Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua
UNAN-ManaguaCurso de Investigación de Operaciones
Unidad IV
Dualidad y Análisis de SensibilidadEstudiantes:
FAREM-Carazo
Profesor:MSc. Julio Rito
Vargas Avilés.
II Semestre 2010
Año
Académico:
Metodologías para Problemas de Redes.
V Unidad
2
Problema de Transporte
Es un caso especial de problemade programación lineal (PPL), parael cual se ha desarrollado unaversión distinta del métodoSimplex.
3
Principales características
Suponga que se dispone de n fábricas y de m centros deconsumo, ambos localizados en distintos puntos. Cadafábrica i posee una capacidad de producción Oi, y cadacentro de consumo j posee una demanda Dj. El costo deproducir una unidad en la fábrica i es de CPi, y el costo detransportar cada unidad desde la fábrica i al centro deconsumo j es de CTij.
El problema es determinar la cantidad a producir en cadafábrica y las cantidades a transportar, al mínimo costo.Luego xij es la cantidad a producir en la fábrica i para serllevado al centro de consumo j.
6
Modelo
de Programación Lineal
MIN costo = s.a.
xij 0 con i:1.. n y j:1..m
Se utilizará el siguiente modelo de programación lineal (PPL)
n
1i
m
1j
ijijiji ) xCT x(CP
n
1i
jij D x
m
1j
iij O x
Se satisface toda la Demanda
No se puede producir más allá de la capacidad de la fábrica.
7
Modelo
de Programación Lineal
MIN costo = s.a.
xij 0 con i:1.. n y j:1..m
Suponiendo que:
n
1i
m
1j
ijij xC
n
1i
jij D x
m
1j
iij O x
y reemplazando Cij=CPi+CTij queda el siguiente modelo:
n
1i
i
m
1j
j O D Cap. de Producción igual a la Demanda.
8
Modelo
de Programación Lineal
Si
n
1i
m
1j
jiF DOD
entonces se genera un nuevo centro de consumo ficticio.Lo que consuma ese centro no es real, por tanto quedacomo capacidad de producción ociosa.
n
1i
i
m
1j
j O DCap. de Prod.
mayor a la Dda.
9
Modelo
de Programación Lineal
Si
n
1i
i
m
1j
jF ODO
entonces se genera una nueva fábrica ficticia. Lo queproduzca esa fábrica no es real. Por tanto queda comodemanda insatisfecha.
n
1i
i
m
1j
j O DCap. de Prod.
menor a la Dda.
10
Modelo
de Programación Lineal
Ejemplo:
Suponga que se dispone de 3 bodegas con capacidadesde 15,000, 25,000 y 5,000 unidades. Por otra parte, setienen 4 centros de consumo con demandas de 5000,15,000, 15,000, y 10,000 unidades respectivamente.Encuentre las cantidades óptimas a producir ytransportar, tal de minimizar los costos que se muestrana continuación:
1 2 3 4
1 10 0 20 11
2 12 7 9 20
3 0 4 16 18
11
Procedimiento
Para trabajar se utiliza la siguiente tabla:
1 2 ... m Oi ui
1h11 c11 h12 c12
...h1m c1m
O1 u1x11 x12 x1m
2h21 c21 h22 c22
...h2m c2m
O2 u2x21 x22 x2m
... ... ... ... ... ...
nhn1 cn1 hn2 cn2
...hnm cnm
On unxn1 xn2 xnm
Dj D1 D2 ... Dm
vj v1 v2 ... vm
12
Solución factible inicial
Al igual que en el método Simplex tradicional, el problemade transporte requiere partir de una solución inicialfactible. Para ello se necesita asignar las cantidades xij demanera de cumplir con las restricciones. Para ello existenal menos 3 posibilidades:
• Solución por “tanteo”.
• Método de la esquina Noroeste.
• Método de Vogel.
•
13
Método de la esquina NoroesteEste método no considera los costos, por eso puede que susolución quede alejada del óptimo. Consiste en asignar lamáxima cantidad factible al casillero superior izquierdo que noposea ninguna asignación o marca. La cantidad a asignar es elmínimo entre la oferta disponible y la demanda en dichomomento.
Hecha la asignación, se descuenta la cantidad tanto a la ofertacomo a la demanda. Con esto, una de las dos quedará en cero(fila o columna). Por tanto se marcan todos los casilleros vacíosde ella.
14
Método de la esquina Noroeste
Ejemplo 1:
1 2 3 4 O
110 0 20 11
150005000 10000 - -
212 7 9 20
25000- 5000 15000 5000
30 4 16 18
5000- - - 5000
D 5000 15000 15000 10000 C=410
15
Método de la esquina Noroeste
En caso de que al realizar una asignación simultáneamenteambas se hagan cero (fila y columna), entonces se asigna unanueva variable con valor cero en el casillero de la fila o columnaque tenga un menor costo. Se producen entonces 2asignaciones: Una con el valor mínimo y la otra con cero. Estose debe a que el sistema debe tener n+m-1 variables básicasdefinidas.
Esto se muestra en el siguiente ejemplo:
16
Método de la esquina Noroeste
Ejemplo 2:
1 2 3 4 5 O
17 20 13 5 2
1515 - - - 0
210 15 12 7 10
20- 20 - 0 -
38 11 8 3 9
20- - 20 - -
412 10 12 8 10 10
- - 10 0 -
515 15 12 11 10 25
- - - 15 10
D 15 20 30 15 10 C=950
17
Método de VogelEste método si considera los costos, por tanto entrega unamejor solución factible inicial que la esquina noroeste. Consisteen: para cada fila y columna se calcula la diferencia entre elmayor y el menor costo de los casilleros sin marcar. Calculada ladiferencia, se selecciona la fila o columna de mayor valor, endonde se le asigna la máxima cantidad factible a su casillero demenor costo que no posea ninguna asignación o marca. Luego,se actualizan las cantidades disponibles.
Hecha la asignación, se descuenta la cantidad de forma similaral método de la esquina noroeste. En caso que la fila y columnase hagan cero, se hace lo mismo que en el método anterior.
18
Método de Vogel
Ejemplo:
1 2 3 4 O
110 0 20 11
15- 15 - -
212 7 9 20
250 - 15 10
30 4 16 18
55 0 - -
D 5 15 15 10
C=335
19
Simplex de TransportePaso 1
1 2 3 4 O
110 0 20 11
155 10 - -
212 7 9 20
25- 5 15 5
30 4 16 18
5- - - 5
D 5 15 15 10
C=410
Se encuentra una solución factible inicial.
20
Simplex de TransportePaso 2
1 2 3 4 O ui
110 0 20 11
15 u15 10 - -
212 7 9 20
25 u2- 5 15 5
30 4 16 18
5 u3- - - 5
D 5 15 15 10
vj v1 v2 v3 v4 C=410
Se determinan los valores de los ui y de los vj . Se plantean n+m-1
ecuaciones con n+m incógnitas, por lo que a una de ellas se le hacevaler cero arbitrariamente, y se resuelve el sistema.
u1+v1=10
u1+v2=0
u2+v2=7
u2+v3=9
u2+v4=20
u3+v4=18
21
Simplex de TransportePaso 3
1 2 3 4 O ui
10 10 0 0 + 20 -2 11
15 -75 10 - -
2-5 12 0 7 0 9 0 20
25 0- 5 15 5
3-15 0 -1 4 + 16 0 18
5 -2- - - 5
D 5 15 15 10
vj 17 7 9 20 C=410
Se determinan los hij para ver la variable que entra. Para todos los
xij se tiene que hij=cij-(ui +vj). Si xij es variable básica, entonces hij = 0 ycij=ui+vj .
u1+v1=10
u1+v2=0
u2+v2=7
u2+v3=9
u2+v4=20
u3+v4=18
Solución del Sistema de Ecuaciones
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Hacemos a u2=0, entonces v2=7, v3=9, v4=20
En u1+v2=0 y v2=7, entonces u1=-7, v1=17, u3=-2
u1+v1=10 —> -7+v1=10 —> v1=17u1+v2=0 —> u1+7=0 —> u1=-7u2+v2=7 —> 0+v2=7 —>v2=7u2+v3=9 —> 0 +v3=9 —> v3=9u2+v4=20 —> 0+v4=20 —> v4=20u3+v4=18 —> u3+20=18 —> u3=-2
23
Simplex de TransportePaso 4
1 2 3 4 O ui
10 10 0 0 + 20 -2 11
15 -75 - 10 + - -
2-5 12 0 7 0 9 0 20
25 0- 5 - 15 5 +
3-15 0 -1 4 + 16 0 18
5 -2- + - - 5 -
D 5 15 15 10
vj 17 7 9 20 C=410
Entra la variable con el hij más negativo. Si no existe ningún negativo, sellegó al óptimo. Con la variable entrante se forma un circuito.
Entra
24
Simplex de TransportePaso 5
1 2 3 4 O ui
10 10 0 0 + 20 -2 11
15 -75 - 10 + - -
2-5 12 0 7 0 9 0 20
25 0- 5 - 15 5 +
3-15 0 -1 4 + 16 0 18
5 -2- + - - 5 -
D 5 15 15 10
vj 17 7 9 20
C=410
Se determina la variable que sale de entre los xij que presentan un - .Se escoge el de menor valor, y en caso de empate se elige el de mayorcosto. toma el valor del xij que sale.
Sale
=5
25
Simplex de TransportePaso 6
1 2 3 4 O ui
10 10 0 0 + 20 -2 11
15 -70 15
2-5 12 0 7 0 9 0 20
25 00 15 10
30 0 + 4 + 16 + 18
5 -175
D 5 15 15 10
vj 17 7 9 20
C=335
Se actualizan los valores de los xij sumando o restando en los casosque corresponda y se recalcula el costo. Se vuelve al paso 2.
u1+v1=10
u1+v2=0
u2+v2=7
u2+v3=9
u2+v4=20
u3+v1=0
26
Simplex de TransportePaso 6
1 2 3 4 O ui
10 10 0 0 + 20 0 11
15 00 5 10
2-5 12 0 7 0 9 + 20
25 710 15
30 0 + 4 + 16 + 18
5 -105
D 5 15 15 10
vj 10 0 2 11
C=315
Se actualizan los valores de los xij sumando o restando en los casosque corresponda y se recalcula el costo. Se vuelve al paso 2.
u1+v1=10
u1+v2=0
u1+v4=11
u2+v2=7
u2+v3=9
u3+v1=0
27
Simplex de TransportePaso 7
1 2 3 4 O ui
10 10 0 0 + 20 0 11
15 00 5 10
2-5 12 0 7 0 9 + 20
25 710 15
30 0 + 4 + 16 + 18
5 -105
D 5 15 15 10
vj 10 0 2 11
C=315
Recalculamos.
u1+v1=10
u1+v2=0
u1+v4=11
u2+v2=7
u2+v3=9
u3+v1=0
Método Vogel
28
Este método es heurístico y suele producir una mejor solución inicial que los
métodos anteriores. De hecho, suele producir una solución inicial óptima, o
próxima al nivel óptimo.
Los pasos del procedimiento son los siguientes
1. Evalúese una penalización para cada renglón (columna) restando el menor
elemento de costo del renglón (columna) del elemento de costo menor siguiente
en el mismo renglón (columna).
2. Identifíquese el renglón o columna con mayor penalización, rompiendo
empates en forma arbitraria. Asigne el mayor valor posible a las variables con el
costo más bajo del renglón o columna seleccionado. Ajústese la oferta y la
demanda y táchese el renglón o columna satisfecho. Si un renglón y una
columna se satisfacen al mismo tiempo, sólo uno de ellos se tacha y al renglón
(columna) restante se le asigna una oferta (demanda) cero. Cualquier renglón o
columna con oferta o demanda cero no debe utilizarse para calcular
penalizaciones futuras (en el paso 3).
Método de Vogel.
29
3.
a) si sólo hay un renglón o columna sin tachar, deténgase.
b) si sólo hay un renglón (columna) con oferta (demanda) positiva sin
tachar, determínese las variables básicas del renglón ( columna) a través
del método de costo mínimo.
c) si todos los renglones o columnas sin tachar tiene oferta y demanda
cero asignadas, determínese las variables básicas cero a través del
método de costo mínimo.. Deténgase.
d) de lo contrario, calcúlese las penalizaciones de los renglones y columnas
no tachados y después diríjase al paso 2. (Obsérvese que los renglones
y columnas con oferta y demanda cero asignadas no deben
utilizarse para determinar estas penalizaciones).
Ejemplo: Problema de Transporte
Uno de los productos más de la P & T Company es
chícharo enlatado. Los chícharos se preparan en tres
enlatadoras cercanas a Bellingham en Washington; a
Eugene en Oregon; y Albert Lea en Minnesota y
después se envián por camión a cuatro almacenes de
distribución. Sacramento – California; Salt Lake City –
Utah; Rapid City – South Dakota; y Albuquerque –
Nuevo México en el oeste de los Estados Unidos, como
se muestra en el mapa.
Ejemplo: Problema de Transporte
Debido a que los costos de embarque constituyen un
gasto importante, la administración ha iniciado un
estudio para reducirlos a su mínima expresión. Se ha
estimado la producción de cada enlatadora durante la
próxima temporada y se asignado a cada almacén
cierta cantidad de la producción total de chícharos. En la
tabla siguiente se muestra la información en unidades
de carga de camión, junto con el costo de transporte de
camión por camión cargado de cada combinación
enlatadora-almacén.
.
Datos de transporte de P & T Co.
Coste de Embarque $ por carga Producción
Almacén
1 2 3 4
Enlatadora 1 464 513 654 867 75
Enlatadora 2 352 416 690 791 125
Enlatadora 3 995 682 388 685 100
Asignación 80 65 70 85
Representación de Red del
problema
E3
E2
E1A1
A2
A3
A4
464
654
513
867
352
416
690
791685
682
995
388
75
100
125
80
65
70
85
Optimizando
Min
s. a:
m
i
n
j
ijij xcZ1 1
85
70
65
80
100
125
75
342414
332313
322212
312111
34333231
24232221
14131211
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
3433
3231242322
2114131211
685388
682995791690416
352867654513464
xx
xxxxx
xxxxxZ
2. Constructora. ¿Qué cantidad de grava enviarde cada distribuidor a cada proyectocon el objeto de minimizar los costos totales?
Sujeto a:• No enviar más de; 150 tons. del distribuidor 1,
175 tons. del distribuidor 2 y 275 tons. deldistribuidor 3.
• Enviar 200 tons. al proyecto 1, 100 tons. alproyecto 2 y 300 tons. al proyecto 3.
Distribución de grava a Proyectos
• Los costos de envío del distribuidor i al proyecto j son los siguientes:• Costo del distribuidor 1 al proyecto 1, C11=$6
• Costo del distribuidor 1 al proyecto 2, C12=$8• Costo del distribuidor 1 al proyecto 3, C13=$10
• Costo del distribuidor 2 al proyecto 1, C21 =$7• Costo del distribuidor 2 al proyecto 2, C22=$11• Costo del distribuidor 2 al proyecto 3, C23=$11• Costo del distribuidor 3 al proyecto 1, C31 =$4• Costo del distribuidor 3 al proyecto 2, C32=$5• Costo del distribuidor 3 al proyecto 3, C33=$12
Distribución de grava a Proyectos
Variables de decisión
XIJ = Número de toneladas a enviar deldistribuidor “I” al proyecto “J”.donde i=1..3(distribuidor) y j=1..3(proyecto)
Función objetivo
Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22
+ 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33
Distribución de grava a Proyectos
Restricciones de disponibilidad
X11 + X12 + X13 150
X21 + X22 + X23 175
X31 + X32 + X33 275
Restricciones de requerimientos
X11 + X21 + X31 = 200
X12 + X22 + X32 = 100
X13 + X23 + X33 = 300
Distribución de grava a Proyectos
Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22
+ 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33
X11 + X12 + X13 150
X21 + X22 + X23 175
X31 + X32 + X33 275
X11 + X21 + X31 = 200
X12 + X22 + X32 = 100
X13 + X23 + X33 = 300
X11, X12, X13 .... X33 0
Sujeto a:
Distribución de grava a Proyectos
Ejemplo de Transporte
Suponga que una empresa posee dos plantas que elaboran
un determinado producto en cantidades de 250 y 450
unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben
ser trasladadas a tres centros de distribución con demandas
diarias de 200, 200 y 250 unidades, respectivamente. Los
costos de transporte (en $/unidad) son:
C.Dist. 1 C.Dist.2 C.Dist.3 Suplen
Planta 1 $21 $25 $15 250
Planta 2 $28 $13 $19 450
Demanda 200 200 250
Ejemplo de Transporte
Diagrama:
Planta 1
Planta 2
C.D.2
C.D.1
C.D.3
X11
X12
X21 X22
X13
X23
Orígenes Destinos
Ejemplo de Transporte
Variables de decisión:
xij = Unidades transportadas desde la planta i(i=1,2), hasta el centro de distribución j (j=1,2,3)
Función Objetivo:
Minimizar el costo total de transporte dado por lafunción:
21x11+25x12+15x13+28x21+13x22+19x23
Ejemplo de Transporte
Restricciones del problema:
1) No Negatividad: xij 0
2) Demanda:
CD1 : x11 +x21 = 200
CD2 : x12 +x22 = 200
CD3 : x13 + x23 = 250
Ejemplo de Transporte
3) Oferta :
P1 : x11 + x12 + x13 250
P2 : x21 + x22 + x23 450
Las variables de decisión deben aceptar
soluciones como números reales para tener un
modelo de P.L.
Resolver el problema de Transporte
D1 D2 D3 D4 Fuente
F1 2 2 5 4 9
F2 6 3 4 4 16
F3 6 2 7 3 30
F4 2 6 4 3 4
D 10 17 18 14 59
Ejemplo: Destino Ficticio La Northern Airplane Company construye aviones
comerciales para varias líneas áreas de todo el mundo.
La última etapa del proceso de producción consiste en
fabricar los motores de turbina e instalarlos.-una
operación muy rápida- en la estructura del avión
terminado. La compañía tiene varios contratos de
trabajo que la obligan a entregar un número
considerable de aviones en un futuro cercano y en este
momento debe programar la producción de motores de
turbina para los próximos cuatro meses.
Ejemplo: Destino Ficticio
En la segunda columna de la tabla siguiente se indica la
cantidad de motores que deben estar listos para su
instalación a fin de cumplir con las fechas de entrega
contratadas. De ella se desprende que el número
acumulado de motores que deben producirse al final de
los meses 1,2,3 y 4 deben ser por lo menos de 10, 25,
50 y 70 unidades, respectivamente.
Las instalaciones disponibles para producir los motores
varían de acuerdo con otros programas de producción,
mantenimiento y renovación durante el período.
Ejemplo: Destino FicticioLas diferencias
mensuales debidas al
número máximo que
se puede producir y el
costo unitario de
producción (en
millones $) se
presentan en la
tercera y cuarta
columna.
Mes Instalaciones
programadas
Producción
máxima
Costo
unitario de
producción
Costo
unitario
de
almacenaj
e
1 10 25 1.08 0.015
2 15 35 1.11 0.015
3 25 30 1.10 0.015
4 20 10 1.13 0.015
Ejemplo: Destino Ficticio
Dadas las variaciones de los costos de producción,
podría valer la pena fabricar algunos motores un mes o
más antes de su fecha de instalación; en la actualidad
se estudia esta posibilidad. El inconveniente es que
esos motores deberán almacenarse hasta que sean
instalados – la estructura de los aviones no estará lista
antes .- El costo de almacenamiento de cada motor es
de 15 mil dólares por mes.- incluye el interés sobre el
capital invertido.
Ejemplo: Destino Ficticio
El gerente de producción quiere desarrollar la
programación del número de motores que se
deben fabricar en cada uno de los cuatro
meses, de manera que se minimicen los
costos totales de producción y
almacenamiento.
Pasos para la solución
ijX
• Origen i = producción de motores de turbina en el mes i
(i=1,2,3,4)
• Destino j = instalación del motor de turbina en el mes j
(j=1,2,3,4)
• número de motores producidos en el mes i para
instalarlos en el mes j. (i ≤ j)
• Si = número de motores producidos en el mes i
• Dj = número de instalaciones programadas en el mes j.
• Cij = Costo asociado con cada unidadijX
Tabla de costos
Mes Costo por unidad distribuida
Destino
Recursos
1 2 3 4 5
1
2
3
4
1.080 1.095 1.110 1.125 0 25
M 1.110 1.125 1.140 0 35
M M 1.100 1.115 0 30
M M M 1.130 0 10
Demanda 10 15 25 20 30
Ori
gen
Ejemplo de Transporte (Origen
Ficticio)
El Metro Water District es una dependencia que
administra la distribución de agua en cierta región
geográfica grande. La región es bastante árida, por lo
que debe comprar y traer agua del exterior. Las fuentes
de esta agua importada son los ríos Colombo, Sacron y
Calorie. El distrito revende el agua a los usuarios de la
región. Sus clientes principales son los departamentos
de aguas de las ciudades de Berdoo, Los Devils, San
Go y Hollyglass.
Datos de recursos de agua del Metro
Water District
Costo en (en decenas de millones de dólares ) por
unidad distribuida
Recursos
Berdoo Los Devils San Go Hollyglass
Río Colombo 16 13 22 17 50
Río Sacron 14 13 19 15 60
Río Calorie 19 20 23 -- 50
Mínimo
necesario
30 70 0 10 (en millones
de acres-
pie)Solicitado 50 70 30
Es posible hacer llegar a cualquiera de estas ciudades desdecualquiera de los tres ríos, con excepción de que no hayforma de abastecer a Hollyglass con agua del río Calorie.Sin embargo, dada la distribución geográfica de losacueductos y las ciudades en la región, el costo delabastecimiento del distrito depende tanto de la fuente comode la ciudad a la que abastece.
La administración del distrito tiene que resolver el problemade cómo asignar el agua disponible durante el próximoverano. En la columna del lado derecho de la tabla anteriorproporciona las cantidades disponibles en los tres ríos, enunidades de un millón de acres-pie. El distrito se comprometea proporcionar una cantidad mínima para cumplir con lasnecesidades esenciales de cada ciudad.
Con la excepción de San Go, que tiene una fuente
independiente de agua; estas necesidades mínimas se
muestran en el renglón correspondiente de la tabla. El
renglón de solicitado indica que Los Devils no quiere más
agua que la que cubre sus necesidades mínimas, pero
Berdoo compraría hasta 20 más, San Go hasta 30 más y
Hollyglass compraría toda la que pudiera obtener.
La administración desea asignar toda el agua disponible de
los tres ríos de manera que por lo menos se cumpla con las
necesidades mínimas de cada ciudad y al mismo tiempo se
minimice el costo total para el distrito.
Cantidad mínima= (50+60+50) - (30+70+0)=60
Demanda (50+70+30+60) – (50+60+50) = 50
Tabla de parámetros sin las necesidades
mínimas del Metro Water District
Costo en (en decenas de millones de dólares ) por
unidad distribuida
Recursos
Berdoo Los Devils San Go Hollyglass
Río Colombo 160 130 220 17 50
Río Sacron 140 130 190 15 60
Río Calorie 190 200 230 M 50
Ficticio 0 0 0 0 50
Demanda 50 70 30 60
Características
La oferta o suministro en cada origen es limitada.
En cada destino la demanda está definida oespecificada.
El objetivo en el problema de transbordo es determinarcuantas unidades deberán embarcarse por cada uno delos arcos de la red, de manera que todas las demandas-destinos se satisfagan al costo de transporte mínimoposible.
Ejemplo 1: Una fábrica posee dos plantas de manufactura,
una en Memphis y otra en Denver.
La planta de Memphis puede producir hasta 150unidades al día, la de Denver hasta 200 unidadesal día. Los productos son enviados por avión aLos Angeles y Boston. En ambas ciudades, serequieren 130 unidades diarias. Existe unaposibilidad de reducir costos enviando algunosproductos en primer lugar a New York o aChicago y luego a sus destinos finales. Loscostos unitarios de cada tramo factible se ilustranen la siguiente tabla:
Tabla de Costos de transporte
Memphis Denver N.Y. Chicago L.A. Boston
Memphis 0 - 8 13 25 28
Denver - 0 15 12 26 25
N.Y. - - 0 6 16 17
Chicago - - 6 0 14 16
L.A. - - - - 0 -
Boston - - - - - 0
Hacía
Desd
e
La fábrica desea satisfacer la demanda, minimizando el costo total de
envío. En este problemas, Memphis y Denver son puntos de oferta de
150 y 200 unidades respectivamente. New York y Chicago son puntos
de transbordo. Los Ángeles y Boston son puntos de demanda de 130
unidades cada uno.
150
130
130
200
Solución: A continuación construiremos un problema de
transporte balanceado a partir del problema detransbordo. Para ello podemos seguir los siguientespasos (suponiendo que la oferta excede a lademanda):
Paso 1. Si es necesario, se debe agregar un puntode demanda ficticio (con oferta 0 y demanda igual alexcedente) para balancear el problema. Los costosde envío al punto ficticio deben ser cero. Sea S laoferta total disponible.
Paso 2. Construir una tabla de transporte siguiendolas siguientes reglas:
Solución: Incluir una fila por cada punto de oferta y de transbordo.
Incluir una columna por cada punto de demanda y detransbordo.
Cada punto i de oferta debe poseer una oferta igual a su ofertaoriginal si. Cada punto de demanda j debe poseer unademanda igual a su demanda original dj .
Cada punto de transbordo debe tener una oferta igual a suoferta original + S y una demanda igual a su demanda original+ S. Como de antemano no se conoce la cantidad quetransitaría por cada punto de transbordo, la idea es asegurarque no se exceda su capacidad. Se agrega S a la oferta y a lademanda del punto de transbordo para no desbalancear latabla.
Solución:
En el ejemplo, S = 150+200 = 350. La demanda total es130+130 = 260. Luego, el punto ficticio debe tener unademanda =90.
Como en el ejemplo los puntos de transbordo no tienen nidemanda ni oferta por sí mismos, la oferta y demanda enla tabla deber ser igual a s.
Una vez planteado la tabla, se pueden emplear losmétodos vistos anteriormente para obtener una solucióninicial factible y obtener la solución óptima.
Modelo deTransbordo
N.Y. Chicago L.A. Boston Ficticio Oferta
Memphis 8 13 25 28 0 150
Denver 15 12 26 25 0 200
N.Y. 0 6 16 17 0 350
Chicago 6 0 14 16 0 350
Demanda 350 350 130 130 90
Análisis de Sensibilidad: Para interpretar la solución, es preciso revisar cuidadosamente las
combinaciones asignadas. De la primera fila, vemos que deMemphis sólo se despacharon 130 unidades a New York del totalde 150 disponibles, el excedente de 20 unidades está asignadoal punto artificial. De la segunda fila se desprende que deDenver se enviaron 130 unidades a Boston del total de 200disponibles, quedando 70 asignadas al punto ficticio. En latercera fila vemos que se enviaron desde el punto de transbordoen New York 130 unidades a Los Angeles. La asignación de 220de N.Y. a N.Y. significa que del total de unidades en tránsito, 220no pasaron por dicho nodo de transbordo, o bien, que no seemplearon 220 unidades de la capacidad del punto. Finalmente,en la cuarta fila, la asignación de 350 del punto de transbordode Chicago a Chicago representa simplemente que no seempleó el punto de transbordo.
EJEMPLO 2
Dos fábricas de automóviles, P1 y P2, están conectadas a
tres distribuidores, D1, D2 y D3, por medio de dos centros
de tránsito, T1 y T2, de acuerdo con la red que se muestra
en la siguiente diapositiva
Las cantidades de la oferta en las fábricas P1 y P2, son de
1000 y 1200 automóviles, y las cantidades de la demanda
en las distribuidoras D1, D2 y D3, son de 800, 900 y 500
automóviles. El costo de envío por automóvil (en decenas
de dólares) entre los pares de nodos, se muestra en los
eslabones (arcos) de conexión de la red
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Cada vez que se plantea un problema de
programación lineal, se procede cumpliendo las
siguientes etapas:
1.- Comprensión del problema (lectura en detalle)
2.- Definición de las variables de decisión
3.- Descripción de la función objetivo
4.- Identificación de las restricciones del problema
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Se plantea identificando como variables de decisión a todas
las posibilidades de flujos de asignación, a transferir entre
los nodos de la red de transbordo
Se define como función objetivo la minimización
de los costos de transporte asociados al
transbordo
Las restricciones corresponden a un balance de
transferencia de unidades para cada nodo de la red de
asignación, sin olvidar la condición de no negatividad
800
900
500
1200
1000 T1
T2
P1
P2
XP1T1
XP2T2
XD
1D
2X
D2D
3
D2
D1
D3
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Red para plantear el PPL:
F.O. Mín Z = 3XP1T1 + 4XP1T2 + 2XP2T1 + 5XP2T2 + 8XT1D1 +
6XT1D2 + 4XT2D2 + 9XT2D3 + 5XD1D2 + 3XD2D3
s.a. : 1000 = XP1T1 + XP1T2
1200 = XP2T1 + XP2T2
XP1T1 + XP2T1 = XT1D1 + XT1D2
XP1T2 + XP2T2 = XT2D2 + XT2D3
XT1D1 = XD1D2 + 800
XT1D2 + XT2D2 + XD1D2 = XD2D3 + 900
XT2D3 + XD2D3 = 500
Xij > 0
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
EJEMPLO DE TRANSBORDO
El transbordo ocurre ya que la cantidad de la oferta de 2200
(1000 + 1200) automóviles en los nodos P1 y P2, requiere
pasar a través de los nodos de transbordo de la red (T1 y T2)
,antes de llegar a sus puntos de destino en los nodos D1, D2
y D3
• Nodos puros de Oferta
• Nodos de Transbordo
• Nodos puros de Demanda
El modelo de transbordo se convierte a un modelo de
transporte con seis puntos de origen (P1, P2, T1, T2, D1 y D2)
y cinco de destino (T1, T2, D1, D2 y D3)
P1, P2
D3
T1, T2, D1, D2
NODOS PUROS DE OFERTA
Y NODOS PUROS DE DEMANDA
Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos
puros de oferta y puros de demanda, queda:
Oferta en un Nodo puro de Oferta
Demanda en un Nodo puro de Demanda
Oferta Original
Demanda Original
Un nodo puro de oferta no posee amortiguador
Un nodo puro de demanda no posee amortiguador
NODOS DE TRANSBORDO
Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos de
transbordo, se establece de acuerdo a:
Oferta en un Nodo de Transbordo
Demanda en un Nodo de Transbordo
Oferta Original
Amorti-guador
Demanda Original
Amorti-guador
+
+
La oferta necesariamente posee un amortiguador,
mientras que a veces se encuentra oferta original
La demanda necesariamente posee amortiguador,
mientras que en ocasiones hay demanda original
Para resolver
1
2
53
64
1
4
2
3
100
200
150
150
1 3
6
5
8
1
La red de la figura, muestra las rutas de transporte de los nodos 1 y 2 a los
nodos 5 y 6, pasando por los nodos 3 y 4. Se ven, en los arcos respectivos, los
costos unitarios de transporte.
a. Formule el modelo correspondiente de transbordo
b. Resuelva el modelo e indique cual es la solución ópt
Introducción
El problema de asignación es un tipoespecial de problema de programación linealen el que los asignados son recursosdestinados a la realización de tareas
Ejemploo:
Empleados a trabajo
Máquinas a tareas
Períodos a tareas
Supocisiones de un problema de asignación
1. El número de asignados es igual al número detareas (se denota por n). (esto puede variar)
2. Cada asignado se asigna exactamente a unatarea.
3. Cada tarea debe realizarla exactamente unasignado.
4. Existe un costo cij asociado con el asignado i(i=1,2,…,n).
5. El objetivo es determinar cómo deben hacerselas asignaciones para minimizar los costostotales.
Caso Fowle Marketing Research
1 2 3
1. Terry 10 15 9
2. Carla 9 18 5
3. Roberto 6 14 3
Jefe de
Proyecto
Cliente
Tiempos estimados de terminación del
proyecto ( en días)
Problema de la Fowle
Representación en Red
J1[1]
J2[1]
J3[1]
C1 [1]
[1]
[1]
C2
C3
18
3
Jefes de Proyecto
Nodos de Origen
Clientes
Nodos de DestinoAsignaciones Posibles
Arcos
Planteamiento matemáticoSea Z tiempo total de terminación
)4,3,2,1;3,2,1(0
1
1
1
1
1
1
nesrestriccio las a Sujeta
3146518991510Min
332313
322212
312111
333231
232221
131211
333231232221131211
jix
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxxxxxZ
ij
Solución
1 2 3
1. Terry 0 1 0 1 = 1
2. Carla 0 0 1 1 = 1
3. Roberto 1 0 0 1 = 1
1 1 1
= = = Costo 26
1 1 1
Asignaciones
Jefe de
Proyecto
Cliente
Representación de red para el problema general
S1[1]
S2[1]
Sm[1]
D1 [1]
D2
[1]
Dm [1]
c11
c12
c1n
c21c22
c2n
cm1 cm2
cmn
Planteamiento matemático modelo general
).y todapara binarias, (y para,0
,,...,2,1 para1
,,...,2,1 para1
a sujeta
min
1
1
1 1
jixjix
njx
mix
xcZ
ijij
m
j
ij
n
j
ij
ij
m
i
n
j
ij
El entrenador de un equipo de natación debe asignar
competidores para la prueba de 200 metros de relevo
combinado que irán a las Olimpiadas Juveniles. Como
muchos de sus mejores nadadores son rápidos en más de
un estilo, no es fácil decidir qué nadador asignar a cada
uno de los cuatro estilos. Los cinco mejores nadadores y
sus mejores tiempos (en segundos) en cada estilo son los
siguientes.
Problema Natación Asignación)
Carlos Cristy David Antony José
Dorso 37.7 32.9 33.8 37 35.4
Pecho 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8
Mariposa 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6
Libre 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1
Tiempo de Nado
Problema Natación
(Asignación) Solución
Carlos Cristy David Antony José
Dorso 0 0 1 0 0 1 = 1
Pecho 0 0 0 1 0 1 = 1
Mariposa 0 1 0 0 0 1 = 1
Libre 1 0 0 0 0 1 = 1
1 1 1 1 0
<= <= <= <= <=
1 1 1 1 1
TIEMPO Min.
Tiempo de Nado
126.2
Problema de Asignación
El gerente de la línea de producción de una empresaelectrónica debe asignar personal a cinco tareas.Existen cinco operadores disponibles para asignarlos.El gerente de línea tiene a su disposición datos deprueba que reflejan una calificación numérica deproductividad para cada uno de los cinco trabajos. Estosdatos se obtuvieron a través de un examen de operacióny prueba administrado por el departamento de ingenieríaindustrial (véase la tabla siguiente). Suponiendo que unoperador puede ejecutar un solo trabajo, plantee unmodelo que conduzca a la asignación óptima de tareas.
Número de
operador
Número de trabajo
1 2 3 4 5
Op1
Op2
Op3
Op4
Op5
12
6
10
2
7
16
8
6
4
10
24
20
26
2
6
8
14
18
24
6
2
6
12
20
18
1.Formular el modelo como uno de PL
2.Desarrollar el modelo Matemático
Método Húngaro1) A todos los elementos de cada columna restar el menor
elemento de la columna. En la matriz resultante, restar a todos
los elementos de cada fila el menor elemento de la fila. Así se
garantiza la obtención de por lo menos un cero en cada fila y
columna.
2) Con la matriz resultante, verificar la existencia de una solución
óptima. Para encontrarla se debe asignar un cero a cada fila(
comenzando por las que tengan menor Nº de ceros), y
cancelar los demás ceros de esa fila y los ceros de la columna
en la que se encuentra ese cero. Repetir esta operación hasta
que no queden ceros sin asignar o cancelar.
Si no existe solución óptima ir al paso 3.
Método Húngaro3) Realizar lo siguiente:
a) Marcar con un * todas la filas que no contengan
ceros asignados.
b) Marcar todas las columnas que contengan uno o
más ceros cancelados en alguna fila marcada.
c) Marcar toda fila que tenga un cero asignado en una
columna marcada.
d) Repetir b) y c) hasta que no sea posible marcar más
filas o columnas.
e) Poner un trazo (línea) sobre toda fila no marcada y
sobre toda columna marcada.
Método Húngaro
4) Tomar el menor número no atravesado por un
trazo(línea) y:
• Restarlo a todos los elementos de las filas no
atravesadas.
• Sumarlo a todos los elementos de columnas
atravesadas.
Volver al paso 2.
Ejemplo de Asignación
Se desea asignar 4 máquinas a 4 lugares posibles. A
continuación se presentan los costos asociados.
Maquina\Lugar 1 2 3 4
1 3 5 3 3
2 5 14 10 10
3 12 6 19 17
4 2 17 10 12
Ejemplo (cont.)
Paso 1.
1 2 3 4
1 0 2 0 0
2 0 9 5 5
3 6 0 13 11
4 0 15 8 10
1 2 3 4
1 0 2 0 0
2 0 9 5 5
3 6 0 13 11
4 0 15 8 10
Paso 2.
No hay óptimo pues
hay 3 asignaciones
que es <4
Ejemplo (cont.)
Paso 3.a) *
* *
b)
00201
1509
2
8135
3
10115
4
046302
100201
1509
2
8135
3
10115
4
046302
1
*
*
c)
00201
1509
2
8135
3
10115
4
046302
1
*
d) No es posible marcar
más filas ni columnas
00251
1004
2
3130
3
5110
4
0411302
1
Ejemplo (cont.)
Paso 3.e)
*
00201
1509
2
8135
3
10115
4
046302
100251
1004
2
3130
3
5110
4
0411302
1*
*
Paso 4. El menor número es 5
Paso 2. Óptimo pues hay 4 asignaciones:• Máq. 1 a lugar 3• Máq. 2 a lugar 4• Máq. 3 a lugar 2• Máq. 4 a lugar 1
Costo total=21
Problema de Asignación
Se deben utilizar cuatro barcos cargueros para
transportar bienes de un puerto a otros cuatro puertos
(numerados 1,2,3, y 4). Se puede usar cualquier barco
para hacer cualquiera de los cuatro viajes. Sin embargo,
dadas algunas diferencias entre los barcos y las cargas,
el costo total de carga, transporte y descarga de bienes
de las distintas combinaciones de barcos y puertos varía
de manera considerable. Estos costos se muestran en la
tabla siguiente.
Tabla de datos
Puerto
1 2 3 4
Barcos
1 $500 $400 $600 $700
2 $600 $600 $700 $500
3 $700 $500 $700 $600
4 $500 $400 $600 $600
El objetivo es asignar los barcos a los puerto en
una correspondencia uno a uno de manera que se
minimice el costo total de los cuatro envíos.
Formule el modelo como un PPL
Obtenga una solución óptima
Muestre la solución en gráfico de red
Obtenga la solución como un problema
de asignación.
Aplique en forma manual el algoritmo
húngaro. Al problema de costos
(Asignación)
Tarea
Personas
1 2 3
A 4 6 5
B 7 4 5
C 4 7 6
D 5 3 4
4
5
6
4
7
Mas Problemas de Asignación
Definición del Problema
* m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.
* Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado al trabajador i que
realizara el trabajo j.
* Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la
asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le
corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación sea la
óptima posible.
Electrónica Ballston
Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneas
de producción que necesitan ser inspeccionadas.
El tiempo para realizar una buena inspección de un
área de pende de la línea de producción y del área de
inspección.
La gerencia desea asignar diferentes áreas de
inspección a inspectores de productos tal que el tiempo
total utilizado sea mínimo.
Datos
* Tiempo de inspección en minutos para la línea de
ensamble de cada área de inspección.
Area de InspecciónA B C D E
1 10 4 6 10 12 Linea 2 11 7 7 9 14Ensamble 3 13 8 12 14 15
4 14 16 13 17 175 19 17 11 20 19
RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA
1
2
3
4
5
Línea de ensamble Área de Inspección
A
B
C
D
E
S1=1
S2=1
S3=1
S4=1
S5=1
D1=1
D2=1
D3=1
D4=1
D5=1
Supuestos restricciones
* El número de trabajadores es igual al número de empleos.
* Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es
asignado sólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo
trabajador.
* Para un problema desbalanceado se debe agregar un
trabajador “ficticio” (en el caso de que existan más trabajos que
trabajadores) o un empleo “ficticio” (en el caso de que existan
más trabajadores que trabajos), quedando así el problema
balanceado.
Solución mediante el método Húngaro
Problema:
El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta
pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4
secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo
asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que
realiza el trabajo. Además los capítulo difieren en la cantidad de hojas
y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la
siguiente tabla:
Capítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 96 99 105 108
María 116 109 107 96
Jackeline 120 102 113 111
Edith 114 105 118 115
Restricciones del Método
* Solo problemas de minimización.
* Número de personas a asignar m es igual al número de
lugares m.
* Todas las asignaciones son posibles
* Una asignación por persona y una persona por asignación
Matriz de CostosCapítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 96 99 105 108
María 116 109 107 96
Jackelin 120 102 113 111
Edith 114 105 118 115
Restar el Menor valor de cada filaCapítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 0 3 9 12
María 20 13 11 0
Jackeline 18 0 11 9
Edith 9 0 13 10
Restar el menor valor de cada columna en la matriz
anteriorCapítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 0 3 0 12
María 20 13 2 0
Jackeline 18 0 2 9
Edith 9 0 4 10
Trazar el mínimo número de líneas que cubran los
ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.Capítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 0 3 0 12
María 20 13 2 0
Jackelin 18 0 2 9
Edith 9 0 4 10
Si el número de líneas es igual al número de filas se esta
en la solución óptima, sino identificar el menor valor no
rayado restárselo a los demás números no rayados y
sumarlo en las intersecciones.
Pare este caso corresponde al valor 2
Capítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 0 5 0 14
María 18 13 0 0
Jackeline 16 0 0 9
Edith 7 0 2 10
Las asignaciones corresponde a los valores donde
existen 0
Juana Cap. 13
María Cap. 16
Jackeline Cap. 15
Edith Cap. 14
*Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410
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