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UNIDAD IV DISEÑO DE
CONTROLADORES
DIGITALES
DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO
DISCRETO Existen dos formas generales de diseñar el
control de sistemas en tiempo discreto:
• Indirecto: consiste en diseñar el
controlador digital en el dominio de
tiempo continuo, utilizando las técnicas
analógicas y luego transformando el
resultado del dominio continuo al dominio
discreto.
• Directo: se diseña el controlador digital
en el dominio discreto directamente,
utilizando una función de transferencia z
del proceso a controlar. Se utilizan
técnicas de diseño en el dominio z.
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DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO
DISCRETO La estrategia de diseño es definir las
características de la respuesta del
sistema en el tiempo o en frecuencia;
como el sobre paso máximo, el tiempo de
asentamiento, el tiempo de levantamiento
márgenes de fase o magnitud, etc. Estas
características determinan la ubicación
de los polos de la función de
transferencia z de lazo cerrado. Entonces
se determina el periodo de muestreo T
teniendo en cuenta el teorema de Nyquist
y los criterios de elección, para que se
obtenga la función de transferencia
deseada.
ELECCIÓN DEL PERIODO DE MUESTREO
• El periodo de muestreo es un aspecto crítico en la discretización de compensadores continuos. Como norma general, cabe anotar que interesa es un periodo de muestreo lo mas pequeño posible, siempre que no condicione al sistema a dos aspectos importantes: su implementación y los errores de cuantificación. Los criterios se basan en los siguientes aspectos:
75 a 25
ientoestablecim de tiempo:
20 a 10
ntolevantamie subida, de tiempo:
banda de ancho
40 a 20 N
2 B
r
s
r
ss
r
r
r
rs
B
s
s
N
t
N
tT
N
t
N
tT
BWBWN
T
LAZO CERRADO
LAZO ABIERTO
ganancia de cruce de frecuencia :
80 a 04
2T
g
g
ggs
NN
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BIBLIOGRAFÍA
• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición.
• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto
• BIBLIOGRAFÍA WEB
• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición
• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering. Primera Edición.
• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición
• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición
• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.
CAPITULO 1
DISEÑO DIRECTO: BASADO
EN LA RESPUESTA EN EL
TIEMPO
0
* )()()(k
kTtkTxtx
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DISEÑO DIRECTO: BASADO EN EL LUGAR GEOMÉTRICO
DE LAS RAÍCES
Para el sistema mostrado la ecuación
característica es:
La cual es la misma que la encontrada
en el lugar geométrico de las
raíces en tiempo continuo (plano s)
0)()(1 zHzG
• CONDICIONES DE ÁNGULO Y MAGNITUD: en
muchos sistemas en tiempo discreto, la
ecuación característica puede tener
cualquiera de las dos siguientes formas
y
Para combinar esta dos formas en una,
definamos la ecuación característica
Donde:
o
0)()(1 zHzG 0)(1 zGH
0)(1 zF
)()()( zHzGzF )()( zGHzF
DISEÑO DIRECTO: BASADO EN EL LUGAR GEOMÉTRICO
DE LAS RAÍCES
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Observe que F(z) es la función de
transferencia de lazo abierto. La
ecuación característica se puede escribir
de esta manera también:
Dado que F(z) es una cantidad compleja se
puede hallar la magnitud y el ángulo de
dicha cantidad, de esta manera:
Ángulo:
Magnitud
1)( zF
1)( zF
0,1,2,...N ),12(180 )( NzF
DISEÑO DIRECTO: BASADO EN EL LUGAR GEOMÉTRICO
DE LAS RAÍCES
Los valores de “Z” que satisfacen tanto las
condiciones de ángulo como de magnitud se
encuentran en las raíces de la ecuación
característica, es decir en los polos de la lazo
cerrado.
Una gráfica de los puntos en el plano complejo que
satisface solamente la condición de ángulo es el
lugar geométrico de las raíces. Las raíces de la
ecuación característica que corresponden a un
valor dado de la ganancia pueden localizarse en el
lugar geométrico de las raíces mediante la
condición de magnitud.
DISEÑO DIRECTO: BASADO EN EL LUGAR GEOMÉTRICO
DE LAS RAÍCES
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Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
Ahora se investigará los efectos de la
ganancia K y el periodo de muestreo T sobre
la estabilidad relativa de un sistema de
lazo cerrado.
Suponga el sistema de control siguiente
)(* sG D ZOH1
1
s+ _
Controlador
digital Gh(s) Gp(s)
r(t) c(t)
δ(t)
Donde el controlador digital es de tipo integral, es
decir
Se dibujará el lugar de las raíces para tres valores
del periodo de muestreo (T=0.5 seg, T=1 seg y T=2
seg), también se hallará el valor crítico de la
ganancia K para cada uno de los casos. Finalmente
localizaremos los polos en lazo cerrado
correspondiente a K=2 para cada uno de los tres
casos.
11)(
1
z
Kz
z
KzGD
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
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En primera medida obtenemos la transformada
Z de Gh(s)Gp(s).
De esta manera:
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
La función de transferencia pulso de la
trayectoria directa es
La ecuación característica
Es decir
0))(1(
)1(1
T
T
ezz
eKz
0)(1 zG
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
T
T
phDez
e
z
KzsGsGZzGzG
1
1)()()()(
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Para un periodo de muestreo T=0.5 seg
Observe ve que G(z) tiene polos z=1 y z=o,6065 y un cero en z=0
Primero grafiquemos los polos y los ceros en el plano “z” y luego hallamos los puntos de ruptura de entrada y de salida de acuerdo a:
)6065,0)(1(
3935,0)(
zz
KzzG
)(
)(
zB
zAK
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
Entonces:
Diferenciando la ecuación en función
de z obtenemos
De allí que:
Con esto se obtiene: z=0.7788 y z=-
0.7788
z
zzK
3935,0
)6065,0)(1(
6065,0
03935,0
6065,0
2
2
2
z
z
z
dz
dK
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
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Al reemplazar z=0.7788 en la ecuación
de K se obtiene un valor de K=0.1244,
en tanto que al reemplazar el valor
de z=-0.7788 obtenemos un valor de
K=8.041
Como K resultó positivo entonces, el
valor z=0.7788 es un punto de ruptura
de salida real y el valor z=-0.7788
es un punto de ruptura de entrada
real.
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
Para hallar el valor crítico de la
ganancia K se obtiene mediante la
condición de la magnitud de la función
de transferencia pulso de la
trayectoria directa, así:
Kezz
ezT
T 1
))(1(
)1(
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
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Para el caso de T=0.5 se obtiene
La ganancia crítica ocurre en z=-1, con
este valor se obtiene:
Con lo que K=8.165
Con un K=2 se obtienen dos polos
complejos conjugados en lazo cerrado
que son
)6065,0)(1(
3935,01
zz
z
K
)6065,01)(11(
)1(3935,01
K
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
6623.04098.0y 6623.04098.0 21 jzjz
Gráfica del lugar de las raíces con
un T=0.5 seg
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
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• Para obtener la función de transferencia de lazo cerrado primero se halla la función de transferencia de la planta en Z, de esta manera
n=[1] ;
d=[1 1];
Gps=tf(n,d);
Gpz=c2d(Gps,0.5,'zoh') % FT de la Planta en Z
Gdz=tf([1 0],[1 -1],0.5) % FT del controlador %en Z
G=series(Gpz,Gdz) % función de trasferencia de %lazo abierto
M= feedback (G,1) %función de trasferencia de %lazo cerrado
1
1)(
ssGp
11
1)(
1
z
z
zzGD
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
• Después de obtener la función de transferencia de lazo abierto del sistema, se procede a graficar el LR en Matlab de la siguiente manera:
num=[0 0.3935 0];
den=[1 -1.6065 0.6065];
G=tf(num,den,0.5)
G2=tf(num,den,0.5,’variable’,’z^-1’) %potencia de z negativas
rlocus (G) % lugar de las raíces en z
rlocus (G2) % lugar de las raíces en z^-1
Sisotool (G) % diseño de compensadores y %controladores
)6065,0)(1(
3935,0)(
zz
KzzG
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
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• Respuesta en Matlab del L.R. Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
System: G
Gain: 2
Pole: 0.409 + 0.662i
Damping: 0.24
Overshoot (%): 46.1
Frequency (rad/sec): 2.09
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
EJERCICIO1: La ecuación obtenida para un
periodo de muestreo de 1 seg. es:
Con polos en z=1, 0.3679 y cero e z=0
El punto de ruptura de salida y el punto
de ruptura de entrada son z=0,6065 y
z=-0,6065 respectivamente con valores
correspondientes de ganancia K=0,2449
y K=4,083 respectivamente. El lugar de
las raíces se gráfica de esta manera.
)3679,0)(1(
6321,0)(
zz
KzzG
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
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El valor crítico de la ganancia
K es 4,328. Los polos de lazo
cerrado para K=2 son:
6043.005185.0y 6043.005185.0 21 jzjz
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
EJERCICIO2: La ecuación obtenida para un
periodo de muestreo de 2 seg. es:
Con polos en z=1, 0.1353 y cero e z=0
El punto de ruptura de salida y el punto
de ruptura de entrada son z=0,3678 y
z=-0,3678 respectivamente. Sus
valores correspondientes de ganancia
son K=0,4622 y K=2,164
respectivamente. El lugar de las
raíces se gráfica de esta manera.
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
)1353,0)(1(
8647,0)(
zz
KzzG
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El valor crítico de la ganancia
K es 2,626. Los polos de lazo
cerrado para K=2 son:
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
2169.02971.0y 2169.02971.0 21 jzjz
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
Conclusión: los efectos de un periodo de
muestreo grande pueden ser dañinos para la estabilidad relativa del sistema.
Una regla práctica es muestrear la
señal de ocho a diez veces durante un
ciclo de oscilaciones senoidales
amortiguadas de la salida de un sistema
subamortiguados. Para sistemas
sobreamortiguados prueba de ocho a diez
veces durante el tiempo de
levantamiento de la respuesta escalón.
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
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Conclusión: De manera
alternativa, al reducir el
periodo de muestreo permite
que el valor crítico de la
ganancia K respecto a la
estabilidad sea mayor. Esto
hace que el sistema se
comporte mas como un sistema
continuo.
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
El factor de amortiguamiento
relativo de un polo en lazo
cerrado se puede determinar de
forma analítica a partir de la
localización del polo en lazo
cerrado en el plano z.
Sabiendo que
Al igual que z=esT
entonces
21 nn js
21 nn jT
ez
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
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De lo cual obtenemos
y
A partir de estas ecuaciones se puede hallar los parámetros de respuesta de “z”.
Por ejemplo en el caso del periodo de muestreo igual 0,5seg. tenemos un polo en lazo cerrado para K=2 y z=0,4098+j0,6623. Por lo tanto
resolviendo
Tnez
radTTzdn
1 2
7788,06623,04098,0 22 z
7788,0 Tnez
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
Con lo cual
También se halla
Dividiendo ambos resultados
radTz n 0167,14098,0
6623,0tan1 12
25,0Tn
0167,1
25,0
1 2
n
n
T
T
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
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Es decir
Con lo que nos queda
Cabe anotar que esta valor se
puede también obtener de forma
gráfica
2459,01 2
2388,0
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
La respuesta al escalón de la función de
transferencia de lazo cerrado del diagrama
de bloques del ejemplo es
Usando un valor de Periodo igual a 0,5 seg y
una ganancia de K=2 se obtiene una
respuesta para una entrada escalón unitario
Kzzz
Kz
zG
zG
zR
zC
3935,0)6065,0)(1(
3935,0
)(1
)(
)(
)(
121
1
1
1
6065,08195,01
7870,0
)(23935,0)6065,0)(1(
23935,0)(
zzz
z
zRzzz
zzC
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
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Se obtiene un ángulo de
Para completar un ciclo se halla 360°/58,25°
=6,16 muestras por ciclo de oscilación
amortiguada Con la cual se obtiene la
secuencia c(kT)
25,580167,1
4098,0
6623,0tan 1 radz
T=0.5
G=zpk([0],[1,.6065],[.393
5*2],T)
M= feedback (G,1)
step(M,0:T:15)
figure
stem(0:T:15,
step(M,0:T:15))
grid 0 5 10 15
0
0.5
1
1.5
kT
c(k
T)
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
dstep([0 .787 0],[1 -.8195 .6065])
hold on
stem(step(M))
grid
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Para periodos de muestreo de 1 y 2 seg las
gráficas son:
T=1;
Gps=tf([1] , [1 1]);
Gpz=c2d(Gps,T,'zoh')
Gdz=tf([2 0],[1 -1],T)
G=series(Gpz,Gdz)
M= feedback (G,1)
step(M,0:T:15)
figure
stem(0:T:15,
step(M,0:T:15))
grid
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
kT
c(kT
)
360°/85.10°=4,23 muestras por ciclo
0 2 4 6 8 10 12 140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
kT
c(kT
)
360°/143,87°=2,5 muestras por ciclo
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
En Simulink • Comparación Función de
Transferencia Continua y con
función de transferencia ya
discretizada.
Zero-Order
Hold
1
s+1
Transfer Fcn
y2
To Workspace2
y1
To Workspace1
Step
Scope
K
Gain1
K
Gain
First-Order
Hold
z
(z-1)
Discrete
Zero-Pole1
.3935z
(z-1)(z-0.6065)
Discrete
Zero-Pole
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De las gráficas se sabe que para un periodo de muestreo pequeño la secuencia c(kT) en función de kT dará una imagen precisa de c(t). Sin embargo si no se utiliza un periodo de muestreo considerablemente pequeño la función kT no presentará una solución precisa.
Es importante seleccionar un periodo de muestreo adecuado basado en el teorema del muestreo y la dinámica del sistema. Una regla práctica es de ocho a diez muestras por ciclo de oscilación amortiguado, si el sistema es subamortiguado y presenta oscilaciones en la respuesta.
Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital
Comportamiento Estático
Ahora analizando el efecto del
periodo de muestreo sobre la
exactitud en estado permanente.
Por ejemplo para T=0,5 seg la
ganancia K=2. La función de
transferencia de lazo abierto
es
)6065,0)(1(
787,0)(
zz
zzG
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Con lo cual la constante de error
estática de la velocidad Kv es
Y su error en estado estable en
repuesta a una entrada rampa
unitaria es
25,04
11
v
ssK
e
4
)6065,0)(1(5,0
787,0)1()()1(lim
1
1
v
zv
K
zzz
zz
T
zGzK
Comportamiento Estático
Secuencia de la respuesta del sistema
a una entrada rampa unitaria, para
T=0,5 seg
Comportamiento Estático
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
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Para un periodo de T=1 seg se obtiene de
la misma manera la constante de error
estable de la velocidad Kv y error en
estado estable en repuesta a una
entrada rampa unitaria
Y su error en estado estable en repuesta
a una entrada rampa unitaria es
2
)6065,0)(1(5,0
6321,0)1()()1(lim
1
1
v
zv
K
zzz
zz
T
zGzK
5,02
11
v
ssK
e
Comportamiento Estático
Y por último para un periodo de
T=2seg se obtiene de igual forma la
constante de error estable de la
velocidad Kv y error en estado
estable en repuesta a una entrada
rampa unitaria, respectivamente.
1
1
)6065,0)(1(5,0
8647,0)1()()1(lim
1
1
ss
v
zv
e
K
zzz
zz
T
zGzK
Comportamiento Estático
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Y para T=1 seg y T= 2 seg
respectivamente
Comportamiento Estático
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
Conclusión: en los tres casos se observa que
al aumentar el periodo de muestreo la
estabilidad relativa del sistema se ve
afectada de forma adversa.
Es importante recordar que el factor de
amortiguamiento relativo de ζ de los polos
en lazo cerrado del sistema de control
Digital indica la estabilidad relativa solo
si el periodo de muestreo es lo
suficientemente alto. Si no lo es, como son
los casos anteriores, entonces predecir la
estabilidad relativa resultaría erróneo a
partir del factor de amortiguamiento
Comportamiento Estático
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Relación entre las especificaciones y el
lugar de raíces • Como ya se ha explicado, la respuesta transitoria
depende de la posición de los polos y los ceros de la función de transferencia en lazo cerrado y del periodo de muestreo T. En general, las características de desempeño estarán especificadas como la respuesta a una entrada escalón. Los parámetros utilizados son los mismos que se utilizaban para caracterizar la respuesta en régimen transitorio de un sistema continuo, y son:
• El tiempo de retardo td.
• El tiempo de subida tr.
• El tiempo de pico tp.
• El sobreimpulso máximo Mp.
• El tiempo de asentamiento o asentamiento ts.
• Recordando
rt
pt
ptpeeMp
21
st
22 cos2)(
ezez
KzG
Si se posee un sistema con
dos polos complejo
conjugados el sistema se
puede expresar como:
jeep
e
1
1p
Relación entre las especificaciones y el lugar de raíces
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Relación entre Polos y Respuesta
Transitoria Al igual que en el caso continuo, la
posición de los polos de un sistema
determinan las características de
su respuesta en transitoria.
Para hallar regiones en el plano z que garanticen valores de sobre-
impulso, tiempo de asentamiento o
frecuencia natural no amortiguada,
se analiza la forma en como se
transforman las regiones
correspondientes del plano s
• Especificaciones del tiempo de asentamiento ts: para
garantizar un tiempo de asentamiento menor a cierto
valor en un sistema continuo, los polos deben estar
en la región sombreada de la derecha de la figura 1.
En la figura 2 se muestra su contraparte en Z,
obtenida mediante la transformación
Figura 1 Figura 2
Tsez
Relación entre Polos y Respuesta
Transitoria
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
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• Especificaciones del Sobreimpulso - SP:
para garantizar un sobre pico pequeño
(SP<5%) los polos del sistema continuo,
deben estar en la zona sombreada de la
figura 1. En la figura 2 se observa su
contraparte en Z.
Figura 1 Figura 2
Relación entre Polos y Respuesta
Transitoria
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
• Especificaciones de la Frecuencia natural no
amortiguada - wo: cuando se quiere garantizar que
la frecuencia se menor a cierta cantidad, esto
implica que los polos en un sistema de tiempo
continuo están a una distancia del origen, con el
fin de garantizar un tiempo de subida dado como en
la figura 1, se observa además su contraparte en
Z.
Figura 1 Figura 2
Relación entre Polos y Respuesta
Transitoria
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
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Limitaciones • Características Hardware: El control digital
incluye muchos componentes que no se encuentran en los sistemas de control continuos, como son los convertidores A/D y D/ A, los prefiltros, etc.
El prefiltro analógico se suele situar entre el sensor y el convertidor A/D. Su tarea es reducir el ruido de alta frecuencia en la señal continua para prevenir el aliasing. En efecto, en los sistemas continuos, el ruido de alta frecuencia, estando fuera del alcance del ancho de banda del sistema, no da respuestas apreciables. En cambio en los sistemas digitales dicho ruido, por efecto del aliasing puede convertirse en ruido de baja frecuencia y dar respuestas significativas.
Limitaciones
• El ordenador: Es el aparato que hace todos los cálculos y aplica la ley de control. Su coste depende de la frecuencia de trabajo y del tamaño de las palabras de bits usadas.
• Elección de la frecuencia de muestreo: Es el compromiso de dos factores principalmente: el costo y la eficacia de control. Bajar la frecuencia significa dejar más tiempo para los cálculos de control, poder usar ordenadores más lentos o poder aplicar leyes de control más complicadas: en pocas palabras, el costo por función baja. Por eso hay que elegir la frecuencia de muestreo menor posible.
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Aproximación Discreta de los Modos de
Control P, PI y PID
• Existen varios métodos de aproximación para lograr
la discretización de un PID continuo. El más
general consiste en aproximar la integral por el
integral del trapecio y la derivada por el método
de diferencia hacia atrás:
)()1(1
1
21)()()1(
1
1
21)(
obtiene se dosolucionan
112
1
)()(
1)(
1
1
1
1
1
1
0
zEzT
T
zT
T
T
TKzMzEz
T
T
z
z
T
TKzM
TieiTeT
TTieiTe
T
TkTeKkTm
dt
tdeTdtte
TteKtm
d
ii
d
i
dk
ii
d
t
i
Forma Posicional del PID
Integral
trapecio
Derivada hacia
atrás
Al ecuación anterior se puede
escribir también así:
• Si ahora definimos las constantes como
• Si seguimos solucionando la ecuación
T
KTK
T
KTK
T
TKK D
D
i
I
i
p
21
z
zK
z
zKKzK
z
KK
zE
zMDIpD
Ip
1
1)1(
1)(
)(
obtiene se doReemplazan
1
1
)1(
)2()(
)1(
)12()(
)(
)()(
2222
zz
KzKKKKKz
zz
zzKzKzzK
zE
zMzG
DDpDIpDIp
PID
Aproximación Discreta de los Modos de
Control P, PI y PID
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29
• Si ahora definimos las constantes como
que se conoce como forma de velocidad del PID, cuya ventaja principal es que elimina el problema del integral windup. El problema principal es que sólo el término de control integral incluye la entrada R(z), por lo que este último no se puede excluir del controlador digital si éste se utiliza en su forma de velocidad.
T
TKKqKKKq
T
T
T
TKKKKq
dDT
T
TT
Dp
d
i
DIp
d
i
2
2
21
0
y 1)2(
2
1
)1()( 21
2
0
zz
qzqzqzGPID
TkeqTkeqkTeqTkmkTm 211 210
Aproximación Discreta de los Modos de Control
P, PI y PID
Otro método usual es por
aproximación de Operadores
)()1(1
11)(
Zrmadaen transfo obtiene se dosolucionan
integral)(operador derivada)(operador si
)()(1
)()(
Laplace de ada transformaplicando
)()(
1)(
1
1
1s11
0
1
1
zEzT
T
zT
TKzM
s
ssETsEsT
sEKsM
dt
tdeTde
TteKtm
d
i
z
TTz
d
i
d
t
i
Aproximación Discreta de los Modos de
Control P, PI y PID
03/06/2013
30
• Continuando
Dicha expresión tiene la misma forma que la calcula anteriormente en la que varían q0, q1, q2. Estas diferencias son pequeñas si: T<< Td<<Ti en la primera representación.
1
2
2
1
10
1
21
1
1
1)(
)(
1
211
)(
)(
)1(1
11
)(
)(
z
zqzqq
zE
zM
z
zT
TKz
T
TK
T
T
T
TK
zE
zM
zT
T
zT
TK
zE
zM
ddd
i
d
i
Aproximación Discreta de los Modos de Control P,
PI y PID
AJUSTE DE CONTROLADORES P, PI Y PID: Método de
Ganancia Límite
• Se procede:
1.Eliminar las acciones integral y
derivativa del controlador
2.Colocar una ganancia pequeña, y
empezar a aumentarla hasta que
el sistema oscile, se anota como
(Ku).
3.Se mide el periodo de la
oscilación y se anota como (Tu).
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31
Método Ganancia Límite
Controlador K Ti Td
P 0.5KU - -
PI 0.45KU 0.83TU -
PID 0.6KU 0.5TU
0.125TU
C(t)
t
Tu
Una vez calculados K, Ti y Td se puede
obtener el algoritmo de control requerido
utilizando las ecuaciones de discretización
de Controladores PID.
Usando este método se obtiene un sistema de
lazo cerrado con coeficiente de
amortiguamiento bajo.
Método de la Curva de Reacción
• Este método fue propuesto por Ziegler y
Nichols, en donde se aproxima la función
de lazo abierto de la planta a una
función de primer orden de esta forma
𝑮𝒑 𝒔 =𝑲𝒄𝒆
−∝´𝒔
𝝉𝒔+𝟏 donde Kc es la ganancia, τ la
constante de tiempo y el α retardo.
• Los parámetros del controlador se estiman
a partir de una tabla, teniendo en cuenta
que:
∝=∝ ´ + 𝑻𝟐
Donde T es el periodo de muestreo
03/06/2013
32
Método de la Curva de Reacción
• El método de Ziegler y Nichols
es aplicable sí 0.1<α´/τ<1
Controlador K Ti Td
P 𝝉
𝑲𝒄𝜶 - -
PI 𝟎. 𝟗𝝉
𝑲𝒄𝜶 3.33α -
PID 𝟏. 𝟐𝝉
𝑲𝒄𝜶
2α
0.5α
Línea tangente
t
C(t)
K
α τ
Ajustes Mediante Criterios de error Mínimo
• Este método parte con la exigencia de que el error debe ser mínimo.
• A continuación se presentan algunos índices de desempeño basados en integrales del error y utilizados ampliamente en el diseño de sistemas de control, todos basados en la ecuación de primer orden de Ziegler y Nichols.
Control P ICE IAE IAET
𝐾 =𝑎
𝐾
𝛼
𝜏
𝑏
𝑎 = 1.411 𝑎 = 0.902 𝑎 = 0.94
𝑏 = −0.917 𝑏 = −0.985 𝑏 = −1.084
ICE: Integral de Cuadrado del error
IAE: Integral del Valor Absoluto del error
IAET: Integral del Valor Absoluto del error por tiempo
Ajustes del Controlador P
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33
Ajustes Mediante Criterios de error Mínimo
Control PI ICE IAE IAET
𝐾 =𝑎
𝐾
𝛼
𝜏
𝑏
𝑎 = 1.305 𝑎 = 0.984 𝑎 = 0.859
𝑏 = −0.959 𝑏 = −0.986 𝑏 = −0.977
𝑇𝑖 =𝜏
𝑎
𝛼
𝜏
𝑏
𝑎 = 0.492 𝑎 = 0.608 𝑎 = 0.674
𝑏 = 0.739 𝑏 = 0.707 𝑏 = 0.680
Control PID ICE IAE IAET
𝐾 =𝑎
𝐾
𝛼
𝜏
𝑏
𝑎 = 1.495 𝑎 = 1.435 𝑎 = 1.357
𝑏 = −0.945 𝑏 = −0.921 𝑏 = −0.947
𝑇𝑖 =𝜏
𝑎
𝛼
𝜏
𝑏
𝑎 = 1.101 𝑎 = 0.878 𝑎 = 0.842
𝑏 = 0.771 𝑏 = 0.749 𝑏 = 0.738
𝑇𝑑 = 𝑎𝛼𝛼
𝜏
𝑏
𝑎 = 0.560 𝑎 = 0.482 𝑎 = 0.381
𝑏 = 1.006 𝑏 = 1.137 𝑏 = 0.995
Ajustes del Controlador PI
Ajustes del Controlador PID
DISEÑO DE CONTROLADORES: Controladores P
Un regulador proporcional permite seleccionar la posición de los polos en bucle cerrado del sistema al desplazarse éstos por las ramas del lugar de raíces. Para su diseño, los pasos a seguir son:
• Fijar la posición de los polos dominantes del sistema final. A partir de las especificaciones dinámicas se pueden acotar las regiones del plano z en las que deben estar situados los polos dominantes para cumplir las especificaciones.
• Representar el lugar de raíces con el objetivo de comprobar si es posible situar las raíces en la región acotada de las especificaciones usando sólo una acción proporcional (regulador tipo P).
• En principio debe elegirse el valor de K que, cumpliendo las especificaciones, lleve al mínimo error en régimen permanente. Esto se consigue eligiendo el máximo valor de K que sitúa las raíces en el lugar de las especificaciones.
03/06/2013
34
Controladores PD
• La función de transferencia del controlador PD es:
donde
De esta expresión se puede deducir que el regulador PD introduce un polo en el origen y un cero en cd que está situado entre el origen y el punto (1, 0). Para obtener la posición del cero se utiliza generalmente el criterio del ángulo. Una vez fijada ésta, se puede determinar la ganancia mediante el criterio del módulo. Una vez calculada la ganancia hay que comprobar que los polos dominantes del sistema cumplen las especificaciones.
z
czKzG d
1
d
d
dTT
Tc
Controladores PD
• Matemáticamente también se puede obtener el PD a partir dela forma posicional del PID, excluyendo la parte integral
• Nota: El propósito de un compensador PD es mejorar la respuesta transitoria al mismo tiempo que mantiene la estabilidad deseada
z
zKK
z
KKKzzG
z
KzKzK
z
zKKzG
DP
D
KK
K
DPDDP
PD
DDPDPPD
)(
1)(
obtiene se doReemplazan
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35
Controladores PI • El efecto que produce el controlador PI es la
introducción en la función de transferencia en bucle abierto de un polo en z = 1 y un cero que en condiciones normales (Ti grande) estará próximo a ese polo, ya que en el caso de la aproximación trapezoidal su posición vendrá dada por:
y función de transferencia
Al introducir un polo en z = 1 aumenta el tipo del sistema en una unidad, con lo que se mejora el comportamiento en régimen permanente. Además, al encontrarse el par polo-cero muy cercanos entre sí hace que la forma del lugar de raíces del sistema original sin regulador no varía demasiado.
1
z
czKzG i
TT
TTc
i
i
i
2
2
Controladores PI
• De igual forma se puede obtener el controlador PI
a partir dela forma posicional del PID, excluyendo
la parte derivativa
• Nota: El propósito de un compensador PI es mejorar
la exactitud de estado permanente del sistema sin
degradar la estabilidad.
11)(
11)(
obtiene se doReemplazan
z
zKK
z
KKKzzG
z
zKKzK
z
zKKzG
IP
I
KK
K
IPIIP
PI
IPPIPPI
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36
Ejemplo: diseño de un regulador
discreto con LGR
Para un sistema cuya
calcular el regulador
Gc(z) más sencillo que cumpla las siguientes
especificaciones:
• Mp ≤ 20%
• ts ≥ 14 muestras
• ep ≤ 22%
9.07.0
1)(
zzzGp
• Solución: El primer paso es
establecer la región de validez de
las especificaciones. A partir de
las ecuaciones vistas con
anterioridad:
323,07435,0p
sistema del dominante polo elobtener puede se resultado esteCon
º48.2321.0
2.0
15
48,2321.0
1,2 jee
eM
t
j
p
s
Ejemplo: diseño de un regulador
discreto con LGR
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37
• Graficando el LGR de Gp(z)
encontramos: Root Locus
Real Axis
Imagin
ary A
xis
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ejemplo: diseño de un regulador
discreto con LGR
Podemos
comprobar que
no nos vale con
un controlador
P.
El siguiente
paso es probar
con un
controlador PD.
• Para calcular la posición del cero se hace uso del criterio del
ángulo. De esta forma
y, por tanto, el cero estará en
38,23)(tan3
329.82)(tan2
85.115)(tan1801 que sabiendo
º6,4112180321
7435.032.01
7.07435.032.01
7435.09.032.01
a
a
a
bnbaaa
38.06.41tan
323.07435.0 c
c
Ejemplo: diseño de un regulador
discreto con LGR
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38
El nuevo valor de la ganancia se puede calcular
mediante el método del lugar de raíces,
mediante la herramienta sisotool, o mediante
el criterio de Magnitud. En la siguiente
figura se ve que el nuevo lugar de raíces sí
pasa por los puntos establecidos mediante las
especificaciones, y que la ganancia
proporcional asociada será .
197.01281.5
1
0.0035j + 5.1281-
1
1)9.0)(7.0(
)38.0(
323.07435.0
K
zzz
zK
jz
Ejemplo: diseño de un regulador
discreto con LGR
Gráfica usando sisotool y encontrando el valor de la
ganancia K
Ejemplo: diseño de un regulador
discreto con LGR
03/06/2013
39
• De esta forma, nos vale con el regulador PD cuya función de transferencia en el dominio digital vendrá dada por:
• La última condición a comprobar tiene que ver con el error en estado permanente. Para comprobar si se cumple utilizamos el teorema del valor final:
%22%71.19071.41
1071.4lim
1
p
zp ezGzRK
z
zzR
38.0197.0
Ejemplo: diseño de un regulador
discreto con LGR
• Vemos que, efectivamente, el sistema propuesto
cumple con todas las especificaciones impuestas.
Su respuesta a una entrada escalón se muestra en
la siguiente figura:
Ejemplo: diseño de un regulador
discreto con LGR
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40
En Simulink
• Modelo montado en Simulink
y2
To Workspace2
t
To Workspace
Step
Scope1
k
Gain1
(z-0.38)
z
Discrete
Zero-Pole2
1
(z-.7)(z-0.9)
Discrete
Zero-Pole1
Clock
BIBLIOGRAFÍA
• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición.
• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto
• BIBLIOGRAFÍA WEB
• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición
• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering. Primera Edición.
• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición
• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición
• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.
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41
CAPÍTULO 2
DISEÑO DIRECTO: BASADO
EN LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA TRANSFORMACIÓN BILINEAL Y EL PLANO w
En vista que la transformada Z transforma las franjas primarias y complementarias en el semiplano izquierdo del plano s al circulo unitario del plano z, los métodos convencionales de la respuesta en frecuencia, que se ocupan de la totalidad del semiplano izquierdo del plano, no se aplican en el plano Z.
Para resolver este problema es conveniente transformar la función de transferencia pulso en el plano Z en la correspondiente en el plano w.
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42
Una transformada comúnmente llamada
transformada w es decir
una de las transformadas bilineales
tiene la forma.
Donde T es el periodo de muestreo
involucrado en el sistema de
control en tiempo discreto
Su relación inversa sería
wT
wT
z
21
21
1
12
z
z
Tw
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Mediante la transformada Z y la transformada w, la
franja primaria del semiplano izquierdo del plano s
es primero transformada al interior del círculo
unitario en el plano Z y luego transformada a la
totalidad del semiplano izquierdo w.
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
03/06/2013
43
EJEMPLO: considere la función de transferencia del sistema de la figura.
El periodo T se considera igual a 0,1seg.
Obtenga G(w).
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
SOLUCIÓN: la transformada z de G(s)
es
Mediante la transformación bilineal
de w, se obtiene
w
w
wT
wT
z05,01
05,01
21
21
3679.0
6321.0
10
10)1(
10
101)(
1
z
ssZz
ss
eZzG
Ts
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
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44
Entonces G(z) es transformada como G(w)
como:
Observe que la localización del polo en la
planta es s=-10 y que el polo en el plano
w es en w=-9,241. el valor de la ganancia
en el plano s es 10 y en el plano w es
9,241.
Sin embargo G(w) tiene un cero w=20, a
pesar de que la planta no tiene ningún
cero.
241,9
46205,0241,9
241,9
05,01241,9
0684,06321,0
)05,01(6321,0
3679,005,01
05,01
6321,0)(
w
w
w
w
w
w
w
wwG
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Para este ejemplo en particular
se puede observar que
Este hecho se puede considerar
para verificar cálculos
numéricos de G(s) en G(w)
)(lim)(lim00
sGwGsw
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
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45
Observe que el diseño de controladores digitales
basado método de diagrama de Bode utiliza dos
transformaciones bilineales diferentes. Una es la
transformación de G(z) a G(w) con la transformación
bilineal definida por
donde T es el periodo de muestreo
empleado en sistema de control discreto.
Una vez que se tenga la función de transferencia de
la planta G(w), se puede diseñar el controlador
digital Gc(w) en la plano w.
wT
wT
z
21
21
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB
La otra transformada usada en el proceso de diseño es transformar Gc(w) en Gc(z). La transformación del plano w en el plano z se efectúa de la siguiente forma
MATLAB utilizando el comando bilinear transforma G(w) en G(z) tal que:
Pero no transforma G(z) en G(w)
1
12
1
12
z
zf
z
z
Tw s
)1(
12|)()(
z
zfw s
wGzG
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46
Para este caso hay que hacer una ligera modificación para lograr la transformación.
Continuando con el ejemplo anterior se tiene:
y la transformación de z y w esta dada por:
Donde T=0,1 seg.
Como la instrucción bilinear usa:
Haciendo el cambio de variable anterior para definir a x como-0,05w y tomando a fs =0,5.
3679,0
6321,0)(
zzG
w
w
wT
wT
z05,01
05,01
21
21
1
12
1
12
x
xf
z
zfw ss
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB
Se obtiene
Es similar a la transformación de G(w) a G(z)
1. Ahora en Matlab sustituir el valor de z por –z en G(z).
num=[0 0.6321];
den=[-1 -0.3679];
)05,01(
)05,01(
)05,01(
)05,01(
105,0
105,0
w
wz
w
w
w
wz
3679,0
6321,0)(
zzG
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47
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB
2. Seguido se utiliza el comando
bilinear
%[numx,denx]=bilinear(num,den,fs)
[numx,denx]=bilinear(num,den,0.5)
numx =
-0.4621 -0.4621
denx =
1.0000 -0.4621
4621,0
4621,0621,4)(
x
x
denx
numxxG
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB
3. Sustituir x=-0,05w en el numerador y en el denominador.
%numerador de w =[-0.4621(-0,05w ) -0.4621]
numw =[-0.4621 -0.4621].*[-0,05 1]
%denominador de w =[1.0000 (-0,05w ) -0.4621]
denw =[1.0000 -0.4621].*[-0,05 1]
numw =
0.023104759119819 -0.462095182396374
denw =
-0.050000000000000 -0.462095182396374
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48
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB
La expresión que se obtiene es:
Aunque esta expresión es correcta, es conveniente que le coeficiente del término de mayor grado w del denominador sea uno. Se debe multiplicar el numerador y denominador por -20 para obtener:
numw =[numw]*(-20);denw =[denw ]*(-20)
numw =
-0.4621 9.2419
denw =
1 9.2419
462095,005,0
462095,0023105,0)(
w
wwG
2419,9
2419,94621,0)(
w
wwG
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB
Con lo cual resulta el siguiente script en Matlab
% TRANSFORMAR G(z) EN G(w)
num= [0 0.6321];
den=[-1 -0.3679];
[numx,denx]=bilinear(num,den,0.5);
numw =[-0.4621 -0.4621].*[-0.05 1]
denw =[1.0000 -0.4621].*[-0.05 1]
numw=[numw]*-20
denw=[denw]*-20
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49
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB
• EJERCICIO: transformar en
G(w), la función de
transferencia, usando la
transformación bilineal con un
T=0.2 seg.
)1(
1)(
sssG
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB
• SOLUCIÓN: se obtiene primero la
transformada en z para G(s), con un
T=0.2 seg, usando ZOH.
num=[1];
den=[1 1 0];
GZ=c2d(tf(num,den),0.2,'zoh')
8187,08187,1
01752,001873,0)(
2
zz
zzG
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DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB
Continuando y sustituyendo z por -z:
numz=[0 -0.01873 0.01752];
denz=[1 1.819 0.8187];
[numx,denx]=bilinear(numz,denz,0.5);
%multiplicar ahora por los factores de
[(0.1)^2 -0.1 1] de la sustitución de
x=0,1w y por 100 para que el coeficiente de la potencia mas elevado sea uno
numw=[numx].*[(-0.1)^2 -0.1 1]*100
denw=[denx].*[(-0.1)^2 -0.1 1]*100
Se obtiene:
w
w
wT
wT
z1,01
1,01
21
21
ww
wwwG
9966,0
9966,009633,0000333,0)(
2
2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-150
-100
-50
0
50
Magnitude (
dB
)
TF s
TF w
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB
Diferencia del diagrama de bode en
el plano “s” y el plano “w” nums=[0 0 1];dens=[1 1 0];
numw=[-0.000333 -0.09633 0.9966];
denw=[1 0.9969 0];
w=logspace(-1,3,1000);
bode(numw,denw,w)
hold
bode(tf(nums,dens),'r',w)
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51
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB
Las Curvas de Magnitud son aproximadas en
el rango de frecuencias 0<w<6rad/seg.
Las curvas de fase son las mismas para el
rango de frecuencias 0<w<0,2rad/seg.
Para el rango de frecuencias
0,2<w<104rad/seg, aparece una diferencia
significativa, debido a que uno es un
sistema de fase mínima y el otro es de
fase no mínima (TF w tiene un cero en 10, parte derecha del plano complejo w); la contribución del ángulo del cero en el
semiplano derecho w es negativa (retardo de fase).
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
Es importante notar que puede existir alguna
diferencia en las magnitudes de alta
frecuencia para G(j) y G(jv).
Por ejemplo, si tenemos G(w) como el anterior
ejercicio
La magnitud de alta frecuencia de G(jv) y de
G(jω)se halla como:
010
110lim)(lim
4621,0241,9
05,01241.9lim)(lim
jjG
jv
jvjvG
vv
241,9
05,01241.9)(
w
wwG
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52
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
• Algunos comentarios sobre la relación con tests de
respuesta en frecuencia en los sistemas de tiempo
discreto: al efectuar los tets de respuesta en
frecuencia sobre sistema de tiempo discreto, es
importante que el sistema tenga un filtro pasa
bajas antes del muestreador de forma que se
filtren las bandas laterales. En estas condiciones
la respuesta del sistema lineal en invariante en
el tiempo a una entrada sinusoidal preserva la
frecuencia y modifica solo la amplitud y la fase
de la señal de entrada. Así la amplitud y la fase
son las dos únicas cantidades que se deben tratar.
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMA DE BODE: Los métodos
convencionales de respuesta en frecuencia
se aplican a las funciones de
transferencia en el plano w. Recuerde que el diagrama de bode utiliza dos gráficas
por separado la magnitud logarítmica de
|G(jv)| en función del logaritmo de v y el ángulo de fase de G(jv) de la función del logaritmo de v.
Mediante el uso del diagrama de bode se puede diseñar un compensador digital o un controlador digital a través de los métodos convencionales.
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53
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
VENTAJAS DEL DISEÑO DEL DIAGRAMA DE BODE
1. En el diagrama de BODE la asíntota de baja frecuencia de la curva de magnitud indica una de las constantes de error estático Kp, Kv, Ka.
2. Se pueden traducir las especificaciones de la respuesta en frecuencia en términos del margen de fase, margen de ganancia, ancho de banda, etc.
3. El diseño de un compensador digital (o controlador digital), para satisfacer la condiciones dadas (margen de fase y margen de ganancia), puede llevarse a cabo de forma sencilla siguiendo los pasos que se haría de forma continua.
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN:
Compensación de adelanto: este se usa para mejorar los márgenes de estabilidad (aumenta el ancho banda es decir, aumenta la velocidad de respuesta). Sin embargo un sistema con esta compensación tiene problemas de ruido de alta frecuencia.
Compensación en atraso: reduce la ganancia del sistema en frecuencias mas altas (ancho de banda reducido con lo que disminuye la velocidad de respuesta, pero mejora la precisión en estado permanente). Atenúa cualquier ruido de alta frecuencia.
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DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA • Forma habitual del controlador
adelanto y atraso.
00 )( zz
zz
zzKwG p
p
c
Controlador en Adelanto Controlador en Atraso
p
p
c zzzz
zzKwG
0
0 )(
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Compensador atraso-adelanto: con un compensador de estos se puede incrementar la ganancia en baja frecuencia (mejora la precisión en estado permanente), al mismo tiempo aumenta el ancho de franja y los márgenes de estabilidad.
Observe que el controlador PID es un caso especial de un compensador atraso-adelanto.
El controlador PD se comporta de una manera similar al compensador de adelanto.
El controlador PI se comporta de una manera similar al compensador de atraso.
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DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
• Y para el controlador atraso-adelanto
• Los esquemas anteriores cubren a los controladores PID, en concreto el control PD (Adelanto con zp = 0), el control PI (Atraso con zp = 1) y el control PID (Atraso-Adelanto con zp1 = 0 , zp2 = -1), para el caso de discretización Euler hacia atrás.
)(
Atraso
2
02
1
01
p
Adelanto
p
czz
zz
zz
zzKwG
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
ESPECIFICACIONES EN FRECUENCIA
1.ESPECIFICACIONES ESTÁTICAS: Son
las mismas que en el diseño
temporal (con lugar de las
raíces), es decir, errores ante
una perturbación específica.
Para calcularlas se necesita
saber el tipo del sistema y la
ganancia estática. Esta
información se encuentra en la
parte de baja frecuencia del
diagrama de bode.
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ESPECIFICACIONES EN FRECUENCIA
2. ESPECIFICACIONES DINÁMICAS:
• Ancho de banda en lazo cerrado. Es la frecuencia en la que la magnitud en bucle cerrado ha bajado 3 dB respecto del valor a bajas frecuencias (que es siempre cercano a 0 db). Está relacionada con la velocidad de respuesta: a mayor ancho de banda, mayor rapidez de respuesta. Esto significa que el sistema puede seguir con poco error una señal de referencia que varíe rápidamente. Se puede decir que si el ancho de banda del sistema en lazo cerrado es mayor que el máximo contenido en frecuencias de la señal de referencia, ésta puede ser seguida por el sistema con poco error.
ESPECIFICACIONES EN FRECUENCIA
• Frecuencia de cruce de ganancia. Es la frecuencia en la que en lazo abierto la magnitud es 1 (0 db). En esta frecuencia es donde se mide el margen de fase. No es una especificación de respuesta, pero se utiliza de forma explícita en el diseño, y está relacionada con el tiempo de establecimiento en lazo cerrado, por lo que puede ser muy útil para el diseño de controladores. El tiempo que toma al sistema de lazo cerrado en alcanzar el 63% de su valor final en respuesta a una entrada escalón es aproximadamente igual wc.
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ESPECIFICACIONES EN FRECUENCIA
• Margen de fase. Define la estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado, aunque se mide en el diagrama de lazo abierto. Está relacionada también con la sobreoscilación, ya que a menor margen de fase, menor amortiguamiento, y mayor sobreoscilación.
• Pico de resonancia. Es el valor del máximo de la magnitud. Está relacionado con la sobreoscilación. Cuanta más sobreoscilación, mayor pico de resonancia y viceversa.
• Frecuencia de resonancia. Es la frecuencia a la que la magnitud es máxima. Da la misma información que el ancho de banda (rapidez de respuesta).
• Margen de ganancia. Define también la estabilidad relativa
RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO Y LA FRECUENCIA
|Y(jw)|
Y(0)=1
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
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Procedimiento de Diseño en Plano w
1. Obtenga G(z), la transformada Z de la planta
precedida por el retenedor. A continuación
transforme G(z) en una función de transferencia
de G(w) mediante la transformada bilineal.
)(* sG D ZOH 1
1
ss+ _
Controlado
r
digital
Gh(s) Gp(s)
r(t) c(t)
δ(t)
wT
wT
z
21
21
wT
wT
z
zGwG
21
21
|)()(
Procedimiento de Diseño en Plano w
2. Sustituya w por jv y trace el diagrama de BODE para G(jv)
3. Lea del diagrama de Bode las constantes de error estático, margen de fase y margen de ganancia.
4. Suponiendo que la ganancia en baja frecuencia de la función de transferencia del controlador digital GD(w) es la unidad, determine la ganancia del sistema al satisfacer el requisito para la constante de error estático. A continuación utilizando técnicas de diseño convencionales para sistemas de control en tiempo continuo, determine los polos y ceros de la función de transferencia del controlador digital.
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Procedimiento de Diseño en Plano w
5. Transforme la función de
transferencia del controlador GD(w)
en GD(z) mediante la transformación
bilineal por la ecuación
Y esta es la función de transferencia
pulso del controlador
1
12
z
z
Tw
1
12|)()(
z
z
Tw
DD wGzG
Procedimiento de Diseño en Plano w
EJEMPLO: considere el sistema de control
de la figura. Diseñe un controlador
digital en el plano w de tal forma que
el margen de fase sea 50°, el margen de
ganancia sea de por lo menos 10dB, y la
constante de error de velocidad estática
Kv sea de 2seg-1. Suponga un periodo de
muestreo igual a =0,2seg.
)(* sG D ZOH+ _
Controlador
digital Gh(s) Gp(s)
r(t) c(t)
δ(t) 1
1
ss
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Procedimiento de Diseño en Plano w
SOLUCIÓN: Primero obtenemos la función de
transferencia a pulso con la ganancia
del sistema K (producto de la ganancia
del controlador y de la planta)
8187,08187,1
)01752,00187,0(
8187,08187,11
)0175,00187,0(
)8187,01()1(
))2,01()12,0(()1(
)1()1(
)1(
1)(
221
21
121
112,02,02,01
2
12,0
zz
zK
zz
zzK
zz
zzeeeKz
ss
KZz
ss
K
s
eZzG
s
Procedimiento de Diseño en Plano w
A continuación, transformamos la función de
transferencia pulso G(z) en una función de
transferencia G(w) mediante la
transformación bilineal
Entonces:
w
w
wT
wT
z1,01
1,01
21
21
)1(
101
3001
)(
9969,0
)9966,009633,0000333,0(
8187,01,01
1,018187,1
1,01
1,01
)01752,01,01
1,010187,0(
)(
2
2
2
ww
wwK
wG
ww
wwK
w
w
w
w
w
wK
wG
Sistema de fase no
Mínima debido al cero
en w= 10 presente en
el semiplano derecho
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61
Procedimiento de Diseño en Plano w
Probemos con un compensador digital
(compensador de adelanto) GD(w) con
ganancia unitaria y el cual tiene
forma (la mas sencilla).
La función de transferencia de lazo
abierto del sistema compensado es:
10 1
1)(
w
wwGD
ww
wwK
w
wsGwG PD
9969,0
)9966,009633,0000333,0(
1
1)()(
2
2
Procedimiento de Diseño en Plano w
La constante de error de velocidad
estática Kv es 2seg-1, entonces:
Definamos K igual a 2, trazamos el
diagrama de BODE de G(w), como:
2)()(lim)(lim00
KwGwwGssGK Dws
v
)1(
101
30012
)(
9969,0
)9966,009633,0000333,0(2)(
2
2
ww
ww
wG
ww
wwwG
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Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-80
-60
-40
-20
0
20
40
System: sys
Gain Margin (dB): 14.3
At frequency (rad/sec): 3.22
Closed Loop Stable? Yes
Magnitu
de (
dB
)
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
System: sys
Phase Margin (deg): 31.6
Delay Margin (sec): 0.439
At frequency (rad/sec): 1.25
Closed Loop Stable? Yes
Phase (
deg)
Procedimiento de Diseño en Plano w
En matlab se procede de igual manera como se
hace con la función de Transferencia de
lazo Abierto en Laplace
num=[-0.000666 -0.19266 1.9932];
den=[1 .9969 0];
w=logspace(-1,3,100);
Bode(num,den,w)
Procedimiento de Diseño en Plano w
De la gráfica se obtiene los valores para la función de transferencia de G(jv):
Margen de Fase = 30°
Margen de ganancia= 14,5dB
El diseño exige un margen de ganancia de por lo menos 10dB y un margen de fase de 50°, de allí que el ángulo adicional de adelanto de fase necesario para satisfacer este requisito es 20°. Un compensador en adelanto debe cumplir con las especificaciones sin modificar el valor de K.
Al agregar el compensador modificará la curva de magnitud del diagrama de bode, de allí que la frecuencia de cruce se desplazará hacia la derecha.
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Procedimiento de Diseño en Plano w
Si se considera un corrimiento de frecuencia de cruce
de ganancia, y suponemos un ángulo de corrimiento φM, el cual es el máximo ángulo de adelanto de fase.
En vista que:
(Se observa que se han agregado de mas para
compensar el corrimiento de la ganancia, en la
frecuencia de cruce). Entonces para un φm=28°
corresponde un factor de atenuación de α=0,361
Ya determinado esto, el siguiente paso es encontrar la
frecuencia de esquina del compensador.
1
1)sin( M
1y 1
vv
2883050cdm
MfMf
8
Procedimiento de Diseño en Plano w
Este se determina mediante la utilización de la
media geométrica ya que allí se encuentra el
ángulo de adelanto de fase máximo vb en la frecuencia de cruce de ganancia, entonces:
A continuación
Buscamos la magnitud del sistema del punto de
la frecuencia de cruce de ganancia del
sistema no compensado , de allí
que:
1
1
1
1
1)(
1
bvb
b
b
jv
jv
w
wjvG
dBdBjvGb
425,46643,1log20361,0
1log20)(
10
)(log2010 b
jvG
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Procedimiento de Diseño en Plano w
Para encontrar este punto -4,425
sustituimos w por jv y encontramos la
magnitud de G(jv).
Mediante su desarrollo o directamente de la gráfica de bode en este punto, encontramos que para un valor de v=1,7 la magnitud se convierte en alrededor de -4,4dB
dBvv
vv
jvG 425,41
101
30012
log20)(log202
22
1010
Procedimiento de Diseño en Plano w
Se observa que en el punto de magnitud
igual -4,4dB se encuentra en una
frecuencia de 1,7rad/seg
100
101
-240
-210
-180
-150
-120
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
System: sys
Frequency (rad/sec): 1.7
Magnitude (dB): -4.4
Magnitu
de (
dB
)
Bode para las frecuencia de entre 1 y 10 rad/seg
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65
Procedimiento de Diseño en Plano w
Si tomamos ahora el valor de la frecuencia obtenida como la frecuencia de cruce de ganancia vc entonces:
Obtenemos: y
Por lo que el Compensador en adelanto es:
7,11
cv
979,0361,07,1
1
7,1
1
3534,0361,0979,0
0,3534w1
0,979w1
1
1)(
w
wwGD
Procedimiento de Diseño en Plano w
• Ahora se procede a graficar y observar los resultados obtenidos, para así compararlos con las especificaciones de diseño
num=[-0.000666 -0.19266 1.9932];den=[1 .9969 0];
G=tf(num,den) %función de transferencia lazo abierto
q=logspace(-1,3,100);
Gc=tf([.979 1],[.3534 1])% función de transferencia compensador
GcG=series(Gc,G);%función de transferencia lazo abierto sistema
bode(G,’b’,GcG,’r’,q)
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Procedimiento de Diseño en Plano w
• Resultados de Diagrama de bode de lazo abierto en el
plano w del sistema G, y del controlador + sistema
GcG. Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
102
103
90
135
180
225
270
System: GcG
Phase Margin (deg): 48.9
Delay Margin (sec): 0.501
At frequency (rad/sec): 1.71
Closed Loop Stable? Yes
System: G
Phase Margin (deg): 31.6
Delay Margin (sec): 0.439
At frequency (rad/sec): 1.25
Closed Loop Stable? Yes
Phase (
deg)
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
System: G
Gain Margin (dB): 14.3
At frequency (rad/sec): 3.22
Closed Loop Stable? Yes
System: GcG
Gain Margin (dB): 14.4
At frequency (rad/sec): 5.41
Closed Loop Stable? Yes
Magnitu
de (
dB
)
G
GcG
Procedimiento de Diseño en Plano w
Transformando ahora esta
ecuación al plano Z mediante la
transformada Bilineal, se
obtiene
Compensador
1
1)-10(z
1
1
2,0
2
1
12
zz
z
z
z
Tw
5589,0
9387,13798,2
3534,01
)0,979(1)(
1z
1)-10(z
1z
1)-10(z
z
z
zGD
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Procedimiento de Diseño en Plano w
La función de transferencia pulso de lazo
abierto del sistema es entonces
Y la función de transferencia de lazo
cerrado es
4576,08352,13776,2
0679,00108,00891,0
)8187,0)(1(
)9356,0(03746,0
5589,0
9387,13798,2)(
23
2
zzz
zz
zz
z
z
zzGD
)3196,07379,0)(3196,07379,0)(8126,0(
)8145,0)(9357,0(081,0
5255,08462,12885,2
0679,00108,00891,0
)(
)(23
2
jzjzz
zz
zzz
zz
zR
zC
Procedimiento de Diseño en Plano w
Se observa que la función de transferencia lazo cerrado del sistema implica 2 ceros localizados e z=-0,9357 y z=0,8145. Este cero prácticamente se cancela con un polo en lazo cerrado que se encuentra e z=0,8126.
El efecto del otro cero sobre el transitorio y la respuesta en frecuencia es pequeño, ya que se encuentra sobre le eje real negativo del plano z entre 0 y -1 y está próximo al punto z=-1 de la círculo unitario.
Con esto el sistema se comporta como si se tratara de un sistema de segundo grado.
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68
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Respuesta a un escalón unitario
Procedimiento de Diseño en Plano w
Con este periodo de muestreo se puede
dibujar la respuesta escalón unitario
en Matlab como sigue con horizontal k: num=[0 0.0891 0.0108 -0.0679];
den=[1 -2.2885 1.846 -0.5255];
x=ones(1,41);
axis([0 40 0 1.6]);
k=0:40;
y=filter(num,den,x);
plot(k,y,'o');
grid
title('Respuesta a un escalón unitario
en función de k');figure
Dstep(num,den)
k muestras(periodo de muestreo igual 0.2)
Respuesta a un escalón unitario en función de k
Time (sec)
Am
plit
ude
0 5 10 15 20 25 30 350
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: sys
Peak amplitude: 1.19
Overshoot (%): 19.1
At time (sec): 8
System: sys
Settling Time (sec): 17.9
Procedimiento de Diseño en Plano w
• Se obtendría una gráfica similar si usamos el
comando dstep podemos graficar la misma ecuación
como función de k como eje horizontal y obtener
num=[0 0.0891 0.0108 -0.0679];
den=[1 -2.2885 1.846 -0.5255];
k=41;
dstep(num,den)
grid
title('Respuesta a un
escalón unitario en
función de k')
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69
Procedimiento de Diseño en Plano w
• También podemos graficar la misma
ecuación como función de kT como eje
horizontal y obtener
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
kT segundos, con periodo de muestreo de 0.2 seg
Am
plitu
d
Respuesta al escalón Unitario
num=[0 0.0891 0.0108 -0.0679];den=[1 -2.2885
1.846 -0.5255];
M=tf(num,den,.2)
kT=0:.2:8;
title('Respuesta a un
escalón unitario en
función de kT‘)
stem(kT,step(M,kT))
Grid
figure
Step(M)
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
0 1 2 3 4 5 6 70
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: M
Settling Time (sec): 3.57
System: M
Peak amplitude: 1.19
Overshoot (%): 19.1
At time (sec): 1.6
Procedimiento de Diseño en Plano w
num=[0 0.0891 0.0108 -0.0679];
den=[1 -2.2885 1.846 -0.5255];
kT=0:.2:8;
M=tf(num,den,.2)
step(M)
grid
title('Respuesta a un escalón
unitario en función de kT')
Se obtendría una gráfica similar si usamos
el comando step podemos graficar la misma
ecuación como función de kT como eje
horizontal y obtener
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70
Procedimiento de Diseño en Plano w
Se observa de la gráfica obtenida el
impuso es del 20% y el tiempo de
levantamiento es de aproximadamente
de 0.4seg. También podemos observar
que el número de muestras por ciclo
senoidal es de 15 aproximadamente, lo
que significa que la frecuencia de
muestreo ws es 15 veces la frecuencia
natural amortiguada wd. Por lo tanto
el periodo de muestreo de 0,2seg es
satisfactorio en este sistema.
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO COMPENSADOR EN ATRASO:
1. La función de transferencia de un compensador en atraso es:
La función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es,
Determinando la ganancia de KD que satisfaga el requisito de la constante de error de velocidad
1 1
1)(
w
wKwG DD
(w)Gw
wG(w)
w
wKwGwG DD 1
1
1
1
1)()(
03/06/2013
71
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
2. Si el sistema no compensado G1(w) no satisface las especificaciones referentes a los márgenes de fase y ganancia, entonces encuentre el punto de frecuencia donde el ángulo de fase de la función de transferencia de lazo abierto sea igual -180° mas el margen de fase requerido. El margen de fase requerido es el margen de fase especificado mas una corrección de entre 5° y 12°. Escoja esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
3.Para evitar errores, el polo y
cero del compensador deberán
estar localizados bastante
alejados, debajo de la nueva
frecuencia de cruce de ganancia.
Por lo tanto escoja la frecuencia
de esquina v=1/τ (correspondiente al cero del compensador) una
decena por debajo de la nueva
frecuencia de cruce de ganancia
wc
03/06/2013
72
DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
4. Determine la atenuación necesaria para llevar la curva de magnitud hacia abajo hasta 0dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Notando que esta atenuación es de -20log(β), determine le valor de β. Entonces la otra frecuencia de esquina es (que corresponde al polo del compensador de atraso) queda determina por 1/τβ.
Otra forma es trazar una línea de pendiente -20dB/década por el lugar del cero del atraso y proyectarla hacia arriba ala izquierda hasta que corte la asíntota de baja frecuencia. Esta intersección determina el polo del compensador por atraso.
5. Una vez diseñado el compensador de atraso en el plano w, deberá transformarse al plano z
BIBLIOGRAFÍA
• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición.
• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto
• BIBLIOGRAFÍA WEB
• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición
• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering. Primera Edición.
• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición
• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición
• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.
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73
CAPÍTULO 3
MÉTODOS DE DISEÑO INDIRECTO, DE CONTINUO A DISCRETO - LGR
DISEÑO INDIRECTO
• En esta parte se desarrollará el diseño de controladores a partir del Lugar de la Raíces y Diagramas de Bode en el tiempo continuo y luego se procederá a analizar los mapeos del dominio s al dominio del plano z.
Todas las técnicas desarrolladas para compensar sistemas continuos pueden ser aplicadas a sistemas de datos muestreados. Se tendrán que hacer algunas modificaciones en ciertos casos, pero en general las técnicas son las mismas
Nota: La retención de orden cero está presente en el sistema de datos muestreados, pero no el sistema continuo. Se debe tener en cuenta de incluir el efecto del convertidor digital a analógico (DAC) diseñado con los retenedores.
03/06/2013
74
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
Estos método se basa en diseñar el
controlador o el compensador en el
dominio del Plano s, utilizando los
métodos de diseño clásicos o modernos
para los controladores o compensadores.
Luego de tener dicho controlador o
compensador diseñado en el plano complejo
s, se procede a mapearlo en el plano z con cualquier método de discretización ya
vistos, como por ejemplo la transformada
Bilineal, ZOH, etc.
• La forma mas fácil de entender este tipo
de diseño es resolviendo un ejercicio.
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
Ejemplo: Considere el sistema de datos
muestreados de la figura
Se desea diseñar un compensador que
satisfaga las especificaciones:
Tiempo pico ≤ 1.5seg
Máximo pico≤20%
Factor de amortiguamiento≤0.7
)(* sG c ZOH 1
1
ss+ _
Controlador
digital Gh(s) Gp(s)
R(s) C(s) E(s)
E*(s)
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75
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Diagrama de bloques en el plano s
La frecuencia natural amortiguada y la
atenuación se obtiene con valores de
tiempo pico de 1.5 y usando un valor muy
inferior a 20% de sobre impulso, por
ejemplo 4% para cumplir con un
R(s) )(sGc+ _ Gp(s)
C(s)
209.25.1
p
dt
7.0
%6.4046.022
7.01
7.0
1
eeMp
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
De lo anterior obtenemos los polos dominantes deseados del sistema, con valor igual a
El compensador a utilizar debe ser en adelanto para satisfacer las condiciones señaladas con una función de transferencia igual a:
22 jjs d
p
ccccc
ss
ssK
s
s
Ks
sKsG
1
1
1
1)(
2049.22218.3
2218.3)04.0ln()ln(
d
Mp
03/06/2013
76
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
1
O
P=-
2+j2
A B -
1
jw
σ
23
De acuerdo a la condición de fase tenemos
Si ahora elegimos el cero del compensador en el
punto -2 tenemos entonces las contribuciones de
los dos polos del sistema y del cero del
compensador, con lo cual:
180321
435.18
270565.116135
18090tan180tan180
3
3
3121
221
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Teniendo ya el ángulo de contribución al LGR del sistema, del polo del compensador, se procede hallar la posición de polo del compensador, de la siguiente manera:
• El compensador hasta ahora tendría la forma
8
43.18tan
22 B
8
2)(
s
sKsG cc
03/06/2013
77
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Para obtener la ganancia del sistema en el polo deseado se
obtiene de condición de
magnitud en el punto deseado:
• De allí que el compensador en adelanto sea
20
2
81
22
s
sss
js
cK
8
220)(
s
ssGc
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• El siguiente paso es la elección del
periodo de muestreo; utilizando los
criterios empíricos de selección de
periodo de muestreo o utilizando la regla
empírica de las diez muestras por ciclo
de oscilación senoidal el cual está dado
por la frecuencia natural amortiguada wd
de 2rad/seg.
Utilizando los siguientes dos criterios
obtenemos que:
seg31416.020
2T
rad/seg2010
s
ds
Hz
BWs
10f
0.1segseg12.0844.50
2T
rad/seg844.502711.14040
s
s
03/06/2013
78
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Terminada la selección del periodo de
muestreo (Ts=0.1) se mapea el compensador
en el plano z hallado, utilizando la
transformación bilineal de Tustin. Con lo
cual se obtiene:
• También debe obtenerse la función de la
planta discretizada por el retenedor de
orden cero, resultando:
4286.0
8182.071.15
8
220)(
1
1102
z
z
s
szG
z
zs
c
9048.01
)9672.0(004837.0
)1()1(
))1,01()11,0(()1(
)1(
1)1(
)1(
11)(
11,021
111,01,01,01
2
12,0
zz
z
zez
zzeeez
ssZz
sss
eZzG
s
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Se procede a continuación la
obtención de la función de
transferencia de lazo abierto y
cerrado del sistema compensado,
para analizar sus respectivos
resultados tanto en s como en z:
8) + 4s + (s 5)+(s
2)+(s 20
)(
)(
8)+(s 1)+(s s
2)+(s 20
2
sR
sC
(s)(s)GG pc
).z) (z.(z-
).) (z. (z-.
zR
zC
z).) (z-.(z-
).) (z-. (z. (z)(z)ZOHGG pc
67340592.166520
96720818200706230
)(
)(
14286090480
81820967200759890
2
03/06/2013
79
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Se observa el lugar de las raíces del
sistema sin compensar (azul) y el sistema
compensado (verde), dominio s. Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-15
-10
-5
0
5
10
15
0.060.120.190.270.360.5
0.66
0.88
0.060.120.190.270.360.5
0.66
0.88
2
4
6
8
10
12
14
2
4
6
8
10
12
14
System: g3
Gain: 1.01
Pole: -2.01 + 2.02i
Damping: 0.704
Overshoot (%): 4.43
Frequency (rad/sec): 2.85
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Vale la pena señalar que las ubicaciones reales de los polos de lazo cerrado NO son las que resultan del mapeo s=-2±j2 en el plano z=esT. Con el mapeo z=esT los polos de lazo cerrado dominantes estarían en:
La razón de esto es que el compensador inicialmente fue diseñado en el plano s ignorando los efectos del retenedor de orden cero, y luego transferido al plano z con un mapeo diferente, el mapeo bilineal.
Los polos dominantes en el plano s están el línea de relación de amortiguación constante en 0.7 en s=-2±j2 .
1627.08024.01.022 jez j
03/06/2013
80
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
Pero los polos dominantes reales del sistema
(0.796±j0.1995) en el plano z están sobre la
línea del factor de amortiguamiento en 0.6
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
0.1/T
0.2/T
0.3/T
0.4/T0.5/T
0.6/T
0.7/T
0.8/T
0.9/T
/T
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.1/T
0.2/T
0.3/T
0.4/T0.5/T
0.6/T
0.7/T
0.8/T
0.9/T
/T
System: Gz
Gain: 0.982
Pole: 0.8 - 0.196i
Damping: 0.629
Overshoot (%): 7.88
Frequency (rad/sec): 3.09
Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• La respuesta escalón unitaria del sistema continuo
controlado por un compensador digital, casi
satisfaces las especificaciones establecidas. Por
lo tanto que no es muy perjudicial ignorar los
efectos del ZOH, por lo menos en este ejemplo. Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4System: Mzc
Peak amplitude: 1.23
Overshoot (%): 23.1
At time (sec): 1
System: Msc
Peak amplitude: 1.16
Overshoot (%): 16.4
At time (sec): 1.06
Ms
Msc
Mz
Mzc
03/06/2013
81
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Ahora se volverá a diseñar el compensador
teniendo en cuenta la contribución del
ángulo del ZOH mas no la contribución de la
magnitud, ya que ocasionaría que el sistema
se comporte oscilatorio al variar la
ganancia del sistema
5.12
27091.5565.116135
18090tan180tan180
3
3
221
3121
221 2.02.0
j
ee j
180321 ZOH
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Teniendo ya el ángulo de
contribución al LGR del sistema,
del polo del compensador, se
procede hallar la posición de
polo del compensador, de la
siguiente manera:
• El compensador hasta ahora
tendría la forma
11
5.12tan
22 b
11
2)(
s
sKsG cc
03/06/2013
82
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Para obtener la ganancia del sistema en el polo deseado se obtiene de condición de magnitud en el punto deseado:
• De allí que el compensador en adelanto sea
El cual es ligeramente diferente al hallando anteriormente sin tener en cuenta la contribución del ZOH.
292.29
2
111
22
s
sss
js
cK
11
229)(
s
ssGc
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Terminada la selección del periodo de
muestreo (Ts=0.1) se mapea el
compensador en el plano z hallado, utilizando la transformación bilineal
de Tustin. Con lo cual se obtiene:
• La función de la planta discretizada
por el retenedor de orden cero,
anteriormente hallada:
2903.0
8182.058.20
11
229)(
1
1102
z
z
s
szG
z
zs
c
9048.01
)9672.0(004837.0)(
zz
zzG
03/06/2013
83
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Se procede a continuación la
obtención de la función de
transferencia de lazo abierto y
cerrado del sistema compensado,
para analizar sus respectivos
resultados tanto en s como en z:
7.395) + 4.157s + (s 7.843)+(s
2)+(s 29
)(
)(
11)+(s 1)+(s s
2)+(s 29
2
sR
sC
(s)(s)GG pc
).z + . - ) (z.(z-
).) (z-. (z+.
zR
zC
)) (z-.) (z-.(z-
).) (z+. (z-. (z)(z)ZOHGG pc
63460557153810
81820967200995570
)(
)(
19048029030
96720818200995570
2
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
Se observa el lugar de las raíces del sistema
sin compensar (línea derecha) y el sistema
compensado (parte Izq), dominio s.
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0.060.120.20.280.380.52
0.68
0.88
0.060.120.20.280.380.52
0.68
0.88
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
System: M1
Gain: 0.969
Pole: -2.01 + 1.73i
Damping: 0.758
Overshoot (%): 2.61
Frequency (rad/sec): 2.65
03/06/2013
84
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Se observa el lugar de las raíces del sistema sin
compensar (azul) y el sistema compensado (verde),
dominio z.
Root Locus
Real Axis
Imagin
ary Ax
is
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
System: GzGcz
Gain: 1.01
Pole: 0.778 + 0.171i
Damping: 0.724
Overshoot (%): 3.68
Frequency (rad/sec): 3.150.1/T
0.2/T
0.3/T
0.4/T0.5/T0.6/T
0.7/T
0.8/T
0.9/T
/T
0.1/T
0.2/T
0.3/T
0.4/T0.5/T0.6/T
0.7/T
0.8/T
0.9/T
/T
0.10.20.30.40.50.60.70.80.9
Gz
GzGcz
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• De la ecuación en lazo cerrado en
el plano z se puede obtener los
polos dominantes del sistema y
compararlos con los polo deseados
con un factor de amortiguamiento
que se puede obtener de la figura
del LGR en el plano z.
sistema del polos 1689.07785.0
deseados polos 1627.08024.01.022
jz
jez j
03/06/2013
85
DISEÑO INDIRECTO - Diseño LGR
• La relación de amortiguación de los polos
dominantes mejoró, lo mismo que el desempeño, se
observa además que el impacto del ZOH depende de la
frecuencia de muestreo, mientras mas alta es la
frecuencia menor es el impacto.
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: Mzc
Peak amplitude: 1.19
Overshoot (%): 18.8
At time (sec): 0.9
System: Mz
Peak amplitude: 1.18
Overshoot (%): 18.4
At time (sec): 3.6
Mz
Mzc
BIBLIOGRAFÍA
• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición.
• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto
• BIBLIOGRAFÍA WEB
• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición
• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering. Primera Edición.
• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición
• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición
• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.
03/06/2013
86
CAPÍTULO 4
MÉTODOS DE DISEÑO INDIRECTO,
DE CONTINUO A DISCRETO - BODE
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
• Otro método para diseñar un compensador digital en el dominio s es el método de bode. Al diseñar compensadores que finalmente serán transferidos al plano z, el método de Bode tiene ventajas, ya que proporciona un medio para seleccionar una taza de muestreo adecuada y por la facilidad con que considera el efecto del ZOH.
• La contribución a la fase negativa de la retención de Grado cero a la frecuencia de cruce donde se mide el margen de fase es:
cruce de frecuencia la es donde 22
cc
ZOH
TT
03/06/2013
87
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
EJEMPLO: considere el sistema de la figura.
Se quiere diseñar un compensador para el
sistema de tipo 1, de modo que la
constante de error estático de velocidad
Kv sea de 20seg-1 , margen de fase sea al
menos de 50° y el margen de ganancia sea
al menos 10 decibelios.
)(* sG D ZOH)2(
4
ss+ _
Controlador
digital Gh(s) Gp(s)
r(t) c(t)
δ(t)
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
SOLUCIÓN EN S
USAREMOS UN COMPESADOR DE ADELANTO,
con la forma anteriormente descrita
Sistema compensado T
s
Ts
KTs
TsKsG ccc
1
1
1
1)(
+ _ C(s) R(s)
)2(
4
ssT
s
Ts
KsG cc
1
1
)(
03/06/2013
88
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
El sistema compensado se define
Lo primero a encontrar es la ganancia K, de
acuerdo a las especificaciones de diseño del
comportamiento estacionario o de acuerdo al
error de velocidad en estado estacionario.
Como la constante de error de velocidad
requerido es 20 seg-1, y el sistema posee un
error de velocidad estático de 2 seg-1
entonces:
)2(
4)()(con )(
1
1
)(1
1)(
1
1)()(
11
ss
KsKGsGsG
Ts
Ts
sGTs
TsKsG
Ts
TsKsGsG cc
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
Hallando
De allí que
Produciendo el diagrama de Bode del
G1(jw) en Matlab, obtenemos
10 202
2
4lim
)(1
1lim)()(lim
0
100
KKss
Ks
sGTs
TsssGssGK
s
sc
sv
)2(
40)(1
sssG
03/06/2013
89
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
Grafica de BODE de G1(s)
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Magnitu
de (
dB
)
10-1
100
101
-180
-135
-90
System: sys
Phase Margin (deg): 18
Delay Margin (sec): 0.0508
At frequency (rad/sec): 6.17
Closed Loop Stable? Yes
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
De la gráfica se observa el margen de fase de 18° y el margen de ganancia es +∞.
Las especificaciones buscan un MFd de 50°, el adelanto de fase adicional necesario para satisfacer el requisito es de 32°.
Tomando en cuenta que la adición de un compensador de adelanto modifica la curva de magnitud del diagrama de Bode, la frecuencia de cruce de ganancia se moverá a la derecha.
Debemos compensar el atraso de fase incrementado de G1(jw), debido a este incremento en la frecuencia de cruce de ganancia. Considerando el cambio de la frecuencia de cruce de ganancia, suponemos que φm , adelanto de fase máximo requerido, es de aproximadamente 38°. (Esto significa que se han agregado 6° para compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia.)
03/06/2013
90
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
De la anterior corrección podemos hallar el valor de α de acuerdo a la expresión:
Donde φm es 38°; con este valor se obtiene un α=0,2379
Luego de haber obtenido la atenuación a partir del ángulo de fase requerido, procedemos a obtener las frecuencia de cruce de ganancia como:
1
1)sin( m
Tw
b
1
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
La cantidad de la modificación en la curva de
magnitud en debido a la inclusión
del término es:
Observe que la magnitud en el punto de la
frecuencia de cruce de ganancia es entonces:
Tw
b
1
1
1
Ts
Ts
1
11
11
1
1)(
1 Tj
Tj
Tjw
TjwjwG
Tbwb
b
b
dBjwGb
2,624,0
1log20
1log20)(
1010
03/06/2013
91
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
Buscamos ahora el punto de frecuencia, al añadir el
compensador, donde la magnitud total es de 0dB.
Buscamos en la gráfica de bode de G1(s) el rango de
valores en donde se encuentra la magnitud de -
6,2dB. Esta ganancia ocurren en el rango de
frecuencias de 1 y 10 rad/seg. Graficando bode de
G1(s) en este rango obtenemos:
-10
0
10
20
30
Magnitu
de (
dB
)
System: sys
Frequency (rad/sec): 8.9
Magnitude (dB): -6.16
100
101
-180
-150
-120
-90
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
La ganancia ocurre en la frecuencia
de w=9rad/seg. Seleccionamos esta
frecuencia para que se a nueva
frecuencia de la ganancia de cruce
o wb=9 rad/seg. A este frecuencia
corresponde a:
Y también:
409,424,0991
91
TT
wb
371,1824,0
991
T
03/06/2013
92
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
El compensador en adelanto así
determinado es
Donde Kc se determina como:
De allí que el compensador sea:
10544,0
1227,0
371,18
409,4)(
s
sK
s
sKsG ccc
667,4124,0
10
KKKK cc
371,18
409,4667,41
371,18
409,4)(
s
s
s
sKsG cc
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
La función de transferencia de lazo abierto
del sistema compensado es:
El diagrama de Bode del sistema compensado
es
sss
s
sss
ssGsGc
742,36371,20
839,734668,166
)2(
4
371,18
409,4667,41)()(
23
-100
-50
0
50
Magn
itude
(dB)
10-1
100
101
102
103
-180
-135
-90
Phas
e (de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
03/06/2013
93
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
La respuesta al escalón unitario:
La función de transferencia de lazo
cerrado del sistema original es
La función de transferencia de lazo
cerrado del sistema compensado es
42
4
)(
)(2
1
1
sssR
sC
839,73441,203371,20
839,734668,166
)(
)(23
2
2
sss
s
sR
sC
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
Respuesta del Sistema a una Entrada Escalón
Time (sec)
Am
plit
ude
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: M
Settling Time (sec): 4.04
System: M
Peak amplitude: 1.16
Overshoot (%): 16.3
At time (sec): 1.8
System: M
Peak amplitude: 1.22
Overshoot (%): 21.7
At time (sec): 0.327
System: M
Settling Time (sec): 0.618
System: M
Rise Time (sec): 0.135
System: M
Rise Time (sec): 0.822
Sistema sin compensar
Sistema Compensado
03/06/2013
94
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
El siguiente paso es la elección del
periodo de muestreo; utilizando los
criterios empíricos de selección de
periodo de muestreo o utilizando la
regla empírica de las diez muestras por
ciclo de oscilación sinusoidal, donde
wd=2rad/seg.
Utilizando los siguientes los criterios
del tiempo de establecimiento y ancho de
banda en lazo cerrado obtenemos que:
seg31416.020
2T
rad/seg2010
s
ds
Hz
rBWs
5.12f
seg08.026.76
2T
ad/seg26.76542.23030
s
s
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
• Terminada la selección del periodo de muestreo
(Ts=0.08) se mapea el compensador en el plano z
hallado, utilizando la transformación bilineal de
Tustin. Con lo cual se obtiene:
• También debe obtenerse la función de la planta
discretizada por el retenedor de orden cero,
resultando:
1528.0
7002.02536.28
371.18
409.4667.41)(
1
15.122
z
z
s
szG
z
zs
c
)8521.0829.1(
)948.0(0121.0
)8521.0829.1(
)01149.00121.0(
)2(
4)1(
)2(
41)(
22
2
108,0
zz
z
zz
z
ssZz
sss
eZzG
s
03/06/2013
95
DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR
• Se procede a continuación la obtención de
la función de transferencia de lazo
abierto y cerrado del sistema compensado,
para analizar sus respectivos resultados
tanto en s como en z:
113.4) + 13.89s + (s 6.48)+(s
4.409)+(s 166.668
)(
)(
2)+(s 18.31)+(s s
4.409)+(s 166.668
2
sR
sC
(s)(s)GG pc
)z) (z.(z-
)) (z (z.
zR
zC
)z) (z.(z-
)) (z (z. (z)(z)ZOHGG pc
5909.0034.16050
7002.0948.0342380
)(
)(
8521.0829.115280
7002.0948.0342380
2
2
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
Respuesta del sistema en S Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: M
Peak amplitude: 1.16
Overshoot (%): 16.3
At time (sec): 1.8
System: Mts
Peak amplitude: 1.22
Overshoot (%): 21.7
At time (sec): 0.327
System: Mts
Settling Time (sec): 0.618
System: M
Settling Time (sec): 4.04
M
Mts
03/06/2013
96
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
Respuesta del sistema en Z Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
System: Mtz
Peak amplitude: 1.42
Overshoot (%): 56.2
At time (sec): 0.32
System: Mz
Peak amplitude: 1.16
Overshoot (%): 16.3
At time (sec): 1.84
System: Mz
Settling Time (sec): 4.04
System: Mtz
Settling Time (sec): 1.26
Mtz
Mz
DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE
Aunque no se tuvo en cuenta el
contribución del retenedor de orden cero
sabiendo que sus efectos son mínimos, se
observa que el sistema responde conforme
se le añade le compensador señalado.
Hay que tener en cuenta que para observar
las características indicadas de la
respuesta en frecuencia se debe
desarrollar la transformada en el plano
w, aunque existe una analogía entre la respuesta en frecuencia con la respuesta
en el tiempo observa da en la gráfica,
expuesta anteriormente.
03/06/2013
97
BIBLIOGRAFÍA
• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición.
• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto
• BIBLIOGRAFÍA WEB
• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición
• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering. Primera Edición.
• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición
• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición
• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.
EJERCICIOS
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