J>lnxdx
d) J:, e-x2 dx e)( hdx o 1 - x2
J) J: e-x2x2dx
g) J: e-x ji dx h) J! cos5xsin2xdx i) J ~ (lnx) 4 dx
1
6°.- Integrales múltiples:
a) f f /x2 + y 2 )dx dy siendo S el cuadrado de vertices (0,0), (0, 1 ), (1, 1 ),(1 ,0)
b) f f/x- y)dx dy siendo S el triángulo d_e vértices (0,0), (0 ,1 ), (1 ,1)
e) f f sx2y dx dy siendo S la región del plano limitado por las lineas
y = O, y = X, X +y = 1
d) f fs ~ dx dy siendo S={(x,y)!x2 + y 2 ~ 25, x2 + y 2 ~ 16 x ~y, O ~ x }
2
'C',_;.::::,..__.._ .. .._... _ _ ............... - •• ·~--" ....... \~- ... -~ . .;) __..._...~ ,_.__) ... ~----...:..J'....:.....ll'-. \f'l~ ''Jo"" .
\<91..~ h·. GJ
INTEGRAL INDEFINIDA
~ Encontrar la integral indefinida y verificar el resuftado mediante integración
l. l J (x + 7)dx
l. 3 J (2x- 3x2 )dx
l. S J (x 5 + 1 )dx
l. 7 J (x 312 + 2x + 2)dx
!.9f{;idx
I,_ii':J x+ 6 dx : . jX
1.13 f +dx X
l. 15 f (x + 1)(3x - 2)dx
l. 17 f (1 + 3t)t2dt
e~J2x5xdx 1.2lf(tg2x+ l)dx
rl. ;~'J¡ 5 , dx '\._¿ / 1 + 4x-
1.2 fC13 - x)dx
l. 4 f (8x3 - 9x2 + 4)dx
1.6 fCx 3- lüx- 3)dx
1.8 s(x + 2}x )dx
l.IoJ(R +l)dx J 2 " 1.12Jx- + ;-.)dx
X
l.l4fdx
í~) Jy2 pdy
f 3x 1.18 ydx
l. 20 f (3senx- 5 cos 2x)dx
l. 22 f tg~dx l.24f-2 -dx
2 +x2
CALCULO DE UNA SOLUCIÓN PARTICULAR
© Ca lcular una función F(x) sabiendo que
@F'(x) = 3x 2- 1;
!I(",.,) F "( ) - J? ? 'IE..:9 x - _x + -·
y pasa por el punto (2 ,4)
F(O) = 3; F(-1) = 3
@F''(x) = 6; y pasa por los puntos P = (0 ,3) y Q = (- 1,4)
~ F'' (x ) = J2x + 3. pasa por el punto (0.3) y su derivada se anula en el_ punto de abcisa x = -2;
.. ·_ ..
@calcular las siguientes integrales
3. 1 f (x4 + 7)x 3dx
3.3 f X 2 dx l+x
3. 5 f tg2x _l_2x dx cos
3. 7 f ( 1 + +y t; dx
3. 9 f sen3x cos 3x dx
31l f x+ 6 dx . ¡x
3. 13 f 8\ cos ~ de
3. 2 f x J 13 - x 2 dx
3.4 f X 4 dx 1+x
3.6 f cosx ? dx 1 - cos-x
3. 8 f 2x 2 dx 1+x
3.Iof Rdx 3. 12 f ( ~ + 4~2 ) dt
3. 14 f 0 b dx
ax+
INTEGRAL DEFINIDA
(D- Compruebe los siguiente resultados:
l.lf ~/4 tg X dx = ~2
l. 3 f~14
sen x dx = 1 - i J2
frr:/4 1T: 2 l. 5
0 elr cosx dx = e S
1 7 Jo X dx = _!!_ . o a 4 + x4 8a2
CALCULO DE AREAS PLANAS
l. 2 f ~14
tan2x dx = 1 - ~ n
l. 4 f ~ are cos x dx = 1
l. 6 J ~ (x 3 + 2) 5x2 dx = 2i frr:/4 1
-F-1. 8 0
e os 2x dx = 2
l. 10 r2 J2 - rx dx = 4J2 - 6 rx
@ Utilizando la integral definida, calcule las áreas que se indican:
2.1 Área de la región comprendida entre las curvas y= x e y= x2/4
2.2 Área limitada por las curvas y= x2 e y= -3x2 + 1
..1 2.3 Área comprendida entre la curva ~ = 3, la recta x = 1 y el eje de abscisas.
-1 2.4 * Área de un cuadrante de un círculo de radio r .
_, 2.5* Área del circulo de radio r
-'2.6 Área delimitada por las curvas y= cosx, y= O, x = O; x = 2rr .
-T: 2.7 Area limitada por la función j(x) = -. { 4 si x < 3
x2 - 5 si x > 3 el eje de abscisas, y
las rectas y = O; y = 4;
2.8 Área limitada por la curva y= (x- l)(x + 2), las rectas x = -3; x = 2 y el eje de abscisas
INTEGRALES IMPROPIAS Y EULERIANAS
INTEGRALES IMPROPIAS
@-calcule, si es posible, el valor de las siguientes integrales:
1.1 I+oo _1 dx 1 xs
I.-2 J~ e2x dx
1.3 J~ e-3x dx 1.4 J+oo lnx dx e X
1.5 Jo dx -1 rx 1.6 fl_dx
O X
13.- Compruebe los siguientes resultados:
l.lJ~ x Jxe-x dx = 3f l. 3 J+oo e-x x 2 dx = 3r( .±.)
o ~ 3
l. 5 J~ e-x2x2 dx = ~
l. 7 J~ e-krcx- 2) 2 dx =
1.9f fi dx=.!L o JT=X 2
Irrn 8 1.11
0 cos 5x sen2x dx =
105
1.13 J+oo ,e;; dx = 3r(4/3) o 4x2
1.2 J~ x2e-x dx = 2
l. 4 J+oo e-xl4x 3 dx = 29 * 3 o .
l. 6 J~ e-(x+1) X
1.8f dx .1L o~ 2
l.lüf3 1 dx=;r 2 j(3 -x)(x -2)
l. 12 J ~12
cos4x sen4x dx = .]5~ 1.14 J~x7 e-x dx = 24 * 32 * 5 * 7
LÍMITES 1 CONTINUIDAD
EJERCICIOS
1. Calcular los limites si existen de las siguientes funciones. En caso de no existir explicar la razón de su no existencia
l. xy
a. i. lffi(x,y)-(0,0) 2 2 X +y
. x3 + y3 ii. llmcx,y)-(O,o) 2 2
X +y . xy-x+y
iii. lliD (x,y,z)-+(0,0) X+ Y
iv. j(x,y) ~ { ;: : ;' si x2 +y =1= O
si x2 +y =t= O
x4 + y4 V. j( X, y) = -----"---,-
(x2 + y4)3
-t vi . j(x,y) = sen(xy) Jxz + y2
-tvii. j(x,y) = x 2 1n(x2 + y2 )
"'S~'( )-(x 2 2 l)C II t VIII. ea1,x,y- x+y'x +ysenxy acuar
limcxJ•Ho.o;/(x,y) b. Hallar la continuidad de las funciones
{
x2 _ y2
i. f(x,y) = xz + y2
. o
si (x,y) =t= (0,0)
si (x,y) =t= (0, O)
->.¡ iL j(x,y) = [x +y+ z, sen(x +y), tang(x- y)] en (0,0)
{
xy2
-l:::iii. j(x,y) = jx4 + y 8
(0,0)
si (x,y) =t= (0,0)
si (x,y) =t= (0, O)
1
-\- 2.
i-3.
\,!Q.lo, +- r rn . r;/ Yt'\1 t
~ / / ""-, o Estudiar la continuidad de la función.f(x,y) =
2x-
2 en el conjunto
X +y A = {(x,y) /O :::; x 2 + y 2 :::; 1} . Razónese si.f(A) es un conjunto acotado y sij alcanza sus valores máximo y mínimo en A . Estudiar la continuidad de la función
{
2xj;2 si (x,y) * (0, 0)
fix,y ). = 0
x2 + Y 2
en el conjunto
si (x,y) * (0, O)
A = { (x,y) /0 :::; x 2 + y 2 :::; 1}. Razónese si.f(A ) es un conjunto acotado y sij alcanza sus valores DJ..áximo y mínimQ. en A . ·
2
TEMAS
DERIVADA Y DIFERENCIAL y..Y.. 5.1.- Comprobar los siguientes resultados:
a) V./( 1, 0, 0) = (0,-1,-1) , siendo fl x ¡,xz,x3) = X¡ .
X¡ +X2 +X3'
b) V./( 1, 0) = (2a+ 1,2b- 1) siendo j(x,y) = ax2 +2bxy-y2 +x-y+ 1
d) Vj(1,2) = (2, 0) siendo j(x,y) = xY
e)JJ(1 ) ~ ( ~ } siendo J(x) ~ (x' + 1,e')
f) J./( 1, 1) = ( 2 1
) , siendo flx ,y) = (x 2y,x2 + y 2)
2 1
g) Jj(O, 1 , 2) = , (
1 o o) 2 o o
siendo j(x,y,z) = (xly,ex: )
h) JJ(O, 1) ~ ( -~1 ~ ) siendo j(x,y) ~ (x'(2 +y), x ~y ,xy)
1) /,. (1 , 1) = 1 siendo j(x,y) = 1 +x+ y 2; v=(- 1, 1)
'"(.... 5.2 Estidar la existencia de derivadas parciales y continuidad de las funciones:
s i (x,y) * (0, O)
s i (x.y) = (0, O)
1
(x,y ) * (0, O)
s i (x,y) = (0, O)
~ 5.3 .- Sea JCx,y) = x2 + y 2
{
x3 +y3 s i (x,y) * (0, O)
estudiar la continuidad y existencia de
O s i (x,y) = (0, O)
derivadas parciales en el punto (O, O) .
5.4. - Seaflx,y) = In( x~ 1 )
a Calcular el dominio de la función f y dibujarlo.
b Calcular la curva de nivel cero y dibujarla.
e Calcular las derivadas parciales ~/ y ux
8f 8y
¿Es la función diferenciable en
el punto (1, 1)?.
d Calcular la derivada direccional de f en el punto (1 , 1) en la dirección del vector (0, 1 ).
5.5 .-La demanda mensual de freidoras eléctricas viene dada por la función fCx,y), donde x representa la cantidad invertida en publicidad, medida en unidades de 1.000 dólares, e y el precio unitario de venta de las freidoras , en dólares.
a) Dé interpretaciones económicas de las derivadas parciales ofl;;y) y ofl~y)
b) Bajo condiciones económicas normales, ¿cuáles son los signos de estas
derivadas?
5.6. - Dada la función JCx,y) = (y+x2) lny
a Analizar la diferenciabilidad de flx,y) en R2 y calcular la derivada direccional de JCx,y ) en el punto (O, e) según la dirección del vector v = (1 , 1).
b Obtener la ecuación del palno tangente a la gráfica de j en el punto (O, e, e) . Dar un valor aproximado de fC0' 1, e) .
5..7 Dada la función JCx,y) = eY<I- x2l . Se pide:
a Analizar la diferenciabilidad de flx,y) en R2 y calcular la derivada direccional de flx,y) en el punto (1, 1) según la dirección del vector v = (1 ,0). ¿Qué relación tiene este valor con las derivadas parciales de la función j en el punto (1 , 1)?
b ¿Cuál es la dirección de máximo crecimiento en el punto (1 , 1 )?
2
x-y { ' si (x,y) =1= (O, O)
si (x,y) = (0 , O)
y g(x,y) = -¡::::::.:;:::::- =2 =Jy2 - xy
a Calcular lim f(x,y ). ¿Es la función ¡ continua en el punto (O, O) ? (xJIHO,O)
b Analizar la diferenciabilidad de g en su dominio. Calcular el vector gradiente de g en el punto (O, 1 ). ¿Qué podemos decir sobre el carácter creciente o decreciente de la función g en un entorno del punto (O, 1) si mantenemos fija la variable x?
e Calcular la curva de nivel -2 asociada a la función g . ¿Pertenece el punto (O, 1) a esta curva de nivel?
d Calcular la derivada direccional de la función g en el punto (O, 1) según la dirección del vector (1, 1).
5.9 Sea f(x,y ) = -¡::::::.~2x:::·=;::Jx2 _ y2
a Calcular el dominio de la función ¡ ¿Es este dominio compacto?
b Calcular lim f(x,y). ¿Es la función j continua en el punto (0, 0)? ¿Y (xJI)~(O , O)
diferenciable?
e Analizar la diferenciabilidad de f(x,y) en su dominio. Calcular el vector gradiente de f(x,y) en el punto (5,4) . ¿Qué podemos deducir sobre el carácter creciente o decreciente de la función j en un entorno del punto (5,4) si mantenemos fija la variable x?
d Calcular la curva de nivel f a la que pertenece el punto (5, 4).
e ¿Cuál es la dirección de máximo crecimiento en el punto (5, 4)?
f ¿Cuál es el valor máximo de la derivada direccional en el punto (5,4)?
g Obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica de j en el punto (5, 4).
3
MATEMATICAS APLICADAS A LA EMPRESA
TEMA VI: DERIVADAS Y DIFERENCIALES SUCESIVAS
6.1.- Hallar ~~ y ~ en las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena
1. z=e +v siendo u = x2 - 3y; v = sen x + y 2 en el punto (0, 1)
2. z=3 u - v u siendo u = x2 + 2y; v = e:x - eY
6.2.- Hallar ~ y ~~ en la función z= l~x , siendo x = u2 + 2v; y= t2 +u, con
u= s + 2t2 ; v = 2t3 en el punto (1 , 1)
6. 3. -Comprobar los siguientes resultados :
1. z~ (x = 1) = 19°; siendo
z = YI + Y2 YI = 1 -x2, y - 1 . 2y¡ - 3y2' 2
- X '
2. ~~(u= 1, v = O) = -2 siendo
y ¡ z = Y2 '
u + v y¡ = U-V '
3 . ~ (x = 1 ,y = O) = -1
Y - X I - x+y '
siendo
Y'= _Y_. - x - y '
6.4.-Ca1cular la matriz Hessiana para cada una de las siguientes funciones
1 . JCx,y) = x2e2Y en a( -2, O)
2. JCx,y ) = e:x=sen'xz en a = (0, 0)
3. Dada la función z = Ln(x2 + y 2>, compruebese que 8~z + 8~z = O _ 8 X 8-y
6.5.- Sea f : R 2 --> R 2 con JCO, O) = (1 , 1) y g. : R 2-:- R con g(x,y) = x 2 +y
1. Sea h = g o f Si la matdz Jacobiana de f en (0, O) es (
~; (0, O) =4 y ~ (0, O) = 5 ¿Es afirmativo el enunciado?
) entonces
2 3
2. Si fCx,y) = (x + y,x- y) y g : R2 -+ R. o Supongamos que ~! (1, 1) = 1 y
~ (1,1) = 2 y se h = (go/)0 LamatrizJacobianade henelpunto(l,O)es(-3,-1)¿
Es afirmativo?
6.6.- Se consideran las funciones f: R2 -+ R y g : R2 -+ R definidas por JCx,y) = (y+ cosx,x + eY)
g(t, u) = t+ u
Comprobar que fy g son diferenciables en R2 o Calcular la diferencial de la función compuesta F = (g o/) en (O, O) o Calcular la derivada de F en el punto (0,0) según el vector v=(2, 1)
6.7.- Dada la funciónJCx,y) = 2 Jx2 + y2
1. Obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica dejen el punto (3 ,4,2/5).
20 Calcular la derivada parcial segunda 0:~ en el punto (3 ,4)
30 Calcular la derivada parcial segunda s:oy en el punto (3 ,4)0 ¿Podemos saber el uyux
valor de o~Yx (3 , 4) sin calcularlo directamente? o Razonar la respuesta
4. Calcular los polinomio de Taylor de grado 1 y grado 2 en el punto (3 , 4)
5 0 Dar un valor aproximado defC3 '02, 3 '99)
FUNCIONES HOMOGÉNEAS
6 .8.-0Dada la funciónfCx,y,z), homogénea de grado+, tal que fx(l,2,3) = -1; /;(1,2,3) = 2, /:(1,2, 3) = 1, hallarfC1 ,2, 3) o
3x2 +xy- y 2
6.9.- 0- Dada la función fCx ,y) =e x2
+ Y2
2
Ejercicios de Optimización
l. Demostrar que el conjunto {(x , y) E IR2 / ax +by+ ez::; d, a, b, e, dE IR} es
un conjunto convexo.
2. Estudiar si el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciónes lineales
con coeficientes reales es un conjunto convexo.
3. Estudiar si la función j(x, y) = ax +by+ cz + d con a, b, e, d E IR es una
función convexa. ¿Es estríctamente convexa?
4. Demostrar que la función f ( x , y) = 4x2 e Y - 2x4 - e4Y tiene dos máximos
relativos y ningún mínimo.
5. Estudiar los puntos críticos de las siguientes funciones y clasificarlos
f(x ,y)
j(x , y)
x3- 3xy + y3
x2 + (y2 -1) (z -1)
6. Hallar los máximos y mínimos relativos de la funciones:
j(x , y) (2x + y2 )ex
j(x,y) (x- y)ex+y
J(x , y) y2 ln (x-y)
f (x , y) x2 - 4xy2 + 4y4
J(x , y) (2x-;- 1)2 + 10(y + 3) 2- xy
f(x , y,z) 2x3 + y2- z2 + 3xy- 5z
7. Demostrar que la funcíon J(x , y) = (x+ 1) 2 +y2 tiene míniú:J.O , condicionado
a la relación y2 = x 3 en el punto (0, O) y sin embargo no existe A que verifique
las condiciones del Teorema de Lagrange. ¿Existe contradicción?.
1
8. Hallar las soluciones a los siguientes problemas de optimización restringida
utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange.
(a) max (x +y) sujeta a x2 +y= l.
(b) min (x2 + y2 ) sujeta a x + 2y = 4.
(e) opt (xy) sujeto a x 2 + y2 = 2.
(d) max (xy 2 + x 2y) sujeto a x +y= l.
(e) opt (2x +y) sujeto a xy = 32.
(f) opt (xy) sujeto a x2 + y2 = 2.
(g) opt (x2 + y2 + z2) sujeto a x +y+ z = l.
{
x+y+ z =1 (h) opt (x2 - 2z2 - xy) sujeto a
X- Z = - 4
9. Determinar la relación entre los parámetros a y b para que el punto (1, O)
sea un punto crítico del problema
max (x2 + axy + by2) sujeto a (x-y)= 1
10. Resolver el siguiente programa matemático utilizando el método de resolu
ción gráfica
,• max (x- 4y) s.a.
y-x::S:1
2x- 8y :::; O
o::;x::;3
o::;y
11. Resolver el siguiente programa matemático utilizando el método de resolu
ción gráfica
max y min (2x - 4y) s.a.
2
y-x::S:1
X- 4y ::S: Ü
o::;x
o ::; y
~~-:---· .... f '
/ ·'f' \ ! ..) ./ '------·/
MATEMAT~CAS PARA lA EMPRESA ~~
EJERCICIOS PARTE 1 CALCULO EN VARIAS VARIABLES
Tema 1° Cálculo en varias variab les
1°.- Determ inar si son abiertos o cerrados los siguientes conjuntos, puntos interioress
exteriores, frontera, acumulación
A) a) .- A={(x,y) E R2/x 2 + y 2 < 1} b) . - B = {(x,y) E R2/ 1 < x2 + y 2 :::; 2}
e).- C = {(x,y) E R2/x > O,y >O} U { (-1,-1) }
el) D = {(x,y) E R2/(x- 1) 2 +(y- 3) 2 :S 4}
e).- Dado el conjunto A = { t, t} U {O} estudiar los puntos O, t. f, 3
B).-Representar graficamente las curvas de nivel de lo siguientes campos escalares
a).-j(x,y) = xy
b) j(x,y) = e2x-y
b).-j(x,y) = x 2 + y 2
e) . - j(x,y) =y- x2
2°.- Calcu lar los limítes si existen de las siguientes funciones
A) . xy
a) hill (XJ') ... (0,0) 2 2 X +y
b) . x3 + y3
hm cx,y) ... (O,O) 2 2 X +y
) . xy+z C hm (x,y,z) ... (O,O,O) X+ y+ z según el vector v=(í ,2, 1)
d) Sea f(x ,y)= ( x ¡Y ,x2 + y 2 sen }y ) Calcular limcxJ'Ho.o)/'(x,y)
B)- Hallar la continu idad de las funciones
si (x ,y) * (0,0)
si (x,y) * (0, O)
b).- j(x,y) = [x +y+ z, sen(x +y), tang(x- y] en (0,0)
{
xy2
e).- J(x,y) ~ e/~;+ y 8 si (x,y) * (0, O)
si (x ,y) * (0, O)
1
Tema 2°.y 3°- Derivada y diferencial en campos escalares y vectoriales, ,
Derivadas y diferenciales sucesivas
1.- Calcular, apl icando la defnición, las derivadas parciales de primer orden
de las funciones:
x+y a).- j(x,y) = x _Y en el punto (2,3)
2 2
{
xy
b).:fCx,y) = x O+ y (x,y) =1= (O , O)
(x,y) = (0, O)
2.- Uti lizando las reg las prácticas de la derivación parcia l, estud iar las derivadas
parciales y los gradientes de las funciones :
a). j(x,y,z) = xy + xz + yz
c).j(x,y) = exy + A _ _ x+y+z
e). j(x,y,z) - xyz
g).j(f,k) = (Aka + Jf3)
b)JCx,y ,z) = x + sen(xy) + Ln(xz)
d)JCx,y) = m-csen(l + l)
( x+ y) f) JCx,y) = Ln x-y
(2,2)
h)- j(x,y,z) = LnJx2 + ay2 + bz2
18 ada la función . j(x,y,z) = x 2 - 2xy + z 3 Hallar las derivadas de f en la dirección
del vector v = (-1 ,3, 1) en el punto (1 ,-1 ,2) . . Obtener el grad iente def
en el punto (1,1,).
~- Se considera la superficie z = x 2 + 2y2 . Hallar el plano tangente , / A--< + \~ 'i + C ~ J_ r) ~ O
a la misma que sea paralelo al plano x + 2y- z = 1 O ;f , 2_ , --¿
@ sea f: D e R2 ..... R. E sea a= (1 ,2) e D, tal que el gradj(a) = (3,4)
¿Se puede asegurar que f es diferenciable en a ? ¿ Se puede asegurar
que fes continua en a?. En el caso de ser diferenciable, ca lcu lar la
diferncia l en a . /~\
(~J Sean las funciones j(x,y) = xy + l , h(x,y,z) = ex+ y senz. Calcu lar:
. ~)son diferenciables en a = (4, 1) y
2
g(x,y) = jX + JY'
la función h en b = (0, 1, O)
d). Sea z == (u+ .xy2) 2 siendo x == u+ v, y == uv. Calcular
gad z(uo, vo ). con (uo, vo) == (1, 1), utilizando la regla de la cadena
6.- a) Obtener el grado de homogeneidad y comprobara si cumple el
teorema de Euler, las funciones:
a) flx,y) == x2 + y 2 - Sxy
__L
b), g(x,y,z) == xye x2 para x *O
e). h(x,) == (x 3 +x2y)+
7.- Utilizar la formula de Taylor para desarrollar las funciones a) y b) en potencias
de (x-1) e (y-2)
b) g(x,y) == x 2 + xy + y 2
2 - --3
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