FLUJO DE UN FLUIDO DE VISCOSIDAD VARIABLE
Viscosidad variable
Del modelo de Fluido newtoniano
Reemplazando la viscosidad variable Derivando la ecuacin
Balance de cantidad de movimiento en tubos:
Condiciones de indeterminacin si r =0
Reemplazando
Discretizando: +=0Ordenando:.. (1)
En la ecuacin (1) reemplazando para i=0.. (2)Donde r=0, velocidad mxima:
Entonces:
Reemplazando en (2)Para i=0, finalmente se obtiene:
Si ; discretizando (3)
Ordenando (3)
Para i=1 Para i=2 Para i=3 Para i=4 Para i=5 Para i=6 Para i=7 Para i=8 Para i=9 Donde
SOLUCION EN POLYMATH# Problema Flujo de un tubo vertical de viscosidad variable# Ecuaciones del Balance de Cantidad de Movimientof(V0) = V1 - (2 + A / 2) * V0 + (1 + A / 2) * Vn + B / 2f(V1) = V2 + (-2 + 1 / 1 - A) * V1 + (1 - 1 / 1 + A) * V0 + B * exp(1 * A)f(V2) = V3 + (-2 + 1 / 2 - A) * V2 + (1 - 1 / 2 + A) * V1 + B * exp(2 * A)f(V3) = V4 + (-2 + 1 / 3 - A) * V3 + (1 - 1 / 3 + A) * V2 + B * exp(3 * A)f(V4) = V5 + (-2 + 1 / 4 - A) * V4 + (1 - 1 / 4 + A) * V3 + B * exp(4 * A)f(V5) = V6 + (-2 + 1 / 5 - A) * V5 + (1 - 1 / 5 + A) * V4 + B * exp(5 * A)f(V6) = V7 + (-2 + 1 / 6 - A) * V6 + (1 - 1 / 6 + A) * V5 + B * exp(6 * A)f(V7) = V8 + (-2 + 1 / 7 - A) * V7 + (1 - 1 / 7 + A) * V6 + B * exp(7 * A)f(V8) = V9 + (-2 + 1 / 8 - A) * V8 + (1 - 1 / 8 + A) * V7 + B * exp(8 * A)f(V9) = V10 + (-2 + 1 / 9 - A) * V9 + (1 - 1 / 9 + A) * V8 + B * exp(9 * A)
# Valores iniciales para el proceso iterativoV0(0) = 10V1(0) = 10V2(0) = 10V3(0) = 10V4(0) = 10V5(0) = 10V6(0) = 10V7(0) = 10V8(0) = 10V9(0) = 10V10 = 0 # Velocidad cm/s (Condicin de frontera en la pared del tubo)Vn = V0 # Velocidad cm/s (Condicin de frontera en el centro del tubo)A = dr * alfa / RB = (deltaP * dr ^ 2) / (mu0 * L)deltaP = 0.002 * 9.8 * 100000 # Diferencia de Presionesmu0 = 0.2 # Viscosidad. g/cm.seg (20 centipoise)dr = R / 10R = 1alfa = 0.1L = 20
Calculated values of NLE variables Variable Value f(x) Initial Guess
1 V0 143.8126 1.199E-14 10.
2 V1 141.3626 -8.882E-16 10.
3 V2 136.3888 -4.441E-15 10.
4 V3 128.8532 1.776E-14 10.
5 V4 118.7049 -8.882E-16 10.
6 V5 105.8922 -2.309E-14 10.
7 V6 90.36271 1.066E-14 10.
8 V7 72.06316 -2.22E-14 10.
9 V8 50.93955 3.553E-15 10.
10 V9 26.93704 -6.217E-15 10.
Variable Value
1 V10 0
2 Vn 143.8126
3 alfa 0.1
4 L 20.
5 deltaP 1960.
6 mu0 0.2
7 R 1.
8 dr 0.1
9 A 0.01
10 B 4.9
Nonlinear equations 1 f(V0) = V1 - (2 + A / 2) * V0 + (1 + A / 2) * Vn + B / 2 = 0
2 f(V1) = V2 + (-2 + 1 / 1 - A) * V1 + (1 - 1 / 1 + A) * V0 + B * exp(1 * A) = 0
3 f(V2) = V3 + (-2 + 1 / 2 - A) * V2 + (1 - 1 / 2 + A) * V1 + B * exp(2 * A) = 0
4 f(V3) = V4 + (-2 + 1 / 3 - A) * V3 + (1 - 1 / 3 + A) * V2 + B * exp(3 * A) = 0
5 f(V4) = V5 + (-2 + 1 / 4 - A) * V4 + (1 - 1 / 4 + A) * V3 + B * exp(4 * A) = 0
6 f(V5) = V6 + (-2 + 1 / 5 - A) * V5 + (1 - 1 / 5 + A) * V4 + B * exp(5 * A) = 0
7 f(V6) = V7 + (-2 + 1 / 6 - A) * V6 + (1 - 1 / 6 + A) * V5 + B * exp(6 * A) = 0
8 f(V7) = V8 + (-2 + 1 / 7 - A) * V7 + (1 - 1 / 7 + A) * V6 + B * exp(7 * A) = 0
9 f(V8) = V9 + (-2 + 1 / 8 - A) * V8 + (1 - 1 / 8 + A) * V7 + B * exp(8 * A) = 0
10 f(V9) = V10 + (-2 + 1 / 9 - A) * V9 + (1 - 1 / 9 + A) * V8 + B * exp(9 * A) = 0
Explicit equations 1 V10 = 0
Velocidad cm/s (Condicin de frontera en la pared del tubo)
2 Vn = V0
Velocidad cm/s (Condicin de frontera en el centro del tubo)
3 alfa = 0.1
4 L = 20
5 deltaP = 0.002 * 9.8 * 100000
Diferencia de Presiones
6 mu0 = 0.2
Viscocidad. g/cm.seg (20 centipose)
7 R = 1
8 dr = R / 10
9 A = dr * alfa / R
10 B = (deltaP * dr ^ 2) / (mu0 * L)
General Settings Total number of equations 20
Number of implicit equations 10
Number of explicit equations 10
Elapsed time 0.0000 sec
Solution method SAFENEWT
Max iterations 150
Tolerance F 0.0000001
Tolerance X 0.0000001
Tolerance min 0.0000001
r(cm)r.vz
0143.81260
0.1141.362614.13626
0.2136.388827.27776
0.3128.853238.65596
0.4118.704947.48196
0.5105.892252.9461
0.690.3627154.217626
0.772.0631650.444212
0.850.9395540.75164
0.926.9370424.243336
100
Por mayor exactitud aplicamos Simpson 3/8 y Simpson 1/320.88959198+ 14.48236993)
Luego calculamos la Velocidad Media.
r(cm)
0143.81260
0.1141.3626-37.0724667
0.2136.3888-62.4688833
0.3128.8532-88.3299667
0.4118.7049-114.724217
0.5105.8922-141.599133
0.690.36271-169.833917
0.772.06316-198.752917
0.850.93955-228.761417
0.926.93704-259.988417
10-292.562917
Estas derivadas lo calculamos numricamente con las frmulas de derivacin de 6 puntos para los primeros seis puntos y la frmula de cinco puntos para los ltimos cinco.Ahora hallaremos
DATOS , alfa = 0.1 y R = 1cmr(cm)
000
0.1-37.07246677.3407179
0.2-62.468883312.246383
0.3-88.329966717.143884
0.4-114.72421722.045163
0.5-141.59913326.938652
0.6-169.83391731.988712
0.7-198.75291737.063198
0.8-228.76141742.234681
0.9-259.98841747.522304
1-292.56291752.944375
Grafica del perfil de velocidad
Hallando el Nmero de Reynolds, para un punto donde la velocidad es mxima:
Para Vmax r=0
OTRO METODOSe tiene la viscosidad:
(1)
Para todo fluido newtoniano se cumple:
(2)
Se aplica el Balance de Cantidad de movimiento:
(3)
Discretizando la ecuacin (3):
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Donde: ,
Discretizando la ecuacin (2):
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Donde
SOLUCION EN POLYMATH# Ecuacin del balance de cantidad de movimientof(tau1) = tau1 - tau0 + 1 / (1 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau2) = tau2 - tau1 + 1 / (2 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau3) = tau3 - tau2 + 1 / (3 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau4) = tau4 - tau3 + 1 / (4 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau5) = tau5 - tau4 + 1 / (5 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau6) = tau6 - tau5 + 1 / (6 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau7) = tau7 - tau6 + 1 / (7 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau8) = tau8 - tau7 + 1 / (8 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau9) = tau9 - tau8 + 1 / (9 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau10) = tau10 - tau9 + 1 / (10 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L
# Ecuacin del modelo de viscosidadf(v0) = tau1 + u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) * (v1 - v0) / drf(v1) = tau2 + u0 * exp(-alfa * 2 * dr / R) * (v2 - v1) / drf(v2) = tau3 + u0 * exp(-alfa * 3 * dr / R) * (v3 - v2) / drf(v3) = tau4 + u0 * exp(-alfa * 4 * dr / R) * (v4 - v3) / drf(v4) = tau5 + u0 * exp(-alfa * 5 * dr / R) * (v5 - v4) / drf(v5) = tau6 + u0 * exp(-alfa * 6 * dr / R) * (v6 - v5) / drf(v6) = tau7 + u0 * exp(-alfa * 7 * dr / R) * (v7 - v6) / drf(v7) = tau8 + u0 * exp(-alfa * 8 * dr / R) * (v8 - v7) / drf(v8) = tau9 + u0 * exp(-alfa * 9 * dr / R) * (v9 - v8) / drf(v9) = tau10 + u0 * exp(-alfa * 10 * dr / R) * (v10 - v9) / dr
# Valores inicialestau1(0) = 3tau2(0) = 3tau3(0) = 3tau4(0) = 3tau5(0) = 3tau6(0) = 3tau7(0) = 3tau8(0) = 3tau9(0) = 3tau10(0) = 3
v0(0) = 0.4v1(0) = 0.4v2(0) = 0.4v3(0) = 0.4v4(0) = 0.4v5(0) = 0.4v6(0) = 0.4v7(0) = 0.4v8(0) = 0.4v9(0) = 0.4
#Valores conocidostau0 = 0 #esfuerzo de corte inicialv10 = 0 #velocidad inicialalfa = 0.1 #parametro alfaR = 1 #valor dado en cmdr = R / 10u0 = 0.2L = 20 #Valor dado en cmdP = 0.002*9.8*100000 #Valores conocidosCalculated values of NLE variables Variable Value f(x) Initial Guess
1 tau1 7.8199 0 3.
2 tau10 92.20035 -7.105E-15 3.
3 tau2 16.62985 0 3.
4 tau3 25.76982 -1.776E-15 3.
5 tau4 35.07479 3.553E-15 3.
6 tau5 44.47877 -1.776E-15 3.
7 tau6 53.94876 1.776E-15 3.
8 tau7 63.46588 -1.776E-15 3.
9 tau8 73.01837 3.553E-15 3.
10 tau9 82.59836 0 3.
11 v0 265.7054 -7.105E-15 0.4
12 v1 261.7562 1.066E-14 0.4
13 v2 253.2733 -1.066E-14 0.4
14 v3 239.996 -3.553E-14 0.4
15 v4 221.7428 7.105E-15 0.4
16 v5 198.3632 2.132E-14 0.4
17 v6 169.7208 0 0.4
18 v7 135.687 -1.421E-14 0.4
19 v8 96.13707 0 0.4
20 v9 50.94857 0 0.4
Variable Value
1 alfa 0.1
2 dP 1960.
3 dr 0.1
4 L 20.
5 R 1.
6 tau0 0
7 u0 0.2
8 v10 0
Nonlinear equations 1 f(tau1) = tau1 - tau0 + 1 / (1 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L = 0
2 f(tau2) = tau2 - tau1 + 1 / (2 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L = 0
3 f(tau3) = tau3 - tau2 + 1 / (3 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L = 0
4 f(tau4) = tau4 - tau3 + 1 / (4 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L = 0
5 f(tau5) = tau5 - tau4 + 1 / (5 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L = 0
6 f(tau6) = tau6 - tau5 + 1 / (6 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L = 0
7 f(tau7) = tau7 - tau6 + 1 / (7 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L = 0
8 f(tau8) = tau8 - tau7 + 1 / (8 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L = 0
9 f(tau9) = tau9 - tau8 + 1 / (9 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L = 0
10 f(tau10) = tau10 - tau9 + 1 / (10 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L = 0
11 f(v0) = tau1 + u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) * (v1 - v0) / dr = 0
12 f(v1) = tau2 + u0 * exp(-alfa * 2 * dr / R) * (v2 - v1) / dr = 0
13 f(v2) = tau3 + u0 * exp(-alfa * 3 * dr / R) * (v3 - v2) / dr = 0
14 f(v3) = tau4 + u0 * exp(-alfa * 4 * dr / R) * (v4 - v3) / dr = 0
15 f(v4) = tau5 + u0 * exp(-alfa * 5 * dr / R) * (v5 - v4) / dr = 0
16 f(v5) = tau6 + u0 * exp(-alfa * 6 * dr / R) * (v6 - v5) / dr = 0
17 f(v6) = tau7 + u0 * exp(-alfa * 7 * dr / R) * (v7 - v6) / dr = 0
18 f(v7) = tau8 + u0 * exp(-alfa * 8 * dr / R) * (v8 - v7) / dr = 0
19 f(v8) = tau9 + u0 * exp(-alfa * 9 * dr / R) * (v9 - v8) / dr = 0
20 f(v9) = tau10 + u0 * exp(-alfa * 10 * dr / R) * (v10 - v9) / dr = 0
Explicit equations 1 tau0 = 0
esfuerzo de corte inicial
2 v10 = 0
velocidad inicial
3 alfa = 0.1
parametro alfa
4 R = 1
valor dado en cm
5 dr = R / 10
6 u0 = 0.2
7 L = 20
Valor dado en cm
8 dP = 0.002*9.8*100000
Valores conocidos
General Settings Total number of equations 28
Number of implicit equations 20
Number of explicit equations 8
Elapsed time 0.0000 sec
Solution method SAFENEWT
Max iterations 150
Tolerance F 0.0000001
Tolerance X 0.0000001
Tolerance min 0.0000001
Grafica del perfil de velocidad
r(cm)Vz(cm/s)r*Vz
0265.70540
0.1261.756226.17562
0.2253.273350.65466
0.3239.99671.9988
0.4221.742888.69712
0.5198.363299.1816
0.6169.7208101.83248
0.7135.68794.9809
0.896.1370776.909656
0.950.9485745.853713
100
Hallando el caudal
36.07948575+ 23.038011)
Calculando la Vz:
Hallando el Nmero de Reynolds, para un punto donde la velocidad es mxima:
Para Vmax r=0
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