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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
MÓDULO # 3: OSCILACIONES MECÁNICAS –ENERGÍA- Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
Temas
Introducción
Trabajo W y energía potencial U
Energía cinética K
Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo
Energía mecánica E
Introducción
En los dos módulos anteriores se estudió la cinemática y la dinámica del MAS. En este módulo se
completará el estudio de la mecánica del MAS tratando los conceptos de trabajo y energía. Se observará
que mientras la partícula oscila hay permanentemente una conversión de energía cinética en potencial y
viceversa.
Trabajo W y energía potencial U
Cuando una partícula oscila con MAS, es porque la fuerza neta que actúa sobre ella tiene la forma,
F = - ky [1]
siendo y la elongación. Una fuerza de este tipo es elástica HOOKEANA.
Con base en el modelo del sistema masa-resorte, se puede hacer un análisis claro que permite encontrar la
relación para la energía potencial elástica, Figura 1. Cuando el resorte posee su longitud original, Figura 1
A, su deformación es nula en cuyo caso el sistema masa resorte no tendrá energía potencial elástica (no hay
energía almacenada). Luego un agente externo lo ha elongado en una cantidad igual a 1y , Figura 1 B, para lo
cual realizó un trabajo sobre el sistema (sistema masa-resorte) cediéndole energía que queda almacenada
en forma de energía potencial elástica. Por último el agente externo realiza aún más trabajo para elongar el
sistema hasta 2y , Figura 1 C, por lo que el sistema va aumentando su energía potencial.
2
Figura 1
En la Figura 2 se ilustra el diagrama de fuerzas de la masa (fuerzas que actúan sobre la masa). En este
diagrama, N es la fuerza normal que ejerce el piso, P es la fuerza de gravedad ejercida por el planeta
Tierra (peso), Fext es la fuerza ejercida por el agente externo sobre la masa, y Fres es la fuerza ejercida
por el resorte sobre la masa: se ha despreciado la fuerza de rozamiento.
Figura 2
Si la deformación se obtiene a velocidad constante, aplicando la primera ley de Newton, se concluye que en
todo instante Fext y Fres son iguales en magnitud. Es decir,
resF = - ky 1
extF = ky 2
El trabajo realizado por el agente externo,Wext , para elongar el resorte desde 1y hasta 2y es,
3
2 2 2
1 1 1
y y y
2 2
ext ext 2 1
y y y
1 1ˆW = F dr = kyj dr = kydy = ky - ky2 2
En la Figura 3 se ilustra la interpretación geométrica de este cálculo.
Figura 3
Ahora, el trabajo realizado por la fuerza elástica Fres es el negativo de Wext :
2 2
res 1 2
1 1W = ky - ky
2 2
La ecuación anterior muestra que el trabajo realizado por la fuerza elástica Fres se puede expresar en
términos de los valores de una magnitud escalar de la forma 21ky
2 evaluada al inicio ( 1y ) y al final (en 2y )
de la elongación. Esta cantidad es la denominada Energía Potencial Elástica U y así se calculará la energía
potencial del oscilador armónico (partícula en M.A.S.):
21U = ky [2]
2
donde y es la elongación del oscilador. Según el conocido teorema de la energía potencial, se puede
concluir que la fuerza responsable de un M.A.S. es conservativa:
4
resW = - ΔU
Energía cinética K
Si y es la elongación del oscilador, y
dyV =
dt es la velocidad de éste y por lo tanto su energía cinética es,
2
y
1K = mV [3]
2
Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo
La elongación y la velocidad del MAS son,
oy = Asen ωt + φ (1)
y oV = ωAcos ωt + φ (2)
Reemplazando (1) en [2] y (2) en [3] se obtiene,
2 2
o
1U = kA sen ωt + φ [4]
2
2 2 2
o
1K = mω A cos ωt + φ
2
2 2
o
1K = kA cos ωt + φ [5]
2
Energía mecánica E
Combinando las ecuaciones [4] y [5] se obtiene para la energía mecánica de un MAS,
E = U + K
21E = kA [6]
2
2 2 2 2 21E = mω A = 2mπ f A [6 ]
2
La energía del M.A.S. es proporcional al cuadrado de la amplitud. Adicionalmente, según [6’] también
es proporcional al cuadrado de la frecuencia.
La ecuación [6] también se puede escribir,
5
2 2 21 1 1mV + ky = kA [7]
2 2 2y
siendo k la constante de fuerza del oscilador armónico.
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Energía en el MAS: Energía vs tiempo en el
MAS. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 4. Se despliega la
simulación de la Figura 5. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los
resultados.
Figura 4
Figura 5
6
Nota:
Observar que la energía cinética y la energía potencial oscilan con el DOBLE DE FRECUENCIA que la
elongación.
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Energía en el MAS: Energía vs posición en el
MAS. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 6. Se despliega la
simulación de la Figura 7. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los
resultados.
Figura 6
Figura 7
7
Tarea:
En la simulación de la Figura 7 se observa la gráfica U (Energía potencial) vs x (Elongación). Esbozar la
gráfica de K (Energía cinética) vs x (Elongación).
Ejemplo 1
Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema masa-resorte a través de la aplicación
del principio de conservación de la energía mecánica.
Solución:
La energía mecánica del sistema masa-resorte es según la ecuación [7],
2 2
y
1 1E = mV + ky
2 2
2 2 2
y
1 1 1kA = mV + ky
2 2 2
Derivando respecto al tiempo esta ecuación se obtiene,
2
21 d dy 1 d0 = m + k y
2 dt dt 2 dt
2
2
1 dy d y 1 dy0 = m 2 + k 2y
2 dt dt 2 dt
2
2
d y k+ y = 0
dt m
que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico con frecuencia angular,
kω =
m
Otra forma de realizar el análisis:
El análisis se puede hacer haciendo un balance sólo de energías como se ilustra en la Figura 8 y teniendo en
cuenta que las fuerzas que actúan son el peso y la fuerza elástica que son ambas conservativas por lo que
se conserva la energía mecánica.
1 2E = E
8
1 1 2 2U + K = U + K
22 2 2 2
y
1 1 1 1mg c - d + kd + mω A = mg c - d - y + k d + y + mV
2 2 2 2
2 2 2
y
1 1 1kA = - mgy + kyd + ky + mV
2 2 2
Figura 8
Pero en equilibrio, es decir en A,
kd = mg
y por lo tanto,
2 2 2
y
1 1 1kA = mV + ky
2 2 2
Derivando respecto al tiempo esta ecuación se obtiene,
2
21 d dy 1 d0 = m + k y
2 dt dt 2 dt
2
2
1 dy d y 1 dy0 = m 2 + k 2y
2 dt dt 2 dt
9
2
2
d y k+ y = 0
dt m
que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico con frecuencia angular,
kω =
m
Ejemplo 2
Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo simple a través de la
aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.
Solución:
Figura 9
La energía mecánica en cualquier instante es,
E = U + K
Observando la Figura 9 se concluye que,
21E = mg L - Lcosθ + mV
2
2
1 dθE = mg L - Lcosθ + m L
2 dt
10
Se está despreciando la fuerza de rozamiento y adicionalmente la fuerza de tensión (o mejor su reacción)
no realiza trabajo y el peso es una fuerza conservativa, por lo tanto la energía mecánica se conserva y en
consecuencia,
E = constante
dE = 0
dt
2
2
dθ 1 dθ d θ0 = mgLsenθ + m 2× L L
dt 2 dt dt
2
2
d θ0 = gsenθ + L
dt
2
2
d θ g + senθ = 0
dt L
y para pequeñas oscilaciones, senθ θ ,
2
2
d θ g + θ = 0
dt L
que corresponde a la ecuación del oscilador armónico con frecuencia angular,
gω =
L
Ejemplo 3
Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo físico a través de la
aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.
Solución:
11
Figura 10
La energía mecánica del cuerpo rígido que oscila en cualquier instante es,
E = U + K
Observando la Figura 10 se concluye que,
2
o
1 dθE = mg h + b - bcosθ + I
2 dt
oI es el momento de inercia del cuerpo rígido respecto al eje que pasa por O.
Se está despreciando la fuerza de rozamiento y adicionalmente las reacciones en el apoyo no realizan
trabajo y el peso es una fuerza conservativa, por lo tanto la energía mecánica se conserva y como
consecuencia,
E = constante
dE = 0
dt
2
o 2
dθ 1 dθ d θ0 = mgbsenθ + I 2×
dt 2 dt dt
2
o 2
d θ0 = mgbsenθ + I
dt
2
2
o
d θ mgb + senθ = 0
dt I
12
y para pequeñas oscilaciones, senθ θ ,
2
2
o
d θ mgb + θ = 0
dt I
que corresponde a la ecuación del oscilador armónico con frecuencia angular,
o
mgbω =
I
Ejemplo 4
Utilizando la conservación de la energía mecánica en el MAS mostrar que:
2 2
yV = ω A - y
Solución:
E = U + K
2 2 2
y
1 1 1kA = ky + mV
2 2 2
2 2 2 2 2
y
1 1 1mω A = mω y + mV
2 2 2
2 2
yV = ω A - y
FIN.
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