LA DERIVADA
-Paco Calvo Moreno 1º C
ÍNDICE
1.- Historia de la derivada.
2.- Concepto de derivada.
3.- Derivada de una función.
4.- Teoremas de derivadas
5.- Introducción geométrica a las derivadas.
6.- Fórmulas de derivación.
7.- Derivación de operación de funciones
8.- Derivación de composición de funciones.
9.- Continuidad de una función.
10.-Discontinuidad de una función
íNDICE
HISTORIA DE LA DERIVADA
Los problemas típicos que dieron origen
al Cálculo infinitesimalCálculo infinitesimal, comenzaron a
plantearse en la época de la Grecia clásica
(siglo III a.csiglo III a.c), pero no se encontraron
métodos sistemáticos de resolución hasta
veinte siglos después (en el siglo XVIIsiglo XVII por
obra de Newton y Leibniz).
HISTORIA DE LA DERIVADAHISTORIA DE LA DERIVADA
Existen dos conceptos de tipo geométrico que dieron origen a las derivadasderivadas :
El problema de la tangente a una curvaproblema de la tangente a una curva
El problema de los extremos: máximos y problema de los extremos: máximos y
mínimosmínimos
En su conjunto dieron origen a lo que se conoce como cálculo cálculo
diferencialdiferencial.
La derivada es uno de los conceptos más uno de los conceptos más importantes en importantes en matemáticasmatemáticas:
es el resultado de un límitees el resultado de un límite y y
representa la pendiente de la recta representa la pendiente de la recta tangentetangente a la gráfica de la función en un punto.
La definición de derivada es la siguiente:
No se puede olvidar que podría no existir tal límite y ser la función, por tanto, no derivable en ese punto.
CONCEPTO DE DERIVADA
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Dada una función para hallar su derivada podemos hacerlo de dos formasde dos formas:
mediante el límite anterior.el límite anterior.
mediante la tabla de derivadasla tabla de derivadas.
DERIVADA DE UN FUNCIÓN
1.-1.- Si una función nono es continua es continua en un puntoen un punto,
entonces no es derivable en ese puntono es derivable en ese punto. Pero si la si la
función es continua en ese puntofunción es continua en ese punto puede o no ser puede o no ser
derivable.derivable.
2.-2.- Si un función es continua en un punto y Si un función es continua en un punto y
ese punto es anguloso o de distinta curvaturaese punto es anguloso o de distinta curvatura
entonces nono es derivable en ese punto. es derivable en ese punto.
TEOREMAS DE DERIVADAS
INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADAS
Supongamos que tenemos una función y la llamamos f(x). La La derivada de f(x) es otra derivada de f(x) es otra
función que llamaremosfunción que llamaremos f ’(x).f ’(x).
F ’(x)F ’(x) representa la pendientependiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x .
La pendienteLa pendiente es la inclinación de la línea recta es la inclinación de la línea recta
que pasa justo por encima del punto x y que es que pasa justo por encima del punto x y que es
tangente a la gráfica de f(x)tangente a la gráfica de f(x)
INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADAS.
F ’(x)F ’(x) representa la pendientependiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x
Si aplicamos lo antes expuesto, al identificar dos al identificar dos
puntos muy cercanos en la gráfica y unirlos mediante puntos muy cercanos en la gráfica y unirlos mediante
una línea recta, la pendiente queda visualizadauna línea recta, la pendiente queda visualizada.
Cuanto más cercanos sean los dos puntosCuanto más cercanos sean los dos puntos que se
unen por medio de la recta, la recta se la recta se pareceparece más a más a
una recta tangente a la gráfica y su pendiente se una recta tangente a la gráfica y su pendiente se
parece más a la pendiente de una recta tangenteparece más a la pendiente de una recta tangente.
INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADASDERIVADAS
hemos de relacionar la pendiente con la rapidezrelacionar la pendiente con la rapidez, de
manera que la pendiente coincide con la rapidez la pendiente coincide con la rapidez
con que aumenta el valor de la función en cada con que aumenta el valor de la función en cada
puntopunto
si la pendiente en un punto es muy grandesi la pendiente en un punto es muy grande,
entonces el valor de la funciónla función en ese punto
crece muy deprisacrece muy deprisa;
si es pequeñasi es pequeña, entonces el valor de la la
función crece despaciofunción crece despacio en ese punto.
INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADAS
Según lo anterior, tanto la pendiente de la recta tanto la pendiente de la recta
tangentetangente como la rapidez de crecimiento en un la rapidez de crecimiento en un
punto de una funciónpunto de una función está dado por f ’(x).está dado por f ’(x).
Pero, no todas las funciones poseen derivadano todas las funciones poseen derivada,
situación que geométricamente geométricamente se explica porque se explica porque
no se puede definir la pendiente a una recta no se puede definir la pendiente a una recta
tangente en una función que no es continuatangente en una función que no es continua.. Incluso hay funciones donde cualquier recta que
pase por uno de sus puntos interseca en una infinidad
de puntos muy cercanos y por tanto no hay recta
tangente.
INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADAS (II)
Las funciones que poseen derivada se llaman diferenciables.
Conocer la derivada de una función diferenciableConocer la derivada de una función diferenciable
es es generalmente sencillo sencillo utilizando las técnicas utilizando las técnicas
de de derivación desarrolladas por Leibniz y derivación desarrolladas por Leibniz y
NewtonNewton
permiten conocer las derivadas de muchas permiten conocer las derivadas de muchas
de las de las funciones de interés frecuente, o bien, funciones de interés frecuente, o bien,
simplificar el simplificar el trabajotrabajo para encontrar derivadas
menos comunes.
INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADAS (II)DERIVADAS (II)
FÓRMULAS DE DERIVACIÓNFÓRMULAS DE DERIVACIÓN
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ( II )FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ( II )
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ( III )FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ( III )
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ( IV )FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ( IV )
DERIVACIÓN DE OPERACIÓN DE FUNCIONESDERIVACIÓN DE OPERACIÓN DE FUNCIONES
DERIVACIÓN DE COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Se dice que una función f(x) es continua en un una función f(x) es continua en un
punto x = apunto x = a , si y sólo sisi y sólo si ,se cumplen las
tres condiciones siguientestres condiciones siguientes:
1.1. Que el punto x = a tenga imagen
2.2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3.3. Que la imagen del punto coincida con el
límite de la función en el
punto.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
EJEMPLO DE EJEMPLO DE FUNCIÓN CONTINUAFUNCIÓN CONTINUA..
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNDISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Una función discontinuafunción discontinua es aquella que no aquella que no
puede puede dibujarse de un solo trazo. dibujarse de un solo trazo.
Es decir, existen puntos donde de una pequeña existen puntos donde de una pequeña
variación de la variable independiente variación de la variable independiente
produce produce un salto en los valores de la variable un salto en los valores de la variable
dependientedependiente. Estos puntos reciben el
nombre de puntos de puntos de
discontinuidad de la función.discontinuidad de la función.
EJEMPLO DE UNA EJEMPLO DE UNA
FUNCIÓN FUNCIÓN
DISCONTINUADISCONTINUA