VECTORES
Un vector f i jo es un segmento orientado que va del punto A (origen ) a l
punto B (extremo ) .
Elementos de un vector
1 Dirección de un vector: La dirección del vector es la dirección de la
recta que cont iene al vector o de cualquier recta paralela a e l la .
2 Sentido de un vector: E l sentido del vector es e l que va desde el
origen A a l extremo B .
3 Módulo de un vector:
E l módulo del vector es la longitud del segmento AB , se representa por
.
E l módulo de un vector es un número s iempre positivo o cero .
3.1. Módulo de un vector a part i r de sus componentes:
3.2. Módulo a part i r de las coordenadas de los puntos:
4 Coordenadas de un vector:
S i las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo menos
las coordenadas del origen .
Clases de vectores
1 Vectores equipolentes:
Dos vectores son equipolentes cuando t ienen igual módulo, dirección y
sentido .
2 Vectores l ibres:
El conjunto de todos los vectores equipolentes entre s í se l lama vector l ibre .
Cada vector f i jo es un representante del vector l ibre .
3 Vectores fi jos:
Un vector f i jo es un representante del vector l ibre . Es decir , los vectores
f i jos t ienen el mismo módulo , dirección , sentido y origen .
4 Vectores l igados:
Los vectores l igados son vectores equipolentes que actúan en la misma
recta. Es decir , los vectores f i jos t ienen el mismo módulo , dirección , sentido
y se encuentran en la misma recta .
5 Vectores opuestos:
Los vectores opuestos t ienen el mismo módulo , dirección , y d ist into
sentido .
6 Vectores unitarios:
Los vectores unitarios t ienen de módulo , la unidad .
Para obtener un vector unitario , de la misma dirección y sentido que el
vector dado se divide éste por su módulo .
7 Vectores concurrentes:
Los vectores concurrentes t ienen el mismo origen .
8 Vectores de posición:
El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se l lama
vector de posición del punto P.
9 Vectores l inealmente dependientes:
Varios vectores l ibres del p lano son l inealmente dependientes s i existe una
combinación l ineal de el los que sea igual a l vector cero , s in que sean cero
todos los coeficientes de la combinación l ineal .
10 Vectores l inealmente independientes:
Varios vectores l ibres son l inealmente independientes s i n inguno de el los
se puede expresar como combinación l ineal de los otros.
a 1 = a 2 = ·· · = a n = 0
11 Vectores ortogonales:
l l l l l
y + (m)
x + (m)0 1 2 3 4
1
2
-1-1-2-3-4
3 (4,3)
d
I cuadranteII cuadrante
III cuadrante IV cuadrante
l l l l
l l l l l
l l l
- 2
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares s i su producto escalar es
cero .
12 Vectores ortonormales:
Dos vectores son ortonormales s i :
1. Su producto escalar es cero .
2. Los dos vectores son unitarios .
UBICACIÓN DE UN CUERPO EN EL PLANO CARTESIANO
Generalmente, la posición de un cuerpo se localiza en el plano cartesiano a partir del origen de coordenadas ( 0 , 0 ) y la
pareja de puntos coordenados ( x , y ) donde se encuentra el cuerpo. Por ejemplo:
La posición (4, 3) corresponde al punto que se indica en la siguiente figura.
La distancia medida desde el origen hasta dicha posición se encuentra a partir de la forma común de medir distancias en el
plano; siendo ésta:
d=√( x2−x1)2+( y2− y1 )2 en nuestro caso:
d=√( 4m−0m )2+ (3m−0m )2=√16m2+9m2=√25m2=5m
Escribe las componentes de cada vector:
1 (5, 8) , (2, 3) ,
2 (3, −5), (1, −1)
,
3 (−2, 5) , (0, −3)
,
4 (8, 2) , (10, 1)
,
Completa las coordenadas de los
s iguientes puntos usando los datos proporcionados:
5 (1, 5) , (4, 7) ,
7;11
4;-6
-2;8
-2;1
3;2
6 (3, −5), (1, −8) ,
7 (−1, 9) , (4, −6)
,
8 (4, −2), (1, 7)
,
Escribe las componentes de cada vector
(Producto de vectores por un escalar):
9 ,
10 ,
-2;-3
-5;15
5;5
10;35
11 ,
12 ,
Dados los vectores , resuelve en
cada caso (Operaciones con vectores):
13 ,
14 ,
15
,
-12;8
7;21
0;8
17;6
-3;12
11;-5
16
,
Ejercicios interactivos de módulo de un vector, distancia
entre dos puntos Elige la opción correcta
1
5
−5
2
12
13
3Dados
los puntos A = (−3, 0) y B = (1, 2)
20
4Dados
los puntos A = (−3, 5) y B = (7, 5)
10
−10
Elige
la opción correcta (Distancia entre
dos puntos):
5La distancia entre A = (0, 2) y B =
(1, 4) es . . .
5
6La distancia entre A = (−5, 1) y B =
(2, 3) es . . .
7La distancia entre A = (5, −23) y B
= (−2, 1) es . . .
5
25
125
8La distancia entre A = (0, 3) y B =
(−1, 4) es . . .
2
Elige
la opción correcta (Módulo de un
vector y Distancia entre dos puntos):
9
a = 1
a = −1
Las dos son correctas.
10
a = 2
a = −2
Las dos son correctas.
11
a = −3, a = 7
a = 3, a = 7
a = 3, a = −7
12
a = 1, a = 11
a = 1, a = −11
a = −1, a = 11
Escribe las componentes de cada vector:
1A = (2, 1) , B = (3, 5) ,
2C = (3, 7) , D = (4, 5) ,
3A = (2, 8) , B = (6, 0) ; ,
4B = (−2, 1) , C = (8, 1) ,
5P = (0, 3) , Q = (3, 1) ,
6A = (5, 9) , B = (1, 4) ,
Completa las coordenadas de los s iguientes puntos
usando los datos proporcionados:
7A = (5, 9) , = (2, 7) B = ,
1;4
1;-2
4;-8
10;0
3;-2
-4;-5
7;16
8B = (0, 7) , = (3, 1) A = ,
9A = (2, −4), = (3, 5) B = ,
10B = (7, −3), = (−2, −5) A = ,
-3;6
5;1
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