II Encuentro Cuba–México deMétodos Numéricos y
Optimización
Un Funcional Discreto para Controlar la Calidadde Área en Mallas Estructuradas Planas
presenta
Pablo Barrera Sánchez Fco. Domínguez-MotaGustavo García Cano Guilmer González
Facultad de Ciencias, UNAM
La Habana, cuba a 21 de enero de 2013
Contenido
1 Algunas mallas sobre regiones de interésEmbalses, ríos y mares
2 Formulación del problemaTeoría básicaFormulación discretaPlanteamiento moderno
3 Funcional para controlar el tamaño de áreaFuncional bilateral
4 Propuesta de uso
5 Sistema UNAMalla
Un Funcional Discreto para Controlar la Calidad de Área en Mallas Estructuradas Planas
Algunas mallas sobre regiones de interés
Embalses, ríos y mares
Embalse superior en Arkansas
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Algunas mallas sobre regiones de interés
Embalses, ríos y mares
Estrecho de Gibraltar
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Algunas mallas sobre regiones de interés
Embalses, ríos y mares
Bahía de la Habana
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Formulación del problema
Teoría básica
Contando con una región poligonalΩ que define la región deinterés
podemos construir un mapeo desde la frontera del cuadradounitario B y deseamos extender esto a todo el interior de laregión de una forma adecuada.
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Formulación del problema
Teoría básica
Teorema Si x es un mapeo en el plano de manera que
x : B 7→Ω
x|∂B = ∂ΩJ(ξ,η) > 0, ∀(ξ,η) ∈ B
entonces x(ξ,η) es un homemorfismo de B sobreΩ
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Formulación del problema
Teoría básica
Teorema Sea B partida en nc regiones simples Bi tales que
B =∪nci=1Bi, Int(Bi)∩ Int(Bj) =φ
1 x : B 7→Ω es continua2 xi es suave en cada Bi
3 xi = x|Bi
4 x∂B 7→ ∂Ω es un homeomorfismo5 Ji(ξ,η) > 0. ∀(ξ,η) ∈ Bi. ∀i = 1, . . . ,nc
entonces x es un homeomorfismo entre B yΩ
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Formulación del problema
Formulación discreta
Definición de una malla discreta1 Sea B el cuadrado unitario2 Construyamos una regilla m×n uniforme sobre B
U(m,n) =(
i
m,
j
n
)| 0 ≤ i ≤ m,0 ≤ j ≤ n
donde
∂U(m,n) = ∂B∩U(m,n)
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Formulación del problema
Formulación discreta
Una malla discreta G de m×n sobreΩ es un mapeo
G : U(m,n) 7→ R2
de forma queG(∂U) ⊂ ∂Ω
y∂G = G(∂U) = Γmn ⊂ ∂Ω
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Formulación del problema
Formulación discreta
Si consideramos que la frontera tiene una orientaciónpositiva, esta induce una orientación de las celdas cij = G(Bij),y de manera similar sobre los cuatro triángulos de una celdacuadrilátera
P PQ Q
R RS S
∆
∆ ∆
∆(1) (2)
(3) (4)
Nuestro interés es controlar la convexidad, suavidad yortogonalidad de las celdas.
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Formulación del problema
Formulación discreta
La forma en que se obtenemos las mallas estructuradasinvolucra un proceso de minimizar un funcional adecuadoescrito en la forma
F(G) =N∑
q=1f (4q), (1)
donde f (4q) depende de los vértices del triángulo 4q, y N esnúmero total de triángulos de la malla.
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
Problema Resolver
G∗ = arg mınG∈M(Ω)
N∑q=1
f (4q)
sobre la colección de mallas admisibles M(Ω) para la regiónΩ.
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
Sobre un triángulo A,B,C ∈ R2 definimos algunas cantidades
sobre las longitudes
λ(4(A,B,C)) = ‖A−B‖2 +‖C −B‖2
una medida del área
α(4(A,B,C)) = (B−A)tJ2(B−C) = 2área(4(A,B,C))
con
J2 =(
0 1−1 0
)
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
una forma de medir la ortogonalidad
o(4(A,B,C)) = (B−C)t(B−C)
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
Funcionales clásicos
de área
FA(G) =N∑
q=1α(4q)2
longitud
FL(G) =N∑
q=1λ(4q)
ortogonalidad
FO(G) =N∑
q=1o(4q)2
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
área ortogonalidad
FAO(G) =N∑
q=1
α(4q)2
2+ o(4q)2
2
área longitud
FAL(G) =N∑
q=1σα(4q)2 + (1−σ)λ(4q)
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
Funcionales recientes
armónico
FH (G) =N∑
q=1
λ(4q)
α(4q)
cuasi-ármonico
FHω(G) =N∑
q=1
λ(4q)−2α(4q)
ω+α(4q)
cuyo origen se encuentra en acotar la región D de mallasconvexas y obtener una malla G∗ con característicassimilares al armónico.
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
Una pregunta inmediata es la forma que deben ser losfuncionales
F(G) =N∑
q=1f (4q), (2)
cuyo mínimo garantice una malla convexa.
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
Una solución eficiente al problema anterior fue propuestapor Barrera y Domínguez-Mota,
TeoremaSi f es una función convexa C2 estrictamente decreciente yacotada por abajo de manera que f (α) → 0 cuando α→∞,entonces
Sω(G) =N∑
q=1f (ω ·α(4q)) (3)
con ω suficientemente grande se tiene en su óptimo unamalla convexa.
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
Una de las funciones f que se ha usado es
f (α) =
1/α, α≥ 1(α−1)(α−2)+1, α< 1
(4)
obteniendo muy buenos resultados.
Las mallas ε-convexa obtenidas al minimizar Sω conformecon (4) han sido reportadas por los autores en varios artículosrecientes.
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
Forma del funcional
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
Combinación con funcionales clásicos
Es posible utilizar este funcional en combinación con algunode los cásicos Fc(G) de Longitud, Ortogonalidad oÁrea–Ortogonalidad en la forma
F(G)) =σSω(G)+ (1−σ)Fc(G)
Mallas suaves convexas y casi-ortogonales
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
Contamos de manera directa con 3 valores asociados a lamalla G relacionados al área, α/2 de cada triángulo
α_(G) = mınα(4q)|q = 1, ...,N, (5)
α+(G) = maxα(4q)|q = 1, ...,N, (6)
α(Ω) = 1
N
N∑q=1
α(4q). (7)
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Formulación del problema
Planteamiento moderno
Con la región y con ello las celdas con orientación positiva, esinmediato que
N∑q=1
α(4q) = 4 Área(Ω), (8)
Estas cantidades nos permitirán saber en forma inmediata eltamaño de las celdas.
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Funcional para controlar el tamaño de área
Observaciones generales
Se ha observado que para muchas regiones muy irregulares sepueden obtener celdas con α−(G) pequeño o muchas celdascercanas a ello.
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Funcional para controlar el tamaño de área
Blue lagoon
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Funcional para controlar el tamaño de área
Observaciones generales
La propuesta es formular funcionales positivos convexos yacotados por abajo de manera que solamente corrija aquellasceldas cuya área sea más pequeña que un valor αl.
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Funcional para controlar el tamaño de área
Observaciones generales
Proponemos un funcional que solamente penalice el áreamenor a αl
fl(α) = Al[(αl −α)+]2
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Funcional para controlar el tamaño de área
La idea geométrica de este funcional es que solamente lasceldas de área pequeña se vean empujadas a ser mayor que αl
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
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Funcional para controlar el tamaño de área
Con esto, las características globales de suavidad yortogonalidad de la malla se conserven a lo largo de la regióny solamente en zonas o secciones de ella se modifique el área.
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Funcional para controlar el tamaño de área
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Funcional para controlar el tamaño de área
Funcional bilateral
Ahora, podemos extender esta idea para controlar el tamañode las celdas de área grande, es decir que sean menor a unvalor αr
fb(α) = Al[(αl −α)+]2 +Ar[(α−αr)+]2
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
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Funcional para controlar el tamaño de área
Funcional bilateral
Un Funcional Discreto para Controlar la Calidad de Área en Mallas Estructuradas Planas
Funcional para controlar el tamaño de área
Funcional bilateral
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Funcional para controlar el tamaño de área
Funcional bilateral
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Propuesta de uso
El nuevo funcional se puede usar de dos formas:
1) Para generar mallas convexas donde predominefundamentalmente las propiedades del funcional cásicoelegido y al final se controle el tamaño de las celdas.
2) Como un corrector de las celdas con valores mayores queαl y menores que αr
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Propuesta de uso
Hemos introducido otro parámetro adicional σeq paraequilibrar los pesos de las funcionales. La idea es muysencilla: cuando estamos cerca de una malla convexa reducirel peso del funcional clásico en la forma
F(G) =σFb(G)+ (1−σ)σeqFc(G)
y σeq se elige de manera que σeq −→ 0 para de esa formacontar con las propiedades de la combinación y al finalsolamente perturbar las áreas de interés.
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Sistema UNAMalla
Hemos desarrollado una versión del sistema UNAMallabasado en Qt.
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Sistema UNAMalla
Muchas gracias!!!