MATEMÁTICA FINACIERA 1
CENTRO DE INFORMATICA Y
TELECOMUNICACIONES DE LA UNT
NACIONAL DE TUMBES
“AÑO DE LA DIVERSIFICIÓN PRODUCTIVA Y FORTALECIMIENTO DE
LA EDUCACIÓN”
”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES
“CITUNT”
INTERES COMPUESTO
DOCENTE:
ING. CHUQUIPOMA MARIN LUIS ALEJANDRO
CICLO:
III
ASIGNATURA:
MATEMÁTICA FINANCIERA
INTEGRANTE:
Viera Miñan Carlos
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DEDICATORIA
Con mucho amor a nuestro Dios y creador Jesucristo, por haberle dado propósito
a mi vida y habernos guiado por el camino del bien; a nuestros Padres por su gran
apoyo incondicional para poder lograr nuestras metas
A nuestros Docentes que con su ejemplo de esfuerzo y perseverancia supieron
impartirnos sus conocimientos y enseñanza brindada en nuestra formación
profesional para ser hombres de bien en la sociedad.
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INTRODUCCIÓN
El dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran estrechamente ligados con
la vida de las personas y de los negocios. Cuando se generan excedentes de
efectivo, se ahorra durante un período determinado a fin de ganar un interés que
aumente el capital original disponible; en otras ocasiones, en cambio, se tiene
necesidad de recursos financieros durante un tiempo y se debe pagar un interés por
su uso.
En períodos cortos se utiliza generalmente, el interés simple. En períodos largos,
sin embargo, se utilizará casi exclusivamente el interés compuesto y debido a esto
el dinero puede crecer mucho más rápido que si pagara interés simple. Los bancos
son instituciones que ofrecen interés compuesto en inversiones.
En el interés compuesto, el cálculo de intereses es aplicado varias veces durante el
periodo del préstamo o inversión, dependiendo de cada cuanto tiempo este es
capitalizable. El interés compuesto da un interés más alto que el interés simple
porque da interés sobre interés, lo que lo hace atractivo para ser utilizado por los
bancos para calcular el interés en las cuentas de ahorro y en certificados de
depósito. El interés que se gana en cada período es reinvertido o agregado al capital
o saldo inicial, convirtiéndose en el nuevo capital para el siguiente periodo.
A continuación se verán varios ejemplos para ilustrar algunas de las situaciones en
donde se utiliza interés compuesto.
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EL INTERÉS COMPUESTO
El interés compuesto representa la acumulación de intereses que se han generado
en un período determinado por un capital inicial (CI) o principal a una tasa
de interés (r) durante (n) periodos de imposición, de modo que los intereses que se
obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten
o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.
Se define como aquel que al final del periodo capitaliza los intereses causados en
el periodo determinado inmediatamente anterior. En el interés compuesto el capital
cambia al final de cada periodo, debido que los intereses compuestos se adicional
al capital para crear un nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses.
El interés compuesto es también llamado interés sobre interés El interés se
capitaliza en periodos de capitalización. El interés puede ser convertido en Anual,
semestral, trimestral y mensual.
CARACTERISTICAS DEL INTERES COMPUESTO:
El capital inicial cambia en cada periodo porque los intereses que se causan
se capitalizan es decir se convierten en capital
La tasa de interés siempre se aplica sobre un capital diferente
Los intereses periódicos siempre serán mayores.
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EJEMPLOS APLICATIVO DE INTERÉS COMPUESTO:
Hallar el monto e interés compuesto de una cuenta de ahorros que se
apertura con S/. 3,000 y se mantiene por 6 años y 3 meses a una tasa del
5%.
S=C(1+i)n
S= Monto compuesto
C= Capital
I= Tasa de interés
n= Tiempo.
S=3,000(1+0.05)(75/12)
S=4,069.62
I =4,069.72-3,000
I =1,069.62
TASA DE INTERES NOMINAL Y EFECTIVA
Tasa Nominal
Se designa con la letra “j” En esta tasa el interés se capitaliza más de una vez al
año.
Formula
• S=C(1+j/m)n
• Donde:
• j = Tasa Nominal
• m= N° de capitalizaciones en el año.
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Tasa Efectiva
Es la tasa efectiva realmente ganada y se designa con la letra i.
EJEMPLO
Calcule el interés de S/. 1000.00 a una tasa del 4% anual convertible
trimestralmente por un año.
• S=1,000(1+0.04/4)(4)
• S=1,040.60
• I = 40.60
• Tasa = 40.60/1000=0.046 x 100 = 4.06%
Calcule el interés de S. 1,000.= a una tasa del 18% convertible
mensualmente, durante un año.
Tasa nominal = j
Tasa efectiva: i = j/m
Donde: m= Nº de capitalizaciones en el año.
SOLUCION:
S = 1,000 (1+0.18/12)12X1
S = 1,195.62 I = S/. 195.62
i = 195.62/1000 = 0.19562
i = 19.56%
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EJEMPLO
Hallar la tasa efectiva de interés i equivalente a una tasa nominal de 5% convertible
mensualmente, en un año, para un capital de 1.
SOLUCION:
1+i = (1+0.05/12)12
i = 1.0512-1
i = 0.0512
i = 5.12%
Hallar el monto de una cuenta de ahorros de S/. 4,500 colocada al 6% nominal
capitalizable cada 4 meses, durante 8 años.
• S= 4,500(1+0.06/3)(24)
• S= 7,237.97
La Sra. Juana Pérez, coloca S/ 500.00 en una cuenta de ahorros al nacer su hija, si
la cuenta paga el 2.5% convertible semestralmente.
¿Cuánto habrá al cumplir 15 años su hija?.
S= 500(1+0.025/2)(30)
S= 725.81
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Un capital de S/. 100,000 ha sido colocado de la siguiente manera: una parte al
3% y la otra al 3.5%. Al cabo de 20 años los montos de cada una de estas partes
son iguales.
¿Determine cada una de dichas partes?.
Primera parte Segunda parte
• C = X C = 100,000-X
• i = 3% i = 3.5%
• n = 20 años n = 20 años
EJERCICIO
• Primera parte Segunda parte
• C = X C = 100,000-X
• i = 3% i = 3.5%
• n = 20 años n = 20 años
S1 = S2
X(1.03)20 = (100,000-X)(1+0.035)20
x1.8061 = (100,000-X)1.9898
1,8061X = 198,980 - 1.9898X
1,8061X + 1,9898X= 198,980
S1=X=52,419.43
S2 =100,000- 52,419.43
S2 = 47,580.57
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Comprobación:
S1 = 52,419.43(1.03)20 S2 = 47,580.57(1.035)20
S1 = 94,675.32 S2 = 94,675.29
Problemas de Interés Compuesto
Fórmulas de Interés Compuesto:
M = C (1 + i)n
C = M (1 + i)-n
M = monto o también llamado VF;
C = capital;
i = tasa;
n =tiempo
Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15%
con capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años.
i = 0,15 efectiva trimestral
n = 10 años
M = 20.000
C =?
C = 20.000 (1+ 0.15)-10(4)
4
C =4.586,75 Respuesta
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¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que
paga el 3% anual, para que se convierta en %7.500?
n =?
C = 2.000
i = 0,03
M =7.500
7.500 = 2.000 (1 +0,03)n
ln 15/4 = n ln 1,03
n = 44,71 años
44,71 años * 12 meses = 536,52 meses Respuesta.
1 año
Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:
a. al 5% efectivo anual
M = 100 (1 + 0,05)10 = 162,89 Respuesta
b. al 5% capitalizable mensualmente
M = 100 (1 + 0,05)10(12) =164,20 Respuesta
12
c. al 5% capitalizable trimestralmente
M = 100 (1 + 0,05)10(4) =164,36 Respuesta
4
a. al 5% capitalizable semestralmente
M = 100 (1 + 0,05)10(2) =164,86 Respuesta
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Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente
durante 10 años 4 meses.
VF = 20.000(1 + 0,08) 10 (4/12) = 44.300,52 Respuesta
¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable
trimestralmente?
(1+ 0,08)4/2 = (1 + n.c.s)2/2
4 2
i =0,0808 8,08% Respuesta
Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual $10.000 se convierten
en $12.500, en 5 años.
12.500 = 10.000 (1 +i )10
2
i =0,0451 4,51% Respuesta
¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros
que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?
10.000=6.000 (1+ 0,08)n
n = 13,024 /2
n = 6,512 años Respuesta
¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza
duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros
que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?
M =2
C = 1
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2=1(1+ i) 10
i = 7,17% sociedad maderera
--------------
M = 1(1+0,06)
4
M =1,8140 no duplico
Respuesta es más conveniente la sociedad maderera
Una inversionista ofreció comprar un pagará de $120.000 sin interés que vence
dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el
precio ofrecido.
C = 120.000(1 + 0,08)-3
C = 95.259,87 Respuesta
Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de
interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, convertible
mensualmente.
VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89 Respuesta
VF = 20.000(1 + 0,05) 120 = 32.940,19 convertible mensualmente Resp.
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PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERES COMPUESTO
1. ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de:
a) 30% anual capitalizable mensualmente?
b) 16% anual capitalizable trimestralmente?
c) 2% trimestral?
d) 15% anual?
SOLUCION
Para conocer la tasa de interés por periodo se divide la tasa anual entre la
frecuencia de conversión:
a) 30% anual capitalizable mensualmente
Tasa anual = 30%
Frecuencia de conversión = 12
025.012
30.0
conversiòn de frecuencia
anual interès de tasai
i = 2.50% mensual
b) 16% anual capitalizable trimestralmente
Tasa anual = 16%
Frecuencia de conversión = 4
04.04
16.0
conversiòn de frecuencia
anual interès de tasai
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i = 4% trimestral
c) 2% trimestral
periodo = trimestre
Tasa anual = 2% x 4 = 8%
Frecuencia de conversión = 4
02.04
08.0
conversiòn de frecuencia
anual interès de tasai
i = 2% trimestral
d) 15% anual
Tasa anual = 15%
Frecuencia de conversión = 1
15.01
15.0
conversiòn de frecuencia
anual interès de tasai
i = 15% anual
¿Cuál es la frecuencia de conversión de los ejemplos del problema anterior?
a) 30% anual capitalizable mensualmente?
SOLUCION
Periodo = mes
Frecuencia de conversión = 12
b) 16% anual capitalizable trimestralmente?
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SOLUCION
Periodo = trimestre
Frecuencia de conversión = 4
c) 2% trimestral?
SOLUCION
Periodo = trimestre
Frecuencia de conversión = 4
Determine el interés que gana en un año un depósito de $1 000 en:
a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual simple.
b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral simple.
c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto
semestralmente.
d) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible
trimestralmente.
SOLUCION
DATOS
I ?
Plazo = 1 año
C = $1,000.00
a) i = 20% anual simple
La fórmula que se utiliza es I=Cit porque pide calcular el interés simple:
Como el plazo es 1 año, t = 1.
200.00I
20)(1)(1,000)(0.
I
CitI
I = $200.00
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b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral simple.
SOLUCION
Se utiliza la fórmula de interés simple, con
I = 10% semestral simple y t = 2 semestres:
200.00I
)20)(1(1,000)(0.
I
CitI
I = $200.00
Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto semestralmente.
SOLUCION
Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto, y luego el resultado se resta
del capital:
j = 20%
m =2
n = (1) (2) = 2 semestres
semestralsemestralm
ji 10.0%10
2
%20
00.210,1
21.1000,1
10.1000,1
10.01000,1
1000,1
2
2
M
M
M
M
iMn
00.000,100.210,1
I
CMI
I = $210.00
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Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible trimestralmente.
SOLUCION
Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto, y luego el resultado se resta
del capital:
j = 20%
m = 4
n = (1) (4) = 4 trimestres
trimestraltrimestralm
ji 05.0%5
4
%20
51.215,1
21550625.1000,1
05.1000,1
05.01000,1
1000,1
4
4
M
M
M
M
iMn
00.000,151.215,1
I
CMI
I = $215.51
Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de
valores que paga 15% anual convertible mensualmente:
a) Al cabo de un año
b) Al cabo de dos años
SOLUCION
Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto:
DATOS
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C = $50 000.00
j = 15%
m = 12
La tasa de interés compuesto para cada inciso es:
mensualmensualm
ji _0125.0_%25.1
12
%15
El número de periodos “n” depende del plazo, y se obtiene multiplicando el número
de años por ñla frecuencia de conversión.
a) Al cabo de un año
n = 1(12) = 12 meses
160754518.1000,50
025.1000,50
.0125.01000,50
1
12
12
M
M
M
iCMn
M = $58,037.73
b) Al cabo de dos años
n = 2(12) = 24 meses
34735105.1000,50
0125.1000,50
.0125.01000,50
1
12
24
M
M
M
iCMn
M = $67,367.55
Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300 000 si se
reembolsa al año capital e interés y la tasa aplicada es de 0.24 anual convertible
trimestralmente?
DATOS
C=$300 000.00 (cantidad prestada por el banco)
Tasa nominal anual = 0.24 = 24%
Plazo = 1 año
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Periodo de capitalización = trimestre
Frecuencia de conversión = 4 (un año tiene 4 trimestres)
M = ?
SOLUCION
trimestral 6%
conversión de frecuencia
anual nominal tasa
4
24.0i
i
trimestres
años en plazoconversión de frecuencia
414
n
n
26247696.1000,300
06.1000,300
06.01000,300
1
4
4
M
M
M
iCMn
M = $378,743.09 (dinero que se le debe pagar al banco)
¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de
$250 000 en un plazo de 2 años, y la tasa de interés es de 9% convertible
mensualmente?
DATOS
C = ? (La cantidad que se debe depositar es un valor actual)
M = $250 000 (La cantidad a acumular es valor futuro)
Plazo = 2 años
j = 9%
m = 12
SOLUCION
Entonces, se busca el valor actual a interés compuesto conociendo el monto.
n = 2(12) = 24 meses
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C = $208 957.85 (Cantidad a depositar para acumular
$250 000.00 en dos años)
¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado
un documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18% convertible
trimestralmente, y tiene vencimiento en 18 meses?
DATOS
C = ? (La cantidad que recibe en préstamo es un valor actual)
M = $650 000 (valor nominal del documento o valor futuro)
Plazo = 18 meses
j = 18%
m = 4
SOLUCION
Entonces, se busca el valor actual a interés compuesto conociendo el monto.
n = (18/12)(4) = 6 trimestres
0075.0%75.0
12
%9
i
m
ji
957.85 208
0.8358314250000
0075.1250000
0075.01250000
1
24
24
C
C
C
C
iMCn
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C = $499 132.23 es la cantidad que se recibe en préstamo
Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagaré que incluye intereses a
razón de 3% trimestral, y que será pagadero al cabo de un año. ¿Qué cantidad
puede obtenerse por él si se descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de interés
de 12% convertible mensualmente?
DATOS
M = $50 000 (valor futuro de la deuda o del pagaré)
i = 3% trimestral (Tasa de interés por periodo de la deuda)
plazo = 1 año (Tiempo en que se pagará la deuda)
plazo = 4 meses (tiempo transcurrido desde que se documentó la deuda)
plazo = 12 – 4 = 8 meses (plazo que se anticipa el pago)
j = 12%
m = 12
SOLUCION
Se busca el valor actual considerando el descuento y transcurridos 4 meses
después de que se firmó el pagaré.
01.0%
12
%12
i
m
ji n = 8 meses
45.0%50.4
4
%18
i
m
ji
132.229881 499
0.76789574000 650
045.1000 650
045.01000 650
1
6
6
C
C
C
C
iMCn
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C = $46 174.16 (Cantidad que se puede obtener si se
descuenta)
Por la venta de una casa, una compañía inmobiliaria recibe un pagaré por $140 000
con vencimiento a 5 años que devenga intereses a razón de 10% anual convertible
semestralmente. ¿Qué cantidad recibirá la empresa si al cabo de un año descuenta
el documento en su banco y éste le cobra 16% de interés anual?
SOLUCION
El pagaré produce intereses, por lo que es necesario calcular el valor del mismo
en la fecha de su vencimiento, es decir, se debe calcular el monto con los
siguientes:
DATOS
C = $140 000 (importe de la venta de la casa a valor actual)
Plazo = 5 años (tiempo en que vencerá el pagaré)
j = 10%
m = 2
M = ? (valor nominal del pagaré)
2446174.1611
20.92348322000 50
01.01000 50
1
8
C
C
C
iMCn
MATEMÁTICA FINACIERA 23
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M = $228 045.25 (valor del pagaré cuando venza)
Con este valor futuro se calcula su valor actual con las condiciones del descuento
que aplica el banco:
M = 228 045.25
Plazo = 4 años
j = 16%
m = 1
C = ?
C = $125 947.36 (valor que recibe la empresa un año
después)
Una inversión duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de interés. ¿En
cuánto tiempo lo triplicará?
SOLUCION
La inversión inicial puede ser cualquier cantidad, la condición es que 18 meses
después será el doble de esa cantidad. Con estos datos se calcula la tasa de
interés con la que se duplica:
C = C
M = 2C
n = 18 meses
n = ?
2477.228045
628894627.1140000
05.01140000
1
10
M
M
M
iCMn
3615.125947
552291097.025.228045
16.0125.2280454
C
C
C
MATEMÁTICA FINACIERA 24
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aplicando la fórmula de la tasa de interés compuesto, que se despeja de la
fórmula del monto a interés compuesto:
Despejando, tenemos:
Sustituyendo los datos, se tiene:
Para conocer el tiempo en que se triplica el capital, los datos son:
C = C
M = 3C
i = 3.9259226% mensual
n = ?
Ahora, de la fórmula del monto a interés compuesto se despeja otra para calcular
el plazo:
meses 28.53n
i1log
C
Mlog
n
52932504.28n
80.01672388
40.47712125
61.03925922log
3logn
60.039259221log
C
3Clog
n
ni1CM
1C
Mi n
60.03925922i
1039259226.112
12
1
18
18
i
C
Ci
C
Mi n
A esta tasa se duplica el
capital
La inversión se triplica en 28.53 meses
MATEMÁTICA FINACIERA 25
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Se realiza una inversión de $50 000 en un banco el día 1º de febrero. ¿En qué fecha
valdrá $55 000 si la tasa de interés es de 15% compuesta mensualmente?
SOLUCION
La cantidad invertida de $50 000 es el capital (C) y el 1 de febrero la fecha inicial.
Los $55 000 es el monto (M)(o valor futuro de la inversión) y se busca la fecha
final. Para encontrarla, primero calculamos el plazo de la inversión, determinando
el valor de “n” a interés compuesto:
j = 15%
m = 12
exacto) tiempo ndo(considera septiembre de 22 final fecha
exacto) (tiempo días 233 365 x 7.67/12 n
)aproximado tiempo ndo(considera septiembre de 21 final fecha
días 20 meses 7n
meses 7.67n
i1log
C
Mlog
n
672370808.7n
18870.00539503
50.04139268
1.0125log
1.1logn
0.01251log
50000
55000log
n
¿A qué tasa de interés un capital quintuplica su valor en 10 años?
SOLUCION
El capital (C) puede ser cualquier cantidad. Si se quintuplica, el monto (M) es 5
veces C, es decir, 5C.
DATOS
0.0125i
12
15%
m
ji
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C = C
M = 5C
Plazo = 10 años
m = 1 (la frecuencia de conversión es 1, pues el plazo se expresa en años)
n = 10 años
De la fórmula del monto a interés compuesto se despeja la tasa de interés
compuesto, se sustituyen los datos, y se resuelve:
¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de $20 000 que se ha
incrementado a $50 000 en 3 años, si dicho interés se capitaliza:
a) mensualmente?
b) trimestralmente?
SOLUCION
Para encontrar la tasa nominal (j) primero se calcula la tasa de interés por periodo
(i), con la fórmula que se despeja de la fórmula del monto a interés compuesto:
DATOS
j = ?
C = $20 000
M = $50 000
Plazo = 3 años
anual %17.4618943i
174618943.01174618943.1
1515
1
1010
i
iC
Ci
C
Mi n
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a) mensualmente?
La frecuencia de conversión es:
m = 12 Entonces:
n = 3 años x 12 = 36 meses
periodo) por (tasa mensual 2.578%i
025779201.01025779201.1
15.2120000
50000
1
3636
i
ii
C
Mi n
Ahora, calculamos la tasa nominal (j):
J = 30.94% anual convertible mensualmente
b) trimestralmente?
La frecuencia de conversión es:
m = 4 Entonces:
n = 3 años x 4 = 12 trimestres
periodo) por (tasa trimestral 7.9348438%i
079348438.01079348438.1
15.2120000
50000
1
1212
i
ii
C
Mi n
Ahora, calculamos la tasa nominal (j):
309350417.0
j
j
jmi
m
ji
1210.02577920
mentetrimestral econvertibl anual 31.74%j
317393752.0480.07934843j
jmi
m
ji
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Pablo Pérez depositó $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 años y 9 meses.
Actualmente tiene $208 862, y desea saber cuál es la tasa de interés que ha ganado
si la capitalización es trimestral.
DATOS
C = $100 000 (la cantidad depositada es el capital)
M = $208 862 (la cantidad que ahora tiene es el valor futuro de su depósito)
plazo = 3 años y 9 meses
j = ?
m = 4 (la frecuencia de conversión es trimestral, o sea, 4 por año)
SOLUCION
Se busca la tasa de interés por periodo y luego la tasa nominal:
n = 15 trimestres (3 años x 4) + 9/3 = 12 + 3 = 15 trimestres
periodo) por (tasa trimestral 5.03%i
050325627.01050325627.1
108862.21100000
208862
1
1515
i
ii
C
Mi n
Ahora, calculamos la tasa nominal (j):
mentetrimestral econvertibl anual
201302508.04050325627.0
20.13% i
j
jmi
m
ji
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Bibliografía
Alfredo Díaz Mata – Víctor Manuel Aguilera G. Matemáticas Financiera.
Segunda Edición. Editorial Mc. Graw Hill. Ejercicios Propuestos. 1.998
Lincoyan Protus G. Matemáticas Financiera. Cuarta Edición. Editorial Mc
Graw Hill. Cuarta Edición. Ejercicios Propuestos. 1.997
B. Ordoñez, Mario; "Operaciones y Contabilidad en las Instituciones
Financieras", Ed. Iberoamerica de editores Ltda., Chile 1995.
Ferrer Quea, Alejandro; "Contabilidad Para la Banca"; Ed. ITAL, Perú
1990.
V. Berrio B.; "Nueva Legislación de la Ley General de la Banca", Ed.
"Berrio", Perú 2003.