Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 1 y 2
Unidad I Funciones
Expresar una función 1. Un rectángulo tiene un perímetro de 20m. Exprese el área del rectángulo como función de la longitud
de uno de sus lados. 2. Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Exprese su perímetro como función de la longitud de uno de
sus lados. 3. Una ventana “normanda” tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el
perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área “A” como función del ancho “x”.
Dominios 1.
𝑓 𝑥 = 𝑥³ + 2𝑥² − 3𝑥 − 1
𝑥 ∈ _____________________
2.
𝑓 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥² − 3𝑥
𝑥 ∈ _____________________
3.
𝑓 𝑥 = 2𝑥! − 3𝑥! − 3𝑥
𝑥 ∈ _____________________
1.
𝑓 𝑥 =2𝑥 − 1𝑥 − 5
𝑥 ∈ _____________________
2.
𝑓 𝑥 =2𝑥
4𝑥 − 5
𝑥 ∈ _____________________
3.
𝑓 𝑥 =2𝑥 − 16𝑥 − 5
𝑥 ∈ _____________________
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4.
𝑓 𝑥 = 4𝑥! − 𝑥
𝑥 ∈ _____________________
5. 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 2𝑥
𝑥 ∈ _____________________
6. 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 6𝑥 + 5
𝑥 ∈ _____________________
7.
𝑓 𝑥 =𝑥 − 2𝑥 + 4
𝑥 ∈ _____________________
8.
𝑓 𝑥 =𝑥 + 1𝑥 − 5
𝑥 ∈ _____________________
9.
𝑓 𝑥 =2− 𝑥𝑥 − 6
𝑥 ∈ _____________________
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Rangos 1.
𝑓 𝑥 =3𝑥 + 23𝑥 + 4
𝑦 ∈ _____________________
2.
𝑓 𝑥 =6𝑥 − 32− 3𝑥
𝑦 ∈ _____________________
3.
𝑓 𝑥 =3𝑥 + 24𝑥 − 4
𝑦 ∈ _____________________
4. 𝑓 𝑥 = − 2− 𝑥 + 2
𝑦 ∈ _____________________
5. 𝑓 𝑥 = − 𝑥 + 2− 3
𝑦 ∈ _____________________
6. 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 1
𝑦 ∈ _____________________
7.
𝑓 𝑥 =𝑥 − 2𝑥 + 4
𝑦 ∈ _____________________
8.
𝑓 𝑥 =𝑥 + 1𝑥 − 5
𝑦 ∈ _____________________
9.
𝑓 𝑥 =2− 𝑥𝑥 − 6
𝑦 ∈ _____________________
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Función inversa 1. ( ) 3−= xxf
( )=− xf 1
2. ( ) 23 += xxf
( )=− xf 1
3. ( ) 2xxf =
( )=− xf 1
4. ( ) 1+= xxf
( )=− xf 1
5. ( ) 32 +−= xxf
( )=− xf 1
6. ( ) 212 −−= xxf
( )=− xf 1
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Unidad II Límites
1. =→ 72lim
0x
2. =−∞→
2
32lim e
x
3. ( )=−
→32lim
2x
x 4. ( )=−−
−→12lim 2
2xx
x
5. =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−
−→ xxxx
x 2
2
1
23lim 6.
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−++
→ 238lim 2
2
1 xxx
x
7. =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−++
→ 422lim 2
2
2 xxx
x 8. =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
→ 945lim 2
2
3 xxx
x
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9. =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
++→ xx
xxx 2
2
1
23lim 10.
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−+
→ 232lim 2
2
2 xx
x
11. =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
→ 81435lim 3
2
2 xxx
x
12. =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−+
−→ 4253lim 2
2
2 xxx
x
13.
=−
−−→ 8
445lim 3
2
2 xx
x
14.
=−
−+→ 9
516lim 2
2
3 xx
x
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15. ( )=−−∞→
42lim xxx
16. ( )=−+∞→
xxx
3lim
17. =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
∞→ 2343lim 2
2
xxx
x
18.
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−+∞→ 12
232lim24
2
xxxx
x
19. =⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−
∞→ 23324lim
2
xxx
x 20. =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−+−∞→ 43
34lim36
23
xxxxx
x
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Continuidad
1. Determinar el intervalo donde ( )41
2 −−
=xxxf
es continua.
2. Determinar el intervalo donde
( )311
523 +−−−
=xxx
xxf es continua.
3. Determinar el intervalo donde ( ) 3−= xxf es continua.
4. Determinar el intervalo donde ( ) 1522 −−= xxxf es continua.
5. Determinar el intervalo donde
( )⎩⎨⎧
≥
<=
2422
xsixsixxf es continua.
6. Determinar el intervalo donde
( )⎩⎨⎧
>−
≤−=
032012
xsixxsixxf es continua.
7. Determinar el intervalo donde
( )⎩⎨⎧
≥−
<+=
21221
xsixxsix
xf es continua
8. Determina el intervalo donde
( )⎩⎨⎧
≥−
<−=
1132
xsixxsix
xf es continua
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Derivada por definición (Método de los 4 pasos)
1. 54)( 2 −−= xxxf
2. 52)( 3 +−= xxxf
3. 12)( += xxf
4. xxxf 1)( −
=
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Unidad III Derivada
1. =
−=
)('43)(
xf
xf 2. =
=
)(')( 2
xfexf
3. =
=
)x('fx)x(f
4. =
=
)y('fy)y(f
5. =
=
)z('qz)z(q
6. =
=
)t('rt)t(r
7. =
=
)(')( 4
θ
θθ
WW
8. =
= −
)(')( 2
rQrrQ
9. =
=−
)(')( 3
1
tTttT
10. =
=
)(')( 2
5
rPrrP
11. =
=
)(')(xf
xxf
12. =
=
)(')( 3 4
ygyyg
13. =
=
)x('fx)x(f 23
14. =
=
)x('fx)x(f 52
15. =
−+= −
)x('fxxx)x(f 32 253
16. =
−+=−
−
)('432)( 4
3312
xfxxxxf
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17. =
++=
)('
242)( 33 2
xfxx
xxf
18. =
−−=
)('
243)( 5
2
3 2
xfxx
xx
xxf
19.
( )=
+=−
)x('fxx)x(f 32 23
20. ( )
=
−+=
−+=
)x('fxx)x(f
xx)x(f21
432
4322
2
21. ( )=
++=
++=
)('23)(
23)(21
23
23
xfxxxf
xxxf
22.
( )( )=
−−=
−−=
)('14)(
14)(32
2
3 22
xfxxxf
xxxf
23. ( ) ( )=
+−=
)x('fxx)x(f 53 23 24. ( ) ( )
=
−+=
)x('fxx)x(f 54 4352
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25. ( )=
−+=
)x('fxx)x(f 25
26.
( )=
+−=
)x('fxx)x(f 432
27. =
=−
+−=
)x('f)x('f
xxxx)x(f223
2
2
28. ( )( )=
+
−=
)x('fxx)x(f 6
2
41
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29.
=−
+=
)x('fxx)x(f
21
30. =
+=
)('
4)(
xfxxxf
31. ( ) =
+=
xfxsenxf
')18()( 2
32. ( )==
xfsenxxf
')( 4
33. ( ) =
+=
xfxxf
'24cos)( 34.
( )==
xfxxf
'2cos)( 3
35. ( ) =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
=
xfxxxf
'26tan)(
36. ( ) =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
xfxxxf
'
12tan)(
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37. ( ) =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
=
xfxxxf
'32cot)(
38. ( )=
+=
xfxxxf
'926cot)(
39. ( )=
+=
xfxxf
'36sec)(
40. ( )=
=
xf
xxf
'46sec)(
41. ( )
( )=+=
xfxxxf
'223csc)(
42. ( ) ==
xfxxf
'6csc)( 7 6
43. ( )
( ) =++=
xfxxarcsenxf
'168)( 2
44. ( )( )=
+=
xfxarcsenxf
'4)( 3
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45. ( )
( )=+=
xfxxxf
'53arccos)( 2
46. ( )( )=
+=
xfxxf
'62arccos)( 6
47. ( ) ( )
( ) =+++=
xfxxxf
'19arctan26arctan)(
48. ( )( ) ==
xfxxf
'6arctan)(
49. ( )
( ) =++=
xfxxarcxf
'16249cot)( 2
50. ( )( )=
+=
xfxarcxf
'26cot)( 3
51. ( ) =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+
=
xfx
xarcxf
'9416sec)(
52. ( )( ) =
+=
xfxarcxf
'65sec)( 2
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53. ( ) ==
xfxxf
'6ln)(
54. ( )
( ) =−=
xfxxf
'98ln)(
55. ( ) =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
x'fx92x8ln)x(f
56. ( ) =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+
=
xfxxxf
'9987ln)(
57. ( )==
xfxxf
'8log)( 5
58. ( )
( ) =−=
xfxxf
'811log)( 6
59. ( )
( ) =−+=
xfxxxxf
'2log)( 23
60. ( )( ) =
−=
xfxxf
'9log)( 3
2
61. =
= −
)(')(
23
xfexf xx
62. =
= −
)(')(
23
xfexf xx
Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 1 y 2
63. ( )
=
= +
)(')(
3 222
xfexf xx
64. =
= −
)(')( 2
xfexf xx
65. ( ) == −
+
xfxf x
x
'4)( 59
26
66. ( ) == +
xfxf x
'3)( 26
67. ( ) ==
xfxf x
'2)(3 6
68. ( ) ==
xfxf x
'7)(
2
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Derivada de funciones Implícitas 69. 2522 =+ yx 70. 3649 22 =+ yx
71. 122 =++ yxyx 72. 01252 22 =−−++ yxyx
73. xyyx =+ 22 74. 1522
3 =+− xyxxy
x
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75. ( ) ( )
=
=
)('22)(
xfxCosxSenxf
76. ( )
=
=
)('2)( 2
xfxCosxf
77. ( )
=
=
)('3)( 23
xfxTanxf
78. ( ) ( )
=
=
)('32)(
xfxCosxSenxf
79. ( ) ( )
=
=
)('22)( 2
xfxCosxSenxf
80. ( )( )
=
=
)('22
)(2
xfxCosxSen
xf
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Unidad IV Aplicaciones de la Derivada
Regla de L’Hopital
1. =+++
+−→ 222
11 xx
xx lnlim
2. =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
→ senxxx
110
lim 3. =−
→ xsenxxx
x
coslim0
4. =−
→ x
xx
x 436lim
0
5. =−→ 221 eex
xx
lnlim 6. =−−
→ 11
0 xx ex )ln(lim
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Obtener La Ecuación de la Recta Tangente y la Ecuación de la Recta Norma de la Curva en el punto indicado.
1. Curva ( )2142 2 −−= ,enxy
2. Curva ( )7253 2 ,enxy −−=
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3. Curva ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−=
51
27
42 ,en
xxy
Curva 0162 22 =−++ yxx En el punto (3,1)
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Máximos y Mínimos 1. Función
196)( 23 ++−= xxxxf
Operación
2. Función
24 6)( xxxf −= Operación
Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 1 y 2
1. Función
2636152 23 −+−= xxxxf )(
2. Función
5223
41)( 24 ++−= xxxxf
Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 1 y 2
Optimización 1. ¿Un hombre quiere sembrar un jardín utilizando un lado de su casa
como muro del jardín y colocando una cerca de alambre en los tres lados restantes. Encuentra las dimensiones del jardín más grande que pueda rodear utilizando 40 pies de malla de alambre?
Respuesta:
2. En el estacionamiento de una tienda se construirá un anexo rectangular que tenga un área de 600 pies2. Las paredes de tres lados se construirán en madera que tiene un costo de $7 el pie lineal. La cuarta se construirá con tabique que tiene un costo de $14 el pie lineal. Encuentre las dimensiones del anexo de mayor tamaño y menor costo.
Respuesta:
Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 1 y 2
3. Se tiene una caja rectangular de base cuadrada cuyos lados miden x y de altura h. Determina las dimensiones para que la caja tenga un volumen de 320 cm3 y el área total de su superficie sea mínima.
Respuesta:
4. En la construcción de un recipiente cilíndrico de hojalata se emplean 100 in2, esta cantidad incluye las tapas. ¿Cuál es el mayor volumen posible que podría tener la lata?
Respuesta:
Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 1 y 2
Razón de Cambio La posición de una partícula que se mueve sobre una recta horizontal es dada por
28182293
31 +−+−= tttts )( . Determinar la aceleración de la partícula cuando la velocidad es igual a cero.
Una escalera de 13m de largo está apoyada sobre una pared. Encuentra la rapidez con que baja el extremo superior de la escalera cuando su extremo inferior dista 5m del muro y se separa a razón de 5m/s.
Una persona está parada en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 2m por encima del amarre de la lancha. Si la persona jala la cuerda a razón de 70cm/s. ¿Con qué rapidez se aproxima la lancha al muelle cuando se encuentra a 5m de él?
Un globo de forma esférica está siendo inflado a razón de 0.16 m3/min. ¿Cuál es el volumen del globo cuando su radio está aumentando a razón de 0.2 m/min?
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Aplicaciones en la Economía
1. Una empresa estima que el costo por producir x artículos es de C(x)=0.02x2+3x+12000; ¿Cuál es el costo marginal de producir
600 artículos?
2. En una Empresa, la función de ingreso y la función de costo son I(x)=-‐2x2+340x y C(x)=3x2+600. Determina la utilidad máxima.
3. El costo estimado para producir “x” artículos está dado por C(x)=0.004x2+5x+6000; Encuentra el nivel de producción para obtener el costo promedio mínimo.
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Unidad V Integrales
1. dxxx
x∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−432
2. dxxx
x∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
333 32
3. dxx
x232∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
4. dxx
x2
3
3∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 1 y 2
5. ( )∫ =− xdxx 32 23
6. ∫ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − dxx
xx
x 3
3
22 11
7. ( )
∫ =− dxx
x 22
8. ( ) ( )∫ =−− dxxxx 1436 32
9. ( )( )∫ −− dxxxx 42316
10. ( )( ) dxxxxx8232 34612∫ −−
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11. dxxsen∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π
2
12. dxxcos∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π3
13. ( )dxxtanx∫ 2
14. ( )dxxcot∫ −π23
4. ( )dxxsecx∫ − π32 32
5. ( ) ( )∫ −− dxxxcscx 21 2
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Integral por Partes 1. ∫ dx)xarctan(
2. ∫ dx)xarccos(
3. dx)xln(x∫ 22
4. dx)xln(x∫ 3
5. ∫ =+ xxdx1
6. ( )∫ =+ 3
2
1 x
dxx
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6. ∫ =+ xxdx1
7. ( )∫ =+ 3
2
1 x
dxx
8. ∫ =dxxa x
9. ∫ =− dxex x2
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10. ∫ =xdxsinx
11. ∫ =dxxsinx2
12. ∫ =dy)y(siny 32
13. ∫ =xdxsinx2
14. ∫ =senxdxex
15. ( ) =∫ dxxsene x 23
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Integral de Potencias Trigonométricas 1. ∫ =dx)x(sen 33
2. ∫ =dx)x(cos 23
3. ( )∫ =− dxxcos 24
4. ( )∫ =dxxsen π4
5. ( )∫ =dxx22tan
6. ∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛dxxx
3
22cot
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7. ∫ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ dxxπ
3tan
8. ∫ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ dxx2
3 πcot
9. ( )∫ =− dxx 14csc
10. ∫ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− dxx 1
34 πsec
11. ( )∫ =− dxx 23sec
12. ( )∫ =+ dxx 33csc
Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 1 y 2
Integración por sustitución Trigonométrica
1. ∫ =+ dxx 162
2. =−∫ dxx 162
3. ∫ =− dxx
x 252
4. ∫ =− dxxx249
Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 1 y 2
Integración por fracciones Parciales
1. =−−
+∫ dx
xxx
12434
2
2. =−+
−+∫ dx
xxxxx329134
23
2
3. ( )
=−
−+∫ dx
xxxx
2
2
33610
4. ( )
=−
+∫ dxxx
2132
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Unidad VI Aplicaciones de la Integral
Obtener la función
1. 20)6(653)(' 2 −==−+= fxxxxf
2. 0)2(24)(' 3 ==−= fyyyyf
3. 2
22cos)(' =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=+=ππ
θθθθ fsenf
Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 1 y 2
Obtener el Área bajo la Curva
1. ( ) 623 21 ==−= xxxxf
16. ( ) 3x3x3xxf 21
3
=−==
Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 1 y 2
Obtener el Área Entre las Curvas 1. 72 −= xy 12 += xy
2. 22 −= xy 2xy −=
Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 1 y 2
Solidos en Revolución 22xy = 0=y 0=x 5=x en torno al eje x
10− 9− 8− 7− 6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10−9−8−
7−6−
5−4−3−
2−1−
123456789
10Gráfica del área a girar
y
x
a b
2xy = 24 xxy −= en torno al eje x
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