CALCULO DIFERENCIAL
TRABAJO COLABORATIVO 3
PRESERNTADO A:
EDGAR BOJACA
PRESENTADO POR:
PAOLA ANDREA CLEVES
Cód: 1013609773
JUAN MIGUEL PARRA TRUJILLLO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECBIT
INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES
14 DE NOVIEMBRE 2014
INTRODUCCION
El cálculo diferencial es muy aplicado en las diferentes carreras ya que permite
realizar análisis de casos particulares y de datos especiales. En el presente
trabajo se verán aplicados los diferentes conocimientos aprendidos.
El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la
rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una
herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología.
La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando
tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de
variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de
la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un
valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el
valor concreto de la variable.
Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la
pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la
rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la
recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función
en las proximidades del punto.
Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente
ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La
derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función
en el punto considerado. Esta sección está dedicada precisamente a aprender
tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto como a saber
obtener la función derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial
atención a como derivar funciones compuestas, funciones implícitas así como a
efectuar diversas derivaciones sobre una misma función.
El concepto de derivada segunda de una función - derivada de la derivada de una
función- también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene,
aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad -aspectos
geométricos o de forma- de una función están relacionados con el valor de la
derivada segunda.
Finalmente veremos la relación que tiene la derivada con los problemas de
optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de
mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo beneficio, mínima
aceleración, mínima distancia).
Halle, paso a paso, las coordenadas, (x, y), del punto crítico de las siguientes
ecuaciones. ¿Diga si ese punto crítico es un máximo o un mínimo? ¿Por
qué?
1. y = x23x2
Derivada de la función igualándola a cero:
2x3=0
Los puntos críticos para x son:
x1= 3
2 Y x2=−
3
2
Es decir que el punto crítico es: 3
2, −
3
2
Ahora para hallar las coordenadas reemplazamos este valor en la función original,
esto es:
c, f c ⟹ f 3
2 = (
3
2)2 − 3(
3
2) − 2 = −
17
4
Las coordenadas son:
𝑥1 = x =3
2, y = −
17
4 Y cuando 𝑥2 = x = −
3
2, y =
17
4
Es un punto crítico máximo porque pasa de positivo a negativo.
2. y = 3x212x
Derivada de la función igualándola a cero:
6𝑥12 = 0
𝑥 =12
6
𝑥 = 2
Los puntos críticos para x son:
𝑥1 = 2 𝑦 𝑥2 = −2
Ahora para hallar las coordenadas reemplazamos este valor en la función original,
esto es:
c, f c ⟹ f 2 = (2)2 − 3(2) − 2 = −4
Las coordenadas son:
𝑥1 = x = 2, y = −4 Y cuando 𝑥2 = x = −2, y = 4
Es un punto crítico mínimo porque pasa de negativo a positivo.
Usando la Regla de L’Hopital, paso a paso, halle el límite 3, 4 y 5:
3. lim𝑥 →0
3𝑥 + 13
− 1
𝑥
3𝑥 + 13
− 1 ′
= ( 3𝑥 + 1 1
3 − 1)′
=1
3( 3𝑥 + 1
13 −1(3)
= 3 ∗1
3( 3𝑥 + 1 −2
3
= 3𝑥 + 1 −23
=1
(3𝑥 + 1)23
Y ahora la derivada del denominador es 1. Así tenemos que:
lim𝑥→0 3𝑥+13 −1
𝑥= lim𝑥→0
1
(3𝑥+1)23
1 =lim𝑥→0
1
(3𝑥+1)23
Ahora como ya no hay indeterminación reemplazamos el valor del límite esto es
lim𝑥→0
1
3𝑥 + 1 23= lim
𝑥→0
1
(3(0) + 1)23= lim
𝑥→0
1
(1)23= 1
Así tenemos:
lim𝑥 →0
3𝑥 + 13
− 1
𝑥= 1
4. 𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =1 − x2
sin(x)
Numerador 1 − 𝑥2 = −2𝑥
Denominador ( sin(x)) = cos(x)
Entonces:
𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =1x2
Sin (x)=𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =
2x
Cos (x )
Como ya no hay indeterminación reemplazamos el valor del límite:
𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =2x
Cos (x ) = 𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =
2(1)
Cos ( 1 )
= 𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =2
Cos()
= 𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =2
−
= 𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =2
=2
Así tenemos:
𝐿𝑖𝑚 𝑥1 =2x
Cos (x)=
2
5. 𝐿𝑖𝑚 𝑥 0 e2x−1
x
𝑒2𝑥−1 ′ = −2𝑒2𝑥−1 Y ahora la derivada del denominador viene dada por:
(𝑥) = 1
Así tenemos que:
𝐿𝑖𝑚 𝑥→0
𝑒2𝑥−1
𝑥𝐿𝑖𝑚 𝑥0
−2𝑒2𝑥−1
1
= 𝐿𝑖𝑚 𝑥→0
2𝑒2𝑥−1
Ahora como ya no hay indeterminación reemplazamos el valor del límite esto es:
𝐿𝑖𝑚 𝑥0𝑒2𝑥−1
𝑥𝐿𝑖𝑚 𝑥0
−2𝑒2𝑥−1
1
= 2 𝐿𝑖𝑚 𝑥 0 𝑒2𝑥−1
= 2 𝐿𝑖𝑚 𝑥 0 𝑒2(0)−1
= 2 𝐿𝑖𝑚 𝑥 0 𝑒−1
= 2𝑒−1
= 2
𝑒
Así tenemos:
𝐿𝑖𝑚 𝑥 0𝑒2𝑥−1
𝑥= −
2
𝑒
Halle paso a paso la tercera derivada de:
6. 𝑓 𝑥 = 3 tan(3𝑥)
Hallemos la primera derivada, usando la regla de la cadena, esto es:
𝑓 𝑥 = 3 tan 3𝑥 La derivada interna es:
3𝑥 ′ = 3
Y la derivada de la externa es:
(tan 𝑣 )′ = 𝑠𝑒𝑐2(𝑣)
Así la primera derivada viene dada por:
𝑓 𝑥 = 3 tan 3𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ∗ 3 = 9𝑠𝑒𝑐2 3𝑥
Calculemos ahora la segunda derivada, derivando nuevamente la primera
derivada, usando la regla de la cadena, esto es:
𝑓′ 𝑥 = 9𝑠𝑒𝑐2 3𝑥
La derivada interna es:
3𝑥 ′ = 3 Y la derivada de la externa es:
(𝑠𝑒𝑐2 𝑣 )′ = 2 tan 𝑣 𝑠𝑒𝑐2 𝑣 Así la segunda derivada viene dada por:
𝑓′ 𝑥 = 9𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ⟹ 𝑓′ ′ 𝑥 = 9 ∗ 2 tan 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ∗ 3
= 18 tan 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ∗ 3
= 54 tan 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥
Calculamos ahora la tercera derivada, usando la regla del producto y la regla de la
cadena, esto es:
Ya sabemos que: ( tan 3𝑥 )′ = 3 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥
Y también que: 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ′
= 6 tan 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥
Usemos en efecto la regla del producto, esto es: f ′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 𝑓(𝑥)
De donde escogemos como
f x = 54tan 3𝑥 y g x = 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥
Entonces:
f ′ x = 162𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 y g′ x = 6 tan 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥
Luego, la tercera derivad viene dada por:
f ′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 𝑓 𝑥 =
= 162𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 + 6 tan 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 ∗ (54 tan 3𝑥 )
= 162𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 + 324 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥
= 54 𝑠𝑒𝑐2(3𝑥) 3𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 + 6 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥
Así la tercera derivada viene dada por:
𝑓′′′ 𝑥 = 54𝑠𝑒𝑐2(3𝑥) 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟑𝒙 + 𝟔 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟑𝒙
7. 𝒇 𝒙 = 𝟑𝐜𝐨𝐭(𝟑𝒙)
Hallemos la primera derivada, usando la regla de la cadena, esto es:
𝒇 𝒙 = 𝟑𝒄𝒐𝒕(𝟑𝒙) La derivada interna es:
𝟑𝒙 ′ = 𝟑
Y la derivada de la externa es:
( 𝒄𝒐𝒕 𝒗 )′ = − 𝒄𝒔𝒄𝟐(𝒗)
Así la primera derivada viene dada por:
𝒇 𝒙 = 𝟑𝐜𝐨𝐭(𝟑𝒙) ⟹ 𝒇′ 𝒙 = − 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟑𝒙 ∗ 𝟑
= −𝟗𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟑𝒙
Calculemos ahora la segunda derivada, derivando nuevamente la primera
derivada, usando la regla de la cadena, esto es:
𝒇′ 𝒙 = −9𝑐𝑠𝑐2 3𝑥
La derivada interna es:
3𝑥 ′ = 3
Y la derivada de la externa es:
(𝑐𝑠𝑐2 𝑣 )′ = −2 𝑐𝑜𝑡 𝑣 𝑐𝑠𝑐2 𝑣 Así la segunda derivada viene dada por:
𝑓′ 𝑥 = −9𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 ⟹ 𝑓′ ′ 𝑥 = −9 ∗ −2 𝑐𝑜𝑡 3𝑥 ∗ 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 ∗ 3
= 18 cot 3𝑥 ∗ 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 ∗ 3
= 54 cot 3𝑥 ∗ 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥
Calculamos ahora la tercera derivada, usando la regla del producto y la regla de la
cadena, esto es:
Ya sabemos que: (𝑐𝑜𝑡 3𝑥 )′ = −3 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥
Y también que: csc2 3x ′
= −6 cot 3x ∗ csc2 3x
Usemos en efecto la regla del producto, esto es: 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 𝑓(𝑥)
Luego, la tercera derivad viene dada por:
𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 𝑓 𝑥
= −162𝑐𝑠𝑐 3𝑥 ∗ 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥
+ −6 𝑐𝑜𝑡 3𝑥 ∗ 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 ∗ 54 𝑐𝑜𝑡 3𝑥
= −162𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 − 324 𝑐𝑜𝑡2 3𝑥 ∗ 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥
= −54 𝑐𝑠𝑐2(3𝑥) 3𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 + 6 𝑐𝑜𝑡2 3𝑥
Así la tercera derivada viene dada por:
f′′′ x = −54 csc2(3x) 3csc2 3x + 6 cot2 3x
Halle, paso a paso, la derivada implícita, con respecto a x, de:
8. 𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑦 = 1
Derivemos implícitamente respecto a 𝑥: esto es:
𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑦 − 1 = 0
𝑑
𝑑𝑥 𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑦 − 1 = 0
𝑑
𝑑𝑥 𝑒−𝑥) −
𝑑
𝑑𝑥(𝑒−𝑦) −
𝑑
𝑑𝑥(1)
= −𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑒−𝑥 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥(𝑒−𝑦 ) − 0 = 0
= −𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑒−𝑥 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥(𝑒−𝑦) = 0
= −𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑒−𝑥 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥(𝑒−𝑦) = 0
= − 𝑒−𝑥 +𝑑𝑦
𝑑𝑥(𝑒−𝑦) = 0𝑒−𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥(𝑒−𝑦)
𝑒−𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥(𝑒−𝑦)
Despejando 𝑑𝑦
𝑑𝑥 tenemos que:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑒−𝑥
𝑒−𝑦
Así la derivada implícita viene dada por:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑒−𝑥
𝑒−𝑦= 𝑒𝑦−𝑥
9. Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico de modo que su
volumen aumenta a razón de 𝟏𝟎𝟎𝒄𝒎𝟑
𝒔. ¿Con qué rapidez crece el globo
cuando su radio es de 25cm? Recordar que el volumen es igual 𝟒
𝟑𝝅𝒓𝟑.
Sea 𝑉 el volumen del radio y r su radio, la razón de cambio con respecto son
derivadas y viene dada por 𝑑𝑉𝑑𝑡 donde 𝑡 y esta representa la razón de cambio
del volumen respecto al tiempo y la razón del aumento del radio es: 𝑑𝑟𝑑𝑡 .
Según los datos se tiene que:
𝑑𝑉
𝑑𝑡= 100
𝑐𝑚3
𝑠
Tenemos que calcular 𝑑𝑟𝑑𝑡 cuando 𝑟 = 25𝑐𝑚. Sabemos que el volumen viene
dado por:
𝑉 =4
3𝜋𝑟3.
Para derivar el segundo miembro es necesario usar la regla de la cadena, esto es:
𝑑𝑉
𝑑𝑡=
𝑑𝑉
𝑑𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡= 4𝜋𝑟2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
Despejamos 𝑑𝑟
𝑑𝑡 obtenemos:
𝑑𝑟
𝑑𝑡=
1
4𝜋𝑟2 ∗𝑑𝑉
𝑑𝑡⟺
𝑑𝑟
𝑑𝑡=
1
4𝜋(25𝑐𝑚)2 ∗ 100
𝑐𝑚3
𝑠=
1
25𝜋𝑐𝑚/𝑠
El globo crece con una rapidez de 1
25𝜋𝑐𝑚/𝑠
10. Una fábrica tanques de almacenamiento de agua desea construir uno de
forma cilíndrica con tapa, que tenga una capacidad de 1 metro cúbico (1000
litros). ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque para que la cantidad
de material empleado en su construcción sea mínima?
Minimizamos el área de la superficie del cilindro. La que está dada por: Acilindro = 2Atapa + Acuerpo (1)
Al desplegar el cuerpo del cilindro obtendremos una superficie rectangular en la cual uno de sus lados es el perímetro de la circunferencia y el otro es la altura.
Acuerpo = 2πrh (2)
Por otro lado, el área de la tapa está dada por:
Atapa = πr2 (3)
Reemplazando (2) y (3) en (1), tenemos:
Acilindro = 2 πr2 + 2πrh (4) Como la capacidad debe ser de 1 m3, entonces
1 = πr2h (5)
h =1
πr2 (6)
h
r
Reemplazando (6) en (4)
Acilindro = 2 πr2 + 2πr1
πr2
Acilindro = 2 πr2 +2000
r
Derivando e igualando a cero
Acilindro′ = 4πr −
2
r2= 0
4πr = −2
r2
2πr = −1
r2
r3 = −1
2π=
0.5
π= 0.159155
r = 0.1591553
= 0.542 metros
Tenemos que r = 0.542 metros es un punto crítico
Verifiquemos que este sea un mínimo, utilizando puntos antes y después del punto
crítico para determinar el signo de la derivada.
A′ 0.5 = 4π 0.5 −2
0.5 2= −1.717m
Antes del punto crítico la función es decreciente (arroja valores negativos)
A′(0.6) = 4π 0.6 −2000
0.6 2 = 0.1984 m
Después del punto crítico la función es creciente (arroja valores positivos)
Efectivamente, r = 5.42 metros es un punto crítico correspondiente a un mínimo en
la función de área. El valor de h que le corresponde según (6) es:
h =1
(0.542)2= 3.405 m
El tanque debe hacerse con tapas de 0.542 m de radio y una altura del cuerpo de
3.405 m
CONCLUSIONES
El propósito de este trabajo era poder poner en práctica lo que se ha venido
aprendiendo en la materia de cálculo diferencial, y permitiendo resolver las dudas
que se iban presentando en el trascurrir del curso.
REFERENCIAS
Modulo de Calculo Diferencial.
Derivadas:
https://www.youtube.com/watch?v=xx6bIjehplA
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://www.dervor.com/derivadas/tabla_derivadas.html
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