Tesis de Maestría en Ingeniería Mecánica
Reporte de Avance de Tesis
Título:
Optimización topológica de un generador piezoeléctrico
Resumen: Se buscan generar topologías óptimas para vigas piezoeléctricas con una o múltiples
capas que permitan obtener ahorro de material, así como también maximizar la
obtención de energía para el desarrollo de un generador de electricidad basado en el
fenómeno piezoeléctrico. Para ello es necesario revisar el estado del arte de la tecnología
de generación eléctrica utilizando materiales piezoeléctricos, comparar los diferentes
materiales piezoeléctricos y estudiar las diferentes técnicas de optimización topológica. Como apoyo para las simulaciones numéricas se está utilizando el programa Comsol® en
conjunción con el programa Matlab para automatizar las simulaciones. Uno de los
componentes de este proyecto de investigación es el caracterizado de las vibraciones a
las que está sujeto el dispositivo, por lo que se tomó el curso de vibraciones mecánicas.
Y finalmente utilizando técnicas de dinámica analítica se obtendrán las ecuaciones de
movimiento del dispositivo.
Asesor:
Dr. Gilberto Mejía Rodríguez
Alumno:
Ing. Diego García de la Torre
Primera entrega de avance de Tesis
1. Revisión bibliográfica de teoría del fenómeno piezoeléctrico y dispositivos
piezoeléctricos.
2. Simulaciones numéricas del fenómeno piezoeléctrico en Comsol® de una viga
multicapa en voladizo.
Introducción El proceso de adquirir la energía que rodea a un sistema y convertirla en energía
eléctrica utilizable es conocido como recolección de energía. En los últimos años la
investigación en el área de recolección de energía se ha intensificado. Este incremento en
la investigación ha dado lugar a los más modernos dispositivos micro electromecánicos
(MEMS) y a avanzadas tecnologías inalámbricas, de aplicación práctica en el mundo real.
El uso de materiales piezoeléctricos para capitalizar las vibraciones ambientales que rodean a un sistema es un método que ha visto un crecimiento dramático en el campo de
la recolección de energía. Los materiales piezoeléctricos cuentan con una estructura
cristalina que los provee de la habilidad de transformar la deformación mecánica en
carga eléctrica y viceversa para convertir un potencial eléctrico aplicado en deformación
mecánica. Esta propiedad provee a los materiales la habilidad de absorber la energía
mecánica de los alrededores, normalmente vibraciones ambientales, y transformarla en
energía eléctrica utilizable para alimentar otros dispositivos. Es verdad que los materiales piezoeléctricos son el método más utilizado en la recolección de energía pero existen
otros métodos, por ejemplo, los dispositivos electromagnéticos. El objetivo de este
proyecto de tesis es lograr acercar los sistemas de recolección de energía a la meta
necesaria para que sean utilizables en el día a día.
Con los recientes avances en tecnología inalámbrica y micro electromecánica, la
demanda por dispositivos portables y sensores inalámbricos está creciendo rápidamente.
A la vez se está convirtiendo una necesidad el que los dispositivos sean autónomos y se
carguen por medio de fuentes ambientales. En la mayoría de los casos el suministro de
energía se obtiene de baterías convencionales; sin embargo, las baterías presentan el
problema de su limitado ciclo de vida. Para los dispositivos electrónicos, remplazar la batería es problemático debido a que el dispositivo puede quedarse sin energía en
cualquier momento y remplazar la batería puede ser costoso y tedioso. En el caso de los
sensores inalámbricos, estos se pueden colocar en locaciones muy remotas. Cuando la
batería se agota, el sensor debe ser retirado y la batería remplazada. Ya que estos
dispositivos están en lugares remotos, cambiar la batería puede volverse una tarea muy
costosa o incluso imposible. Por ejemplo, los sensores que se colocan en animales para darles seguimiento en su medio salvaje suelen perderse para siempre. Pero si fuera
posible recolectar la energía del ambiente, entonces se podría utilizar directamente o
para recargar la batería. Un método es utilizar materiales piezoeléctricos para obtener
energía perdida debido a vibraciones de la estructura anfitriona. Esta energía capturada
se puede utilizar para prolongar la vida del suministro de energía o en un caso ideal
proveer energía durante un periodo de tiempo igual o mayor al ciclo de vida del
dispositivo electrónico. Por estas razones, la cantidad de investigación dedicada a la recolección de energía ha aumentado rápidamente.
El Fenómeno Piezoeléctrico El fenómeno piezoeléctrico existe en dos dimensiones. El primero es el efecto
piezoeléctrico directo que describe la habilidad del material para convertir deformación
mecánica en carga eléctrica. El segundo es el efecto inverso, el cual consiste en la
habilidad de convertir un potencial eléctrico en deformación mecánica. El efecto directo le da la capacidad al material de funcionar como un sensor y el efecto inverso la capacidad
de funcionar como actuador.
Los materiales piezoeléctricos pertenecen a una clase de materiales llamados
ferroeléctricos. Una característica principal de los materiales ferroeléctricos es que su
estructura molecular está orientada de tal manera que el material exhibe una separación
de carga local conocida como dipolo eléctrico. A través de toda la composición del
material los dipolos están orientados de forma aleatoria, pero cuando el material se calienta mas allá de cierto punto, conocido como la temperatura de Curie, y se le aplica
un fuerte campo eléctrico, los dipolos eléctricos se reorientan de forma relativa al campo
eléctrico, este proceso es conocido como polarización (poling). Una vez que el material se
enfría, los dipolos mantienen su orientación y el material entonces se dice que esta
polarizado (poled). Después del proceso de polarización el material presentará efecto
piezoeléctrico.
El comportamiento mecánico y eléctrico de un material piezoeléctrico puede ser
modelado por dos ecuaciones constitutivas linearizadas. Estas ecuaciones contienen dos
variables mecánicas y dos eléctricas. El efecto directo e inverso se pueden modelar por
las siguientes ecuaciones matriciales (IEEE Standard on Piezoelectricity, ANSI Standard
176-1987):
( , ) E (Efecto inverso) [1]
( , ) E (Efecto directo) [2]
E
i ij j ki i
i ij j ij k
E c e
D E e
Es más fácil entender estas matrices si se muestran en su forma extendida, para el
efecto directo es la siguiente:
Símbolo Descripción Unidades Índices
E
ijc Rigidez elástica N/m2
i,j=1…6
SE
ij Adaptabilidad elástica m2/N i,j=1…6
i Esfuerzo mecánico N/m2
i=1…6
j Deformación mecánica 1 j=1…6
ik
Permisividad absoluta bajo deformación constante C2/(Nm
2) o
F/m
i,k=1…3
ij
Permisividad absoluta bajo esfuerzo constante C2/(Nm
2) o
F/m
i,j=1…3
iD Desplazamiento eléctrico o densidad de flujo eléctrico C/m2 i=1…3
Ei Fuerza de campo eléctrico N/C o V/m i=1…3
Pi Polarización eléctrica C/m2 i=1…3
dij Constante piezoeléctrica campo-deformación m/V o C/N i=1…3,
j=1..6
eij Constante piezoeléctrica campo-esfuerzo C/m2 o
N(Vm)
i=1…3,
j=1..6
Después de que el material ha sido polarizado, un campo eléctrico puede ser aplicado
para inducir expansión o contracción del material. Sin embargo, el campo eléctrico puede
ser aplicado a lo largo de cualquier superficie del material, resultando en esfuerzos y
deformaciones diferentes en cada caso. Por esto, las propiedades piezoeléctricas deben
contener una convención para facilitar la aplicación de campos eléctricos en las tres
dimensiones. El material piezoeléctrico se puede generalizar en dos casos. El primero es
la configuración de apilamiento que opera en la dirección -33 y la segunda es la
configuración de deformador que actúa en el modo -13. La convención asume que la
dirección de polarización es siempre la “3”; sabiendo esto los dos modos pueden ser entendidos. En el modo -33, el campo eléctrico es aplicado en la dirección 3 y el material
se deforma también en esa dirección. En el modo -31 el campo eléctrico es aplicado en la
dirección 3 y el material se deforma en la dirección 1 la cual es perpendicular a la
dirección de polarización. Esta convención es particularmente importante para definir los
coeficientes de acoplamiento d para actuadores y g para sensores. Entonces por ejemplo
g13 se refiere al coeficiente de sensibilidad de un elemento tipo deformador polarizado en la dirección 3 y deformado a lo largo de 1.
Figura 1. Ejemplos de convención direccional
Vibraciones Mecánicas Uno de los métodos más efectivos de implementar un sistema de recolección de energía,
es el utilizar vibraciones mecánicas como medio para inducir deformación en un material
piezoeléctrico o para desplazar una bobina electromagnética. La generación de energía a
partir de vibraciones mecánicas utiliza vibraciones ambientales de los alrededores como
fuente de energía, la cual es convertida en energía eléctrica utilizable para alimentar
dispositivos que pueden ir desde electrónicos digitales a transmisores inalámbricos.
William y Yates (1996) propusieron un dispositivo que generaba electricidad cuando
estaba sujeto a un ambiente vibratorio, y para esto utilizaron una bobina
electromagnética. Realizaron un análisis armónico para evaluar la viabilidad del
dispositivo y optimizar el diseño. Determinaron que la cantidad de energía generada era
proporcional al cubo de la frecuencia de vibración. Esto mostró que el generador
funcionaba pobremente a bajas frecuencias. También mostraron que es necesario un bajo factor de amortiguamiento para maximizar la recolección de energía, por esto el diseño
debía permitir grandes deflexiones de la masa. Encontraron que para un funcionamiento
a 330 Hz podían obtener 0.1 mW asumiendo una deflexión de 50 μm.
Aunque se ha demostrado en investigaciones más recientes que es posible obtener
35.4 mJ/cm3 utilizando materiales piezoeléctricos.
Eficiencia de recolección
Umeda et al. (1996) llevaron a cabo una investigación sobre los fundamentos de un
generador, que transformaba energía mecánica a eléctrica utilizando un vibrador
piezoeléctrico y una canica de acero. También investigaron el efecto de las diferentes
características del vibrador piezoeléctrico. Para simular el mecanismo de generación,
ellos introdujeron un modelo eléctrico equivalente. Se calcularon los modos de vibración
para dos modelos, uno utilizando el transductor con la bola de metal y el otro con el transductor solamente. Descubrieron que la forma de onda del voltaje de salida de los
resultados obtenidos era similar a los medidos experimentalmente; se trazó una curva de
eficiencia para diferentes entradas mecánicas, y determinaron que mientras la energía
potencial de la canica aumentaba, la eficiencia decrecía. Una gran parte de la energía
aplicada era retornada a la canica en forma de energía cinética causando que saltara
fuera del plato. Al final determinaron que una máxima eficiencia de 52% podía ser obtenida. Los efectos de las características del vibrador piezoeléctrico fueron investigados
y se determinó que la eficiencia aumentaba si el factor de calidad mecánica
incrementaba, el coeficiente de acoplamiento mecánico incrementaba y la pérdida
dieléctrica se reducía.
Goldfarb y Jones (1999) analizaron la eficiencia de un material piezoeléctrico en una
configuración de apilamiento para propósitos de generación de energía. Un modelo analítico fue presentado y se sugirió que el problema fundamental para generar potencia
a partir de un material piezoeléctrico es que la mayor parte de la energía producida era
acumulada y regresada a la fuente de excitación. Los autores propusieron que eso era
particularmente problemático cuando el piezocerámico estaba colocado en paralelo con
un capacitor en serie con la carga. Por esto, se sugirió que la máxima eficiencia se podría
obtener minimizando la cantidad de energía almacenada en el piezoeléctrico. La eficiencia máxima del modelo fue obtenida a 5 Hz, y la mínima cuando la frecuencia
superaba los 100 Hz. Se hizo notar que la frecuencia de 5 Hz estaba muy por debajo de
las frecuencias de resonancia mecánica,40 kHz. Los autores argumentaron que la
máxima eficiencia ocurría a tan baja frecuencia debido a la estructura energética del
apilamiento. En adición, se encontró que la eficiencia del apilamiento era dependiente de
la frecuencia de excitación, con la resistencia eléctrica proveyendo un pequeño efecto sobre él.
Fuentes de energía implantables y vestibles.
En un esfuerzo por incorporar computadoras y sistemas digitales en nuestro día a día, se
han conducido investigaciones para introducirlos en nuestra ropa, o dentro de sistemas
biológicos tales como el cuerpo humano. La utilización de dispositivos de recolección de energía para capturar la energía perdida por el cuerpo humano durante la vida cotidiana
es una idea cautivadora y se ha convertido en uno de los tópicos principales, facilitando
así el crecimiento del área de recolección de energía. Como por ejemplo, la literatura
muestra algunas aplicaciones de este tipo. Una se basa en el concepto de la energía
gastada por el proceso de respiración, otra utiliza el movimiento periódico del torso para
deformar un convertidor, en otra investigación se fijó una malla piezoeléctrica a un perro y su respiración espontanea condujo a un pico de voltaje de 18 V, lo que correspondía a
una potencia de 17μW. Sin embargo, la potencia generada fue insuficiente para energizar
los aparatos deseados. En estos trabajos se especula que con optimización de las
propiedades del PVDF (El piezopolímero más común, “pólifloruro de vinilideno”) se puede
obtener una salida de 1mW. En adición este estudio fue realizado en una etapa temprana
de esta tecnología (1984), lo que nos hace pensar que utilizando los nuevos materiales y
electrónicos más eficientes es posible obtener resultados más prometedores.
En otras investigaciones, Starner (1996) calculó que 67W son gastados al caminar,
argumentando que un piezoeléctrico montado en los zapatos con una eficiencia de
conversión de 12.5% podría alcanzar 8.4W de potencia. Dos métodos de generación
durante el caminado han sido identificados, piezoeléctrico y generador rotatorio, cada uno con ventajas particulares. Otra idea de Starner ha sido el colocar una piezopelícula
en las costuras de la ropa para recolectar energía y ha calculado que 0.33 watts pueden
ser obtenidos de esta forma. Es notorio que la energía producida no es constante y en
algún momento será nula, por lo que es necesario utilizar un medio de almacenamiento
como pueden ser capacitores o baterías recargables. Starner argumenta que un capacitor
sería suficiente para fuentes de bajo poder como la presión de la sangre o el calor corporal, pero sería necesario el uso de baterías recargables para lugares de alta energía
como el movimiento de extremidades o el caminado.
Los trabajos de Starner han atraído a otros investigadores, y provocado que se realicen
más estudios sobre tela piezoeléctrica. En la actualidad podemos encontrar incluso
pintura piezoeléctrica, desarrollada por Yunfeng Zhang, para el monitoreo de la
estructura de los edificios y los esfuerzos a los que son sometidas las paredes de los mismos.
Optimización Topológica
Existen varios métodos de optimización topológica, es importante destacar que la
optimización topológica es un método para determinar la mejor distribución de material para un grupo de restricciones dadas. Típicamente en optimización estructural se busca
minimizar la energía de deformación de estructuras, manteniendo una cierta restricción
en su masa.
Método de Homogenización: Bendsøe y Kikushi [8] desarrollaron el bien conocido método, el
cual usa la formulación de homogenización en el modelo estructural, según Kaminski El
método de homogenización es una manera muy eficiente para modelar computacionalmente materiales compuestos, donde usualmente se asume que existe
alguna relación de escala entre los diferentes elementos que conforman el material. La
principal desventaja de este método es la imposibilidad del análisis de sensibilidad de los
elementos compuestos homogeneizados con respecto a las relaciones geométricas. La
idea principal en la utilización de homogenización es calcular una distribución óptima del
material sobre el dominio de diseño, el cual se encuentra sujeto a la acción de cargas y
condiciones de frontera. La distribución del material está conformada por microestructuras periódicas. Un modelo típico de una microestructura consiste en una
celda unitaria cuadrada con un agujero rectangular en el centro, en donde los lados del
rectángulo, así como la orientación de la celda son tratadas como las variables de diseño.
Por medio de un criterio de optimización se determina si un elemento es sólido o vacío.
De acuerdo con Sigmund, este método tiene la desventaja de que la determinación y
evaluación de una microestructura óptima, así como su orientación son muy complicado de resolver. Por otra parte, también se tiene que las estructuras resultantes no pueden
ser construidas ya que no se tiene una longitud definida de escala asociada con las
microestructuras.
Ley de las potencias: Conocido también como material sólido isotrópico con penalización
(solid isotropic material with penalization, SIMP [11]) el cual fue presentado por Bendsøe
[8]. En este método las propiedades del material se asumen constantes para cada
elemento usado en la discretización del dominio de diseño y las variables de diseño son
las densidades de los elementos. De acuerdo con Sigmund [13], este método puede ser
criticado desde el punto de vista que no existe ningún material físico el cual se comporte
con las propiedades descritas por la interpolación de la ley de las potencias. Sin
embargo, como han probado Bendsøe y Sigmund [8], la ley de las potencias es físicamente correcta siempre y cuando cumpla con una condición en la potencia de p>=3
para la relación de Poisson igual a 1/3. Para asegurar la existencia de solución el método
debe de ser combinado con limitaciones de perímetro y con técnicas de filtrado. Este
método ha sido aplicado a problemas de optimización topológica en donde se tienen
múltiples cargas y múltiples materiales. Sin embargo, de acuerdo con M. Yu y X. Wang
[14] la inestabilidad numérica y la complejidad computacional permanecen como las mayores dificultades para necesidades reales.
Optimización de evolución estructural (ESO): Este es un método simple para la optimización
de la forma y el diseño, el cual fue propuesto por Xie y Steven[15]. Este se basa en el
concepto de eliminación gradual de material, con el cual se consigue llegar un diseño
óptimo. Este enfoque se basa en una estrategia evolutiva la cual se centra en
consecuencias locales, mas no en la optimización global. La más notoria desventaja de
esta metodología es su alto costo computacional. Método de Conjunto de Nivel (Level Set): El método de level set para mover problemas de
interface fue primeramente desarrollado por Osher y Sethian[16]. Este método se
encuentra actualmente bien desarrollado y es usado en una amplia variedad de áreas de
investigación , sin embargo el método de level set ha sido aplicado recientemente en el
área de optimización topológica. De acuerdo con [17], grupos de investigación alrededor
del planeta han utilizado este método exitosamente como una alternativa de
aproximación para la distribución de material en la optimización topológica.
Recientemente se han tenido algunos éxitos utilizando el método level set como base para la optimización topológica, como son, por mencionar algunos, Optimización
topológica robusta (de. Gournay et al 2008) y diseño de materiales multifuncionales
(Challis et al 2008).
Método Autómata Celular Híbrido (Hybrid Cellular Automaton, HCA): Este método es una
técnica computacional que puede ser usado para sintetizar topologías óptimas. Mientras
que el método HCA no es explícitamente una técnica de optimización, leyes locales
producen este comportamiento. Este método está inspirado por el proceso biológico de la remodelación del hueso, en el cual material es apropiadamente distribuido para
uniformemente distribuir los efectos de algún estímulo mecánico, a lo largo del dominio
de diseño. El método (HCA) combina el paradigma del modelo autómata celular (CA) con
análisis de elemento finito para propósitos de optimización estructural. De misma forma
que en los métodos de optimización topológica tradicionales, el dominio de diseño es
discretizado en elementos de materia.
Posible enfoque de optimización para piezoeléctricos
Bin Zheng et al. (2008) proponen un método interesante de optimización aplicado a una
viga piezoeléctrica para maximizar el factor de conversión de energía.
( , ) E (1)
( , ) E (2)
E
i ij j ki i
i ij j ij k
E c e
D E e
Partiendo de las ecuaciones que modelan cualquier material piezoeléctrico, determinan
que la deformación y el campo eléctrico de un elemento piezoeléctrico pueden ser
representados por funciones de forma utilizando una formulación por método de
elemento finito:
(3)
(4)
e e
u
e e
B u
E B
Donde ue yφe
son el desplazamiento y el potencial en los nodos del elemento e;Bu y Bφ
son sus funciones en forma matricial. Aplicando esto a las ecuaciones (1) y (2) se tiene:
( , ) (5)
( , ) (6)
E e e
i ij u ki
e e
i ij u ij
E c B u e B
D E e B u B
Considerando que la fuerza externa es aplicada al elemento, el trabajo virtual interno es
equivalente al realizado por la fuerza externa, este equilibrio se puede representar como:
( ) ( )e
e t e e t edv du F
(7)
De forma similar, cuando un campo eléctrico se aplica al elemento, el trabajo virtual
interno es igual al trabajo realizado por las cargas eléctricas externas, por lo que
tenemos equilibrio:
( ) ( )e
e t e e t eE D dv Q
(8)
Sustituyendo todo las ecuaciones (5) y (6) en (7) y (8) y sabiendo que Ωe representa el
domino relativo a un elemento llegamos a:
( ) ( ) (9)
( ) ( ) (10)
e e
S
e e
t E e t e e
u u u
t t e t e e
u
B c B dv u B eB dv F
B e B dv u B B dv Q
Sustituyendo las funciones de forma integrales, podemos escribir estas igualdades de
forma simplificada como:
K
K
e e e e e
uu u
e e e e e
u
u K F
u K Q
Lo interesante de estas ecuaciones es que solo involucran funciones de forma y constantes del material, por lo que quedan en función de la fuerza mecánica aplicada y
del campo eléctrico presente. Con este método ya se han obtenido resultados como el
presentado en la Figura 2. En este trabajo se utilizaron las ecuaciones antes
mencionadas, con la intención de maximizar la energía eléctrica almacenada en el
piezoeléctrico, se aplicó una carga estática de 100N y se obtuvo la topología óptima, que
es capaz de almacenar 34.4% más energía eléctrica que el diseño rectangular sin optimizar.
Figura 2. Viga piezoeléctrica bajo carga estática optimizada
Diseño propuesto
Se propone un dispositivo generador de energía eléctrica utilizando materiales
piezoeléctricos. Consiste en una caja de 30x30x10 dentro de la cual se coloca la mayor cantidad posible de vigas piezoeléctricas optimizadas para maximizar la
generación de electricidad, la imagen muestra de forma muy básica el posible
dispositivo.
Figura 3. Posible configuración del dispositivo.
Inicialmente se propone que las vigas estén en voladizo, pero se analizarán otro
tipo de configuraciones. El soporte no contara con amortiguadores, por lo que
solo contará con amortiguamiento estructural, reduciendo así el factor de
amortiguamiento. A continuación se muestra la imagen de una viga sin optimizar,
con el voltaje en su superficie.
Figura 4. Viga en voladizo, generando potencial eléctrico.
Actividades Realizadas:
Revisión de literatura y de estado del arte de las tecnologías para recolección
de energía basadas en piezoeléctricos
Propuesta de diseño.
Simulaciones en Comsol tanto en 2D como en 3D, se realizaron estudios para
obtener los modos de vibración (frecuencias de resonancia), a trabajar con el
modulo piezoeléctrico definiendo tierra y paredes con carga cero, y a conectar
con Matlab. Aun no se ha logrado hacer la conexión automática con Matlab, ni
tampoco obtener las matrices de resultados arrojadas con Comsol. Otra
dificultad importante encontrada es como simular la extracción de energía una
vez que el piezoeléctrico ya la ha generado. Para realizar una simulación en
Comsol dentro del modulo piezoeléctrico es necesario definir el material, y el
programa ya cuenta con el modelo de un material piezoeléctrico de uso común que es el PZT 5H. También es necesario definir la tierra y el campo de
movimiento al que el cuerpo estará sujeto, con estos datos el programa es
capaz de arrojarnos toda la información relacionada con el estudio de
piezoeléctricos, tal como desplazamiento eléctrico, deformaciones, esfuerzos,
etc.
Asistencia a seminarios presenciales y vía red de Comsol
Curso de Vibraciones mecánicas
Curso de Dinámica analítica.
Conclusiones
Es necesario entender el fenómeno piezoeléctrico y las ecuaciones que lo caracterizan para poder determinar la función objetivo a optimizar. La conexión entre Comsol y Matlab
es vital para realizar el proceso de optimización de forma automática y eficiente. La
investigación para generar dispositivos piezoeléctricos cada vez más avanzados es un
tema de creciente interés en la comunidad científica. Los esfuerzos por alcanzar
dispositivos viables para generar energía con procesos de recolección de energía son una
constante en un sinnúmero de universidades y centros de investigación, el crecimiento de esta tecnología está muy lejos de alcanzar su cenit y la optimización topológica de los
mismos es indispensable para su mejoramiento.
Figura 5. Resultado obtenido en primera simulación. Cortes en la viga
para apreciar la distribución de energía en el interior del material
Actividades a realizar en próximos 6 meses
Validar resultados de simulaciones, ya sea a través de literatura o de
experimentación.
Tomar curso de Optimización topológica.
Obtener matrices de resultados en Matlab.
Caracterización de las vibraciones a las que se verá sometido el dispositivo. Realizar simulaciones MEF de diferentes configuraciones de viga (Voladizo,
hiperestática, etc.)
Cronograma
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Mechanical Impact Energy to Electrical Energy Using a Piezoelectric Vibrator,”
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Energy Sensor” Smart Materials and structures, vol.10, 293-299 5. Hausler, E., and Stein, E., 1984, “Implantable Physiological Power Supply with
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Matlab. Springer-Verlag
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