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UNIDAD 2 HIDROSTATICA
FUERZA DE PRESION Y PRINCIPIO DE ARQUIMEDES
Daniel Vega
1
Arturo Silisque2
Daniel Aguilar2
Ver. Abril.2010
CONTENIDO
1 INTRODUCCION -------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
2 FUERZA DE PRESION ------------------------------------------------------------------------------------------- 2
3 NOMENCLATURA RELACIONADA CON LA FUERZA DE PRESIÓN ----------------------------- 4
4 CALCULO DE LA FUERZA DE PRESION EN SUPERFICIES PLANAS ---------------------------- 5
4.1 MÉTODO DE LA CUÑA DE PRESIONES ------------------------------------------------------------------------------ 6 4.2 INTEGRACIÓN Y FÓRMULAS DE CÁLCULO ------------------------------------------------------------------------ 8
5 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES ------------------------------------------------------------------------------ 11
6 CALCULO DE LA FUERZA DE PRESION EN SUPERFICIES CURVAS ------------------------- 14
APENDICE 1
REFERENCIAS BRUNETTI, F. 1985. Curso de mecánica de fluidos. 2 ed. San Pablo, Brasil. s.n. 266 p.
BUECHE, F. 1984. Fundamentos de física. 2 ed. México D.F., México. Mc. Graw-Hill.
915 p.
FRANCO G, A. 2006. Curso Interactivo de Física en Internet. Obtenido el 17 de marzo de 2009 en
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/estatica/arquimedes/arquimedes.htm
STREETER, V.L., WYLIE, E.B. 1979. Mecánica de los fluidos. Trad. Por Jaime Gonzalo
Cervantes de Gortari. 6 ed. México D.F., México. Mc Graw-Hill. 775 p.
1 Docente de Hidráulica, Facultad de Agronomía – UMSS.
2 Auxiliar de docencia, Facultad de Agronomía – UMSS.
2
1 INTRODUCCION
Los fluidos ejercen presiones sobre las estructuras que los contienen. Estas presiones
originan fuerzas que necesitan ser calculadas para el adecuado diseño de estas estructuras
hidráulicas: dimensionamiento frente a fuerzas/empujes actuantes y cálculo de estabilidad.
Asimismo, para este fin, es determinante conocer los puntos donde se ejercen estas fuerzas,
denominados centros de presión.
En estos apuntes se desarrollan los conceptos relativos a la fuerza de presión, tanto sobre
superficies planas como en curvas, y el principio de Arquímedes. Los conceptos son
apoyados con ejemplos de aplicación sencillos. El propósito es brindar una base general,
que posteriormente sea útil para profundizar en temas afines.
2 FUERZA DE PRESION
También conocida como empuje hidrostático, es la fuerza que ejerce un fluido sobre una
superficie, fuerza debida a la presión hidrostática.
Cuando un fluido está en reposo no existen fuerzas tangenciales actuando, de lo contrario
se produciría movimiento; consecuentemente, todas las fuerzas son normales a las
superficies que contienen el fluido. La Figura 1 es útil para comprender cómo se distribuye
la presión hidrostática sobre distintas superficies, dispuestas de manera usual.
Figura 1 Distribución de la presión hidrostática
Para el cálculo de las fuerzas de presión, no debemos olvidar el concepto y propiedades de
la presión hidrostática. Especialmente vale recordar que:
- la presión en puntos situados en un mismo plano horizontal, o nivel, es la misma,
porque tienen la misma altura de carga.
- la presión en un punto de un fluido en reposo es la misma en cualquier dirección, por
ello se dice que la presión es isotrópica.
h1
h2
h3
A
B C
D
E F
Gg
gh2
gh1
gh3
gh3
3
Siguiendo la Figura 1 es posible distinguir tres situaciones:
Patrón de distribución de
la presión hidrostática
Diagrama de presiones Superficie Observaciones
1. Rectangular
B-C
E-F
Superficie horizontal, la presión es constante: P1 = γh1
Superficie horizontal, la presión es constante: P3 = γh3
2. Triangular
A-B
F-G
Superficie vertical, la presión varía desde 0 (relativo) hasta P1 = γh1
Superficie inclinada, la presión varía desde 0 (relativo) hasta P3 = γh3
3. Trapezoidal
C-D
D-E
Superficie vertical sumergida, la presión varía desde P1 = γh1 hasta P2 = γh2
Superficie inclinada sumergida, presión varía desde P2 = γh2 hasta P3 = γh3
“Visualizar” el patrón de distribución de las presiones sobre una determinada superficie nos puede ser muy útil en el cálculo de la
fuerza de presión resultante y su punto de acción.
4
3 NOMENCLATURA RELACIONADA CON LA FUERZA DE PRESIÓN
La fuerza de presión que actúa sobre una determinada superficie es el resultado de la
sumatoria de los productos de las presiones que se ejercen en cada diferencial de dicha
superficie. En la Figura 2 se muestra el diagrama de presiones sobre una superficie (A),
totalmente sumergida, que da lugar a una fuerza de presión (F); en la misma figura se detalla
la nomenclatura relacionada.
Figura 2 Nomenclatura relacionada con la fuerza de presión
Superficie (A), corresponde a la superficie sobre la cual se desea calcular la fuerza de presión.
Esta superficie puede ser vertical o inclinada; y estar parcial o totalmente sumergida, donde
dA=dy*b es un diferencial del área (A) sobre el cual actúa una presión P=γh.
Centro de gravedad (CG), también conocido como centroide de una superficie es el punto de
equilibrio si ésta se quedara suspendida en este punto, es el punto en el que puede considerarse
que actúa el peso.
Altura al centro de gravedad (hcg), altura o profundidad existente desde la superficie libre del
líquido hasta el centro de gravedad de la superficie sobre la cual se determina la fuerza de
presión.
Distancia al centro de gravedad (ycg), distancia existente desde la intersección de la superficie
libre y el plano inclinado, o sus proyecciones (punto O, Figura 2), hasta el centro de gravedad
de la superficie sobre la cual se determina la fuerza de presión. El plano inclinado está
determinado por el ángulo , respecto al plano horizontal.
O
5
Centro de presiones (CP), es el punto donde se localiza o actúa la fuerza resultante de las
presiones sobre la superficie (A).
Altura al centro de presión (hcp), altura o profundidad existente desde la superficie libre del
líquido hasta el centro de presiones.
Distancia al centro de presión (ycp), distancia existente desde la intersección de la superficie
libre y el plano inclinado, o sus proyecciones (punto O, Figura 2), hasta el centro de presiones.
Las alturas y distancias, h y y respectivamente, se relacionan como sigue:
ysenh * , consecuentemente: cgcg ysenh * ; cpcp ysenh *
4 CALCULO DE LA FUERZA DE PRESION EN SUPERFICIES PLANAS
El cálculo de la fuerza de presión consiste en la determinación del producto de la presión por
el área sobre la cual ésta actúa.
Cuando la distribución de presiones es uniforme en toda la superficie, como es el caso de las
superficies B-C y E-F del ejemplo mostrado en la Figura1, la fuerza debida a la presión será
simplemente:
PAF = (gh)(l*b)
Esto también puede asumirse como cierto en el caso de la
presión ejercida por los gases sobre las superficies de los
depósitos que los contienen.
Sin embargo, en el caso de los líquidos esto puede ser diferente, debido a que la distribución
de las presiones actuantes puede variar a lo largo de la superficie, como es el caso de la
superficie A-B del ejemplo mostrado en la Figura 1.
En este caso, la fuerza de presión será igual a la sumatoria de los
productos de las presiones por las áreas respectivas sobre las que
actúan:
APdAF
6
El calculo de la magnitud de la fuerza de presión, y su punto de aplicación (centro de presión),
puede realizarse de dos maneras:
Método de la cuña de presiones
Integración y uso de fórmulas de cálculo
A continuación, se explican las formas de cálculo indicadas, para este fin se toma como
ejemplo el caso mostrado en la Figura 1.
4.1 Método de la cuña de presiones
Al observar el patrón de distribución de la presión sobre una superficie se percibe la
“conformación” de un cuerpo con cierto volumen, este volumen es conocido como “cuña o
prisma de presiones”. La fuerza de presión actuante sobre la superficie considerada
corresponde al volumen de la cuña de presiones. A su vez, la localización de la fuerza de
presión (centro de presión) coincidirá con el centro de gravedad de la misma cuña.
No se debe confundir el centro de gravedad de la superficie sobre la cual se calcula la fuerza
de presión con el centro de gravedad de la cuña de presiones.
El método de la cuña de presiones es bastante útil, principalmente para la determinación de las
fuerzas de presión en superficies rectangulares, verticales o inclinadas, pues simplifica el
procedimiento de cálculo. En caso de superficies con geometría más compleja la
determinación del volumen de la cuña de presión y su centro de gravedad se complica, por ello
es aconsejable integrar o emplear fórmulas de cálculo, deducidas del análisis diferencial.
Para la aplicación del método de la cuña de presiones vale recordar:
Volumen Centro de gravedad
cubo o prisma rectangular
V = a*b*c
Prisma triangular
Intersección de medianas
Prisma trapecial
A continuación se muestra un ejemplo de aplicación, tomando como referencia la Figura 1:
a
b2
b1 b1/2
b2/2 a’
a
b
a/3
b/2 a/2
a
b
a
b
c
a
b
c
a
b2
c
b1
a’=a/3*(b2+2b1)/(b2+b1)
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Ejemplo de aplicación 1: método de la cuña de presiones para el cálculo de la fuerza de presión y su localización
Asumir los siguientes valores: gagua = 1000 kg/m3 ; Ancho del depósito b = 5 m ; h1 = 1 m ; h2 = 2 m ; h3 = 2.5 m
A-B = B-C = C-D = 1 m ; D-E = E-F = 3 m ; F-G = 4 m
Patrón de distribución de la
presión hidrostática
Superficie Fuerza de presión*
(volumen de la cuña de presiones) Centro de presión
(centro de gravedad de la cuña de presiones)
1. Rectangular
cubo o prisma rectangular
Superficie horizontal
blhAhPAF **gg
hhh cuñacgcp _
B-C
FB-C=1000 kg/m3*1 m *1 m *5 m = 5000 kg
hcp(B-C) = 1 m
E-F
FE-F=1000 kg/m3*2,5 m *3 m *5 m = 37500 kg
hcp(E-F) = 2,5 m
2. Triangular
cuña triangular
Superficie vertical
Superficie inclinada
bhh
F *2
g
byh
F *2
g
hhcp3
2
senhy cpcp /
A-B
FA-B = (1000 kg/m3*1 m *1 m)/2 *5 m = 2500 kg
hcp = 2/3*1 m = 0.7 m
F-G
FF-G = (1000 kg/m3*2,5 m *4 m)/2 *5 m = 25000 kg
= arcsen (2,5/4) = 38,7º
hcp = 2/3*2.5 m = 1,7 m
ycp = 1,7 m /sen(38,7º) = 2,7 m (desde G)
3. Trapezoidal
cuña trapecial
Superficie vertical
Superficie inclinada
bhhhh
F *)(*2
)(12
21
g
byyhh
F *)(*2
)(12
21
g
)(3
2
21
2
221
2
1
hh
hhhhhcp
,
senhy cpcp /
C-D
FC-D = [1000 kg/m3*(2+1) m]/2*(2-1) m)*5 m = 7500 kg
hcp = 2/3*(12+1*2+22)/(1+2) m
hcp = 1.6 m
D-E
y2-y1 = D-E = 3 m
FD-E = [1000 kg/m3*(2+2,5) m]/2*3 m*5 m = 33750 kg
hcp = 2/3*(22+2*2,5+2,52)/(2+2,5) m
hcp = 2,3 m
= arcsen (0,5/3) = 9,6º
ycp = hcp/sen = 2,3 m/sen(9,6º)
ycp = 13,6 m (desde H)
* En todos los casos las fuerzas calculadas corresponden a la fórmula de cálculo de la fuerza de presión: AhF cgg (ver 4.2)
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Las fuerzas de presión calculadas y sus puntos de aplicación se muestran esquemáticamente
en la Figura 3:
Figura 3 Ejemplo de aplicación 1: Fuerzas y centros de presión (la figura no está a escala)
4.2 Integración y fórmulas de cálculo
De acuerdo con la Figura 2, la presión efectiva sobre la superficie A varía desde P1=γh1
hasta P2=γh2; por tanto, la presión a lo largo de la superficie A no es constante.
En principio, para la determinación de la fuerza de presión resultante sobre la superficie A,
se considera una presión genérica (P) que actúa sobre un diferencial de la superficie (dA).
El producto de la presión (P) por el diferencial (dA) representa un diferencial de la fuerza
de presión (dF):
dF = P*dA ; P = γ*h
dF = γ*h*dA ; h = sen*y
dF = γ*sen*y*dA (1)
El valor de la fuerza de presión resultante se obtiene integrando la expresión (1) a lo largo
de la superficie A:
A A
dAysendAysenF ***** gg (2)
Sabiendo que la localización del centro de gravedad respecto a un eje horizontal es:
A
cg dAyA
y *1
; luego: AydAy cgA
** (ver Apéndice 1)
Reemplazando en (2)
A*y*sen* F cgg ; finalmente: A*h* F cgg
A
B C
D
E F
G H
β Centro de presión (CP)
Fuerza de presión (F)
ycp
hcp
FDE Referencias:
9
Consecuentemente, la fuerza de presión resultante (F) será igual al producto de la presión
correspondiente a la altura, o profundidad, a la que se encuentra el centro de gravedad de la
superficie (Pcg=g*hcg) por el área de la misma (A).
El centro de presión (CP) se determina por el cálculo de momentos de las fuerzas de
presión actuantes.
El momento de la fuerza resultante será igual a la sumatoria de los momentos de giro de los
diferenciales de fuerza a lo largo de la superficie (A), respecto a un punto de giro. El punto
de giro asumido para el cálculo es el punto de intersección de la línea del plano inclinado
con la superficie libre del líquido (punto, Figura 2).
Por tanto:
Acp ydFyF * ; recordando que: dF = γ*sen*y*dA
Se obtiene:
A
cp dAysenyF 2* g ; entonces: F
dAyseny A
cp
2g
Donde, A dAy2 es el momento de inercia de la superficie A con relación a un eje
perpendicular al plano de la hoja y que pasa por el punto O, el cual es igual a:
AyIdAy cgcA
*22 (ver Apéndice 1)
Luego:
A
AyIseny
cgc
cp*h*
)*(
cg
2
g
g , siendo
sen
hy
cg
cg
Finalmente:
Cuando la superficie está ubicada verticalmente, la expresión de cálculo será:
cg
cg
ccp y
Ay
Iy
*
cg
cg
ccp h
Ah
Ih
*
cpcp ysenh *
10
Donde ycp y hcp indican la distancia y la profundidad al centro de presión (CP),
respectivamente. El valor de Ic se calcula de acuerdo con a la forma geométrica de la
superficie (ver Apéndice 1).
Ejemplo de aplicación 2: Según la Figura 1, y tomando los mismos valores del ejemplo de
aplicación 1:
gagua = 1000 kg/m3 ; Ancho del depósito b = 5 m ; h1 = 1 m ; h2 = 2 m ; h3 = 2.5 m
A-B = B-C = C-D = 1 m ; D-E = E-F = 3 m ; F-G = 4 m
Superficie Fuerza de presión
A*h* F cgg
Centro de presión
cg
cg
ccp h
Ah
Ih
* ;
cg
cg
ccp y
Ay
Iy
*
B-C
E-F
hcg = 1 m; A = 1*5 m2 = 5 m2
FB-C=1000 kg/m3*1 m *5 m2 = 5000 kg
hcg = 2,5 m; A = 3*5 m2 = 15 m2
FE-F=1000 kg/m3*2,5 m *15 m2 = 37500 kg
hcp(B-C) = hcg = 1 m (desde sup. libre)
hcp(E-F) = hcg = 2,5 m (desde sup. libre)
A-B
F-G
hcg = 1/2 m; A = 1*5 m2 = 5 m2
FA-B = 1000 kg/m3*0,5 m *5 m2 = 2500 kg
hcg = 2,5/2 m; ycg = 1,25 m/sen(38,7º) = 2 m
A = 4*5 m2 = 20 m2
FF-G = 1000 kg/m3*1,25 m *20 m2 = 25000 kg
Ic = 1/12*b*h3 = 1/12*5*13 m4
I c = 0,42 m4
hcp = 0,42 m4/(0,5 m*5 m2) + 0.5 m
hcp = 0.67 m (desde sup. libre)
Ic = 1/12*b*h3 = 1/12*5*43 m4
I c = 26,67 m4
ycp = 26,67 m4/(2 m*20 m2) + 2 m
ycp = 2,7 m (desde G)
hcp = sen(38,7º)*2,7 m = 1,7 m
C-D
D-E
hcg = (1/2 + 1) m = 1,5 m; A = 1*5 m2 = 5 m2
FC-D = 1000 kg/m3*1,5*5 m2 = 7500 kg
hcg = (0,5/2 + 2)m = 2,25 m
ycg = 2,25 m/sen(9,6º) = 13,5 m
A = 3*5 m2 = 15 m2
FD-E = 1000 kg/m3*2,25 m *15 m2 = 33750 kg
Ic = 1/12*b*h3 = 1/12*5*13 m4
I c = 0,42 m4
hcp = 0,42 m4/(1,5 m*5 m2) + 1.5 m
hcp = 1,6 m (desde sup. libre)
Ic = 1/12*b*h3 = 1/12*5*33 m4
I c = 11,25 m4
ycp = 11,25 m4/(13,5 m*15 m2) + 13,5 m
ycp = 13,6 m (desde H)
hcp = sen(9,6º)*13,6 m
hcp = 2,3 m (desde sup. libre)
Los resultados son iguales a los obtenidos por el método de la cuña de presiones.
11
5 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES3
Los objetos aparentemente pesan menos cuando flotan o están sumergidos en un fluido.
Este hecho evidencia la existencia de una fuerza de abajo hacia arriba que ayuda a sostener
el objeto. Esta fuerza se denomina Fuerza de flotación o Empuje.
El principio de flotación fue descubierto por Arquímedes4 y se enuncia como sigue:
Todo cuerpo sumergido (total o parcialmente) en un
fluido experimenta un empuje vertical, dirigido de abajo
hacia arriba, igual al peso del líquido que desaloja.
Consecuentemente, la fuerza de flotación (FF) o empuje
(E) será igual a:
E = - gV
Donde:
E = Fuerza de flotación o Empuje
g = peso específico del fluido
V = volumen desalojado * ¡EUREKA!
Siguiendo a Franco (2006), suponer un cuerpo sumergido en un fluido. El área de la base
del cuerpo es A y su altura h (Figura 4).
Figura 4 Presiones y fuerzas sobre un cuerpo sumergido
La presión debida al fluido sobre la base superior es p1= g x. La presión debida al fluido en
la base inferior es p2= g (x+h). La presión sobre las superficies laterales es variable y
depende de la altura, está comprendida entre p1 y p2.
Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre las superficies laterales se anulan. Como la
presión en la cara inferior del cuerpo p2 es mayor que la presión en la cara superior p1, el
3 Adaptado de Franco, 2006 (http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/estatica/arquimedes/arquimedes.htm)
4 Arquímedes (287 – 212 aC), científico griego con importantes obras en el campo de la matemática, la física
y la mecánica. Fundador de la hidrostática.
*
12
resultado es una fuerza hacia arriba (F1 – F2) sobre el cuerpo debida al fluido que le rodea,
esta fuerza es llamada “Fuerza de flotación o Empuje” (E).
E = F1 – F2
E = p1·A - p2·A
E = g x·A - g (x+h)·A
E = - g h A = - g V ; el signo negativo indica la dirección del empuje, abajo hacia arriba.
Por medio de la noción de empuje es posible establecer
la condición de flotación de un cuerpo.
La Figura 5 muestra un cuerpo completamente
sumergido. El cuerpo flotará siempre que el empuje (E)
sea mayor o igual al peso del cuerpo (W = mg):
E ≥ W Figura 5 Flotación de un cuerpo
Al estar el cuerpo totalmente sumergido se tiene:
Vdesalojado = Vcuerpo ; recordando W = g V ; entonces:
gfluido Vdesalojado ≥ gcuerpo Vcuerpo ; gfluido ≥ gcuerpo ; ρ fluido ≥ ρ cuerpo
Por tanto, un cuerpo flotará siempre que el peso específico, o la densidad del cuerpo, sea
menor o igual que del fluido.
Con esta explicación surge un problema interesante y debatido. Supongamos que un cuerpo
de base plana, y con densidad menor al fluido, descansa en el fondo del recipiente. Luego
se llena el recipiente con agua (Figura 6). ¿Desaparece la fuerza de flotación?
Figura 6 Presiones y fuerzas sobre un cuerpo que se encuentra en el fondo
g cuerpo
g fluido
13
Si no existiese la fuerza de empuje el cuerpo quedaría en reposo, sujeto por su propio peso
mg y la fuerza p1A que ejerce la columna de fluido situada por encima del cuerpo, incluso si
la densidad del cuerpo fuese menor que la del fluido. Sin embargo, la experiencia
demuestra que el cuerpo flota y llega a la superficie, por tanto existe la fuerza de empuje
(E). Consecuentemente, la fuerza de flotación o empuje tiene su origen en la diferencia de
presión entre la parte superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido; por
tanto, este principio sigue siendo aplicable en todos los casos.
Ejemplo de aplicación 3. Principio de Arquímedes
Según la Figura 7, se quiere calcular la distancia (X) a la cual se debe colocar un flotador para que
la compuerta AB se comience a abrir cuando el nivel de agua alcance los 3 metros. El flotador tiene
un diámetro de 2 metros y su peso es de 600 kg. A su vez, el ancho de la compuerta es de 1 metro;
despreciar su peso para el cálculo.
La compuerta se comenzará a abrir en el instante que
el momento de giro en el sentido de las agujas del
reloj (-), en torno al punto A (eje de giro de la
compuerta), sea mayor al momento de giro en sentido
contrario (+).
Entonces, el valor de X puede ser calculado como
sigue:
0AM (sumatoria de momentos de giro en torno
al punto A) Recordar que el momento de giro es igual a una fuerza
multiplicada por su brazo respecto a un punto de giro. Figura 7 Ejemplo de aplicación 3
Las fuerzas actuantes y sus brazos respecto al punto A son:
Fuerza Brazo de la fuerza
F = fuerza de presión sobre la compuerta AB
AhF CGg
F = 1000 kg/m3*(3/2 m)*(3 m*1 m)
F = 4500 kg
2/3h; siendo h=3m
2/3h = 2/3(3 m)
2/3h = 2 m
W = peso del flotador
W = mg = 600 kg
X (distancia que se desea calcular).
Distancia desde el punto A hasta el centro de
gravedad del flotador.
E = empuje sobre el flotador
E = g*V ; Vol esfera = 1/6**D3
E = 1000 kg/m3*1/2*(1/6**2
3) m
3
E = 2094.4 kg
X (distancia que se desea calcular).
En este caso la línea de acción del empuje coincide
con el centro de gravedad del flotador.
Los momentos de giro serán:
W*X + F*(2/3*h) - E*X = 0 ; F*(2/3*h) = X(E-W) ; X = F*(2/3*h) / (E-W), remplazando:
X = 4500 kg * 2 m / (2094.4 – 600) kg
X = 6 m (el flotador debe ser colocado a una distancia de X = 6 metros respecto al punto A)
14
6 CALCULO DE LA FUERZA DE PRESION EN SUPERFICIES CURVAS
La fuerza de presión resultante sobre una superficie curva se determina calculando sus
componentes, tanto horizontal (Fx) como vertical (Fy). Consecuentemente, la fuerza total se
calculará por suma vectorial:
F F FX Y 2 2
La dirección de la fuerza será: = arctg Fy/Fx ; y su localización, respecto a cierto punto
de giro, se determina por cálculo de momentos:
F
bFbFb
FyyFxx
F
; donde: b = brazos correspondientes a las fuerzas indicadas.
A continuación, se esquematizan algunas situaciones usuales de superficies curvas
sometidas a una fuerza de presión.
En los tres casos mostrados arriba, la fuerza de presión sobre la superficie curva BC se
calcula como sigue:
Componente Fx: (fuerza sobre la proyección vertical de la superficie)
Componente Fy: (fuerza igual al peso del fluido o empuje sobre la superficie curva)
Fuerza de presión resultante F: F F FX Y 2 2
Fx
FyF
Sy
A
B
C
D
Sy
Fx
Fy
F
A
B
C
D
Fx
Fy
F
Sy
A
B
C
D
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Ejemplo de aplicación 4. Fuerza de presión sobre superficies curvas
En la figura se muestra una compuerta de sección cilíndrica. Calcular la fuerza de presión
resultante sobre la compuerta, y su dirección, si un cuarto de la misma está en contacto con
el agua.
a) Cálculo de la componente horizontal de la fuerza de presión (Fx)
La componente horizontal de la fuerza de presión (Fx)
se calcula sobre la proyección vertical de la superficie
curva (Sy)
;
(
)
;
b) Cálculo de la componente vertical de la fuerza de presión (Fy)
La componente vertical de la fuerza de presión (Fy) es
igual al empuje.
;
;
=0.76m
La fuerza de presión resultante: √
√
con un angulo respecto al plano horizontal de:
(
)
Fy
r=1.8 m
xcg
16
Y su localización respecto al punto de giro C será:
F
bFbFb
FyyFxx
F
kg
mkgmkgbF
9050
764.0*76342.1*4860
mbF 0
Como es de suponer, pues la fuerza de presión resultante es perpendicular a la superficie
curva, por tanto coincide con la dirección del radio de la misma, por ello pasa por el centro
(C).
CA
B
Sy
Fx
bFx=2/3r
Fy
bFy=4r/(3)
-
F
17
APENDICE 15
MOMENTOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDENES
El momento de una superficie se puede determinar como se determina el momento de una
fuerza respecto a un eje.
Momentos de primer orden
El momento de una superficie A respecto al eje x (ver Figura A.1) se expresa mediante
A ydA
Donde la integración se efectúa a lo largo de
toda la superficie para determinar el momento
respecto a un determinado eje. Por ejemplo, si
tomamos un eje y=k se tiene:
) kAydAdAkyAA
(1)
Figura A.1 Nomenclatura momentos de primer y
segundo orden
Expresión que demuestra que siempre existirá un eje paralelo yky , respecto del cual
el momento es cero. Este eje recibe el nombre del eje centroidal y se puede obtener de la
ecuación (1), haciendo igual a cero el lado izquierdo y despejando y :
A
ydAA
y1
(2)
Asimismo, se puede determinar otro eje centroidal, paralelo al eje y:
AxdA
Ax
1 (3)
El punto de intersección de los ejes centroidales ( x , y ) recibe el nombre de centroide o
centro de gravedad del área.
5 Tomado de Streeter y Wylie, 1979.
18
El momento de primer orden del área respecto a cualquier eje que pase por el centroide es
cero. Cuando un área tiene un eje de simetría este constituye un eje centroidal, puestos que
los elementos de área correspondientes a uno y otro lado del eje de simetría tiene igual
magnitud pero signo contrario.
Cuando se conoce la localización del centroide, el momento de primer orden con respecto a
cualquier eje se puede obtener sin necesidad de integrar simplemente calculando el
producto del área y la distancia desde el centroide del eje.
AyydAA
(4)
Momento de segundo orden
El momento se segundo orden de una superficie, también conocido como momento de inercia, con
respecto al eje x se define como:
Ax dAyI 2
Si el momento de inercia se toma en relación al eje que pasa por el centro de gravedad de la
misma (eje c-c), se expresa como:
A
c dAyyI 2)( A
AA
c dAyydAydAyI22 2
Como:
AyydAA
xA
IdAy 2 AdA
A
Resulta:
AyII xc
2 , entonces: AyII cx
2
Los momentos de inercia para superficies simples (Ic) son:
b
c ch
h/2c c
h/3
b
c c
r
r
rc c
4r/(3)
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