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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Per, DECANA DE AMRICA)
FACULTAD DE EDUCACIN
UNIDAD DE POSTGRADO
APLICACIN DEL MTODO HEURSTICO EN EL RENDIMIENTO
ESCOLAR DEL REA DE MATEMTICA EN LOS ALUMNOS DEL 1 AO
DE EDUCACION SECUNDARIA, DE LA INSTITUCIN PBLICA CSAR
VALLEO! DEL DISTRITO DE CHANCAY " LIMA #$1%
TESIS PARA OPTAR EL GRADO ACADMICO DE MAGSTER EN
EDUCACIN, MENCIN& EDUCACIN MATEMTICA
PRESENTADO POR& SILVA, NARVASTE ADOLFO
LIMA " PER
#$1'
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D()*+-./*
Dedico la presente investigacin a ispadres, por s! apo"o por los valoresostrados para salir adelante, por la
perseverancia " constancia #!e e $anin%!ndado& A is $i'as por s! coprensin,aor " ser la ran de contin!arest!diando&
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AGRADECIMIENTO
A Dios infinitamente por la vida, la salud, y
colocar en mi camino personas maravillosas; a
mi asesora, por su apoyo, comprensin ysugerencias, a la IE Cesar Vallejo de Chancay,como a los estudiantes, por permitir llevar a cabo
la presente investigacin
&
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NDICE
Res!en &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
Introd!ccin&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&*
CAPTULO I& PLANTEAMIENTO DEL ESTUDIO
+&+ !ndaentacin del Pro-lea&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+*
+&. or!lacin del Pro-lea&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+/
+&0 1-'etivos &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+2
+&/ 3!sti%icacin de la Investigacin &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+4
+&!ndaentacin " %or!lacin de las 5iptesis&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.6
+&7Identi%icacin " clasi%icacin de varia-le&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.+
CAPTULO II& MARCO TERICO
.&+ Antecedentes de la Investigacin&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.0
.&. 8ases 9ericas&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.7
.&0 :losario de 9;rinos&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&7+
CAPTULO III& METODOLOGA DE LA INVESTIGACIN
0&+1peracionaliacin de varia-les&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&7/
0&.& 9ipi%icacin de investigacin&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&7*
0&0& Estrategia para la Pr!e-a de 5iptesis&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&740&/Po-lacin " !estra&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&*6
0&Instr!ento de recoleccin de datos &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&*+
0&&+&
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CAPTULO IV& TRABAO DE CAMPO Y PROCESOS DE CONTRASTEDELA HIPTESIS
/&+Presentacin, an=lisis e interpretacin de los datos&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&*2
CONCLUSIONES&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&24
RECOMENDACIONES&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4+
REFERENCIAS&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4.
ANE0OS
1 >>>>>>>>>>>>&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4
# Pr!e-a de coprensin lectora>>>>>>>>>&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4*
% Instr!ento para eval!ar apas concept!ales>>>>>>>>>&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+6
Enc!esta>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+6
' Matri de consistencia>>>>>>>>>>>>>>>>>&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+6*
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RESUMEN
En la presente investigacin se est!di la aplicacin del ;todo $e!r?stico so-re el
rendiiento escolar en el =rea de ate=tica en est!diantes del +er a@o de sec!ndaria
de la Instit!cin P-lica C;sar
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ABSTRACT
ia .6+0 H In t$is researc$ t$e application o% $e!ristics on sc$ool per%orance in t$e
area o% at$eatics in t$e +st "ear st!dents o% secondar" sc$ools in t$e P!-lic
Instit!tion C;sar
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INTRODUCCIN
5a" dos o-'etivos #!e conlleva la tarea en el aprendia'e de las ate=ticas, !no el de
conseg!ir destrea en el c=lc!lo " otro el de pensar (raonar) a la $ora de a-ordar "
resolver pro-leas&
as ate=ticas es !na -!ena esc!ela de pensar& El pensaiento #!e se p!ede
aprender en ate=ticas es ane'ar a-stracciones& as ate=ticas $acen re%erencia a
neros " los neros son !na a-straccin& C!ando trataos de resolver !n pro-lea
pr=ctico, de este pro-lea pr=ctico de-eos $acer priero !n pro-lea a-stracto& as
ate=ticas aplican directaente a las a-stracciones, la idea de-e de nacer en la
ente del est!diante " el pro%esor de-e de $acer el papel de g!?a& Esto es !n principio
!" antig!o " odernaente $a" !n no-re para elloG M;todo de desc!-rir&
a accin =s iportante en aprender es #!e el est!diante, g!iado por el pro%esor,
aprenda por s! propia accin, desc!-riendo por s? iso (;todo $e!r?stico)& Esto
ser= la parte =s iportante de la docencia tal #!e lo #!e t! desc!-res por ti iso
d!rar= =s " e'or&
9odo conociiento $!ano coiena con la int!icin, sig!e de a#!? a las
concepciones, " terina en las ideas, #!e trad!cido en t;rinos sencillos ser?aG
aprender coiena con accin " percepcin, " de a#!? se sig!e a las pala-ras "
conceptos, " de-e de terinar en -!enos $=-itos entales&
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a presente Investigacin $a sido dividida en c!atro cap?t!los " !n Aneo&
En el Cap?t!lo I se epone el Planteaiento del Est!dio #!e incl!"e la or!lacin
del Pro-lea, los 1-'etivos, la 3!sti%icacin, las liitaciones, la or!lacin de
5iptesis " las
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CAPTULO I
PLANTEAMIENTO DEL ESTUDIO
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1212 FUNDAMENTACIN DEL PROBLEMA&
!no de lospro-leas #!e atraviesa act!alente el Per, es la crisis en la ec!acinG
Ense@ana aprendia'e de las ate=ticas& a a"or?a de los pro%esores en el nivel
sec!ndario ense@an la ate=tica de !na %ora r!tinaria, epositiva " tediosaO no
aplican ;todos, t;cnicas ni estrategias de aprendia'e " an sig!en en el odelo
tradicionalista, no se preoc!pan por s! capacitacin e innovacin en s!s %oras de
ense@ar, todo esto reperc!te en el aprendia'e de los al!nos por#!e se o-serva #!e,
!n alto porcenta'e tienen -a'o nivel de aprendia'e en la asignat!ra de ate=ticas&
As? ta-i;n in%ora la UNEFC1 a trav;s del Prograa Internacional de Eval!acin
de Est!diantes (PIFA), los al!nos tienen res!ltados -a'os en lo #!e respecta al
aprendia'e del =rea de ate=tica, $an ostrado !n -a'o nivel de desepe@o en la
resol!cin de pro-leas, coo #!e tienen serias di%ic!ltades para trad!cir " epresar
ate=ticaente las condiciones prop!estas en pro-leas, aplicar estrategias de
sol!cin para o-tener las resp!estas " '!sti%icarla con arg!entos ate=ticos
v=lidos, esto es la %alta del ;ito #!e tienen los est!diantes en el a-orda'e de sol!cin
de pro-leas&
Por tanto esta pro-le=tica $a llevado a dirigir la atencin $acia el proceso de
ense@ana " aprendia'e en ate=tica&
En la act!alidad la ense@ana de la ate=tica, especialente a nivel de ed!cacin
-=sica, es cr?tica, resaltado coo !no de los indicadores del -a'o rendiiento
est!diantil& El !ndo act!al eige !na preparacin ate=tica e%ectiva en diversos
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capos " niveles, por lo tanto no se de-e peritir #!e la ense@ana de esta ciencia se
estan#!e& A %in de iniiar este estancaiento, de-e incorporarse en la investigacin
ed!cativa n!evas etodolog?as, #!e les perita a los al!nos constr!ir s!s propios
cainos de raonaiento " s!s propias estrategias de sol!cin&
El con de los per!anos #!e asisten a la esc!ela no logra ni reotaente los
o-'etivos #!e el Estado se prop!so al crear el sistea ed!cativo& 3venes de + a@os
no coprenden lo poco #!e leen, ni sa-en $acer c=lc!los arit;ticos -=sicos& Por ello
el go-ierno to edidas para re%orar las =reas de ate=ticas " coprensin
lectora&
A pesar de #!e las ate=ticas son la -ase de la ciencia, " por lo tanto de los avances
tecnolgicos, entre los est!diantes del Per el aprendia'e de esta ateria es de%iciente&
Eisten eval!aciones #!e $an deterinado #!e el nivel de conociiento de esta
asignat!ra en los est!diantes es !" -a'o, ran por lo c!al en el .660 el go-ierno
declar en eergencia la ed!cacin nacional&
Fin e-argo, a pesar de las edidas correctivas, an se o-serva #!e los 'venes
!estran !na actit!d negativa %rente a este c!rso& Fe pres!e, no eiste ning!na
investigacin #!e lo certi%i#!e, #!e se de-e a #!e alg!nos pro%esores en la priaria no
logran !na co!nicacin adec!ada con los al!nos&
No o-stante, en !n in%ore realiado para la 1rganiacin de Estados
I-eroaericanos, a%ira #!e gran parte de los %racasos ate=ticos de los est!diantes
se de-e a !na inadec!ada introd!ccin a la ateria por parte de s!s aestros&
El retraso en el aprendia'e de las ate=ticas trae consec!encias negativas para el
Per, "a #!e esta ateria se eplea en el desarrollo de la ciencia, la sociedad del
conociiento nos eige sa-er identi%icar cdigos n!;ricos, es decir, tener !na c!lt!ra
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cient?%ico tecnolgica& Estar en !n nivel !" -a'o de coprensin ate=tica, resta
posi-ilidades al pa?s para alcanar !n a"or desarrollo&
En la l!c$a por e'orar la ense@ana de la ate=tica, !" pocos docentes est=n
coproetidos verdaderaente por in"ectar !n ca-io necesario " s!%iciente en las
distintas instit!ciones ed!cativas en #!e la-oran& o =s parad'ico de esta sit!acin,
es #!e para a#!ellos pro%esionales #!e as!en este iportante reto, no slo se les
ipone !na gran inversin de tiepo " sacri%icio personal, sino ta-i;n llevar a
c!estas las d!ras cr?ticas de s!s colegas o presiones -!rocr=ticas por parte de las
r?gidas norativas inisteriales&
En el rendiiento escolar de la asignat!ra de ate=tica, ta-i;n es destaca-le,
s!ar el gran deterioro #!e $a s!%rido la estr!ct!ra %ailiar, la a"or?a de los
est!diantes se %oran -a'o !na concepcin de ediocridad " con%orisoO
acost!-rados a pretender #!e otros res!elvan s!s pro-leas " no as!ir con
seriedad las responsa-ilidades personales& Este rasgo caracter?stico, se evidencia en las
a!las instit!cionalesO si se le eige al al!no #!e rinda gran parte de s! potencial
individ!al, los reclaos " disg!stos no se $acen esperar, la direccin, los padres de
%ailia " el est!diante, constit!"en !n '!rado !" di%?cil de convencer& a ense@ana
de la ate=tica no de-er?a desvirt!arse ediante adaptaciones al po-recito
est!diante& Este c?rc!lo vicioso, $a tra?do coo consec!encia #!e ella por s!s
condiciones act!ales, no est; contri-!"endo de %ora integral al desarrollo de los
al!nos " por ende del pa?s&
as di%ic!ltades en el aprendia'e, se asocian a pro-le=ticas coo el coportaiento
social inadec!ado el c!al coprende la indisciplina %rec!ente, la desotivacin, el
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a!sentiso escolar " !na -a'a a!toestia de-ido a #!e el est!diante no tiene ;ito
acad;ico epiea a pensar #!e no es capa, o #!e es enos #!e s!s copa@eros&
Ello da coieno a !na serie de acciones #!e lo convierten potencialente en !n
enor con alto riesgo de delinc!encia '!venil, de pandilla'e, de cons!o de drogas "
en general cond!cta re-elde " agresiva #!e se re%le'a en s! =-ito social&
M!c$os ni@os #!e %racasan en el est!dio, soportan los reproc$es, de s!s padres " $asta
el altrato (%?sico "o ver-al) de-ido a #!e los ad!ltos los perci-en no coo ni@os #!e
a%rontan di%ic!ltades en s!s procesos de aprendia'e, sino coo %lo'osB, pereososB,
desc!idadosB, irresponsa-lesB, etc& Ante esto, ellos terinan por creer #!e en verdad
no sirven para el est!dioB, " optan por a-andonar el colegio&
Fe viene o-servando dentro de la Instit!cin Ed!cativa .602 Inca :arcilaso de la
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pro-leas de-e ser o-'eto de est!dio central en las investigaciones relacionadas con la
ense@ana de las ciencias " de las ate=ticas en partic!lar&
Esta tendencia pedaggica conci-e el proceso de ense@anaHaprendia'e coo !n
sistea docente donde, sin enosca-o de las tareas encainadas al desarrollo de
procediientos cognoscitivos, el est!diante es soetido siste=ticaente al
en%rentaiento de tareas #!e lo $acen pensar, eplorar, contrastar, %or!lar $iptesis "
veri%icar los res!ltados&
El tea es de inter;s no solo para los docentes, sino ta-i;n para los padres de %ailia
" la co!nidad&
El prier propsito de esta investigacin es deostrar #!e con la !tiliacin del
;todo $e!r?stico e'orar= el rendiiento escolar de los al!nos " por ende red!cir
el nero de al!nos desapro-ados en esta asignat!ra&
Un seg!ndo propsito es esta-lecer !n ;todo #!e perita a los al!nos de .T grado
adec!arse al ;todo $e!r?stico en el =rea de ate=tica, #!e al %inal se o-servar= los
e%ectos entre los al!nos #!e participan en este pro"ecto de investigacin " los #!e no
participan de ella&
Este est!dio es !na alternativa de sol!cin al pro-lea planteado " es de gran
iportancia por#!e -!sca encontrar !n ;todo adec!ado #!e perita e'orar la
ense@ana " aprendia'e la Mate=tica, as? iso pone ;n%asis en los procesos del
pensaiento " en los procesos de aprendia'e&
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a pertinencia del presente tra-a'o es #!e se -!sca repensar la anera coo se tra-a'a
la ate=tica dentro de las a!las, por#!e generalente, esta disciplina es ense@ada
descontet!aliada de las otras =reas c!rric!lares " sin ning!na relacin con otros
=-itos de la vida real del al!no, por lo c!al, en la pr=ctica r!tinaria se en%atia la
resol!cin de pro-leas en %ora ec=nica " repetitiva sin %avorecer la prod!ccin
del conociiento& El proceso de ense@anaHaprendia'e de la ate=tica #!eda
red!cido a la era aplicacin de %r!las sin sentido para el est!diante&
F./345+*67 )(5 P/.85(3
!ego de la %!ndaentacin descrita, se %or!lan los sig!ientes pro-leasG
1212#2 P/.85(3 G(7(/5
QEn #!; edida la aplicacin del ;todo $e!r?stico in%l!"e en el rendiiento
escolar del =rea de ate=tica en los al!nos del + a@o de ed!cacin
sec!ndaria, de la Instit!cin P-lica C;sar
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QEn #!; edida el ;todo $e!r?stico in%l!"e en los %actores de car=cter
pedaggicoHdid=ctico en el rendiiento escolar de ate=tica detectado en
los al!nos del + a@o de ed!cacin sec!ndaria, de la Instit!cin P-lica
C;sar .9 E9:(+;
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Analiar en #!; edida el ;todo $e!r?stico in%l!"e en los %actores de
car=cter pedaggicoHdid=ctico en el rendiiento escolar de ate=tica
detectado en los al!nos del + a@o de ed!cacin sec!ndaria, de la Instit!cin
P-lica C;sar
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Preoc!pados por el -a'o rendiiento acad;ico -!scaos deostrar #!e el
!so del ;todo $e!r?stico en la ense@ana H aprendia'e de la ate=tica
p!ede red!cir el porcenta'e de al!nos desapro-ados en la asignat!ra de
ate=tica "a #!e eleva s! rendiiento escolar&
Fi no aplicaos prograas innovadores para e'orar la ense@ana de la
ate=tica seg!ireos teniendo al!nos con di%ic!ltades en el raonaiento
lgico lo c!al a%ectar= a las %!t!ras generaciones de est!diantes& a cr?tica #!e
siepre se $ace a la ed!cacin sec!ndaria es #!e los al!nos tienen !n
conociiento eor?stico, escaso desarrollo del raonaiento a-stracto, no
entienden lo #!e leen, no poseen $=-itos " t;cnicas adec!ados para realiar !n
est!dio siste=tico, siendo el desarrollo del raonaiento anal?tico lo
%!ndaental para el aprendia'e de la ate=tica&
Una de las etas #!e persig!e este tra-a'o es lograr #!e el al!no ad#!iera o
re%!erce ciertas $a-ilidades cognoscitivas #!e le peritan resolver !n
pro-lea, "a sea ate=tico o cotidiano " #!e posteriorente, p!edan
trans%erir el !so de estas $erraientas a s!s est!dios s!periores o a s! capo
pro%esional& Fin e-argo, para #!e el aprendia'e escolar c!pla la %!ncin de
ser !tiliado en c!al#!ier conteto, es necesario #!e el individ!o no slo
ad#!iera !n conociiento deterinado, sino la posi-ilidad de reconstr!irlo en
sit!aciones diversas&
D!rante la eperiencia ac!!lada coo docentes en ate=ticas se $a
o-servado #!e los al!nos no tienen !na estrategia e%ica para resolver
e'ercicios " sol!cionar pro-leasG no separan la incgnita de lo dado " al
%inaliar, si $an logrado aplicar los procesos algor?ticos, !c$as veces no
sa-en responder a la preg!nta del pro-lea& Esto se de-e =s -ien a #!e a #!e
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sa-en $acer cosas pero no entienden lo #!e $acen& Dada esta sit!acin, es
indispensa-le eplicitar !na estrategia e%ica " generalia-le a gran variedad de
pro-leas, para #!e el al!no toe en principio coo odelo al pro%esor "
posteriorente sea capa de aplicar la estrategia ense@ada&
a presente investigacin invol!crar= a toda la co!nidad ed!cativa para
poder e'orar la calidad de ed!cacin #!e se -rinda en dic$a instit!cin&
A trav;s de esta investigacin se lograr= -ene%iciar a los al!nos #!e
participan en la !estra " ta-i;n a los docentes, sa-iendo #!e el ;todo
prop!esto p!ede a"!dar a e'orar s!s estrategias de ense@ana en el desarrollo
del =rea de ate=tica& A!n#!e !c$os docentes dicen conocer el ;todo
$e!r?stico, en visitas a clases realiadas a pro%esores de sec!ndaria, se $a
detectado #!e no se ponen en pr=ctica estas indicaciones& os pro%esores
entrevistados, ani%iestan #!e a!n#!e conocen los procediientos $e!r?sticos
" la iportancia de s! epleo en el proceso de ense@ana H aprendia'e de la
Mate=tica, estos no son aplicados en s!s clases por#!e no sa-en co
$acerlo o por#!e %alta tiepo para instr!entarlos, lo c!al indica #!e no se $an
$a-it!ado a !tiliar estos procediientos %!ndaentales para desarrollar el
raonaiento lgico de los al!nos&
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a presente investigacin pretende aportar !n ;todo innovador del sistea
ed!cativo en el =rea de la ate=tica #!e est= planteado dentro de los
lineaientos de la pol?tica ed!cativa, #!e a"!dar= a e'orar el raonaiento
lgico en n!estros est!diantes #!e ser=n o-'eto de la !estra& o #!e en el
%ondo se persig!e con ella es transitir en lo posi-le de !na anera siste=tica
los procesos de pensaiento e%icaces en la resol!cin de verdaderos
pro-leas&
122 FUNDAMENTACIN Y FORMULACIN DE LAS HIPTESIS&
1221 HIPTESIS GENERAL
a aplicacin del ;todo $e!r?stico in%l!"e en el rendiiento escolar del =rea de
ate=tica en los al!nos del + a@o de ed!cacin sec!ndaria, de la Instit!cin
P-lica C;sar
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as di%erencias signi%icativas in%l!"en en el rendiiento escolar, entre los
al!nos, antes " desp!;s de la aplicacin del ;todo $e!r?stico en los al!nos
del + a@o de ed!cacin sec!ndaria, de la Instit!cin P-lica C;sar
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CAPTULO II
MARCO TERICO
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.&+ A7-(+()(7-(9
Eisten pocos tra-a'os de investigacin #!e $a"an aplicado el ;todo $e!r?stico
en la ense@ana de la ate=tica en el nivel sec!ndario&
Matias, P& (+4/), El ;todo $e!r?stico en la ense@ana de la ate=ticaB& 9esis,
ac!ltad de Ed!cacin de la UNMFM, ia, a%ira #!e de los ;todos de
ense@ana de la ate=tica, el ;todo $e!r?stico es el #!e rene a"ores
condiciones venta'osas& Esto por#!e considera al al!no coo !n eleento
activo #!e de-e intervenir en la ela-oracin de s!s conociientos& Ade=s #!e se
adapta a las noras esta-lecidas en los planes " prograas de est!dios " por#!e
en s!a se adaptan a la nat!ralea del al!no& Coo consec!encia de lo anterior
es !na necesidad la ense@ana de la ate=tica por este ;todo, por#!e c!ple
con el principioG la e'or ed!cacin es la #!e !no iso se proporciona& #!e
de-e generaliarse el epleo de este ;todo, en la ense@ana de la ate=tica en
todos los colegios de la rep-lica, "a #!e las venta'as #!e presenta son
inn!era-les " por#!e no re#!iere es%!eros iposi-les&
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Rivera R& (+4*+)& El ;todo $e!r?stico en la Ense@ana de la Mate=tica " s!
aplicacin en la ense@ana sec!ndariaB, Monogra%?a, ac!ltad de Ed!cacin de la
UNMFM, ia, plantea #!e la ate=tica necesita !na evol!cin #!e se adapte a
las necesidades del !ndo oderno " a las posi-ilidades intelect!ales "
reacciones a%ectivas del !ndo& a ense@ana de la ate=tica se $a de
desenvolver en !n clia de clase activa, de clase taller " no de clase pasiva, de
clase con%erencia& Ade=s #!e entre los ;todos de ense@ana de la ate=tica,
el ;todo $e!r?stico es el #!e rene las e'ores condiciones venta'osas, dado #!e
el al!no se convierte en participante activo en la ense@ana " aprendia'e,
perite darse c!enta del progreso de los al!nos ediante la practica peranente
de preg!ntas " resp!estas, los conociientos ad#!iridos por este ;todo son !na
con#!ista personal, entonces son di%?ciles de olvidar " en consec!encia le ser=n
provec$osas, " p!ede considerarse coo !n edio para olvidarse del desarrollo
de clases& Por estas consideraciones el ;todo $e!r?stico de-e ser aplicado en
todos los colegios sec!ndarios&
:on=les A& (+4*+) El ;todo $e!r?stico en la ense@ana de la 9eor?a de
Con'!ntosB, 9esis, ac!ltad de Ed!cacin de la UNMFM, ia, concl!"e #!e el
;todo $e!r?stico en la ense@ana de la teor?a de con'!ntos en la ed!cacin
sec!ndaria de-e llevarse a ca-o ediante eperientaciones siste=ticas a %in de
poder renovar s!s estr!ct!ras en el plao =s -reve posi-le, " #!e est=
deostrado #!e el ;todo $e!r?stico en la ense@ana de la ate=tica es la -ase
priordial para #!e los al!nos capten e'or los principios de esta ciencia "
sirva este ;todo para #!e la ense@ana en n!estro pa?s salga del -a'o nivel en el
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#!e se enc!entra& Ade=s se@ala #!e la ense@ana de la ate=tica ediante el
;todo $e!r?stico en la ed!cacin sec!ndaria tiene la %acilidad de deostrar al
est!diante la verdad coo parte de s! la-or de investigacin " la posicin #!e
tiene coo ciencia disciplinada de la inteligencia por#!e ense@a a pensar con
orden, precisin " claridad&
1rti, M& (+4*) Paralelo entre el ;todo de la Instr!ccin prograada " el
;todo $e!r?stico en la ate=ticaB, 9esis para optar el grado de 8ac$iller,
ac!ltad de Ed!cacin de la UNMFM, ia, plantea #!e la la-or del pro%esor es
tan pro-le=tica en el ;todo $e!r?stico, en el ;todo $e!r?stico la plani%icacin
res!lta =s siple, en tanto #!e la aplicacin propiaente dic$a enc!entra serios
o-st=c!los, principalente en la cond!cta del al!no " #!e los res!ltados
o-tenidos en s! pr!e-a de logros, ser?a =s aconse'a-le " positivo a la ve, #!e
para tener !na e'or actit!d valorativa, se de-e eval!ar en el ;todo $e!r?stico en
%ora oral p!es en esa %ora se o-tiene !na e'or concordancia con las
caracter?sticas de dic$o ;todo&
P;re, & (+42*) E%ectividad del ;todo $e!r?stico en la ense@ana de la
ate=tica en los al!no del 7to& :rado de priaria del C&E& 0.4+7 9ingo
Mar?aB& 9ra-a'o de investigacin, Universidad 5erilio
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Pi@a, I& " Rodr?g!e, I& (.66/)& Resol!cin de Pro-leas Mate=ticos: Una
estrategia para el desarrollo del pensaiento divergente en al!nos del F;ptio
:rado de Ed!cacin 8=sicaB, $acen ;n%asis a este tipo de pro-le=tica en la
ense@ana de la ate=tica " a%iran en s! investigacin #!e el sistea
tradicional de ense@ana " el aprendia'e de la ate=tica le coacta la li-ertad al
al!no de desarrollar s! pensaiento de !na %ora no lineal ", es por ello, #!e
proponen en s! investigacin -!scar, a trav;s de la resol!cin de pro-leas, #!e
el est!diante desarrolle s! creatividad ate=tica al =io& Una $a-ilidad
esencial para entender " eplicar la realidad ediante la coprensin de
estr!ct!ras, s?-olos " la anip!lacin de o-'etos ideales #!e periten constr!ir
diversas si!laciones, representaciones " operaciones entales en isoor%iso
con la nat!ralea de los %enenos o-servados& os investigadores s!gieren #!e
de esta %ora se p!ede desarraigar las creencias in$i-idoras del pensaiento
a-ierto de los al!nos " li-erar los di%erentes -lo#!eos presentes al oento de
resolver pro-leas&
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aprendizaje& Para ellos la resol!cin de pro-leas es !n proceso #!e de-e
penetrar todo el dise@o c!rric!lar " proveer el conteto en el c!al los conceptos "
las actit!des p!eden ser aprendidos desde ltiples perspectivas& Ade=s, por
edio de esta estrategia el docente de ate=tica p!ede colocar al est!diante
%rente a !na sit!acin cople'a, no estr!ct!rada, con%!sa, en la #!e ;l iso de-e
sentirse interesado " coproetido a resolver sin cainos prescritos& Para ello, es
necesario #!e identi%i#!e las coponentes " analice cr?ticaente el pro-lea
antes de llegar al esta-leciiento de las sol!ciones posi-les " a la creacin "
ensa"o de la sol!cin personal&
Rodr?g!e I& (.66) L R(9.54+*67 )( P/.85(39 @ (5 P(793*(7-.
M-(3-*+. D*>(/?(7-(! Plantea soeraente co la ed!cacin ate=tica
$a ganado espacios " co la co!nidad investigadora tiende a en%ocar aspectos
p!nt!ales de la ense@ana de la ate=tica, con res!ltados coincidentes, respecto
a la potencialidad $!ana de desarrollar alg!nas capacidades especi%icas de
raonaiento #!e antes se cre?an propias de seres dotados gen;ticaente con
cere-ros ate=ticos& Esta investigacin tiene coo propsito eplorar alg!nos
avances de la investigacin en ed!cacin ate=tica respecto al desarrollo del
pensaiento ate=tico divergente coo prod!cto de la ipleentacin de
t;cnicas $e!r?sticas " alternativas did=cticas en la %oracin de ci!dadanos con
sentido ate=tico nat!ral " cotidiano&
Rodr?g!e C& (.667), 8as=ndose en la teor?a de la %oracin " desarrollo de
$a-ilidades etacognitivas, para el proceso de asiilacin, se propone !n
con'!nto de indicaciones etodolgicas atendiendo a los tres niveles de
desepe@o cognitivos, #!e constit!"en !na g!?a para el pro%esor, en la
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ela-oracin de !n gr!po de pro-leas para la organiacin " desarrollo de la
etacognicin de los est!diantes, #!e propician #!e el al!no aprenda a
aprender& A partir de de%iciencias en el desarrollo de la etacognicin del
ed!cando " en el planteaiento " resol!cin de pro-leas en las distintas
asignat!ras -!scando #!e el al!no sepa $acer, #!e $acer " co $acer
#2#2 BASES TEORICAS&
#2#212 EL MTODO HEURSTICO2 ETIMOLOGA Y DEFINICIN
ETIMOLOGA2 a pala-ra o t;rino $e!r?stico proviene del griego E!ricioB
#!e #!iere decir o enc!entroB& (M!rga, +426)&
Etiolgicaente al ;todo $e!r?stico se le conoci coo la $e!r?stica #!e
#!iere decir conociiento seg!roB, era el no-re #!e se le da-a a !na ciencia
al de%inida #!e se relaciona-a con la lgica, la %iloso%?a " la sociolog?a, c!"oo-'etivo era el est!dio de las le"es " los ;todos de invencin " del
desc!-riiento&
DEFINICIN2 Es !n ;todo de ense@ana activo, en el c!al el docente a trav;s
del di=logo " ediante interrogaciones otiva, incentiva, g!?a al est!diante a
coprender, a encontrar raones antes de %i'ar los conociientos& Es est!diante
de-e tener oport!nidad de desc!-rir '!sti%icaciones o %!ndaentos " de-e
investigar para ello, e'ercitando en esta %ora s!s %ac!ltades entales,
alientando s!s iniciativas personales " desenvolviendo s! esp?rit! de
investigacin& (
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El ;todo $e!r?stico presenta, entre otras, las sig!ientes caracter?sticasG
ES UNA CONVERSACIN INSTRUCTIVA2 El ;todo $e!r?stico es !n
instr!ento #!e sostiene la atencin del al!nos " ed!ca s! vol!ntad, o-tiene de
s!s %ac!ltades cognitivas el a"or rendiiento posi-le, le proporciona el placer
ine%a-le de #!e ;l desc!-ra la verdad, le in%!nde c!riosidad del sa-er " con%iana
en s! capacidad " le convence de #!e es posi-le instr!irse a s? iso&
SE BASA EN UN DILOGO2 En el ;todo $e!r?stico, el di=logo es !tiliado a
gran escala, p!es se toa en consideracin #!e dic$o di=logo no es =s #!e !na
participacin del di=logo !niversal, #!e !ne a los seres entre s?, " #!e $ace #!e
toda pala-ra del $o-re dic$a a s? isa es ta-i;n co!nicativa&
El di=logo coo conectivo !niversal del ser, est= en la %ora de interrogar " en la
%ora de responder& a leccin dialogada es siepre %r!ct?%era " por eso en el
;todo $e!r?stico se eige =s repeticin, de donde se resalta #!e es =s corto
por#!e s! e%icacia copensa la d!racin del e'ercicio&
SU ESENCIA ES LA INTERROGACIN2 En el ;todo $e!r?stico todo
conociiento #!e se desea #!e los al!nos desc!-ran tiene #!e dividirse en !na
serie de interrogantes, las c!ales generalente son ep!estas por el pro%esor&
as interrogaciones por parte del docente de-en epear por llaar la atencin de
los al!nos respecto al as!nto de la leccin, -as=ndose en los conociientos #!e
ellos tienen& El docente les epone !n con'!nto de sit!aciones $=-ilente
co-inadas, intentando con ella, $acerles desc!-rir o encontrar por s? isos la
verdad o el conociiento deseado&
Para #!e este aspecto se c!pla a ca-alidad se de-e considerar lo sig!ienteG
as preg!ntas de-en ser variadas " al alcance de los al!nos&
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a interrogacin de-e ser clara, sencilla " en lo posi-le -reve& as interrogantes de-en epresarse etdicaente, acorde a !n plan
" grad!alente dosi%icadas, de odo #!e las =s %=ciles precedan a
las di%?ciles " estas a s! ve preparen la sol!cin del tea en est!dio& El nero de interrogantes de-e estar en concordancia con el tea "
los o-'etivos del aprendia'e del tea&
ES UN MTODO ACTIVO2 En el ;todo $e!r?stico no se consideran las
lecciones dog=ticas o epositivas, p!es se eige #!e el est!diante $aga !n
es%!ero personal, -!scando #!e enc!entre por s? iso #!e se le #!iere ense@ar&
En res!en, es !n ;todo activo #!e re#!iere o-ligatoriaente la participacin
con'!nta del pro%esor " del al!no, en el #!e el al!no aprende contri-!"endo ;l
iso en las resp!estas, desc!-riendo por s! propio parecer los conociientos&
Ade=s no slo el al!no realia esta actividad, sino #!e el docente se ve en la
o-ligacin " necesidad de interesarse =s en s! c!rso o ateria #!e tiene a s!
cargo&
LAS REGLAS HEURISTICAS
8allester, F& (+44.)& Fostiene #!e las reglas tienen !n car=cter =s espec?%ico "
epresan las acciones " operaciones a realiar en la -s#!eda de los edios " de
las v?as para resolver !n pro-lea&
Eiste !na aplia gaa de estas reglasO !nas =s generales, otras =s espec?%icasG
Deterinar a partir de c!ales eleentos conocidos o datos del e'ercicio
ellos p!eden ser o-tenidos Deterinar #!e se necesita reiterar el proceso para o-tener n!evos
res!ltados parciales a trav;s de los c!ales se p!ede entonces o-tener la
conein necesaria con los datos&
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Encontrar !na contradiccin con los datos o con algn conociiento verdadero dentro de la teor?a de #!e se trateO en este caso el e'ercicio no
tiene sol!cin& En esta estrategia los datos sirven para onitorear el
tra-a'o de re%lein e in%erencia a partir de lo -!scado&
LA BASE ESCOLAR
a ense@ana de !n prograa de Mate=tica es copara-le a !na cadenaG -astar=
#!e %alle !n esla-n para #!e pierda s! e%icacia& El aprendia'e re#!iere ser, desde
el inicio, etdico " copleto para garantiar s! e%icacia&
En el Nivel Priario se dan los prieros pasos& El aestro tiene !na %oracin
generalista por lo #!e no de-e esperarse #!e sea !n conocedor eperto de cada
asignat!ra o tea #!e ense@aO sin e-argo, s! -ase de conociientos eleentales
de Mate=tica de-e ser lo s!%icienteente %ire para poder c!plir con s!
coetido a satis%accin& Provenientes a"oritariaente de !na orientacin de
-ase $!an?stica, #!e es donde tradicionalente la Mate=tica se trata con
enor alcance " eigencia, los %!t!ros aestros ingresan al Magisterio sin
ane'ar con la propiedad re#!erida alg!nos %!ndaentos ate=ticos& Esto
origina #!e !c$os aestros arrastren iportantes errores concept!ales #!e l!ego
trasladan a s!s al!nos&(Ci-ils &, .66*)as di%ic!ltades en el aprendia'e de la
Mate=tica en Ur!g!a"BO Monogra%?a& Peridica Nacin, a@o I, N / , Ur!g!a"&
EL APRENDIAE DE LA MATEMTICA EN EL NIVEL SECUNDARIO2
a di%ic!ltad de los adolescentes para aprender Mate=tica en la ense@ana
sec!ndaria constit!"e !n pro-lea de larga data " !" generaliado en el !ndo
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entero, por ello la iportancia gravitante #!e tiene !n adec!ado aprendia'e de la
Mate=tica en el %!t!ro de todo est!diante&
Es !" %rec!ente esc!c$ar la preg!nta para qu sirve aprender tantos nmeros
!rmulas"a Mate=tica es !na parte esencial del aprendia'e #!e ap!nta a dotar
a ni@os " adolescentes de ciertas capacidades -=sicas de etraordinaria
iportancia para s! e'or desepe@o coo %!t!ros ad!ltos& Ade=s de la
inensa !tilidad pr=ctica de s! conociiento, la Mate=tica es de ins!stit!i-le
a"!da en la ad#!isicin de condiciones intelect!ales espec?%icas, coo son el
raonaiento lgico " ordenado, la a-straccin, la ded!ccin " la ind!ccin, todas
ellas iprescindi-les para encarar con ;ito las eigencias #!e la sociedad $a-r=
de presentar en el %!t!ro del adolescente&
El tea de la ense@ana " aprendia'e de la ate=tica en el nivel sec!ndario $a
co-rado !c$a iportancia en el pa?s por ser esta !na disciplina #!e se !tilia en
los c!rsos de ciencias " por otro lado el est!diante se ve %r!strado " desotivado
para proseg!ir s!s est!dios sec!ndarios& (Ci-ils & .66*) as di%ic!ltades en el
aprendia'e de la Mate=tica en Ur!g!a"BO Monogra%?a& Peridica Nacin, a@o I,
N /& os ca-ios r=pidos e incesantes del !ndo de $o" $acen #!e ta-i;n
ca-ien a s! cop=s los conociientos de ate=tica, estos ca-ios consideran
por !n lado a ense@ar !c$o en poco tiepo ", por otro lado, #!e lo #!e se ense@e
var?e contin!aente& 5a" #!e revisar peranenteente los contenidos " las
etodolog?as para antenerse al d?a& a no sirven los c!rr?c!los peranentes
d!rante !c$os a@os& Es decir #!e se de-e estar preparado para s!stit!ir en los
prograas de est!dio !c$os tpicos o-soletos por otros n!evos, ello o-liga a
tener pro%esores disp!estos a los ca-ios& (Capos A&, 1rti A& +44+) Capos A&,
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1rti A& (+44+) Feinario de la Ense@ana de la Mate=tica F!periorB&
Universidad de ia&
En el in%ore a la UNEFC1 de la Coisin Internacional so-re la ed!cacin
para el siglo WWI, presidida por 3ac#!es Delors, se se@ala #!e la ed!cacin es
!na v?a al servicio del desarrollo $!ano =s aronioso, =s gen!ino, para
$acer retroceder la po-rea, la ecl!sin, las incoprensiones, las opresiones, las
g!erras, etc&B " > tiene la isin de peritir a todos sin ecepcin $acer
%r!cti%icar todos s!s talentos " todas s!s capacidades de creacin Delors, 3&
(+447)& a Ed!cacin encierra !n tesoroB In%ore a la UNEFC1 de la Coisin
Internacional so-re ed!cacin para el Figlo WWI, Madrid H Espa@a&
Planteaientos #!e est=n !" relacionados con la la-or del docente sec!ndario de
ate=tica& As? iso es iportante tener en c!enta los c!atro pilares de la
ed!cacinG Aprender a conocer, aprender a $acer, aprender a ser " aprender a
vivir '!ntosB (Delors, 3& (+447) , lo c!al nos lleva a pensar #!e la la-or ed!cativa
en ate=tica se vinc!la =s en los tres prieros pilares " especialente en el
priero, "a #!e en ;l se considera esencial el aprender a aprender " la ate=tica
-rinda ecelentes oport!nidades para desarrollar esto, so-re todo si de la clase
tradicional para trasitir conociientos se pasa a !na ense@ana en la #!e se de
prioridad a la constr!ccin de conociientos, propiciando la participacin activa
de los al!nos, %oentando el tra-a'o en gr!po, las relaciones interpersonales e
intergr!pales, considerando " respetando los conociientos " eperiencias
previasO generando en el ed!cando con%iana En s! Capacidad de aprender " de
$acer prop!estas, eliinando el a!toritariso " el verticaliso, esti!lando la
creatividad, el placer de aprender, de resolver pro-leas " de encontrar resp!estas
a la c!riosidad intelect!al del ed!cando&
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En la ense@ana " aprendia'e de la ate=tica se de-e esti!lar el esp?rit!
creativo " cr?tico del est!diante con la presentacin de adec!adas otivaciones,
orientando inteligenteente los conceptos ate=ticos a s! interrelacin con la
realidad " las de=s ciencias del sa-er $!anoO es decir propender a la %oracin
de est!diantes con criterio de an=lisis, #!e propone, #!e se e#!ivo#!e #!e
relacione conceptos, #!e int!"a, #!e invente e'eplos " contrae'eplos&
MODELO DE UNA CLASE HEURSTICA
Una clase !tiliando el ;todo $e!r?stico Es !n centro de actividad del docente "
est!dianteB, este es !no de los ;todos #!e perite en las clase a"or actividad
de parte del al!no, contrariaente al ;todo epositivoO pero este p!ede
convertirse en !n ;todo activo c!ando la $a-ilidad del pro%esor sa-e despertar el
inter;s de los al!nos por el tea #!e se trata, !no de los aspectos =s
iportantes del ;todo $e!r?stico es la cond!ccin de los interrogatorios&
Dionisio, M (. 66)
a clase $e!r?stica re#!iere la presentacin de la ateria en %ora especial, tiene
coo %inalidad poner a los al!nos en contacto con el tea lo c!al de-e $acerse
en %ora clara " s!gestiva para despertar el inter;s de ellos as? coo ta-i;n
proporcionarles eleentos necesarios para #!e p!edan encontrar sol!cin por s!s
propios edios, se %or!lan !na serie de preg!ntas de tal anera #!e s!s
resp!estas cond!can a los res!ltados deseados& Pero siepre -a'o la direccin del
pro%esor&
as preg!ntas de-en $acerse en leng!a'e apropiado, estar ligadas !nas con las
otras, de tal anera #!e se proc!re #!e el al!no piense por s? iso&
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a estr!ct!racin de preg!ntas " orientaciones en cada pro-lea o cada tarea
para el desarrollo de las $a-ilidades& as preg!ntas " orientaciones en la sol!cin
de cada pro-leas entre otras de-en ir encainadas al coproetiiento,
conciencia, onitoreo " eval!acin, iplica a"!dar al al!no #!e tenga
conociiento " control de s? iso " del proceso en s?&
A partir del odelo general de erner 3!ngK, se propone realiar los sig!ientes
ip!lsos en cada %ase del pro-lea&
O/*(7-+*67 +* (5 :/.85(3&
QCon #!; raa de la ate=tica est= relacionado el pro-leaS
QX!; conceptos ate=ticos aparecen en el pro-leaS
QCo se de%inen estos conceptosS
T/8=. (7 (5 :/.85(32
QConoces teoreas o de%iniciones ate=ticas relacionadas con el pro-leaS
De ellas QC!=les podr?an cond!cir a la sol!cin del isoS
QEstaos en condiciones de resolver el pro-leaS
QX!; e lo ipideS
QConoces las relaciones entre las agnit!des dadas " -!scadasS
QFer= necesario introd!cir agnit!des a!iliaresS
QFa-es introd!cirlasS
QFe podr=n calc!lar estas agnit!desS
QX!; e lo ipideS
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S.54+*67 )(5 :/.85(3&
QC!=l p!ede ser aproiadaente el res!ltadoS
QNecesitas realiar conversin de !nidades de edidasS
QFa-es realiarlaS
QP!edes realiar los c=lc!los en el orden esta-lecidoS
QX!; di%ic!ltades presentasS
E>54+*67 )( 5 9.54+*67 @ )( 5 >;2
Q9iene lgica el res!ltado o-tenidoS
Qos valores o-tenidos son la sol!cin del pro-leaS
QX!; de-eos $acer para estar seg!rosS
Qa sol!cin es nicaS
QCo procedios para $allar la sol!cin del pro-leaS
QEs aplica-le esta v?a a la sol!cin de otro pro-leaS
QFe p!ede resolver por otra v?aS
QC!=lS
QX!; di%ic!ltades tienes para elloS
Estas preg!ntas a"!dan al pro%esor a orientar al est!diante en reconocer,
identi%icar, esta-lecer relaciones concept!ales, $acer re%leiones " contet!aliar&
MARCO HISTRICO
En la aplicacin " desarrollo del ;todo $e!r?stico a trav;s de la $istoria se
p!eden encionar a los sig!ientes ate=ticosG
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PAPPUS2 C;le-re ate=tico griego, vivi posi-leente $acia el a@o 066 A&C&
en s! li-ro 9esoros de An=lisisB o Arte de resolver pro-leasB o 5e!r?sticaB
dice lo sig!ienteG a $e!r?stica para llaarla por s! no-re es !n res!en, !na
doctrina especial, para el !so de a#!ellos #!e tras $a-er est!diado los eleentos
ordinarios, desean dedicarse a la sol!cin de pro-leas ate=ticosO no es
!tilia-le para otros casosB
REN DESCARTES2 (+47H+76) ilso%o " gran ate=tico se propone
encontrar !n ;todo !niversal para la sol!cin de pro-leas, pero de'
inconcl!sas s!s Reglas para la direccin de la enteB, los an!scritos de'ados
por ;l " #!e %!eron editados desp!;s de s! !erte contienen %ragentos de co
resolver pro-leas&
ILHELM GOTTFRIED LEIBNI (+7/7 +*+7) %!e c;le-re %ilso%o "
ate=tico plane escri-ir !na o-ra #!e tendr?a coo t?t!lo Arte de la
invencinB, pero n!nca lo llev a ca-o, en ca-io escri-i No $a" nada =s
iportante #!e el considerar las %!entes de la invencin #!e son a i criterio =s
interesantes #!e las invencionesB&
BERNARDO BOLANO EITRAS (+*2+ +2/2) %!e legista " ate=tico,
en s! o-ra lgica issense$a%tsle-reB, dedic gran parte de ella a la $e!r?stica "
respecto a esto dice no pretendo en lo a-sol!to a#!? ningn procediiento de
investigacin #!e no sea conocido desde $ace tiepo de los $o-res de talento,
no creo #!e enc!entre a#!? nada copletaente n!evo en la ateria, pero vo" a
esperare en asentar en t;rinos claros, las reglas " los cainos de la
investigacin seg!ido por todo $o-re capa, a!n#!e en la a"or?a de los casos
los seg!? sin tener plena conciencia de ello& Fi -ien ignoro si $e tenido o no ;ito
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en la epresa, g!ardo al enos la il!sin #!e i odesta contri-!cin sea del
g!sto de alg!ien " tenga aplicaciones =s tardeB
P.5@plantea #!e la $e!r?stica oderna trata de coprender el ;todo #!e
cond!ce a la sol!cin de pro-leas, en partic!lar, las operaciones mentales
t#picamente tilesen este proceso& (+44., +6.)&
Una estrategia $e!r?stica es !na t;cnica destinada a coprender e'or !n
pro-lea " si eres a%ort!nadoH resolverlo& (Fc$oen%eld, +42, +62
a resol!cin de pro-leas se re%iere a los procesos de cond!cta " pensaiento
dirigidos $acia la e'ec!cin de deterinadas tareas intelect!alente eigentes&
Carretero M& " :arc?a 3& (+42/, +2) a%iran #!e la a"or parte de los psiclogos
consideran #!e !n pro-lea eiste c!ando $a" algn o-st=c!lo entre !na
sit!acin dada " !na sit!acin eta& a eistencia de ese o-st=c!lo o-liga al
s!'eto a considerar los posi-les cainos #!e le p!eden cond!cir a la sit!acin
eta2 Es all? en donde '!ega !n papel iportante el $e!r?stico&
Delors, 3& (+447)& a Ed!cacin encierra !n tesoroB& In%ore a la UNEFC1 de la
Coisin Internacional so-re Ed!cacin para el siglo WWI, Madrid Espa@a&
En el in%ore en encin se se@alaG En !na sociedad, la ense@ana s!perior es a
la ve !no de los otores del desarrollo econico " !no de los polos de la
ec!acin a lo largo de la vida& Es, a !n tiepo, depositaria " creadora de
conociientos& Ade=s, es el principal instr!ento de transisin de la
eperiencia, c!lt!ral " cient?%ica, ac!!lada por la $!anidadB, (p& 24)&
De lo ep!esto se p!ede ded!cir la gran iportancia de la ense@ana en el nivel
sec!ndario " !niversitario de todas las asignat!ras en general " en partic!lar el de
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las ate=ticas "a #!e en la act!alidad se le considera coo el leng!a'e de todas
las ciencias&
a pro-le=tica de la ense@ana " el rendiiento acad;ico de la ate=tica en
el nivel sec!ndario, est= dentro de la pro-le=tica ed!cativa del pa?s " del !ndoO
por esta ran, es #!e se p!ede se@alar categricaente, #!e es !n pro-lea
-astante cople'o de car=cter estr!ct!ral " #!e est= relacionado o es consec!encia
directa de los pro-leas #!e atraviesan los de=s sectores de la sociedad, tanto
econicos, sociales " pol?ticos&
a capacidad $e!r?stica es !n rasgo caracter?stico de los $!anos, es el arte, " la
ciencia del desc!-riiento para resolver !n pro-lea, ediante la creatividad "
el pensaiento lateral, divergente&
4J (9 47 :/.85(3K
Es la -s#!eda consciente, con alg!na accin apropiada para lograr !na eta
claraente conce-ida, pero no inediata de alcanar (:& Pol"a +47.)&
Es !na preg!nta a la #!e es iposi-le dar !na resp!esta inediata& Deterina
toda la actividad posterior al s!'eto, d=ndole !na car=cter selectivo& (3!lia +42+)&
9area di%?cil para resolver& Fit!acin en la #!e se intenta alcanar !n o-'etivo, "se $ace necesario encontrar !n edio para conseg!irlo (C$i M :laser R, +427)&
APLICACIN DEL MTODO HEURSTICO&
Fe trata de considerar lo =s iportante&
+&H X!e el al!no anip!le los o-'etivos ate=ticos.&H X!e active s! propia capacidad&
0&H X!e e'erce s! creatividad&
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/&H X!e re%leione so-re s! propio proceso de pensaiento a %in de
e'orarlo conscienteente&&H X!e, a ser posi-le $aga trans%erencia de la actividad a otro
proceso ental&7&H X!e tenga con%iana en el iso&*&H X!e sea !na diversin ental2&H X!e sea !na preparacin para resolver otros pro-leas de la
ciencia " coad"!ven a resolver pro-leas de s! vida cotidiana&
4&H X!e sea !na preparacin para los n!evos retos de la ciencia "
tecnolog?a&
QX!; venta'as tieneS QPor #!; es%orarse en este o-'etivoSa) o e'or es o%recerle esta capacidad para resolver s!s propios
pro-leas de la vida&-) De-ido a la capacidad de evol!cin del !ndo&c) El tra-a'o de-e ser siepre atractivos, divertido, satis%actorio,
a!torrealiador " creativo&d) os $=-itos desarrollados& Poseen !n valor !niversal, no solo al
!ndo de la ateria&e) Es aplica-le a todas las edades&
Fiepre sea ense@ado ate=tica, pero el res!ltado es de-ido
a la %ora tradicional del tra-a'o docenteO #!e podeos res!ir
en las %ases sig!ientes&
Eposicin de contenidos&
E'eplos&YE'ercicios sencillosYE'ercicios =s coplicadosYQPro-leasS
C!ando lo =s adec!ado es el tea -asado en la escrit!ra de la resol!cin de
pro-lea, procediiento de la sig!iente aneraG
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Prop!esto de la sit!acin pro-lea, de donde s!rge al tea (-asada en la $istoria,
aplicaciones, odelo, '!egos)&
Manip!lacin por los est!diantes& ailiariacin con la sit!acin " s! di%ic!ltad& Ela-oracin de estrategia posi-le& Ensa"o diverso por los est!diantes& Eleccin de estrategia& 5erraientas ela-oradas (contenido otivado) Ata#!e " resol!cin de pro-lea& Record de critico (re%lein de proceso)
En todo el proceso el e'e principal $a de ser la propia actividad dirigida con tino
por el pro%esor $aciendo #!e el ni@o participe, sin ani#!ilar el placer de ir
desc!-riendo por si iso lo #!e los grandes ate=ticos $an logrado con
sacri%icio&Un gran desc!-riiento res!elve !n gran pro-lea, pero en la sol!cin de
todo pro-lea, $a" !n cierto desc!-riientoB&El pro-lea #!e se plantea p!ede ser odesto, pero si se pone a pr!e-a la
c!riosidad #!e ind!ce a poner en '!ego la %ac!ltad inventiva, si se res!elve por
propios edios, se p!ede eperienta el encanto del desc!-riiento " el goce
del tri!n%o&Eperiencias de este tipo, a !na edad conveniente, p!ede deterinar !na
a%icin para el tra-a'o intelect!al, e ipriirle !na $!ella iperecedera en la
ente " en el car=cter :eorge Pol"a (Coo res!elve !n pro-lea, +4*.&
Editorial 9rillas, P=g& 06)
Es decir -rindarles a los al!nos las $erraientas necesarias, #!e i-!idos de
este esp?rit! as!e el reto de desc!-riiento " dis%r!tar del tri!n%o #!e
o-tengan, %orando s! ente " s! car=cter %!t!ro&
RESOLUCIN DE PROBLEMAS EN LA POCA CONTEMPORNEA2
A inicios del siglo WW, aparecen los aportes de 5& Poinncare (+42/ +4+.), es
!n ate=tico ranc;s #!e se oc!pa de so-re anera en la etodolog?a general
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de la ciencia no peranece al !ndo real, #!e son ac!erdos convencionales,
para $acer coda " til la descripcin de los %enenos dados&En s! !ndations o% science (+4+0), poincarZs dedica !n aportado so-re la
creacin de los conceptos ate=ticos& En ella resalta el acto creativo,
destacando / %asesG Fit!acin (actividad consciente #!e iplica tra-a'ar el
pro-lea d=ndole posi-le) Inc!-acin (el s!-consciente el #!e tra-a'a) Inspiracin (la idea s!rge repentinaente coo !n %las$
segn PoincarZe)
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9$orndiKe investig la sol!cin de pro-leas en aniales colocando a !n gato
$a-riento dentro de la ca'a " !n troo de pescado& !era de ella& Para resolver
el pro-lea el gato realia-a !na gran cantidad de resp!estas ine%icientes,
rasg!@ando o ordiendo las paredes e introd!ciendo s!s patas a trav;s de las
a-ert!ras& Pero event!alente acerta-a a pisar la palanca #!e $a-r?a el cerro'o
de la p!erta& C!ando se introd!c?a en la ca'a n!evaente $acia los isos
oviientos aarosos $asta n!evaente pisa-a la palanca " a-r?a la ca'a& Poco
a poco en las veces s!cesivas disin!?an los oviientos aarosos $asta #!e
al entrar de %rente pisa-a la palanca " a-r?a la p!erta&
Desp!;s de est!diar por a@os el tiepo " los ;todos de los aniales para
resolver pro-leas, 9$orndiKe %or!l la le" del e%ecto, esta-leciendo #!e los
coponentes seg!idos de res!ltados positivos se %ortalecen " los seg!idos
negativos se de-ilitan $asta eting!irse&De odo #!e la sol!cin espont=nea de pro-leas segn 9$orndiKe oc!rre no
g!iada por el raonaiento sino por el aprendia'e, por ensa"o " error #!e
oc!rre en %ora grad!al en pe#!e@os pasos " re%ora-a por est?!los, pero el
ser $!ano de%iere s!-stancialente de la >, sol!cin de pro-leas de los
aniales, por#!e contaos con !na capacidad de raonaiento =s
evol!cionada " por otro lado la sol!cin no tiene #!e ser necesariaente
espont=nea, dado #!e podeos re%inar n!estra capacidad asiilando estrategiaspara increentas n!estro propio potencial de resol!cin de pro-leas&T(./; )( 5 G(9-5-Poco desp!;s de 9$orndiKe aparecieron, los psiclogos de la :estalt #!e
s!stentaron #!e para est!diar la sol!cin de pro-leas era necesario no solo
investigar el coportaiento de los aniales s!periores coo priates, sino
ta-i;n la ente $!ana ante !n pro-lea s!rge en la ente del s!'eto !na
reorganiacin de los eleentos #!e intervienen, de odo #!e se acoodan de
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!na anera di%erente& os gestalistas sosten?an precisaente #!e las personas
se atascan en la resol!cin de pro-leas por#!e no p!eden irar la sit!acin
de !na perspectiva n!eva " no p!eden ver !na n!eva %ora de $acer enca'ar
los eleentos&
Fegn los gestalistas si el pro-lea no se res!elve es necesario de'arlo por !n
oento para #!e tenga l!gar el proceso de inc!-acin, es decir, el paso de
!n lapso #!e perite el olvido de las ideas #!e con%!nden " el a%loraiento de
n!evas ideas #!e a"!dan a captar !na n!eva %ora de considerar el pro-leas
#!e encierre s! sol!cin&Un pro-lea t?pico de los gestalistas el pro-lea de los seis palitos #!e
presenta Lavona& El pro-lea p!ede plantearse as? Dado 7 palitos e#!il=teros
c!"os lados tengan !n palito de longit!dB&Alg!nos colocan . palitos en aspa& os colocan al centro de !n c!adrado
%orado por / palitos " e%ectivaente se %oran / tri=ng!los no son
e#!il=teros p!esto #!e s!s tres lados no tienen !n palito de longit!d&Para resolver el pro-lea el s!'eto de-e ca-iar de perspectiva " pensar en 0
diensiones, %orando !na pir=ide de -ase triang!lar " la car son los otros
tres&Es necesario #!e ert$eier, otro, psiclogo de la :eslalt, $ace !na distincin
interesante entre pensaiento reprod!ctivo " pensaiento prod!ctivo& El
pensaiento reprod!ctivo sipleente reprod!ce antig!os $=-itos o
coportaientos "a ad#!iridos " evidenteente es !no de los tipos de
pensaientos caracter?sticos #!e investigan los asociacionistas& Mientras #!e
del otro lado eiste el pensaiento prod!ctivo, -asado en la creacin de !na
n!eva sol!cin #!e prod!ce la visin de !na di%erencia organiacional
estr!ct!ral ! en este tipo de pensaiento #!e interesa a los psiclogos de la
:estalt&
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D(9//.55. )(5 :/.85(3 9(?7 P.5@
:eorge Pol"a (+4*.) prop!so / %ases e introd!'o en ella la idea, plan o
estrategia, concepto clave -asado en s! eperiencia coo pro%esor de
Mate=tica& Estas c!atro %ases sonG
C.3:/(79*67 )(5 :/.85(3
Priero Pol"a dice 9eneos #!e ver claraente lo #!e se pideB por#!e es
tonto contestar !na preg!nta #!e se coprende& Pero el al!no no solo de-e
coprender el pro-lea, de-en ta-i;n desear resolverlo& Pol"a toca por
priera ve el aspecto de la vol!ntad " el inter;s del est!diante& Fi $a" %alta de
coprensin o $a" %alta de inter;s del s!giere Pol"a p!ede de-erse a !na al
seleccin del pro-lea por parte del docente o ala %alta de presentacin de
!n odo nat!ral e interesante& El aestro preg!nta al al!no las partes
principales del pro-leaG los dato, la incgnita " la condicin, al o-servar
coo los datos les preg!ntar= QEs posi-le colocando los datos en esta %ora
satis%acer la condicin del pro-leaS
E58./+*67 )( 47 :57
9eneos conce-ido !n plan c!ando =s o enos sa-eos #!e el c=lc!lo, #!e
raonaiento o constr!cciones $a-reos de e%ect!ar para deterinar la
incgnita&De $ec$o esta es la parte =s iportante para sol!cionar pro-leas& Esta idea
p!ede toar, %ora poco a poco, desp!;s de ensa"os =s o enos in%r!ct!osos
o p!ede oc!rrir #!e l!ego de !n periodo de de!da se p!ede tener !na idea
-rillanteO Pol"a (Co plantear !n pro-lea, +4*.HEd& 9rillas, P=g06)&
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Es decir este proceso de de!da le da l!ego n!evas ideas #!e peritir=n plantear
n!evas alternativas al pro-lea&
E=(+4+*67 )(5 P57
C!ando "a se $a conce-ido el plan e'ec!tarlo es c!estin de paciencia& En este
sentido es =s sencillo e'ec!tarlo #!e conce-irlo por#!e esto iplica-a !na
serie de circ!nstanciasG conociientos ad#!iridos, -!enos, $=-itos de
pensaiento " concentracin, ade=s de -!ena s!erte con s!rgiiento de las
ideas adec!adas&Mientras #!e c!ando el al!no no $a conce-ido "a el plan, dispone de !na
l?nea general de tra-a'o " a$ora de-e repasar cada detalle, para aseg!rarse #!e
no p!ede ningn rincn osc!ro&En este oento el aestro goa de !na pa relativa a!n#!e de-e insistir en
#!e el al!no rec!erde " veri%i#!e cada caso&R(
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eisten en la eoria de #!ien va a resolver el pro-lea para plantear el
as!nto en t;rinos adec!ados de-eos $a-lar de relaciones, eternas entre
eleentos del pro-lea " es#!eas lgicos del s!'eto& 9odo pro-lea eterno
de-e ser asiilado a la propia eperiencia interna del #!e piensa " ser
trad!cido a t;rinos %ailiares de ac!erdo con este p!nto de vista, el
pensaiento es !n proceso de desc!-rir !n con'!nto de eperiencias pasadas
con el #!e $a de relacionarse el n!evo pro-lea para l!ego ser interpretado de
ac!erdo con el es#!ea partic!lar #!e se $a"a seleccionado&A!s-el a%ira #!e c!ando los datos reci-idos son asiilados, se p!ede $a-lar
de la asiilacin de !n n!evo es#!ea lgico a la estr!ct!ra cognitiva&En la estr!ct!ra alacenaos dos tipos de es#!eaG
Conociientos con signi%icativos provenientes de la
eperiencia& Conociientos o algoritia, es decir !n con'!nto de
%r!las ec=nicas o reglas para operar conceptos&A!s!-;l nos $a-la de organiadores previos, pero es iportante sa-er #!e no
$a" !n nico odo general de proceder& En general, el aestro tiene #!e
proporcionar al al!no el andaia'e adec!ado, pero se necesita !na gran
destrea " !n aplio repertorio de sol!ciones para proporcionar a cada
al!no el e'or aprendia'e en cada pro-lea&
L 9.54+*67 )( P/.85(3
En principio el oviiento s!rgi coo alternativa al concepto, de est?!lo
resp!esta del cond!ctiso " s! inter;s radica-a so-re todo en prestar atencin
a lo #!e oc!rre en la ente $!ana entre el est?!lo " la resp!esta&
No o-stante a en!do encontraos las diversas teor?as del procesaiento de la
in%oracin denoinadas por la %ig!ra del cop!tador " el papel de la
eoria& El cop!tador se presenta coo odelo de la enteH$!ana " al
ig!al #!e este, aparato lo decisivo para s! %!ncionaiento es la eoria,
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p!esto #!e s! o-'etivo es el seno de la eoria a largo plao (MP) donde
precisaente se realia la sol!cin de pro-leas, la toa de decisiones " la
creacin de n!evos conociientos& Fi la in%oracin de la M9 se codi%ica "
organia coo copati-le con los conociientos alacenados en la MP&Entonces la in%oracin de la MP, en la c!al peranece por !n tiepo
inde%inido #!e p!ede ser -reve o !" largo $asta ser peranente&
o interesante " sing!lar del procediiento es la et=%ora de la eoria coo
!n ordenador, la ente $!ana posee !n control de entrada #!e selecciona la
in%oracin #!e pasa en la M9 " !n alac;n en la MP& a analog?a se $a
llevado an =s le'os, al a%irar #!e la ente $!ana posee incorporada
desde el naciiento " "a disp!esta para la accin, !na R1M (read onl"
eor"), es decir !na eoria solo de lect!raB&
os psiclogos act!ales del proceso, es la presentacin del pro-lea& Esta
representacin incl!"e 0 aspectosG
a) Estado inicial.$Fit!acin a-iental del individ!o-) Estado intermedio&H Inicio de la resol!cin de pro-lea+ El estado meta&H in -!scando para resolver pro-lea
D(9//.55. )( T(39 /(5+*.7).9 :/.85(39 @ .8=(-.9 :57-().9 (7 5 -(9*9
Qu es y que no es la resolucin de problemas?
En !c$os tetos al %inal de cada leccin $a" !na serie de es posi-le #!e se le
doinen a!n#!e es ipro-a-le #!e lo sean&
a priera caracter?stica de !n pro-lea es #!e no es !n e'ercicio r!tinario&a seg!nda caracter?stica, la resol!cin de pro-leas ate=ticos es !n proceso
!" cople'o #!e se p!ede generar conociientos de tipo prod!ctivo&
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Estas estrategias, son procesos de -s#!eda s!aente prod!ctivas por#!e tienen
por o-'eto $allar n!evas estr!ct!ras conceptos ate=ticos adec!ados para
de%inir la representacin ental del pro-lea& Aclarada esta, por %in podeos "
seleccionar el tipo de c=lc!lo adec!ado para la e'ec!cin de la sol!cin&
inalente e%ect!ados las operaciones no de-er?aos terinar solo con la
resp!esta sino =s -ien, generando !n proceso de copro-acin de la sol!cin
de !na v?a alterna&
Fegn Descartes epresaG Cada pro-lea #!e resolv? se convirti en !na regla
#!e sirvi desp!;s para $acer otro pro-leaB& Al!diendo con ello !na tercera
caracter?stica !" iportante en la resol!cin de pro-leaO #!e consiste en #!e al
analiar la sol!cin de !n pro-lea con !na deterinada estr!ct!ra, estaos en
condiciones de a-arcar !na serie de pro-leas an=logos&
Una caracter?stica es !na relativa di%ic!ltad& o iportante de !n pro-lea es #!e
s! sol!cin constit!"e para el #!e aprende !na novedad #!e enc!entra desp!;s
de sortear !n o-st=c!lo& (1rton, A&+442& P=g&6)&
L9 :/(3*99 )(5 -(-. @ 94 9*?7*
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9ratareos a$ora los conceptos ate=ticos coo !n eleento %!ndaental en la
resol!cin de pro-leas& En e%ecto, si !na persona no conoce los signi%icados de
los conceptos ate=ticos #!e el pro-lea re#!iere, di%?cilente podr=
resolverlos, a enos #!e posea !na gran capacidad anal?tica " se epe@e en
$acerlo, le ser= sencillo resolverlo, si conoce de anteano los conceptos
ate=ticos iplicados en el pro-lea&
En !na ocasin al preparar !n -anco de preg!ntas para eval!ar los conociientos
de pro%esores estatales de 791 grado se s!giri el sig!iente pro-leaGUn =r-ol de navidad enciende s! ciclo de l!ces cada /2 seg!ndos " !n
naciiento cada 07 seg!ndos& Fi se conectan por priera ve al iso tiepo
QCada c!=ntos seg!ndos se encender=n si!lt=neaenteSBa psicloga, #!e asesora-a la pr!e-a, pidi #!e se retirase por#!e ni ella lo pod?a
resolver& e t!ve #!e eplicar el concepto con ltiplo para #!e lo aceptara
coo !n pro-lea adec!ado para eval!ar la coprensin de dic$o concepto, #!e
por los de=s es !na nocin #!e de-e doinara todo pro%esor #!e pretenda
ense@ar ate=tica en 7to grado, sin ser genios, con solo $a-er entendido el
concepto de ?nio con ltiplo, a trav;s de !n e'eplo&
a ense@ana pro-le=tica tiene dos vertientes&
Una de ellas pretende ense@ar diversas t;cnicas " estrategias para resolver
pro-leas c!al#!iera #!e estos sean, ientras #!e la seg!nda pretende organiar
la clase en torno a !n pro-lea, reconociendo !na estr!ct!ra ate=tica eistente
en algn aspecto de !n concepto ate=tico&
Dice !n especialista de esta tendencia El desarrollo de los conceptos se eplica a
partir de las relaciones #!e se dan longit!dinalente " transversalenteB&
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Un concepto ad#!iere s! sentido en %!ncin de la !ltiplicidad a los c!ales
responde&
Para Fc$oen%eld (+42) la di%ic!ltad de de%inir el t;rino pro-leaB radica en#!e es relativoG !n pro-lea no es in$erente a !na tarea ate=tica, =s -ien es
!na relacin partic!lar entre el individ!o " la tarea& En este sentido, C$arna"
(+44/) dice #!e !n pro-lea p!ede verse coo !na terna sit!acinal!noH
entornoO es decir, el pro-lea se da solo si el al!no perci-e !na di%ic!ltad&
Ciertaente, lo #!e es !n pro-lea para !n individ!o p!ede no serlo para otro,sea por#!e est= totalente %!era de s! alcance o por#!e para el nivel de
conociientos del individ!o, el pro-lea $a de'ado de serlo Parra (+446, p&+/)&
En +47., en s! li-ro Mat$eatical Discover", Pol"a de%ine !n pro-lea coo
a#!ella sit!acin #!e re#!iere la -s#!eda consciente de !na accin apropiada
para el logro de !n o-'etivo claraente conce-ido pero no alcana-le de %ora
inediata&
arios (.666), !n pro-leaes !na sit!acin (real o $ipot;tica) #!e res!lta
pla!si-le al al!no desde s! p!nto de vista eperiencial " #!e invol!cra
conceptos, o-'etos ! operaciones ate=ticos, ientras #!e !n e'ercicio se re%iere
a operaciones con s?-olos ate=ticos nicaente (s!as, !ltiplicaciones,
resol!cin de ec!aciones, etc;tera)& En s?ntesis, !n e'ercicio se res!elve a trav;s
de procediientos r!tinarios #!e cond!cen a la resp!esta, el pro-lea eige el
desarrollo de !na estrategia para resolver la incgnita&
En los pro-leas no es evidente el caino a seg!irO incl!so p!ede $a-er varios&
Por tanto, !n pro-leaB es !na c!estin a la #!e no es posi-le contestar por
aplicacin directa de ningn res!ltado conocido con anterioridad, sino #!e para
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resolverla es preciso poner en '!ego conociientos diversos " -!scar relaciones
n!evas entre ellos&
Pol"a (+426)G resolver !n pro-lea es encontrar !n caino all? donde no seconoc?a previaente caino alg!no, encontrar la %ora de sortear !n o-st=c!lo,
conseg!ir el %in deseado, #!e no es conseg!i-le de %ora inediata, !tiliando los
edios adec!adosB, " Parra (+446, p& +)G a resol!cin de pro-leas se re%iere
a la coordinacin de eperiencias previas, conociiento e int!icin, en !n
es%!ero para encontrar !na sol!cin #!e no se conoceB&
En apo"o a estas ideas, De :!=n (.66*) sostiene #!e la resol!cin de
pro-leas en la ense@ana de las ate=ticastiene la intencin de transitir, de
!na anera siste=tica, los procesos de pensaiento e%icaces en la resol!cin de
verdaderos pro-leas& 9al eperiencia de-e peritir al est!diante activar s!
capacidad ental, e'ercitar s! creatividad " re%leionar so-re s! propio
aprendia'e (etacognicin) al tiepo #!e se prepara para otros pro-leas, con lo
#!e ad#!iere con%iana en s? iso&
Pol"a, a trav;s del li-ro Co plantear " resolver pro-leasB, introd!ce el
t;rino $e!r?sticaB para descri-ir el arte de la resol!cin de pro-leas& a
$e!r?stica trata de coprender el ;todo #!e cond!ce a la sol!cin de pro-leas,
en partic!lar lasoperaciones entales t?picaente tiles en este proceso (Pol"a,
+47, p& +6.)& Agrega #!e la $e!r?stica tiende a la generalidad, al est!dio de los
;todos, independienteente de la c!estin tratada " se aplica a pro-leas de
todo tipo&
Fegn Pol"a (+47, p& +4), para resolver !n pro-lea se necesitaG Coprender el
pro-leaG Qc!=l es la incgnitaS, Qc!=les son los datos " las condicionesS
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Conce-ir !n planG Qconoce !n pro-lea relacionado con ;steS, Qconoce algn
teorea #!e le p!eda ser tilS, Qpodr?a en!nciar el pro-lea de otra %oraS, Q$a
epleado todos los datosS E'ec!cin del planG copro-ar cada !no de los pasos,
Qp!ede !sted ver #!e el paso es correctoS
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I7>(9-*?+*.7(9 /(5*)9 :./ P.5@ (7 5 /(9.54+*67 )( :/.85(39&
En +4/, Pol"a en s! li-ro 5oJ to solve it, desarrolla !na serie de estrategias
iportantes en la resol!cin de pro-leas, con lo c!al potencia la constr!ccin de
!na n!eva etodolog?a en los procesos de ense@anaHaprendia'e de las
ate=ticas, En este li-ro, el a!tor propone c!atro pasos -=sicos para resolver !n
pro-lea, a sa-erG coprender el pro-lea, conce-ir !n plan, e'ec!tarlo "
eainar la sol!cin& En cada !no de estos pasos, segn Pol"a, el docente de-e
g!iar a s!s est!diantes con !na serie de preg!ntas, En la etapa de coprensin, el
docente de-e proponer !n pro-lea con !n nivel de di%ic!ltad adec!ado (ni !"
%=cil ni !" di%?cil), el c!al de-e ser ep!esto de %ora nat!ral e interesante para
el est!diante& En la etapa de conce-ir !n plan, el papel del docente radica en g!iar
al est!diante, a trav;s de preg!ntas, $acia !na estrategia para la sol!cin del
pro-lea -asada en eperiencias anteriores " conociientos previos, En lo #!e
respecta a la etapa de e'ec!cin del plan, es el est!diante #!ien eaina todos los
detalles " analia #!e los pasos realiados sean correctos (es iportante $acer
notar la di%erencia entre deostrar #!e !n paso es correcto a sipleente
copro-arlo)& inalente, en el c!arto paso, se lleva a ca-o !na visin
retrospectiva de la sol!cin con el o-'eto de veri%icar el res!ltado " el
raonaiento seg!idos, esto le perite al est!diante a%ianar s!s conociientos "
desarrollar aptit!des para resolver otros pro-leas&
a idea %!ndaental de este li-ro, es en s?ntesis, plantear !na serie de pasos para
resolver !n pro-lea, en donde se de%inen claraente el rol del est!diante " del
docente en cada !no de ellos& Es iportante se@alar, #!e a pesar del a-orda'e
e%ect!ado por Pol"a en las estrategias a seg!ir para la resol!cin de pro-leas,
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;ste no o%rece !na de%inicin clara de lo #!e es !n pro-lea en el li-ro 5oJ to
solve it, ser= $asta +47+, con s! li-ro Mat$eatical Discover", en el c!al de%ine
!n pro-lea coo a#!ella sit!acin #!e re#!iere la -s#!eda consciente de !na
accin apropiada para el logro de !n o-'etivo claraente conce-ido pero no
alcana-le de %ora inediata& En otras pala-ras, !na sit!acin, c!antitativa o de
otra clase, a la #!e se en%renta !n individ!o o !n gr!po, #!e re#!iere sol!cin, "
para la c!al no se visl!-ra !n edio o caino aparente " o-vio #!e cond!ca a
la isa (Lr!liK " R!dniK, +426)& En el a@o +477, Pol"a -rinda !n n!evo aporte
signi%icativo a la ense@ana de la ate=tica, en partic!lar, a la resol!cin de
pro-leas con s! li-ro, Mate=ticas " raonaiento pla!si-le, p!es !estra
co la constr!ccin ate=tica p!ede ser aprovec$ada para s! ense@ana, es
decir, co las estrategias seg!idas por !n pro%esional en ate=tica, #!e Pol"a
denoina raonaientos pla!si-les p!eden peritirle a !n est!diante aprender
ate=ticas& Por otro lado, s! en%o#!e en el desarrollo de estrategias $e!r?sticas,
deliita claraente las condiciones #!e de-e tener !n pro-lea para generar !n
aprendia'e signi%icativo, p!es s!giere #!e !n pro-lea de-e peritirle al
est!diante rec!rrir a pro-leas an=logos, realiar con'et!ras, generaliar, entre
otras& En res!en, los tra-a'os de Pol"a al!den a las caracter?sticas -=sicas #!e
de-e presentar !n pro-lea, as? coo el ipacto cognitivo #!e genera la
resol!cin de pro-leas en los procesos de ense@anaHaprendia'e&
R(4*9*-.9 )( 47 84(7 :/.85(3
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Para ense@ar -ien las $a-ilidades de resol!cin de pro-leas " raonaiento, los
pro%esores de-en contar con !n -anco de pro-leas -!enos& Un -!en pro-lea,
para propsitos de instr!ccin, tiene las sig!ientes caracter?sticasG
Es interesante " desa%iante para los al!nos& Re#!iere $a-ilidades de an=lisis cr?tico " o-servacin& Provee !na oport!nidad para disc!tir e interact!ar& Iplica la coprensin de conceptos " la aplicacin de !na $a-ilidad& De-iera llevar a !n principio "o generaliacin& Fe presta para !na variedad de sol!ciones, ", a veces, para ltiples resp!estas&
L9 (//3*(7-9 (9-/-J?*+9 :/ (7.92
Coo $eos visto, nos solo -asta el raonaiento, es necesario raonar aplicandolos conceptos ate=ticos asiilados& Coo ta-i;n $eos a%irado, !" a
en!do los conceptos asiilados a trav;s de !na -!ena -ater?a de pro-leas nos
periten identi%icar la sol!cin de !n pro-lea por siple raonaiento
analgico& Peo ta-i;n s!ele s!ceder #!e nos presentan pro-leas por siple
raonaiento analgico& Pero ta-i;n s!ele s!ceder #!e se nos presentan
pro-leas con n!evos conceptos ate=ticos, #!e a!n no conoceos
pro%!ndaente " #!e podeos eplorar a trav;s de ciertas $erraientas
estrat;gicas #!e se p!eden ser creadas por n!estra propia instit!cin pero ta-i;n
aprendidas a trav;s de la pr=ctica contina&A trav;s de la aplicacin de estas estrat;gicas, #!e nos a"!dan a sacar a la l! la
estr!ct!ra ate=tica de !n pro-lea n!evo, en el sentido de no conocido por
#!ien lo res!elve, podeos Ir =s all= de la in%oracin dadaB " llegar a in%erir
el dato #!e necesitaos para sol!cionar el pro-lea&Por tanto para en%rentar !n pro-lea n!evo, ade=s del concepto ate=tico "
de los c=lc!los de procediientos pertinentes de-eos tener a ano los
conociientos relativos a la aplicacin de $erraientas estrat;gicas generales, s!s
variados odelos " s!s diversos !sos&L9 /(?59 )( 5.9 :/.+()*3*(7-.9 :/ 5 (=(+4+*67 )( 5.9 5?./*-3.9
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En n!estra opinin, los res!ltados #!e provienen del c=lc!lo algor?tico,
act!alente p!edan o-tenerse a trav;s del !so de la calc!ladora, de odo #!e no
es totalente iprescindi-le conocer los algoritos relativos a las operaciones
para resolver pro-leas, para lograrlo, es !c$o =s iportante conocer el
concepto de la operacin en s?, #!e la e'ec!cin del algorito& Fo-re la !tilidad
del aprendia'e del c=lc!lo algor?tico en la esc!ela $a" !n de-ate incl!so, $asta
#!e p!nto s! aprendia'e, eor?stico es %orativo&C!ando los escolares se dan c!enta #!e los algoritos no son nicos si no $a"
di%erentes opciones, tienen !na idea =s ca-al de las operaciones ate=ticas&
o iso s!cede c!ando aprenden a operar en -ase no deciales s!ar en -ase
c!atro les da !na idea !c$o =s aplia del signi%icado del algorito de la
adicin&Es !" %=cil escoger !na de%inicin de =ng!lo " eponerla con c!idado a los
al!nos, acopa@=ndola con !c$os e'eplos, con varios e'ercicios "
eperiencias practicasO pero ta-i;n es !" raro #!e '!nto con la eplicacin
ver-al, con el di-!'o " con la de%inicin de concepto " asiilado per%ecta "
r=pidaente&5a-iendo dado !na de%inicin de =ng!lo, por e'eplo, por priera ve en el a@o
+77*, en el tratado de Arna!d diceG =ng!lo es la parte de !n plano coprendida
entre dos seirrectas #!e tienen origen conBH Nos daos c!enta
inediataente #!e no $a" pro%esor #!e no tenga la desil!sin, tarde o teprano,de ver #!e !c$os al!nos a los #!e se les pida di-!'ar =ng!los =s grande #!e
otros, previaente dado, sipleente prolong!en los lados #!e $a-?an sido
dados coo segentos&El iso pro%esor al a@o sig!iente, para no caer en el iso error did=ctico,
piensa evitar a#!ella de%inicin #!e eige la consideracin de !na parte in%inita
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del plano " decide a-stenerse a la de%inicin #!e se reonta a E!clidesG =ng!lo
es la inclinacin rec?procas de dos seirrectas #!e tienen !n origen conB&L9 /(?59 :/ 5 :5*++*67 )(5 +5+45. 3(7-5 +.3. 5-(/7-*> 5 49. )(5
5?./*-3.2
Fin e-argo, en el a!la de clase nos conviene apres!rar la ense@ana de los
algoritos, $asta #!e el al!no p!eda racionalente asiilar los conceptos #!e
le sirven de -ase& En este sentido, en los prieros grados, el conociiento
oport!no del c=lc!lo ental perite resolverlos c=lc!los siples con celeridad,
sin necesidad de aplicar el algorito, el c=lc!lo ental #!e es !n procediientoental siple e int!itivo, nos perite, anticipaO !n res!ltado aproiado #!e
nos a"!da a copro-ar la sol!cin& 9ener por adelantado !n res!ltado aproiado
de la sol!cin nos a"!da a no coeter gr!esos errores " a destacar de anteano
res!ltados a-s!rdos&
U9. )(5 +5+45. 5?./;-3*+.2
Un algorito es la s!cesin de acciones #!e $a" #!e realiar para llegar a la
sol!cin de !n pro-lea& El algorito siepre arro'a !na resp!esta al pro-lea,
a!n#!e no siepre es e%ica, esto es de-ido a #!e alg!nos pro-leas est=n al
de%inidos&
C!ando se $ace !so del algorito, se considera siste=ticaente todos los
posi-les oviientos para lograr el propsito en algn p!nto&
8 U9. )( 5 H(4/;9-*+2
El ;todo $e!r?stica se -asa en el !so de principios generales, con alta pro-a-ilidad
de ;ito& En resol!cin de pro-leas el ;todo $e!r?stico perite $allar =s de
!na sol!cin& os $e!r?sticos son reglas pr=cticas ad#!iridas por la eperiencia "
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#!e g!?an en la -s#!eda de alternativas e%icientes en la sol!cin de pro-leas&
5ace #!e los ni@os "o est!diantes res!elven pro-leas siste=ticaente& a
$e!r?stica p!ede parecer r?gida, pero, de $ec$o, los pasos #!e se llevara a ca-o con
%lei-ilidad&El epleo del ;todo $e!r?stico s!ele ser =gil " es !" conocido por s! siilit!d
con la cond!cta #!e las personas evidencien c!ando en%rentan !n pro-lea, el
'!ego de a'edre es !n caso t?pico de pro-lea $e!r?stico& as sol!ciones son
variadas e in%initas %rente a los oviientos #!e se e'ec!tan al desarrollar el '!ego&
(9esisG Estrategias did=cticas& .66* ia)&
as estrategias nos periten trans%orar el pro-lea en !na sit!acin =s
sencilla " #!e sep