Hacia un Modelo de la Tierra
Trabajo Práctico
Primera Parte: Midiendo la Circunferencia Terrestre
Nuestra tarea es lograr una aproximación razonable de la
longitud de la Circunferencia Terrestre imaginándonos en un
mundo sin acceso a Internet, similar al mundo de Eratóstenes
en el 250 AC.
Eratóstenes fue como muchos estudiosos en su época un
matemático, astrónomo, filósofo y geógrafo de origen griego
que estando en Alejandría se enteró de que al sureste de
Egipto en la ciudad de Syene, el Sol no proyectaba sombra
alguna en el día más largo del año en ese hemisferio, el Norte.
A partir de esta sencilla observación y usando un método
geométrico calculo una aproximación bastante buena de la
circunferencia terrestre.
¿Cómo lo hizo?
Eratóstenes partió del supuesto de que la tierra era una
esfera. El hecho de que no “en el día más largo del año no
haya sombra en la ciudad de Syene” significa que:
I. El día en cuestión corresponde al Solsticio de Verano:
Junio 21 o 22, los rayos del Sol caen verticalmente sobre
la superficie terrestre.
II. El lugar donde esto sucede se ubica sobre una
circunferencia imaginaria paralela al Ecuador que
denominamos Trópico de Cáncer.
III. A esta latitud y debido a que el eje de la Tierra está
inclinado unos 23.5° respecto a la vertical, el eje
terrestre en esta fecha está apuntando hacia el Sol y los
días son más largos que las noche en el hemisferio
Norte.
Este es un diagrama que explica la aproximación de
Eratóstenes:
Estando en Alejandría, Eratóstenes usó un ingenioso aparato
llamado “Scaphe” para medir el ángulo “b” y por simple
geometría calcular el ángulo “a” que es el que subtiende la
longitud de arco de interés. Por supuesto Eratóstenes no la
tenía tan fácil para calcular su distancia a Syene, ¡tuvo que
emplear una estimación basada en el tiempo en que una
caravana de camellos hace el viaje entre ambas ciudades!
Nosotros usaremos un mapa.
Procedimiento
1. Calcule la proporción de circunferencia comprendida
entre ambas ciudades, el ángulo “b” entre el tope del
obelisco y su sombra es de 82.5°. La proporción pedida
se obtiene usando la relación:
P=360a
2. Use el mapa provisto y su escala para calcular la
distancia entre ambas ciudades D exprese la misma en
km.
3. La longitud de la circunferencia terrestre es:
C=D×P
4. Obtenga el radio terrestre r a partir de la relación:
C=2×π×r
5. Finalmente calcule el volumen de la Tierra usando:
V= 43π r3
Segunda Parte: Midiendo el “peso” de la Tierra
En esta segunda parte nuestro objetivo es medir la masa
terrestre, pero ¿cómo “pesar” algo tan masivo como la Tierra?
Normalmente, al pesar un objeto recurrimos a una balanza o
algo similar, cuando hacemos esto no estamos realmente
midiendo su masa sino el efecto de la fuerza de gravedad
terrestre sobre este objeto. Sabemos que esta fuerza es
proporcional a la masa del objeto pesado. ¡Esta es la “llave”
que abre la puerta de la solución!
Consideremos primero la ecuación fundamental propuesta por
Isaac Newton en el siglo 17 que relaciona la fuerza de
atracción entre dos cuerpos:
f=Gm1×m2d2
Consideremos ahora la masa de un objeto cualquiera sobre la
superficie terrestre y la masa misma de la tierra, la distancia
correspondiente entre ambos será el radio terrestre calculado:
f=Gmtierra×m
r2
Usaremos el valor de la constante de gravitación Universal en
CGS hallada por Lord Henry Cavendish experimentalmente en
1798:
G=6.670×10−8 dinas∙ cm2
g2
Reordenando la expresión:
fm
=Gmtierrar2
Observe que el miembro izquierdo de esta ecuación
representa una aceleración según: f=m×a esta aceleración
corresponde a la aceleración experimentada por un cuerpo
cayendo a la superficie terrestre por acción de la gravedad de
la Tierra, en otras palabras esta es la aceleración de la
gravedad terrestre que denominaremos “g”:
g=Gmtierrar2
Despejando la masa terrestre:
mtierra=g×r2
G
Teniendo a la mano todas las variables excepto “g” es obvio
que nuestra labor consiste en medir la aceleración de la
fuerza gravitacional terrestre. Para ello usaremos la ecuación
propuesta por Galileo que relaciona el periodo de un péndulo
simple con la aceleración de la gravedad terrestre:
g= 4 ∙ π ∙LT 2
Donde L es la longitud del péndulo en cm y T es el periodo
medido en segundos.
Procedimiento
1. Construya un péndulo simple según:
Puede utilizar una pequeña bola de goma, su masa no es
importante, pero asegúrese de emplear un hilo de 100 cm de
largo.
2. Coloque al péndulo en una posición inicial de unos 15°
en relación a la vertical y cuente el tiempo que le toma
completar 10 periodos completos, la oscilación debe ser
“suave” para ser válida, registre al menos tres
mediciones y obtenga un promedio.
3. Calcule en base a estos valores la aceleración de la
gravedad terrestre usando la ecuación de Galileo.
4. Finalmente calcule la masa terrestre usando la ecuación
de Newton.
Tercera Parte: Mi modelo de la Tierra
Habiendo obtenido el volumen y la masa terrestre puedo
calcular su densidad, en esta parte nuestro objetivo es
compara este valor experimental con datos de materiales
comunes en la corteza terrestre y presentar un modelo que
sea consistente con nuestras observaciones.
Vamos a suponer que podemos representar a la Tierra como
una esfera compuesta de dos capas de igual volumen:
De acuerdo a este modelo simple la relación entre las
densidades de ambas capas y la densidad total de la Tierra
es:
ρtierra=ρinterior+ρ exterior
2
Si en nuestras observaciones de la corteza terrestre
consideramos representativos al Cuarzo, Feldespato, Granito y
Basalto podríamos obtener una densidad promedio
suponiendo una distribución uniforme de estos componentes.
Finalmente, de la ecuación anterior podemos estimar la
densidad de la capa interior y su probable composición que
haría consistente a nuestro modelo. Siga el proceso sugerido
por el reporte para esta parte.
REPORTE: Trabajo Práctico 1
GEOLOGÍA GENERAL
ALUMNO:
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……………
SECCIÓN:
………………………………………………………………………
…………..
PARTE 1 (6 puntos)
Ángulo b (°)
Ángulo a (°)
Proporción P
Circunferencia Terrestre C (km)
Radio Terrestre r (km)
Volumen Terrestre (km3)
PARTE 2 (8 puntos)
Medición del Periodo de un Péndulo Simple
Prueba Número de Oscilaciones
Tiempo para 10 oscilaciones
Tiempo para 1 oscilación
1 10
2 10
3 10
Promedio (s)
Aceleración de la Gravedad g (cm/s2)
Masa Terrestre (gramos)
Densidad Terrestre (g/cc)
PARTE 3 (6 puntos)
Averigüe la densidad para los siguientes componentes
comunes de la corteza terrestre y promedie su valor:
Mineral o Roca Densidad (g/cc)
Cuarzo
Feldespato
Granito
Basalto
Promedio
Registre las densidades como corresponda al modelo
propuesto y obtenga la densidad de la capa interior de
la Tierra:
Densidad de la Capa Exterior (g/cc)
Densidad de la Capa Exterior (g/cc)
Densidad Terrestre (g/cc)
Escoja de la siguiente tabla de densidades en g/cc la
composición probable de esta capa interior en base a
sus resultados:
RESPUESTA: