VALIDACIÓN DE LA CALIDAD DE LAS SOLUCIONES OBTENIDAS EN LA
TESIS DE MAESTRÍA OPTIMIZACIÓN INTEGRAL DEL PROBLEMA DE
CARGA DE CONTENEDORES TRIDIMENSIONALES.
Trabajo de grado para obtener el título de
Pregrado de Ingeniero Industrial
AUTORES
Ernesto Cáliz Cabrales
Diana Esmeralda Sarmiento De Los Ríos
DIRECTOR
Ing. Carlos Alberto Vega Mejía, M.Sc.
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
BOGOTÁ
2012
TABLA DE CONTENIDO
1. RESUMEN. .................................................................................................................................. 1
2. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 1
3. ANTECEDENTES Y MARCO TEÓRICO.................................................................................... 2
4. DESARROLLO ............................................................................................................................. 25
4.1 MÉTODO DE SOLUCIÓN DE LA TESIS “OPTIMIZACIÓN INTEGRAL DEL PROBLEMA DE
CARGA DE CONTENEDORES”. ............................................................................................................ 25
4.1.1 Modelo matemático propuesto. ................................................................................................. 26
4.2 MÉTODO DE SOLUCIÓN PROPUESTO. ....................................................................................... 30
4.2.1. Algoritmo genético (AG). ........................................................................................................... 30
4.3 IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO META-HEURÍSTICO. .......................................................... 32
4.3.1 Generación de la población inicial. ........................................................................................... 32
4.3.2 Operación de cruce. ................................................................................................................... 39
4.3.3 Operación de mutación. ............................................................................................................. 42
4.3.4 Procedimiento completo del algoritmo genético. ................................................................... 43
4.3.5 Evaluación del centro de gravedad (CG). ............................................................................... 45
5. RESULTADOS COMPUTACIONALES. ................................................................................... 46
5.1 ANÁLISIS ESTADÍSTICO INSTANCIA 24 CAJAS ......................................................................... 46
5.1.1 Variable de estudio: valor obtenido de la función objetivo.................................................... 47 5.1.2 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP: valor obtenido de la
función objetivo. .................................................................................................................................... 52
5.1.3 Variable de estudio: desvío del centro de gravedad. ............................................................ 55
5.1.4 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP: desvío del centro de
gravedad. ............................................................................................................................................... 60
5.1.5 Variable de estudio: tiempo de ejecución del programa. ...................................................... 63
5.2 ANÁLISIS ESTADÍSTICO INSTANCIA 72 CAJAS ......................................................................... 68
5.2.1 Variable de estudio: valor obtenido de la función objetivo. ................................................. 69 5.2.2 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP: valor obtenido de la
función objetivo. .................................................................................................................................... 73
5.2.3 Variable de estudio: desvío del centro de gravedad. ........................................................... 76 5.2.4 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP: desvío del centro de
gravedad. ............................................................................................................................................... 80
5.2.5 Variable de estudio: tiempo de ejecución del programa. ...................................................... 83
6. CONSIDERACIONES DEL PROBLEMA DE CARGA DE CONTENEDORES. ...................... 88
7. CONCLUSIONES ...................................................................................................................... 89
8. REFERENCIAS ......................................................................................................................... 91
LISTA DE TABLAS
Tabla 1: Artículos de solución al problema de carga de contenedores ................................... 4
Tabla 2: Ejemplo de cálculo de la función objetivo ................................................................... 38
Tabla 3: Resumen de resultados para la instancia de 24 Cajas. ........................................... 47
Tabla 4: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza de los valores obtenidos de
la función objetivo en niveles del AG en la instancia de 24 cajas. ......................................... 47
Tabla 5: Pruebas de Normalidad para los residuos de los parámetros 500, 1000, 2000,
3000 y 4000 generaciones. ........................................................................................................... 50
Tabla 6: Prueba estadística de Tamhane, instancia 24 cajas. ................................................ 51
Tabla 7: Prueba de Levene de Homogeneidad de Varianza. ................................................. 52
Tabla 8: Pruebas de normalidad de residuos para Metodologías AG y GRASP. ................ 53
Tabla 9: Prueba estadística U de Mann-Whitney de los valores obtenidos de la función
objetivo bajo las metodologías AG y GRASP. ........................................................................... 54
Tabla 10: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para el desvío del centro de
gravedad, instancia 24 cajas. ....................................................................................................... 55
Tabla 11: Pruebas de normalidad de residuos para cada nivel de AG para datos del
desvío del centro de gravedad, instancia 24 cajas. .................................................................. 58
Tabla 12: Prueba de Tamhane para diferencia de medias para datos de desvío de centro
de gravedad. ................................................................................................................................... 60
Tabla 13: Prueba de Levene Homogeneidad de varianza Instancia 24 cajas Metodología
AG y GRASP. .................................................................................................................................. 60
Tabla 14: Pruebas de normalidad de residuos para los datos arrojados por el AG y
GRASP para desvío de centro de gravedad. ............................................................................. 62
Tabla 15: Prueba estadística U de Mann-Whitney para desvío de centro de gravedad. .... 62
Tabla 16: Estadístico descriptivos para los valores de Tiempo de ejecución en la instancia
de 24 cajas. ..................................................................................................................................... 65
Tabla 17: Resumen de resultados obtenidos en la instancia de 72 cajas. ........................... 69
Tabla 18: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza de los valores obtenidos de
la función objetivo en niveles del AG en la instancia de 72 cajas. ......................................... 69
Tabla 19: Pruebas de Normalidad de residuos para los parámetros 500, 1000, 2000, 3000
y 4000 generaciones, instancia 72 cajas. ................................................................................... 71
Tabla 20: Prueba de Tamhane para diferencia de medias varianza de los valores
obtenidos de la función objetivo en niveles del AG en la instancia de 72 cajas. ................. 72
Tabla 21: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para comparación de
metodología AG y GRASP en la instancia de 72 cajas............................................................ 73
Tabla 22: Prueba de normalidad para los residuos de las metodologías AG y GRASP en
la instancia de 72 cajas. ................................................................................................................ 74
Tabla 23: Prueba estadística U de Mann-Whitney para metodologías AG y GRASP en la
instancia 72 cajas. .......................................................................................................................... 75
Tabla 24: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para desvío de centro de
gravedad en la instancia de 72 cajas. ......................................................................................... 76
Tabla 25: Prueba de normalidad de residuos para datos desviación de centro de
gravedad para la instancia de 72 cajas. ..................................................................................... 78
Tabla 26: Prueba de Tamhane para diferencia de medias para datos de desvío del centro
de gravedad en la instancia de 72 cajas. ................................................................................... 80
Tabla 27: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para desvío de centro de
gravedad en la instancia de 72 cajas para metodologías AG y GRASP. .............................. 80
Tabla 28: Prueba de normalidad de residuos para desviación del centro de gravedad en la
instancia de 72 cajas. .................................................................................................................... 82
Tabla 29: Prueba U de Mann-Whitney para diferencia de medias en la instancia de 72
cajas con metodologías AG y GRASP. ....................................................................................... 82
Tabla 30: Estadístico descriptivos para los valores de Tiempo de ejecución en la instancia
de 72cajas. ...................................................................................................................................... 85
LISTA DE FIGURAS.
Ilustración 1: Descripción el funcionamiento del AG ............................................................... 31
Ilustración 2: Ejemplo de mecanismo de Cruce ........................................................................ 31
Ilustración 3: Representación gráfica de un vector de cajas organizado. ............................. 34
Ilustración 4: Representación gráfica de un contenedor. ......................................................... 35
Ilustración 5: Validación de peso ................................................................................................. 36
Ilustración 6: Ejemplo de vector para validación de peso ........................................................ 36
Ilustración 7: Segundo ejemplo validación de peso .................................................................. 37
Ilustración 8: Pseudocódigo generación de población inicial. ................................................. 39
Ilustración 9: Representación gráfica de un cruce .................................................................... 40
Ilustración 10: Representación de un cruce por medio de vectores, donde la línea
representa la posición de corte. ................................................................................................... 40
Ilustración 11: Representación de cruce con procedimiento de corrección para cajas
repetidas .......................................................................................................................................... 41
Ilustración 12: Pseudocódigo procedimiento de cruce ............................................................. 41
Ilustración 13: Representación de una mutación por medio de vectores, la línea
representa el corte ......................................................................................................................... 42
Ilustración 14: Representación gráfica de la mutación. ............................................................ 43
Ilustración 15: Pseudocódigo proceso de mutación. ................................................................ 43
Ilustración 16: Selección de la población. .................................................................................. 44
Ilustración 17: Pseudocódigo del algoritmo genético propuesto ............................................. 44
Ilustración 18: Representación de división del contenedor ..................................................... 45
Ilustración 19: Pseudocódigo evaluación del centro de gravedad ......................................... 46
Ilustración 20: Diagrama de caja y bigotes de resultados de metodologías AG y GRASP
en la instancia de 24 cajas. ........................................................................................................... 54
Ilustración 21: Diagrama de caja y bigotes de desvío de centro de gravedad para
metodologías AG y GRASP, instancia de 24 cajas. ................................................................. 63
Ilustración 22: Gráficos descriptivos para el tiempo de ejecución del programa para 24
cajas. ................................................................................................................................................ 67
Ilustración 23: Diagrama de Caja y bigotes del tiempo de ejecución del programa para 24
cajas. ................................................................................................................................................ 68
Ilustración 24: Diagrama de caja y bigotes para porcentaje de ocupación en las
metodologías AG y GRASP en la instancia de 72 cajas. ......................................................... 75
Ilustración 25: Diagrama de caja y bigotes para desviación de centro de gravedad en la
instancia de 72 cajas con las metodologías AG y GRASP. ..................................................... 83
Ilustración 26: Gráficos descriptivos para el tiempo de ejecución del programa para 72
cajas. ................................................................................................................................................ 87
Ilustración 27: Diagrama de caja y bigotes para tiempos de ejecución instancia 72 cajas. 87
1
1. RESUMEN.
Esta tesis presenta un Algoritmo Genético (AG) para resolver un problema combinatorio
de empaquetamiento tridimensional, el cual es del tipo NP-Hard que consiste básicamente
en colocar una serie de cajas tridimensionales dentro de un contenedor tridimensional con
medidas conocidas, buscando optimizar la utilización del espacio [Pisinger, 2002].
La importancia de este trabajo radica en continuar con las perspectivas de investigación
planteadas en la tesis de maestría OPTIMIZACIÓN INTEGRAL DEL PROBLEMA DE
CARGA DE CONTENEDORES TRIDIMENSIONALES realizada por el ingeniero Carlos
Alberto Vega Mejía (M.Sc) y cuyos resultados se pueden consultar en [García et al.,
2011], con el fin de complementar los estudios realizados a la fecha.
Se evidenció que en relación al espacio ocupado, el trabajo del Ing. Vega Mejía
estadísticamente logró un mejor aprovechamiento del mismo, pero en cuanto al desvío del
centro de gravedad el método planteado por los autores ofrece un mejor equilibrio del
contenedor en la instancia de 72 cajas.
2. INTRODUCCIÓN
Dadas las condiciones del mundo actual donde el fenómeno de la globalización requiere
del comercio entre agentes que se encuentran en diferentes partes del mundo, el envío de
carga aparece como una situación que diferentes empresas tienen que afrontar, ser
competitivos y buscar beneficios. El elemento más común y estandarizado de carga
masiva de bienes sin importar el medio en el cual sean transportadas es el contenedor
[Huang & He 2009].
La distribución de los productos dentro del contenedor es asunto de vital importancia, con
el fin de optimizar la utilización del mismo, para ello en el desarrollo de esta tesis se
consideraron una serie de restricciones prácticas:
El número de cajas almacenadas en el contenedor no puede exceder el número
de celdas dicho contenedor.
Cada caja ocupa una posición única dentro del contenedor, es decir que no debe
de existir más de una caja en cada celda del contenedor.
Todas las cajas que no tengan contacto con la base del contenedor deben ser
soportadas por otras ubicadas en posiciones inferiores.
El peso equivalente a la suma de los pesos de todas las cajas ubicadas dentro del
contenedor, no puede exceder la capacidad de carga del mismo.
El centro de gravedad de las cajas cargadas dentro del contenedor calculado a lo
largo de este, debe de acercarse al centro geométrico del largo del contenedor.
2
La suma total de los pesos de las cajas que soporta una caja en particular no
puede superar su capacidad.
Por medio de un procedimiento matemático computacional se busca minimizar el
desperdicio de espacio dentro del contenedor. La solución obtenida puede determinar de
manera formal los procedimientos para que la carga de contenedores sea un proceso
eficiente, preciso y confiable que en consecuencia reduzca costos de empaquetamiento y
transporte [Xue y Lai, 1997a; Chan et al., 2006].
3. ANTECEDENTES Y MARCO TEÓRICO.
Como una primera idea, el problema de carga de contenedores (Container Loading
Problem, CLP) se define como el acomodamiento de cajas dentro de un elemento más
grande [Washer et al, 2007], este tipo de problemas se han venido estudiando desde hace
50 años aproximadamente [Pisinger, 2002].
Para realizar la búsqueda del estado del arte se consultaron las bases de datos
disponibles en la biblioteca de la Universidad Javeriana, en donde se pudo obtener como
fuentes primarias artículos actuales (2004-2012) que tratan la problemática desde
diferentes puntos de vista.
Antes de hablar de la revisión cabe resaltar los planteamientos de Bischoff y Ratcliff
(1995), quienes hacen un llamado a tener en cuenta nuevos enfoques al momento de
plantear un problema de carga de contenedores, por ende proponen una serie de
consideraciones con el ánimo de tenerlas en cuenta en situaciones prácticas tales como:
Máximo peso de carga permitido para el contenedor.
Distribución del peso en el contenedor.
Orientación de las cajas. No sólo tener en cuenta la orientación vertical de las
cajas.
Cargamentos con destinos diferentes.
Separación de bienes que no pueden tener contacto con otros debido a sus
características y/o composición.
Ubicación de un Ítem dentro del contenedor de acuerdo su tamaño.
Garantizar estabilidad de la carga en los casos en que se lleva mercancía frágil.
Claro está que además de tenerlas presentes es necesario saber cómo involucrarlas en la
formulación del modelo; es decir cómo plantear matemáticamente dichas situaciones, ya
sea por medio de parámetros o restricciones [Bischoff y Ratcliff, 1995].
Teniendo en cuenta la información encontrada, un problema CLP es un problema NP-
HARD [Pisinger, 2002] los cuales a medida que el problema aumenta de tamaño
requieren de tiempos de ejecución computacionales más largos. Por lo tanto para la
3
solución de esta clase de problemas se usan, por lo general métodos heurísticos y Meta-
heurísticos los cuales son algoritmos que logran resultados satisfactorios en tiempos de
ejecución razonables [Glover y Kochenberger, 2003]. De acuerdo a lo encontrado en la
revisión realizada se puede observar una tendencia a resolver el problema buscando
maximizar del espacio ocupado dentro del contenedor, usando métodos meta-heurísticos
como AG [Goh et al, 2009; Chaiyaratana y Pimpawat, 2004; THAPATSUWAN, P. et al
2011]. GRASP [Álvarez-Valdez et al, 2008; García et al, 2011; Moura y Oliveira , 2008], o
heurísticas híbridas [Egeblad et al, 2009; Turkay y Guilesin, 2010; LIU, J. et al 2011]. De
acuerdo a la revisión realizada (ver tabla 1), los autores proponen continuar con sus
investigaciones previamente realizadas ya sea cambiando las condiciones del problema o
proponiendo un método de solución diferente para la situación planteada.
4
Tabla 1: Artículos de solución al problema de carga de contenedores
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
ZHANG, D. et al
2012
• Determinar un plan de llenado del contenedor,
cumpliendo con las restricciones de carga dada, maximizando el volumen utilizado en el
contenedor.
• No debe haber superposición de cajas.
• La superficie de las cajas que se cargan debe ser
paralela a la superficie del contenedor.
• Restricción de orientación: se permiten hasta 5 orientaciones de
caja. • Restricción de apoyo: las cajas deben ser apoyadas
por completo por otras cajas.
block-loading algorithm basado
en multi-layer search
• Algoritmos BR1–BR7: volumen de utilización promedio 94.63% • Algoritmos BR8–BR15: Volumen de utilización promedio 91.22%
• Para optimizar aún más, se requiere mejorar
la velocidad en los cálculos.
• Aplicar a diferentes problemas con
aplicaciones prácticas y restricciones adicionales.
5
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
LIM, A. et al.
2012
Maximizar el volumen de utilización del
contenedor o minimizar el número
de contenedores requeridos.
• Cada caja debe estar completamente empacada
en el contenedor. • No se permite
superposición de cajas. • Las cajas deben ser de la
misma dimensión y características.
• El peso de las cajas debe ser el mismo.
• Las cajas pueden ser cargadas en 6 diferentes posibles orientaciones.
Meta-heurística greedy.
Volumen de utilización: 91%
Superar limitaciones de estabilidad de carga, distribución de peso
dentro del contenedor y la fuerza de carga de los
elementos.
6
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
LIU, J. et al
2011
Obtener la mejor utilización del espacio dentro del contenedor
satisfaciendo las limitaciones prácticas
• Restricción de orientación: las cajas
pueden rotar en cualquiera de las 6 orientaciones.
• Las cajas no pueden estar suspendidas en el aire, estas deben estar en
contacto entre sí o con el piso del contenedor.
• Restricción de peso: el peso de la carga total no puede exceder el límite máximo de peso que admite el contenedor.
• Distribución de peso: el centro de gravedad debe
estar cerca al punto geométrico medio del piso
del contenedor.
Algoritmo híbrido Búsqueda tabú y
heurística de carga iterativa
• RW1: Porcentaje de utilización 90.58%.
• RW2: Porcentaje de utilización: 94.63%
• RW2: Porcentaje de utilización: 94.74%
N.A
7
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
THAPATSUWAN, P. et al
2011
• Describir el desarrollo de computer aided
packing(CAP), programa que incluye AG, Particle Swarm
Optimisation (PSO) y Artificial Immune
Systems (AIS) en la resolución de
problemas de carga de contenedores.
Algoritmo Genético
Tablas de tiempo de ejecución y volumen de utilización para
diferentes instancias del problema y los
métodos de solución planteados.
N.A
8
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
• Diseño de experimentos para encontrar la mejor configuración de
parámetros de Artificial Immune Systems (AIS) para diversos tipos de
problemas. • Comparar
rendimientos de CAP, AG Y PSO en términos
de calidad de soluciones obtenidas y el tiempo requerido de
cálculo.
• Cajas de forma rectangular.
• Las cajas deben estar distribuidas en todo el contenedor y debe ser paralela a las paredes
laterales. • No puede haber
superposición de cajas. • Las cajas pueden o no
girar. • Las limitaciones de peso y
carga de contenedor pueden pasarse por alto.
Particle Swarm Optimisation
(PSO) y Artificial Immune Systems
(AIS)
9
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
CESCHIA, S. y
SCHAERF, A.
2011
• Un problema CLP que debe tener en cuenta la posibilidad que las cajas deban ser entregadas en diferentes lugares • Minimizar el número total de paradas.
• Las cajas pueden girar en direcciones ortogonales dependiendo de cada tipo de caja • El peso máximo que una caja puede mantener depende de su tipo y orientación vertical. • Las dimensiones de base de la caja de arriba debe ser menor o igual a los de la caja de abajo. • La suma total de la carga no debe exceder el límite de peso del contenedor.
• Recocido simulado. • Búsqueda tabú.
N.A.
• Reducir el espacio libre a nivel del suelo. • Para el (TS) investigar nuevas estrategias de memorias de adaptación. • Experimentar con otras meta-heurísticas.
10
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
GONCALVES, JF.
et al.
2011
Determinar el espacio máximo en el que se coloca cada caja dentro del contenedor.
• Cada caja se puede cargar en el contenedor en un mínimo de 6 variantes de rotación. • Garantizar la estabilidad de carga. • Construir pilas de cajas que permitan ahorrar espacio. • Llenar el contenedor de abajo a arriba usando capas horizontales. • Llenar el contenedor con cajas en forma de cubos. • Segmentar el contenedor en partes pequeñas.
Algoritmo Genético.
Volumen de utilización del contenedor: 92,24%
N.A
11
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
TURKAY, D. y
GULESIN S.
2011 Maximizar la tasa de utilización de los contenedores
• Las cajas deben ser rectangulares con dimensiones conocidas • Las cajas se pueden rotar •Cada caja puede ser apilada encima de otra. • No puede haber superposición de cajas.
‘bee(s) algorithm’ (BA)
Volumen de utilización : 84,63%
• Mejorar en los mecanismos locales de búsqueda. • Integración del algoritmo BA con otras técnicas • Comprensión y mejora del intercambio de información entre el mecanismo disponible y BA. • Mejoramiento de técnicas de programación a través de un enfoque basado en agentes.
12
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
HOW CHE et
al. 2011
Minimizar el costo de cargar bienes de varios tipos en múltiples contenedores de tamaños diferentes
Peso total de las cajas, espacio disponible de almacenamiento por contenedor determinado por un porcentaje de garantía
G4-heuristic Bin-packing (G4BP) strategy; the Sequential Application of GRASP (S-GRASP) Strategy; and the Application of GRASP on Combinations (C-GRASP) Strategy.
Más del 90% del espacio total utilizado
Agregar variantes al modelo propuesto para el estudio de carga de múltiples contenedores.
13
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
GARCÍA et al.
2011 Minimizar el volumen desperdiciado del contenedor.
• Las cajas ubicadas en las posiciones inferiores deben soportar el peso de las cajas superiores. • Las cajas deben estar en contacto entre sí o con el contenedor • No debe haber más de una caja en una posición. • Distribución del peso dentro del contenedor. • Límite de peso del contenedor y distribución del peso dentro del mismo. • Características estructurales del contenido del contenedor.
Integral Analysis Method, GRASP
• Utilización del espacio del contenedor: 81,43% • Utilización de la capacidad de peso del contenedor: 99,89%
• Complejidad de disposición de carga que facilite la descarga.
14
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
JIDONG et al.
2011
Almacenamiento de cubos dentro de un contenedor teniendo en cuenta su prioridad de envió
Prioridad de embarque del artículo, empaque de manera ortogonal, no se pueden traslapar unos elementos a otros, cada artículo debe ser empacado completamente dentro del contenedor
Algoritmo Recorrido de árboles.
En promedio un 96,47% del volumen total utilizado
Considerar en el modelo propuesto aspectos como ubicación de los ítems de acuerdo al destino de estos. Buscar un balance entre el alto uso del volumen y la reducción de esfuerzo en cuanto a carga y descarga de productos.
15
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
ALMEIDA y
FIGUEIREDO.
2010
Cargar un conjunto de terminado de cajas con tamaños variables minimizando el costo de envió.
• No debe haber rotación de las cajas. • Las cajas se ordenaran por orden decreciente de volumen. • Priorización por envió. • Agrupar las cajas por fecha de entrega.
Algoritmo 3D-corners.
• Valor de espacio no utilizado para el criterio de prioridad de accesibilidad: 8,63%. • Valor de espacio no utilizado para el criterio de prioridad en fecha de salida: 5, 77%. • Valor de espacio no utilizado para el criterio misma prioridad para los dos criterios: 3,58%.
Diseño de una nueva heurística capaz de incorporar el equilibrio estático del embalaje.
16
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
HE y HUANG
2010
Optimizar el volumen de utilización del espacio del contenedor.
• Restricción de rotación. • Todos los artículos deben ser soportados por otros artículos o por el piso del contenedor.
• Algoritmo básico CDFA. • Strengthened Algorithm CDFA.
Volumen de utilización promedio: 92,89%
Utilizar otros métodos de meta-heurística para obtener mayor volumen de puntos de referencia.
17
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
JUNQUEIRA et al.
2010
Cargar una cantidad de cajas en el contenedor de tal manera que se pueda maximizar el valor total de carga.
• Orientación de las cajas. • Manejo de cajas. • Agrupamiento de cajas. • Separación de cajas. • Cargar grupos de cajas completos. • Prioridad de carga. • Límite de peso del contenedor. • Distribución del peso dentro del contenedor.
Lenguaje de moldeamiento GAMS y solver CPLEX.
Volumen promedio ocupado: 83,93%
• Extender los modelos más a allá de consideraciones de carga y estabilidad de carga. • Explorar nuevas restricciones para reducir simetría en patrones de carga. • Integrar modelos de enrutamiento de vehículos y modelos de carga de contenedores.
18
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
JIAMIN LIU et al.
2010 Maximizar la utilización del contenedor.
• Las cajas se pueden rotar hasta en orientaciones, sin embargo algunas cajas tienen algunas limitaciones de rotación. • Las cajas deben estar puestas una sobre otra utilizando llenando todo el contenedor. • Las cajas idénticas deben ser cargadas juntas. • El total de peso de las cajas no puede exceder el límite del contenedor. • El centro de gravedad debe estar cerca al punto medio geométrico del contenedor.
Búsqueda Tabú
• Utilización promedio para el caso RW1: 88,21% • Utilización promedio para el caso RW2: 93,10% • Utilización promedio para el caso RW3: 93,11%
N.A
19
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
EGEBLAD et al.
2009
Utilización óptima del espacio de los contenedores para la distribución de mercancías.
• Los artículos deben estar ubicados en un lugar estable y están permitidas un conjunto limitado de rotaciones. • Los elementos más pequeños deben ser colocados encima de los más grandes. • Cada ítem tiene un nivel de fragilidad y orientaciones aceptables.
• Algoritmo recorrido de árboles. •Algoritmo búsqueda local. • Algoritmo voraz. • Wall-building heuristic.
Utilización promedio: 91,3% con un tiempo de ejecución de 100 s.
N.A
20
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
HE, K. y HUANG,
W. 2009
Maximizar el volumen total de cuboides empacados
• Cada cuboide empacado está completamente en el contenedor. • No puede haber superposición entre cuboides dentro del contenedor. • Cada cuboide lleno se coloca paralelo a la superficie del contenedor.
Quasi-human Algorithm.
• Resultados experimentales con restricción de orientación: Volumen de utilización: 87,31% • Resultados experimentales sin restricción de orientación: Volumen de utilización: 92,05%
Mejorar la eficiencia del algoritmo quasi-human probando otros puntos de referencia representativa.
21
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
GOH et al
2009 Minimizar el valor costo/volumen.
• Flexibilidad de orientación de caja dentro del contenedor. • Flexibilidad en la altura del contenedor.
Algoritmo genético Utilización del 75% capacidad para contenedor grande.
N.A
ALBARES-
VALDÉS et al.
2008
Minimización del espacio vacío en el almacenamiento de cajas en contenedores
Cantidad de cajas a empacar, máximo espacio disponible en el contenedor, tipo de caja a empacar.
GRASP 93 % del volumen total disponible fue ocupado
El uso de meta-heurísticas que puedan generar mejores resultados y el planteamiento de restricciones que pueda convertir al modelo en una herramienta representativa de la vida real.
22
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
FANSLAU, T. y
BORTFELDT, A.
2008
Carga de un conjunto de cajas rectangulares en un recipiente rectangular
Volumen ocupado Algoritmo recorrido de árboles
93,6 % del espacio total utilizado
Adición de restricciones adicionales como por ejemplo distribución de peso y variante en 2 dimensiones.
23
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
MOURA, A. y
OLIVEIRA, JF.
2008
• Maximizar la eficiencia de carga del contenedor. • Servir a los clientes en un periodo de tiempo determinado.
• Los clientes deben ser visitados en un plazo determinado. • La capacidad del vehículo debe ser siempre respetada. • La demanda del cliente son cajas que con limitaciones de rotación. Podría haber una, dos o tres posibles orientaciones de caja. • Las demandas de los clientes son heterogéneas y las ventanas de tiempo deben ser respetadas. • La densidad de carga es tal que el peso máximo de los contenedor no son obstáculo para el problema. • La demanda de cada cliente debe ser embarcada junta para facilitar la descarga para esto se usa la política LIFO. • La carga debe ser embarcada de tal manera que se mantenga estable.
•Procedimiento Monte Carlo. • Algoritmo búsqueda local. • GRASP.
• Grupo 1. Número de cajas asociados a una demanda pequeña: No. vehículos: 4; Volumen de utilización: 93,75. % • Grupo 2. No. Vehículos: 6; volumen de utilización: 84,00%.
N.A
24
Autor Año Problema Restricciones Método
Solución Gap-computacional
Perspectivas de investigación
CHAIYARATANA
, N. y PIMPAW
AT, C.
2004
Empacar un número De paquetes en un Conjunto de contenedores.
Máxima capacidad del contenedor, número de cajas a empacar
Algoritmo genético cooperativo evolutivo.
Diferentes valores de volumen total vacío de acuerdo al algoritmo usado, un número de contenedores tenidos en cuenta y la forma de cargar las cajas
N.A
25
4. DESARROLLO
4.1 MÉTODO DE SOLUCIÓN DE LA TESIS “OPTIMIZACIÓN INTEGRAL DEL
PROBLEMA DE CARGA DE CONTENEDORES”.
Este trabajo plantea una metodología de optimización integral, la cual incluye
criterios cualitativos y cuantitativos [García et al., 2011]. El análisis cuantitativo,
sobre el cual se basa esta investigación, considera las restricciones básicas
definidas por Wäscher et al. (2007) y algunas restricciones definidas por Bischoff y
Ratcliff (1995) tales como: (i) no exceder el límite de peso soportado definido para el
contenedor y (ii) una vez el contenedor ha sido cargado, el centro de gravedad (CG)
debe estar cerca al centro geométrico de su base (distribución de peso dentro del
contenedor). Adicionalmente, existe una consideración estocástica, la cual tiene que
ver con el soporte de carga de los objetos dentro del contenedor, la deformación
experimentada por cada una de las cajas es directamente proporcional al peso
soportado por la caja en su cara superior [García et al., 2011].
El modelamiento de la deformidad de las cajas parte de los siguientes supuestos
[Ibídem]:
Las cajas pueden o no ser deformadas.
La deformación sólo afecta la altura de las cajas y es homogénea en su cara
superior.
Las cajas pueden ser de diferentes materiales y diversos contenidos.
La carga máxima que cada caja puede soportar es una característica
conocida.
Las cajas tienen un límite de deformación.
Bajo dichas condiciones el trabajo emplea la meta-heurística GRASP la cual
matemáticamente se define bajo la premisa de que se tiene un espacio finito
{ }, un conjunto de soluciones factibles y la función objetivo
. Para el caso de minimización, se busca la solución óptima donde
se tiene ( ) ( ) , el conjunto , la función de costo y el conjunto de
soluciones factibles definidas para el problema específico [Glover y Kochenberger,
2003].
GRASP consiste en un proceso iterativo constituido por dos fases, llamadas
construcción y búsqueda local. En la fase constructiva las soluciones factibles son
examinadas hasta alcanzar el mínimo local por último la mejor solución encontrada
se mantiene como resultado. En cada iteración de esta fase el conjunto de
elementos candidatos está formado por todos los elementos que pueden ser
26
incorporados en la solución parcial sin destruir su viabilidad. La selección del
siguiente elemento a incorporar está determinado por la evaluación de todos los
candidatos teniendo en cuenta una función de utilidad de tal manera que se crea
una lista restringida de candidatos (RCL) formada por los mejores elementos. Un
elemento es seleccionado de manera aleatoria a partir del RCL para luego ser
incorporado en la solución parcial, entonces la lista de candidatos se actualiza y los
costos incrementales son reevaluados. La fase de búsqueda local por lo general
mejora la solución construida, la eficiencia de esta fase depende de varios
elementos tales como la estructura del vecindario, la técnica de búsqueda en la
vecindad y la evaluación rápida de los costos [Glover y Kochenberger, 2003].
Implementación para solucionar el problema de carga de contenedores.
Durante la fase constructiva el GRASP resuelve una relajación del problema;
específicamente, no se tiene en cuenta la restricción del centro de gravedad. En
esta fase se buscan las mejores cajas candidatas para ubicar dentro del contenedor,
dando lugar a que la RCL esté constituida por aquellas cajas que tienen una menor
deformación bajo un mayor peso soportado, de tal manera que las más pesadas se
colocan en un nivel inferior buscando una menor deformación entre éstas. En la
segunda fase se utiliza un método de búsqueda que está enfocado hacia la
minimización de la deformación de las cajas y la distribución del peso, lo que
eventualmente constituye una mejor utilización del espacio disponible, esto se
consigue mediante la aproximación del centro de gravedad del contenedor cargado
a su centro geométrico calculado en su longitud. La etapa de búsqueda local se
compone de cuatro fases, en la primera fase, pares de cajas son intercambiadas
hasta reducir la deformación total y así minimizar el volumen desocupado, en la
segunda fase se comprueba la existencia de un espacio disponible para ubicar una
caja adicional, si se llega a añadir por lo menos una caja la primera fase se repite,
periódicamente el procedimiento se realiza verificando el cumplimiento de las
restricciones. Las dos últimas etapas la fase de búsqueda local mejoran la
distribución del peso dentro del contenedor dividiendo e intercambiando muros del
mismo, de tal manera que se conduzca el centro de gravedad de la carga del
contenedor lo más cerca posible al centro geométrico en su longitud. Por último el
objetivo de esta fase de búsqueda local es mejorar el valor de la solución
encontrada en la fase constructiva a través del intercambio de los elementos de la
solución inicial. [García et al, 2011]
4.1.1 Modelo matemático propuesto.
Para el presente trabajo se tomó el modelo matemático propuesto en la tesis
OPTIMIZACIÓN INTEGRAL DEL PROBLEMA DE CARGA DE CONTENEDORES
TRIDIMENSIONALES para la solución un problema de carga de contenedores
tridimensionales.
27
4.1.1.1 Consideración estocástica del modelo
Se asume que la deformación experimentada por la caja es directamente
proporcional al peso en la cara superior, la manera en que las cajas llegan a su
máxima deformación es cuando se llega al peso máximo permitido, adicionalmente
se incluye un factor estocástico que modela la deformación y se determina de la
siguiente manera:
{
( )
(1)
Nivel en el que la caja es localizada { ⁄ }
deformación experimentada por la caja al nivel
Peso soportado por la caja igual a:
∑ es el peso ejercido por la caja al nivel
máximo peso soportado por la caja
mínima deformación experimentada al nivel .
máxima deformación experimentada al nivel
: parámetro estocástico que explica la deformación que no es atribuida a
la relación funcional de la caja al nivel .
4.1.1.2 Modelo MIP
El modelo incluye los siguientes parámetros:
Número de cajas a ser almacenadas.
( ) Dimensiones del contenedor: ancho, largo y alto.
( ): Dimensiones de las cajas: ancho, largo y alto.
Cada caja coincide con el centro geométrico.
( ) Número de cajas que pueden ser acomodadas en el contenedor a lo
largo, ancho y alto, respectivamente. Donde { [ ⁄ ]}
{ [ ⁄ ]} y { [ ⁄ ]}.
peso de la caja
Máximo peso soportable por la caja , para .
Máxima capacidad de carga medida en peso.
distancia entre el COG del contenedor cargado predeterminado a un
valor ( ). Esta distancia solo es medida a lo largo del contenedor.
Mínima deformación determinística experimentada en el nivel del
contenedor.
28
Máxima deformación determinística experimentada en el nivel del
contenedor.
Función de densidad de probabilidad que determina la deformación
estocástica experimentada por la caja en el nivel del contenedor.
posible valor mínimo de deformación estocástica, parámetro para cajas
en el nivel del contenedor.
posible valor máximo de deformación estocástica, parámetro para
cajas en el nivel del contenedor.
El modelo emplea las siguientes variables:
{ ( )
total de carga soportada por la caja en el nivel
: deformación estocástica experimentada por la caja al nivel .
: total deformación experimentada por la caja en la celda ( ).
Restricciones del modelo:
(R1) Capacidad en volumen: El número de cajas almacenadas en el contenedor no
puede exceder el número de espacios disponibles en dicho contenedor
∑∑ ∑ ∑
( )
(R2) Cada caja ocupa una posición única dentro del contenedor.
∑ ∑ ∑
{ } ( )
(R3) No debe de existir más de una caja en una posición especifica del contendor.
∑
( )
(R4) Todas las cajas que no tengan contacto con la base del contenedor deben ser
soportadas por otras ubicadas en posiciones inferiores.
29
∑ ∑
( )
(R5) El peso equivalente a la suma de los pesos de todas las cajas ubicadas dentro
del contenedor, no puede exceder la capacidad de carga del contenedor.
∑
∑ ∑ ∑
( )
(R6) El centro de gravedad de las cajas cargadas dentro del contenedor calculado a
lo largo de este, debe acercarse a la mitad del largo del contenedor. La distancia
entre este punto y
no puede ser mayor a G. Para calcular el COG del
contenedor es dividido en muros de dimensión , cada
uno de ellos con peso el cual se imprime en el punto medio de su base; esto es
.
∑ ∑ ∑ ∑ ( )
∑ ∑ ∑ ∑
( )
(R7) El peso soportado por la caja en la celda ( ) se obtiene del total de las
sumas de los pesos de las cajas que soporta, es decir, aquellas celdas ( ) que
satisfagan la condición .. Este peso no puede exceder el límite que
puede soportar la caja.
∑ ∑
( ) ( )
( )
( )
De acuerdo con lo anterior el peso soportado por las cajas en el nivel superior es 0.
(R8)La deformación de la caja es calculada teniendo en cuenta el rango de
deformación determinística [ ] para el nivel la relación de peso soportado
(
⁄ ) y la función de probabilidad ( (
)) corresponde al nivel
donde la caja es cargada. La deformación de las cajas se encuentra en el nivel
superior del contenedor y es igual a cero.
30
( (
)) ( ) (9)
( )
( ) (10)
Finalmente la función objetivo es minimizar el espacio desocupado dentro del
contendor.
∑ ∑ ∑ ∑( )
( )
4.2 MÉTODO DE SOLUCIÓN PROPUESTO.
De acuerdo a la revisión bibliográfica realizada en esta tesis el método más
referenciado para la solución de problemas de empaquetamiento tridimensional es
el AG, razón por la cual se decidió utilizarla en el desarrollo de esta tesis.
4.2.1. Algoritmo genético (AG).1
Asumiendo un espacio de búsqueda , y la función:
El problema general es lograr:
Dónde es el vector de variables de decisión y es la función objetivo. Esta
metodología consta de 3 fases importantes. La primera es la generación de
población (cromosomas); la segunda es la recombinación de estos cromosomas o
criterio de cruce y la última la mutación. La búsqueda de la mejor solución es guiada
por los resultados y la evaluación de la función objetivo para cada uno de los
individuos generados. Por último, basándose en esta evaluación, el cromosoma con
mayor valor de representa la mejor solución [Glover y Kochenberger, 2003].
1 GLOVER, Fred; KOCHENBERGER, Gary A (2003). “Handbook of Metaheuristics”. Springer
International series in operations research & management science, 2003. Páginas 55-82
31
Ilustración 1: Descripción el funcionamiento del AG
4.2.1.1 Población inicial
Generalmente se puede asumir su inicialización de manera aleatoria aunque se ha
demostrado que la mayoría de veces este enfoque no necesariamente cubre todo el
espacio de búsqueda de manera uniforme. Otra propuesta sería crear una población
inicial con buenas soluciones conocidas, se han encontrado resultados de gran
calidad obtenidos por otra técnica heurística que ayudan al algoritmo genético a
encontrar mejores soluciones de manera más rápida que cuando se inicializa de
manera aleatoria [Ibídem].
4.2.1.2 Cruce.
Luego de generar aleatoriamente la población de cromosomas, el siguiente paso es
la selección aleatoria de individuos que van a ser sujetos para las operaciones de
cruce y mutación. En el cruce las características de dos padres se combinan para
generar descendencia [Thapatsuwan, P. et al, 2011].
En otras palabras el cruce es la construcción de un individuo basado en la
combinación de algunos genes de otros individuos. Se genera un punto o dos de
cruce de manera aleatoria y como resultado se produce una combinación de piezas
de los “padres” originales [Glover y Kochenberger, 2003].
Ilustración 2: Ejemplo de mecanismo de Cruce
4.2.1.3 Mutación
32
La mutación es un operador que tiene una función secundaria que ayuda a
preservar un nivel razonable de diversidad en la población, adicionalmente permite
salir de las regiones sub-optimas del espacio de solución [Ibídem].
Un subconjunto de genes del cromosoma es elegido de manera aleatoria con el fin
de cambiar los valores del alelo de los genes seleccionados, modificando de esta
manera los individuos para ampliar los espacios de búsqueda y contemplar diversas
soluciones [Ibídem].
4.3 IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO META-HEURÍSTICO.
Se emplea un algoritmo genético para llegar a la solución final bajo las etapas de
población inicial, cruce y mutación. Esta solución al igual que la metodología
expuesta en [García et al., 2011] se encuentra relajada en lo que se refiere la
restricción del centro de gravedad, esta restricción se evalúa posteriormente.
4.3.1 Generación de la población inicial.
Creación de un individuo: Función de producción Cobb-Douglas.
Para la creación de un individuo se usa una metodología donde se utiliza la función
de producción Cobb-Douglas. En el contexto del problema tratado en esta tesis,
esta función busca organizar las cajas con el fin de dar prioridad de ubicación en los
primeros niveles del contenedor a aquellas cajas con mayor peso y capacidad de
soportar peso.
La función de producción Cobb-Douglas es una ecuación muy usada en economía,
la cual fue propuesta por Paul Douglas y Charles Cobb a partir de una observación
realizada por los autores en cuanto a medida que la economía se había vuelto más
próspera con el paso del tiempo, la renta de los trabajadores y la renta de los
propietarios del capital habían crecido casi exactamente a la misma tasa. Teniendo
en cuenta dicha observación se plantea una función la cual describe la manera
como las economías reales transforman el capital y el trabajo en producto interno
bruto, [Mankiw, 2006] Usualmente esta función se encuentra formulada como:
En donde:
Parámetro de Ponderación
Variable de incidencia (capital).
Variable de incidencia(trabajo).
33
Factor de Ponderación.
Esta función permite producir participaciones constantes de los factores incidentes
sobre el valor de un indicador; es decir, este planteamiento matemático tiene en
cuenta las participaciones constantes de los factores y la participación de estos a
partir de un parámetro [Mankiw, 2006].
Teniendo en cuenta lo mencionado, la importancia de esta metodología en el
problema de carga de contenedores radica en que se puede realizar una
ponderación entre los dos componentes determinantes para la ubicación de una
caja (peso y capacidad) de tal manera que se establezca un parámetro (el cual se
encuentra representado cómo Y en el planteamiento matemático) para la ubicación
de las cajas dentro del contenedor. Por lo tanto se replantea la función Cobb-
Douglas adapta a este problema:
En donde:
: Ponderación referente para la ubicación de la caja .
: Peso máximo que puede soportar la caja .
: Peso contenido por la caja .
: Factor de ponderación; para este caso toma valores entre 0,5 y 1.
A partir de cada valor obtenido para cada caja, dichos valores son organizados de
mayor a menor con el ánimo de establecer un orden de asignación de posiciones.
Cabe anotar que el parámetro usado en el presente trabajo se diferencia del
empleado en el trabajo OPTIMIZACIÓN INTEGRAL DEL PROBLEMA DE CARGA
DE CONTENEDORES TRIDIMENSIONALES, en cuanto a que en el GRASP este
es definido como un número aleatorio entre cero y uno con el propósito de elaborar
una lista de candidatos restringidos bajo la cual se evalúan aquellos elementos que
pueden hacer parte de una posible solución teniendo en cuenta una función de
utilidad.
4.3.1.1 Aplicación en el Algoritmo Genético propuesto
Con el propósito de ejemplificar lo anteriormente mencionado y entender cómo esta
parte está incluida en el AG propuesto, lo primero que se hace es obtener la
información del contenedor (medidas y máximo peso soportable). Posteriormente se
crea un vector el cual almacena en cada posición la información de cada caja tal
cual se encuentra en la instancia. Luego para cada una de las cajas se calcula el
coeficiente Y de la función Cobb-Douglas y a continuación este vector es organizado
de acuerdo a su valor Y en orden descendente. La figura tres representa un ejemplo
34
de lo anteriormente comentado en una situación en las que se reciben seis cajas, en
donde el primer vector es el almacenamiento de la información y el segundo vector
representa la organización de cajas. Cada individuo (contenedor) es ubicado dentro
de otro vector el cual almacena toda la población inicial.
Ilustración 3: Representación gráfica de un vector de cajas organizado.
4.3.1.2 Ubicación de Cajas
Luego de priorizar las cajas de acuerdo al cálculo de la función Cobb-Douglas, a
continuación se establece el máximo número de cajas que pueden almacenarse a lo
ancho, largo y alto del contenedor, en base a lo expuesto en [García et al, 2011].
Lo anterior conlleva a que el contenedor se dividirá en espacios disponibles para la
ubicación de cajas, en donde éstas van a ir siendo ubicadas primero hacia lo ancho
( ), luego hacia lo largo ( ) y por último hacia lo alto ( ). Esto se hace con el
propósito de cumplir con las restricciones 2 y 3 formuladas en el modelo
matemático.
A continuación se muestra una representación gráfica para una instancia de 24
cajas, en donde resultan tres espacios disponibles hacia lo ancho, dos espacios
hacia lo largo (lo que implicaría que en cada nivel se pueden colocar seis cajas) y
cuatro cajas hacia lo alto.
35
Ilustración 4: Representación gráfica de un contenedor.
4.3.1.3 Validación de peso
Es necesario validar la restricción 4 del modelo matemático con el propósito de
saber si una caja puede ir en cierta posición. Esta restricción exige que las cajas
que se encuentran en un nivel deben resistir el peso de las cajas que se ubiquen
directamente sobre ella en niveles , con . Al momento de intentar almacenar
una nueva caja dentro del contenedor, se verifica que el peso de esta, no exceda el
peso que pueden soportar las cajas que estarían ubicadas directamente de ella.
Adicionalmente, se revisa también que el peso total de las cajas almacenadas no
supere la capacidad de carga del contenedor. Aquellas cajas que no pudieron ser
ubicadas en una primera validación, se intentan colocar después de que hayan sido
evaluadas las cajas restantes. En caso de que estas no puedan ser ubicadas, son
descartadas. Para finalizar, se calcula su función objetivo.
4.3.1.4 Ejemplo de llenado de contenedor
Con el ánimo de dar un ejemplo de la estrategia de empaquetamiento suponga una
situación en la cual se reciben 24 cajas para transportar y, dado el tamaño de las
cajas, en cada nivel del contenedor pueden almacenarse 6 cajas. Asumiendo que
las posiciones disponibles del primer nivel ya han sido ocupadas, se quiere ubicar la
séptima caja como muestra la siguiente figura:
( 1, 0, 0 )
( 0, 1, 0 )
( 0, 0, 0 )
( 0, 0, 1 )
k
l
j
36
Ilustración 5: Validación de peso
Teniendo en cuenta las condiciones de ubicación antes descritas, bajo este caso la
caja que se desea ubicar (identificada con el número 18), estaría colocada en la
primera posición a lo ancho y a lo largo. Para validar la ubicación, el algoritmo crea
un nuevo vector con aquellas cajas que tienen igual ubicación en el ancho y largo
del contenedor (coordenadas mostradas en la ilustración 4) y se comprueba
que el peso de la caja a ser ubicada pueda ser soportado por las cajas que se
encuentra en los niveles inferiores, como se muestra a continuación:
Ilustración 6: Ejemplo de vector para validación de peso
Bajo la situación representada anteriormente, suponga que ahora se desea llenar el
tercer nivel del contenedor, en este caso se debe validar si la caja ubicada en la
parte inferior puede soportar el peso de dos cajas y la caja ubicada en el segundo
nivel puede soportar el peso de una caja encima, tal y como se muestra en la
siguiente figura:
37
Ilustración 7: Segundo ejemplo validación de peso
A partir de la ubicación de las cajas se procede al cálculo de la deformación de
acuerdo a lo planteado en [García et al., 2011] y al porcentaje de ocupación del
contenedor, a continuación se muestra un ejemplo del cálculo de dichos valores:
38
Tabla 2: Ejemplo de cálculo de la función objetivo
4.3.1.5 Generación de la Población Inicial
Para la creación de una población inicial, se repite la estrategia de
empaquetamiento para cada individuo pero generando un factor de ponderación de
manera aleatoria, en donde: { | } para cada uno, esto con el fin
de calcular diferentes valores de la función Cobb-Douglas para cada caja en cada
individuo, con el propósito de dar una organización diferente a cada uno de los
contenedores.
39
Ilustración 8: Pseudocódigo generación de población inicial.
4.3.2 Operación de cruce.
Luego de generar la población inicial, se realiza una selección de las parejas que
van a ser sujetos de la operación de cruce. La mitad de la población son padres y la
segunda mitad son madres. Se determinó para el cruce de individuos el criterio de
selección aleatoria de un único punto de corte para cada pareja de contenedores
Padre y Madre. Estos son recombinados para la creación de un contenedor distinto.
Las ilustraciones 9 y 10 ejemplifican el proceso de cruce en donde las cajas se
pueden identificar mediante un código de colores que representan aquellas
pertenecientes al contenedor Padre (Azul) y Madre (Verde). Posteriormente el hijo
resultante se forma por los colores que se encuentran antes del punto de corte
(punto de cruce) para el padre y cajas pertenecientes al contenedor madre ubicadas
después del punto de corte, tal y como se muestra a continuación:
40
Ilustración 9: Representación gráfica de un cruce
Ilustración 10: Representación de un cruce por medio de vectores, donde la línea
representa la posición de corte.
Claro está que hay casos en que este procedimiento puede generar contenedores
con cajas repetidas, en caso tal de que esto ocurra la caja repetida se reemplaza
por una caja faltante derivada de una comparación realizada entre el Hijo y el
contenedor padre. En el caso anteriormente mostrado para un contenedor formado
por seis cajas
41
Ilustración 11: Representación de cruce con procedimiento de corrección para cajas
repetidas
Por último se evalúan las restricciones y la función objetivo para cada uno de los
contenedores “Hijos” que se generen a partir del cruce.
Ilustración 12: Pseudocódigo procedimiento de cruce
42
4.3.3 Operación de mutación.
En el caso particular de esta tesis, la mutación se genera a partir de dos individuos
en la generación seleccionada para este procedimiento. Se eligen los contenedores
Padre y Madre para someterlos al proceso de cruce y así crear dos contenedores
Hijos, posteriormente se genera aleatoriamente un nuevo punto de corte, se realiza
nuevamente el cruce pero utilizando los contenedores derivados del proceso
anterior (contenedores Hijos) dando como resultado el individuo mutado. Para
garantizar una solución distinta a “Padre” o “Madre”, el cruce de este individuo se
realiza con un punto de corte distinto así como se muestra en la ilustración 13. De
igual forma se realiza la validación de las cajas repetidas.
El proceso de mutación se realiza de manera periódica (intervalo entre iteraciones) y
ayuda a garantizar una variabilidad en las soluciones obtenidas en el proceso de
cruce. Por último se evalúa la función objetivo para las mutaciones y se seleccionan
los mejores cromosomas que pasan a la siguiente generación entre Padres, Madres
e Hijos.
Ilustración 13: Representación de una mutación por medio de vectores, la línea representa
el corte
43
Ilustración 14: Representación gráfica de la mutación.
Ilustración 15: Pseudocódigo proceso de mutación.
4.3.4 Procedimiento completo del algoritmo genético.
Los procesos descritos anteriormente corresponden a una generación conformada
por un conjunto de posibles soluciones al problema de carga de contenedores, en
donde se seleccionan los mejores elementos que pasarán a la siguiente generación.
44
A continuación se muestra un ejemplo gráfico en donde se ilustra el procedimiento
general del algoritmo genético:
Ilustración 16: Selección de la población.
El siguiente es el procedimiento del método de solución propuesto:
Ilustración 17: Pseudocódigo del algoritmo genético propuesto
45
4.3.5 Evaluación del centro de gravedad (CG).
Luego de ser generada la solución final a partir del Algoritmo genético se procede al
cumplimiento de la restricción 6 del modelo matemático. Para entender a fondo esta
parte de la solución suponga que se cuenta con un contenedor de la instancia de 24
cajas, como el que se encuentra mostrado en la figura 3. Para este contenedor
propuesto se subdivide en secciones o muros a lo largo, como se muestra en la
siguiente figura:
Ilustración 18: Representación de división del contenedor
A partir de dicha división, a cada sección se le calcula su peso y la distancia del
centro de dicho muro al origen, con el propósito de obtener el desvío del centro de
gravedad de la organización de cajas final con respecto al centro geométrico del
contenedor medido hacia lo largo con base en lo expuesto en [García et al., 2011],
pero dicho cálculo correspondería a una posible ubicación de los muros en que se
encuentra dividido el contenedor, por lo que se calculan todos los desvíos de centro
de gravedad posibles para todas las combinaciones posibles de ubicaciones de
cada uno de los muros, en donde se escoge aquel desvío más cercano a cero (0).
k
l
j
46
Ilustración 19: Pseudocódigo evaluación del centro de gravedad
5. RESULTADOS COMPUTACIONALES.
El algoritmo genético propuesto fue implementado en Dev C++ versión 4.9.9.2. Las
instancias establecidas en [García et al., 2011] fueron ejecutadas en un PC con
procesador Intel CORE i3, 2.GB RAM en el sistema operativo Windows 7.
Teniendo en las metodologías encontradas en los antecedentes se prepone un AG
que sirva para comprar las variables del valor objetivo de la función y el desvío del
centro de gravedad con respecto a los resultados arrojados por la investigación
encontrada en [García et al, 2011], esta comparación se realiza bajo las instancias
de 24 y 72 cajas. Adicionalmente se analiza el comportamiento del tiempo de
ejecución del programa.
5.1 ANÁLISIS ESTADÍSTICO INSTANCIA 24 CAJAS
Con el propósito de comparar los resultados de ambas metodologías es pertinente
observar el comportamiento de los resultados obtenidos bajo la metodología del
algoritmo genético. Se realizan una serie de pruebas estadísticas para diferentes
ejecuciones del AG en las cuales se tiene una población inicial de 50 individuos,
bajo los parámetros de prueba de 500, 1000, 2000, 3000 y 4000 generaciones, en
donde se toma un intervalo de mutación de cada 10 generaciones, estas
consideraciones fueron tomadas del articulo [TANG, 2011].
En resumen se obtienen los siguientes resultados
UTILIZACIÓN DEL ESPACIO EN EL CONTENEDOR
DISTANCIA DEL COG DEL CONTENEDOR CARGADO
Número de cajas
Número de generaciones
Tiempo promedio de ejecución (s)
Mínimo Máximo Promedio Mínimo Máximo Promedio
24
500 9 83,47% 86,00% 84,95% 5,5876 22,3214 17,5047
1000 13 83,14% 86,03% 84,82% 2,5876 22,3214 13,1086
2000 19 83,26% 85,94% 84,89% 5,5876 22,3214 13,1086
3000 26 82,50% 86,06% 84,58% 5,5876 22,3214 15,0762
4000 34 82,60% 86,04% 84,65% 5,5876 22,3214 16,0331
47
Tabla 3: Resumen de resultados para la instancia de 24 Cajas.
5.1.1 Variable de estudio: valor obtenido de la función objetivo.
Se analizan los resultados de deformación obtenidos bajo los diferentes parámetros
del AG, primero se validan los supuestos del modelo para determinar qué prueba
estadística realizar.
5.1.1.1 Homogeneidad de varianzas
Se establece si los resultados de cada nivel tienen igual varianza, para esto se
aplica la prueba de Levene.
Prueba de homogeneidad de varianzas
Zfo
Estadístico de
Levene gl1 gl2 Sig.
9,948 4 2495 ,000
Tabla 4: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza de los valores obtenidos de la
función objetivo en niveles del AG en la instancia de 24 cajas.
Mediante la prueba de Levene, se muestra evidencia estadística de no
homogeneidad entre las varianzas para las diferentes generaciones del AG con un
intervalo de confianza del 95%.
5.1.1.2 Normalidad de residuos
La normalidad de los residuos debe probarse para cada uno de los grupos o
subpoblaciones, pero al menos que los grupos sean muy grandes, es suficiente la
prueba de normalidad en conjunto, sobre todo si los grupos tienen varianzas
similares [Díaz, 2009]. Dado que no se cumple el supuesto de homogeneidad de
varianza se verifica la normalidad de los residuos para cada uno de los grupos, para
lo anterior se hace uso del estadístico Kolglomorov-Smirnov.
Nivel: 500 Generaciones
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
48
Residuo
estandarizado
para Zfo
N 500
Parámetros normalesa,b Media ,0000
Desviación típica ,89673
Diferencias más
extremas
Absoluta ,115
Positiva ,115
Negativa -,091
Z de Kolmogorov-Smirnov 2,560
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. Grupos = 500
Nivel: 1000 Generaciones
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
Residuo
estandarizado
para Zfo
N 500
Parámetros normalesa,b Media ,0000
Desviación típica 1,03524
Diferencias más
extremas
Absoluta ,129
Positiva ,129
Negativa -,090
Z de Kolmogorov-Smirnov 2,894
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. Grupos = 1000
Nivel: 2000 Generaciones
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
49
Residuo
estandarizad
o para Zfo
N 500
Parámetros normalesa,b Media ,0000
Desviación típica ,92867
Diferencias más
extremas
Absoluta ,117
Positiva ,117
Negativa -,098
Z de Kolmogorov-Smirnov 2,619
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. Grupos = 2000
Nivel: 3000 Generaciones
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
Zfo
N 500
Parámetros normalesa,b Media -
2,5548E
7
Desviación típica 2,86701
E5
Diferencias más
extremas
Absoluta ,135
Positiva ,135
Negativa -,090
Z de Kolmogorov-Smirnov 3,010
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. Grupos = 3000
Nivel: 4000 Generaciones
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
50
Residuo
estandarizad
o para Zfo
N 500
Parámetros normalesa,b Media ,0000
Desviación típica 1,03632
Diferencias más
extremas
Absoluta ,131
Positiva ,131
Negativa -,081
Z de Kolmogorov-Smirnov 2,924
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. Grupos = 4000
Tabla 5: Pruebas de Normalidad para los residuos de los parámetros 500, 1000, 2000, 3000
y 4000 generaciones.
Dadas la prueba aplicada, se muestra evidencia bajo un nivel de confianza del 95%
de que los residuos de los niveles no tienen distribución normal.
5.1.1.3 Prueba estadística
Dado el incumplimiento de los supuestos de normalidad de residuos y
homogeneidad de varianzas en los datos arrojados existen al menos tres maneras
de solucionar o minimizar el problema de la situación anteriormente descrita: 1.
utilizar métodos de análisis no paramétricos, que no requieren suposiciones de
normalidad y varianza constante 2. hacer análisis mediante modelos lineales
generalizados 3. hacer análisis sobre la respuesta transformada a una escala en
que los supuestos se cumplan [Gutiérrez, H. y De La Vara, R., 2003]. Teniendo
como patrón la metodología aplicada en [García et al, 2011] se realiza un método de
análisis no paramétrico aplicando la prueba estadística de Tamhane para analizar la
diferencia de medias entre los diferentes tratamientos, cuyos resultados fueron:
Comparaciones múltiples
Zfo
Tamhane
51
(I) Grupos (J) Grupos Diferencia de
medias (I-J) Error típico Sig.
Intervalo de confianza al 95%
Límite inferior Límite superior
dimension2
500
dimension3
1000 -38754,66000 16113,03860 ,152 -83967,2461 6457,9261
2000 -17323,84000 15187,58389 ,947 -59937,8267 25290,1467
3000 -12997,70000 16603,95774 ,997 -59589,5176 33594,1176
4000 -15088,34000 16122,58896 ,986 -60327,7533 30151,0733
1000
dimension3
500 38754,66000 16113,03860 ,152 -6457,9261 83967,2461
2000 21430,82000 16361,55683 ,879 -24478,2190 67339,8590
3000 25756,96000 17684,15251 ,793 -23862,1637 75376,0837
4000 23666,32000 17232,98327 ,845 -24686,6065 72019,2465
2000
dimension3
500 17323,84000 15187,58389 ,947 -25290,1467 59937,8267
1000 -21430,82000 16361,55683 ,879 -67339,8590 24478,2190
3000 4326,14000 16845,23498 1,000 -42941,4683 51593,7483
4000 2235,50000 16370,96221 1,000 -43699,9523 48170,9523
3000
dimension3
500 12997,70000 16603,95774 ,997 -33594,1176 59589,5176
1000 -25756,96000 17684,15251 ,793 -75376,0837 23862,1637
2000 -4326,14000 16845,23498 1,000 -51593,7483 42941,4683
4000 -2090,64000 17692,85483 1,000 -51734,1695 47552,8895
4000
dimension3
500 15088,34000 16122,58896 ,986 -30151,0733 60327,7533
1000 -23666,32000 17232,98327 ,845 -72019,2465 24686,6065
2000 -2235,50000 16370,96221 1,000 -48170,9523 43699,9523
3000 2090,64000 17692,85483 1,000 -47552,8895 51734,1695
Tabla 6: Prueba estadística de Tamhane, instancia 24 cajas.
Bajo un nivel de confianza del 95%, se concluye que los resultados de los diferentes
parámetros del AG no presentan diferencia significativa, lo anterior debido a que las
significancias de las diferentes comparaciones son mayores a 0,05. Por
consiguiente se toman 1000 individuos de manera aleatoria de los resultados
obtenidos en los distintos parámetros para comparar los resultados del presente
trabajo frente la meta-heurística GRASP.
52
5.1.2 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP: valor
obtenido de la función objetivo.
A partir del análisis de resultados realizado al valor de la función objetivo para la
instancia de 24 cajas, se continúa a la comparación de resultados de ambas
metodologías. Se toman los mejores resultados de la metodología GRASP con un
frente a los 1000 elementos tomados aleatoriamente de los parámetros
del algoritmo genético.
5.1.2.1 Homogeneidad de varianzas
Se valida si los resultados de cada metodología presentan homogeneidad de
varianzas.
Prueba de homogeneidad de varianzas
ZFO
Estadístico de
Levene gl1 gl2 Sig.
2800,980 1 1998 ,000
Tabla 7: Prueba de Levene de Homogeneidad de Varianza.
A partir de la prueba de homogeneidad de varianza realizada a los datos arrojados
por el AG y el GRASP con un intervalo de confianza del 95%, se muestra que estos
presentan varianza heterogénea.
5.1.2.2 Normalidad de residuos
La normalidad de los residuos debe probarse para cada uno de los grupos o
subpoblaciones, pero al menos que los grupos sean muy grandes, es suficiente la
prueba de normalidad en conjunto, sobre todo si los grupos tienen varianzas
similares [Díaz 2009]. Dado que el supuesto de homogeneidad de varianza no se
cumple, se verifica la normalidad de los residuos para cada uno de los grupos, para
lo anterior se hace uso del estadístico Kolglomorov-Smirnov.
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
53
ErrorZFO
N 1000
Parámetros normalesa,b
Media ,000
Desviación típica 1,41108
Diferencias más extremas Absoluta ,121
Positiva ,121
Negativa -,083
Z de Kolmogorov-Smirnov 3,824
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. MetaHeurística = 1,00
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
ErrorZFO
N 1000
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica ,09409
Diferencias más extremas Absoluta ,164
Positiva ,099
Negativa -,164
Z de Kolmogorov-Smirnov 5,198
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. MetaHeurística = 2,00
Tabla 8: Pruebas de normalidad de residuos para Metodologías AG y GRASP.
Se aplica una prueba Kolmogorov-Smirnov a los niveles del factor, dicha prueba
aplicada muestra evidencia bajo un intervalo de confianza del 95% que los residuos
no presentan distribución normal.
5.1.2.3 Prueba estadística
Dada la no homogeneidad de varianzas y el hecho de que los residuos no se
distribuyen de manera normal, adicionalmente teniendo en cuenta que se están
comparando únicamente dos niveles, se aplica la prueba estadística U de Mann-
54
Whitney en aras de comparar los resultados de los tratamientos [Alvarado, J. y
Obagi, J., 2008]. Para efectos de comparación de las metodologías presentadas, se
usa el numeral 1 para los resultados del AG y 2 para los resultados del GRASP.
Rangos
MetaHeurística
N
Rango
promedio
Suma de
rangos
COG
dimension1
1,00 1000 1500,50 1500500,00
2,00 1000 500,11 500500,00
Total 2000
Estadísticos de contrastea
ZFO
U de Mann-Whitney ,000
W de Wilcoxon 501500,000
Z -38,722
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. Variable de agrupación:
MetaHeurística
Tabla 9: Prueba estadística U de Mann-Whitney de los valores obtenidos de la función
objetivo bajo las metodologías AG y GRASP.
Ilustración 20: Diagrama de caja y bigotes de resultados de metodologías AG y GRASP en
la instancia de 24 cajas.
55
En un intervalo de confianza del 95%, se concluye que los resultados de las
diferentes metodologías presentan diferencia significativa en la instancia de 24
cajas, por lo tanto se puede concluir teniendo en cuenta las tabla de resumen de
resultados y el diagrama de caja y bigotes que las soluciones dadas por el GRASP
descritas en [García et al., 2011] con un son mejores en cuanto a
porcentaje de ocupación que las arrojadas por el AG.
5.1.3 Variable de estudio: desvío del centro de gravedad.
Se analizan los resultados obtenidos de la desviación del centro de gravedad con
respecto al centro geométrico del contenedor con respecto a su largo bajo los
diferentes parámetros del AG, primero se validan los supuestos del modelo para
determinar que prueba estadística realizar.
5.1.3.1 Homogeneidad de varianzas
Se establece si los resultados para cada variación del número de las generaciones
tienen igual varianza.
Prueba de homogeneidad de varianzas
DesvíoGOG
Estadístico de
Levene gl1 gl2 Sig.
88,612 4 2495 ,000
Tabla 10: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para el desvío del centro de
gravedad, instancia 24 cajas.
Mediante la prueba de Levene presentada en la tabla 10 se evidencia que el valor p
es menor a 0,05 por lo tanto es posible afirmar que no se cumple el supuesto de
homogeneidad de varianza.
56
5.1.3.2 Normalidad de residuos
La normalidad de los residuos debe probarse para cada uno de los grupos o
subpoblaciones, pero al menos que los grupos sean muy grandes, es suficiente la
prueba de normalidad en conjunto, sobre todo si los grupos tienen varianzas
similares [Díaz 2009]. Debido a que se presenta heteroscedasticidad en las
varianzas se verifica la normalidad de los residuos para cada uno de los grupos,
para lo anterior se hace uso del estadístico Kolglomorov-Smirnov, como se muestra
a continuación:
Nivel: 500 Generaciones
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
Residuo
estandarizado
para
DesvíoGOG
N 500
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica ,93087
Diferencias más
extremas
Absoluta ,223
Positiva ,143
Negativa -,223
Z de Kolmogorov-Smirnov 4,986
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. Grupos = 500
Nivel: 1000 Generaciones
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
Residuo
estandarizado
para
DesvíoGOG
N 500
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
57
Desviación típica 1,29599
Diferencias más
extremas
Absoluta ,186
Positiva ,186
Negativa -,150
Z de Kolmogorov-Smirnov 4,162
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. Grupos = 1000
Nivel: 2000 Generaciones
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
Residuo
estandarizado
para
DesvíoGOG
N 500
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica 1,10158
Diferencias más
extremas
Absoluta ,182
Positiva ,124
Negativa -,182
Z de Kolmogorov-Smirnov 4,061
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. Grupos = 2000 Nivel 3000 Generaciones:
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
Residuo
estandarizado
para
DesvíoGOG
N 500
58
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica ,91747
Diferencias más
extremas
Absoluta ,204
Positiva ,204
Negativa -,161
Z de Kolmogorov-Smirnov 4,565
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. Grupos = 3000
Nivel 4000 Generaciones:
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
Residuo
estandarizado
para
DesvíoGOG
N 500
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica ,63139
Diferencias más
extremas
Absoluta ,306
Positiva ,306
Negativa -,123
Z de Kolmogorov-Smirnov 6,846
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. Grupos = 4000 Tabla 11: Pruebas de normalidad de residuos para cada nivel de AG para datos del desvío
del centro de gravedad, instancia 24 cajas.
Teniendo en cuenta la prueba Kolmogorov-Smirnov aplicada a los niveles del
factor, se muestra bajo un nivel de confianza del 95% de que los residuos de cada
tratamiento no presentan distribución normal.
59
5.1.3.3 Prueba estadística
Dado el incumplimiento de los supuestos de normalidad de residuos y
homogeneidad de varianzas en los datos existen al menos tres maneras de
solucionar o minimizar el problema de falta normalidad y varianza heterogénea de
residuos: 1. utilizar métodos de análisis no paramétricos, que no requieren
suposiciones de normalidad y varianza constante 2. hacer análisis mediante
modelos lineales generalizados 3. hacer análisis sobre la respuesta transformada a
una escala en que los supuestos se cumplan [Gutiérrez, H. y De La Vara, R., 2003].
Teniendo como patrón la metodología aplicada en [García et al, 2011] se aplica la
prueba estadística de Tamhane para analizar la diferencia de medias entre los
diferentes tratamientos.
Comparaciones múltiples
DesvíoGOG
Tamhane
(I) Grupos (J) Grupos Diferencia de
medias (I-J) Error típico Sig.
Intervalo de confianza al 95%
Límite inferior Límite superior
dimension2
500
dimension3
1000 4,39617* ,34037 ,000 3,4409 5,3514
2000 1,67277* ,30764 ,000 ,8095 2,5360
3000 2,42858* ,27880 ,000 1,6463 3,2108
4000 1,47168* ,23993 ,000 ,7983 2,1451
1000
dimension3
500 -4,39617* ,34037 ,000 -5,3514 -3,4409
2000 -2,72341* ,36282 ,000 -3,7415 -1,7053
3000 -1,96760* ,33871 ,000 -2,9182 -1,0170
4000 -2,92449* ,30751 ,000 -3,7881 -2,0609
2000
dimension3
500 -1,67277* ,30764 ,000 -2,5360 -,8095
1000 2,72341* ,36282 ,000 1,7053 3,7415
3000 ,75581 ,30581 ,128 -,1023 1,6139
4000 -,20109 ,27084 ,998 -,9615 ,5593
3000
dimension3
500 -2,42858* ,27880 ,000 -3,2108 -1,6463
1000 1,96760* ,33871 ,000 1,0170 2,9182
2000 -,75581 ,30581 ,128 -1,6139 ,1023
4000 -,95690* ,23757 ,001 -1,6237 -,2901
4000
dimension3
500 -1,47168* ,23993 ,000 -2,1451 -,7983
1000 2,92449* ,30751 ,000 2,0609 3,7881
2000 ,20109 ,27084 ,998 -,5593 ,9615
60
3000 ,95690* ,23757 ,001 ,2901 1,6237
*. La diferencia de medias es significativa al nivel 0.05.
Tabla 12: Prueba de Tamhane para diferencia de medias para datos de desvío de centro de
gravedad.
En un intervalo de confianza del 95%, se concluye que el mejor valor del desvío del
centro de gravedad se obtiene en el parámetro de 1000 generaciones. Por ende se
utiliza dicho parámetro para comparar los resultados del algoritmo genético frente a
la meta-heurística GRASP.
5.1.4 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP:
desvío del centro de gravedad.
A partir del análisis de resultados realizado al desvío del centro de gravedad para la
instancia de 24 cajas, se continúa con la comparación de resultados de ambas
metodologías. Se toman los mejores resultados de la metodología GRASP con un
frente a los resultados arrojados por el algoritmo genético con 1000
generaciones. Primero se validan los supuestos con el ánimo de determinar la
prueba estadística a realizar.
5.1.4.1 Homogeneidad de varianzas
Se valida si el tratamiento con cada metodología posee igual varianza.
Prueba de homogeneidad de varianzas
COG
Estadístico de
Levene gl1 gl2 Sig.
389,367 1 1998 ,000
Tabla 13: Prueba de Levene Homogeneidad de varianza Instancia 24 cajas Metodología AG y GRASP.
Mediante la prueba de Levene, se muestra evidencia estadística de no
homogeneidad entre las varianzas para los valores del AG y GRASP con un
intervalo de confianza del 95%.
61
5.1.4.2 Normalidad de residuos
La normalidad de los residuos debe probarse para cada uno de los grupos o
subpoblaciones, pero al menos que los grupos sean muy grandes, es suficiente la
prueba de normalidad en conjunto, sobre todo si los grupos tienen varianzas
similares [Díaz 2009]. Debido a la no homogeneidad de las varianzas, se verifica la
normalidad de los residuos para cada uno de los grupos, para lo anterior se hace
uso del estadístico Kolglomorov-Smirnov.
Algoritmo genético
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
ErrorCOG
N 1000
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica 1,29511
Diferencias más extremas Absoluta ,148
Positiva ,128
Negativa -,148
Z de Kolmogorov-Smirnov 4,679
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. MetaHeurística = 1,00
Meta-heurística GRASP
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac
ErrorCOG
N 1000
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica ,56807
Diferencias más extremas Absoluta ,128
Positiva ,128
Negativa -,099
Z de Kolmogorov-Smirnov 4,035
62
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
c. MetaHeurística = 2,00
Tabla 14: Pruebas de normalidad de residuos para los datos arrojados por el AG y GRASP
para desvío de centro de gravedad.
La prueba aplicada sobre cada nivel, muestra evidencia bajo un nivel de confianza
del 95% que los residuos no presentan distribución normal.
5.1.4.3 Prueba estadística
Dada la heteroscedasticidad de varianzas y la no normalidad de residuos, además
teniendo en cuenta que se están comparando únicamente dos niveles, se aplica la
prueba estadística U de Mann-Whitney en aras de comparar los resultados de los
tratamientos [Alvarado, J. y Obagi, J., 2008]. Para efectos de comparación de las
metodologías presentadas, se usa el numeral 1 para los resultados del AG y 2 para
los resultados del GRASP donde el valor 1 representa el AG y el valor 2 representa
GRASP.
Rangos
MetaHeurística
N
Rango
promedio
Suma de
rangos
COG
dimension1
1,00 1000 1464,89 1464889,00
2,00 1000 536,11 536111,00
Total 2000
Estadísticos de contrastea
COG
U de Mann-Whitney 35611,000
W de Wilcoxon 536111,000
Z -36,020
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. Variable de agrupación:
MetaHeurística
Tabla 15: Prueba estadística U de Mann-Whitney para desvío de centro de gravedad.
63
Ilustración 21: Diagrama de caja y bigotes de desvío de centro de gravedad para
metodologías AG y GRASP, instancia de 24 cajas.
En un nivel de confianza del 95%, se concluye que los resultados arrojados por la
prueba U Mann-Whitney indica que las diferentes metodologías AG y GRASP
presentan diferencia significativa de medias, en consecuencia se puede concluir que
la metodología GRASP ofrece mejores resultados, teniendo en cuenta la tabla de
resumen de resultados y el diagrama de caja y bigotes encontrados en esta tesis
para el GA y en [García et al., 2011] para él GRASP.
5.1.5 Variable de estudio: tiempo de ejecución del programa.
A raíz de los diferentes tiempos obtenidos a lo largo de cada muestra del algoritmo
genético, se procede a una descripción del comportamiento de esta variable.
Descriptivos
Grupos Estadístico Error típ.
Tiempo 500 Media 9,1860 ,07431
Intervalo de confianza
para la media al 95%
Límite inferior 9,0400
Límite superior 9,3320
Media recortada al 5% 9,1511
Mediana 9,0000
64
Varianza 2,761
Desv. típ. 1,66160
Mínimo 7,00
Máximo 12,00
Rango 5,00
Amplitud intercuartil 2,00
Asimetría ,297 ,109
Curtosis -1,101 ,218
1000 Media 12,6820 ,11205
Intervalo de confianza
para la media al 95%
Límite inferior 12,4619
Límite superior 12,9021
Media recortada al 5% 12,6467
Mediana 12,0000
Varianza 6,277
Desv. típ. 2,50548
Mínimo 9,00
Máximo 17,00
Rango 8,00
Amplitud intercuartil 4,00
Asimetría ,201 ,109
Curtosis -1,168 ,218
2000 Media 18,5180 ,09665
Intervalo de confianza
para la media al 95%
Límite inferior 18,3281
Límite superior 18,7079
Media recortada al 5% 18,5200
Mediana 18,0000
Varianza 4,671
Desv. típ. 2,16125
Mínimo 15,00
Máximo 22,00
Rango 7,00
Amplitud intercuartil 3,00
Asimetría ,051 ,109
Curtosis -1,197 ,218
65
3000 Media 25,9120 ,10552
Intervalo de confianza
para la media al 95%
Límite inferior 25,7047
Límite superior 26,1193
Media recortada al 5% 25,9022
Mediana 26,0000
Varianza 5,567
Desv. típ. 2,35953
Mínimo 22,00
Máximo 30,00
Rango 8,00
Amplitud intercuartil 4,00
Asimetría ,013 ,109
Curtosis -,986 ,218
4000 Media 33,7260 ,15149
Intervalo de confianza
para la media al 95%
Límite inferior 33,4284
Límite superior 34,0236
Media recortada al 5% 33,7511
Mediana 34,0000
Varianza 11,474
Desv. típ. 3,38731
Mínimo 28,00
Máximo 39,00
Rango 11,00
Amplitud intercuartil 6,00
Asimetría -,096 ,109
Curtosis -1,174 ,218
Tabla 16: Estadístico descriptivos para los valores de Tiempo de ejecución en la instancia de
24 cajas.
66
67
Ilustración 22: Gráficos descriptivos para el tiempo de ejecución del programa para 24
cajas.
Según los histogramas generados para los tiempos de ejecución del programa a
diferentes variaciones de número de generaciones muestran: el parámetro de 500
generaciones indica que la mayor frecuencia se encuentra en el rango de 8
segundos es 107 de forma contraria el menor valor encontrado está en 11 segundos
con una frecuencia de 58.
El parámetro de 1000 generaciones indica que la mayor frecuencia se encuentra en
los rangos de 14 y 15 segundos cuyo valor es 107 de forma contraria el menor valor
encontrado está en los rangos 9 y 11 segundos cuyo valor es de 19.
El parámetro de 2000 generaciones indica que la mayor frecuencia se encuentra en
el rango de 16 segundos cuyo valor es 76 de forma contraria el menor valor
encontrado está en el rango 15 segundos cuyo valor es de 38.
El parámetro de 3000 generaciones indica que la mayor frecuencia se encuentra en
el rango de 26 segundos cuyo valor es 78 de forma contraria el menor valor
encontrado está en los rangos 22 y 29 segundos cuyo valor es de 45.
El parámetro de 4000 generaciones indica que la mayor frecuencia se encuentra en
el rango de 36 segundos cuyo valor es 48 de forma contraria el menor valor
encontrado está en los rangos 28 segundos cuyo valor es de 34.
68
Ilustración 23: Diagrama de Caja y bigotes del tiempo de ejecución del programa para 24
cajas.
En la gráfica se observa una tendencia creciente en el aglomerado de los datos de
acuerdo a los parámetros, lo cual indica que se tardan más segundos el código en
arrojar un resultado a medida que el número de generaciones aumenta.
5.2 ANÁLISIS ESTADÍSTICO INSTANCIA 72 CAJAS
Con el propósito de comparar los resultados de ambas metodologías es pertinente
observar el comportamiento de los resultados obtenidos bajo el algoritmo genético.
Se diseña un experimento basándonos en el documento de [TANG, 2011 ], en el
cual se considera una población inicial de 50 individuos, bajo parámetros de prueba
de 500, 1000, 2000, 3000 y 4000 generaciones, en donde se toma un intervalo de
mutación de cada 10 generaciones.
En resumen se obtienen los siguientes resultados:
UTILIZACIÓN DEL ESPACIO EN EL CONTENEDOR
DISTANCIA DEL COG DEL CONTENEDOR CARGADO
Número de cajas
Número de generaciones
Tiempo promedio de ejecución (s)
Mínimo Máximo Promedio Mínimo Máximo Promedio
72
500 22,9261477 78,75% 78,91% 78,82% 0,000268 0,003372 0,000677
1000 40,112 78,75% 78,94% 78,84% 0,000268 0,789402 0,788415
2000 64,8697395 78,76% 78,91% 78,83% 0,000115 0,011364 0,000726
3000 92,5903614 78,75% 78,92% 78,84% 0,000114 0,001548 0,000727
4000 116,551308 78,77% 79,01% 78,88% 0,000114 0,003372 0,000786
69
Tabla 17: Resumen de resultados obtenidos en la instancia de 72 cajas.
5.2.1 Variable de estudio: valor obtenido de la función objetivo.
Se analiza los resultados de deformación obtenidos bajo los diferentes parámetros,
primero se validan los supuestos del experimento para determinar la prueba
estadística a realizar.
5.2.1.1 Homogeneidad de varianzas
Se establece si los resultados para cada variación del número de las generaciones
poseen igual varianza.
Prueba de homogeneidad de varianzas
ZFO
Estadístico de
Levene gl1 gl2 Sig.
59,929 4 2500 ,000
Tabla 18: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza de los valores obtenidos de la
función objetivo en niveles del AG en la instancia de 72 cajas.
A partir de la prueba de varianza realizada bajo un intervalo de confianza del 95%,
se concluye que no hay homogeneidad de varianzas.
5.2.1.2 Normalidad de residuos
La normalidad de los residuos debe probarse para cada uno de los grupos o
subpoblaciones, pero al menos que los grupos sean muy grandes, es suficiente la
prueba de normalidad en conjunto, sobre todo si los grupos tienen varianzas
similares [Díaz 2009]. Dada la heteroscedasticidad de las varianzas, la prueba de
normalidad de residuos se aplica independientemente para cada tratamiento, para lo
anterior se hace uso del estadístico Kolglomorov-Smirnov.
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra
Instancia Residuo
estandarizado
para ZFO
500 N 501
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica ,86512
70
Diferencias más extremas Absoluta ,065
Positiva ,062
Negativa -,065
Z de Kolmogorov-Smirnov 1,456
Sig. asintót. (bilateral) ,029
1000 N 501
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica 1,03020
Diferencias más extremas Absoluta ,045
Positiva ,045
Negativa -,043
Z de Kolmogorov-Smirnov 1,000
Sig. asintót. (bilateral) ,270
2000 N 501
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica ,78000
Diferencias más extremas Absoluta ,042
Positiva ,042
Negativa -,035
Z de Kolmogorov-Smirnov ,943
Sig. asintót. (bilateral) ,337
3000 N 501
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica ,91773
Diferencias más extremas Absoluta ,052
Positiva ,052
Negativa -,044
Z de Kolmogorov-Smirnov 1,165
Sig. asintót. (bilateral) ,132
4000 N 501
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica 1,31895
Diferencias más extremas Absoluta ,064
Positiva ,051
Negativa -,064
71
Z de Kolmogorov-Smirnov 1,442
Sig. asintót. (bilateral) ,031
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
Tabla 19: Pruebas de Normalidad de residuos para los parámetros 500, 1000, 2000, 3000 y
4000 generaciones, instancia 72 cajas.
Se aplica una prueba Kolmogorov-Smirnov a los niveles del factor, dicha prueba
aplicada muestra evidencia de que los residuos de los tratamientos de 1000, 2000 y
3000 generaciones tienen distribución normal, caso contrario ocurre con los niveles
de 500 y 4000 generaciones.
5.2.1.3 Prueba estadística
Debido al el incumplimiento de los supuestos anteriormente descritos, existen al
menos tres maneras de solucionar o minimizar el problema de falta normalidad y
varianza heterogénea de residuos: 1. utilizar métodos de análisis no paramétricos,
que no requieren suposiciones de normalidad y varianza constante 2. hacer análisis
mediante modelos lineales generalizados 3. hacer análisis sobre la respuesta
transformada a una escala en que los supuestos se cumplan [Gutiérrez, H. y De La
Vara, R., 2003]. Teniendo como patrón la metodología aplicada en [García et al,
2011] se aplica la prueba estadística de Tamhane para analizar la diferencia de
medias entre los diferentes tratamientos, cuyos resultados fueron:
Comparaciones múltiples
ZFO
Tamhane
(I) Instancia (J) Instancia Diferencia de
medias (I-J) Error típico Sig.
Intervalo de confianza al 95%
Límite inferior Límite superior
dimension2
500
dimension3
1000 5,486227549E3 917,8622864 ,000 2,910697433E3 8,061757656E3
2000 2,839421157E3 794,7544348 ,004 609,427795720 5,069414520E3
3000 4,048862755E3 860,5158738 ,000 1,634387903E3 6,463336647E3
4000 1,815109784E4 1,076229E3 ,000 1,513034982E4 2,117184578E4
1000
dimension3
500 -5,48622759E3 917,8622864 ,000 -8,06175765E3 -2,91069743E3
2000 -2,64680638E3 881,6372991 ,027 -5,12092812E3 -172,684649123
3000 -1,43736526E3 941,3486525 ,743 -4,07870102E3 1,203970482E3
72
4000 1,266487025E4 1,141885E3 ,000 9,460525922E3 1,586921460E4
2000
dimension3
500 -2,83942117E3 794,7544348 ,004 -5,06941452E3 -609,427795720
1000 2,646806387E3 881,6372991 ,027 172,684649123 5,120928125E3
3000 1,2094411178E
3
821,7668284
833
,782 -1,09642430E3 3,515306541E3
4000 1,531167664E4 1,04549753
E3
,000 1,237668695E4 1,824666634E4
3000
dimension3
500 -
4,048862275E3
860,5158743
508
,000 -
6,463336647E3
-
1,634387903E3
1000 1,437365269E3 941,3486525 ,743 -1,20397048E3 4,078701021E3
2000 -
1,2094411178E
3
821,7668284
833
,782 -
3,515306541E3
1,096424306E3
4000 1,4102235529E
4
1,096320230
9E3
,000 1,102533143E4 1,717913962E4
4000
dimension3
500 -
1,8151097804E
4
1,076221138
9E3
,000 -
2,117184578E4
-
1,513034982E4
1000 -
1,2664870259E
4
1,141885132
4E3
,000 -
1,586921460E4
-
9,460525922E3
2000 -
1,5311676647E
4
1,045497532
4E3
,000 -
1,824666634E4
-
1,237668695E4
3000 -
1,4102235529E
4
1,096320230
9E3
,000 -
1,717913962E4
-
1,102533143E4
*. La diferencia de medias es significativa al nivel 0.05.
Tabla 20: Prueba de Tamhane para diferencia de medias varianza de los valores obtenidos de la función objetivo en niveles del AG en la instancia de 72 cajas.
Bajo un nivel de confianza del 95%, se concluye que el mejor valor de la función
objetivo se obtiene con el parámetro de 4000 generaciones. Por ende se utiliza
dicho parámetro para comparar los resultados del algoritmo genético frente a los
mejores resultados arrojados por meta-heurística GRASP.
73
5.2.2 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP: valor
obtenido de la función objetivo.
A partir del análisis de resultados realizado al valor de la función objetivo para la
instancia de 24 cajas, se continúa a la comparación de resultados de ambas
metodologías. Se toman los mejores resultados de la metodología GRASP con un
frente a los resultados obtenidos en el nivel de las 4000 generaciones.
Para efectos de comparación de las metodologías presentadas, se usa 1 para los
resultados del GRASP y 2 para los resultados del AG.
5.2.2.1 Homogeneidad de varianzas
Se valida si el tratamiento con cada metodología tiene igual varianza.
Prueba de homogeneidad de varianzas
ZFO
Estadístico de
Levene gl1 gl2 Sig.
518,607 1 1499 ,000
Tabla 21: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para comparación de metodología AG y GRASP en la instancia de 72 cajas.
Mediante la prueba de Levene, se muestra evidencia estadística de no
homogeneidad entre las varianzas para los valores del AG y GRASP con un
intervalo de confianza del 95%.
5.2.2.2 Normalidad de residuos
La normalidad de los residuos debe probarse para cada uno de los grupos o
subpoblaciones, pero al menos que los grupos sean muy grandes, es suficiente la
prueba de normalidad en conjunto, sobre todo si los grupos tienen varianzas
similares [Díaz 2009]. Dado que no se cumple el supuesto de homogeneidad de
varianza se verifica la normalidad de los residuos para cada uno de los grupos, para
lo anterior se hace uso del estadístico Kolglomorov-Smirnov.
74
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra
Metodología Residuo
estandarizado
para ZFO
1 N 1000
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica ,68548
Diferencias más extremas Absoluta ,082
Positiva ,064
Negativa -,082
Z de Kolmogorov-Smirnov 2,598
Sig. asintót. (bilateral) ,000
2 N 501
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica 1,43499
Diferencias más extremas Absoluta ,064
Positiva ,051
Negativa -,064
Z de Kolmogorov-Smirnov 1,442
Sig. asintót. (bilateral) ,031
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
Tabla 22: Prueba de normalidad para los residuos de las metodologías AG y GRASP en la
instancia de 72 cajas.
La prueba aplicada sobre cada nivel, muestra evidencia bajo un nivel de confianza
del 95% que los residuos no presentan distribución normal.
5.2.2.3 Prueba estadística
Debido a la no homogeneidad de varianzas y el hecho de que los residuos no se
distribuyen de manera normal, adicionalmente teniendo en cuenta que se están
comparando únicamente dos niveles, se aplica la prueba estadística U de Mann-
Whitney en aras de comparar los resultados de los tratamientos [Alvarado, J. y
Obagi, J., 2008].
75
Rangos
Metodología
N
Rango
promedio
Suma de
rangos
ZFO
dimension1
1 1000 500,50 500500,00
2 501 1251,00 626751,00
Total 1501
Estadísticos de contrastea
ZFO
U de Mann-Whitney ,000
W de Wilcoxon 500500,000
Z -31,637
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. Variable de agrupación: Metodología
Tabla 23: Prueba estadística U de Mann-Whitney para metodologías AG y GRASP en la
instancia 72 cajas.
Ilustración 24: Diagrama de caja y bigotes para porcentaje de ocupación en las
metodologías AG y GRASP en la instancia de 72 cajas.
76
Bajo un nivel de confianza del 95% se concluye que los resultados arrojados por la
prueba U de Mann-Whitney indican que las diferentes metodologías AG y GRASP
presentan diferencia significativa y teniendo en cuenta el diagrama de caja y
bigotes, se observa que la metodología GRASP obtiene menores valores que el
algoritmo genético, por ende se deriva que el primer método mencionado obtiene
porcentajes mayores de ocupación.
5.2.3 Variable de estudio: desvío del centro de gravedad.
Se analizan los resultados obtenidos de la desviación del centro de gravedad con
respecto al centro geométrico del contenedor con respecto a su largo bajo los
diferentes parámetros del AG, primero se validan los supuestos del modelo para
determinar que prueba estadística realizar.
5.2.3.1 Homogeneidad de varianzas
Se establece si el tratamiento con cada nivel tiene igual varianza.
Prueba de homogeneidad de varianzas
Desvío-CG
Estadístico de
Levene gl1 gl2 Sig.
8,546 4 2500 ,000
Tabla 24: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para desvío de centro de gravedad en la instancia de 72 cajas.
Mediante la prueba de Levene aplicada, se evidencia que el valor p es menor a
0,05 por lo tanto es posible afirmar que no se cumple el supuesto de homogeneidad
de varianza.
5.2.3.2 Normalidad de residuos
La normalidad de los residuos debe probarse para cada uno de los grupos o
subpoblaciones, pero al menos que los grupos sean muy grandes, es suficiente la
prueba de normalidad en conjunto, sobre todo si los grupos tienen varianzas
similares [Díaz 2009]. Debido a que no se cumple el supuesto de homogeneidad de
77
varianza se verifica la normalidad de los residuos para cada uno de los niveles, para
lo anterior se hace uso del estadístico Kolglomorov-Smirnov.
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra
Instancia Residuo
estandarizado
para DesvíoCG
500 N 501
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica ,93085
Diferencias más extremas Absoluta ,333
Positiva ,333
Negativa -,236
Z de Kolmogorov-Smirnov 7,458
Sig. asintót. (bilateral) ,000
1000 N 501
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica ,85827
Diferencias más extremas Absoluta ,045
Positiva ,043
Negativa -,045
Z de Kolmogorov-Smirnov 1,000
Sig. asintót. (bilateral) ,270
2000 N 501
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica 1,20744
Diferencias más extremas Absoluta ,285
Positiva ,285
Negativa -,255
Z de Kolmogorov-Smirnov 6,381
Sig. asintót. (bilateral) ,000
3000 N 501
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica ,69622
Diferencias más extremas Absoluta ,324
Positiva ,324
78
Negativa -,315
Z de Kolmogorov-Smirnov 7,244
Sig. asintót. (bilateral) ,000
4000 N 501
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica 1,20593
Diferencias más extremas Absoluta ,299
Positiva ,299
Negativa -,230
Z de Kolmogorov-Smirnov 6,697
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
Tabla 25: Prueba de normalidad de residuos para datos desviación de centro de gravedad
para la instancia de 72 cajas.
Aplicando una prueba Kolmogorov-Smirnov a los niveles del factor con el propósito
de determinar la normalidad de los residuos, dicha prueba aplicada muestra
evidencia de que los residuos del nivel de 1000 generaciones presentan distribución
normal, caso contrario ocurre con los demás niveles.
5.2.3.3 Prueba estadística
Dado el incumplimiento de los supuestos de normalidad de residuos y
homogeneidad de varianzas en los datos, existen al menos tres maneras de
solucionar o minimizar el problema de la situación presentada: 1. utilizar métodos de
análisis no paramétricos, que no requieren suposiciones de normalidad y varianza
constante 2. hacer análisis mediante modelos lineales generalizados 3. hacer
análisis sobre la respuesta transformada a una escala en que los supuestos se
cumplan [Gutiérrez, H. y De La Vara, R., 2003]. Teniendo como patrón la
metodología aplicada en [García et al, 2011]se aplica la prueba estadística de
Tamhane para analizar la diferencia de medias entre los diferentes tratamientos.
Comparaciones múltiples
Desvío-CG
Tamhane
(I) Instancia (J) Instancia Diferencia de Error típico Sig. Intervalo de confianza al 95%
79
medias (I-J) Límite inferior Límite superior
dimension2
500
dimension3
1000 -
,787738290647*
,0000344613
47
,000 -,78783498451 -,78764159678
2000 -,000048264286 ,0000414961
17
,940 -,00016471176 ,00006818319
3000 -,000049718679 ,0000316382
09
,710 -,00013850560 ,00003906824
4000 -,000109400755 ,0000414633
83
,082 -,00022575622 ,00000695471
1000
dimension3
500 ,787738290647* ,0000344613
47
,000 ,78764159678 ,78783498451
2000 ,787690026360* ,0000403202
94
,000 ,78757686766 ,78780318506
3000 ,787688571968* ,0000300794
72
,000 ,78760416633 ,78777297761
4000 ,787628889892* ,0000402866
05
,000 ,78751582593 ,78774195385
2000
dimension3
500 ,000048264286 ,0000414961
17
,940 -,00006818319 ,00016471176
1000 -
,787690026360*
,0000403202
94
,000 -,78780318506 -,78757686766
3000 -,000001454392 ,0000379357
08
1,000 -,00010795446 ,00010504568
4000 -,000061136469 ,0000464473
23
,876 -,00019145947 ,00006918653
3000
dimension3
500 ,000049718679 ,0000316382
09
,710 -,00003906824 ,00013850560
1000 -
,787688571968*
,0000300794
72
,000 -,78777297761 -,78760416633
2000 ,000001454392 ,0000379357
08
1,000 -,00010504568 ,00010795446
4000 -,000059682076 ,0000378998
99
,708 -,00016608140 ,00004671724
4000 dimension3
500 ,000109400755 ,0000414633
83
,082 -,00000695471 ,00022575622
80
1000 -
,787628889892*
,0000402866
05
,000 -,78774195385 -,78751582593
2000 ,000061136469 ,0000464473
23
,876 -,00006918653 ,00019145947
3000 ,000059682076 ,0000378998
99
,708 -,00004671724 ,00016608140
*. La diferencia de medias es significativa al nivel 0.05.
Tabla 26: Prueba de Tamhane para diferencia de medias para datos de desvío del centro de
gravedad en la instancia de 72 cajas.
Bajo un nivel de confianza del 95%, se concluye que los resultados obtenidos no
presentan diferencias significativas.
5.2.4 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP:
desvío del centro de gravedad.
A partir del análisis de resultados realizado al desvío de centro de gravedad para la
instancia de 72 cajas, se continúa a la comparación de resultados de ambas
metodologías. Se toman los mejores resultados de la metodología GRASP con un
frente a una selección aleatoria de 500 individuos de los parámetros del
algoritmo genético. Para efectos de comparación de las metodologías presentadas,
se usa 1 para los resultados del GRASP y 2 para los resultados del AG.
5.2.4.1 Homogeneidad de varianzas
Se valida si los resultados de cada metodología presentan homogeneidad de
varianzas.
Prueba de homogeneidad de varianzas
DesvíoCG
Estadístico de
Levene gl1 gl2 Sig.
25,326 1 1499 ,000
Tabla 27: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para desvío de centro de
gravedad en la instancia de 72 cajas para metodologías AG y GRASP.
81
A partir de la prueba de homogeneidad de varianza realizada a los datos arrojados
por el AG y el GRASP. Dado que el valor p de la prueba no es mayor a 0,05, se
concluye que se presenta heteroscedasticidad en las varianzas.
5.2.4.2 Normalidad de residuos
La normalidad de los residuos debe probarse para cada uno de los grupos o
subpoblaciones, pero al menos que los grupos sean muy grandes, es suficiente la
prueba de normalidad en conjunto, sobre todo si los grupos tienen varianzas
similares [Díaz 2009]. Dado que no se cumple el supuesto de homogeneidad de
varianza se verifica la normalidad de los residuos para cada uno de los grupos, para
lo anterior se hace uso del estadístico Kolglomorov-Smirnov.
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra
Metodología Residuo
estandarizado
para DesvíoCG
1 N 1000
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica 1,22495
Diferencias más extremas Absoluta ,415
Positiva ,374
Negativa -,415
Z de Kolmogorov-Smirnov 13,123
Sig. asintót. (bilateral) ,000
2 N 501
Parámetros normalesa,b
Media ,0000
Desviación típica ,00114
Diferencias más extremas Absoluta ,299
Positiva ,299
Negativa -,230
Z de Kolmogorov-Smirnov 6,697
Sig. asintót. (bilateral) ,000
82
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
Tabla 28: Prueba de normalidad de residuos para desviación del centro de gravedad en la
instancia de 72 cajas.
La prueba aplicada sobre cada nivel bajo un nivel de confianza del 95%, muestra
que los residuos no presentan distribución normal.
5.2.4.3 Prueba estadística
Debido a la heteroscedasticidad de varianzas y la no normalidad de residuos,
además teniendo en cuenta que se están comparando únicamente dos niveles, se
aplica la prueba estadística U de Mann-Whitney en aras de comparar los resultados
de los tratamientos [Alvarado, J. y Obagi, J., 2008].
Rangos
Metodología
N
Rango
promedio
Suma de
rangos
DesvíoCG
dimension1
1 1000 1000,61 1000606,00
2 501 252,78 126645,00
Total 1501
Estadísticos de contrastea
DesvíoCG
U de Mann-Whitney 894,000
W de Wilcoxon 126645,000
Z -31,529
Sig. asintót. (bilateral) ,000
a. Variable de agrupación: Metodología
Tabla 29: Prueba U de Mann-Whitney para diferencia de medias en la instancia de 72 cajas
con metodologías AG y GRASP.
83
Ilustración 25: Diagrama de caja y bigotes para desviación de centro de gravedad en la
instancia de 72 cajas con las metodologías AG y GRASP.
En un intervalo de confianza del 95%, se concluye que los resultados de las
diferentes metodologías AG y GRASP presentan diferencia significativa de medias,
debido a lo anterior se toman en cuenta las tablas de resumen de resultados y el
diagrama de caja y bigotes encontradas en la presente tesis y en [García et al,
2011] para concluir que la metodología AG arroja mejores resultados que el GRASP
en esta instancia, con una diferencia de 0,08466 cm.
5.2.5 Variable de estudio: tiempo de ejecución del programa.
A raíz de los diferentes tiempos obtenidos a lo largo de cada muestra del algoritmo
genético, se procede a una descripción del comportamiento de esta variable.
Descriptivos
Instancia Estadístico Error típ.
tiempo 500 Media 22,93 ,062
Intervalo de confianza para
la media al 95%
Límite inferior 22,81
Límite superior 23,05
Media recortada al 5% 22,92
Mediana 23,00
84
Varianza 1,905
Desv. típ. 1,380
Mínimo 21
Máximo 25
Rango 4
Amplitud intercuartil 2
Asimetría ,124 ,109
Curtosis -1,217 ,218
1000 Media 40,11 ,149
Intervalo de confianza para
la media al 95%
Límite inferior 39,82
Límite superior 40,40
Media recortada al 5% 40,07
Mediana 40,00
Varianza 11,094
Desv. típ. 3,331
Mínimo 35
Máximo 46
Rango 11
Amplitud intercuartil 6
Asimetría ,214 ,109
Curtosis -1,118 ,218
2000 Media 64,86 ,090
Intervalo de confianza para
la media al 95%
Límite inferior 64,68
Límite superior 65,04
Media recortada al 5% 64,85
Mediana 65,00
Varianza 4,079
Desv. típ. 2,020
Mínimo 62
Máximo 68
Rango 6
Amplitud intercuartil 4
Asimetría ,088 ,109
Curtosis -1,282 ,218
85
3000 Media 92,59 ,098
Intervalo de confianza para
la media al 95%
Límite inferior 92,40
Límite superior 92,79
Media recortada al 5% 92,60
Mediana 93,00
Varianza 4,834
Desv. típ. 2,199
Mínimo 89
Máximo 96
Rango 7
Amplitud intercuartil 3
Asimetría -,073 ,109
Curtosis -1,134 ,218
4000 Media 116,57 ,169
Intervalo de confianza para
la media al 95%
Límite inferior 116,24
Límite superior 116,90
Media recortada al 5% 116,58
Mediana 117,00
Varianza 14,333
Desv. típ. 3,786
Mínimo 110
Máximo 123
Rango 13
Amplitud intercuartil 7
Asimetría -,062 ,109
Curtosis -1,066 ,218
Tabla 30: Estadístico descriptivos para los valores de Tiempo de ejecución en la instancia de
72cajas.
86
87
Ilustración 26: Gráficos descriptivos para el tiempo de ejecución del programa para 72
cajas.
Según los histogramas generados para los tiempos de ejecución del programa a
diferentes variaciones de número de generaciones muestran: el parámetro de 500
generaciones indica que la mayor frecuencia se encuentra en el rango de 22
segundos, y el rango de menor frecuencia en 24 segundos.
El parámetro de 1000 generaciones indica que la mayor frecuencia se encuentra
dentro de los rangos concernientes a los 37 segundos, en tanto a que los rangos
pertenecientes entre los 42,5 y los 45 segundos, aparecen con la menor frecuencia.
Observando el tratamiento de 2000 generaciones, se aprecia que los rangos poseen
frecuencias sin grandes diferencias, claro está que los rangos con menores tiempo
poseen la mayor periodicidad.
Teniendo en cuenta el histograma mostrado para el parámetro de 3000, se observa
que la mayor frecuencia se concentra en el rango de los 93 segundos, y que las
menores ocurrencias ocurren en los rangos con los tiempos mínimos y máximos del
nivel, es decir 89 y 96 segundos.
El parámetro de 4000 generaciones indica que la mayor frecuencia se encuentra en
el rango de 117 segundos, de forma contraria el menor valor encontrado se
encuentra en los rangos apartados de los datos medios.
Ilustración 27: Diagrama de caja y bigotes para tiempos de ejecución instancia 72 cajas.
88
Se observa una tendencia creciente en el aglomerado de los datos por instancias en
la gráfica, lo cual indica que se tardan más segundos el código en arrojar un
resultado a medida que el número de generaciones aumenta.
6. CONSIDERACIONES DEL PROBLEMA DE CARGA DE
CONTENEDORES.
A partir del proceso realizado en el presente trabajo se consideran los siguientes
aspectos de la temática trabajada:
Los experimentos realizados en este trabajo de grado se basan en la comparación
de dos metodologías para la solución de un problema de empaquetamiento
tridimensional, en primera instancia se tomaron los resultados derivados de la
variación de los parámetros de entrada del algoritmo genético y se realizaron las
pruebas estadísticas para la comparación con los mejores resultados arrojados por
la metodología GRASP en las instancias de 24 y 72 cajas. Se encontraron
diferencias significativas de medias entre las dos metodologías y luego de hacer una
comparación de los resultados obtenidos se estableció que en porcentaje de
ocupación la meta-heurística GRASP logró mejores resultados que el AG propuesto
en este trabajo, por otro lado en distancia de CG para la instancia de 72 cajas el
Algoritmo Genético presento un mejor valor de desviación que el GRASP. Dado los
anteriores resultados proponemos las siguientes consideraciones a tener en cuenta
en futuras investigaciones.
Cabe resaltar la importancia de la meta-heurística como herramienta alternativa que
apoya la búsqueda de soluciones a problemas relacionados con la optimización de
recursos, y en este caso esencial para la proposición de soluciones a las instancias
propuestas en este problema de carga de contenedores. Adicionalmente se
recomienda aplicar nuevas restricciones para así continuar con las perspectivas de
investigación de la tema en cuestión, con la finalidad de mantener una actualización
constante de metodologías y restricciones que hagan frente al problema de carga de
contenedores, tales como: se propone considerar la evaluación del centro de
gravedad con respecto al centro geométrico de la figura bajo un espacio de tres
dimensiones, es decir que además del largo se tenga en cuenta el ancho y el alto
para la solución propuesta. Adicional se propone tener en cuenta la estrategia
empleada en el presente trabajo, siempre y cuando se aplique a un número mayor a
2 divisiones bajo el largo del contenedor.
En aras de continuar con el estudio de este tipo de problemas de empaquetamiento
se recomienda la continuación del uso de diferentes metodologías menos utilizadas
según la revisión realizada en esta tesis tales como: Particle Swarm Optimization, o
89
Artificial Immune Systems (AIS) con el objetivo de comparar los valores obtenidos
por las diferentes estrategias y mejorar estos resultados.
Considerando el método especifico empleado en el presente trabajo, se sugiere
continuar investigando criterios de selección y priorización de cajas teniendo en
cuenta las ventajas que puede presentar el coeficiente ponderador propuesto en
este trabajo de grado. Dada la buena respuesta que género en las instancias dando
posibles ubicaciones de cajas, se propone que se analicen aspectos como el
método de generación del parámetro de incidencia y la forma en que las
ponderaciones asignan posiciones dentro del contenedor, en donde se estudie la
posibilidad que el orden priorizado no sea un único determinante al momento de
ubicar cajas, lo anterior se podría direccionar creando una analogía junto con la
metodología GRASP en cuanto a la evaluación de una función de utilidad en una
lista de candidatos restringidos, generando diferentes estrategias híbridas para la
generación de la población inicial.
Con el propósito de tener un mejor entendimiento y aplicación de herramientas
usadas para solucionar problemas de empaquetamiento se recomienda aplicar
programación gráfica. Este tipo de instrumentos presenta ventajas al momento de
exponer soluciones a profesionales y empresarios del medio perteneciente a la
temática en cuestión.
7. CONCLUSIONES
El presente trabajo de grado describe el desarrollo y aplicación del Algoritmo
genético con una variable de ponderación para la solución de un problema de
empaquetamiento tridimensional de carga homogénea, y su posterior comparación
con los resultados arrojados por el algoritmo GRASP desarrollado en la ya
nombrada tesis de maestría.
Para la generación de la población inicial en el AG se tiene en cuenta un criterio
para la agrupación de las cajas dentro del contenedor y está dado por un algoritmo
de ponderación que propone un nuevo procedimiento cuyo objetivo está en
seleccionar las cajas para ubicar dentro del contenedor en cada una de las
posiciones, de tal manera que aquellas con mayor capacidad para soportar peso
queden en el primer nivel del contenedor y así disminuir la deformación total de la
carga. Estas cajas candidatas son agrupadas de forma distinta para cada uno de
los contenedores teniendo en cuenta un valor único para cada uno. Dado lo
anterior y según lo observado en la ejecución del código, los individuos con mayor
ponderación de la capacidad también poseían altos valores de peso, por lo que la
metodología presentada en este trabajo también consideraba en cierta medida las
cajas pesadas dando a estas una ubicación prioritaria en los primeros niveles.
90
La validación del peso soportado por cada contenedor se tuvo en cuenta durante el
proceso de llenado del mismo a medida que estas cajas candidatas iban ingresando
según el anterior criterio se calculaba el peso total de la carga y se comparaba con
el límite de peso que podía resistir el contenedor, de tal manera que las últimas
cajas se descartaban (estas generalmente eran las de menor peso), en
consecuencia según lo observado se eliminaban más cajas utilizando esta
estrategia que con la metodología manejada en el GRASP lo que como resultado
originó un mejor valor de función objetivo para las dos instancias del problema con
el algoritmo GRASP.
Por otro lado en la desviación del centro de gravedad al centro geométrico de la
base del contenedor desde su largo se observó que a medida que aumentaba el
número de muros la estrategia utilizada por el algoritmo genético mejoraba los
resultados mostrando un valor menor de desviación, dando mejores valores que con
la metodología utilizada en el GRASP en la instancia de 72 cajas.
Los experimentos computacionales realizados en este trabajo muestran que el
enfoque utilizado de algoritmo genético funciona adecuadamente en las dos
instancias del problema obteniendo buenos resultados globales en tiempos de
ejecución razonables.
91
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