UNIVERSIDAD “GABRIEL RENE MORENO”FACULTAD POLITECNICA UNIDAD DE POSTGRADO
ESTADISTICA APLICADA
Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez SolarisMgs. Educación Superior
[email protected]@hotmail.com
http://www.docstoc.com/profile/fmartinezsolaris
ESTADISTICA APLICADANociones Generales
Número de especies parásitas
Tipo de AnemiaTotal
Leve Moderada Severa
n % n % n % n %1 3 100 0 0 0 0 3 2.61
2 1270.5
9 529.4
1 0 0 17 14.78
3 3069.7
7 1125.5
8 2 4.65 43 37.39
4 2167.7
4 929.0
3 1 3.23 31 26.96
5 1168.7
5 531.2
5 0 0 16 13.91
6 360.0
0 240.0
0 0 0 5 4.35
Total 8069.5
7 3227.8
3 3 2.61 115 100
ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA
PROPOSITO
METODOS
INFERENCIAL
PROPOSITO
METODO
• TABULARES• GRAFICOS• NUMERICOS
PROBABILISTICO
¿Qué es?...
ESTADISTICA APLICADANociones Generales
Características
Ciencia encargada de la Recolección, Manipulación, Organización y Presentación de información de manera tal que ésta tenga una Confiabilidad determinada
ESTADISTICA APLICADANociones Generales
Población NParámetros µ, σ2, p, etc
Muestra n=?Estadístico
sEstadígrafo
s
Deducción
TECNICAS DE MUESTREO
INFERENCIA
ESTIMACION
ESTADISTICA APLICADANociones Generales
ESTADISTICA APLICADANociones Generales
MUESTRA Tipos
Probabilística
No Probabilística
Azar
Arbitraria
MUESTREO
Probabilístico
No Probabilístico
MAS, MAP y MAE
POBLACION
ESTADISTICA APLICADANociones Generales
MUESTRA
Atributo
Variable
Cambiar
• Nombre
• Definición
• Rango de Valores
• Clasificación
Elementos
TiposCualitativas
Cuantitativas
Categorías
Discretas
Continuas
ESTADISTICA APLICADANociones Generales
Variable
• Nombre
• Definición
• Rango de Valores
• Clasificación
Elementos
Medirse
Escalas de Medición
Nominal
De Razón
+
Ordinal
De Intervalo
ESTADISTICA APLICADAMétodos Tabulares
DESCRIPTIVA
METODOS
TABULARES
Sea X y Y dos variables y sea x1, x2, … xn y y1, y2, … yn, valores que toman las variables X y Y, y sean “a” y “b” dos constantes. Entonces:
Sumatoria
Propiedades
x1 + x2 + x3 + …xn y1 + y2 + y3 + …yn
n
iyi
1
n
ixi1
ESTADISTICA APLICADAPropiedades de Sumatoria
ESTADISTICA APLICADAMétodos Tabulares/Ordenamiento
17
18
18
16
21
15
17
19
20
18
16
18
Edad (años)
Ordenándolo
15
16
16
17
17
18
18
18
18
19
20
21
Edad (años)
Valores extremos
Valores mas frecuente
Valores extremos
Desventaja
ESTADISTICA APLICADACuadro de Frecuencia
Edad (años
)fi fr Fia Fra
15 1 8.3 1 8.3
16 2 16.7 3 25.0
17 2 16.7 5 41.7
18 4 33.3 9 75.0
19 1 8.3 10 83.3
20 1 8.3 11 91.7
21 1 8.3 12 100
Total 12 100
Cuadros de Frecuencia
ESTADISTICA APLICADACuadro de Frecuencia
Lugar de realización del Diplomado
n %
Extranjero 19 13.87
Universidad Objeto de Estudio 87 63.50
Otras universidades bolivianas 31 22.63
Total 137 100
ESTADISTICA APLICADACuadro de Frecuencia
67.7 39.2 52.5 42.3 69.8 61.2
63.9 37.2 45.7 41.7 69.1 55.5
64.9 38.9 52.4 41.9 69.2 58.9
68.3 39.2 52.6 42.7 70.0 61.9
68.3 39.2 53.3 45.5 70.1 63.2
Cuadro de Frecuencia
La Estadística ofrece otra alternativa Tablas de Frecuencias Absolutas y Relativas
ESTADISTICA APLICADATabla de Frecuencia
Procedimiento
Definir el Número de Intervalos
K = 1 + 3.33* log n
≥ 5 ó ≤ 20 ó 25
Sturges
Tipo de Intervalos (Li - LS]
Ac = A/kA = Valor Máx.- Valor Mín.
Ac = Ajustada
MD = (RI – A)/2
RI = Ac*K > A
ESTADISTICA APLICADATabla de Frecuencia
Intervalos de Clases
PMC fi fr Fia Fra
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
30 1
ESTADISTICA APLICADAMétodos Gráficos
Métodos Gráficos Clásicos
Diagrama de Puntos
Histograma
Polígono de Frecuencias
Ojiva
Diagrama de Sectores
ESTADISTICA APLICADADiagrama de Puntos
15 16 17 18 19 20 21
Edad (años)
ESTADISTICA APLICADAHistograma
ESTADISTICA APLICADAPolígono de Frecuencias
ESTADISTICA APLICADAOjiva
ESTADISTICA APLICADADiagrama de Sectores
137-------360
19 ------- x
(19*360)
X= = 49.9
137
Lugar de realización de estudios Postgraduales
n Grados
Extranjero 19 49.927
Universidad de Interés 87 228.613
Otras universidades bolivianas 31 81.460
Total 137 360
ESTADISTICA APLICADADiagrama de Sectores
ESTADISTICA APLICADA Métodos Numéricos (Medidas de Tendencia
Central)
Cuando se desea comparar dos o más poblaciones o bien muestras, y si las variables de interés son de carácter numérico …
Los métodos tabulares no son los más recomendables
La Estadística oferta otra herramienta llamada Métodos Numéricos
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
Métodos Numéricos
Medidas de Tendencia Central
Medidas de Dispersión
Localizan el centro de una base de datos numéricas
Cuantifican cuánto se dispersan los datos de una medida de tendencia central
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Medidas de Tendencia Central
Promedio
Moda
Media Ponderada
Mediana
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central/Promedio
Promedio
Población
Muestra
Media µ Poblacional
Es la sumatoria de las observaciones que toma una variable dividido entre el total de éstas
Se interpreta como el punto de equilibrio de una base de datos numéricas
Media Muestral
x
Tiempo (minutos)
52.6
38.9
68.3
67.2
63.9
64.9
68.3
39.2
42.3
61.9
567.5
56.75
Suma
Promedio
Desviaciones
-4.15
-17.85
11.55
10.45
7.15
8.15
11.55
-17.55
-14.45
5.15
0Suma
Propiedad
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
01
n
i
xxi
xxi
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Media en datos tabulados
Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la media tomando en cuenta lo siguiente:
• PMC es el promedio de las observaciones de las observaciones que caben dentro del intervalos.
• PMC*fi proporciona una estimación de la suma de las observaciones que caben en el intervalo y como una tabla tiene k-ésimo intervalos entonces:
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Intervalos de Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
30
PMC*fi
318.8
136.05
203.4
112.7
247.4
606.15
1624.5
1624.5 = = 54.15 30 x
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Cargo fi Salario
Rector 1 2000
Asesores 2 1200
Vic. Académico 1 1150
Vic. Administrativo 1 1250
Jefe de Carrera C.S 2 1000
Jefe de Carrera 5 800
Administrativo 2 600
Secretarias 9 120
Cuando los datos tienen diferente peso dentro de la base de datos, si desea obtener el promedio, la media aritmética no es la más indicada
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Cargo fi (wi)Salario
(xi)
Rector 1 2000
Asesores 2 1200
Vic. Académico 1 1150
Vic. Administrativo 1 1250
Jefe de Carrera C.S 2 1000
Jefe de Carrera 5 800
Administrativo 2 600
Secretarias 9 120
Xiwi
2000
2400
1150
1250
2000
4000
1200
1080
15080
15080 = = 655.65 23
wx
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Mediana (Me)
Datos sin tabular
Datos tabulados
Si los datos no se distribuyen simétricamente (curva simétrica) el promedio no es la mejor medida para localizar el centro de los mismos
(b-a)(0.5- c)Me = a + d
Me = xn/2 + 0.5
•Ordenar
Impar
Par
n
Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Tiempo (minuto
s)38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
Tiempo (minuto
s)38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
n es impar
Me
Me = xn/2 + 0.5
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Tiempo (minuto
s)38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
Tiempo (minuto
s)38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
n es par
Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
61.9 + 63.9Me = = 62.9 262.9
Mediana es aquella medida de tendencia central que antes y después de ella no existe más del 50% de la información
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
(b-a)(0.5- c)Me = a + d
a = Límite inferior de la clase de la Me
b = Límite superior de la clase de la Me
c = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)
d = fr de la clase de la Me
Clase de la Mediana
• Complete la columna Fia
• Localice la menor Fia > n/2
• La clase a la que pertenece esta frecuencia es la clase de la mediana (Nj)
• La Clase antes de Nj es Nj -1
Intervalos de Clases
PMC fi fr Fia Fra
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
(b-a)(0.5- c)Me = a + d
a = Límite inferior de la clase de la Me
b = Límite superior de la clase de la Me
c = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)
d = fr de la clase de la Me
n = 30
n/2 = 15
Nj = 17… (53.6 – 59.1)
Nj- 1 = (48.1 – 53.6)
(59.1-53.6)(0.5- 0.5)Me = 53.6 + = 53.6 0.07
Ubicación de la clase de la Me
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Connotancia de Moda (Mo) en Estadística
En caso de existir es la (s) observación (nes) que más se repiten en una base de datos
Tiempo (minuto
s)38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
Distribuciones:
Unimodales
Bimodales
Etc.
Mo
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
Donde:
Licmo: Límite inferior de la Clase Modal
Acmo: Ancho de clase de la Clase Modal
Ficmo: Frecuencia absoluta de la Clase Modal
Ficpremo: Frecuencia absoluta de la Clase Premodal
Ficpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase PostmodalClase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi
Intervalos de Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
(9 - 4)
Mo = 64.6 + 5.5 = 66.56
(9 - 4) + (9 – 0)
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Dispersión
Medidas de Dispersión
Rango/Distancia/Amplitud o Recorrido
Varianza (Variancia)
Desviación Típica o Estándar
Coeficiente de Variación
Una medida de tendencia central por si sola no es tan importante. Por esta razón debe estar acompañada de una medida de dispersión
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Dispersión
Rango Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo
Varianza
Población ( σ²)
Muestra (S²)
Es el promedio de las desviaciones al cuadrado de las observaciones que toma una variable respecto a su media
2
12
N
xiN
i
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Dispersión
xi(Desviaciones)
2
52.6 17.2225
38.9 318.6225
68.3 133.4025
67.2 109.2025
63.9 51.1225
64.9 66.4225
68.3 133.4025
39.2 308.0025
42.3 208.8025
61.9 26.5225
Sumatoria 567.5 1372.725
Promedio 56.75
1372.725
S² = = 152.525mi²/est²
10 - 1
Desventaja
Desviación Típica S = √S²
S = √152.525 = 12.35 min/est
Interpretación x ± S
56.75 ± 12.35 min/est.
ESTADISTICA APLICADA
Intervalos de Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la varianza de la siguiente forma:
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Dispersión
Intervalos de Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
PMC*fi
PMC2*fi
318.8 12704.18
136.05 6169.8675
203.4 10342.89
112.7 6350.645
247.4 15301.69
606.15
40824.203
1624.5 91693.475
774.124
13030
5.1624475.91693
2
2
S
70.11774.124 S
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Dispersión
Todas las medidas de dispersión expuestas anteriormente son dimensionales (toman las unidades de medidas de las variables)
Existe otra medida de dispersión pero adimensional llamadas Coeficiente de Variación o Dispersión Relativa
x
SVC. 100*.
x
SVC
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Dispersión
Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se dispersan los datos alrededor de una medida de tendencia central, pero, ¿Para donde se desvían los datos?, a la izquierda de la media, a la derecha o se distribuyen simétricamente.
Existen otras medidas aplicable solo a curvas unimodales que tratan de las deformación de curvas tanto de forma horizontal como vertical
ESTADISTICA APLICADA Deformación de Curvas Unimodales
Asimetría
Asimetría Negativa
Asimetría Positiva
Curvas Simétricas
> Me > Mox
< Me < Mox
= Me = Mox
ESTADISTICA APLICADA Deformación de Curvas Unimodales
ESTADISTICA APLICADA Deformación de Curvas Unimodales
Curtosis
Curva Platicúrtica
Curva Leptocúrtica
Curva Mesocúrtica
Kur > 3
Kur < 3
Kur = 3
ESTADISTICA APLICADARegresión Lineal Simple
Y
X1
X2...
Xi
En el desarrollo de los eventos, puede ser que una variable sea afectada por el comportamiento de otra (s) variable (s)
Es de interés poder cuantificar este tipo de relación de manera que se pueda predecir una variable en función de otra
En Regresión Lineal Simple es de interés cuando una variable afecta el comportamiento de otra variable
Y: Variable Dependiente
X: Variable IndependienteY = f(X)
Propósito de la R.L.S: Predicción
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple
Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodos estadísticos que tratan con la formulación de modelos matemáticos que describen la relación entre variables y el uso de estas relaciones modeladas con el propósito de predecir e inferir.
Por Regresión Lineal Simple se entiende …
Supuestos del Análisis de Regresión Lineal Simple
“Y” es una variable aleatoria cuya distribución probabilística depende de “X”
Modelo de la Línea RectaHomogeneidad de VarianzaNormalidadIndependencia
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Diagrama de
Dispersión
Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito mostrar la posible tendencia (en caso de existir) entre las variables “X” y “Y”.
Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema de coordenadas (bidimensional)
Y
X
(x, y)
Rango de Sueldo (X) Inasistencias (Y)11 1810 178 295 369 119 267 283 35
11 148 207 322 399 168 266 313 40
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Diagrama de
Dispersión
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos
Cuadrados
El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relación entre “X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puede pensar en una ecuación de la siguiente forma:
De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de la siguiente naturaleza:
Parámetros
Estimación
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos
Cuadrados
Uso de la Técnica de Mínimos Cuadrados (Carl Gauss)
A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables “X” y “Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la Técnica de Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de las distancias entre los valores observados y los estimados de tal manera que :
Y
X
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Recta de Estimación
Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuenta que el propósito de la R.L.S es la predicción, se hace necesario estar seguro que la ecuación estimada es capaz de predecir.
Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de
Estimación
Validación
Cálculo de Coeficiente de Determinación R²
Análisis de Varianza de la Regresión “ANARE”
Cuantifica la cantidad de la variabilidad de “Y” que puede ser explicada por “X”R² ≥ 70%
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de
Estimación/ANARE
Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a la partición de la variación total en fuente de variación conocida que en el caso de R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo aditivo lineal:
xi= Variación debida a Regresiónεi = Variación debida al Error
FV gl SC CM FcFt
(Pr>F)Regresión
1SCRegresión
CMRegresión
CMRegresión/CMError
Error n-2 SCError CMErrorTotal n.1 SCTotales
Regla de DecisiónNRHo : Fc ≤ Ft
RHo : Fc > Ft
ESTADISTICA APLICADA Correlación Lineal Simple
Así como existen técnicas que cuantifican los cambios de una variable dependiente por un único cambio de la variable independiente, existen técnicas que cuantifican la asociación lineal entre dos variables, esta técnica es llamada Correlación Lineal Simple que se exprese como el coeficiente de correlación (r)
Este coeficiente indica el sentido de la asociación como también la magnitud de ésta, partiendo del hecho que el coeficiente de correlación lineal simple toma valores en el rango de: r es -1 ≤ r ≤ 1. Entre más se acerca a 1 el valor de r mayor es la asociación entre dichas variables.
ESTADISTICA APLICADA Correlación Lineal Simple
-1 ≤ r < -0.8 Asociación
fuerte y
negativa
0 ≤ r < 0.4 No hay
asociación
-0.8 ≤ r < -0.4 Asociación
débil y
negativa
0.4 ≤ r <
0.8
Asociación
débil y
positiva
-0.4 ≤ r ≤ 0 No hay
asociación
0.8 ≤ r ≤ 1 Asociación
fuerte y
positiva
ESTADISTICA APLICADA Correlación Lineal Simple
ESTADISTICA APLICADA Correlación Lineal Simple
Regresión Lineal Simple Correlación Lineal Simple
Mide la cantidad de cambios en “Y” por un único cambio en “X”.
Mide asociación lineal entre dos variables
Existe una variable dependiente y otra independiente
Es indistinto x, y ó y, x
β1 puede tomar cualquier valor en la recta numérica
El coeficiente de correlación toma valores en el intervalo -1 ≤ r ≤ 1
Probabilidad
PROBABILIDADES
Experimentos Aleatorios
Espacio Muestral,Eventos y Sucesos
Tipos de Experimentos Aleatorios
Relaciones entre Eventos
Enfoques de Probabilidad/Teoremas Básicos de Probabilidad Eventos Dependientes/Independientes Probabilidad Total/Teorema de Bayes
Experimentos
Determinísticos
No Determinísticos
Sus resultados se conocen con anticipación sin necesidad de realizar el experimento
Sus resultados se conocen una vez que el experimento ha finalizado
Es un proceso planificado a través del cual se obtiene una observación (o una medición) de un fenómeno
Se pueden describir los posibles resultados pero no se puede decir cuál de ellos ocurrirá
Experimentos Aleatorios
Son experimentos no determinísticos cuyos resultados están regidos por el azar
PROBABILIDADES
Supóngase que se lanzan dos monedas legales al mismo tiempo y que a una cara de cada moneda se la llama “Cara” a la otra “Sol” entonces:
={CC, CS, SC, SS}
Supóngase ahora que se lanza un dado legal. Entonces:
={1, 2, 3, 4, 5, 6,}
Experimentos Aleatorios
Son aquellos experimentos no determinísticos cuyos resultados están regidos por la casualidad (azar)
PROBABILIDADES
M = {CC, CS, SC, SS}
O bien en el caso del lanzamiento del dado
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}
Espacio Muestral
Retomando el caso del lanzamiento de las dos monedas, ¿hay otro posible resultado en este experimento?.
Son todos los resultados que están asociados a un experimento aleatorio
Supóngase que el lanzamiento del dado se está interesado en la ocurrencia de una cara imparA = {1,3,5}
Evento
Es subconjunto del espacio muestral, es decir, sus resultados pertenecen al espacio muestral
PROBABILIDADES
Espacio Muestral
Evento
2
1
3
4
5
6
M
A
Suceso (wi)
Letras Mayúsculas del Alfabeto
A= (wiεA /wi ε M
PROBABILIDADES
Experimentos
Aleatorios
Simples
Compuestos
Un solo experimento aleatorio
Cuando ocurren dos o más experimentos simples al mismo tiempo o bien uno después del otro
Unidos por la partícula “ó” (v)
Unidos por la partícula “y” ( )
Los experimentos simples que lo componen ocurren de forma sucesiva
Los experimentos simples que lo componen ocurren al mismo tiempo
M = {M1∩M2…Mi} M = {M1UM2U…Mi}
PROBABILIDADES
Experimentos
Aleatorios
Simples
Compuestos
Un solo experimento aleatorio
Cuando ocurren dos o más experimentos simples al mismo tiempo o bien uno después del otro
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}
M = {CC, CS, SC, SS}
PROBABILIDADES
M2
M1 C S
C CC CS
S SC SS
Experimentos compuestos unidos por la partícula “y”
M3
M1*M2 C S
CC CCC CCS
CS CSC CSS
SC SCC SCS
SS SSC SSS
El espacio muestral es el producto cartesiano de los espacios muestrales simples que lo conforman
PROBABILIDADES
Experimentos compuestos unidos por la partícula “y”
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
M
CCC
CCS
CSC
CSS
SCC
SCS
SSC
SSS
Diagrama del Árbol
Diagrama de Senderos
1ra Moneda
2da Moneda
3era Moneda
PROBABILIDADES
De acuerdo a cómo ocurren los eventos se pueden establecer algunas relaciones entre ellos tales como:
AUB
A B M
AUB
A B M
AΠB
A B M M
AA´
PROBABILIDADES
Enfoques de
Probabilidades
Clásico
Frecuencia Relativa
Probabilidad A priori. Llamada También Probabilidad de Laplace
Probabilidad A posteriore
Subjetivo
PROBABILIDADES
Probabilidad
Clásica
Supuesto
Frecuencia Relativa Probabilidad A
posteriore
Subjetivo
Todos los sucesos de un experimento aleatorio tienen la misma posibilidad de ocurrir, entonces:
Mna
AP
10 AP
Si en la realización de experimento aleatorio aparece un evento A “n veces ≤ N”,entonces:
Nn
AP
PROBABILIDADES
Teoremas Básicos de
Probabilidades
P[AUB] = P [A] + P [B]
P[AUB] = P [A] + P [B] – P[AΠB]
P[Ø] = 0
P[M] = 1
%1000/10 APAP
APAP c 1
PROBABILIDADES
Cuando la ocurrencia de un evento está en dependencia de otro evento, se dice que éste es dependiente.
Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A es un evento dependiente de B sí;
o bien: 0; BPBAPAP 0; APA
BPBP
Estas probabilidades se pueden calcular de dos formas:
• Respecto al espacio muestral original
• Respecto al espacio muestral del evento condicionante
0; BPAPBPBAP
BAP
0; APBPAPABP
ABP
PROBABILIDADESEventos Dependientes
En una institución de Educación Superior se tiene 300 docentes, de los cuales 100 son casados y 30 divorciados. En dicha institución hay 200 hombres, 85 de los cuales son casados y 95 son solteros. Determinar cual es la probabilidad de seleccionar un docente al azar:a. Que sea mujerb. Que sea soltero (a)c. Que sea un hombre y esté casado (a)d. Que sea una mujer divorciadae. Dado que el docente es casado (a), ¿cuál es la probabilidad que sea hombre?f. Si el docente seleccionado es hombre, ¿cuál es la probabilidad que sea casado?
PROBABILIDADES
En una universidad el 70% de los estudiantes son de Ciencias, 30% de Letras. De los estudiantes de Ciencias el 60% son varones y los de Letras son varones el 40%. Si se elige al azar un estudiante, calcule la probabilidad que:a. Sea mujerb. Se estudiante varón dado si es de Cienciasc. Sea estudiante de Ciencias dado que es varónd. Sea estudiante de Ciencias y varón.
PROBABILIDADES
Cuando la ocurrencia de un evento no está en dependencia de la ocurrencia de otro evento, se dice que éstos son independientes.
Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A es un evento independiente de B sí se cumple con cualquiera de las siguientes condiciones:
BPAPBAP *
0; APBPAPABP
ABP
0; BPAPBPBAP
BAP
PROBABILIDADESEventos Independientes
Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak] son probabilidades conocidas entonces:
]/[][...]2/[]2[1/1 AkBPAkPABPAPABPAPBP
Probabilidad Total =
AkBPAkPBPk
i/
1
PROBABILIDADESProbabilidad Total
Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak]. Si B ya ha ocurrido y se está interesado en saber a cual de los eventos que forman la partición muestral se ha debido su ocurrencia, entonces se usa el denominado Teorema de Bayes
k
i AkBPAkPAk
BPAkP
BAkP
1
PROBABILIDADESTeorema de Bayes