MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
Codificacion y decodificacion de los codigos cıclicosComparativa con otros codigos
Cruz Enrique Borges Hernandez
Universidad de Cantabria
7 de marzo de 2005
Cruz Enrique Borges Hernandez Codificacion y decodificacion de los codigos cıclicos
MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
Contenido
1 Motivacion
2 Tipos de codigosCodificacionDecodificacion
3 Conclusiones
Cruz Enrique Borges Hernandez Codificacion y decodificacion de los codigos cıclicos
MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
Contenido
1 Motivacion
2 Tipos de codigosCodificacionDecodificacion
3 Conclusiones
Cruz Enrique Borges Hernandez Codificacion y decodificacion de los codigos cıclicos
MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
Contenido
1 Motivacion
2 Tipos de codigosCodificacionDecodificacion
3 Conclusiones
Cruz Enrique Borges Hernandez Codificacion y decodificacion de los codigos cıclicos
MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
Necesidad de codigos correctores de errores
Desarrollo de un nuevo sistema de comunicacion
¿Podemos crear un codigo que subsane los errores?
Facil de codificarFacil de decodificarCapacidad correctora suficiente
Cruz Enrique Borges Hernandez Codificacion y decodificacion de los codigos cıclicos
MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
Necesidad de codigos correctores de errores
Desarrollo de un nuevo sistema de comunicacion
¿Podemos crear un codigo que subsane los errores?
Facil de codificarFacil de decodificarCapacidad correctora suficiente
Cruz Enrique Borges Hernandez Codificacion y decodificacion de los codigos cıclicos
MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
Necesidad de codigos correctores de errores
Desarrollo de un nuevo sistema de comunicacion
¿Podemos crear un codigo que subsane los errores?
Facil de codificarFacil de decodificarCapacidad correctora suficiente
Cruz Enrique Borges Hernandez Codificacion y decodificacion de los codigos cıclicos
MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
Necesidad de codigos correctores de errores
Desarrollo de un nuevo sistema de comunicacion
¿Podemos crear un codigo que subsane los errores?
Facil de codificar
Facil de decodificarCapacidad correctora suficiente
Cruz Enrique Borges Hernandez Codificacion y decodificacion de los codigos cıclicos
MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
Necesidad de codigos correctores de errores
Desarrollo de un nuevo sistema de comunicacion
¿Podemos crear un codigo que subsane los errores?
Facil de codificarFacil de decodificar
Capacidad correctora suficiente
Cruz Enrique Borges Hernandez Codificacion y decodificacion de los codigos cıclicos
MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
Necesidad de codigos correctores de errores
Desarrollo de un nuevo sistema de comunicacion
¿Podemos crear un codigo que subsane los errores?
Facil de codificarFacil de decodificarCapacidad correctora suficiente
Cruz Enrique Borges Hernandez Codificacion y decodificacion de los codigos cıclicos
MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos en bloque
Un codigo en bloque es una aplicacion inyectiva:
C :⋃k∈N
Ak → Bn
Codigos en bloque
Excesivamente costoso
Desconocemos ladistancia mınima
Diccionario:
0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111
Mensaje Codigo3572 ⇒ 0011 0101 1111 1010
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos en bloque
Un codigo en bloque es una aplicacion inyectiva:
C :⋃k∈N
Ak → Bn
Codigos en bloque
Diccionario
Excesivamente costoso
Desconocemos ladistancia mınima
Diccionario:
0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111
Mensaje Codigo3572 ⇒ 0011 0101 1111 1010
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos en bloque
Un codigo en bloque es una aplicacion inyectiva:
C :⋃k∈N
Ak → Bn
Codigos en bloque
Diccionario
Excesivamente costoso
Desconocemos ladistancia mınima
Diccionario:
0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111
Mensaje Codigo3572 ⇒ 0011 0101 1111 1010
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos en bloque
Un codigo en bloque es una aplicacion inyectiva:
C :⋃k∈N
Ak → Bn
Codigos en bloque
Diccionario
Excesivamente costoso
Desconocemos ladistancia mınima
Diccionario:
0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111
Mensaje Codigo3572 ⇒ 0011 0101 1111 1010
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CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos en bloque
Un codigo en bloque es una aplicacion inyectiva:
C :⋃k∈N
Ak → Bn
Codigos en bloque
Diccionario
Excesivamente costoso
Desconocemos ladistancia mınima
Diccionario:
0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111
Mensaje Codigo3572 ⇒ 0011 0101 1111 1010
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Conclusiones
CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos lineales
Sea Kq un cuerpo de q elementos. Llamaremos codigo lineal delongitud k a un subespacio vectorial C de Kn
q con dim C = k.
Codigos lineales
Desconocemos ladistancia mınima
G =
g11 . . . g1n...
...gk1 . . . gkn
Codificacion
(a1, . . . , ak)
g11 . . . g1n...
...gk1 . . . gkn
= (c0, . . . , cn)
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos lineales
Sea Kq un cuerpo de q elementos. Llamaremos codigo lineal delongitud k a un subespacio vectorial C de Kn
q con dim C = k.
Codigos lineales
Matriz Generatriz
Desconocemos ladistancia mınima
G =
g11 . . . g1n...
...gk1 . . . gkn
Codificacion
(a1, . . . , ak)
g11 . . . g1n...
...gk1 . . . gkn
= (c0, . . . , cn)
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos lineales
Sea Kq un cuerpo de q elementos. Llamaremos codigo lineal delongitud k a un subespacio vectorial C de Kn
q con dim C = k.
Codigos lineales
Matriz Generatriz
Desconocemos ladistancia mınima
G =
g11 . . . g1n...
...gk1 . . . gkn
Codificacion
(a1, . . . , ak)
g11 . . . g1n...
...gk1 . . . gkn
= (c0, . . . , cn)
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos lineales
Sea Kq un cuerpo de q elementos. Llamaremos codigo lineal delongitud k a un subespacio vectorial C de Kn
q con dim C = k.
Codigos lineales
Matriz Generatriz
Desconocemos ladistancia mınima
G =
g11 . . . g1n...
...gk1 . . . gkn
Codificacion
(a1, . . . , ak)
g11 . . . g1n...
...gk1 . . . gkn
= (c0, . . . , cn)
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos lineales
Sea Kq un cuerpo de q elementos. Llamaremos codigo lineal delongitud k a un subespacio vectorial C de Kn
q con dim C = k.
Codigos lineales
Matriz Generatriz
Desconocemos ladistancia mınima
G =
g11 . . . g1n...
...gk1 . . . gkn
Codificacion
(a1, . . . , ak)
g11 . . . g1n...
...gk1 . . . gkn
= (c0, . . . , cn)
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos cıclicos
Sea Kq un cuerpo de q elementos y S un codigo lineal de longitudn. C es un codigo cıclico si y solo si (c0, . . . , cn − 1) ∈ C entonces(cn−1, c0, . . . , cn−2) ∈ C .
Codigos cıclicos
Desconocemos ladistancia mınima
Codificacion
(a1, . . . , ak) G = (c0, . . . , cn)
G =
g0 g1 . . . gn−k 0 . . . 00 g0 . . . gn−k−1 gn−k . . . 0...
.... . .
......
. . . 00 0 . . . g0 g1 . . . gn−k
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos cıclicos
Sea Kq un cuerpo de q elementos y S un codigo lineal de longitudn. C es un codigo cıclico si y solo si (c0, . . . , cn − 1) ∈ C entonces(cn−1, c0, . . . , cn−2) ∈ C .
Codigos cıclicos
Matriz Generatriz
Desconocemos ladistancia mınima
Codificacion
(a1, . . . , ak) G = (c0, . . . , cn)
G =
g0 g1 . . . gn−k 0 . . . 00 g0 . . . gn−k−1 gn−k . . . 0...
.... . .
......
. . . 00 0 . . . g0 g1 . . . gn−k
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos cıclicos
Sea Kq un cuerpo de q elementos y S un codigo lineal de longitudn. C es un codigo cıclico si y solo si (c0, . . . , cn − 1) ∈ C entonces(cn−1, c0, . . . , cn−2) ∈ C .
Codigos cıclicos
Matriz Generatriz
Desconocemos ladistancia mınima
Codificacion
(a1, . . . , ak) G = (c0, . . . , cn)
G =
g0 g1 . . . gn−k 0 . . . 00 g0 . . . gn−k−1 gn−k . . . 0...
.... . .
......
. . . 00 0 . . . g0 g1 . . . gn−k
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
CodificacionCodigos cıclicos
Sea Kq un cuerpo de q elementos y S un codigo lineal de longitudn. C es un codigo cıclico si y solo si (c0, . . . , cn − 1) ∈ C entonces(cn−1, c0, . . . , cn−2) ∈ C .
Codigos cıclicos
Matriz Generatriz
Desconocemos ladistancia mınima
Codificacion
(a1, . . . , ak) G = (c0, . . . , cn)
G =
g0 g1 . . . gn−k 0 . . . 00 g0 . . . gn−k−1 gn−k . . . 0...
.... . .
......
. . . 00 0 . . . g0 g1 . . . gn−k
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
DecodificacionCodigos en bloque
Codigos en bloque
Distancia mınima
Diccionario:
0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111
Recibido 1011 0101 1101 1010
Corregimos → 0011 0101 1111 1010Decodificamos → 3572
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CodificacionDecodificacion
DecodificacionCodigos en bloque
Codigos en bloque
Distancia mınima
Diccionario:
0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111
Recibido 1011 0101 1101 1010
Corregimos → 0011 0101 1111 1010Decodificamos → 3572
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CodificacionDecodificacion
DecodificacionCodigos en bloque
Codigos en bloque
Distancia mınima
Diccionario:
0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111
Recibido 1011 0101 1101 1010
Corregimos → 0011 0101 1111 1010Decodificamos → 3572
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CodificacionDecodificacion
DecodificacionCodigos en bloque
Codigos en bloque
Distancia mınima
Diccionario:
0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111
Recibido 1011 0101 1101 1010Corregimos → 0011 0101 1111 1010
Decodificamos → 3572
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
DecodificacionCodigos en bloque
Codigos en bloque
Distancia mınima
Diccionario:
0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111
Recibido 1011 0101 1101 1010Corregimos → 0011 0101 1111 1010Decodificamos → 3572
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Conclusiones
CodificacionDecodificacion
DecodificacionAlgoritmo del lıder
Idea
Decodificamos por mınima distancia
Matriz de control H!!!! GHt = 0 !!!!
El sındrome caracteriza el error (lıder) cometido e!!!! s(y) = s(e) = Hy !!!!
Decodificamos haciendo la resta:y − e
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Conclusiones
CodificacionDecodificacion
DecodificacionAlgoritmo del lıder
Idea
Decodificamos por mınima distancia
Matriz de control H!!!! GHt = 0 !!!!
El sındrome caracteriza el error (lıder) cometido e!!!! s(y) = s(e) = Hy !!!!
Decodificamos haciendo la resta:y − e
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CodificacionDecodificacion
DecodificacionAlgoritmo del lıder
Idea
Decodificamos por mınima distancia
Matriz de control H!!!! GHt = 0 !!!!
El sındrome caracteriza el error (lıder) cometido e!!!! s(y) = s(e) = Hy !!!!
Decodificamos haciendo la resta:y − e
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Conclusiones
CodificacionDecodificacion
DecodificacionAlgoritmo del lıder
Idea
Decodificamos por mınima distancia
Matriz de control H!!!! GHt = 0 !!!!
El sındrome caracteriza el error (lıder) cometido e!!!! s(y) = s(e) = Hy !!!!
Decodificamos haciendo la resta:y − e
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Conclusiones
CodificacionDecodificacion
DecodificacionAlgoritmo del Lıder en codigos lineales
Sındrome / Lıder
000 0000000 110 0001000100 1000000 101 0000100010 0100000 011 0000010001 0010000 111 0000001
Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000
s(0011111) = 110→ Lıder 0001000→ 0011111− 0001000 = 0010111
s(1111111) = 000→ Lıder 0000000→ 1111111− 0000000 = 1111111
s(1101111) = 001→ Lıder 0010000→ 1101111− 0010000 = 1111111
s(0000000) = 000→ Lıder 0000000→ 0000000− 0000000 = 0000000
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
DecodificacionAlgoritmo del Lıder en codigos lineales
Sındrome / Lıder
000 0000000 110 0001000100 1000000 101 0000100010 0100000 011 0000010001 0010000 111 0000001
Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000
s(0011111) = 110→ Lıder 0001000→ 0011111− 0001000 = 0010111
s(1111111) = 000→ Lıder 0000000→ 1111111− 0000000 = 1111111
s(1101111) = 001→ Lıder 0010000→ 1101111− 0010000 = 1111111
s(0000000) = 000→ Lıder 0000000→ 0000000− 0000000 = 0000000
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
DecodificacionAlgoritmo del Lıder en codigos lineales
Sındrome / Lıder
000 0000000 110 0001000100 1000000 101 0000100010 0100000 011 0000010001 0010000 111 0000001
Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000
s(0011111) = 110
→ Lıder 0001000→ 0011111− 0001000 = 0010111
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→ Lıder 0000000→ 1111111− 0000000 = 1111111
s(1101111) = 001
→ Lıder 0010000→ 1101111− 0010000 = 1111111
s(0000000) = 000
→ Lıder 0000000→ 0000000− 0000000 = 0000000
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CodificacionDecodificacion
DecodificacionAlgoritmo del Lıder en codigos lineales
Sındrome / Lıder
000 0000000 110 0001000100 1000000 101 0000100010 0100000 011 0000010001 0010000 111 0000001
Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000
s(0011111) = 110→ Lıder 0001000
→ 0011111− 0001000 = 0010111
s(1111111) = 000→ Lıder 0000000
→ 1111111− 0000000 = 1111111
s(1101111) = 001→ Lıder 0010000
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s(0000000) = 000→ Lıder 0000000
→ 0000000− 0000000 = 0000000
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
DecodificacionAlgoritmo del Lıder en codigos lineales
Sındrome / Lıder
000 0000000 110 0001000100 1000000 101 0000100010 0100000 011 0000010001 0010000 111 0000001
Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000
s(0011111) = 110→ Lıder 0001000→ 0011111− 0001000 = 0010111
s(1111111) = 000→ Lıder 0000000→ 1111111− 0000000 = 1111111
s(1101111) = 001→ Lıder 0010000→ 1101111− 0010000 = 1111111
s(0000000) = 000→ Lıder 0000000→ 0000000− 0000000 = 0000000
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Conclusiones
CodificacionDecodificacion
DecodificacionAlgoritmo del Lıder en codigos cıclicos
Sındrome Lıder
100 0000001
Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000
0101011 1001011 1100011 0000000
s(0101011) =101 X s(1001011) =000 X s(1100011) =011 X s(0000000) =000 X
s(1010101) =001 X s(1100101) =000 X s(1110001) =110 X s(0000000) =000 X
s(1101010) =010 X s(1110010) =000 X s(1111000) =111 X s(0000000) =000 X
s(0110101) =100 ] s(0111001) =000 X s(0111100) =101 X s(0000000) =000 X
s(0011010) =000 X s(1011100) =000 X s(0011110) =001 X s(0000000) =000 X
s(0001101) =000 X s(0101110) =000 X s(0001111) =010 X s(0000000) =000 X
s(1000110) =000 X s(0010111) =000 X s(1000111) =100 ] s(0000000) =000 X
0100011 1001011 0100011 0000000
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
CodificacionDecodificacion
DecodificacionAlgoritmo del Lıder en codigos cıclicos
Sındrome Lıder
100 0000001
Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000
0101011 1001011 1100011 0000000
s(0101011) =101 X s(1001011) =000 X s(1100011) =011 X s(0000000) =000 X
s(1010101) =001 X s(1100101) =000 X s(1110001) =110 X s(0000000) =000 X
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MotivacionTipos de codigos
Conclusiones
Conclusiones
Numero de operaciones aceptable
Espacio en memoria desproporcionado en caso lineal
Seguimos con el inconveniente de no conocer la distanciamınima a priori
Calcular la distancia mınima de un codigo es muy costoso
Codigos BCH, Reed-Solomon, etc.
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Conclusiones
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Numero de operaciones aceptable
Espacio en memoria desproporcionado en caso lineal
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Codigos BCH, Reed-Solomon, etc.
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Numero de operaciones aceptable
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Numero de operaciones aceptable
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Numero de operaciones aceptable
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