Universidad Católica de Costa Rica
Departamento de matemática
Prof. Manuel Rojas Zúñiga
Nivel: Décimo año
Área: Geometría
Objetivos generales: Representar gráficamente y algebraica- mente una
circunferencia dado su centro y su radio.
Situación problema:
“Si tomamos como puto de referencia el parque de San Vito, la casa de María se ubica
a 600m al norte y el hospital se encuentra a 400m al oeste, su amiga Ana vive a 700m
al este”
Conteste las siguientes preguntas
1) ¿A qué distancia se encuentra la casa de maría del hospital?
2) ¿A qué distancia se encuentra la casa de Ana ala de María?
3) ¿A qué distancia esta la casa de Ana al hospital?
Contenido de estudio
La circunferencia:
La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a
la misma distancia de un punto f i jo l lamado centro.
Diámetro:
Es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de una
circunferencia.
Radio: Es cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de dicha
circunferencia.
La longitud del radio es la mitad de la del diámetro.
Ecuación de la circunferencia
Con el centro y el radio podemos encontrar la ecuación de una circunferencia.
Para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y
con radio r, la ecuación ordinaria es (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
Donde:
(d) Distancia CP = r
y
Fórmula que elevada al cuadrado nos da
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
También se usa como
(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (2;6) y con radio r = 4
(x - 2)² + (y - 6)² = 4²
Ecuación reducida de la circunferencia
Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2, debemos consignar que
si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la
ecuación queda reducida a:
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
(x ─ 0)2 + (y ─ 0)2 = r2
x2 + y2 = r2
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3
x ² + y ² = 3²
Datos a recordar
Binomio de suma al cuadrado:
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer
término, más el doble producto del primero por el segundo más el
cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado:
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer
término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el
cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la circunferencia con centro C (2;6) y radio r = 4
(x - 2)² + (y - 6)² = 4²
x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²
x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16
x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0
Evaluación
Conteste las siguientes preguntas
1) ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia si su centro es (4,8) y su radio r=3?
2) ¿Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en (0,0) y su radio r=4?
3) ¿Determine cuál es el radio de la circunferencia que tiene como ecuación
x2+y2-45?