Termoeconomía
y optimización energética
Consejo Superior de Colegios
de Ingenieros de Minas
E.T.S.I. de Minas
de Madrid
Universidad
Politécnica de Madrid
José Mª Montes Villalón
Javier García Torrent
Enrique Querol Aragón
Termoeconomía y Optimización energética
Edita:
Fundación Gómez Pardo en colaboración con el Consejo Superior de
Colegios de Ingenieros de Minas
Distribuye: Fundación Gómez Pardo
c/ Alenza, 1. 28003 Madrid
España
Tel.: 91 336 7030. Fax: 91 442 95 29
ISBN: 978-84-692-8320-2
Depósito legal: M-51079-2009
Impreso en España – Printed in Spain
Imprime Ediciones Peninsular. 2009. Madrid.
Portada. Composición motor Wärtsila 32 (www.wartsila.com) y simulación Aspen
PlusTM
(www.aspentech.com)
Material adicional: http://www.qyc.upm.es/Links?L=toe2009
Tabla de contenido 3
Tabla de contenido
CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN ...................................................................................... 1
§ 1.1. OBJETO DE LA TERMOECONOMÍA ............................................................................... 1
§ 1.2. EXERGÍA ............................................................................................................... 2
§ 1.3. TERMOECONOMÍA .................................................................................................. 8
CAPÍTULO 2: REVISIÓN DE TERMODINÁMICA ........................................................... 11
§ 2.1. DEFINICIONES BÁSICAS ........................................................................................... 11
§ 2.2. TEMPERATURA ..................................................................................................... 15
§ 2.3. EL PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA............................................................ 16
§ 2.4. EL SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA......................................................... 26
§ 2.5. TRABAJO MÁXIMO Y EQUILIBRIO .............................................................................. 32
§ 2.6. ECUACIONES TERMODINÁMICAS .............................................................................. 34
§ 2.7. SISTEMAS ABIERTOS .............................................................................................. 38
§ 2.8. EQUILIBRIOS HETEROGÉNEOS .................................................................................. 42
§ 2.9. GASES IDEALES ..................................................................................................... 46
§ 2.10. MEZCLAS GASEOSAS IDEALES ................................................................................. 50
§ 2.11. FUGACIDAD Y ACTIVIDAD ...................................................................................... 55
§ 2.12. EL TERCER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA .......................................................... 58
CAPÍTULO 3: LA EXERGÍA .......................................................................................... 61
§ 3.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 61
§ 3.2. AMBIENTE Y ESTADO MUERTO ................................................................................. 62
§ 3.3. EXERGÍA DE UN SISTEMA CERRADO ........................................................................... 65
§ 3.4. PROPIEDADES DE LA EXERGÍA DE UN SISTEMA CERRADO ................................................ 69
§ 3.5. EXERGÍA QUÍMICA ................................................................................................. 73
§ 3.6. EXERGÍA DE UNA CORRIENTE MATERIAL ..................................................................... 75
Tabla de contenido 4
§ 3.7. EXERGÍA DE UN FLUJO DE CALOR .............................................................................. 79
§ 3.8. CAMBIO DE EXERGÍA EN UNA REACCIÓN QUÍMICA ........................................................ 80
§ 3.9. PROPIEDADES DE LA EXERGÍA DE UNA CORRIENTE MATERIAL .......................................... 82
§ 3.10. EJEMPLOS DE CÁLCULO ........................................................................................ 84
§ 3.11. BALANCES EXERGÉTICOS ....................................................................................... 87
CAPÍTULO 4: DETERMINACIONES DE EXERGÍA .......................................................... 91
§ 4.1. PLANTEAMIENTO GENERAL ..................................................................................... 91
§ 4.2. CÁLCULO DE PROPIEDADES TERMODINÁMICAS ............................................................ 91
§ 4.3. EXERGÍAS FÍSICAS .................................................................................................. 95
§ 4.4. EXERGÍAS QUÍMICAS .............................................................................................. 99
§ 4.5. EXERGÍAS TOTALES .............................................................................................. 102
§ 4.6. DETERMINACIÓN DE EXERGÍAS QUÍMICAS ................................................................ 104
CAPÍTULO 5: APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA LINEAL A LOS BALANCES TERMODINÁMICOS
............................................................................................................................... 111
§ 5.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 111
§ 5.2. FORMULACIÓN DE LOS BALANCES ENERGÉTICOS ........................................................ 112
§ 5.3 BALANCE EXERGÉTICO ........................................................................................... 119
§ 5.4 BALANCES DE MASA ............................................................................................. 122
CAPÍTULO 6: EL COSTE EXERGÉTICO ........................................................................ 124
§ 6.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 124
§ 6.2. REPRESENTACIÓN “R/P/I” ................................................................................... 125
§ 6.3. COSTE EXERGÉTICO ............................................................................................. 133
§ 6.4. NATURALEZA DEL COSTE EXERGÉTICO ...................................................................... 136
§ 6.5. BIFURCACIONES .................................................................................................. 139
§ 6.6. DETERMINACIÓN DE LOS COSTES EXERGÉTICOS ......................................................... 147
§ 6.7 RENDIMIENTOS ................................................................................................... 152
§ 6.8. FORMACIÓN DE LOS COSTES EXERGÉTICOS UNITARIOS ................................................ 156
§ 6.9. FORMALISMO MATRICIAL R/P/I ............................................................................ 158
CAPÍTULO 7: ANÁLISIS TERMOECONÓMICO ............................................................ 162
§ 7.1. DEFINICIONES .................................................................................................... 162
§ 7.2. BALANCE TERMOECONÓMICO ............................................................................... 163
§ 7.3. ESTRUCTURA LÓGICA ........................................................................................... 169
§ 7.4. COSTES FIJOS Y VARIABLES .................................................................................... 171
Tabla de contenido 5
§ 7.5. COSTES TERMOECONÓMICOS VARIABLES ................................................................. 174
§ 7.6. CÁLCULO DE LOS COSTES FIJOS ............................................................................... 176
§ 7.7. INDICADORES DE OPERACIÓN DE CENTRALES ELÉCTRICAS. ............................................ 180
§ 7.8. FORMULACIÓN R/P ............................................................................................ 184
§ 7.9. ELECCIÓN DEL NIVEL DE AGREGACIÓN ..................................................................... 185
CAPÍTULO 8: OPTIMIZACIÓN TERMOECONÓMICA .................................................. 192
§ 8.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 192
§ 8.2. FORMACIÓN DE LOS COSTES TERMOECONÓMICOS ..................................................... 193
§ 8.3. FACTOR EXERGOECONÓMICO ................................................................................ 195
§ 8.4. EVALUACIÓN TERMOECONÓMICA DE PROYECTOS ...................................................... 198
§ 8.5. EVALUACIÓN FUNCIONAL ..................................................................................... 199
§ 8.6. EL PROBLEMA DE LA OPTIMIZACIÓN ........................................................................ 204
§ 8.7. OPTIMIZACIÓN PARAMÉTRICA ............................................................................... 206
CAPÍTULO 9: INTEGRACIÓN ENERGÉTICA ................................................................ 212
§ 9.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 212
§ 9.2. FUNDAMENTO BÁSICO ......................................................................................... 214
§ 9.3. CURVAS COMPUESTAS ......................................................................................... 219
§ 9.4. ALGORITMO TABULAR .......................................................................................... 225
§ 9.5. APLICACIÓN DEL MÉTODO..................................................................................... 232
§ 9.6. GRAN CURVA COMPUESTA .................................................................................... 237
§ 9.7. MALLA DE INTERCAMBIO ...................................................................................... 242
§ 9.8. NÚMERO MÍNIMO DE INTERCAMBIADORES .............................................................. 251
§ 9.9. ÁREA DE TRANSFERENCIA DE CALOR ........................................................................ 256
§ 9.10. ANÁLISIS ECONÓMICO ....................................................................................... 262
§ 9.11. TEMPERATURAS DE LOS SERVICIOS ....................................................................... 266
§ 9.12. INTEGRACIÓN DE ENERGÍA MECÁNICA ................................................................... 271
BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................... 276
TABLA DE CONTENIDO ............................................................................................ 280
Tabla de contenido 6
Capítulo 1: Introducción A.1
1 Capítulo 1: Introducción
§ 1.1. Objeto de la Termoeconomía
La Termoeconomía, mediante una aplicación integrada y rigurosa
de la economía y la termodinámica, proporciona una herramienta muy
potente y rigurosa para el análisis, la evaluación y la optimización de
sistemas industriales. Todo ingeniero ha de ser capaz de analizar y
evaluar los equipos e instalaciones que encuentre en su campo de
actividad, con el fin - entre otros - de optimizar los costes. Por otra parte,
la actividad distintiva del ingeniero es el proyecto. Éste tiene por objeto
sintetizar algo que antes no existía y evaluarlo con criterios basados, por
ejemplo, en la economía, la seguridad, la fiabilidad y el impacto
ambiental. Las capacidades de síntesis y evaluación son la esencia misma
de la actividad creadora del ingeniero.
Es sabido que en toda instalación industrial se debe procurar minimizar el
consumo de energía y otros recursos, así como la producción de efluentes
y residuos. Estos últimos no son siempre consecuencias inevitables de su
funcionamiento: Cuanto menos eficiente es una planta, más residuos
genera, y recíprocamente. Los efluentes y residuos no producidos, por ser
la planta más eficiente, ahorran costosos equipos de depuración y
aminoran su impacto ambiental. Aquí se encuentra la raíz de las
Capítulo 1: Introducción A.2
tecnologías limpias, que han de ser siempre eficientes. El proyecto de
sistemas limpios y eficientes requiere un empleo riguroso de los recursos
científicos y tecnológicos adecuados. Por lo general, cuanto más limpio y
eficiente es un sistema, tanto mayor es la inversión que requiere, con la
consiguiente repercusión en los costes. La Termoeconomía facilita el
logro del coste óptimo, conjugando las mejoras en el consumo de
recursos y la eficiencia energética con los requerimientos de capital.
La Termoeconomía se aplica a una extraordinaria variedad de
sistemas, tales como los que pueden encontrarse en la industria
petrolera, química o metalúrgica, generación de energía eléctrica,
climatización, etc... Su utilización se extiende tanto al diseño de nuevas
plantas como al análisis de instalaciones existentes - para diagnosticar y
valorar las deficiencias - y la evaluación de mejoras, ampliaciones o
modificaciones.
§ 1.2. Exergía
En el análisis termodinámico tradicional de sistemas industriales
se viene aplicando básicamente el Primer Principio de la
Termodinámica. Este principio establece, como es sabido, que la energía
no se crea ni se destruye, sino que simplemente se transforma, cambia de
forma. Por tanto, la energía perdida por un sistema en un proceso
cualquiera es igual a la ganada por su entorno. Este hecho permite
formular balances de energía, que son muy útiles, por ejemplo, para
valorar las pérdidas de calor de un sistema.
Los balances energéticos manejan como equivalentes las diversas
formas de energía. Sólo importan sus valores y no su mayor o menor
utilidad. Para ilustrar esto consideraremos, por ejemplo, el grupo térmico
Capítulo 1: Introducción A.3
representado en la figura 1.2.1, que produce energía eléctrica a partir de
un combustible, mediante una caldera de vapor y un turboalternador. La
Figura 1.2.1
energía aportada por el combustible (C) ha de ser igual a la suma de la
energía eléctrica generada (E), la contenida en los humos (H) y el calor
cedido al ambiente (Q) por el condensador del grupo. Un balance
aproximado sería, expresado en %, el siguiente:
%
Energía entrante
Combustible (C) 100
Energía saliente
Electricidad (E) 40
Calor (Q) 55
Humos (G) 5
Total saliente 100
La energía cedida al ambiente por el condensador es la mayor de todas.
Su utilidad, en cambio, es prácticamente nula. Por el contrario, la energía
eléctrica es totalmente aprovechable y de conversión fácil en muchas
Combustible
Calor
Energía
eléctrica
Humos
G
C
Q
E
Turbo-
alternador
Caldera
Bomba
Condensador
Capítulo 1: Introducción A.4
otras formas de energía. Si se quiere valorar el rendimiento del grupo,
habrá que comparar su salida útil – la energía eléctrica – con la energía
entrante:
40,0C
E
ecombustibldelEnergía
eléctricaEnergía . (1.2.1)
No siempre son las cosas tan simples. Supongamos que el grupo que
acabamos de considerar trabaja a contrapresión, de modo que el calor se
cede a una temperatura superior a la ambiente, adecuada para su
aprovechamiento en calefacción, constituyendo una planta de
cogeneración. Con el mismo criterio anterior, su rendimiento vendría
expresado por:
95,0
C
QE
ecombustibldelEnergía
CaloreléctricaEnergía . (1.2.2)
Ahora bien, según el balance energético,
GQEC , (1.2.3)
luego
GCQE (1.2.4)
y al aplicar este resultado en (1.2.2),
95,0
C
GC . (1.2.5)
Cuando se examina esta fórmula vemos que, al pretender valorar el
rendimiento del sistema, lo que hemos obtenido, en realidad, es el de la
caldera, ya que GC es su salida energética neta. Con este ejemplo se
ilustra que las expresiones puramente energéticas del rendimiento pueden
ser equívocas. Por otra parte, es evidente que el calor Q , aun siendo
totalmente aprovechable para calefacción, tiene unas posibilidades de
utilización y conversión mucho más limitadas que la energía eléctrica E .
Estas limitaciones deberían ser tenidas en cuenta en el numerador de la
expresión (1.2.2) del rendimiento.
Capítulo 1: Introducción A.5
Para realizar un análisis correcto es necesario conocer la
capacidad de producir trabajo útil de cada flujo energético de un sistema.
Esa capacidad viene medida por la exergía, cuya determinación rigurosa
requiere la aplicación del Segundo Principio de la Termodinámica. De
acuerdo con él, todo proceso real provoca la creación de entropía, que se
pone de manifiesto mediante un balance entrópico. La creación de
entropía es tanto mayor cuanto más irreversible sea el proceso
investigado. La exergía de una corriente puede imaginarse (ya se definirá
rigurosamente más adelante) como su capacidad de realizar trabajo útil.
Si se realiza un balance exergético, resulta que, para todo proceso real, se
produce una destrucción de exergía, en correspondencia con la creación
de entropía. En su momento veremos que ambas están ligadas por una
simple relación de proporcionalidad. Puede afirmarse que el Primer
Principio establece que la energía siempre se conserva y el Segundo
Principio que la exergía siempre se destruye, en mayor o menor grado,
según la irreversibilidad del proceso. Esto concuerda, por ejemplo, con la
intuición de que hay algo que se destruye cuando quemamos un
combustible: no se destruye cantidad – el Primer Principio lo impide –
pero el Segundo Principio indica que se pierde calidad.
Etimológicamente, la palabra energía se acuñó en el siglo XIX
tomando del griego “ergon”, que significa “trabajo, acción,...” con el
prefijo “en”, que quiere decir “dentro”. La exergía, en cambio, lleva el
prefijo “ex”, que indica “fuera”. La introdujo Rant a mediados del siglo
XX para designar la capacidad de realizar trabajo útil sobre el entorno.
Esta capacidad es lo que caracteriza la calidad de la energía. Hay formas
de energía, tales como la cinética, eléctrica o química, que pueden
transformarse íntegramente en trabajo útil y son pura exergía. Hay otras,
por el contrario, tales como el calor o la radiación, que sólo pueden
convertirse parcialmente en exergía. Las discrepancias entre la energía y
la exergía pueden ser radicales. Por ejemplo, cuando se calienta un
cuerpo aumenta siempre su energía. Lo mismo ocurre con la exergía
Capítulo 1: Introducción A.6
cuando la temperatura del cuerpo es superior a la ambiente. Al
calentarlo aumenta su capacidad de producir trabajo útil. Pero si el
cuerpo se encontrase a una temperatura inferior a la ambiente, es
evidente que dicha capacidad disminuiría, aunque su energía aumente. La
exergía aumenta al alejarse del equilibrio con el ambiente, en uno u otro
sentido. Este ejemplo ilustra el hecho de que la exergía depende de los
estados del sistema y de su ambiente y se anula cuando ambos se
encuentran en equilibrio termodinámico.
La exergía es muy útil, entre otras aplicaciones, para medir
racionalmente el rendimiento de los procesos. El rendimiento exergético
se define como el cociente entre la exergía de los productos obtenidos y
la de los recursos consumidos. Esta formulación tiene en cuenta la
calidad de la energía y proporciona una medida más lógica que la
aportada por el simple cociente de energías.
El análisis exergético permite localizar las irreversibilidades,
discernir sus causas y cuantificarlas rigurosamente mediante las
destrucciones de exergía que originan. Todo esto es sumamente útil en el
desarrollo, evaluación y optimización de sistemas. Un análisis energético
estricto invitaría a pensar que la única causa de las ineficiencias
energéticas radica en las pérdidas de energía desde el sistema a su
ambiente. Por ejemplo, en el caso del grupo generador de la figura 1.2.1,
se podría achacar al condensador el bajo rendimiento del sistema. Un
análisis exergético, en cambio, habría indicado que la verdadera causa
radica en las irreversibilidades de la caldera y que el elevado calor cedido
al ambiente por el condensador no es más que una consecuencia de ellas.
Otro aspecto muy importante es el ajuste entre la oferta y
demanda de energía. Tradicionalmente se tiende a lograrlo por la mera
igualación de energías, sin considerar sus respectivas calidades,
ciñéndose al Primer Principio. Como los contenidos exergéticos pueden
Capítulo 1: Introducción A.7
ser muy diferentes, es frecuente incurrir en destrucciones de exergía
considerables. Desarrollaremos este hecho con un ejemplo. Supongamos
que se trata de proporcionar un cierto calor Q para la producción de agua
caliente sanitaria (ACS). Conviene notar que esta demanda es de muy
baja calidad, ya que el calor se ha de aportar a una temperatura del orden
de 60°C (como veremos en su momento, la exergía en tales condiciones
es unas diez veces menor que el calor transferido). Los métodos
tradicionales se basan en el empleo de una caldera eléctrica o de
combustión, que aporte dicho calor, tal como se indica en la figura
1.2.2(a). Aunque se suministra exactamente el calor requerido, la exergía
Figura 1.2.2
aportada a la caldera es muy superior a la demandada por el agua. Se
produce, por tanto, una gran destrucción de exergía, del orden del 90%.
En la figura 1.2.2(b) se presenta una opción mucho mejor desde el punto
de vista termodinámico, consistente en una bomba de calor, accionada
por electricidad, que utiliza como recursos energía eléctrica y calor
tomado del ambiente. La energía eléctrica consumida puede ser del orden
Electricidad o
combustible Electricidad
Calor Calor
Calor
Q Q
Qo
t = 60°C t = 60°C
t = 25°C Ambiente
ACS ACS
Caldera Bomba
de calor
(a) (b)
Capítulo 1: Introducción A.8
de 3/Q , muy inferior al caso anterior. El resto de la demanda calorífica
se atiende con calor tomado del ambiente, de exergía y coste nulos.
Pueden existir otras opciones. Supongamos que la demanda de ACS se
produjera en una planta industrial en la que se generan excedentes de
calor residual a temperaturas ligeramente superiores a 60°C, que
probablemente se ceden al ambiente sin aprovechamiento alguno.
Podrían aprovecharse esos excedentes para calentar el ACS con una
destrucción mínima de exergía y un coste nulo. Éste sería un caso muy
simple de integración energética de un proceso industrial con la
producción de ACS.
§ 1.3. Termoeconomía
La termoeconomía es la rama de la ingeniería energética que,
mediante la aplicación combinada de los recursos de la termodinámica y
la economía, permite lograr unos resultados que no se habrían obtenido
con los métodos de análisis termodinámico y económico tradicionales.
La diferencia fundamental radica en el uso del Segundo Principio de la
Termodinámica y la noción de exergía. Se toma la exergía como base
racional para asignación de costes económicos a los recursos y productos
que intervienen en los procesos industriales y para la valoración
económica de las imperfecciones termodinámicas de dichos procesos.
Todo esto constituye una aportación sustancial al análisis, evaluación y
optimización de sistemas.
Cuando con un sistema dado se obtiene un solo producto, su coste
de producción será sencillamente la suma de todos los costes originados,
y se calcula mediante un balance de costes. Pero si tuviera más de un
producto, se necesitarían tantas ecuaciones adicionales como productos
que excedan de uno. La exergía proporciona un criterio riguroso para la
formulación de dichas ecuaciones y la consiguiente determinación de los
Capítulo 1: Introducción A.9
costes de producción individuales. Por ejemplo, si el sistema de la figura
1.2.1 funcionase como planta de cogeneración, sería absurdo determinar
los costes de las salidas de calor y electricidad en proporción a sus
energías. Lo correcto es asignar los costes en proporción a las exergías,
que reflejan adecuadamente sus respectivos efectos útiles. De haberlo
hecho en proporción a las energías, habría resultado un coste excesivo
para el calor y demasiado bajo para la electricidad.
En general, la termoeconomía tiene los siguientes fines:
Calcular los costes de los productos intermedios y finales de los
procesos.
Analizar el proceso de formación y el flujo de los costes en los
procesos.
Valorar los costes de las destrucciones y pérdidas de exergía.
Optimizar el funcionamiento de cada componente de un sistema
y el de éste en su conjunto.
Optimizar el coste de los productos de un sistema.
Por ejemplo, las comparaciones de costes de la destrucción de exergía en
los equipos con sus respectivos costes de inversión permiten juzgar si el
ahorro exergético aportado por una cierta mejora de eficiencia justifica la
mayor inversión que probablemente se requiera. Estos cálculos son
sumamente útiles en la toma de decisiones de mejora. Cuando se trata de
un sistema complejo, el uso de aproximaciones sucesivas, guiadas por la
termoeconomía, constituye probablemente el mejor recurso práctico de
optimización existente en la actualidad.
Capítulo 1: Introducción A.10
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.11
2 Capítulo 2: Revisión de termodinámica
§ 2.1. Definiciones básicas
La Termoeconomía requiere, entre otros elementos, la aplicación
de un conjunto de conceptos, enunciados y teoremas de la
Termodinámica con los que el lector estará sobradamente familiarizado.
A pesar de ello, parece conveniente realizar una revisión de ciertos temas
fundamentales. Aparte de realizar una función de refresco de algo que, en
algún caso podría estar un poco olvidado, se pretende condensar las
definiciones, terminología, notación y formulaciones en que se apoyará el
desarrollo de las materias que van a tratarse.
Empezaremos por las nociones de sistema y ambiente:
Sistema es aquella parte del Universo que se
somete a estudio.
Ambiente aquella parte del resto del Universo que
puede ejercer alguna acción sobre el sistema.
Interesa clasificar los sistemas según sus posibilidades de
interacción con su ambiente:
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.12
Un sistema se denomina abierto si puede intercambiar
materia, calor y trabajo con su ambiente.
Se le llama cerrado si no puede intercambiar materia, pero
son posibles las transferencias de calor y trabajo.
Finalmente, se le llama aislado cuando no es posible
interacción alguna con el resto del Universo.
En los estudios básicos de termodinámica se trabaja habitualmente con
sistemas cerrados, que contienen por tanto una cantidad fija de materia.
Un sistema cerrado se conoce como masa de control. En ingeniería
termodinámica, por el contrario, se manejan más los sistemas abiertos. Se
denomina superficie de control a la superficie geométrica que separa un
sistema abierto de su ambiente. El sistema abierto contenido dentro de la
superficie de control acostumbra a llamarse volumen de control.
En el análisis de un sistema es preciso conocer y manejar un
conjunto de magnitudes que son las llamadas propiedades
termodinámicas del sistema. Estas propiedades pueden ser de dos tipos:
Intensivas, que miden propiedades locales, tales como la
presión, temperatura, densidad, etc. y no dependen de la
cantidad de materia contenida en el sistema o cualquiera de
sus partes.
Extensivas, que sí dependen de la cantidad de materia, tales
como la masa, el volumen o la energía. Si no se toman en
consideración los efectos en los límites o fronteras del sistema
ni las acciones a distancia, su valor total para el conjunto del
sistema es igual a la suma de sus valores en cada una de las
partes que lo formen.
Se dice que un sistema es homogéneo cuando sus propiedades
intensivas no varían al pasar de unos puntos a otros del mismo. El
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.13
sistema es heterogéneo en caso contrario. Frecuentemente, los sistemas
heterogéneos están formados por dos o más porciones homogéneas,
llamadas fases, tales que al pasar de unas a otras sufren un salto brusco
las propiedades intensivas. Las propiedades extensivas de los sistemas
homogéneos son proporcionales a su cantidad de materia. Igual ocurre
con cada una de las fases que forman uno heterogéneo.
El estado de un sistema, o de una fase, queda determinado por el
conjunto de sus propiedades termodinámicas, las cuales –por ello– se
llaman también variables o funciones de estado. Una de las cuestiones a
que da respuesta la termodinámica es la determinación del número
necesario y suficiente de variables independientes precisas para
determinar el estado de un sistema. La termodinámica maneja también
magnitudes que se refieren a procesos o transformaciones y, por tanto, no
son propiedades de ningún sistema. Por ejemplo, el trabajo realizado por
un sistema durante una cierta transformación es algo característico de
ésta y no del sistema o su ambiente. Esto ocurre, en general, con todos
los intercambios.
Cuando un sistema se deja abandonado a sí mismo, sin otras
interacciones que las que puedan producirse con su ambiente, sus
propiedades termodinámicas podrán ir variando con el tiempo. Es posible
que llegue un instante a partir del cual se mantengan inalteradas todas sus
propiedades y cese cualquier intercambio de materia y energía con el
ambiente. Se dice entonces que el sistema se encuentra en equilibrio
termodinámico. Éste es un concepto muy general de equilibrio y
comprende como aspectos particulares todos los tipos específicos de
equilibrio considerados en Física o en Química. Toda diferencia de
valores en alguna propiedad intensiva – dentro del sistema o entre éste y
su ambiente – constituye un desequilibrio. El sistema tiende hacia el
equilibrio reduciendo tales diferencias. Las diferencias de presión
provocan flujos de materia, las de temperatura flujos de calor, etc... El
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.14
estado de equilibrio termodinámico corresponde a la eliminación de todas
las diferencias posibles entre los valores locales de cualquiera de sus
propiedades intensivas, en su interior o en relación con su ambiente. Así
puede hablarse de equilibrio mecánico, térmico, químico, etc..., que no
son más que aspectos parciales del equilibrio termodinámico.
Para que se produzca espontáneamente un proceso es necesaria la
existencia previa de algún desequilibrio, bien dentro del sistema o entre
éste y su ambiente. Como caso límite puede concebirse un proceso ideal
formado por una sucesión continua de estados de equilibrio. Tal proceso
se denomina reversible. Aunque, en rigor, todo proceso real es
irreversible, el análisis de procesos reversibles es muy útil como
aproximación en cálculos teóricos y para obtener patrones de referencia
en muchas situaciones.
Como acabamos de ver, durante el proceso de aproximación al
equilibrio pueden ir variando en general las propiedades termodinámicas,
intensivas y extensivas del sistema. En tal caso se dice que el proceso se
produce en régimen transitorio o variable. En procesos industriales en
sistemas abiertos es usual que se mantengan deliberadamente constantes
ciertos desequilibrios (en presiones o temperaturas, por ejemplo),
permitiendo al mismo tiempo intercambios de materia y energía con el
ambiente, de modo que las propiedades termodinámicas del sistema
permanezcan invariables en el tiempo. Los procesos tienen lugar
entonces en régimen permanente o estacionario. En tal caso, en
particular se conservan constantes las propiedades extensivas del sistema,
tales como su masa o su volumen, y esto obliga a que las cantidades de
materia entrantes y salientes sean iguales. La mayoría de los procesos
industriales se desarrollan la mayor parte del tiempo en régimen
permanente, que es el más fácil de gobernar y con el que se controla
mejor la cantidad y calidad de la producción.
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.15
§ 2.2. Temperatura
La termodinámica añade una cuarta magnitud fundamental a las
tres aportadas por la mecánica (longitud, masa y tiempo). Es ésta la
temperatura, cuya definición está vinculada al equilibrio térmico. Para
desarrollar este concepto tomamos dos sistemas homogéneos cerrados –
cada uno de ellos en equilibrio – y los ponemos en contacto de tal modo
que ninguno de ellos pueda realizar trabajo sobre el otro (el llamado
contacto térmico). Si permanecen en equilibrio, sin experimentar
alteración alguna en sus respectivos estados, diremos que se encuentran a
una misma temperatura. En general se llama temperatura a la magnitud
que determina si un sistema permanecerá en equilibrio al llevarlo al
contacto térmico con otros. Se dice que dos sistemas tienen iguales
temperaturas si sus estados iniciales de equilibrio no se alteran al
ponerlos en contacto térmico. Si no permanecen en equilibrio, sus
temperaturas serán diferentes. En este último caso, desde el momento en
que se ponen en contacto, ambos sistemas experimentan una serie de
alteraciones hasta llegar a un nuevo estado de equilibrio, en el cual sus
temperaturas se habrán hecho iguales.
Consideremos ahora dos sistemas A y B, cuyas temperaturas
queremos comparar. Para ello tomamos un tercer sistema C y lo llevamos
sucesivamente al contacto térmico con A y B. Si el estado de C no se
altera en ninguna de estas operaciones, se observa experimentalmente
que tampoco se alteran los de A y B si se les pone directamente en
contacto. Este hecho experimental – no evidente por sí mismo – se
establece como un principio fundamental, con el nombre de Principio
Cero de la Termodinámica: Si un sistema está en equilibrio térmico con
otros dos, éstos lo estarán a su vez entre sí. Así puede darse un valor
cuantitativo a la noción de temperatura (temperatura empírica) mediante
una selección conveniente del tercer sistema, que sería el termómetro.
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.16
Usualmente se emplean dos escalas termométricas: la de Celsius y la de
Kelvin. Los valores t y T respectivos están relacionados por la expresión
T = 273,15 K + t (2.2.1)
La unidad internacional de temperatura es el Kelvin (K). Cuando se
emplea la escala de Celsius, la unidad se representa por °C, igual al K, ya
que la única diferencia entre ambas escalas es la posición del cero. El
empleo de símbolos diferentes sirve únicamente para caracterizar este
hecho. Cuando revisemos el Segundo Principio de la Termodinámica
apreciaremos la base teórica en que se sustenta la escala de Kelvin o
absoluta.
§ 2.3. El Primer Principio de la Termodinámica
Su formulación no es más que una expresión del Principio de la
Conservación de la Energía en la que se hace aparecer explícitamente la
transferencia de calor. Para todo proceso en el sistema cerrado de la
figura 2.3.1, se verifica
122121 EEWQ , (2.3.1)
en donde el primer miembro representa el intercambio neto de energía
con su ambiente y el segundo el incremento de la propiedad
termodinámica energía. En esta fórmula hemos seguido el convenio de
considerar positivos el calor entrante en el sistema y el trabajo realizado
por éste. El Primer Principio consiste precisamente en el reconocimiento
de la energía como una propiedad termodinámica del sistema. Por lo
tanto, los intercambios energéticos del primer miembro de (2.3.1)
dependen de los estados extremos 1 y 2 y del proceso seguido para pasar
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.17
Figura 2.3.1
de uno a otro, mientras que la diferencia de energías del segundo
miembro sólo depende de los estados extremos. Si consideramos un
proceso elemental, la expresión (2.3.1) toma la forma
dEWQ , (2.3.2)
en donde Q y W representan cantidades elementales que no son
diferenciales totales exactas y dE , en cambio, sí lo es. Si nos referimos a
los flujos de calor y trabajo y cambios de energía por unidad de tiempo,
podemos escribir
dt
dEWQ , (2.3.3)
en donde Q y W representan los flujos de calor y de trabajo y dt
dE la
derivada temporal de la energía del sistema. Finalmente, si consideramos
un proceso cíclico, que empieza y acaba en un mismo estado e
integramos (2.3.2) a lo largo del camino seguido, se verificará
0dEWQ . (2.3.4)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.18
Como las integrales del primer miembro representan respectivamente el
calor tomado y el trabajo realizado por el sistema, podemos concluir que
el trabajo realizado en un proceso cíclico ha de ser igual al calor
absorbido. En particular, es imposible la existencia de un artificio que
realice trabajo mediante un proceso cíclico sin consumir una cantidad
equivalente de calor. Tal artificio sería lo que se llama un móvil perpetuo
de primera especie.
Repasemos brevemente el significado de las magnitudes que
aparecen en la expresión (2.3.1) del Primer principio:
Calor. Es la forma de intercambio energético que se produce
entre dos sistemas cerrados a distintas temperaturas cuando
se les pone en contacto térmico. Equivale a afirmar que el
flujo de calor se debe a los desequilibrios térmicos. Más
adelante volveremos sobre esta cuestión.
Trabajo. Muchas de las formas de trabajo que se manejan
habitualmente en ingeniería termodinámica obedecen a la
siguiente definición: Trabajo es el intercambio energético que
se produce cuando se desplaza una superficie de control a
través de la cual actúa una fuerza. Si consideramos una
fuerza F (figura 2.3.2-a), ejercida por el sistema sobre el
ambiente a través de la superficie de control, la cual
experimenta un desplazamiento elemental (vectorial) dr, el
trabajo elemental realizado por el sistema será el producto
escalar de F por dr:
W = F · dr (2.3.5)
Con la ayuda de (2.3.5) se puede formular muy fácilmente el
trabajo realizado por un sistema en el que reina una presión
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.19
uniforme p (en equilibrio mecánico). Si lo suponemos
contenido en un cilindro cerrado por un pistón de área A, se
verificará:
W = F dr =p A dr = p dV , (2.3.6)
Figura 2.3.2
que es la expresión del trabajo de expansión o compresión. Se
puede generalizar la fórmula (2.3.5) a otros muchos modos de
realizar trabajo, sin más que sustituir F por una fuerza
generalizada y dr por un desplazamiento generalizado. Un
caso muy importante es el trabajo técnico, que es el realizado
mediante la rotación de un eje. En ese caso se verifica
W = N d , (2.3.7)
en donde N es el par que actúa sobre el eje y d el ángulo de
rotación elemental. También citaremos el trabajo eléctrico,
que se escribe
W = dq (2.3.8)
Sistema
Ambiente
F
dr F = pA
dr
dV
(a) (b)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.20
en donde es la diferencia de potencial y dq la carga
elemental.
Energía. La energía de un sistema queda determinada por
factores muy diversos: su posición en un campo de fuerzas
(energía potencial mgz, en donde m es la masa, g la
aceleración de la gravedad y z la altitud, si nos referimos al
campo gravitatorio terrestre), su movimiento como un todo
(energía cinética mc2/2, en donde c es la velocidad), o la
energía debida a la estructura, el movimiento y las
interacciones de las moléculas, átomos y partículas que lo
constituyen (energía interna U).
En ingeniería termodinámica se manejan habitualmente sistemas
abiertos, así que se necesita deducir expresiones del Primer Principio
adecuadas para tales sistemas, que sustituyan a (2.3.1), (2.3.2) y (2.3.3).
En la figura 2.3.3 se muestra un sistema abierto simplificado, pero con
todos los elementos fundamentales: Una boca de entrada B y otra de
salida C, un flujo instantáneo de calor Q y otro de trabajo W , que
incluye todas las formas posibles de trabajo, tales como el de cambio de
volumen (2.3.6), técnico (2.3.7.), eléctrico (2.3.8), etc... El sistema
abierto se ha sombreado oscuro. Consideraremos el sistema abierto en
dos instantes infinitamente próximos, t y t+dt. En la figura 2.3.3-a se
representa sombreada en claro la materia entrante me en el sistema en el
intervalo (t, t+dt), entre las superficies A y B, y en la 2.3.3-b la saliente
ms, entre las C y D. Creamos un sistema cerrado (de masa constante),
que en el instante t se encuentre entre las superficies A y C y en el t+dt
entre las B y D. Si representamos por m la masa (variable) del sistema
abierto y por mc (constante) la del cerrado, se verificará el siguiente
balance de masa:
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.21
cse mmdttmmtm )()( , (2.3.9)
Figura 2.3.3
de donde se deduce que
se mmdm (2.3.10)
y también
se mmdt
dm , (2.3.11)
todas ellas expresiones de la conservación de la materia: Las variaciones
de la masa del sistema son iguales a la diferencia entre las masas
entrantes y salientes. Si el sistema abierto se encontrase en régimen
permanente, su masa m permanecería constante y la ecuación precedente
se convertiría en
a) Inicial b) Final
Entrada Entrada
Salida Salida
A B B C C D
me
ms
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.22
se mm , (2.3.12)
que es la conocida ecuación o condición de continuidad y expresa la
igualdad entre los caudales másicos entrantes y salientes.
Pasemos ahora al balance energético. Con este objeto vamos a
aplicar (2.3.2) al sistema cerrado, que identificaremos en todos los
cálculos con el subíndice “c”. El calor absorbido verifica simplemente
dtQQQc . (2.3.13)
Para el trabajo, hay que sumar a W el trabajo de expansión o
compresión realizado por el sistema cerrado al desplazarse las superficies
A y C a las posiciones B y D respectivamente (el llamado trabajo de
trasvase):
dtmvpdtmvpdtWVpVpWW eeessseessc , (2.3.14)
en donde ev y sv representan los volúmenes específicos de la materia
entrante y saliente respectivamente. En cuanto a la energía, si se
representa por Ec la energía del sistema cerrado, para los instantes t y
t+dt, puede escribirse
dtmetEtE eec )()( (2.3.15)
y
dtmedttEdttE ssc )()( . (2.3.16)
Al restar (2.3.15) de (2.3.16) resulta
dtmedtmetdEtdE eessc )()( . (2.3.17)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.23
Ahora podemos aplicar (2.3.13), (2.3.14) y (2.3.17) en (2.3.2):
dtmemetdEdtmvpmvpWdtQ eesseeesss )()()( (2.3.18)
y también
dtmvpemvpetdEdtWdtQ eeeessss )()()( . (2.3.19)
Recordaremos que la energía específica mEe / es la suma de la
energía interna específica mUu / , la cinética específica 2
21 c y la
potencial específica gz , que consideraremos debida sólo al campo
gravitatorio terrestre:
gzcue 2
21 . (2.3.20)
Al aplicar en (2.3.19) obtenemos
dtmgzcvpemgzcvpu
tdEdtWdtQ
eeeeeessssss
)()(...
...)(
2
212
21
. (2.3.21)
Podemos introducir ahora la definición de entalpía:
pVUH , (2.3.22)
con lo que (2.3.21) toma una forma más compacta:
dtmgzchmgzchtdE
dtWdtQ
eeeessss
)()()(...
...
2
212
21
, (2.3.23)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.24
o también
eeeessss mgzchmgzchdt
dEWQ )()( 2
212
21 , (2.3.24)
referida a la unidad de tiempo. Cuando el sistema tenga varias entradas y
salidas, la expresión (2.3.24) queda sustituida por la general siguiente:
e
eeee
s
ssss mgzchmgzchdt
dE
WQ
)()(...
...
2
212
21
, (2.3.25)
Estas dos fórmulas son expresiones del Primer Principio para sistemas
abiertos en régimen transitorio. Para hacer más significativo el balance,
se puede reordenar (2.3.25) de la forma siguiente:
dt
dEmgzchW
mgzchQ
s
ssss
e
eeee
)(...
...)(
2
21
2
21
, (2.3.26)
donde vemos que el calor absorbido más las energías entrantes es igual
a la suma del trabajo realizado, las energías salientes y la variación de
la energía del sistema.
En régimen permanente, que suele ser el caso más frecuente en la
práctica, dE/dt es nula y, por ejemplo, (2.3.26) se reduce a
s
ssss
e
eeee mgzchWmgzchQ )()( 2
212
21
(2.3.27)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.25
y para un sistema con sólo una entrada y una salida, como (2.3.12)
impone la igualdad de los dos caudales másicos,
mgzchWmgzchQ ssseee )()( 2
212
21 . (2.3.28)
En tales sistemas interesan frecuentemente los intercambios energéticos
por unidad de masa circulante (magnitudes específicas). Al dividir la
fórmula anterior por m resulta
)()( 2
212
21
ssseee gzchwgzchq , (2.3.29)
en donde q y w son respectivamente el calor tomado y el trabajo
realizado por unidad de masa circulante. Conviene notar que, como en
régimen permanente el volumen del sistema no sufre alteración, no puede
haber trabajo de expansión o compresión, sino de otros tipos, tales como
técnico, eléctrico, etc... En la mayoría de los casos prácticos los cambios
de la energía potencial gravitatoria )( es zzg son despreciables
comparados con los de entalpía o energía cinética. Además, muchas
veces ocurre lo mismo con las energías cinéticas, de modo que pueden
eliminarse de los balances, con la consiguiente simplificación. En este
último caso, (2.3.29) se simplifica considerablemente:
se hwhq . (2.3.30)
De aquí se infiere que, si el flujo es adiabático, 0q y
se hhw , (2.3.31)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.26
de modo que el trabajo resulta ser igual a la caída de entalpía. Si no se
produjera trabajo, como ocurre en la expansión libre o de Joule, sería
se hh (2.3.32)
y se conservaría la entalpía.
§ 2.4. El Segundo Principio de la Termodinámica
Puede afirmarse que el Primer Principio postula la existencia de la
función de estado energía, cuya diferencial verifica (2.3.2). De una forma
similar, enunciaremos el Segundo Principio para un sistema cerrado
como sigue:
Existe una función de estado extensiva S, llamada entropía, con
las dimensiones energía/temperatura, caracterizada por las siguientes
propiedades:
a) Puede variar únicamente por intercambio de calor con el
ambiente o por generación o creación interna en el propio
sistema:
ge SSdS (2.4.1)
b) La entropía debida al intercambio de calor con el
ambiente verifica
T
QSe
. (2.4.2)
El valor de este término puede ser, por tanto, positivo,
negativo o nulo, según lo sea Q .
c) La entropía generada en el sistema no puede ser negativa:
0gS (2.4.3)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.27
y sólo será nula cuando el proceso sea reversible. En caso
contrario es siempre positiva. Por tanto gS es positiva
para todo proceso espontáneo.
De las tres expresiones precedentes se desprende que, para toda
transformación elemental,
T
QS
T
QdS g
, (2.4.4)
en la que el signo de igualdad correspondería a un proceso reversible.
La relación (2.4.2) permite establecer una distinción
termodinámica fundamental en los intercambios energéticos: Los flujos
de calor implican siempre una transferencia de entropía, mientras que
los de trabajo no lo hacen.
Es fácil extender la formulación del Segundo Principio a un
sistema abierto. Para ello volveremos sobre la figura 2.3.3 y seguiremos
un procedimiento semejante al entonces aplicado. Análogamente a las
fórmulas (2.3.15), (2.3.16) y (2.3.17), podemos escribir para la entropía
del sistema cerrado Sc:
dtmstStS eec
)()(
dtmsdttSdttS ssc
)()(
dtmsdtmstdStdS eessc )()( . (2.4.5)
Como, en general, el sistema intercambiará calor por más de un punto, no
podríamos, sin más, aplicar (2.4.4) al sistema cerrado, ya que el cociente
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.28
TQ / depende de la temperatura a que se produzca el intercambio, así
que lo sustituiremos por un sumatorio:
dtSdtT
QS
T
QdS g
f f
f
g
f f
f
c
. (2.4.6)
Al eliminar cdS entre las dos ecuaciones precedentes, reordenar y
extender al caso general de varias entradas y salidas, resulta
g
s
ss
e
ee
f f
fSmsms
T
Q
dT
dS
, (2.4.7)
que es la expresión buscada y podría
emparejarse con las (2.3.25) o (2.3.26) del
Primer Principio, teniendo presente que
fQQ . La fórmula (2.4.7) indica que la
variación de entropía del sistema es igual a la
suma de las transferencias de entropía debidas
a los flujos de calor, de las entradas y salidas
de entropía transportada por materia y de la
generación de entropía en el propio sistema.
Vamos a deducir ahora unas consecuencias del Segundo Principio
en su forma (2.4.4) para sistemas cerrados, que nos serán muy útiles en lo
sucesivo. Al observar cuidadosamente las máquinas térmicas se infiere
que todas ellas tienen algo en común: De una u otra forma, como mínimo
hay siempre un foco calorífico “caliente” que cede calor a la máquina y
otro “frío” que recibe calor de ella. La cantidad de calor cedida al foco
frío es menor que la tomada del foco caliente y la diferencia entre ambas,
de acuerdo con el Primer Principio, es convertida en trabajo mecánico.
Figura 2.4.1
T1
Q1
M
W
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.29
Además su funcionamiento es cíclico, de modo que recuperan siempre su
estado inicial después de un cierto número de operaciones. Supongamos
que existiera una máquina M, que describe un ciclo completo (Figura
2.4.1) y que, tomando el calor Q1 de un manantial calorífico a la
temperatura absoluta T1, realiza un trabajo W. Como nos referimos a un
proceso cíclico, el Primer Principio obliga a que sea, de acuerdo con
(2.3.1),
1QW . (2.4.8)
Por otra parte, al integrar (2.4.4) a lo largo del ciclo, suponiendo que
cuando toma calor del manantial, el sistema se encuentra a la misma
temperatura que éste, resulta
1
1
T
Q
T
QS
. (2.4.9)
Por tratarse de un proceso cíclico, las
entropías inicial y final han de ser
iguales, luego 0S y (2.4.9)
implica que sea 01 Q , ya que la
temperatura absoluta T1 es siempre
positiva. De acuerdo con (2.4.8), este
hecho denota que 0W , es decir que
la máquina no puede realizar un
trabajo positivo. Este teorema fue
tomado por Planck como enunciado
del Segundo Principio: Es imposible
la existencia de una máquina de
funcionamiento cíclico, que realice trabajo sin hacer otra cosa que
tomar calor de un único manantial calorífico. Se denomina móvil
Figura 2.4.2
T1
Q1
M
W
T2
Q2
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.30
perpetuo de segunda especie al que funcione en contradicción con este
enunciado. Así vemos que el Primer Principio niega la existencia del
móvil perpetuo de primera especie y el Segundo Principio la del móvil
perpetuo de segunda especie.
A consecuencia de lo anterior, toda máquina que produzca trabajo
ha de intercambiar calor con al menos dos manantiales caloríficos
(Figura 2.4.2), tomando la cantidad de calor Q1 de un manantial
“caliente” a la temperatura T1 y realizando un trabajo W. Según el
enunciado de Planck, es preciso que además intercambie calor con otro
manantial, que supondremos a una temperatura T2 < T1. Si la máquina le
cede un calor Q2, el Primer Principio exige que
21 QWQ . (2.4.10)
Interesa que Q2 sea lo menor posible, para que así se transforme en
trabajo la mayor cantidad de calor posible. Para proporcionar una
medida, se define el rendimiento de la máquina, análogamente a (1.2.1),
como la relación entre el trabajo W realizado y el calor Q1 tomado:
1
2
1
21
1
1Q
Q
Q
Q
W
. (2.4.11)
Veamos ahora las limitaciones que impone el Segundo Principio. Al
integrar (2.4.4) a lo largo del ciclo, suponiendo que cuando intercambia
calor con un manantial, el sistema se encuentra a la misma temperatura
que éste, resulta, análogamente a (2.4.9),
2
2
1
1
T
Q
T
Q
T
QS
, (2.4.12)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.31
Pero 0S , luego
02
2
1
1 T
Q
T
Q (2.4.13)
y también
1
2
1
2
T
T
Q
Q . (2.4.14)
Esta expresión indica, por lo pronto, que Q2 ha de ser siempre positivo,
esto es cedido al manantial “frío”. Por otra parte, al aplicarla en (2.4.11),
se obtiene
1
2
1
2 11T
T
Q
Q . (2.4.15)
Por tanto, el rendimiento no puede ser mayor que 1-T2/T1, que es llamado
rendimiento de Carnot. El rendimiento de la máquina será máximo
cuando ésta funcione reversiblemente y su valor será el rendimiento de
Carnot. Este hecho es importantísimo, ya que impone una limitación
esencial a la conversión de calor en trabajo mediante procesos cíclicos.
La fórmula (2.4.15) tiene, por otra parte, una importante
consecuencia teórica: El rendimiento de toda máquina reversible biterma
depende únicamente de las temperaturas absolutas de los dos
manantiales caloríficos con que intercambia calor. Este hecho permite la
determinación de la temperatura absoluta a partir de medidas
calorimétricas en máquinas térmicas, dándole el carácter de temperatura
termodinámica, que es en rigor la que figura en el denominador del
segundo miembro de (2.4.2).
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.32
§ 2.5. Trabajo máximo y equilibrio
Vamos a referirnos a un sistema cerrado, en equilibrio mecánico
y térmico internos y con su ambiente, esto es con presión y temperatura
uniformes y constantes en todo el sistema e iguales a las del ambiente.
Hay que notar que esto hace posibles los intercambios de trabajo de
expansión y los de calor entre sistema y ambiente. Además lo
supondremos libre de la acción de campos de fuerza (gravitatorios,
eléctricos, etc…) y con una energía cinética despreciable, de modo que
sólo habrá que considerar su energía interna. En tales circunstancias, por
aplicación del Primer Principio en su forma (2.3.2), teniendo en cuenta
(2.3.20), y del Segundo Principio mediante (2.4.4), se obtiene
WdUQTdS , (2.5.1)
o también, al despejar el trabajo,
dUTdSdUQW . (2.5.2)
Como la transformación ha de ser isoterma, (2.5.2) puede escribirse así:
TT TSUdW )( . (2.5.3)
Si definimos la función de estado energía libre F como
TSUF , (2.5.4)
puede darse a (2.5.3) la sencilla forma siguiente:
TT dFW , (2.5.5)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.33
que indica que el trabajo máximo realizable es igual a la disminución de
energía libre. Ahora bien, el trabajo total WT puede descomponerse en
dos partes:
ueT WWW , (2.5.6)
en donde eW es el trabajo de expansión pdV contra el ambiente – cuya
presión es la misma del sistema – y uW es la suma de los de otras clases
(técnico, eléctrico, ...) que haya podido también realizar el sistema y que
llamaremos trabajo útil. Al aplicar esto en (2.5.5) se acota el trabajo útil
como sigue:
pTTu pVFdpdVWW , , (2.5.7)
ya que la presión del sistema permanece constante e igual a la del
ambiente. Ahora definimos la función de estado entalpía libre G:
TSHTSpVUpVFG , (2.5.8)
en donde hemos aplicado la definición (2.3.22) de entalpía. Así (2.5.7) se
convierte en
pTu dGW , , (2.5.9)
la cual estipula que el trabajo útil máximo realizable por un sistema
cerrado a (T, p) constantes es igual a la disminución de entalpía libre.
Esta función tiene multitud de aplicaciones en termodinámica, tanto en el
análisis de trabajos útiles como en el estudio del equilibrio, que vamos a
revisar a continuación.
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.34
Para investigar el equilibrio, nos seguiremos refiriendo a un
sistema del mismo tipo considerado, pero abandonado a sí mismo, sin
más intercambios energéticos con su ambiente que los requeridos para
mantener su presión y temperatura iguales a las de éste. Por tanto, no
habrá realización de trabajo útil alguno y la fórmula (2.5.1) tomará la
forma
pdVdUTdS , (2.5.10)
o también
0,, pTpT dGTdSpdVdU , (2.5.11)
ya que el sistema evoluciona a temperatura y presión constantes. Por
tanto, en todo sistema cerrado que evoluciona espontáneamente en
equilibrio térmico y mecánico con su ambiente, sólo son posibles las
transformaciones que no aumenten su entalpía libre. El sistema se
encontrará en equilibrio cuando su entalpía libre sea mínima.
§ 2.6. Ecuaciones termodinámicas
El objeto de este apartado es recordar las fórmulas fundamentales,
de que haremos uso más adelante, que relacionan las propiedades
termodinámicas de los sistemas. Salvo indicación contraria, seguiremos
trabajando sobre un sistema del tipo acabado de considerar para el
estudio del equilibrio, suponiendo, además, que es químicamente inerte.
Todos los procesos que experimentará serán, por tanto, reversibles, lo
cual facilitará grandemente los cálculos. En tales circunstancias, el
Primer Principio en su forma (2.3.2) y teniendo en cuenta (2.3.6) conduce
a
pdVdUQ . (2.6.1)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.35
Aplicaremos esta fórmula a dos procesos muy frecuentes. En primer
lugar nos referiremos a un proceso a volumen constante, o isocoro. En
este caso el sistema ha de estar separado del ambiente por paredes rígidas
que permitan diferencias de presión. La expresión anterior se reducirá a
VV dUQ , (2.6.2)
que indica que, en tales sistemas, el calor absorbido a volumen constante
se invierte en un aumento equivalente de la energía interna. Para un
proceso a presión constante, o isobaro, se verificará
pppp dHpVUdpdVdUQ )( , (2.6.3)
en donde hemos introducido la entalpía, definida por (2.3.22). Ahora
vemos que el calor tomado a presión constante ocasiona un incremento
equivalente de entalpía.
Recordemos las definiciones generales de calor específico:
dT
Q
mc
1 (2.6.4)
y molar:
dT
Q
nc
1~ , (2.6.5)
en donde n es la cantidad de sustancia o cantidad de materia (número de
moles) del sistema. Al aplicarlas en (2.6.2) y (2.6.3), resultan las
siguientes expresiones de los calores específicos y molares a volumen o a
presión constante:
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.36
V
VT
U
mc
1
p
pT
H
mc
1 (2.6.6)
V
VT
U
nc
1~ p
pT
H
nc
1~ (2.6.7)
Gracias al Primer Principio hemos logrado expresar estas propiedades en
función de derivadas parciales de propiedades termodinámicas del
sistema.
Para aplicar el Segundo Principio arrancaremos de la expresión
(2.5.10) utilizada para la investigación del equilibrio. Como ahora el
proceso es reversible, será válido el signo de igualdad:
pdVdUTdS (2.6.8)
y al despejar dU ,
pdVTdSdU , (2.6.9)
que expresa dU en función de dS y dV . Este resultado indica que la
entropía y el volumen son las dos variables “naturales” para determinar la
energía interna. Además confirma termodinámicamente que el estado de
un sistema homogéneo y cerrado, que satisfaga las condiciones antes
detalladas, queda determinado por dos variables. Éste es el fundamento
de la ecuación de estado (p,T,V), que permite determinar una de las tres
funciones, conocidas las otras dos. Si diferenciamos las ecuaciones de
definición de H, F y G y aplicamos (2.6.9), resultan expresiones análogas
para sus respectivas diferenciales:
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.37
VdpTdSVdppdVdUdH (2.6.10)
pdVSdTSdTTdSdUdF (2.6.11)
VdpSdTSdTTdSdHdG (2.6.12)
Las cuatro ecuaciones precedentes son fundamentales en termodinámica
y de ellas vamos a deducir inmediatamente otras muy útiles. Conviene
observar que identifican las dos variables naturales para determinar cada
función. Cuando se precise tomar otro par de variables, bastará realizar el
oportuno cambio con la ayuda del cálculo diferencial. Se obtiene una
primera familia de fórmulas al expresar que, como las cuatro ecuaciones
son diferenciales totales exactas, los coeficientes de las diferenciales de
sus segundos miembros han de ser iguales a las derivadas parciales de las
funciones que figuran en sus primeros miembros. De entre ellas
seleccionamos las originadas por (2.6.10) y (2.6.12):
TdS
H
p
V
dp
H
S
(2.6.13)
SdT
G
p
V
dp
G
T
(2.6.14)
La primera de (2.6.13) sirve, por ejemplo, para determinar las
temperaturas sobre una isobara (p constante) en un diagrama de Mollier
(S, H), de tan frecuente uso en ingeniería termodinámica. Otra familia de
ecuaciones se obtiene por aplicación de la condición de Schwartz,
igualdad de las derivadas parciales cruzadas. Resultan así las fórmulas de
Maxwell, de las cuales escribimos a continuación las dos últimas,
procedentes de (2.6.11) y (2.6.12):
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.38
VT T
p
V
S
(2.6.15)
pT
T
V
p
S
(2.6.16)
Estas fórmulas permiten sustituir derivadas parciales de la entropía por
otras derivadas calculables mediante la ecuación de estado del sistema.
En general puede afirmarse que las ecuaciones termodinámicas
(2.6.8) a (2.6.16) son consecuencias del Segundo Principio, expresadas
de una forma familiar a la física teórica, mucho más fáciles de utilizar en
los cálculos que directamente dicho principio en su formulación de
partida.
§ 2.7. Sistemas abiertos
Empezaremos por estudiar un sistema homogéneo abierto, por lo
demás en las mismas condiciones formuladas al principio del § 2.5. Si
estuviera cerrado, su entalpía libre G sería directamente expresable en
función de T y p, tal como indica (2.6.12). Cuando el sistema se abre al
intercambio de materia con su ambiente, su estado dependerá también de
la cantidad de materia que contenga de cada uno de sus componentes, de
modo que
,...),...,,,( 21 innnpTGG . (2.7.1)
La diferencial de esta función verifica, evidentemente;
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.39
i
i npTinTnp
dnn
Gdp
p
GdT
T
GdG
jii
,,,,
. (2.7.2)
En esta expresión hay que notar que las dos primeras derivadas parciales,
respecto de T y p, se han tomado con todas las ni constantes. Las
derivadas respecto de una ni genérica, contenidas en el sumatorio, se han
tomado con todas las nj , tales que ij , constantes. Ahora bien, cuando
todas las ni permanecen constantes, el sistema está cerrado y se verifican
(2.6.12) y (2.6.14), luego podemos dar a (2.7.2) la siguiente forma:
i
i
idnVdpSdTdG , (2.7.3)
en donde hemos hecho
ijnpTi
i
j
n
G
,,
. (2.7.4)
i se denomina potencial químico del componente i .
Los potenciales químicos tienen una serie de propiedades y
aplicaciones importantes que vamos a investigar. Si, en (2.7.1),
multiplicamos por un mismo número todas las ni , manteniendo
constantes T y p, la cantidad total de materia del sistema quedará
multiplicada por , sin alterar su composición. Como G es una propiedad
extensiva, también resultará multiplicada por y podremos escribir
,...),...,,,(,...),...,,,( 2121 ii nnnpTGnnnpTG , (2.7.5)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.40
que nos indica que G es homogénea de primer grado en las ni . En primer
lugar derivaremos su primer miembro respecto de ni :
...)(...)(
...)(......)(...ii
i
i
i
i nn
nG
n
nG
. (2.7.6)
La derivada parcial del segundo miembro de (2.7.5) respecto de ni es
evidentemente ...)(... ii n , luego al igualar con (2.7.6) obtenemos
...)(......)(... iiii nn , (2.7.7)
lo cual demuestra que los potenciales químicos no se alteran cuando se
multiplican todas las ni por un mismo número. Esto significa que no
dependen de la cantidad de sustancia total del sistema, siempre que no se
alteren la temperatura, la presión ni la composición del sistema. Los
potenciales químicos son, por tanto, funciones de estado intensivas. Para
resaltar esta característica, hagamos n/1 , siendo n la cantidad total
de materia del sistema; entonces los productos in del primer miembro
de (2.7.7) se convierten en ii xnn / , esto es las fracciones molares de
los componentes. En consecuencia puede escribirse
,...),...,,,( 21 iii xxxpT , (2.7.8)
que expresa el potencial químico como función de sólo variables
intensivas. Si ahora derivamos (2.7.5) miembro a miembro respecto de
, resulta
i
ii
i
npTGn
n
G,...),...,(
)(
)(
, (2.7.9)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.41
pero el primer miembro es iiiiiiii nnnnn ...)(......)(... ,
luego (2.7.9) equivale a
iinG . (2.7.10)
Este importante resultado es una consecuencia inmediata del Teorema de
Euler de las funciones homogéneas en el caso en que el grado de
homogeneidad es 1. Si multiplicamos y dividimos por n el segundo
miembro de (2.7.10), resulta
iiii xnnnnG / , (2.7.11)
que evidencia la proporcionalidad entre la entalpía libre y la cantidad
total de sustancia del sistema cuando permanecen constantes su
temperatura, presión y composición.
Se define la entalpía libre molar media g~ como G/n. De acuerdo
con (2.7.11), verificará
ii xnGg /~. (2.7.12)
Cuando el sistema está formado por un solo componente (es un cuerpo
puro), la expresión anterior conduce a
pTn
GnGg
,
/~
. (2.7.13)
Este resultado indica que, el potencial químico de un cuerpo puro
equivale a su entalpía libre molar media. Los potenciales químicos son,
pues, una generalización de la entalpía libre molar media, a la que
sustituyen cuando el sistema tiene más de un componente.
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.42
Nos falta extender todo lo anterior a los sistemas heterogéneos.
Consideraremos un sistema genérico, constituido por c componentes
linealmente independientes 1, 2, ... i, ... c, distribuidos entre f fases 1, 2,
... , ... c. Las magnitudes referentes a las fases se identificarán mediante
superíndices y las relativas a los componentes mediante subíndices. Hay
propiedades extensivas, como la cantidad de sustancia n, la masa o el
volumen V , que son evidentemente aditivas:
VV (2.7.14)
i
innn . (2.7.15)
La energía interna y la entropía (y con ellas la H, F y G) totales del
sistema dependerán en general de la forma y posiciones relativas de las
fases, debido a los efectos superficiales y a las acciones a distancia,
especialmente las eléctricas. Para poder valorarlas por simple adición,
análogamente a (2.7.4), será preciso despreciar tales factores. Cuando
esto es admisible, que es lo habitual, se podrá escribir, por ejemplo,
GG (2.7.16)
y
dGdG . (2.7.17)
Queda, por tanto, resuelto el problema de la formulación de propiedades
extensivas en sistemas heterogéneos abiertos.
§ 2.8. Equilibrios heterogéneos
Vamos a investigar el equilibrio termodinámico de un sistema
heterogéneo cerrado, que se encuentra en equilibrio térmico y mecánico
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.43
con su ambiente. Será aplicable la condición (2.5.11), con la ayuda de
(2.7.17) y (2.7.3), nos conduce a
0
i
i
i dndpVdTSdGdG (2.8.1)
y como la temperatura y la presión son constantes, se reduce a
0
i
i
i dndG . (2.8.2)
Para interpretar este resultado, consideraremos un proceso elemental
consistente en el paso de la cantidad de sustancia 1
idn de componente i de
la fase 2 a la 1, permaneciendo constantes todas las demás:
),(0
)2,1(0
021
ijdn
dn
dndn
j
i
ii
(2.8.3)
Entonces
0)( 1212211 iiiiiii dndndndG . (2.8.4)
Esta expresión indica que, si 12
ii , tendrá que ser 01 idn , lo que
indica que todo componente tiende a pasar espontáneamente de las fases
en que su potencial químico sea mayor a aquéllas en las que sea menor.
Estos intercambios de materia entre fases serán posibles hasta llegar al
estado de equilibrio, en el que cada componente tendrá el mismo
potencial químico en todas las fases del sistema. En equilibrio, la entalpía
libre del sistema será mínima y 0dG . En (2.8.4) se aprecia que, como 1
idn es arbitraria, ha de ser nulo su coeficiente 21
ii . Al extender este
hecho a todas las fases y componentes, se llega a las condiciones de
equilibrio entre fases:
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.44
)(......21 if
iiii , (2.8.5)
que expresan el Teorema de Gibbs: En todo sistema heterogéneo en
equilibrio termodinámico, en que sea libre el intercambio de materia
entre sus fases, el potencial químico de cada uno de sus componentes ha
de ser el mismo en todas ellas.
En este punto es posible plantearse la siguiente cuestión: En un
sistema heterogéneo en equilibrio, ¿Qué posibilidades existen de alterar
su temperatura, su presión o las composiciones de las fases sin que se
destruya el equilibrio? Entenderemos que se deshace un equilibrio
cuando se forman fases nuevas o desaparecen algunas de las existentes en
el sistema. El Teorema de Gibbs nos permite estudiar fácilmente este
problema. Todo potencial químico verifica (2.7.8), luego podemos
escribir
),...,...,,,( 21
ciii xxxxpT , (2.8.6)
Al igualar los potenciales químicos de un mismo componente en todas
las fases, el Teorema de Gibbs se traduce en f-1 ecuaciones en T, p y las ix . Al extenderlo a todos los componentes se originará un total de
)1( fc ecuaciones. En cada una de las f fases hay c fracciones molares
que determinar, que hacen un total de cf para el sistema. Al agregar la
temperatura y la presión, se concluye que el número total de incógnitas es
2cf . Para determinarlas disponemos de las )1( fc ecuaciones
aportadas por el Teorema de Gibbs y las f condiciones que expresan que
la suma de las fracciones molares en cada fase ha de ser igual a la unidad:
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.45
)(1
n
n
n
nx
i
i
i
i . (2.8.7)
Para que el sistema de ecuaciones así constituido sea compatible, es
condición necesaria que el número de ecuaciones no exceda al de
incógnitas:
2)1( cfffc , (2.8.8)
o también
2 cf , (2.8.9)
que indica que el número de fases en equilibrio no puede superar al de
componentes en más de dos unidades. Si llamamos l a la diferencia entre
f-c y 2, podemos escribir
2 clf , (2.8.10)
en donde l es un número natural, incluido el cero. Esta fórmula es la
expresión de la Regla de las Fases y determina el número l de variables
intensivas que pueden ser alteradas en un sistema abierto sin destruir el
equilibrio. Ese número se denomina número de grados de libertad,
número de libertades o variancia del sistema. En un cuerpo puro, por
ejemplo, es 1c y, en consecuencia, 3 lf . Esto significa que
cuando se presente en forma homogénea (una sola fase) podrán alterarse
dos variables intensivas, tales como la presión y la temperatura; en
cambio, si apareciese en dos fases (por ejemplo, vapor húmedo), sólo
podría variarse una de ellas, de manera que la otra quedaría siempre
determinada en función de la primera.
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.46
§ 2.9. Gases ideales
Como en las aplicaciones va a utilizarse a menudo el modelo de
gas ideal, es conveniente repasar brevemente algunos de sus aspectos
termodinámicos básicos. Se define como gas ideal aquél que verifica:
a) La ecuación de estado
TRnpV~
, (2.9.1)
en donde n es la cantidad de sustancia, expresada usualmente
en moles y R~
es la conocida constante universal de los gases,
cuyo valor es 8,3144 J K-1
mol-1
.
b) La condición termodinámica
0
TV
U , (2.9.2)
que indica que la energía interna de una cantidad fija de un
gas ideal no se altera cuando varía su volumen si su
temperatura permanece constante.
La derivada parcial de (2.9.2) se ha tomado en el plano ),( VT . Si
pasamos al plano ),( pT , se verificará
0
TTTp
V
V
U
p
U , (2.9.3)
luego la energía interna tampoco depende de la presión. Las dos últimas
fórmulas expresan la Ley de Joule: La energía interna de una cantidad
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.47
fija de un gas ideal, químicamente inerte, es sólo función de su
temperatura. En cuanto a la entalpía, de acuerdo con su definición
(2.3.22) y la ecuación de estado (2.9.1), se cumple
TRnUpVUH~
(2.9.4)
y, como U sólo depende de T , resulta que la entalpía es también sólo
función de la temperatura. Como consecuencia inmediata de estos
hechos, las derivadas parciales que aparecen en (2.6.6) y (2.6.7) se
convertirán en derivadas ordinarias o totales y serán sólo funciones de la
temperatura.
Si derivamos (2.9.4), obtenemos
RndT
dU
dT
dH ~ (2.9.5)
y si dividimos miembro a miembro por n y aplicamos (2.6.7),
Rcc Vp
~~~ , (2.9.6)
que expresa la Ley de Mayer: La diferencia entre los calores molares
isobaro e isocoro de todo gas ideal es igual a la constante universal R~
.
Los cálculos de los cambios de energía interna y entalpía de un
gas ideal, sin reacción química, se realizan fácilmente por integración de
(2.6.6):
dTcnUdTcmUUT
TV
T
TV
2
1
2
1
~112
(2.9.7)
dTcnHdTcmHHT
Tp
T
Tp
2
1
2
1
~112
(2.9.8)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.48
Vamos a formular ahora los cambios entrópicos. Para hacerlo
como función de T y p , despejaremos S en la ecuación termodinámica
(2.6.10) y aplicaremos (2.6.7) y la ecuación de estado (2.9.1):
p
dpRn
T
dTcndp
T
VdH
TdS p
~~1 . (2.9.9)
Si se prefiere utilizar la masa, como
M
mn , (2.9.10)
en donde M es la masa molar del gas en cuestión, y definimos
M
RR
~
, (2.9.11)
puede darse a la ecuación de estado (2.9.1) la forma siguiente:
mRTpV . (2.9.12)
Hay que notar que R es un parámetro característico del gas estudiado, a
diferencia de R~
, que es una constante universal. Con la ayuda de (2.6.6),
(2.6.10) y (2.9.12) se llega a
p
dpmR
T
dTmcdS p , (2.9.13)
que sustituiría a (2.9.9). Por integración de (2.9.9) y (2.9.13) entre dos
estados definidos, suponiendo constantes pc y
pc~ , resulta
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.49
1
2
1
2
1
2
1
212 ln
~ln~lnln
p
pRn
T
Tcn
p
pmR
T
TmcSS pp . (2.9.14)
Finalmente y aunque no sea preciso para los desarrollos
posteriores, vamos a ver que, por aplicación del Segundo Principio, la
condición termodinámica (2.9.2) es realmente una consecuencia de la
ecuación de estado (2.9.1). Puede afirmarse que toda sustancia que
obedezca a la ecuación de estado (2.9.1) verifica la condición (2.9.2).
Para comprobarlo tomamos como punto de partida la ecuación
termodinámica (2.6.9), que expresa dU en función de dS y dV . Para
determinar dU en función de dT y dV , expresaremos dS en función de
dichas variables:
dVV
SdT
T
SdS
TV
(2.9.15)
Y sustituiremos en (2.6.9). Al agrupar términos resulta
dVpV
STdT
T
STdU
TV
, (2.9.16)
luego pT
pTp
V
ST
V
U
VTT
, (2.9.17)
en donde hemos aplicado la ecuación de Maxwell (2.6.15). Por
derivación parcial de la ecuación de estado (2.9.1) respecto de T a V
constante, resulta
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.50
RnVT
p
V
~
(2.9.18)
y
T
p
V
Rn
T
p
V
~
. (2.9.19)
Al sustituir en (2.9.17) se llega a (2.9.2).
§ 2.10. Mezclas gaseosas ideales
La ecuación de estado (2.9.1) conserva su validez para una
mezcla gaseosa ideal si n representa la cantidad total de sustancia:
i
inn , (2.10.1)
en donde ni representa la cantidad de materia del componente genérico i
de la mezcla. Si definimos la presión parcial pi como
V
TRnp ii
~
, (2.10.2)
al sumar para todos los gases se comprueba que
pV
TRn
V
TRnp
i
i
i
i
~~
. (2.10.3)
Este resultado expresa la conocida Ley de Dalton: la presión total de una
mezcla gaseosa ideal es igual a la suma de las presiones parciales de sus
componentes. De acuerdo con (2.10.2), la presión parcial de cada gas es
igual a la que ejercería si él solo ocupase el volumen total de la mezcla.
Al dividir miembro a miembro (2.10.2) por (2.9.1) resulta
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.51
i
ii xn
n
p
p , (2.10.4)
en la cual xi representa la fracción molar del gas genérico i.
La Ley de Dalton tiene su fundamento en la ausencia de
interacciones entre los gases que constituyen la mezcla ideal: Cada gas de
la mezcla se comporta como si no existieran los demás. Por otra parte,
como se recordó en el § 2.9, la energía interna y la entalpía sólo
dependen de la temperatura. A consecuencia de ello, la energía interna y
la entalpía de la mezcla han de ser iguales a la suma de las individuales
de cada gas si él solo ocupase el volumen total V a la temperatura T :
i
ii
i i
iii TuxuTunTUU )(~~;)(~)( (2.10.5)
i
ii
i i
iii ThxhThnTHH )(~~
;)(~
)( (2.10.6)
Para la entropía se verifica una expresión análoga, pero como indica
(2.9.13), esta propiedad depende de la temperatura y la presión, luego
i
iii
i i
iiiii pTsxspTsnpTSS ),(~~;),(~),( . (2.10.7)
Los calores molares de la mezcla se obtienen inmediatamente por
aplicación de (2.6.7) a (2.10.5) y (2.10.6), teniendo presente, una vez
más, que U y H sólo dependen de T :
i
ipip
i
iViV cxdT
hdccx
dT
udc ,,
~~
~~~
~ . (2.10.8)
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.52
Es frecuente que el proceso de mezcla se lleve a cabo a partir de
los gases puros, cada uno de ellos a la presión total y temperatura final de
la mezcla. Las ecuaciones (2.10.5) y (2.10.6) – para la energía interna y
la entalpía – serán directamente aplicables, ya que dichas propiedades no
dependen de la presión. En cuanto a la entropía, se aplicará (2.10.7), pero
las entropías molares que en ella figuran son a ),( ipT y habrá que
relacionarlas con sus valores a ),( pT mediante (2.9.14) y (2.10.4):
iii
iii xRpTsp
pRpTspTs ln
~),(~ln
~),(~),(~ (2.10.9)
y sustituyendo en (2.10.7),
i
i
ii
i
i xRxpTsxs ln~
),(~~ . (2.10.10)
El término i
i
i xRx ln~
se denomina entropía de mezcla.
Evidentemente es siempre positiva y representa la entropía creada cuando
se mezclan irreversiblemente varios gases que inicialmente se
encontraban a una misma presión p y temperatura T , iguales a las
condiciones finales de la mezcla.
Otras propiedades termodinámicas que vamos a necesitar son la
entalpía libre y el potencial químico. A partir de la ecuación de
definición (2.5.8) la entalpía libre molar media de la mezcla es
sThg ~~~ . (2.10.11)
Por aplicación de (2.10.6) y (2.10.10), la expresión precedente se
convierte en
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.53
i
iii
i
i
i
ii xxTRpTsxTThxg ln~
),(~)(~~
, (2.10.12)
pero
),(~),(~)(~
),(~)(~
pT
iigixpTisTTih
iix
pTis
iixTT
iihix
(2.10.13)
y al aplicar en (2.10.12) resulta
i
iii xTRpTgxg ln~
),(~~ . (2.10.14)
De aquí se infiere que, si recordamos (2.7.12),
iii xTRpTg ln~
),(~ , (2.10.15)
Que expresa el potencial químico de cada gas en la mezcla a partir de la
entalpía libre molar media del mismo gas puro a la temperatura y
presión de la mezcla.
En el caso de un gas ideal puro, interesa investigar cómo varía su
entalpía libre con la presión, a una temperatura dada. En estas
circunstancias, de (2.6.12), (2.7.13) y (2.9.1) se desprende que, a
temperatura constante,
p
dpTRdpvgdd
~~~ (2.10.16)
y, por integración entre una presión normal o de referencia p° y p,
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.54
o
oo
p
pTRpTgg ln
~),(~~ . (2.10.17)
Es fácil establecer una conexión entre (2.10.15) y (2.10.17). En primer
lugar, con la ayuda de (2.10.4) puede darse a (2.10.15) la forma
p
pTRpTg i
ii ln~
),(~ , (2.10.18)
que equivale a (2.10.17) si se toma como presión normal la del sistema.
Sigamos operando sobre (2.10.18):
o
io
i
o
o
iii
p
pTR
p
pTRpTg
p
p
p
pTRpTg
ln~
ln~
),(~...
...ln~
),(~
(2.10.19)
y como, a consecuencia de (2.10.18), se verifica
p
pTRpTgpTg
o
i
o
i ln~
),(~),(~ , (2.10.20)
(2.10.19) equivale a
o
io
iip
pTRpTg ln
~),(~ , (2.10.21)
que tiene exactamente la forma (2.10.17). Conviene advertir que
usualmente se toma como presión normal 1 atm.
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.55
§ 2.11. Fugacidad y actividad
Bajo este epígrafe vamos a revisar brevemente la formulación del
potencial químico en gases reales y disoluciones líquidas y sólidas.
Empezaremos por los gases ideales puros. La ecuación (2.10.16) puede
ser sustituida por la siguiente, que tiene su misma forma:
f
dfTRgdd
~~ , (2.11.1)
pero en la que, en vez de la presión, aparece una nueva propiedad
termodinámica f, función de p y T , con dimensiones de presión, llamada
fugacidad. A fines de la determinación de potenciales químicos, esta
función desempeña en los gases reales el mismo papel que la presión en
los ideales. La relación
p
f (2.11.2)
se denomina coeficiente de fugacidad. Como todo gas tiende al
comportamiento ideal cuando su presión tiende a cero, se verifica
siempre que
1limlim00
p
f
pp
. (2.11.3)
Conocida la ecuación de estado del gas, es fácil determinar φ en función
de p a una temperatura dada, aunque no entraremos aquí en el detalle, ya
que en la práctica se emplean gráficos disponibles en la bibliografía.
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.56
Podemos pasar ahora a las mezclas de gases reales. Si
diferenciamos (2.10.21) a temperatura constante, resulta para todo
componente ideal
i
ii
p
dpTRd
~ , (2.11.4)
que tiene exactamente la misma forma que (2.10.16). Mediante el mismo
proceso que condujo a (2.11.1), se introduce la expresión
i
ii
f
dfTRd
~ , (2.11.5)
en donde fi es la fugacidad del componente genérico i de una mezcla
gaseosa real. Cuando la presión de la mezcla tiende a cero el
comportamiento tiende a ideal y la fugacidad a la presión parcial. Como,
de acuerdo con la Ley de Dalton, en la mezcla ideal se verifica (2.10.4),
podemos escribir que
1lim0
i
i
p px
f . (2.11.6)
Al integrar (2.11.5) a temperatura constante, entre una presión total igual
a la normal po y la p del sistema, se obtiene
o
i
io
iif
fTRpT ln
~),( , (2.11.7)
que sustituye a (2.10.21) para una mezcla gaseosa real. Obsérvese que o
if es la fugacidad del componente i cuando la mezcla está en las
condiciones (T, po). De acuerdo con la definición (2.11.2), se verifica
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.57
iii pxf (2.11.8)
y, si se toma como estado normal del gas i el del mismo puro a la presión
p del sistema,
ppTf pi
o
i ,),( . (2.11.9)
En tal caso, el argumento del logaritmo de (2.11) se transforma como
sigue:
i
pi
i
pi
ii
o
i
i xp
px
f
f
,,
. (2.11.10)
Si la mezcla fuera ideal, los coeficientes de fugacidad serían iguales a la
unidad y el último miembro de (2.11.10) se reduciría a la fracción molar
de i, de modo que (2.11.7) tomaría la forma de (2.10.15).
Se define la actividad ai de un componente como la relación
(adimensional) siguiente:
o
i
ii
f
fa . (2.11.11)
Con su ayuda se simplifica la fórmula (2.11.7):
i
o
ii aTR ln~
. (2.11.12)
La actividad de todo componente en su estado normal será evidentemente
igual a la unidad.
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.58
Vamos a concluir este apartado con unas consideraciones muy
sumarias sobre las disoluciones líquidas y sólidas. En general, todo
componente de una disolución real, verificará una relación de la forma
(2.11.12). Para una disolución ideal, la actividad será sustituida por la
fracción molar correspondiente. Se define el coeficiente de actividad γi
como la relación entre la actividad y la fracción molar:
i
ii
x
a . (2.11.13)
El coeficiente de actividad tenderá a la unidad siempre que el
comportamiento se aproxime al ideal.
§ 2.12. El Tercer Principio de la Termodinámica
El primero y el segundo principios de la Termodinámica permiten
la determinación de las funciones U, H y S salvo constantes aditivas. Para
llegar a valores definidos es preciso asignar valores nulos de estas
funciones en algún estado de referencia fijado arbitrariamente. Este
recurso es satisfactorio para el cálculo de incrementos en procesos
puramente físicos, sin cambios en la naturaleza química de las sustancias
que intervengan. Cuando se producen reacciones químicas, hay reactivos
que se transforman en productos, de modo que el procedimiento anterior
no es aplicable. Para la U y la H, se fija arbitrariamente un nivel cero
para la entalpía de todo elemento químico en su estado normal más
estable a 298,15 K y 1 atm. Una vez fijado este convenio, la
determinación experimental y tabulación de calores de formación
normales permite determinar los cambios para cualquier reacción.
El caso de la entropía es diferente. Basado en abundante evidencia
experimental, el Tercer Principio de la Termodinámica establece que la
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.59
entropía de toda sustancia cristalina pura en el cero absoluto de
temperatura es nula. Se dispone así de un punto de partida para el
cálculo de entropías absolutas mediante expresiones del tipo
T
K T
QS
0
(2.12.1)
calculadas sobre un camino reversible. El Tercer Principio proporciona,
pues, un procedimiento riguroso para la determinación de entropías.
Capítulo 2: Revisión de termodinámica A.60
Capítulo 3: La exergía A.61
3 Capítulo 3: La exergía
§ 3.1. Introducción
Como se adelantó en el capítulo 1, la exergía de una porción de
materia está estrechamente relacionada con su estado termodinámico y
con el del ambiente. Aunque más adelante iremos introduciendo
matizaciones y puntualizaciones, tomaremos como punto de partida la
siguiente definición: La exergía de una porción de materia es igual al
trabajo útil máximo que puede obtenerse cuando se la lleva desde su
estado original al de equilibrio termodinámico con el ambiente, sin más
intervención que la suya propia y la del ambiente. Dicho estado final de
equilibrio se llama estado muerto. Desde otro punto de vista, la exergía
puede ser considerada como una medida del desequilibrio existente entre
la materia considerada y el ambiente.
Para poder realizar cálculos de exergía se precisa definir un
modelo idealizado razonable de ambiente, que se tome como referencia,
ya que la exergía dependerá siempre de los estados del sistema y del
ambiente. También habrá que analizar las diversas posibilidades de llegar
al estado muerto de equilibrio con el ambiente según las restricciones
impuestas a los diversos sistemas analizados. Todo esto será lo primero
que haremos en este capítulo.
Capítulo 3: La exergía A.62
Por otra parte, la exergía es un concepto genérico, que puede
referirse a entidades diversas, tales como sistemas termodinámicos,
corrientes materiales y flujos energéticos de distintos tipos (calor, trabajo,
energía eléctrica, etc...). Todo ello se tratará también en este capítulo, con
las formulaciones adecuadas a cada caso y estableciendo las conexiones
lógicas existentes entre las diversas formas de almacenar e intercambiar
exergía. Un punto muy importante será el análisis de la destrucción de
exergía debida a la inevitable irreversibilidad de los procesos reales.
§ 3.2. Ambiente y estado muerto
Desde un punto de vista estrictamente teórico, el ambiente debería
encontrarse en equilibrio termodinámico, con una energía utilizable nula,
pero en realidad no lo está, ya que sus propiedades intensivas varían de
unos lugares a otros y con el tiempo. Debido a sus elevadas energías de
activación, muchas reacciones – termodinámicamente espontáneas – que
llevarían al equilibrio termodinámico, se encuentran prácticamente
bloqueadas desde el punto de vista cinético. Un caso muy importante y
llamativo es el del nitrógeno molecular contenido en el aire atmosférico y
disuelto en las aguas oceánicas. En presencia de oxígeno o de agua son
más estables el ácido nítrico gaseoso disuelto en la atmósfera y el ión
nitrato disuelto en el agua del mar. Las entalpías libres de formación del
ácido nítrico y de los nitratos son negativas y, por tanto, sus reacciones
de formación son espontáneas. La barrera energética que las frena radica
en la ruptura del enlace triple de la molécula de nitrógeno, que tiene una
energía de activación de casi 1000 kJ/mol. A temperaturas ordinarias, las
velocidades de reacción son prácticamente nulas. Para que se produzcan
se requieren temperaturas muy elevadas, que pueden darse en procesos
de combustión o en descargas eléctricas atmosféricas. A esto se debe que
Capítulo 3: La exergía A.63
– como veremos enseguida – se tome el nitrógeno atmosférico como
sustancia de referencia y no un compuesto suyo más estable.
En rigor, la energía utilizable del entorno natural no es nula, ya que
se podría obtener trabajo útil si evolucionara hacia el equilibrio
termodinámico. Es preciso, por tanto, llegar a compromisos en la
formulación de un modelo de ambiente que se aproxime al entorno real y
sea termodinámicamente aceptable. Se establece un ambiente estable de
referencia (AER) convencional, normalmente a To = 298,15 K (25°C) y
po = 1 atm (1,013 bar), formado por diversas sustancias de referencia
existentes en el ambiente natural, a las que se asigna una exergía nula, y
que goce de las siguientes propiedades:
Aproximarse lo más posible al equilibrio termodinámico.
Reproducir razonablemente la realidad.
Tener un tamaño tan grande que sus intercambios de materia y
energía con los sistemas en estudio no alteren apreciablemente
sus propiedades intensivas (temperatura, presión y potenciales
químicos).
El AER se tomará como nivel de referencia común para las
determinaciones de exergía. Esto es en todo caso indispensable para
asegurar la coherencia de los cálculos. Cuando el sistema en estudio llega
al equilibrio termodinámico completo con el ambiente, se dice que se
encuentra en el estado muerto. En dicho estado, la presión, la
temperatura y los potenciales químicos del sistema son iguales a los del
ambiente.
Los sistemas cerrados no pueden alcanzar el equilibrio total con el
ambiente, ya que en ellos no son posibles los intercambios de materia que
probablemente se requerirían para lograr el equilibrio químico. En tal
Capítulo 3: La exergía A.64
caso se alcanza un estado de equilibrio restringido o físico, en el que sólo
se igualan presiones y temperaturas, que conoceremos como estado
ambiental.
Figura 3.2.1
El medio ambiente natural se puede considerar formado por los tres
subsistemas representados en la figura 3.2.1 que, en rigor, no se
encuentran enteramente en equilibrio termodinámico interno ni entre sí.
Son éstos los siguientes:
Atmósfera: Aire húmedo saturado, en equilibrio con agua
líquida. Aporta las sustancias de referencia para el oxígeno y
el nitrógeno, así como para los demás gases que componen el
aire, incluido el CO2, que es sustancia de referencia para el
carbono.
Hidrosfera: Agua líquida (H2O) saturada, que es sustancia de
referencia para el hidrógeno.
Litosfera: Las sustancias de referencia se eligen entre las más
abundantes y de menor valor existentes en la corteza sólida.
Hidrosfera
Atmósfera
Litosfera
Capítulo 3: La exergía A.65
Para el azufre y el calcio, por ejemplo, se toman,
respectivamente, el yeso (CaSO4.2H2O) y la calcita (CaCO3).
Este modelo de AER se aproxima bastante al ambiente natural
real y conserva, por tanto, la mayoría de los desequilibrios existentes en
éste. Por ejemplo, para el nitrógeno se toma como sustancia de referencia
el existente en la atmósfera y esto da lugar a que los nitratos de sodio,
potasio y calcio tengan exergías normales negativas. Este hecho no suele
tener importancia en la práctica.
§ 3.3. Exergía de un sistema cerrado
Consideraremos un sistema cerrado, o masa de control, que puede
intercambiar calor y trabajo con el ambiente. De acuerdo con la
definición general enunciada en el § 3.1, la exergía del sistema es el
trabajo útil máximo que puede obtenerse cuando se lleva al sistema
desde el estado en que se encuentra, al estado muerto, sin más
intervenciones que las del propio sistema y el ambiente.
Nos limitaremos al caso más frecuente, en que no se consideran la
energía cinética ni la potencial del sistema. El trabajo máximo se
obtendrá cuando el paso al estado muerto se realice reversiblemente. Por
cualquier camino reversible se producirá el mismo trabajo. Si no fuera así
y existieran dos procesos reversibles distintos, entre los mismos estados
extremos, que produjeran trabajos diferentes, se violaría el Segundo
Principio. En efecto, al invertir el proceso que produzca menos trabajo,
se obtendría un ciclo que produciría trabajo sin más que tomar calor del
ambiente. A consecuencia de esto, para determinar la exergía del sistema,
bastará llevarlo idealmente al estado muerto mediante el proceso
reversible que deseemos. En la figura 3.3.1 se representa, en un diagrama
(S, T) el proceso que vamos a seguir.
Capítulo 3: La exergía A.66
Figura 3.3.1
En primer lugar, mediante una transformación adiabática
reversible, llevaremos el sistema desde su estado inicial 1 (T1, p1) hasta
un estado intermedio 2 (To, p2), a la temperatura To del ambiente. El
trabajo producido será, de acuerdo con el Primer Principio (2.3.2) y
teniendo en cuenta que ahora es UE y 0Q ,
2121 UUW . (3.3.1)
Por tratarse de una transformación reversible, 0gS y el Segundo
Principio (2.4.4) indica que
12 SS . (3.3.2)
A continuación, lo sometemos a un proceso físico isotermo reversible
desde el estado 2 hasta un nuevo estado 3 (To, po) en que su presión se
iguale a la po del ambiente. Se verificará:
T
S
1
2 3
(To , po) (To , p2)
(To , p1)
Capítulo 3: La exergía A.67
)(...
...)(
1332
2332323232
SSTUU
SSTUUQUUW
o
o
. (3.3.3)
Al final de este proceso, el sistema se encontrará en su estado ambiental,
o de equilibrio restringido – puramente físico – con el ambiente.
Sería posible que el sistema estuviera constituido por sustancias
que pudieran reaccionar entre sí, por ejemplo un combustible y un
oxidante. En tal caso podría producirse una reacción química, que
conduciría a un estado ambiental más estable. Si, en todo caso, se abriera
el sistema, podría llegar a un estado final más estable 0 (To, po), que sería
su estado muerto. El trabajo realizado en ese proceso a (To, po)
obedecería a una expresión análoga a (3.3.3):
)( 3303303 SSTUUQUUW oooo . (3.3.4)
Mediante adición de los resultados (3.3.1), (3.3.3) y (3.3.4) se obtiene el
trabajo total:
)( 1101 SSTUUW ooo . (3.3.5)
Como indica (2.5.6), para determinar el trabajo útil, habrá que restar el
de expansión )( 1VVp oo contra el ambiente:
.)()(...
...)()(
111
111
ooooooo
ooooou
STVpUSTVpU
VVpSSTUUW
(3.3.6)
Capítulo 3: La exergía A.68
Wu es la exergía del sistema, que representaremos por A. Si además
definimos la función de trabajo
STVpUL oo , (3.3.7)
se verificará
oLLA . (3.3.8)
Esta expresión indica que la exergía de un sistema viene determinada por
la diferencia entre los valores que tome la función L en el estado en que
se encuentre el sistema y en el estado muerto. Es interesante notar que,
cuando el sistema se encuentra a la temperatura y presión del ambiente,
la función de trabajo coincide con la entalpía libre (2.5.8) del sistema.
Las fórmulas (3.3.7) y (3.3.8) ponen de manifiesto que la exergía
tiene las dimensiones de una energía. Por otra parte, la exergía de un
sistema es una combinación de funciones de estado, por lo que será
también función de estado, con la singularidad de que depende de
variables del sistema y del ambiente. Conviene notar que las propiedades
del sistema que intervienen son extensivas y las del ambiente intensivas.
Gracias a este hecho, todos los cálculos anteriores pueden extenderse
muy fácilmente a un sistema heterogéneo, entre cuyas fases no haya
equilibrio térmico, mecánico ni químico.
Cuando se investigan procesos puramente físicos, en los que no se
produce reacción química alguna, puede manejarse el estado ambiental (o
de equilibrio restringido con al ambiente) en lugar de su estado muerto,
con la consiguiente simplificación en los cálculos. La exergía utilizada en
tales casos se denomina exergía física. La exergía restante, llamada
exergía química, se calcularía, en los casos en que se la precisara,
basándose principalmente en el empleo de entalpías libres a (To, po).
Volveremos sobre esto más detenidamente en el § 3.5.
Capítulo 3: La exergía A.69
Finalmente advertiremos que, cuando un sistema realiza una
transformación desde un estado inicial (T1,p1) hasta un estado final (T2,p2)
cualquiera, la variación de su exergía será:
12 AAA (3.3.9)
y al sustituir A2 y A1 por los valores dados por (3.3.8),
12 LLA , (3.3.10)
expresión que suele simplificar los cálculos.
§ 3.4. Propiedades de la exergía de un sistema cerrado
Es muy instructivo analizar los cambios que experimenta la
exergía de un sistema cerrado cuando intercambia energía con el
ambiente, en forma de calor o de trabajo. Para un proceso elemental,
mediante diferenciación de (3.3.8) teniendo en cuenta (3.3.7), se obtiene
dSTdVpdUdLdA oo . (3.4.1)
Con la ayuda del Primer Principio y (2.5.6) podemos escribir
dVpWQWQdU ou . (3.4.2)
y con la del Segundo Principio (2.4.4),obtenemos:
gS
T
QdS
. (3.4.3)
Capítulo 3: La exergía A.70
Si sustituimos (3.4.2) y (3.4.3) en (3.4.1), se llega a
gou
o STWQT
TdA
1 . (3.4.4)
Este interesante resultado expresa que el trabajo útil -δWu realizado
contra el sistema es una entrada de exergía al sistema. Por el contrario,
del calor absorbido por el sistema, sólo la fracción (1-To/T) constituye
una entrada de exergía al sistema. La temperatura a que se transmite el
calor determina, por tanto, su calidad como aporte exergético. De hecho
se trata de una consecuencia directa del Segundo Principio, que merece la
pena discutir brevemente a continuación.
Figura 3.4.1
-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1-To/T
To
0 200 400 600 800 1000 T /K
Capítulo 3: La exergía A.71
En la figura 3.4.1 se representa (1-To/T) en función de la
temperatura T del sistema. Se observa que tiende a la unidad cuando T
tiende a infinito. Para valores inferiores a la temperatura ambiental To ,
tiende a menos infinito cuando T tiende a cero.
Si T > To, cuanto mayor sea T tanto mayor será la parte del calor
absorbido transformable en trabajo útil. Conviene recordar aquí que, de
acuerdo con (2.4.15), 1-To/T es el rendimiento máximo, o de Carnot, de
la transformación de calor en trabajo mediante procesos cíclicos entre T y
To. En el caso en sea T < To, esta diferencia de temperatura permite
obtener trabajo utilizando el sistema como manantial frío y el ambiente
como foco caliente. Si se aporta Q al sistema, éste pierde la exergía
equivalente al trabajo que se habría producido al absorber ese calor a
través de una máquina cíclica reversible entre To y T. El trabajo obtenido
habría sido, recordando (2.4.14),
QT
TQQ
T
TQQW oo
ou
1 , (3.4.5)
luego habría una entrada negativa de exergía igual a QT
To
1 , que
concuerda con (3.4.4). Conviene advertir que, cuando T > To , toda
entrada de calor en el sistema aumenta su exergía y lo aleja del equilibrio
con el ambiente. Por el contrario, si fuera T < To , ocasionaría una
disminución de exergía, aproximando el sistema al equilibrio con el
ambiente. Finalmente, cuando T = To, el intercambio de calor supone un
flujo exergético nulo. En la figura 3.4.1 se aprecia que, cuando T < To ,
una misma entrada de calor en el sistema puede ocasionar grandes
disminuciones de exergía, tanto mayores cuanto menor sea T.
Capítulo 3: La exergía A.72
Volvamos a la expresión (3.4.4). En su segundo miembro aparece
el término sustractivo Sg , que representa la destrucción de exergía
causada por la creación de entropía Sg. Como Sg 0, para unos
mismos valores de Q y Wu, dA será lo mayor posible cuando Sg = 0,
esto es cuando el proceso sea reversible. Podemos escribir, por tanto,
u
o WQT
TdA
1max
(3.4.6)
y
dAdAdA max (3.4.7)
con
god STA . (3.4.8)
Este resultado expresa el importante Teorema de Gouy-Stodola para un
sistema cerrado: La exergía destruida es igual al producto de la
temperatura del ambiente por la entropía creada. Conviene recalcar que,
si bien Q y Wu pueden ser positivas o negativas, Ap es positiva para
todo proceso irreversible (real), lo que indica que siempre hay
destrucción de exergía.
Si se tratase de un sistema aislado, en (3.4.4) serían nulos Q y
Wu , luego
00 gaisl STdA , (3.4.9)
lo que denota que, cuando un sistema aislado experimenta un proceso
irreversible, su exergía disminuye. En otras palabras puede afirmarse que
la exergía de todo sistema aislado tiende a disminuir espontáneamente y
que todo sistema aislado tiende espontáneamente a su estado muerto,
que será un estado de equilibrio estable. A consecuencia de esto, puede
Capítulo 3: La exergía A.73
afirmarse que la exergía de un sistema fuera de su estado muerto es
siempre positiva. En efecto:
Si es positiva, como tiende a disminuir espontáneamente,
tenderá a aproximarse al estado muerto, de exergía nula.
Si fuera negativa, tendería a ser todavía más negativa y se
apartaría espontáneamente del estado muerto, lo cual es
imposible, ya que dicho estado es de equilibrio estable.
§ 3.5. Exergía química
Consideremos un sistema cerrado en el que sea posible una cierta
reacción química PR y que se encuentre a la temperatura y presión
del ambiente (To , po). Si identificamos con los subíndices R y P las
funciones termodinámicas respectivas de reactivos y productos, el trabajo
útil máximo obtenible mediante la reacción será, a consecuencia de
(3.3.10) y (3.3.7), recordando la definición (2.5.8) de G,
PRPoPoPRoRoR
PRu
GGSTVpUSTVpU
LLW
...
...max,
, (3.5.1)
resultado que concuerda con (2.5.9). Por tanto, el trabajo útil máximo
posible con una reacción química en condiciones ambientales es igual a
la disminución de entalpía libre del sistema.
Para obtener efectivamente un trabajo útil igual a Wu,max, es
preciso encauzar la reacción de modo que se produzca reversiblemente y
con un montaje que permita la obtención de trabajo útil. Tal objetivo
puede lograrse, por ejemplo, haciendo que la reacción tenga lugar en una
pila galvánica reversible, que produzca el trabajo útil en forma de energía
eléctrica. Si, por el contrario, la reacción tiene lugar por simple contacto
Capítulo 3: La exergía A.74
de los reactivos, en un sistema que sólo pueda realizar trabajo de
expansión, el proceso es fuertemente irreversible, el trabajo útil es nulo y
el único efecto energético de la reacción es la producción del calor de
reacción -H. La relación entre H y G es
STHGGG oPR , (3.5.2)
luego la diferencia entre G y H depende del S de la reacción. Hay
que notar que ToS es el calor que absorbe el sistema cuando la reacción
se produce reversiblemente. Por tanto, el trabajo útil reversible (-G) es
igual a la pérdida de entalpía del sistema (-H) más el calor (ToS)
tomado reversiblemente del ambiente. Es frecuente que |ToS|«|H|. En
tal caso sería G H, pero aun así existe una diferencia esencial entre
el trabajo útil reversible (-G) y el calor de reacción (-H). Es ésta que el
primero se presenta en forma de trabajo útil y el segundo en forma de
calor. El trabajo útil puede convertirse fácilmente en calor, pero no así a
la inversa. Si el sistema se encuentra precisamente a la temperatura To del
ambiente, el Segundo Principio nos indica que el calor desprendido no
puede producir trabajo útil alguno.
El resultado (3.5.1) nos permite establecer fácilmente el concepto
de exergía química de un sistema. Como se ha visto en el § 3.3, una vez
llevado el sistema al estado ambiental (To, po), puede que su G no sea
mínima, sino que sean posibles procesos químicos que conduzcan a
estados más estables, siempre a To y po. En consecuencia, se define la
exergía química como el trabajo útil máximo posible cuando el sistema
pasa del estado ambiental (To, po) al estado muerto, mediante procesos
que impliquen intercambio de calor y de materia sólo con el ambiente.
Más brevemente, puede decirse que la exergía química de un sistema es
igual a su exergía total en su estado ambiental. Como el trabajo máximo
producido se obtiene reversiblemente, es posible esta otra definición: La
Capítulo 3: La exergía A.75
energía utilizable química de un sistema es el trabajo mínimo necesario
para sintetizarlo en el estado (To , po) a partir del ambiente,
intercambiando calor y materia sólo con el ambiente.
§ 3.6. Exergía de una corriente material
En el análisis de sistemas, el caso más frecuente se presenta en el estudio
de los procesos de flujo de materia y energía en sistemas abiertos en
régimen permanente. En tales casos la exergía del sistema permanece
constante y la atención del analista se centra sobre los flujos exergéticos
entrantes y salientes. Vamos a abordar por tanto ahora dichos procesos de
flujo, empezando por una corriente material en régimen permanente.
Análogamente a lo hecho en el § 3.3 para un sistema cerrado, se trata de
investigar en este punto el trabajo útil máximo que puede obtenerse al
llevar la materia desde un estado inicial genérico hasta el estado muerto,
con la sola intervención de la corriente y el ambiente.
Para simplificar los cálculos, empezaremos por suponer que la
transformación se produce hasta el estado ambiental (To , po ), sin llegar
al equilibrio químico con el AER. Como en el estado ambiental las
energías cinética y potencial son nulas, el trabajo útil obtenido será, de
acuerdo con el Primer Principio, en su forma (2.3.29), si representamos la
exergía específica por b,
gzc
qhhwb revou 2
2
max, . (3.6.1)
Con un camino análogo al seguido en el § 3.3 para los sistemas cerrados,
el proceso puede realizarse en dos pasos: uno primero adiabático
reversible, que lleve el fluido a la temperatura To, en el que se conservará
Capítulo 3: La exergía A.76
su entropía específica, y otro isotermo reversible a To, en el que se tomará
el calor
)( ssTq oorev . (3.6.2)
Al sustituir en (3.6.1) resulta
gzc
sThsThb oooo 2
2
. (3.6.3)
Si, de una forma análoga como se hizo en el § 3.3 con la función de
trabajo, definimos la función de Darrieus y como
sThy o , (3.6.4)
podemos dar a (3.6.3) la forma siguiente:
gzc
yyb o 2
2
. (3.6.5)
Esta fórmula determina la exergía específica de la corriente considerada.
En ella se aprecia que la exergía específica total ma xuwb , consta de
tres partes:
Exergía interna: oyyb int (3.6.6)
Exergía (o energía) cinética: 2/2cbc (3.6.7)
Exergía (o energía) potencial: gzbp , (3.6.8)
de modo que se puede escribir
pc bbbb int (3.6.9)
Capítulo 3: La exergía A.77
Las energías cinética y potencial son totalmente convertibles en trabajo
útil y, por tanto, son parte de la exergía. Igual ocurrirá con la energía
eléctrica, cuando se considere materia cargada eléctricamente. Como, en
general, en el estado ambiental puede no haber equilibrio químico con el
AER, la exergía interna, a su vez podrá descomponerse como sigue:
of bbb int , (3.6.10)
en donde aparecen dos formas de exergía:
Exergía física fb , que es el trabajo útil máximo que se obtendría al
pasar del estado genérico considerado al estado ambiental (To, po)
mediante procesos puramente físicos.
Exergía química ob , que es el trabajo útil máximo que se obtendría al
pasar del estado ambiental al estado muerto, mediante procesos
químicos a la temperatura y presión del ambiente.
Por lo general, la exergía interna se calcula y maneja
separadamente, para combinarla en su momento con la cinética y la
potencial. Salvo cuando se manejen sustancias muy densas con grandes
desniveles, la energía potencial es despreciable comparada con las otras
formas de exergía. La energía cinética es frecuente que sea lo
suficientemente pequeña frente a la interna como para poder despreciarla.
Por este motivo, en muchos cálculos se suele manejar la exergía interna
como si fuese la total. Cuando no hay reacciones químicas, no es preciso
considerar la exergía química, que se omite en los cálculos, manejando
exclusivamente la física.
La función de Darrieus se presta a una representación gráfica muy
simple en el diagrama de Mollier (s, h), que se suele utilizar en las
determinaciones de exergía física. De acuerdo con (3.6.4) y (3.6.5), si no
se toman en cuenta las energías cinética y potencial, las líneas de igual
Capítulo 3: La exergía A.78
exergía vendrán representadas por rectas h – Tos = cte. Cuando h = ho
y T = To, resulta b=0 y la recta correspondiente se llama línea del estado
muerto, que es el lugar geométrico de los estados de exergía nula (figura
3.6.1). Si se representan por A y O
Figura 3.6.1
respectivamente el estado genérico y el muerto, la exergía b viene dada
por el segmento vertical AB trazado entre A y la línea del estado muerto.
En la misma figura se dibuja la sencilla construcción gráfica que
relaciona h – ho con b. Como, según (2.6.13), TS
H
P
, la línea del
estado muerto es tangente en O a la isobara po.
s
h
isobara p
isobara po O
A
B
C To (s-so)
h - ho b
Línea del
estado muerto
s-so
Capítulo 3: La exergía A.79
De las expresiones (3.6.4) y (3.6.5) se deduce que la función b ,
exergía específica, es una función de estado intensiva y tiene las
dimensiones de energía/masa. Si el flujo másico de la corriente es m , el
flujo exergético será
bmB , (3.6.11)
con las dimensiones de energía/tiempo, o potencia.
Cuando el flujo de materia pase del estado inicial (T1, p1) a un
estado final (T2, p2) cualquiera, la variación de exergía será:
12 bbb (3.6.12)
y, teniendo en cuenta (3.6.4) y (3.6.5),
sThssThhb oo 1212 , (3.6.13)
que es la expresión de la diferencia de exergía entre dos estados
cualesquiera de una misma corriente.
§ 3.7. Exergía de un flujo de calor
Esta cuestión ha recibido ya un tratamiento básico en el § 3.4. De
acuerdo con lo allí visto, un flujo de calor Q a una temperatura T implica
un flujo exergético
QT
TB o
q
1 . (3.7.1)
Capítulo 3: La exergía A.80
Por lo tanto, para un mismo flujo calorífico, el flujo exergético
correspondiente es tanto menor cuanto más se aproxima T a To.
Como vimos también en el § 3.4, cuando T < To , el flujo
exergético tiene sentido opuesto al calorífico. Toda entrada de calor a
una temperatura inferior a la del ambiente equivale a una salida de
exergía, tanto mayor cuanto menor sea la temperatura a que se produce la
transmisión de calor. Este hecho puede ser extraordinariamente
importante en instalaciones criogénicas, a muy bajas temperaturas, ya
que una pequeña fuga calorífica – que se produciría del ambiente al
sistema – puede provocar pérdidas de exergía muy considerables, como
se puede apreciar en la figura 3.4.1.
§ 3.8. Cambio de exergía en una reacción química
Acabamos de estudiar la exergía de los flujos de materia y de
calor. Para completar el análisis de los casos posibles, vamos a examinar
el cambio de exergía que acompaña a un proceso de flujo con reacción
química. Para ello consideraremos un reactor químico en régimen
permanente, en el cual una corriente entrante de reactivos R en las
condiciones ambientales (To , po) se convierte en una corriente saliente de
productos P en las mismas condiciones, según se ilustra en la figura
3.8.1. Deseamos conocer el valor del trabajo útil máximo wu,max, que
coincidirá con la disminución de exergía asociada a ese proceso químico.
Para ello tendremos que suponer que el proceso se desarrolla
reversiblemente. Se verifica, de acuerdo con (2.3.30), si no se consideran
las energías cinética ni potencial,
PRmaxu hhqw , . (3.8.1)
Como el proceso en el reactor se realiza reversiblemente a la temperatura
To,
Capítulo 3: La exergía A.81
RPo ssTq . (3.8.2)
Figura 3.8.1
Al aplicar este resultado en (3.8.1) y reordenar, resulta:
PpRRmaxu sThsThw 00, (3.8.3)
y si recordamos la definición (2.5.8) de G,
Tshg , (3.8.4)
lo que permite convertir (3.8.3) en
gggw PRmaxu , (3.8.5)
Vemos, por tanto, que en un flujo permanente con reacción química en
condiciones ambientales, el trabajo útil máximo que puede obtenerse
coincide con la disminución de entalpía libre originada en el mismo. Este
Reactivos
To po
Productos
To po
q
Wu
REACTOR
Capítulo 3: La exergía A.82
resultado guarda, evidentemente, una estrecha relación con el (3.5.1), que
se obtuvo para un sistema cerrado.
Llegados a este punto, podemos sacar partido de (3.8.5) para la
determinación de la exergía química bo de una corriente material, de una
forma análoga a la seguida en el § 3.5 para un sistema cerrado. Como
expresa (3.6.10), la exergía física bf representa el trabajo útil máximo
obtenible al llegar la corriente al estado ambiental (To,po). Mediante un
proceso químico ideal, como el acabado de describir, podría llevarse la
materia a su estado de equilibrio estable, que sería el estado muerto. El
trabajo útil máximo obtenido será igual a la exergía química bo.
§ 3.9. Propiedades de la exergía de una corriente material
Lo mismo que hicimos en el § 3.4 para un sistema cerrado, vamos a
investigar ahora los cambios que experimenta la exergía de una corriente
material cuando intercambia calor o trabajo con el ambiente. Para ello
consideraremos el volumen de control elemental comprendido entre dos
secciones fijas e infinitamente próximas de una corriente de materia, tal
como se dibuja en la figura 3.9.1. La diferencia entre las exergías
específicas saliente y entrante vendrá dada por la diferencial de la
expresión (3.6.3) de b :
pco dededsTdhdb , (3.9.1)
en donde ec y ep representan, respectivamente las energías cinética y
potencial específicas de la corriente. Mediante la expresión (2.3.29) del
Primer Principio para sistemas abiertos en régimen permanente, podemos
escribir en forma diferencial
upc wdededhq , (3.9.2)
Capítulo 3: La exergía A.83
Figura 3.9.1
en donde δq y δwu son, respectivamente, el calor tomado y el trabajo útil
realizado por el volumen de control elemental considerado cuando pasa
por él la unidad de masa. Podemos despejar dh con el siguiente resultado:
)( upc wdedeqdh , (3.9.3)
que vamos a utilizar enseguida.
De la expresión (2.4.4) del Segundo Principio se deduce que para
el paso de la unidad de masa por el volumen de control elemental se
cumple
gsdsT
q
0 , (3.9.4)
en donde δsg es la entropía generada en el volumen de control con el paso
de la unidad de masa. De aquí se desprende que
gs
T
qds
. (3.9.5)
Ahora aplicamos (3.9.3) y (3.9.5) en (3.9.1):
δwu
δq
Capítulo 3: La exergía A.84
gouo sTwq
T
Tdb
1 , (3.9.6)
expresión análoga a (3.4.4), y que nos permite llegar a unas conclusiones
equivalentes.
En (3.9.6) se pone de nuevo de manifiesto la relación entre
destrucción de exergía e irreversibilidad:
god sTb , (3.9.7)
que expresa la destrucción de exergía en una porción elemental de una
corriente de materia por el paso de la unidad de materia. Esta fórmula es
análoga a la (3.4.4), que se obtuvo para sistemas cerrados. La ecuación
(3.9.7) expresa el Teorema de Gouy-Stodola para una corriente material.
A diferencia de la exergía de un sistema cerrado, la exergía de una
corriente material sí puede ser negativa. Cuando la presión es menor que
la ambiente, para que se produzca el flujo hacia el estado ambiental será
preciso realizar un trabajo útil sobre la corriente (negativo realizado por
la corriente), dando lugar a una componente negativa de su exergía. Esta
componente puede prevalecer en el resultado final, con el resultado de
una exergía negativa. En los ejemplos de cálculo que vamos a desarrollar
a continuación veremos algunos casos en que se da tal circunstancia.
§ 3.10. Ejemplos de cálculo
Vamos a aplicar (3.6.3) a la determinación de expresiones de la exergía
en dos casos típicos: corriente incompresible y corriente gaseosa ideal.
Nos limitaremos a la exergía física y no tomaremos en consideración las
energías cinética ni potencial, de modo que se verificará
Capítulo 3: La exergía A.85
)()( ooo ssThhb . (3.10.1)
a) Corriente incompresible. En este caso el volumen es constante y, por
tanto:
vdpdupvuddh . (3.10.2)
Al integrar entre el estado ambiental (To, po) y el genérico (T, p),
suponiendo constante cv, resulta
)()(0 oovoo ppvTTcppvuuhh . (3.10.3)
Por otra parte:
o
V
T
T
V
oT
TcdT
T
css
o
ln (3.10.4)
Al sustituir (3.10.3) y (3.10.4) en (3.10.1), se obtiene
.ln1...
...ln
o
oo
oV
o
o
ooV
ppvT
T
T
TTc
ppvT
TTTTcb
(3.10.5)
Se comprueba fácilmente que el primer sumando del segundo miembro
es siempre positivo, pero el segundo puede ser más negativo que positivo
es el primero y, en consecuencia, b puede ser positiva, nula o negativa.
En la figura 3.10.1 se representan gráficamente estos resultados. Se
aprecia que, para presiones inferiores a la ambiental, hay intervalos de
temperatura en que la exergía de la corriente es negativa.
Capítulo 3: La exergía A.86
Figura 3.10.1
b) Corriente gaseosa ideal. En este caso, si se diferencia (2.9.8) y se
aplica a una masa de 1 kg, por aplicación de (2.9.10) resulta que
dTcdTMcndTcndh ppespecpespec ~ (3.10.6)
y al integrar, supuesto constante el calor específico isobaro cp,
opo TTchh . (3.10.7)
Por otra parte, al aplicar (2.9.14) a 1 kg, resulta
oo
pop
pR
T
Tcss lnln , (3.10.8)
en donde R es la constante característica del gas ideal considerado. Si se
aplican (3.10.7) y (3.10.8) en (3.10.1), se obtiene:
T To
p>po
p = po
p<po
Capítulo 3: La exergía A.87
,lnln1...
...lnln
o
o
oo
op
o
o
o
oop
p
pRT
T
T
T
TTc
p
pRT
T
TTTTcb
(3.10.9)
que, como (3.10.5), puede ser positiva, negativa o nula.
§ 3.11. Balances exergéticos
Los balances de materia y energía – como es bien sabido – son
herramientas de uso habitual en el análisis termodinámico de sistemas.
Figura 3.11.1
También se utilizan – aunque en menor grado – los balances de entropía,
que son una forma de introducir el Segundo Principio en el análisis. Para
este fin es preferible el empleo de los balances de exergía, ya que
permiten apreciar directamente los intercambios de energía utilizable y
valorar sus destrucciones. En la figura 3.11.1 se representa
esquemáticamente el sistema sobre el que vamos a operar. Hay unas
Tf
Capítulo 3: La exergía A.88
corrientes entrantes y salientes, un trabajo que es la suma algebraica de
todos los producidos y unos flujos de calor que han de distinguirse según
las temperaturas a que tengan lugar. Vamos a formular los balances de
energía y entropía para un proceso en régimen variable. Con la ayuda de
(2.3.26) podemos escribir
dt
dEmgzchW
mgzchQ
s
ssss
e
eeee
f
f
)(...
...)(
2
21
2
21
(3.11.1)
y con la de (2.4.7),
dT
dSmsSms
T
Q
s
ssg
e
ee
f f
f
. (3.11.2)
Si multiplicamos (3.11.2) por To y restamos de (3.11.1) el resultado,
obtenemos
dt
dST
dt
dEmgzcsThW
STmgzcsThQT
T
o
s
ssssos
go
e
eeeeoe
f
fo
2
21
2
21
...
...1
(3.11.3)
En estado muerto, el sistema se encontrará en equilibrio termodinámico
con el ambiente, no se producirá intercambio alguno de calor ni trabajo,
las energías cinéticas y potenciales serán nulas y gS y dtdE / lo serán
también, de modo que (3.11.3) se reducirá a
s
ssooso
e
eeooeo msThmsTh . (3.11.4)
Capítulo 3: La exergía A.89
Hay que notar que, de acuerdo con la definición (2.5.8) de entalpía libre,
esta ecuación expresa la igualdad entre la entalpía libre de las corrientes
entrantes y salientes en las condiciones (To, po) han de ser iguales, por
encontrarse en equilibrio termodinámico. Al restar (3.11.4) de (3.11.3) y
recordar la definición (3.6.3) de exergía de una corriente material, se
obtiene
dt
dST
dt
dEmbW
STmbQT
T
o
s
ss
go
e
ee
f
fo
...
...1
. (3.11.5)
Pueden introducirse algunas modificaciones en esta fórmula. En primer
lugar, puede expresarse el trabajo W como la suma del trabajo útil uW y
el trabajo de expansión dtdVpo / contra el ambiente. Además, como se
supone que el sistema está en reposo, su energía total E será igual a su
energía interna U. Con estos elementos y si se tienen en cuenta la
expresión (3.3.7) de la función de trabajo L y la (3.3.8), de la exergía del
sistema, y que, en el estado muerto, dLo/dt = 0, el segundo miembro de
(3.11.5) se puede transformar como sigue:
dt
dAmbW
dt
dLmbW
dt
dST
dt
dVp
dt
dUmbW
s
ssu
s
ssu
oo
s
ssu
...
...
. (3.11.6)
Al sustituir en (3.11.5), se llega al resultado final siguiente:
dt
dAmbWSTmbQ
T
T
s
ssugo
e
ee
f
fo
1 , (3.11.7)
Capítulo 3: La exergía A.90
que indica que la suma algebraica de los flujos exergéticos entrantes en
forma de calor y los transportados por materia, menos la destrucción de
exergía por unidad de tiempo, es igual a la potencia útil resultante, más la
suma de los flujos exergéticos salientes transportados por materia, más la
derivada temporal de la exergía del sistema. La ecuación (3.11.7)
constituye una excelente síntesis de cómo fluye, se almacena y destruye
la exergía en el caso más general.
En régimen permanente, que es el caso más frecuente en la
práctica, dA/dt se anula y la exergía del sistema desaparece de la fórmula
(3.11.7), que podrá escribirse así:
go
s
ssu
e
ee
f
fo STmbWmbQ
T
T
1 . (3.11.8)
El término goST representa la destrucción de exergía. Una vez más nos
encontramos con el Teorema de Gouy-Stodola:
god STB , (3.11.9)
expresado la primera vez por (3.4.8). En el análisis de sistemas es
frecuente que no se conozcan gS ni dB . En tal caso es habitual
determinar dB con la ayuda de (3.11.8) y (3.11.9):
u
s
ss
e
ee
f
fo
d WmbmbQT
TB
1 , (3.11.10)
como la diferencia entre los flujos exergéticos entrantes y salientes.
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.91
4 Capítulo 4: Determinaciones de exergía
§ 4.1. Planteamiento general
En el análisis exergético de sistemas es siempre necesario el
cálculo de las exergías de las corrientes de materia. Como las exergías
dependen de la entalpía y la entropía, empezaremos por exponer métodos
de cálculo de estas dos magnitudes termodinámicas.
Por otra parte, de acuerdo con (3.6.10), la exergía interna se
expresa como la suma de la exergía física bf y la química bo. Debido a
ello, estudiaremos separadamente la determinación de la una y la otra.
Finalmente se desarrollarán algunos casos particulares de
determinación de exergías que suelen presentarse en la práctica, tales
como mezclas, disoluciones y combustibles.
§ 4.2. Cálculo de propiedades termodinámicas
Para el cálculo de propiedades termodinámicas de las sustancias
es indispensable establecer un sistema claro e inequívoco de
caracterización de los estados termodinámicos. En primer lugar se define
el estado normal o standard de una cierta sustancia a una temperatura
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.92
genérica T como el de su forma pura más estable a dicha temperatura y
a la presión normal de 1 atm, que suele ser la del AER. Los valores de
las propiedades en dicho estado se distinguen con el superíndice °. Por
ejemplo, el calor molar normal isobaro a la temperatura T se representará
por )(~ Tc o
p . Para la tabulación de datos de base se adopta la temperatura
convencional de 25°C, equivalente a 298,15 K, llamada temperatura
normal, con la que coincide habitualmente la del AER. El estado normal
a 298,15 K se denomina corrientemente “estado normal”, dejando la
indicación explícita de la temperatura para los que se tomen a otras
diferentes.
Según las ecuaciones (2.9.8) y (2.9.14), para el cálculo de los
cambios físicos de entalpía y entropía se requiere el conocimiento de los
calores específicos o molares. Como en los procesos que impliquen
reacciones químicas es preferible manejar cantidades de sustancia
(moles), en lugar de masas, vamos a referirnos a los calores molares en
los cálculos que siguen. Se plantea, pues, como cuestión previa, la
formulación de los calores molares como funciones de estado.
Habitualmente, los calores molares pueden expresarse satisfactoriamente
como funciones de la temperatura T y se obtiene una aproximación
suficiente mediante los cinco primeros términos de su desarrollo en serie.
Por tanto, para el calor molar a presión constante puede escribirse el
siguiente polinomio adimensional:
4
5
3
4
2
321~)(~
TaTaTaTaaR
Tc o
p , (4.2.1)
en donde R~
es la constante de los gases, que se introdujo en (2.9.1), y a1,
…a5 son constantes características de la sustancia considerada. Dichas
constantes son válidas en un intervalo de temperaturas determinado para
cada sustancia.
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.93
Para el cálculo de entalpías se aplicará (2.9.8) a un mol de
sustancia a presión normal, integrando entre la temperatura normal y la
genérica T:
dTTcKhThT
K
o
p
oo )(~)15,298(~
)(~
15,298 . (4.2.2)
Para seguir adelante hay que resolver el problema previo de la
determinación de )15,298(~
Kh o . Para ello se establece el convenio de
asignarle valor nulo para todo elemento químico puro en su estado más
estable a dicha temperatura y a la presión normal de 1 atm. La
)15,298(~
Kh o de un compuesto químico será entonces igual a su entalpía
de formación normal a 298,15 K y 1 atm. Si se aplica (4.2.1) en (4.2.2),
se desarrolla la integral del segundo miembro y se agrupan todos los
términos constantes en una única constante 1
~bR , resulta
1
554433221
~
5432
~)(
~bRT
aT
aT
aT
aTaRTh o
. (4.2.3)
o también, en forma adimensional,
T
bT
aT
aT
aT
aa
TR
Th o
145342321
5432~
)(~
, (4.2.4)
en donde b1 es una nueva constante característica de la sustancia en
cuestión.
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.94
El cálculo de entropías puede iniciarse a partir de (2.6.10). Si
despejamos dS, se verificará para un mol de sustancia a presión constante
e igual a la normal, por aplicación de (2.6.7),
T
dTchd
Tsd
o
poo
~~1~ . (4.2.5)
Si ahora integramos a presión constante entre la temperatura inferior T1
de validez de los coeficientes de (4.2.1) para la sustancia en cuestión y la
genérica T, resulta
dTTaTaTaaT
aRTsTs
T
T
oo
1
3
5
2
4321
1
~)(~)(~
. (4.2.6)
)(~1Ts o se calcula con ayuda del Tercer Principio de la Termodinámica
(§ 2.12). Al desarrollar la integral y agrupar todos los términos constantes
en una única constante 2
~bR se obtiene
2
453423
21
~
432ln
~)(~ bRT
aT
aT
aTaTaRTs o
(4.2.7)
y también, en forma adimensional,
2
453423
21432
ln~)(~
bTa
Ta
Ta
TaTaR
Ts o
, (4.2.8)
expresión en la que b2 es una nueva constante característica de cada
sustancia.
Las fórmulas adimensionales (4.2.1), (4.2.4) y (4.2.8) se suelen
denominar “polinomios de la NASA” y sus coeficientes, con sus
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.95
respectivos intervalos de validez para diversas sustancias de uso
frecuente se detallan en el anexo A.1.
En muchos casos se consigue una aproximación suficiente con
expresiones polinómicas de los calores molares con menos términos,
frecuentemente tres. En intervalos de temperatura reducidos pueden
incluso emplearse valores medios constantes, que simplifican
notablemente los cálculos a costa de la precisión de los resultados.
§ 4.3. Exergías físicas
De acuerdo con la definición que se dio en el § 3.6, la exergía
física bf es el trabajo útil máximo que se obtendría al pasar la unidad de
masa de una sustancia del estado genérico (T, p) al ambiental (To, po)
mediante procesos puramente físicos. De acuerdo con (3.6.3), si no se
toman en consideración las energías cinética y potencial, se verifica
),(),(),(),( ooooof pTspTsTpThpThb , (4.3.1)
en donde (To,po) es el estado ambiental, cuya exergía b(To,po) es la
exergía química bo. Si se dispone de datos de entalpía y entropía en
función de temperatura y presión, esta fórmula proporciona
inmediatamente los valores de exergía física. De no ser así, habrá que
empezar por formular las diferencias ),(),( oo pThpTh y
),(),( oo pTspTs para la sustancia concreta estudiada.
Vamos a considerar los dos casos particulares más frecuentes,
según que se trate de una sustancia incompresible o de un gas ideal.
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.96
a) Sustancia condensada incompresible inerte (pura o mezcla
homogénea).
Hay que calcular el término entálpico y el término entrópico de (4.3.1).
En cuanto al entálpico, de (2.6.10) se desprende, al desarrollar ds en
función de T y p,
dp
Tp
sTvdT
pT
sT
vdpdp
Tp
sdT
pT
sTdh
. (4.3.2)
Como el último miembro expresa dh en función de dT y dp, el
coeficiente de su primer término ha de ser igual al calor específico cp a
presión constante. Si además aplicamos la fórmula de Maxwell (2.6.16) a
la Tps / del segundo término, resulta
dpT
vTvdTcdh
p
p
. (4.3.3)
Para un cuerpo condensado, pTv / puede despreciarse en esta
fórmula, de modo que se verifica muy aproximadamente en tal caso
vdpdTcdh p . (4.3.4)
Por integración de (4.3.4) entre los estados (To, po) y (T, p) se obtiene
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.97
T
Top
T
T
p
ppo
oo o
ppvdTcvdpdTchh )( , (4.3.5)
ya que la sustancia es incompresible. En esta fórmula y sucesivas el
subíndice “o” identifica los valores de las propiedades en el estado
ambiental (To, po).
Pasemos al término entrópico de (4.3.1). De (2.6.10) se deduce
que, en general,
dpT
vdh
Tds
1 (4.3.6)
y si aplicamos (4.3.4),
T
dTcds p . (4.3.7)
Por integración de esta expresión entre To y T resulta
T
dTcss
T
Tpo
o . (4.3.8)
Al aplicar (4.3.5) y (4.3.8) en (4.3.1) y agrupar términos se obtiene
o
T
T
opf ppvdT
T
Tcb
o
1 . (4.3.9)
Para expresar cp en función de T puede hacerse uso de (4.2.1) teniendo
presente que
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.98
Mcc pp /~ , (4.3.10)
en donde M representa, como es sabido, la masa molar de la sustancia en
cuestión. En intervalos de temperatura suficientemente pequeños puede
suponerse constante cp ; en tal caso (4.3.9) toma la forma aproximada
siguiente:
)(ln)( o
o
poopf ppvT
TcTTTcb . (4.3.11)
Por lo general, las expresiones (4.3.9) o (4.3.11) – según las
circunstancias – proporcionan una aproximación suficiente. Siempre que
se disponga de datos fiables de entalpía y entropía en función de
temperatura y presión, es preferible su introducción directa en (4.3.1)
para lograr el resultado más preciso con el menor esfuerzo.
b) Sustancia gaseosa ideal inerte (pura o de composición constante).
Como se recordó en el § 2.9, la entalpía de un gas ideal depende
sólo de su temperatura y, análogamente a (2.9.8), podemos escribir
T
Tpo
o
dTchh . (4.3.12)
En cuanto a la entropía, con la ayuda de (2.9.13) se llega a
o
T
Tp
p
p
T
Tpo
p
pR
T
dTc
p
dpR
T
dTcss
ooo
ln , (4.3.13)
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.99
en donde R es la constante del gas considerado, determinada por (2.9.11).
Si se sustituyen en (4.3.1) los valores dados por (4.3.12) y (4.3.13)
resulta, al agrupar términos,
o
o
T
T
opf
p
pRTdT
T
Tcb
o
ln1
. (4.3.14)
Si se supone cp constante, esta expresión toma la forma aproximada
siguiente:
o
o
o
poopfp
pRT
T
TcTTTcb lnln)( . (4.3.15)
§ 4.4. Exergías químicas
Las exergías químicas de muchos cuerpos puros pueden encontrarse en
tablas. Cuando no ocurra así, habrá que determinarlas mediante
procedimientos que veremos en el § 4.6. Ahora vamos a limitarnos al
caso de mezclas de sustancias cuyas exergías químicas sean conocidas.
a) Mezclas de gases.
Partimos de los gases puros, separados, en el estado ambiental
(To, po). Para un total de 1 mol se verificará
ioiinic bxb ,.
~~ , (4.4.1)
en donde xi representa la fracción molar del componente i. cuya exergía
química es iob ,
~. La exergía química de la mezcla será:
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.100
)~~()~~
(~~~~~
.. inicfinaloinicfinalinicinicfinalo ssThhbbbbb . (4.4.2)
Por otra parte,
0~~
inicfinal hh , (4.4.3)
dado que se trata de un proceso isotermo en gases ideales, y
iiinicfinal xxRss ln~~~ , (4.4.4)
porque, al expandirse el gas genérico i desde la presión ambiental
(inicial) po hasta la final (parcial) pi , de acuerdo con (2.9.14), su entropía
molar experimenta un incremento igual a ioi xRppR ln)/ln(~
. Al
aplicar (4.4.1), (4.4.3) y (4.4.4) a (4.4.2), resulta
iioioio xxTRbxb ln~~~
, , (4.4.5)
que expresa la exergía química de la mezcla en función de las de sus
componentes y de su composición.
Puede llegarse al mismo resultado por otro camino. Si
empezamos por expandir isotérmicamente a To cada gas puro desde la
presión ambiental po hasta la parcial pi , se verificará
ioio
o
ioooioi xTRb
p
pTRpTbb ln
~~ln
~),(
~~,, (4.4.6)
y
iioioiiio xxTRbxbxb ln~~~~
, ,
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.101
que coincide con (4.4.5).
b) Disoluciones líquidas ideales.
Como en el caso anterior, formaremos un mol de disolución a la
temperatura y presión ambientales, a partir de los componentes puros en
el mismo estado ambiental. El incremento de entalpía libre del sistema
será, haciendo uso de (2.11.12),
.ln~
...
...)ln~
(~
iio
o
iiio
o
ii
o
iiiidis
xxTR
xxTRxxxg
(4.4.7)
Ahora bien, disg~ es igual al trabajo útil máximo realizado por el
sistema en ese proceso, que a su vez es igual a la disminución disb~
de
exergía, luego
iiodisdis xxTRgb ln~~~
(4.4.8)
y
iioinicdisinico xxTRbbbb ln~~~~~
.. , (4.4.9)
pero
),(~~
. oooiinic pTbxb , (4.4.10)
luego
iiooio xxTRbxb ln~~~
. (4.4.11)
Conviene reparar en que esta expresión tiene exactamente la misma
forma que la (4.4.5) que se obtuvo para las mezclas gaseosas ideales.
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.102
§ 4.5. Exergías totales
Como es sabido, el cálculo de las exergías totales se reduce, en principio,
a la aplicación de la fórmula (3.6.10), que expresa la exergía interna
como la suma de las exergías química y física. Vamos a desarrollar los
mismos casos que acabamos de considerar.
a) Mezcla gaseosa ideal.
El cálculo de la exergía total puede realizarse por dos caminos
equivalentes:
a.1) Se empieza por calcular la exergía química ),(~
ooo pTb de la
mezcla en el estado ambiental mediante (4.4.5). A continuación se
calcula ),(~
pTb f con (4.3.14) o (4.3.15) referidas a la unidad de
sustancia de la mezcla, utilizando la pc~ media de la mezcla, dada
por (2.10.8). Por último se aplica (3.6.10) para determinar la
exergía total ),(~
pTb de la mezcla.
a.2) Se calcula la ),(~
, iif pTb de cada gas mediante (4.3.14) o
(4.3.15) y se le suma su exergía química ),(~
, ooio pTb para llegar a
su exergía total ),(~
ii pTb mediante (3.6.10). Finalmente, como las
exergías son aditivas, se obtiene la exergía molar de la mezcla
como
),(~
),(~
iii pTbxpTb . (4.5.1)
Es fácil comprobar que ambos procedimientos conducen a un mismo
resultado. El primero, por aplicación de (2.10.6), (2.10.8) y (4.4.5), llega
a
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.103
o
o
T
T
o
ipi
iioioifo
p
pTRdT
T
Tcx
xxTRbxbbb
o
ln~
)1)(~(...
...ln~~~~~
,
,
. (4.5.2)
El segundo, mediante (4.5.1), (3.6.10) y (4.3.14), conduce a lo siguiente:
,ln~
)1)(~(~
...
...ln~
)1(~~...
...~~~~
,,
,,
,,
o
iio
T
T
oipiioi
o
io
T
T
oipiioi
ifiioiii
p
pxTRdT
T
Tcxbx
p
pTRdT
T
Tcxbx
bxbxbxb
o
o
(4.5.3)
pero
o
iii
o
i
i
i
o
i
i
o
i
i
p
pxxx
p
px
p
px
p
p
p
px
p
px
ln)(lnlnln...
...lnln
(4.5.4)
y, al sustituir en (4.5.3), se llega al mismo resultado (4.5.2).
b) Disolución líquida ideal.
Se sigue siempre el procedimiento a) precedente, aplicable a
gases ideales. La exergía química viene dada por (4.4.11) y la física se
calcula con (4.3.9) o (4.3.11) referidas a un mol y con la vc~ media de la
disolución, que obedece a una relación formalmente análoga a la (2.10.8)
de pc~ . La exergía total será la suma de ambas, tal como indica (3.6.10).
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.104
§ 4.6. Determinación de exergías químicas
Una vez determinada la exergía química normal de una sustancia,
es evidente que, en lo sucesivo, podrá disponerse de ella sin necesidad de
repetir el proceso. En el anexo A.2 se muestran los valores de las
exergías químicas normales de los principales elementos químicos y de
una selección de compuestos inorgánicos, tomados de la bibliografía. En
el anexo A.3 se hace lo propio con un repertorio de compuestos
orgánicos. En ambas tablas se incluyen también las entalpías libres
normales de formación, que serán útiles – como veremos – en los
cálculos de exergías químicas.
Cuando no se conozca la exergía química de una sustancia, será
preciso calcularla a partir de los datos de que se disponga. Vamos a
considerar algunas posibilidades a continuación.
a) Un método general.
Se trata del procedimiento más expeditivo. Sólo se necesita
conocer las exergías químicas de los elementos químicos que constituyan
la sustancia y la entalpía libre de formación de la misma. Las exergías
químicas de los principales elementos aparecen sombreadas en el anexo
A.2. En cuanto a las entalpías libres de formación, se encuentran
disponibles en muy diversas fuentes (conviene utilizar sólo una de dichas
fuentes y, en caso de utilizar varias, verificar que los datos son
coherentes).
Consideremos un compuesto X, formado por varios elementos
cuyas exergías químicas iob ,
~ se conocen. Evidentemente, la exergía
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.105
química de X será igual al trabajo útil mínimo para formarlo a partir de
sus elementos en estado muerto, según el siguiente proceso:
en donde hemos indicado los trabajos correspondientes a cada etapa y
)(~ Xg fo representa la entalpía libre normal de formación de X,
suponiendo que el estado normal coincide con el ambiental. El total
equivaldrá por tanto a la exergía química de X:
)(~.)(~
)(~
, XgelemsbnXb foioio . (4.6.1)
A título de ejemplo, aplicaremos esta expresión a un caso trivial,
que nos permita comprobar la exactitud del resultado. Se trata de calcular
la exergía química del metano. De acuerdo con (4.6.1), verificará
)(~)(~
2)(~
)(~
424 CHgHbCbCHb foooo .
Los valores del segundo miembro se toman del anexo A.2 y de tablas de
entalpías libres normales de formación, de modo que
kmolkJCHbo /043837757504902382820410)(~
4 ,
que concuerda bastante bien con el valor reseñado en el anexo A.3.
Elementos
en
estado muerto
Elementos
en
estado ambiental
X
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.106
b) Sustancia no contenida en el AER, pero ligada estequiométricamente a
sustancias del AER y sólo a ellas.
Supondremos que la reacción que las vincula se escribe de la
forma normalizada
i
iiC 0 , (4.6.2)
en donde los coeficientes i negativos corresponden a los reactivos y los
positivos a los productos de la reacción. Para dicha reacción a To y po se
verifica, evidentemente,
i
ioireacc bB ,.
~ , (4.6.3)
que representa –Wu. máx , que es el trabajo útil mínimo requerido para que
se produzca la reacción. Pero también se verifica que
i
ifoireaccu gGW ,..máx,~ , (4.6.4)
en donde ifog ,
~ representa la entalpía libre de formación normal de la
sustancia genérica i a To y po . Por tanto, de las dos expresiones
precedentes se desprende que
0)~~( ,,
ifo
i
ioi gb . (4.6.5)
Si la sustancia j es la que no pertenece al AER y cuya exergía química
nos interesa calcular, podemos escribir
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.107
0)~~()~~
( ,,,,
ifo
ji
ioijfojoj gbgbv (4.6.6)
y también
)~~(
1~~,,,, ifo
ji
ioi
j
jfojo gbgb
, (4.6.7)
que determina la exergía química buscada.
Apliquemos esta fórmula al mismo ejemplo anterior. El CH4 no
pertenece al AER, pero verifica la siguiente reacción:
)(2)()(2)( 2224 gOHgCOgOgCH ,
que lo vincula con sustancias del AER. De la ecuación de la reacción y
de las tablas de datos obtenemos la información siguiente:
Sustancia i ifog ,
~ /(kJ/kmol) iob ,
~ /(kJ/kmol)
CH4 -1 -50 757 ¿?
O2 -2 0 3 970
CO2 +1 -394 364 20 140
H2O +2 -237 141 3 120
Por aplicación de (4.6.7) podemos escribir
ob~
(CH4) = - 50757 – (1/-1) [-2 (3970-0) +…
…+ 1 (20140+394364) + 2 (3120+237141)] = ...
... = 836 329 kJ/kmol ,
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.108
que tiene una concordancia excelente con el dato del anexo A.3.
Este método es muy útil, por ejemplo, para compuestos
combustibles cuya exergía química no se encuentre en las tablas de que
se disponga.
c) Combustibles industriales.
La determinación aproximada de la exergía química específica de
combustibles industriales puede realizarse fácilmente mediante
coeficientes empíricos que la relacionan con los poderes caloríficos
inferior o superior:
bo = fi PCI = fs PCS , (4.6.8)
en donde PCI y PCS representan, respectivamente, los poderes
caloríficos inferior y superior. En la tabla 4.6.1 se dan algunos valores
medios de dichos coeficientes.
Muchos combustibles gaseosos y líquidos son mezclas definidas
de hidrocarburos. Como su comportamiento suele ser prácticamente
ideal, su exergía química puede calcularse con mejor aproximación como
se ha visto en el § 4.4 para mezclas gaseosas o líquidas ideales.
En carbones y muchos otros combustibles sólidos es difícil un
tratamiento teórico, ya que suelen ser mezclas complejas de diversas
fases difíciles de modelizar. Existen expresiones empíricas para los
coeficientes fi y fs en función del análisis elemental (véase Szargut), a las
que puede recurrirse para obtener valores más aproximados que los de la
tabla anterior.
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.109
Tabla 4.6.1
Coeficientes para las exergías químicas de combustibles
Combustible fi fs
Antracita/hulla 1,09 1,03
Lignito 1,17 1,04
Coque 1,06 1,04
Fuelóleo 1,07 0,99
Gasolina 1,07 0,99
Gas natural (rico en metano) 1,04 0,94
Gas de coquería 1,00 0,89
Gas de horno alto 0,98 0,97
Madera 1,15 1,05
Azufre 2,05 2,05
Capítulo 4: Determinaciones de exergía A.110
Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los balances termodinámicos A.111
5 Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los
balances termodinámicos
§ 5.1. Introducción
Los sistemas que se someten al análisis termodinámico suelen ser
conjuntos de elementos (equipos o componentes) conectados entre sí y
con el ambiente mediante líneas de intercambio de materia y energía.
Como pueden ser bastante complejos, es muy conveniente disponer de
los siguientes recursos:
Una simbología simple y clara para las formulaciones
generales.
Una representación adecuada para la ejecución automática de
los cálculos.
La Teoría de Grafos y el Álgebra Lineal proporcionan los elementos
necesarios:
Una representación algebraica de la estructura del sistema
mediante la matriz de incidencia.
Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los balances termodinámicos A.112
Una representación vectorial de los flujos de materia y
energía.
La ejecución de los balances mediante el álgebra de matrices.
De esta manera, se facilita notablemente el planteamiento formal de los
problemas y los cálculos pueden repetirse una y otra vez, como se
requiere habitualmente en las tareas de análisis y síntesis de sistemas. En
este capítulo vamos a aplicar estos recursos a la formulación y
realización de balances termodinámicos, siempre en régimen
permanente. En los capítulos sucesivos se continuará recurriendo a su
aplicación como elemento de rutina.
§ 5.2. Formulación de los balances energéticos
Para desarrollar la materia de una forma progresiva, empezaremos por
considerar un sistema al máximo nivel de agregación, esto es en forma de
una sola unidad o “caja negra”. En la figura 5.2.1 se dibuja, por ejemplo,
el esquema de una caldera de vapor en estas condiciones.
Figura 5.2.1
Humos
Cenizas Agua de
alimentación
Aire de
combustión Vapor vivo
Purga
Combustible
1
2
3
4
5
6
7
Caldera
Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los balances termodinámicos A.113
En régimen permanente, de acuerdo con (2.3.27) se verificará el balance
de energía
.07654321 HHHHHHH (5.2.1)
Este balance puede representarse en forma de producto matricial si
definimos la matriz de incidencia )71( A como una matriz-fila, cuyo
elemento genérico aj expresa la relación entre la corriente j y el sistema,
con uno de los siguientes valores:
+1, para corrientes con sentido de referencia entrante.
- 1, para corrientes con sentido de referencia saliente.
De acuerdo con estas reglas,
.1,1,1,1,1,1,1)71( A (5.2.2)
Además, definiremos el vector de energía )17( H como
7
6
5
4
3
2
1
)17(
H
H
H
H
H
H
H
H
(5.2.3)
Entonces, el balance energético puede expresarse mediante el producto
matricial siguiente:
Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los balances termodinámicos A.114
)11()17()71( 0 HA . (5.2.4)
La matriz de incidencia representa las conexiones energéticas del sistema
con su ambiente. Aunque en el ejemplo considerado todas las conexiones
implican flujos de materia, en general se incluyen también las que no lo
impliquen, tales como los intercambios de calor o de trabajo, como
veremos enseguida.
Vamos a estudiar ahora un caso más complejo, a un nivel de agregación
inferior, que corresponde a un grupo caldera-turbina de vapor, formado
por cuatro equipos, tal como se dibuja en la figura 5.2.2. La caldera 1 es
la misma del caso anterior. La turbina 2 produce el trabajo técnico o útil
2W . El condensador 3 cede el calor 3Q y la bomba de alimentación 4
toma la energía eléctrica 4W . Estos tres intercambios energéticos se
producen sin flujo de materia.
Figura 5.2.2
Caldera (1)
(2)
4
3 2 7 6
5
Turbina
Bomba de alimentación (4) Condensador
(3)
10
9
8
13
1
11
Agua de
reposición
12
Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los balances termodinámicos A.115
En este caso puede escribirse un balance energético para cada uno de los
cuatro elementos. El de la caldera es el mismo anterior (5.2.1). Los otros
tres serán:
2. Turbina: 0925 HWH (5.2.5)
3. Condensador: 0123109 HQHH (5.2.6)
4. Bomba de alimentación: 04121 WHH . (5.2.7)
Análogamente a (5.2.3), definimos un nuevo vector de energía:
4
12
3
10
9
2
7
6
5
4
3
2
1
)113(
W
H
Q
H
H
W
H
H
H
H
H
H
H
H
(5.2.8)
que se obtiene agregando seis elementos adicionales al definido antes por
(5.2.3). La matriz de incidencia tendrá ahora cuatro filas, una por cada
equipo del sistema y se determina por extensión de las reglas anteriores,
asignando a su elemento genérico aij uno de los siguientes valores:
Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los balances termodinámicos A.116
+1, si la corriente j tiene sentido de referencia entrante en el equipo i.
-1, si la corriente j tiene sentido de referencia saliente del equipo i.
0, si la corriente j no afecta al equipo i.
La matriz se escribe muy fácilmente mediante inspección de la figura
5.2.2. La primera fila, que corresponde a la caldera 1, resulta ser igual a
(5.2.2) con seis elementos nulos adicionales, relativos a las corrientes 8 a
13. Resulta
1100000000001
0111100000000
0000110010000
0000001111111
)134(A (5.2.9)
Los cuatro balances energéticos (5.2.1) y (5.2.5) a (5.2.7) se pueden
formular ahora como el producto de esta matriz por el vector de energía
(5.2.8):
.0 )14()113()134( HA (5.2.10)
En general, para un sistema formado por m equipos, conectados por n
corrientes, se verificará el balance energético
)1()1()( 0 mnnm HA . (5.2.11)
La matriz de incidencia describe simbólicamente la estructura física del
sistema investigado, que se dibuja en un grafo, tal como la figura 5.2.2.
Toda corriente interna se refleja dos veces en la matriz, sobre la columna
que le corresponda, una con el valor –1, en la fila del equipo de que
proceda, y otra con el valor +1, en la fila del equipo en que entre. Por
tanto, la suma de todas las filas de la matriz de incidencia tiene todos sus
Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los balances termodinámicos A.117
elementos nulos, salvo los relativos a corrientes entre el sistema y su
ambiente, que serán +1 ó –1, según que entren o salgan del sistema. La
dimensión (mxn) de la matriz de incidencia será tanto mayor cuanto más
complicado sea éste o con mayor detalle se realice su descripción. Es
evidente que esta dimensión se irá reduciendo conforme aumente el nivel
de agregación a que se realice el análisis. Por ejemplo, en el sistema de
la figura 5.2.2, el máximo nivel de agregación corresponde al volumen de
control delimitado por la línea de puntos y se representará como se dibuja
en la figura 5.2.3, que tiene un aspecto análogo al de la figura 5.2.1. La
matriz de incidencia tendrá la dimensión (1xn), en este caso (1x9), ya que
las corrientes internas desaparecen de la descripción.
Figura 5.2.3
Es frecuente que, para simplificar el análisis, se agrupen en un solo
bloque dos o más equipos de un sistema; en tal caso, la fila
correspondiente a dicho bloque será la suma de las de los equipos
reunidos. Si, por ejemplo, se agrupan el condensador 3 y la bomba de
alimentación 4, las filas 3 y 4 de la matriz de incidencia (5.2.9) quedan
sustituidas por la suma de ambas:
3
2
7
6
8
4
13 11 10
Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los balances termodinámicos A.118
Elem.: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Fila 3: 0 0 0 0 0 0 0 0 +1 +1 -1 -1 0
Fila 4: -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +1 +1
Suma: -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Obsérvese cómo se anula el elemento número 12, por corresponder a una
corriente interna del conjunto formado. Al pasar al nivel de agregación
máximo, resultará la matriz-fila siguiente, que corresponde a la suma de
las cuatro filas de la matriz )131( A (5.2.9):
,1011011101110)131( A
que tiene nulos los elementos 1, 5, 9 y 12, relativos a las corrientes
internas. Como éstas no se consideran a este nivel de agregación, el
vector de energía puede reducirse a:
4
3
10
2
7
6
4
3
2
)19(
W
Q
H
W
H
H
H
H
H
H
y, suprimiendo en la matriz de incidencia los elementos nulos, queda:
,111111111)91( A
como se había advertido antes.
Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los balances termodinámicos A.119
§ 5.3 Balance exergético
Ahora que disponemos de los recursos algebraicos para la formulación y
ejecución de los balances, es muy fácil abordar los de exergía. Sobre el
mismo ejemplo anterior, si tomamos de nuevo la caldera 1 (figura 5.2.1),
su balance exergético en régimen permanente será, análogamente a
(5.2.1) y recordando (3.11.10),
.1,7654321 dBBBBBBBB (5.3.1)
En esta ecuación, 1,dB representa la exergía destruida por unidad de
tiempo en la caldera. Su primer miembro no es otra cosa que el producto
de la matriz-fila (5.2.2) por el vector de exergía siguiente, análogo a
(5.2.3),
7
6
5
4
3
2
1
)17(
B
B
B
B
B
B
B
B
(5.3.2)
Podemos agregar a la matriz-fila (5.2.2) los elementos nulos
representativos de las demás corrientes del sistema completo (figura
5.2.2), con lo que se obtendría la primera fila de la matriz de incidencia
(5.2.9). El vector de exergía se completaría también con los valores
correspondientes:
Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los balances termodinámicos A.120
4
12
3
3
0
10
9
2
7
6
5
4
3
2
1
)113(
1
W
B
QT
T
B
B
W
B
B
B
B
B
B
B
B
(5.3.3)
Como es sabido, el trabajo mecánico es pura exergía y por ello aparecen
2W y 4W en las posiciones 8 y 13. En cuanto a la posición 11, el flujo
calorífico 3Q , de acuerdo con (3.7.1), hay que multiplicarlo por el factor
(1-To/T3), en donde T3 es la temperatura a la que se produce la
transmisión de calor y To es la del estado muerto.
Análogamente ocurre con los otros tres equipos, luego podemos concluir
que
)14(,)113()134( dBBA (5.3.4)
y, en general, para un sistema formado por m equipos, conectados por n
corrientes, se verificará el balance exergético
Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los balances termodinámicos A.121
)1(,)1()( mdnnm BBA . (5.3.5)
Este balance tiene la misma forma que el energético (5.2.11), pero existe
una diferencia esencial entre ambos. El balance energético constituye un
sistema de m ecuaciones que han de satisfacer los flujos energéticos para
que se satisfaga el Primer Principio de la Termodinámica. El balance
exergético, en cambio, aplica una transformación lineal a los flujos
exergéticos para determinar la destrucción de exergía en cada uno de los
m equipos, a consecuencia del Segundo Principio de la Termodinámica.
El vector )1( mdB se denomina vector de diagnóstico y representa la
exergía que se destruye en los equipos que forman el sistema. Como la
exergía es una propiedad extensiva, la destrucción total en el sistema es la
suma de las exergías destruidas en cada uno de los equipos:
mi
i
idd BB1
,
. (5.3.6)
Cada elemento idB , del vector de diagnóstico dB representa la exergía
destruida en el equipo genérico i y, por tanto, el ahorro energético
máximo teóricamente posible en el mismo. En (5.3.6), dB refleja la
exergía total destruida, o también el ahorro termodinámico total
teóricamente posible. La comparación de cada idB , con el total
dB
proporciona una idea del peso relativo de cada equipo en la destrucción
de exergía o irreversibilidad total de la planta, mediante la destrucción
relativa de exergía di , definida como
d
idi
B
Bd
. . (5.3.7)
Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los balances termodinámicos A.122
El análisis de una planta o instalación puede hacerse, en principio, con
todo el detalle que se desee, llegando hasta cada equipo, o incluso
descomponiendo algunos equipos en varios elementos. El nivel de
agregación disminuye y la matriz de incidencia se complica. Si se
procede a la inversa, agrupando ciertos elementos en subconjuntos del
sistema, se eleva el nivel de agregación y se simplifica la matriz de
incidencia. Como hemos visto antes, las filas correspondientes a los
elementos que se agrupen en un subconjunto quedarán sustituidas por
una sola, suma de ellas, la cual representará a dicho subconjunto. Cuanto
más pormenorizado sea el análisis, con un bajo nivel de agregación, tanto
mayores serán las posibilidades de un diagnóstico profundo e
investigación de los resultados que se obtendrían con las posibles
mejoras, muchas veces de detalle. En cada caso concreto se actuará con
un nivel de agregación lo suficientemente bajo, de modo que se logren
los objetivos perseguidos por el análisis, con la mínima complejidad
posible.
§ 5.4 Balances de masa
Como los balances de masa siguen el mismo formalismo que los de
energía, se les podrá aplicar el mismo tratamiento, con la misma matriz
de incidencia y con el vector de masa )1( nM en lugar del vector de
energía, sustituyendo los flujos energéticos por flujos másicos. El balance
tomará la forma
)1()1()( 0 mnnm MA , (5.4.1)
en todo análoga a (5.2.11) y (5.3.5). Como a los flujos energéticos puros,
no transportados por materia, les corresponderían flujos másicos nulos,
vendrían representados por elementos nulos en el vector de masa, por lo
Capítulo 5: Aplicación del Álgebra lineal a los balances termodinámicos A.123
que pueden suprimirse y reducir así la dimensión n del vector de masa y
la matriz de incidencia.
Capítulo 6: El coste exergético A.124
6 Capítulo 6: El coste exergético
§ 6.1. Introducción
La primera parte de este texto se ha desarrollado sobre una base sólo
termodinámica, exclusivamente física, sin introducir consideraciones de
carácter económico, tales como qué recursos se consumen, qué productos
útiles se generan, qué residuos se originan, etc... La apreciación de la
calidad de los sistemas se ha basado únicamente en su mayor o menor
perfección termodinámica. Para ello se ha tomado en consideración la
estructura física del sistema en estudio, representada por su matriz de
incidencia. De cada corriente, tanto material como energética, sólo nos
interesaban los flujos que transportaba y sus puntos de origen y destino.
Para el desarrollo del Análisis Termoeconómico habrá que recurrir
también a la aplicación de conceptos y juicios de valor económicos. En
primer lugar, además de la estructura física del sistema, necesitaremos
conocer su estructura económica o productiva. Habrá que saber si una
corriente tiene el carácter de un recurso consumido por un equipo o de un
producto generado por éste. También habrá que identificar aquellas
salidas de un sistema que no tengan valor económico alguno o incluso
sean perjudiciales, que se clasificarán como residuos. Es importante
reconocer que, si bien la estructura física de un sistema es única, su
Capítulo 6: El coste exergético A.125
estructura económica dependerá del uso o aplicación a que se destine.
Con una misma estructura física pueden ser posibles varias económicas
distintas, que conducirán a resultados diferentes. Por otra parte, la
evaluación de la eficiencia o rendimiento de un equipo se basará en
criterios de carácter económico y no sólo en su perfección
termodinámica.
Empezaremos por abordar la representación de un sistema cualquiera en
función de sus recursos, productos y residuos (representación “R/P/I” ).
Así se identificarán los recursos necesarios para generar cada producto y
se dispondrá de una base rigurosa para la medición de rendimientos. Esta
misma base servirá para establecer el concepto de coste exergético de una
corriente, el cual vendrá medido por la exergía requerida para producirla.
El punto de vista será económico, pero se manejarán exergías en lugar de
importes monetarios. Éstos se manejarán en el próximo capítulo
mediante la introducción del coste económico de la unidad de exergía.
§ 6.2. Representación “R/P/I”
De acuerdo con la estructura económica o productiva del sistema, las
corrientes entrantes o salientes en cada uno de los equipos que lo
componen se pueden clasificar en recursos, productos y residuos o
pérdidas. El producto P de un equipo representa el efecto útil deseado
que proporciona, de acuerdo con su finalidad. El recurso R representa lo
que se consume para generar el producto. Tanto el uno como el otro
pueden incluir más de una corriente entrante o saliente – indistintamente
– en el equipo. Un equipo puede tener flujos salientes al ambiente, que
tengan el carácter de residuos o pérdidas (con o sin flujo de materia), esto
es sin efecto útil alguno (salidas inútiles); su conjunto se conoce como
residuo I del equipo. A consecuencia de esta clasificación, todo equipo,
cualquiera que sea su complejidad, podrá representarse de la forma
Capítulo 6: El coste exergético A.126
sintética dibujada en la figura 6.2.1. R, P e I se expresan en términos de
flujos exergéticos.
Figura 6.2.1
Hay que destacar que la representación R/P/I requiere la previa
identificación de los recursos, productos y residuos, mediante unos
juicios de valor económicos, sin limitarse a la mera estructura física del
sistema. Para ilustrar la forma de proceder, en la figura 6.2.2 se
esquematizan algunos casos típicos que vamos a discutir. El caso a)
corresponde a una turbina, cuya misión es producir trabajo mecánico a
partir de la exergía cedida por un fluido; el recurso será, por tanto, la
caída de exergía 21 BB del fluido y el producto será el trabajo útil 3B
realizado por la máquina. En el caso, muy poco frecuente, de que la
turbina funcionase con escape libre a la atmósfera, ̇ sería residuo y ̇
el recurso. En el caso b) el compresor tiene la función inversa, esto es
incrementar la exergía de un fluido mediante el consumo de trabajo; el
incremento 12 BB es ahora el producto y el flujo de trabajo entrante 3B
el recurso. La cuestión está clara para la cámara de combustión del caso
c): el recurso es la suma 21 BB de los flujos exergéticos de combustible
y comburente, mientras que el producto es la exergía 3B de los gases de
combustión. Finalmente, en el caso d), el objeto de una caldera de vapor
es aumentar la exergía del agua de alimentación gracias al aporte de la
combustión. Como en una cámara de combustión, el recurso es la suma
Equipo R
I
P
Superficie de control
Capítulo 6: El coste exergético A.127
21 BB de los flujos exergéticos de combustible y comburente. El
producto será la diferencia56 BB entre los flujos exergéticos del vapor
a) Turbina
Recurso Producto Residuo
Admisión
Escape
Trabajo
mecánico
b) Compresor Descarga
Admisión
Trabajo
mecánico
c) Cámara de combustión
Combustible
Comburente
Gases de
combustión
d) Caldera de vapor
Comburente
Combustible
Gases de
combustión
Cenizas
Agua de
alimentación
Vapor
Capítulo 6: El coste exergético A.128
Figura 6.2.2
vivo y el agua de alimentación. Si se supone que los gases de combustión
y las cenizas se expulsan al ambiente, después de atravesar todos los
dispositivos de recuperación de energía, que se consideran incluidos en la
caldera, tendrán el carácter de residuos; el flujo exergético I será la suma
43 BB .
En los ejemplos precedentes se aprecia que el recurso y el
producto de un equipo pueden incluir tanto corrientes entrantes como
salientes indistintamente, tal como se advirtió al principio de este
Figura 6.2.3
epígrafe. En la figura 6.2.3 se esquematiza el caso general de un equipo
genérico E, cuyas entradas y salidas han sido identificadas como
recursos, productos o residuos. En general, se definirá el recurso R del
equipo genérico E, como la suma de los flujos exergéticos entrantes
clasificados como recursos menos la suma de los salientes de la misma
clase:
residuos y pérdidas (salidas)
E
recursos
R+
productos
P+
Entradas
(+)
recursos
R-
productos
P-
Salidas
(-)
Superficie de control
Capítulo 6: El coste exergético A.129
RR BBR , (6.2.1)
en donde los superíndices + y – identifican respectivamente los flujos
entrantes y salientes, ya que los primeros aportan exergía y los segundos
la sustraen. El producto P se define como la suma de los flujos
exergéticos salientes clasificados como productos menos la suma de los
entrantes de la misma clase:
PP BBP , (6.2.2)
ya que ahora los primeros implican salidas de energía y los segundos,
entradas. En cuanto a I , se define en sentido amplio como la suma de
todos los flujos salientes al ambiente, que tengan el carácter de residuos o
pérdidas (con o sin flujo de materia), esto es sin efecto útil alguno
(salidas inútiles):
IBI . (6.2.3)
Si restamos del recurso (6.2.1) el producto (6.2.2) y el residuo (6.2.3),
resulta
,...
...)()(
d
IPRPR
BBB
BBBBBIPR
(6.2.4)
o también, si recordamos (3.11.10),
dBIPR , (6.2.5)
que es el balance exergético del equipo considerado en representación
R/P/I.
Capítulo 6: El coste exergético A.130
A veces es conveniente distinguir entre los residuos y las pérdidas;
ambos son salidas del sistema, de valor nulo para éste. La diferencia es
que los primeros son corrientes canalizadas y las segundas no. Esto
último ocurre, por ejemplo, con las pérdidas de calor al ambiente (flujos
puramente energéticos) y con las fugas de vapor (flujos de materia). En
tales casos se puede desdoblar I en dos términos: I para los residuos y
J para las pérdidas. Entonces (6.2.5) tomará la forma más detallada
.dBJIPR (6.2.6)
Las pérdidas de un equipo pasan al ambiente y, tarde o temprano,
alcanzan el estado muerto, destruyendo irreversiblemente toda su
exergía. Si se extienden suficientemente los límites del volumen de
control, las pérdidas quedarán incluidas en la destrucción de exergía dB ,
las irreversibilidades externas sufridas por las pérdidas se convierten en
internas. La posición de la superficie de control, que establece los límites
del sistema, puede afectar, por tanto, sustancialmente al valor de las
pérdidas de exergía J . Un ejemplo ayudará a comprender este punto.
Consideremos un equipo que experimenta una pérdida de calor Q por
una pared que se encuentra a una temperatura T (Fig. 6.2.4). Si la
Pérdida de calor
Superficie de control
Equipo
(1) (2)
Capítulo 6: El coste exergético A.131
Figura 6.2.4
superficie de control (1) se sitúa rasante a dicha pared, el flujo de
pérdidas de exergía será
QT
TJ o
1 (6.2.7)
Ahora bien, si la superficie de control se alejase hasta la posición (2), en
que la temperatura coincidiese con la oT del AER, sería 0J . La
pérdida evaluada por (6.2.5) habría pasado a integrarse en la destrucción
de exergía dB del equipo. Por ese motivo, entre otros, es frecuente no
desglosar explícitamente la J , de modo que se incluya en la dB . Como
el tratamiento formal de las pérdidas es muy parecido al de los residuos,
en lo sucesivo mantendremos por lo general la formulación (6.2.5),
incluyendo en I los residuos y las pérdidas.
Finalmente, vamos a realizar una aplicación de lo visto al ejemplo que se
muestra en la figura 6.2.5. Se trata de un intercambiador de calor, cuya
misión es calentar la corriente 3-4 mediante la exergía aportada por la 1-
2, con unas pérdidas de calor 5. Ninguna temperatura en el
Figura 6.2.5
1
4
5
2
3
Capítulo 6: El coste exergético A.132
intercambiador es inferior a la To del ambiente. En este ejemplo, el
recurso es la disminución de exergía de la corriente “caliente” 1-2 y el
producto la ganancia de exergía de la corriente “fría” 3-4. El flujo J
constituye la pérdida del equipo:
21 BBR
34 BBP ( T ≥ To ) (6.2.8)
5BJ
Desde un punto de vista estrictamente físico, en este ejemplo se hablaría
de dos corrientes entrantes (1 y 3) y tres corrientes salientes (2, 4 y 5).
Al introducir un enfoque económico, se habla de recurso consumido (1-
2), producto generado (4-3) y pérdida (5).
Merece la pena detenerse a discutir qué ocurriría en el ejemplo
anterior si la misión del intercambiador fuera enfriar la corriente 1-2 con
la corriente 3-4 y ninguna temperatura rebasase la To del ambiente. Éste
sería el caso, por ejemplo, de un sistema de refrigeración o de criogenia.
Ahora la corriente fría aportaría exergía a la caliente (o menos fría), con
un flujo exergético de sentido opuesto al calorífico. La corriente fría se
calentará y perderá exergía (43 BB ); la caliente se enfriará y ganará
exergía ( 12 BB ); las fugas de calor se producirán desde el ambiente
hacia el equipo, mientras que el flujo exergético J tendrá sentido
opuesto:
43 BBR
12 BBP ( T ≤ To ) (6.2.9)
5BJ
Capítulo 6: El coste exergético A.133
Existe un caso singular digno de consideración. Es aquél en el que la
línea caliente se encuentra a una T>To y la fría a T<To (transmisión de
calor “a través de To”). En tal eventualidad ambas líneas pierden exergía
y no puede definirse un producto. Desde un punto de vista
termodinámico el intercambiador sería un puro destructor de exergía,
aunque razones prácticas pudieran hacerlo conveniente en algún caso.
§ 6.3. Coste exergético
Consideremos un sistema cualquiera al máximo nivel de
agregación. Su representación R/P/I tendrá la forma dibujada en la figura
6.2.1. Se define el coste exergético P* del producto como el flujo
exergético requerido para obtenerlo, que, evidentemente, es igual a R ,
el flujo exergético del recurso. Pasemos ahora a un equipo genérico
individual; su recurso tendrá un coste exergético R* (flujo exergético
resultante consumido para la generación del recurso en el sistema, que
habrá que calcular). Para todo equipo se verificará el balance de coste
exergético siguiente:
** PR , (6.3.1)
que representa el hecho evidente de que el coste exergético del producto
ha de ser igual al del recurso. Cuando el recurso procede del ambiente
(atraviesa la superficie de control del sistema), su coste exergético es
igual a su flujo exergético. La exergía que haya sido necesaria para
producirlo es un coste externo, que no afecta al sistema en estudio. Por
otra parte, el residuo I no interviene en el balance de coste exergético.
Análogamente a los costes económicos, el coste exergético es recogido
íntegramente por el producto, de modo que resulta nulo el del residuo:
0*I . (6.3.2)
Capítulo 6: El coste exergético A.134
Como R, P e I son agrupaciones de corrientes físicas, puede
aplicarse también a éstas la noción de coste exergético: Se define el coste
exergético de un flujo exergético jB como la exergía
jB consumida para
producirlo. La exergía de una corriente es una propiedad termodinámica
objetiva de ella, dependiente de su estado y composición. Su coste
exergético, en cambio, dependerá del proceso concreto empleado para su
producción. Un mismo flujo exergético tendrá costes exergéticos
diferentes según la perfección termodinámica del proceso. Sabemos
calcular la exergía, pero todavía no el coste exergético, aunque enseguida
desarrollaremos el procedimiento. Para comparar ambas magnitudes, se
define el coste exergético unitario *
j de una corriente j como la exergía
consumida para obtener una unidad de exergía de la misma:
j
j
jB
B
(6.3.3)
En este coste unitario se recoge el efecto de la perfección termodinámica
del proceso y de los criterios económicos aplicados para la determinación
de los costes exergéticos.
Las expresiones que relacionan *R , *P e *I con las *B han de ser
formalmente iguales que las (6.2.1), (6.2.2) y (6.2.3) entre R , P , I y B :
***
RR BBR (6.3.4)
***
PP BBP (6.3.5)
**
IBI . (6.3.6)
La condición de nulidad (6.3.2) del coste exergético del residuo ha de
extenderse a todos sus componentes:
Capítulo 6: El coste exergético A.135
0* IB . (6.3.7)
De la expresión (6.3.1) del balance de coste exergético, se deduce al
aplicar (6.3.4) y (6.3.5) que
0...
...)()(**
**
****
BB
BBBBPR PRPR
(6.3.8)
y también
** BB , (6.3.9)
Que expresa el balance de coste exergético referido a las corrientes
físicas, que es la forma en que se aplica habitualmente. Este balance
indica que el coste exergético de los flujos salientes ha de ser igual al de
los entrantes. El coste exergético, por tanto, es conservativo y satisface
balances formalmente idénticos a los energéticos. Por ejemplo, para la
caldera de la figura 5.2.1, se verificará un balance de coste exergético
análogo a (5.2.1), sin más que sustituir las jH por
jB . Se definirá un
vector de coste exergético
)17(B de la forma (5.2.3) y se verificará el
balance en forma matricial análoga a (5.2.4):
,0 )11()17()71(
BA (6.3.10)
en donde aparece la matriz de incidencia definida por (5.2.2). En general,
para un sistema cualquiera, puede escribirse un balance de coste
exergético de la forma (5.2.11):
Capítulo 6: El coste exergético A.136
,0 )1()1()(
mnnm BA (6.3.11)
con el vector de coste exergético en lugar del de energía.
El balance de coste exergético (6.3.11) proporciona m ecuaciones para
determinar los n costes exergéticos. En general es siempre n > m . Esto
se debe a las dos causas siguientes:
Entradas al sistema, atravesando la superficie de control.
Bifurcaciones (internas y externas) en equipos con más de una
salida.
Aunque volveremos sobre esto más adelante, con más rigor y
generalidad, baste con advertir ahora que para la configuración más
sencilla, de una serie simple de elementos, con una sola entrada y sin
bifurcación alguna, es n = m + 1 , tal como se aprecia en la figura 6.3.1.
Por este motivo, se precisan ecuaciones o condiciones adicionales, que
no pueden inferirse de razonamientos termodinámicos, sino que
requieren la formulación de juicios de valor económicos.
Figura 6.3.1
§ 6.4. Naturaleza del coste exergético
El coste exergético es un coste interno del sistema, que depende de la
exergía que haya que producir – un hecho objetivo – y de la tecnología
concreta que se aplique – circunstancia subjetiva – que varía de unos
1 2 3 4 5
1 2 3 4
Capítulo 6: El coste exergético A.137
casos a otros. Para discurrir sobre este tema y facilitar su comprensión,
vamos a referirnos al sistema sencillo dibujado en la figura 6.4.1,
formado por dos equipos en serie, con sólo una entrada e y una salida 2.
Los balances de coste exergético de los equipos serán sencillamente
0*
1
* BBe y 0*
2
*
1 BB . Ahora bien, la exergía que se haya
consumido para generar la entrada e no sólo no se conoce, en general,
sino que dependerá del proceso seguido y es algo ajeno al sistema, un
coste exergético externo, que no ha de considerarse en su análisis, por
Figura 6.4.1
no afectar al sistema. Por ello, a las entradas a los sistemas se les
asignan costes exergéticos iguales a sus exergías:
ee BB , (6.4.1)
que concuerda con lo establecido al principio del § 6.3 para los recursos
tomados del ambiente. Hay que notar que el coste exergético de una
entrada a un sistema es una propiedad objetiva de la misma, sin que
ataña al sistema el proceso empleado para su producción.
Los balances exergéticos serán:
1 2
1 2 e
Capítulo 6: El coste exergético A.138
Equipo 1: 1,1 de BBB (6.4.2)
Equipo 2: 2,21 dBBB (6.4.3)
Global (suma): .)( 2,1,2 dde BBBB (6.4.4)
Se aprecia cómo la entrada ha de proveer la exergía de salida más la
destruida en ambos equipos. Los balances de coste exergético son:
Equipo 1: 1BBe
(6.4.5)
Equipo 2: 21 BB (6.4.6)
Global (suma): .2
BBe (6.4.7)
Si comparamos (6.4.4) y (6.4.7), vemos que el coste exergético de la
salida verifica
,)( 2,1,22 dde BBBBB (6.4.8)
esto es igual a su exergía (propiedad objetiva) más la exergía destruida en
su producción (dependiente del proceso). Análogamente, de (6.4.5),
(6.4.2) y (6.4.3) se deduce
,1,2,21,11 ddde BBBBBBB (6.4.9)
que coincide con (6.4.8). Si hubiéramos considerado un sistema formado
por sólo el equipo 2, habría sido
11 ' BB (6.4.10)
y, por tanto,
.'' 2,2112 dBBBBB (6.4.11)
Capítulo 6: El coste exergético A.139
En este caso, el coste exergético B2*' sólo recogería la destrucción de
exergía en el propio sistema, que ahora se reduce al equipo 2.
De todo lo anterior se desprende que, conforme se van incluyendo
equipos aguas arriba del proceso, el coste exergético de la salida va
aumentando, al recoger la destrucción de exergía en los equipos
incorporados al sistema. Esto es lo que se llama internalización de las
irreversibilidades y de los costes exergéticos externos, o también
teorema de la sustitución (Valero). Las fórmulas (6.4.3) y (6.4.4)
expresan la acumulación de las irreversibilidades en términos de
destrucción de exergía y las (6.4.11) y (6.4.8) lo hacen refiriéndose a los
costes exergéticos.
§ 6.5. Bifurcaciones
En el § 6.3 hemos visto que el balance de coste exergético
(6.3.11) no proporciona un número suficiente de ecuaciones para
determinar los costes exergéticos. Las ecuaciones adicionales han de
basarse en consideraciones de carácter económico, fuera del dominio de
la termodinámica, y tendrán que referirse a las entradas y las
bifurcaciones. Las primeras se tratan mediante expresiones del tipo
(6.4.1), que aportan tantas ecuaciones como entradas al sistema. Ahora
vamos a dedicarnos a las bifurcaciones.
Empezaremos por las bifurcaciones internas, que se dan en los
equipos con dos o más corrientes salientes, que a su vez son entrantes en
otros equipos del sistema. En la figura 6.5.1 se esquematiza la situación.
Capítulo 6: El coste exergético A.140
Figura 6.5.1
El equipo tiene N salidas. Supongamos que la salida 1 es producto; si la
salida genérica s es también producto, se le asigna un coste exergético
unitario – recuérdese (6.3.3) –
*
1
* s . (6.5.1)
Esto implica que los costes exergéticos unitarios asignados a las salidas-
producto de un mismo equipo son todos iguales. De (6.5.1) se desprende
que
*
1
1
1
B
B
B
B
s
s
. (6.5.2)
El fundamento económico de este criterio es muy razonable: el coste
exergético se reparte en proporción a las exergías de las salidas, que
representan sus respectivos flujos energéticos útiles.
Consideremos ahora el caso de una salida-recurso, que se dibuja
en la figura (6.5.2).
Figura 6.5.2
1 2
Equipo Entradas Salidas s
N
1 2 Equipo
Entradas Salidas
s
N r
Capítulo 6: El coste exergético A.141
Ahora se supone que la salida s es recurso, asociada a la entrada-recurso
r. Entonces se asigna a la salida un coste exergético unitario igual al de la
entrada:
**
rs , (6.5.3)
que equivale a
*
r
r
r
s
s
B
B
B
B
, (6.5.4)
o sea que los costes exergéticos de la entrada y la salida recursos se
hacen proporcionales a sus respectivas exergías. Para hacer patente el
significado económico de este criterio, podemos deducir de (6.5.4) que
*
r
sr
sr
BB
BB
, (6.5.5)
que pone de manifiesto que el coste exergético de la exergía cedida al
equipo es proporcional a ésta.
Los desarrollos precedentes permiten escribir una ecuación del
tipo (6.5.2) o (6.5.4) para cada bifurcación de un equipo. Para un total de
N salidas tendremos N-1 ecuaciones adicionales, que junto con el balance
de coste exergético (6.3.9) del equipo, suministra las N ecuaciones
necesarias para calcular los costes exergéticos de las salidas.
Para ilustrar el significado de estos dos criterios, vamos a
examinar unas situaciones muy simples en un sistema al máximo nivel de
agregación, para tener así determinados de antemano los costes
exergéticos de las entradas. La primera se refleja en la figura (6.5.3).
Capítulo 6: El coste exergético A.142
Figura 6.5.3
Si las salidas 1 y 2 son productos, de acuerdo con (6.5.2) se verifica
*
1
2
2
1
1
B
B
B
B
. (6.5.6)
De acuerdo con el balance de coste exergético y el exergético del
sistema, podemos escribir:
de BBBBBB 21
*
2
*
1 . (6.5.7)
Con la ayuda de estas expresiones vamos a determinar *
1B y *
2B . Para ello
despejamos *
2B en (6.5.6):
1
1
22 B
B
BB
y entramos con este valor en (6.5.7):
dBBBBB
BBB
B
BB
211
1
211
1
21 .
De aquí se deduce que
dBBB
BBB
21
111
. (6.5.8)
1
2
Sistema e
Capítulo 6: El coste exergético A.143
Para *
2B se verificará, análogamente,
dBBB
BBB
21
222
. (6.5.9)
Estos resultados indican que cuando las salidas son productos, la
destrucción de exergía se reparte entre sus costes exergéticos en
proporción a sus respectivas exergías.
Cuando una salida es recurso se origina una situación muy
diferente. En la figura 6.5.4 se representa un caso de esta naturaleza. La
salida 3 es producto y la 4 es ahora un recurso asociado a la entrada 2. Se
habrá de satisfacer por tanto la relación (6.5.4) entre las dos últimas,
teniendo presente que 2 es una entrada al sistema y su coste exergético
será igual a su exergía:
Figura 6.5.4
12
2
4
4
B
B
B
B
. (6.5.10)
Los balances exergético y de coste exergético nos permiten escribir
dBBBBBBB 4321
*
4
*
3 (6.5.11)
y también
dd BBBBBBB 3
*
443
*
3 , (6.5.12)
1
2
Sistema r
3
4 r
p
Capítulo 6: El coste exergético A.144
ya que 4
*
4 BB . Por lo tanto, en este caso el coste exergético de la salida
producto recoge íntegra toda la destrucción de exergía. Por el contrario,
el coste exergético de la salida recurso no es afectado por la destrucción
de exergía.
Para terminar el estudio de las bifurcaciones, vamos a abordar las
bifurcaciones externas. Son éstas las que salen del sistema hacia el
ambiente, atravesando la superficie de control. Someteremos a estudio un
equipo genérico con dos salidas 1 y 2, que son salidas del sistema, esto
es que atraviesan la superficie de control, tal como se dibuja en la figura
6.5.5.
El coste exergético total de las entradas lo representaremos por *
eB . Su
balance de coste exergético será, evidentemente,
.21
BBBe (6.5.13)
Figura 6.5.5
Nos falta, por tanto, una condición adicional para determinar los costes
exergéticos de las dos salidas. Son posibles tres casos:
a) Dos productos principales. Si no existen circunstancias específicas
que demanden un tratamiento específico para cada una de las dos
salidas, como se trata de dos salidas-producto, se aplicará el criterio
1
Be*
2
Superficie de control
Equipo
Capítulo 6: El coste exergético A.145
(6.5.2) y se asignará un mismo coste exergético unitario * a ambas
salidas:
2
2
1
1
B
B
B
B
. (6.5.14)
Los costes exergéticos serán, pues, proporcionales a las respectivas
exergías.
c) Un subproducto. Ahora la salida 1 es el único producto
principal y 2 es un subproducto. Si no existe otra condición
de origen interno, puede asignarse a 2 un coste exergético
igual al que tendría si se le obtuviera como producto principal
mediante una instalación adecuada, haciendo uso de la mejor
tecnología realmente disponible:
2 B . (6.5.15)
Esto significa que dicho subproducto tiene para nosotros el valor
exergético , que es el coste exergético mínimo al que podríamos
producirlo. A veces puede tratarse de un producto o suministro
obtenible en el mercado, tal como energía eléctrica, vapor de proceso,
un combustible o producto químico comercial; en tal caso se le podría
asignar un valor igual a su exergía. En cualquier caso, del balance de
coste exergético (6.5.13) se deduce que
.21
ee BBBB (6.5.16)
Cuanto mayor sea , tanto menor será el coste exergético B1* del
producto principal.
Capítulo 6: El coste exergético A.146
c) Un residuo. Si la salida 2 es un residuo, su valor será nulo:
02 B . (6.5.17)
Entonces será
eBB1 (6.5.18)
y el coste exergético Be* recaerá en su totalidad sobre el producto 1.
A veces se precisa una instalación auxiliar para extraer o eliminar un
residuo (una bomba, un ventilador, una cinta transportadora, ...) no
contenida en el sistema, tal como se dibuja en la figura 6.5.6, la cual
consumiría una exergía r con la mejor tecnología disponible.
Realizaremos en primer lugar el balance de coste exergético del equipo
de evacuación:
,032 BB r (6.5.19)
Figura 6.5.6
ya que, de acuerdo con (6.5.17) el coste exergético del residuo 3 es nulo,
luego
r
1 Be*
2
Sistema
principal
B3* = 0
3 Equipo de
evacuación
Sistema ampliado
Capítulo 6: El coste exergético A.147
rB
2 (6.5.20)
y el coste exergético del residuo 2 resulta ser negativo. El balance de
coste exergético del sistema principal será
re BBBB
121 . (6.5.21)
Finalmente, el balance de coste exergético del sistema ampliado será
,1
BB re (6.5.22)
que concuerda con (6.5.21). Vemos que, cuando se incorpora el equipo
de evacuación al sistema, el coste r de eliminación del residuo se suma
al Be* de las entradas, como una más. En cambio, si el equipo de
evacuación no forma parte del sistema y se desea que éste recoja el coste
de la eliminación, se ha de imputar un valor negativo al residuo como
salida del sistema. Este hecho no es más que un caso de internalización
de un coste exergético, considerado en el § 6.4, con la única diferencia de
que se produce ahora aguas abajo del proceso principal, sobre una salida.
§ 6.6. Determinación de los costes exergéticos
Las consideraciones desarrolladas en los §§ 6.4 y 6.5 proporcionan los
criterios aplicables a las entradas y las bifurcaciones: ecuación (6.4.1)
para las primeras y ecuaciones (6.5.2), (6.5.4), (6.5.15) y (6.5.17) para las
segundas. Como hemos visto, dichas expresiones proporcionan los
elementos precisos para la determinación de los costes exergéticos de las
entradas y las bifurcaciones. Vamos a empezar ahora por confirmar que
con ellas se dispone de las n-m ecuaciones adicionales que, junto con las
Capítulo 6: El coste exergético A.148
m que aporta el balance de coste exergético (6.3.11), van a hacer posible
el cálculo de n costes exergéticos del sistema. Para ello vamos a deducir
la relación general existente entre el número de corrientes n, el número
de equipos m y los números b y e de bifurcaciones y entradas. En la
figura 6.6.1 se representa un equipo genérico E, afectado por corrientes
de los diversos tipos posibles. En general, pueden enunciarse los
siguientes hechos:
Todo equipo tiene, al menos, una salida.
Las salidas que excedan de una se computan como
bifurcaciones.
Las entradas procedentes de otro equipo han sido ya
computadas como salidas o bifurcaciones del equipo de
procedencia.
Han de añadirse al cómputo de corrientes las entradas al
sistema, que atraviesen la superficie de control.
Figura 6.6.1
Por lo tanto, se verifica
bemn . (6.6.1)
Entrada
A C
B D
E Salida de A
Salida de B Bifurcación
Salida
Capítulo 6: El coste exergético A.149
Este resultado indica que, si a las m ecuaciones del sistema (6.3.11), que
expresa el balance de coste exergético, se añaden las n-m = e+b
ecuaciones adicionales aportadas por las entradas y las bifurcaciones, se
dispondrá del número n total de ecuaciones preciso para el cálculo de los
n costes exergéticos.
El tratamiento matricial del problema es simple. Se define una
matriz nmn )( , cuyas filas tendrán todos sus elementos nulos, salvo los
siguientes:
Entradas. Valor 1 al elemento ie , que corresponda a la
entrada e en el equipo i.
Subproductos. Valor 1 al elemento is relativo al
subproducto s generado por el equipo i.
Residuos. Valor 1 al elemento ir referente al residuo r
originado en el equipo i.
Bifurcaciones. Valor ̇ ⁄ en la columna que corresponda a
una de las corrientes y ̇ ⁄ en la que corresponda a la otra.
La matriz nmn )( representa la estructura económica del sistema y, por
ello, se denominará matriz de economía. . La matriz de incidencia, en
cambio, representa su estructura física, como se vio en el § 5.2. Se
define, además, un vector 1)( mn , cuyos elementos tienen los siguientes
valores:
Entradas: eB
Subproductos: s
Residuos: 0
Capítulo 6: El coste exergético A.150
Bifurcaciones: 0
Este vector recibe el nombre de vector de costes exergéticos definidos.
Tal como se aprecia en la parte inferior de la figura 6.6.2, el producto
matricial *
)1()( . nnmn B , igualado a 1)( mn , conducirá evidentemente a
las n-m ecuaciones adicionales precisas, formuladas de acuerdo con lo
indicado en el §6.4 para las entradas y en el §6.5 para los subproductos,
los residuos y las bifurcaciones en general.
Figura 6.6.2
e
s
r
j, k
Entrada
e s r j k
Equipo
genérico
Subprod.
Residuo
Bifurc.
i … … … … … …
… 1 ……………………………
………….. 1
…………..………….1
.………………………………
……………………
.…………………………
.
.…………………………………………….
=
0
0
0
0
0
m
n-m
A (n×n)
…
Capítulo 6: El coste exergético A.151
En la parte superior de la figura 6.6.2 se observa que el producto
de la matriz de incidencia A por el vector de coste exergético B*,
igualado a un vector nulo, de dimensión m, expresa el balance de coste
exergético (6.3.11). Tal como se ve en la misma figura, se pueden
combinar las matrices A y α en una matriz cuadrada única A , de
dimensión n x n, y definir un vector Ω de dimensión n x 1, cuyos m
primeros elementos sean nulos y los n – m restantes sean los de ω:
A
A
(6.6.2)
0
(6.6.3)
Gracias a esto se puede escribir el balance de coste exergético de la
siguiente forma compacta, análoga a (6.3.11):
A )1()1()( .
nnnn B (6.6.4)
La matriz cuadrada A , de dimensión n x n, resultado de ampliar la
matriz de incidencia A con la de economía α se denomina matriz
ampliada y el vector Ω de dimensión n x 1, vector de costes exergéticos
imputados.
Si premultiplicamos (6.6.4) por la matriz A -1
, inversa de A, se
verificará
11AAA B , (6.6.5)
Capítulo 6: El coste exergético A.152
pero
IAA
1, (6.6.6)
en donde In es la matriz unidad que, como es sabido, es una matriz
diagonal con todos los elementos no nulos iguales a la unidad. Dado que
, BBI (6.6.7)
se verificará
1AB , (6.6.8)
que determina los n costes exergéticos del sistema.
§ 6.7 Rendimientos
Los conceptos de coste exergético y recurso/producto permiten unas
formulaciones generales, claras y simples, de la eficiencia con que una
planta o instalación transforma en productos útiles los recursos que
consume. Empezaremos por considerar un equipo genérico E de una
planta, representado en la figura 6.7.1.
Figura 6.7.1
Superficie de control
del sistema
E
Capítulo 6: El coste exergético A.153
De acuerdo con (6.2.5), su balance exergético será
,dBIPR (6.7.1)
o también
.)( dBIRP (6.7.2)
El rendimiento exergético o racional del equipo E se define como
R
P
(6.7.3)
y verifica, a consecuencia de (6.7.2),
.11
R
BI d
(6.7.4)
También se puede definir el consumo exergético unitario de E:
1
P
R
(6.7.5)
y, por aplicación de (6.7.1),
.11
P
BI d
(6.7.6)
En el diagnóstico energético de un equipo genérico suelen ser también
útiles las siguientes ratios, que se definen como sigue:
Capítulo 6: El coste exergético A.154
De destrucción de exergía:
R
Br d
d
(6.7.7)
De pérdidas de exergía:
R
IrI
. (6.7.8)
Estos parámetros dan una imagen cuantitativa rigurosa de la importancia
que, en un equipo concreto, tienen la destrucción y las pérdidas de
exergía.
Si eliminamos P , dB e I entre (6.7.1), (6.7.3), (6.7.7) y (6.7.8), resulta
dI rr 1 , (6.7.9)
o también
dI rr 1 , (6.7.10)
que pone de manifiesto una conexión muy intuitiva entre el rendimiento
racional y las ratios antes definidas.
Tal como se vio en el § 6.2, podríamos distinguir también aquí entre
residuos y pérdidas. De hacerlo así, Ir se referiría exclusivamente a los
residuos y podría denominarse ratio de rechazo y se definiría además una
ratio de pérdidas R
JrJ
. No es frecuente hacer uso de esta
diferenciación.
Capítulo 6: El coste exergético A.155
Evidentemente todo lo anterior se verifica también para un sistema
completo, al máximo nivel de agregación. En este caso, además, puede
hacerse una aplicación muy expresiva del coste exergético. Para ello
vamos a investigar la relación existente entre la exergía del recurso y el
coste exergético del producto. De acuerdo con (6.4.1), para los recursos
entrantes se verifica
RR BB (6.7.11)
y sus costes exergéticos unitarios * serán iguales a la unidad. Los
recursos salientes, según se vio al tratar las bifurcaciones, verificarán
(6.5.3) y sus costes exergéticos unitarios serán también iguales a uno. Por
tanto,
.RR (6.7.12)
Por otra parte, el balance de coste exergético del sistema es,
simplemente,
, PR (6.7.13)
ya que el coste exergético de los residuos es nulo. Al aplicar estas dos
relaciones a la definición (6.7.3) resulta
,
P
P
R
P
(6.7.14)
lo cual significa que el rendimiento racional global de un sistema es igual
a la relación entre la exergía y el coste exergético del producto. Conviene
Capítulo 6: El coste exergético A.156
observar que este resultado no es aplicable a un equipo individual
integrado en un sistema más amplio, ya que en tal caso P* puede recoger
también el efecto de las ineficiencias de otros equipos del sistema.
Finalmente vamos a referirnos al coste exergético unitario *
j de una
corriente genérica j. Es evidente que representa la ineficiencia exergética
del sistema en la producción de dicha corriente, teniendo en cuenta la
estructura económica del sistema. Por ejemplo, para el equipo 1 de la
figura 6.4.1 se verifica
1,11 de BBBB (6.7.15)
y, por tanto,
.111
1,
1
11
B
B
B
B d
(6.7.16)
Este resultado expresa, para un caso muy simple, cómo influyen las
imperfecciones termodinámicas del equipo sobre el coste exergético
unitario de su salida. A continuación vamos a realizar un estudio más
profundo y general de este asunto.
§ 6.8. Formación de los costes exergéticos unitarios
Con la ayuda de la representación R/P/I es posible analizar de una
forma rigurosa y general cómo intervienen las imperfecciones
termodinámicas de un sistema en la formación de los costes exergéticos
de los equipos que lo componen.
Para un equipo genérico i, pueden definirse los costes exergéticos
unitarios de producto y recurso mediante las siguientes expresiones, de
la forma (6.3.3):
Capítulo 6: El coste exergético A.157
i
i
iPP
P
*
*
, ; i
i
iRR
R
*
*
, . (6.8.1)
Como el producto y el recurso pueden estar constituidos, en general, por
varias corrientes, estas fórmulas introducen unos valores medios únicos
para el equipo en cuestión. Esto va a permitir la realización de un análisis
general bastante simple.
El balance de coste exergético del equipo es, evidentemente,
**
ii RP (6.8.2)
y al aplicar las definiciones (6.8.1),
iiRiiP RP *
,
*
, . (6.8.3)
El balance exergético del equipo es, en la forma (6.2.5),
idiii BIPR , . (6.8.4)
Al sustituir en (6.8.3) resulta
)( ,
*
,
*
, idiiiRiiP BIPP
y también
i
idi
iRiPP
BI
,*
,
*
, 1 . (6.8.5)
Capítulo 6: El coste exergético A.158
Esta fórmula indica que, por causa de la destrucción y las pérdidas de
exergía en el equipo, el coste exergético unitario del producto es siempre
mayor que el del recurso. Los costes exergéticos unitarios van
aumentando conforme los recursos se van transformando en productos en
cada equipo.
De la fórmula (6.7.6) para el consumo exergético unitario κi del equipo se
infiere
i
idi
iP
BI
,
1
. (6.8.6)
y al sustituir en (6.8.5) obtenemos
iiRiP *
,
*
, . (6.8.7)
Esta ecuación relaciona de una forma muy expresiva los costes
exergéticos unitarios de recurso y producto y el consumo exergético
unitario de un equipo.
§ 6.9. Formalismo matricial R/P/I
Vamos a ver ahora cómo se puede simbolizar matricialmente la
representación R/P/I expuesta en el § 6.2. Para ello definiremos las tres
matrices siguientes:
a) Matriz de recursos AR . Se asigna a su elemento genérico aR,ij
uno de los siguientes valores:
+1, si la corriente j es recurso entrante en el equipo i.
-1, si la corriente j es recurso saliente del equipo i.
0, si la corriente j no es recurso del equipo i.
Capítulo 6: El coste exergético A.159
b) Matriz de productos AP . Se asigna a su elemento genérico aP,ij
uno de los siguientes valores:
-1, si la corriente j es producto entrante en el equipo i.
+1, si la corriente j es producto saliente del equipo i.
0, si la corriente j no es producto del equipo i.
c) Matriz de residuos o pérdidas AI . Se asigna a su elemento
genérico aI,ij uno de los siguientes valores:
+1, si la corriente j es residuo/pérdida del equipo i.
0, si la corriente j no es residuo/pérdida del equipo i.
El convenio a) coincide en signos con el enunciado en el § 5.2
para la matriz de incidencia. Los b) y c) son opuestos. Como todas las
corrientes de cada equipo han de ser clasificables como R, P o I y sólo
como una de ellos, se ha de verificar:
)(,)(,)(,)( nmInmPnmRnm AAAA (6.9.1)
que relaciona con la de incidencia las tres matrices que acabamos de
establecer. Si definimos los vectores recurso, producto y residuo
mediante
m
m
R
R
R
1
)1( ;
m
m
P
P
P
1
)1( ;
m
m
I
I
I
1
)1( , (6.9.2)
se han de verificar
)1()1()(,
)1()1()(,
)1()1()(,
mnnmI
mnnmP
mnnmR
IBA
PBA
RBA
, (6.9.3)
Capítulo 6: El coste exergético A.160
que determinan dichos vectores. Como para cada equipo i se ha de
satisfacer (6.2.5):
,,idiii BIPR (6.9.4)
podemos escribir, en forma vectorial,
,)1(,)1()1()1( mdmmm BIPR (6.9.5)
que es la expresión matricial del balance exergético en forma R/P/I. Si
sustituimos (6.9.3) en (6.9.5), resulta
.)( )1(,)1()(,)(,)(, mdnnmInmPnmR BBAAA (6.9.6)
y, a consecuencia de (6.9.1), este resultado se convierte en
,)1(,)1()( mdnnm BBA (6.9.7)
que coincide con el balance exergético convencional (5.3.5).
La formulación R/P/I del balance de coste exergético es fácil. Con la
ayuda de (6.9.1), puede transformarse la expresión del balance de coste
exergético (6.3.11) como sigue:
)1()1()(,)(,)(,)1()( 0)(
mnnmInmPnmRnnm BAAABA ,(6.9.8)
o también
Capítulo 6: El coste exergético A.161
)1()1()(,)1()(,)1()(, 0
mnnmInnmPnnmR BABABA . (6.9.9)
Definiremos los vectores de costes exergéticos de recursos, productos y
residuos o pérdidas de una forma análoga a (6.9.2):
m
m
R
R
R 1
)1( ;
m
m
P
P
P 1
)1( ;
m
m
I
I
I 1
)1( .(6.9.10)
Como el coste exergético de los residuos y pérdidas es nulo,
)1()1( 0
mmI . (6.9.11)
Además, análogamente a (6.9.3), se verifica
)1()1()(,
)1()1()(,
mnnmP
mnnmR
PBA
RBA (6.9.12)
y, por tanto, (6.9.9) se convierte en
)1()1()1( 0
mmm PR (6.9.13)
Este resultado, simple y evidente, coincide con la formulación R/P del
balance de coste exergético (6.3.1).
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.162
7 Capítulo 7: Análisis termoeconómico
§ 7.1. Definiciones
Hasta este momento hemos visto que toda corriente, material o no,
transporta un flujo exergético jB y tiene un coste exergético
jB ,
expresables ambos en unidades de potencia, por ejemplo en kW. Vamos
a demostrar enseguida que a cada corriente se le puede asignar también
un coste termoeconómico j , que se define como el coste económico de
su producción, o flujo de coste, expresado en unidades monetarias por
unidad de tiempo, tal como € s-1
. Puesto que el coste exergético
jB mide
la exergía consumida para producir esa corriente, la relación entre el
coste termoeconómico j y el coste exergético representará el coste
económico
jc por unidad de exergía consumida en la producción de la
corriente:
j
j
jB
c
. (7.1.1)
jc recibe el nombre de coste termoeconómico unitario y se expresa en
unidades monetarias por unidad de exergía, tal como € kJ –1
.
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.163
En una instalación que utilice un recurso o combustible único,
estas ideas tienen una significación práctica muy clara. El coste
exergético unitario (adimensional) mide el consumo unitario de
combustible (kJ de exergía de combustible por kJ de exergía de la
corriente) y el coste termoeconómico unitario cj* representa el coste
unitario del combustible (€/kJ).
Se define, además, el coste exergoeconómico unitario cj , como el
coste económico de la unidad de exergía de una corriente j :
j
j
jB
c
. (7.1.2)
De (7.1.1), (7.1.2) y (6.3.3) se infiere que
)( jjjjjjjj BcBcBc
y
jjj cc , (7.1.3)
que relaciona los tres costes unitarios. Las definiciones (7.1.1) y (7.1.2)
proporcionan dos caminos equivalentes para relacionar el coste
termoeconómico de una corriente con la exergía necesaria para su
producción, o con la exergía de la propia corriente. La Termodinámica
nos va proporcionar, en todo caso, una conexión rigurosa e inequívoca
entre exergía y economía, al margen de cualquier convenio contable.
§ 7.2. Balance termoeconómico
Empezaremos por estudiar un sistema al máximo nivel de agregación,
como el representado en la figura 7.2.1, con varias entradas y salidas.
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.164
Figura 7.2.1
Un balance económico elemental ha de expresar que el coste total de las
salidas ha de ser igual al coste total de las entradas más los costes fijos de
amortización, mantenimiento, operación y gastos generales de la planta,
referidos naturalmente a la unidad de tiempo. El importe total del flujo de
costes fijos se representará por Z y se designará en lo sucesivo
simplemente coste fijo. Por tanto, se verificará
l
sl
k
ek Z ,
o también
0 Zl
sl
k
ek (7.2.1)
y matricialmente
0)1()1( ZA nn , (7.2.2)
en donde la matriz fila )1( nA se define de la forma establecida en el § 5.2
para, por ejemplo, la fórmula (5.2.4). El vector )1( n será
sl
ek
n )1( , (7.2.3)
Entradas (e) Salidas (s) k l
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.165
denominado vector de coste termoeconómico, análogo a los vectores de
energía, exergía y coste exergético.
Esta formulación se extiende fácilmente a niveles de agregación más
bajos, de modo que la expresión matricial general del balance económico
de un sistema formado por m equipos conectados por n corrientes será
)1()1()1()( 0 mmnnm ZA , (7.2.4)
En esta expresión, )( nmA es la matriz de incidencia definida en el § 5.2,
)1( n el vector de coste termoeconómico y
)1( mZ el vector de costes
fijos iZ del sistema. Como en el caso de los costes exergéticos, el balance
(7.2.4) aporta m ecuaciones con n > m incógnitas y se precisan, en
consecuencia, n-m ecuaciones adicionales, igual que ocurría entonces.
Dichas ecuaciones se van a formular ahora siguiendo un proceso
enteramente análogo al desarrollado en los §§ 6.5 y 6.6. Antes de
hacerlo, conviene reparar en que el balance (7.2.4) se ha formulado sobre
una base estrictamente económica, sin recurrir en ningún momento a la
termodinámica. Esta última entrará en juego a continuación, al formular
las ecuaciones adicionales, cuando tratemos las bifurcaciones.
Las ecuaciones adicionales se formulan como sigue:
a) Entradas. Su coste termoeconómico es igual al flujo de coste
de la corriente entrante. Para una entrada genérica e, se
verifica
ee , (7.2.5)
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.166
en donde e es el coste termoeconómico de la entrada en
unidades monetarias por unidad de tiempo, o flujo de coste.
Al aplicar (7.1.1) y (7.1.2), podemos escribir
eeeeee BcBc (7.2.6)
y, a consecuencia de (6.4.1), serán ee BB , 1
e y
ee cc .
b) Subproductos. Razonando como en el § 6.5 b), se les puede
asignar un coste termoeconómico igual al que tendrían con el
mejor proceso específico disponible. Para un subproducto
dado s, por tanto,
ss . (7.2.7)
Para enlazar con el coste exergético, se podría escribir, por
aplicación de (7.1.1) al proceso en cuestión
sssss cBc , (7.2.8)
en donde s es la exergía requerida por el proceso alternativo
y *
sc su coste termoeconómico unitario. Por lo general, no es
correcto emplear una fórmula de este tipo, porque s es un
coste exergético variable y s suele ser un coste
termoeconómico total (véase el § 7.4 más adelante).
c) Residuos. Análogamente al § 6.5 c), será
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.167
0 r . (7.2.9)
d) Bifurcaciones. Con un discurso análogo al seguido el § 6.5, en
el caso de una bifurcación interna o de dos productos
principales, puede asignarse un mismo coste termoeconómico
unitario c* a las dos corrientes. Como, según el mismo § 6.5,
también tienen el mismo coste exergético unitario , la
ecuación (7.1.3) indica que ocurrirá igualmente con el coste
exergoeconómico unitario. Por tanto,
k
k
j
j
BB
y
k
k
j
j
BB
. (7.2.10)
Hay que advertir que las condiciones a), b) y c) precedentes son
puramente económicas y que la única de naturaleza termodinámica es la
d), referente a las bifurcaciones.
Tal como se demostró en el § 6.6, con las condiciones anteriores se puede
formular el número exacto m-n de ecuaciones adicionales que, junto con
las m del sistema (7.2.4), completan el total n necesario para determinar
los n costes termoeconómicos del sistema. El procedimiento es
exactamente el mismo. Se introduce la misma matriz de economía
nmn )( y se crea el vector de costes termoeconómicos definidos 1)( mn ,
cuyos elementos tienen los siguientes valores:
Entradas: e
Subproductos: s
Residuos: 0
Bifurcaciones: 0 .
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.168
Las n-m ecuaciones adicionales se representarán matricialmente como
sigue:
1)()1()( mnnnmn . (7.2.11)
El sistema completo será
1)(1)()1()(
)1()1()1()(
0
0
mnmnnnmn
mmnnm ZA
(7.2.12)
o, en forma más compacta,
)1(0
n
ZA
. (7.2.13)
Si recordamos la definición (6.6.2) de la matriz ampliada A)( nn , y
definimos, además, un vector (nx1), llamado vector de costes
termoeconómicos imputados, como sigue:
Z
n )1( , (7.2.14)
podremos escribir así el balance termoeconómico:
A )1()1()1()( 0. nnnnn . (7.2.15)
Esta es la forma que emplearemos habitualmente.
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.169
Análogamente a (6.6.8), de (7.2.15) se obtiene
- 1)(n A )1(
1
)( .
nnn (7.2.16)
que determina los n costes termoeconómicos del sistema.
§ 7.3. Estructura lógica
En la figura 7.3.1 se dibuja un esquema, llamado “hexágono de costes” y
debido a Valero, en el que se sintetizan las conexiones lógicas entre los
análisis realizados. Partiendo del vértice superior, el balance exergético
Figura 7.3.1
Ruta
exergo-
económica
(termodinámico)
(económico) (tecnológico)
Ruta termoeconómica
A
A. A . B* =
B*
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.170
se obtiene simplemente conocidos los flujos exergéticos de las corrientes
y la estructura física del sistema, definida por la matriz de incidencia A.
El análisis es puramente termodinámico. Para avanzar hacia un análisis
económico, hay que introducir la estructura productiva del sistema
mediante la matriz de economía . Esto puede hacerse por dos caminos.
Si se toma el de la derecha, que es el que hemos seguido nosotros, se
llega a los costes exergéticos. Éstos dependen de la estructura productiva
del sistema y de las tecnologías aplicadas y reflejan el consumo de
recursos en que se incurre para obtener cada corriente. El cálculo se
realiza mediante la matriz ampliada A y el vector de costes exergéticos
imputados , que viene determinado básicamente por el vector de costes
exergéticos definidos . El paso final consiste en la introducción de los
datos económicos (costes de los recursos y costes fijos de los equipos),
para llegar a los costes termoeconómicos. Se aplica la misma matriz
ampliada A, pero ahora con el vector de costes termoeconómicos
imputados , que resulta de reunir el vector de costes fijos Z y el de
costes termoeconómicos definidos , cambiado de signo.
Podrían determinarse los costes termoeconómicos directamente, sin pasar
por los costes exergéticos, siguiendo el camino de la izquierda, llamado
ruta exergoeconómica. No obstante, el paso por los costes exergéticos es
muy instructivo, ya que permite una evaluación en la que se aplican
criterios económicos, sin necesidad de introducir magnitudes monetarias.
Cuando faltan estas últimas, el análisis de coste exergético es el único
posible. Al introducirlas, puede llegarse a los mismos costes
termoeconómicos, pero por la llamada ruta termoeconómica.
Cuando se trate de evaluar el funcionamiento de un sistema existente, los
costes fijos vienen dados de antemano y no podrá actuarse sobre ellos en
cualquier acción de mejora posible. El nivel de decisión está limitado y
las mejoras deberán limitarse a la conducción u operación del sistema. El
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.171
análisis podrá centrarse entonces sobre los costes variables. En tal caso,
puede no ser necesario manejar los costes termoeconómicos variables, y
que baste trabajar con los costes exergéticos, que no precisan de dato
monetario alguno. Volveremos sobre esto en el próximo capítulo.
§ 7.4. Costes fijos y variables
Consideremos un sistema productivo a su máximo nivel de agregación,
tal como se dibuja en la figura (7.4.1), que genera el producto P
consumiendo el recurso R . Se verificará el siguiente balance económico,
de acuerdo con (7.2.1);
RP Z , (7.4.1)
en donde Z es el flujo de coste fijo del sistema. Este coste, que no varía
con el nivel de producción, se debe al capital invertido y los costes de
operación y mantenimiento, entre otros.
Figura 7.4.1
Siguiendo un proceso análogo al del § 6.8 para los costes exergéticos,
podemos definir ahora los costes exergoeconómicos unitarios de
producto y recurso mediante las siguientes expresiones, de la forma
(7.1.2):
Sistema
productivo
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.172
P
c PP
;
Rc R
R
. (7.4.2)
Dado que el producto y el recurso pueden estar constituidos, en general,
por varias corrientes, estas definiciones introducen unos valores medios
únicos que, como en el § 6.8, van a simplificar formalmente el análisis.
De (7.4.2) y (6.7.5) se deduce
PcRc RRR , (7.4.3)
en donde es el consumo unitario del sistema, y si sustituimos en
(7.4.1),
PcZ RP . (7.4.4)
El último término, proporcional a P , expresa el coste variable del
producto. Si aplicamos (7.4.2) para obtener los costes unitarios, resulta
RP cP
Zc
, (7.4.5)
en la que se aprecia que el coste variable unitario es constante y el coste
fijo unitario varía en proporción inversa a la producción.
Las fórmulas (7.4.4) y (7.4.5) son expresiones del modelo lineal de costes
de producción, utilizado habitualmente en el análisis económico de
procesos industriales. En la toma de decisiones de inversión es
interesante la comparación entre los costes fijos y variables.
Corrientemente, las tecnologías sencillas suelen tener bajos costes fijos;
sus costes variables, por el contrario, suelen ser elevados porque hacen
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.173
un empleo poco eficiente de los recursos consumidos, son intensivas de
recursos. Las tecnologías más evolucionadas, por el contrario, mejoran la
utilización de los recursos y tienen menores costes variables, pero sus
costes fijos son mayores, debido a su mayor complejidad y al empleo de
materiales y elementos más onerosos. Acostumbran a ser tecnologías
intensivas de capital.
Figura 7.4.2
En la figura 7.4.2 se representa una situación típica, en la que se compara
una tecnología simple 1 con otra 2 más intensiva de capital. El coste fijo
CF1 de la primera es menor que el CF2 de la segunda. Ocurre lo
contrario con los costes variables unitarios respectivos. Para
producciones inferiores al punto de equivalencia o “break-even”, la
tecnología 1 es preferible desde un punto de vista económico. Por encima
de él, en cambio, será menos costosa la 2.
Producción
1
CF2
CF1
Punto de equivalencia
Coste
CF2
CF1
PE 2
1
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.174
Conviene observar aquí que el coste exergético, tal como se definió en el
§ 6.3, tiene el carácter de un coste puramente variable. A continuación
vamos a discurrir sobre esta cuestión.
§ 7.5. Costes termoeconómicos variables
Es interesante comparar el vector , de costes exergéticos imputados
(6.6.3), con el , de costes termoeconómicos imputados (7.2.14). Los m
primeros elementos del primero son nulos, mientras que los del segundo
toman los valores iZ de los costes fijos. Esto se debe a que los costes
exergéticos calculados con (6.6.4) son variables, mientras que los
termoeconómicos calculados con (7.2.15) son, por el contrario, totales.
Se pueden determinar fácilmente los costes termoeconómicos variables.
Basta aplicar la expresión matricial (7.2.15) sustituyendo el vector por
el siguiente:
1)(
)1(
var
)1(
0
mn
m
n
, (7.5.1)
formalmente análogo al vector definido por la expresión (6.6.3). Los
m primeros elementos son nulos, ya que ahora no hay imputación de
costes fijos. Si hubiera algún subproducto, habría que asignar a s el
coste variable, que sería precisamente el determinado por la ecuación
(7.2.8).
El balance termoeconómico (7.2.15) se podrá escribir de la forma
siguiente:
A
var
)1()1()( . nnnn , (7.5.2)
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.175
que tiene la misma forma que el balance de coste exergético (6.6.4). Los
resultados a que se llega con ambos balances no son siempre
equivalentes, ya que los vectores var
)1( n (7.5.1) y (6.6.3) no son,
en general, proporcionales y no se puede pasar de uno a otro mediante
multiplicación por un escalar. En efecto, los costes exergoeconómicos
unitarios ce de las entradas no tienen por qué ser todos iguales, de modo
que (7.2.6) no conduce siempre a valores e proporcionales a las eB .
Para los subproductos se utilizarán sus costes variables dados por
(7.2.8), en donde cs* será, en principio, diferente de las ce de las entradas.
Hay casos, sin embargo, en que var
)1( n y )1( n sí son
proporcionales; esto ocurre, por ejemplo, cuando el recurso es único y no
hay subproductos, como en muchas centrales térmicas.
Para los balances de coste exergético podría adoptarse un discurso
análogo al seguido en el § 7.2 para los termoeconómicos. Con ese fin se
introduciría un “coste exergético fijo” que representaría la repercusión de
la exergía consumida para la construcción del sistema. Habría que
distribuir dicha exergía a lo largo de la vida del sistema para llegar a
expresarla en términos de flujo exergético por unidad de tiempo, que
sería una especie de “amortización exergética”. Si a ella se le sumase la
exergía consumida en la operación, mantenimiento y servicios generales
del sistema, se llegaría a un “coste exergético fijo”, análogo al coste
termoeconómico fijo Z introducido en el § 7.2. Para niveles de
agregación más bajos, los m primeros elementos del vector de costes
exergéticos imputados ya no serían nulos. Este planteamiento, aunque
enteramente válido, no ha pasado de un terreno especulativo, sin
generalizarse en la práctica.
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.176
§ 7.6. Cálculo de los costes fijos
Para calcular los costes termoeconómicos mediante (7.2.16) es preciso
determinar previamente el vector )1( n de costes termoeconómicos
imputados (7.2.14). Sabemos determinar el vector , pero no los costes
fijos Z , de los que vamos a ocuparnos ahora. El flujo de coste fijo de una
instalación completa puede descomponerse de la forma siguiente:
OMI ZZZ (7.6.1)
a) Flujo de coste de operación y mantenimiento. Se determinan,
por separado, los de mantenimiento y los de operación.
En análisis preliminares, el coste de mantenimiento puede
estimarse entre el 2 y el 10% de la inversión total. Un 6% puede ser una
estimación inicial razonable. En cuanto al coste de operación, en casos
sencillos suele basarse en el coste de personal (puede considerarse 30000
a 50000 €/pers.año). Por ejemplo, para una pequeña central eléctrica
podría ser 2,5 pers/turno; en este caso, la plantilla total sería:
persturnosemh
turnoperssemddh11
./38
/5,2/7/24
.
Más en general, habría que sumarle otros gastos generales que debieran
ser aplicados.
Flujo de coste fijo Flujo de coste
de inversión
Flujo de coste de operación
y mantenimiento
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.177
Una vez calculado el coste anual de operación y mantenimiento OMTOT ,
para usos posteriores es útil determinar el factor de operación y
mantenimiento:
IT
OMf TOT
OM , (7.6.2)
que refiere el coste anual de operación y mantenimiento a la unidad de
capital invertido.
b) Flujo de coste de inversión. Hay que empezar por estimar la inversión
total. En la tabla 7.6.1 se realiza un desglose posible, en el que los
porcentajes que se dan son valores típicos redondeados, que pueden
variar en cada situación concreta que se considere. Para la inversión total
IT se distinguen dos niveles: el ITe para el caso en que la instalación
considerada se agregue como adición o mejora en una planta existente, y
el ITn cuando se trate de una inversión de nueva planta.
La relación IT/CAE entre la inversión total y el coste de adquisición de
los equipos se suele denominar factor de instalación o de Lang.
Generalmente se aproxima a un mismo valor para instalaciones de una
clase determinada. Conocido este valor, la inversión total se puede
estimar sencillamente multiplicando el coste de adquisición de los
equipos por dicho factor. Es posible obtener una aproximación mejor
haciendo uso de un factor de instalación específico para cada uno de los
diversos equipos que componen una instalación dada. Existen datos
abundantes para la relación CEIi/CAEi , que permiten estimar un CEIi
específico para cada equipo. El CEI total de la instalación se obtiene por
adición de los valores obtenidos y, a partir de ese punto, se continúan los
cálculos como indica la tabla 7.6.1.
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.178
Tabla 7.6.1
Estimación de la inversión total
Hay que tener muy presentes las considerables diferencias
existentes entre coste de equipos e inversión total. Como se aprecia en la
% Acum.
Coste de adquisición de los equipos (CAE) 100 100
Coste directo de instalación
Materiales 70
Mano de obra 50 120
Coste indirecto de instalación
Transporte y seguros 30
Ingeniería y supervisión 40
Gastos generales de instalación 10 80
Coste de instalación 200
Coste de equipos instalados (CEI) 300
Imprevistos 30
Puesta en marcha 10
Cargas financieras 10
Otros costes 50
Inversión total en planta existente (ITe) 350
Emplazamiento 20
Instalaciones de servicios y suministros 65
Construcciones auxiliares 15
Otros costes de nueva planta 100
Inversión total en nueva planta (ITn) 450
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.179
tabla 7.6.1, cuando se analiza una adición a una planta existente, por
ejemplo, la inversión total puede triplicar con creces el coste de los
equipos. Olvidar este hecho puede conducir a errores muy graves en los
análisis termoeconómicos.
Como los cálculos que siguen son aplicables tanto a inversiones
en planta existente como en nueva planta, se suprimirá el subíndice en IT.
Una vez estimada la inversión total, habrá que calcular su coste
anualizado equivalente, con los recursos que proporciona la economía de
empresa:
niTOT PAITA ,/ , (7.6.3)
en donde A/Pi,n representa el factor de recuperación de capital :
1)1(
)1(/ ,
n
n
nii
iiPA . (7.6.4)
En esta expresión, i es el coste del capital (en por uno) y n es la vida
prevista de la instalación (en años). La fórmula (7.6.3) determina la
anualidad uniforme equivalente a la inversión total.
El flujo de coste fijo anual total verificará, de acuerdo con (7.6.2)
y (7.6.3),
ITfPAOMACF OMniTOTTOTTOT )/( , . (7.6.5)
El flujo de coste fijo anual de un equipo genérico j se puede determinar
en proporción a su coste de adquisición CAEj como sigue:
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.180
TOT
j
TOTjCAE
CAECFCF . (7.6.6)
Los costes así obtenidos son costes anuales, que se dividen por el tiempo
anual de operación equivalente a plena potencia por año, expresado
usualmente en segundos u horas/año. Para un factor de utilización del
100%, el tiempo de operación anual será 365 d/a x 24 h/d = 8760 h/a. En
general, el flujo de coste fijo del equipo j será
AUEjj tCFZ / , (7.6.7)
en donde tAUE es el tiempo de operación anual, expresado, por lo general,
en s/a.
§ 7.7. Indicadores de operación de centrales eléctricas.
En el análisis termoeconómico se suelen manejar conceptos de uso
frecuente en ingeniería de plantas industriales y, más concretamente, de
centrales eléctricas. Por ello vamos a intercalar aquí un breve repaso.
En primer lugar se enunciarán algunas definiciones.
Factor de carga:
max
medc
P
Pf . (7.7.1)
En esta definición el numerador representa la potencia media
demandada en el período considerado (generalmente un año, que
es lo que supondremos en este repaso) y el denominador la
potencia máxima demandada en el mismo período (generalmente
requerida durante un intervalo de 15 a 30 minutos dentro del
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.181
período considerado). Da una idea de la regularidad de la carga y
de la medida en que podría aprovecharse la central.
Factor de capacidad:
gen
medcap
P
Pf . (7.7.2)
El denominador representa ahora la plena capacidad de
generación de la central. Expresa el aprovechamiento medio de la
potencia máxima generable en la central.
Factor de utilización:
gen
maxutil
P
Pf . (7.7.3)
Expresa el ajuste de la capacidad de la central a la demanda
máxima.
A consecuencia de las tres definiciones anteriores, se verifica
utilccap fff . . (7.7.4)
Por tanto, si la carga máxima es igual a la potencia máxima de la central,
el factor de utilización será igual a la unidad y el factor de capacidad será
igual al factor de carga.
Evidentemente, la capacidad de generación de la central es igual a la
suma de las de los grupos o unidades que la constituyen:
i
igengen PP , . (7.7.5)
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.182
La potencia instalada total en la central es
i
inominst PP , , (7.7.6)
en donde Pnom,i es la potencia nominal del grupo genérico “i”. Hay que
observar que no todos los grupos están disponibles a plena potencia todos
los días del año. Las revisiones periódicas y las paradas para
mantenimiento hacen que una parte de la potencia instalada no pueda
considerarse como disponible. Además, los grupos térmicos necesitan un
cierto tiempo de arranque hasta alcanzar su plena potencia y, por otra
parte, es posible que haya máquinas que, por su edad o circunstancias, no
puedan llegar a producir su plena potencia nominal. Todo esto nos
conduce a que, en general,
instgen PP . (7.7.7)
No sería correcto dimensionar una central con una potencia total igual a
la máxima carga prevista. Una avería, por ejemplo, puede dejar un grupo
fuera de servicio. Por ello hay que prever una reserva de capacidad,
llamada reserva absoluta:
maxgenres PPP . (7.7.8)
Esto implica que, en general, sea
maxgen PP . (7.7.9)
Si la reserva fuera nula, se atendería la carga de pico con toda la potencia
de la central. Si fuera elevada, se mantendría improductiva una parte
importante del capital invertido. Se define el factor de reserva, o reserva
relativa, como
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.183
max
gen
resP
Pf . (7.7.10)
Es evidente que, de las definiciones (7.7.10) y (7.7.3), se desprende que
util
resf
f1
. (7.7.11)
Otro concepto, del que se ha hecho uso en (7.6.7), es el tiempo anual de
utilización equivalente, que se define como el tiempo teórico en que,
funcionando la central a plena potencia, generaría la energía anual
realmente producida:
gen
aAUE
P
Et . (7.7.12)
En esta fórmula Ea representa la energía total generada en el año
considerado. Si, por ejemplo, Ea se expresara en MWh y Pgen en MW,
tAUE vendría dada en horas.
Es fácil relacionar Ea y Pmed:
h
EP a
med8760
. (7.7.13)
De (7.7.12), (7.7.13) y la definición (7.7.2) de factor de capacidad, se
deduce:
cap
gen
medAUE fh
P
Pht .8760
.8760 . (7.7.14)
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.184
Si Pgen=Pmax , serán iguales los factores de capacidad y de carga, y se
verificará también
cAUE fht .8760 . (7.7.15)
§ 7.8. Formulación R/P
El § 6.9 se terminó con la fórmula (6.9.13) que expresa el balance de
coste exergético en representación R/P. Podemos seguir un camino
semejante para el balance económico. Empezaremos por definir los
costes termoeconómicos de recursos y productos como en (6.9.10):
mR
R
mR
,
1,
)1(,
;
mP
P
mP
,
1,
)1(,
, (7.8.1)
que verifican, análogamente a (6.9.3),
)1(,)1()(,
)1(,)1()(,
mPnnmP
mRnnmR
A
A (7.8.2)
Como )1()1(, 0 mmI , el balance económico (7.2.4) se puede
transformar de la forma siguiente:
)1()1()1()(,)(,
)1()1()(
0)(...
...
mmnnmPnmR
mnnm
ZAA
ZA
(7.8.3)
y también
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.185
)1()1()1(,)1(, 0 mmmPmR Z , (7.8.4)
que es la expresión buscada.
§ 7.9. Elección del nivel de agregación
En el § 5.3 se hicieron algunos comentarios acerca de esta cuestión. Un
descenso del nivel de agregación proporciona un conocimiento mejor de
la estructura interna del sistema y, en consecuencia, de dónde y cómo se
destruye exergía. Como dB es aditiva, se la descompone en más o menos
Figura 7.9.1
sumandos, sin otro efecto sobre el análisis que un mayor o menor detalle.
Cuando se introducen criterios o parámetros económicos (en el análisis
de coste exergético o en el análisis termoeconómico), los cambios de
nivel de agregación pueden afectar sustancialmente a los resultados.
Ilustraremos esta cuestión con un ejemplo muy simple, esquematizado en
la figura 7.9.1. Una turbina de vapor de contrapresión, alimentada con
vapor vivo 1, produce trabajo mecánico 2 y vapor de proceso de baja
presión 3. A pesar de la extrema simplicidad del sistema, ya que consta
de un solo equipo, es posible realizar su análisis a dos niveles de detalle.
El máximo detalle, equivalente al nivel de agregación más bajo, reconoce
1
2
3
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.186
la estructura “interna” del sistema, de acuerdo con la descripción
precedente. El mínimo detalle, que correspondería al nivel de agregación
superior, sólo vería el sistema como la “caja negra” representada con
trazos, con la entrada de vapor vivo 1, la salida de trabajo mecánico 2 y
la salida de vapor de proceso 3, e ignora la forma en que se desarrolla el
proceso en su interior. Empezaremos por el nivel de agregación más bajo.
El balance exergético es:
dBBBB 321 (7.9.1)
y el balance de coste exergético:
321 BBB , (7.9.2)
con
11 BB (7.9.3)
por tratarse de una entrada al sistema. Al existir una bifurcación, como el
recurso del equipo es 31 BB , se aplicará (6.5.4) a las corrientes 1 y 3:
3
3
1
1
B
B
B
B
, (7.9.4)
lo cual implica, a consecuencia de (7.9.3), que
113 (7.9.5)
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.187
y en consecuencia,
33 BB . (7.9.6)
En cuanto a
2B , se verifica
dBBBBBBB
231312 . (7.9.7)
Vemos, por tanto, que
2B recoge toda la destrucción de exergía en la
turbina y que, en cambio,
3B no es afectada en absoluto. Esto se aprecia
también con el coste exergético unitario de 2:
1122
2
2
22
B
B
B
BB
B
B dd
. (7.9.8)
Pasemos ahora al balance termoeconómico. Su expresión es
321 Z , (7.9.9)
en donde Z es el flujo de coste fijo de la turbina. Análogamente a (7.9.4),
se verifica
3
3
1
1
BB
, (7.9.10)
luego
13 cc (7.9.11)
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.188
y
111 Bc
113 Bc (7.9.12)
Es fácil calcular 2 :
ZBBcZBBcZ d )()( 21311312 . (7.9.13)
De aquí se infiere que
22
1
2
22 1
B
Z
B
Bc
Bc d
, (7.9.14)
en donde se observa que el coste exergoeconómico unitario de 2 recoge
íntegramente el efecto de la destrucción de exergía y el coste fijo de la
turbina.
Si se realiza el análisis al nivel de agregación superior, evidentemente se
conserva inalterado el balance exergético (7.9.1) y mantienen su forma
los balances de coste exergético (7.9.2) y termoeconómico (7.9.9). Como
se desconoce la constitución interna del sistema, 2 y 3 se considerarán
como salidas principales y satisfarán (6.5.2) y (7.2.10):
3
3
2
2
B
B
B
B
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.189
3
3
2
2
BB
(7.9.15)
En consecuencia,
3232
32
32
1
32
32
32 1BB
B
BB
BBB
BB
B
BB
BB dd
(7.9.16)
y
3232
1
32
321
32
11
32
1
32
3232
1)(
...
...
BB
Z
BB
Bc
BB
ZBBBc
BB
ZBc
BB
Z
BBcc
dd
(7.9.17)
La destrucción de exergía y el coste fijo se reparten en este caso entre 2 y
3, en proporción a sus flujos exergéticos respectivos. Si comparamos los
dos análisis, podemos resumir los resultados así:
Bajo nivel de agregación: 113 ; 12 ; 13 cc y
12 cc
.
Alto nivel de agregación: 11 ; 132 y 132 ccc .
El primero toma en consideración una peculiaridad básica del proceso,
que consiste en obtener la energía mecánica a partir de la caída entálpica
del vapor que atraviesa la turbina. El segundo, en cambio, percibe el
sistema simplemente como un productor de trabajo mecánico y vapor. El
mismo análisis sería aplicable si el trabajo mecánico se obtuviera con una
turbina de condensación y el vapor de baja presión a partir del vapor vivo
mediante una válvula de expansión. Se comprende que el análisis a bajo
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.190
nivel conducirá a una evaluación más ajustada al proceso real y a unas
recomendaciones de mejora más adecuadas. En general, es conveniente
descender hasta los equipos unitarios, tales como calderas, turbinas,
intercambiadores de calor, reactores, etc... A veces es incluso aconsejable
bajar todavía más, y distinguir los diversos procesos elementales que se
producen en un mismo equipo (transmisión de calor, agitación, reacción
química, etc...), haciendo para ello hipótesis razonables para estimar los
datos de detalle de que no se disponga. Si el sistema es muy complicado,
pueden hacerse análisis preliminares a niveles de agregación más
elevados, agrupando equipos afines en subsistemas funcionales lógicos.
Capítulo 7: Análisis termoeconómico A.191
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.192
8 Capítulo 8: Optimización termoeconómica
§ 8.1. Introducción
Como hemos visto hasta ahora, el análisis termoeconómico realiza una
aplicación combinada de la termodinámica (análisis exergético) y de la
economía para llegar a resultados que no se podrían obtener mediante un
empleo separado de dichos recursos de análisis. La información que se
logra, rigurosa y objetiva, es fundamental en la explotación, el diseño y la
optimización de sistemas con el objetivo de minimizar los costes. La
termoeconomía puede ser considerada como una herramienta de análisis
y optimización de los costes basada en la aplicación del concepto de
exergía. Sus objetivos podrían enumerarse de la forma siguiente:
a) Determinar los costes de los productos generados por un sistema
dado, de una forma rigurosa, objetiva e inequívoca, basándose en
principios y criterios económicos y termodinámicos. Esto viene a
ser lo que hemos hecho hasta ahora.
b) Analizar el proceso de la formación de los costes en el sistema e
identificar los factores implicados. Será lo primero que hagamos a
continuación.
c) Ajustar los valores de las diversas variables de cada equipo del
sistema a sus valores óptimos.
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.193
d) Optimizar el sistema en su conjunto, que será lo último que
estudiaremos.
§ 8.2. Formación de los costes termoeconómicos
De acuerdo con lo expuesto en el § 3.5, en representación R/P el balance
económico de un equipo genérico i de un cierto sistema se puede escribir
así:
iiRiP Z ,, . (8.2.1)
Introduciremos los costes exergoeconómicos unitarios de producto y
recurso del equipo en cuestión mediante las definiciones (7.4.2), que
ahora tomarán la forma siguiente:
i
iP
iPP
c
,
,
;
i
iR
iRR
c
,
,
. (8.2.2)
Al aplicar estas fórmulas en el balance (8.2.1), resulta
iiiRiiP ZRcPc ,, (8.2.3)
y, al despejar el coste exergoeconómico unitario del producto,
i
iiiR
iPP
ZRcc
,
, . (8.2.4)
Como interesa valorar el efecto de la destrucción de exergía en el equipo,
sustituiremos iR por su valor dado por el balance exergético (6.9.4):
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.194
i
i
i
idiiR
iR
i
iidiiiR
iPP
Z
P
BIcc
P
ZBIPcc
)()( ,,
,
,,
, . (8.2.5)
En el último miembro de esta expresión se aprecia que al coste
exergoeconómico unitario del recurso se le suma un sobrecoste originado
por los residuos, pérdidas y destrucción de exergía idi BI , y otro debido
a los costes fijos iZ del equipo.
El incremento de coste producido en el equipo genérico i puede
representarse mediante un factor adimensional ri , llamado sobrecoste
relativo, cuya definición es
iR
iRiP
ic
ccr
,
,, . (8.2.6)
Este factor es muy útil en la optimización de un equipo concreto por
aproximaciones sucesivas. Si, por ejemplo, el coste del recurso sufre un
aumento entre una iteración y la siguiente, se deberá intentar minimizar
el sobrecoste relativo y no el coste exergoeconómico unitario del
producto. Si aplicamos (8.2.5) a (8.2.6), resulta
iiR
i
i
idi
iPc
Z
P
BIr
,
,
. (8.2.7)
Se logra una simplificación notable al hacer uso del consumo exergético
unitario i del equipo, dado por (6.7.6):
i
idi
iP
BI
,
1
. (8.2.8)
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.195
Al aplicarlo en (8.2.7), se obtiene
iiR
iii
Pc
Zr
,
1 , (8.2.9)
que refleja de una forma expresiva las contribuciones respectivas de las
ineficiencias del equipo y de sus costes fijos al sobrecoste. Si en vez del
consumo unitario se emplease el rendimiento exergético ii /1 , se
obtendría
iiR
i
i
ii
Pc
Zr
,
1
, (8.2.10)
que es igualmente útil.
§ 8.3. Factor exergoeconómico
Con la ayuda del balance exergético (6.9.4) podemos escribir
)( ,,,, idiiiRiiRiR BIPcRc , (8.3.1)
y al sustituir en (8.2.1)
iidiiRiiRiiPiP ZBIcPcPc )( ,,,,, , (8.3.2)
que expresa el coste termoeconómico del producto en función del coste
termoeconómico iiR Pc , que tendría dicho producto, si su coste
exergoeconómico unitario fuera el mismo cR,i del recurso, y de los
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.196
sobrecostes de carácter termodinámico (destrucción y pérdidas de
exergía) y económico (costes fijos).
La diferencia iiRiP Pc ,, se denomina sobrecoste absoluto o término de
sobrecoste ic, del equipo:
iidiiRic ZBIc )( ,,, . (8.3.3)
En esta expresión se aprecian, una vez más, las dos contribuciones al
sobrecoste:
Termodinámica, debida a )( ,, idiiR BIc .
Económica, debida al coste fijo iZ .
Es frecuente descomponer la contribución termodinámica en dos partes:
El producto iiR Ic ,
, que se llama coste de las pérdidas de exergía y
es un flujo de coste (cantidad monetaria por unidad de tiempo) como
iZ . Lo representaremos por iI , :
iiRiI Ic ,, . (8.3.4)
El producto idiR Bc ,, , llamado coste de la destrucción de exergía:
idiRid Bc ,,, . (8.3.5)
En ambos casos, se trata de costes ocultos, porque no aparecen
explícitamente en los balances económicos.
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.197
A consecuencia de (8.3.3), (8.3.4) y (8.3.5) se puede escribir:
iidiIic Z ,,, (8.3.6)
En el análisis termoeconómico del equipo interesa conocer la
importancia relativa de la contribución termodinámica y la económica al
sobrecoste. Esto se logra mediante el factor exergoeconómico, que se
define como el cociente entre el sobrecoste económico, debido al coste
fijo, y el sobrecoste total:
iidiiR
i
iidiI
ii
ZBIc
Z
Z
Zf
)( ,,,,
(8.3.7)
Se obtiene así una medida de la contribución relativa de los costes fijos al
sobrecoste total originado en el equipo.
Vamos a desarrollar unas breves reflexiones para apreciar su utilidad. Si,
por ejemplo un equipo importante de un cierto sistema tuviera un factor
exergoeconómico pequeño, podría lograrse una mejora en los costes del
sistema mediante un aumento de la eficiencia termodinámica del equipo,
aunque ello requiriera una inversión incremental en el equipo, con el
consiguiente aumento en sus costes fijos. Si, por el contrario, el factor
exergoeconómico fuera elevado, podría convenir una simplificación en el
diseño del equipo, aun incurriendo en una mayor destrucción de exergía.
Generalmente, cada tipo básico de equipo tiene un intervalo
característico de fi . A título de ejemplo, en las calderas no llega
corrientemente al 50%, en los intercambiadores de calor no suele pasar
del 55%, en los compresores acostumbra a estar comprendido entre el 35
y el 75% y en las bombas pasa habitualmente del 70%.
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.198
Los equipos con mayores términos de sobrecoste serán los
primeros en que habrá que investigar posibles mejoras de diseño,
especialmente los de sobrecoste relativo ri elevado. El factor
exergoeconómico fi proporcionará una orientación para elegir la línea de
trabajo preferente:
Si fi es elevado, convendrá investigar si se reduce el sobrecoste
mediante una simplificación del diseño que reduzca la inversión,
aunque menoscabe algo la eficiencia energética.
Si fi es bajo, será preferible intentar reducir el sobrecoste mediante
mejoras termodinámicas, que probablemente aumentarán la
inversión.
En cualquier caso, habrá que investigar el efecto de mejoras
termodinámicas en los equipos de rendimiento exergético bajo, o con
valores elevados de la destrucción de exergía o del ratio correspondiente.
Si algún elemento de un equipo destruye exergía sin contribuir a
disminuir la inversión o los costes en ése u otros equipos, habrá que
considerar su eliminación.
Estas ideas proporcionan una forma simple y segura de investigar
mejoras en el diseño de un sistema, actuando sobre la eficiencia
termodinámica y la inversión requerida por los equipos.
§ 8.4. Evaluación termoeconómica de proyectos
En la evaluación analítica del proyecto de un sistema energético, se van
estudiando, por separado, los diversos equipos que lo componen, al nivel
de agregación juzgado como conveniente. Para un equipo genérico i, se
calculan los siguientes valores:
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.199
La destrucción de exergía idB , , mediante un balance exergético del
tipo (5.3.1) o a partir del vector de diagnóstico determinado por
(5.3.5).
La ratio de destrucción de exergía rd,i dado por (6.7.7).
El rendimiento exergético i y el consumo exergético unitario i ,
determinados mediante (6.7.3) y (6.7.5).
El coste fijo iZ .
El sobrecoste relativo ri , definido por (8.2.6).
El sobrecoste absoluto o término de sobrecoste, dado por (8.3.3).
El factor exergoeconómico fi , determinado por (8.3.7).
Puede sugerirse el siguiente proceso para la evaluación termoeconómica
de proyectos:
a) Ordenar los equipos por términos de sobrecoste decrecientes.
b) Empezar por estudiar mejoras para los equipos que los tengan
mayores.
c) Prestar una atención preferente a los equipos de mayores sobrecostes
relativos.
d) Utilizar el factor exergoeconómico para elegir una línea de
actuación, tal como se ha indicado en el § 8.3.
e) Investigar la conveniencia de mejorar la eficiencia termodinámica de
todo equipo que tenga un rendimiento racional bajo o valores
elevados de destrucción de exergía, destrucción relativa de exergía
o de la ratio de destrucción de exergía.
§ 8.5. Evaluación funcional
El estudio que acabamos de realizar tenía por objeto la evaluación de un
sistema en proyecto o desarrollo, todavía no existente, para optimizar su
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.200
diseño. Un problema distinto se plantea cuando se trata de evaluar el
funcionamiento u operación de un sistema existente. En tal caso, las
inversiones en equipos permanecen invariables y no se plantea su
alteración para mejorar el diseño. Para simplificar el análisis, pueden
suponerse también constantes los costes de mantenimiento, personal y
generales, de modo que los costes fijos totales iZ no desempeñarán papel
alguno en la evaluación. Por lo tanto, ésta tiene que basarse en los costes
variables.
En el § 7.5 se vio cómo se determinan los costes termoeconómicos
variables. Estos costes son los que se emplean en la evaluación funcional
de un sistema existente. Con la ayuda de una aplicación informática de
simulación adecuada para cada caso, se determinan los costes
termoeconómicos variables y se comparan con los valores que tendrían
en condiciones nominales o de diseño. El análisis de las desviaciones de
los costes exergoeconómicos unitarios respecto de los valores de diseño
facilita la detección de fallos de funcionamiento y el diagnóstico de sus
causas. Estos datos pueden servir también de ayuda en la decisión de
reparar o sustituir un equipo, o en la investigación de los efectos de un
cierto fallo en la marcha de un equipo sobre el funcionamiento de otros
equipos o del sistema en su conjunto. Desde un punto de vista más
conceptual, también facilitan la comprensión de cómo se forman y fluyen
por el sistema los costes variables y cómo se convierte la exergía de los
recursos en exergía de los productos.
Podemos transformar fácilmente las expresiones deducidas en el § 8.2
para aplicarlas a los costes variables. Análogamente a (8.2.2),
definiremos los costes exergoeconómicos variables unitarios de producto
y recurso:
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.201
i
iP
iPP
c
var
,var
,
;
i
iR
iRR
c
var
,var
,
. (8.5.1)
Al aplicar en (8.2.3), como ahora ,0iZ resulta
var
,
var
, iR
i
iiP c
P
Rc
(8.5.2)
y si recordamos la definición (6.7.5) del consumo exergético unitario,
var
,
var
, iRiiP cc . (8.5.3)
El sobrecoste relativo ri , dado por (8.2.9), se convierte en 1i y no
aporta nada nuevo. El factor exergoeconómico (8.3.7) se anula. En
cuanto al coste de la destrucción de exergía (8.3.5), se cumplirá
idiRid Bc ,
var
,
var
, . (8.5.4)
El valor de var
,iRc viene determinado por el coste de los recursos
suministrados al sistema y por la destrucción de exergía en los equipos
que precedan al i considerado. var
,id va a depender, por tanto, de la
destrucción de exergía en el equipo i y en los que le precedan. La
ecuación (8.5.4) pone de manifiesto que el coeficiente var
,iRc mide la
importancia económica de la destrucción de exergía en el equipo, ya que
refleja el coste originado por unidad de exergía destruida. En
consecuencia, para mejorar la eficiencia termodinámica global del
sistema, habrá que prestar una atención preferente a los equipos con
mayores valores de var
,iRc .
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.202
Vamos a ilustrar estos hechos con un ejemplo muy simple, que se
muestra en la figura 8.5.1. Se trata de un sistema formado por tres
equipos en serie.
Figura 8.5.1
Por aplicación de (8.5.3) podemos escribir
var
1,1
var
1, RP cc
var
1,12
var
1,2
var
2,2
var
2, RPRP cccc (8.5.5)
var
1,123
var
2,3
var
3,3
var
3, RPRP cccc
En estas expresiones se aprecia cómo va creciendo el coste
exergoeconómico variable unitario al avanzar aguas abajo por el sistema.
En cuanto a los costes de la destrucción de exergía, o irreversibilidad,
gracias a (8.3.5) y (8.5.3) se obtiene
3,
var
1,123,
var
1,23,
var
2,23,
var
2,3,
var
3,
var
3,
2,
var
1,12,
var
1,2,
var
2,
var
2,
1,
var
1,
var
1,
dRdPdRdPdRd
dRdPdRd
dRd
BcBcBcBcBc
BcBcBc
Bc
(8.5.6)
Aquí vemos que la importancia económica de una misma destrucción de
exergía es tanto mayor cuanto más aguas abajo del sistema se produzca.
R1 1 2 3 P1 = R2 P2 = R3 P3
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.203
La razón es puramente termodinámica y se debe a que el recurso de cada
equipo debe proveer la destrucción de exergía en el mismo y en los que
le siguen, estas últimas amplificadas progresivamente por las sucesivas
ineficiencias. A partir del balance exergético del equipo 3, puede
calcularse fácilmente la influencia de 3,dB sobre el recurso de los
equipos:
3,2132121111
3,23232222
3,33
d
d
d
BPRPR
BPRPR
BPR
(8.5.7)
Se aprecia cómo se va amplificando el efecto de 3,dB sobre el recurso de
cada equipo conforme nos desplazamos aguas arriba por el sistema.
Gracias a este ejemplo podemos afirmar que la importancia económica
de la destrucción de exergía en un equipo depende de su situación con
respecto a los recursos o los productos del sistema en su conjunto. En
general, un mismo cambio en la exergía destruida por un equipo tiene un
efecto más marcado sobre la demanda global de recursos del sistema si se
encuentra próximo a la salida de un producto que si se estuviera cerca de
la entrada de un recurso. En un grupo térmico de generación de energía
eléctrica, por ejemplo, una mejora determinada en la destrucción de
exergía en la turbina tendrá un impacto mayor sobre la eficiencia global
del grupo que otra de la misma cuantía en la caldera.
Muchas veces es posible emplear los costes exergéticos en lugar de los
costes termoeconómicos variables en la evaluación funcional, sin
necesidad de implicar ningún dato económico. En el § 7.5 vimos que
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.204
ambos análisis no son siempre equivalentes, aunque hay algunos casos
frecuentes en que sí lo son, como en las centrales térmicas. Aunque no lo
sean, el análisis de coste exergético puede proporcionar una
aproximación satisfactoria y, en todo caso, conduce a conclusiones
termodinámicas correctas, aunque la introducción de los datos
económicos pueda alterar la evaluación. A este respecto, hay que tener
presente que, en rigor, el ahorro energético ha de expresarse en términos
económicos y no exclusivamente termodinámicos. En otras palabras,
dichos ahorros han de traducirse en menores costes económicos y no
necesariamente en menores consumos energéticos. Por ejemplo, es
posible que una cierta reducción de consumo energético requiera la
sustitución de un combustible dado por otro de mayor coste. Si el mayor
coste unitario compensase con creces el menor consumo, es evidente que
esa mejora energética no sería aconsejable.
§ 8.6. El problema de la optimización
La optimización termoeconómica tiene el objeto de minimizar el coste
termoeconómico total de los productos del sistema, actuando sobre la
configuración de éste y sobre los valores de sus variables de
funcionamiento (temperaturas, presiones, composiciones,...), con
sujeción a las restricciones impuestas por los recursos materiales y
financieros disponibles, la reglamentación aplicable y las condiciones de
gobernabilidad, seguridad, fiabilidad, mantenibilidad, etc... , que haya de
satisfacer el sistema.
La optimización puede ser un proceso complicado. En primer lugar hay
que distinguir las dos clases siguientes:
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.205
Optimización estructural, que actúa sobre la configuración del
sistema, tanto la clase y cantidad de equipos empleados como
las interconexiones mutuas (el diagrama de flujo).
Optimización paramétrica, que mantiene invariable la
configuración y ajusta convenientemente las variables
(temperaturas, presiones, composiciones,...) del proceso.
El sistema óptimo será el que minimice el coste total de los
productos. Su búsqueda se realizará mediante el empleo combinado de
las dos vías. No existen caminos inequívocos para la optimización
estructural. El sentido común, la experiencia y la inventiva del
proyectista son fundamentales. Por lo general, se desarrollan diversas
configuraciones alternativas, se fijan unos valores preliminares, que
satisfagan las condiciones impuestas, y se analizan como se indicó en el §
8.4, para realizar una primera evaluación. Estos primeros resultados
posiblemente permitan realizar una preselección, eliminando los peores
diseños. A continuación se lleva a cabo una optimización paramétrica de
los diseños preseleccionados, lo cual permitirá identificar probablemente
el óptimo u óptimos finales.
El uso del ordenador facilita enormemente estas tareas. Mediante
aplicaciones informáticas comerciales de simulación, se desarrolla el
diagrama de flujo de cada configuración alternativa y se simula el
proceso, con lo que se determinan los valores de todas las variables que
servirán para la evaluación termoeconómica. Muchas aplicaciones
permiten también realizar optimización paramétrica, lo cual supone una
estimable ayuda.
En cuanto un sistema es algo complicado, los métodos y
algoritmos de optimización tradicionales pueden resultar
desproporcionadamente laboriosos. Incluso en casos relativamente
sencillos, es frecuente que intervengan ecuaciones no lineales y
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.206
relaciones funcionales implícitas y que los datos no se cifren ni
estructuren de la forma requerida para su tratamiento. Por este motivo,
bajo el nombre de “optimización”, lo que se hace muchas veces
realmente es una mejora inteligente e iterativa más que una auténtica
optimización. En este sentido, la termoeconomía aporta una herramienta
de análisis y optimización cómoda y potente, tanto para el proyecto de
nuevos sistemas como para el estudio de mejoras o la optimización de la
gestión de instalaciones existentes. En los §§ 8.4 y 8.5 precedentes
hemos visto cómo, con su ayuda, pueden detectarse las oportunidades de
mejora y las trayectorias convenientes para conseguirlas y valorarlas.
Hay que advertir que, a poco complicado que sea un sistema, es
frecuente que no exista una versión óptima global única e indiscutible.
Según la creatividad del equipo humano de ingeniería, puede llegarse a
varias soluciones igualmente satisfactorias en la práctica. Los algoritmos
matemáticos y las aplicaciones informáticas aportan una ayuda decisiva,
pero no se pueden manejar de una forma maquinal y con una confianza
ciega en los resultados. Nada puede suplir en este terreno a la experiencia
e inventiva de un buen ingeniero.
§ 8.7. Optimización paramétrica
Como acabamos de advertir, la optimización global de un sistema
complejo puede ser una tarea muy laboriosa, no siempre justificada por la
mayor calidad de los resultados. Muchas veces se consigue una
aproximación razonable descomponiéndolo en varios subsistemas más
simples, que se someten separadamente a optimización. Se llega así a un
conjunto de subóptimos que, evidentemente, no garantizan un óptimo
global pero pueden aproximársele suficientemente. Esta forma de
proceder es adecuada, por ejemplo, en fases preliminares de la
optimización y se aplica a los equipos dominantes, que serán los que
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.207
tengan los valores más elevados de costes fijos iZ y de costes de
pérdidas y destrucción de exergía (8.3.4) y (8.3.5). En la práctica, y con
la reserva anterior, la optimización puede referirse a un sistema sencillo,
un subsistema o incluso un equipo aislado. El criterio de optimización
será minimizar el coste exergoeconómico unitario total del producto.
Para plantear el problema, se seleccionan las variables más
significativas del sistema, que determinan su comportamiento, y se toman
como variables independientes. De entre ellas, se eligen las variables de
decisión, que son las que se variarán en el proceso de optimización, y los
parámetros, que permanecerán constantes. Existirán, además, variables
dependientes, que vendrán determinadas en función de las independientes
mediante el modelo matemático apropiado.
El modelo matemático es el elemento fundamental, del que
dependerá la calidad del resultado e incluso la viabilidad de todo el
proceso de optimización. Es evidente que se habrán de introducir
simplificaciones e idealizaciones, pero teniendo mucho cuidado de no
omitir nada significativo, lo cual, por cierto, es un fallo frecuente. Su
desarrollo requiere una comprensión profunda del funcionamiento del
sistema. El modelo matemático puede descomponerse en dos módulos:
Módulo termodinámico, que agrupa todas las expresiones de
carácter físico-químico que relacionan las variables del problema.
Módulo económico, que desempeña una función análoga en lo
referente a variables económicas.
Ambos módulos incluyen, además, restricciones de igualdad y de
desigualdad, tales como:
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.208
Balances de materia y de energía y otras relaciones físicas,
químicas o tecnológicas.
Intervalos o rangos de funcionamiento, valores máximos o
mínimos de temperaturas o presiones, impactos ambientales,
rentabilidad, etc...
La función objetivo, que se pretende minimizar, será el coste
exergoeconómico unitario del producto, expresado en función de las
variables de decisión.
Si, para ilustrarlo con un ejemplo muy sencillo, consideramos un
solo equipo, podemos escribir las siguientes expresiones, que se
desprenden de (8.2.3) y (6.9.4), suprimiendo el subíndice “i”:
PP
BIcZRcZPc d
RRP
1 ; (8.7.1)
P
Z
P
BIcc d
RP
1 . (8.7.2)
El coste fijo Z puede expresarse como una función monótona creciente
de la potencia exergética producida P y de la perfección termodinámica
del equipo, que caracterizaremos mediante el cociente dBI
P
. En
muchos casos se logra una aproximación suficiente con una función de la
forma siguiente:
mn
d
PBI
PAZ
)(
, (8.7.3)
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.209
en donde A es una constante característica del equipo y m y n son
exponentes positivos, inferiores a la unidad. Al sustituir en (8.7.2),
resulta
nd
mn
d
RP
BI
PA
P
BIcc
1
)1 . (8.7.4)
Como P es constante, podemos escribir la expresión anterior de la forma
simplificada siguiente:
n
d
dRPBI
NBIMcc
)()(
, (8.7.5)
en donde M y N son constantes. Si recordamos (8.7.2), vemos que los dos
primeros términos del segundo miembro de (8.7.5) corresponden al coste
variable del producto y el tercero es su coste fijo. Pueden verse
gráficamente los resultados en la figura 8.7.1. El coste variable está
representado por una recta creciente y el fijo por una curva decreciente
OPTdBI
Co
stes
Coste total
Coste variable
Coste fijo
cp total Coste de irreversibs.
y pérdidas
cR
P2
D
C
B
A O dBI
Coste
P1 POPT
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.210
Figura 8.7.1
con el eje de ordenadas como asíntota vertical. La curva resultante para el
coste total presentará un mínimo Popt para un cierto valor de dBI . Si se
fija un valor dado OA para la suma dBI , el coste variable vendrá
medido por AD, el cual, a su vez se descompone en AC = cR y CD =
)( dBIM , que corresponde al sobrecoste originado por las pérdidas e
irreversibilidades del equipo. Finalmente, la ordenada AP1 representará el
coste exergoeconómico unitario total cp . El coste total mínimo Popt se
dará para el valor optdBI )( . Para valores todavía menores de dicha
suma, se llega a puntos tales como P2 , con costes superiores al mínimo.
Se comprueba, por tanto, que, al perfeccionar termodinámicamente el
equipo desde el punto P1, suficientemente a la derecha del óptimo, la
disminución del sobrecoste CD compensa con creces el aumento del
coste fijo AB. Pero, por debajo de optdBI )( , prevalece el aumento de
coste fijo y no merece la pena mejorar aún más el equipo.
Para poder optimizar un equipo por este procedimiento, tiene que ser
posible expresar su coste mediante una expresión del tipo (8.7.3), cosa no
siempre posible. Así ocurre, por ejemplo, con los intercambiadores de
calor, para los cuales existen métodos específicos de optimización, que
no vamos a considerar aquí.
Capítulo 8: Optimización termoeconómica A.211
Capítulo 9: Integración energética A.212
9 Capítulo 9: Integración energética
§ 9.1. Introducción
En el estudio de posibles mejoras en los sistemas, el Segundo Principio
señala siempre la orientación termodinámica correcta. Pero no debe
perseguirse ciegamente la eliminación de irreversibilidades, sino la
optimización de costes. No es raro que una cierta reducción de la
destrucción de exergía en un equipo requiera una inversión que
contrarreste con creces el ahorro de recursos conseguido. Otras veces,
por el contrario, pueden existir irreversibilidades que podrían reducirse
sin incurrir en aumentos apreciables de los costes fijos. En ese sentido,
hemos visto en el § 8.3, que el factor exergoeconómico puede aportar una
ayuda muy valiosa. Se trata en todo caso de lograr una mejora económica
en el proceso. Unas veces se reduce el coste de recursos (costes
variables), otras el de los equipos (costes fijos) y, a veces, ambos.
Una línea de actuación muy importante es la integración energética de
sistemas, cuyo objeto es lograr que los intercambios de materia y energía
se produzcan en condiciones óptimas desde los puntos de vista
termodinámico y económico. Lo más frecuente es la búsqueda de la
mayor recuperación de calor posible dentro de un sistema dado, de modo
que se minimicen las demandas de calor y frío externas (servicios
Capítulo 9: Integración energética A.213
auxiliares o utilities) Esto se logra mediante la optimización de redes de
intercambiadores de calor. En la figura 9.1.1 se ha dividido un sistema
cualquiera en varios subsistemas. En el subsistema P se reúnen todos los
equipos básicos del proceso. Usualmente es necesario elevar la
temperatura de ciertas corrientes “frías” y disminuir la de otras
“calientes”. Para ello se agrupan en los subsistemas F y C los
cambiadores de calor precisos, que pueden utilizar respectivamente vapor
de proceso y agua de refrigeración. Ahora bien, es posible que se pueda
intercambiar calor entre corrientes del proceso a diversas temperaturas,
reduciendo así las demandas de agua y vapor. Los intercambiadores
empleados se agrupan en el subsistema R. En este caso, la integración
energética tendrá el objeto de optimizar el subsistema R de modo que se
minimicen dichas demandas.
Figura 9.1.1
La optimización ha de tener en cuenta los costes fijos de los equipos, ya
que lo que se persigue es la minimización del coste total y no
exclusivamente la demanda energética de los servicios auxiliares.
P
C R F
Agua de
refrigeración
Vapor de
proceso
Capítulo 9: Integración energética A.214
§ 9.2. Fundamento básico
Para el análisis y optimización de las redes de intercambiadores de calor
son muy útiles los diagramas entalpía-temperatura, en los que se
representan temperaturas en función de flujos entálpicos. Aunque los
casos reales, tal como se ha esquematizado en la figura 9.1.1, son más
complicados, vamos a limitarnos a considerar el más simple posible, en
que haya sólo una corriente caliente C y una fría F. La corriente caliente
ha de ser enfriada desde su temperatura de entrada Tce hasta la de salida
Tcs mediante la cesión de calor siguiente:
cscecsccecc HHhmhmQ , (9.2.1)
que denominaremos oferta de calor de la corriente caliente.
La corriente fría tendrá que ser calentada desde la temperatura de entrada
Tfe hasta la de salida Tfs. Su demanda de calor será:
fefsfeffsff HHhmhmQ . (9.2.2)
Supondremos inicialmente que estas demandas se atienden sólo con
vapor de proceso y agua de refrigeración. En la figura 9.2.1 se dibuja esta
situación. Las líneas de trazo grueso representan los valores del flujo
entálpico H de cada corriente en función de la temperatura, tomando
esta última como ordenada. El flujo calorífico fQ necesario para calentar
la corriente F lo proporciona vapor de proceso u otro fluido caliente
procedente del exterior, mediante un intercambiador de calor adecuado.
Análogamente ocurre con el calor cQ , cedido por la corriente C al agua
de refrigeración u otro fluido frío tomado del exterior. La demanda neta
de calor será, evidentemente, fQ –cQ . Esta solución es la más simple e
Capítulo 9: Integración energética A.215
inmediata, pero es la que implica mayor demanda de suministros
externos.
Figura 9.2.1
En la figura 9.2.1 se aprecia que una parte de la demanda de calor de la
corriente fría F podría ser atendida con la oferta procedente de la
corriente caliente C mediante un intercambiador adecuado. Supondremos
que la transferencia de calor se produce rigurosamente a contracorriente
para reducir los saltos de temperatura y minimizar así las
irreversibilidades de la transmisión de calor. La nueva situación se dibuja
en la figura 9.2.2, con la línea F desplazada hacia la izquierda. De este
modo las corrientes C y F intercambian un flujo calorífico rQ que reduce
F C
Tce
Tfs
Tfe
Tcs
T
Oferta de calor
(Demanda de refrigeración)
Demanda de calor
Capítulo 9: Integración energética A.216
las respectivas demandas de agua de refrigeración y vapor de proceso en
esa misma cuantía:
rcc QQQ ´ (9.2.3)
rff QQQ . (9.2.4)
Figura 9.2.2
La disminución será tanto más acusada cuanto más se aproxime F a C. El
límite viene dado por la diferencia de temperatura mínima admisible
ΔTmin en el intercambiador utilizado para este fin. Este salto de
temperatura no puede reducirse arbitrariamente, ya que toda disminución
ocasiona un aumento del área de transmisión y un mayor coste del
T
Tce
Tfs
Tfe
Tcs
Tmin
F
C
Capítulo 9: Integración energética A.217
intercambiador. Una vez más, hay que hallar el valor que minimiza el
coste total, suma del coste fijo (equipo) y el variable (suministros).
La entrada neta de calor en el sistema permanece inalterada, ya que de
(9.2.3) y (9.2.4) se desprende que
cfcf QQQQ . (9.2.5)
El Primer Principio se verifica siempre, pero en el caso de la figura 9.2.1,
una parte importante del calor tomado del manantial caliente se cede
irreversiblemente a la corriente F a temperaturas sensiblemente
inferiores, con una considerable creación de entropía y destrucción de
exergía. Algo semejante ocurre con la cesión de calor de la corriente C al
manantial frío. Por tanto, el proceso de optimización de los intercambios
reduce en una misma cuantía los calores tomados y cedidos por el
sistema, con la consiguiente disminución en la destrucción de exergía.
Según sean las pendientes de las rectas F y C, pueden cortarse en
un lado u otro. Si los flujos son homogéneos, sin que se produzcan
cambios de estado de agregación, (9.2.1) y (9.2.2) pueden transformarse
como sigue:
cscepccc TTcmQ (9.2.6)
fefspfff TTcmQ , (9.2.7)
en donde pcc y
pfc son los calores específicos a presión constante de las
corrientes C y F, que se suponen constantes. Las líneas flujo entálpico-
temperatura serán por tanto rectas de pendiente )/(1 pcm En rigor, los
calores específicos dependen de la temperatura y dichas líneas tendrían
una ligera curvatura. Para cálculos más precisos puede ser conveniente
Capítulo 9: Integración energética A.218
tener en cuenta este hecho, que sólo afectaría a los cálculos pero no a las
características fundamentales del método. En este estudio nos
mantendremos siempre en la hipótesis de constancia de los calores
específicos, que es satisfactoria para intervalos de temperatura
moderados.
En cuanto a las posiciones relativas de las líneas, son posibles los
tres casos siguientes:
a) pfpc cmcm . La pendiente de C es mayor que la de F y las
líneas se aproximan en la parte inferior. A este caso
corresponden las figuras 9.2.1 y 9.2.2.
b) pfpc cmcm . La pendiente de C es ahora menor que la de F y
la aproximación se producirá en la parte superior.
c) pfpc cmcm .Las líneas C y F serán paralelas y el salto de
temperatura podrá mantenerse constante e igual a ΔTmin a lo
largo de todo el intercambiador, que se dice estará
equilibrado. En este caso será posible el intercambio de calor
con la mínima irreversibilidad posible.
Los productos pcm suelen denominarse capacidades caloríficas de
flujo y se miden en kW K-1
.
Estas consideraciones han ilustrado cómo se optimiza el
subsistema de intercambio R de la figura 9.1.1 en el caso más sencillo
posible, en que sólo hay un único intercambiador. En lo que sigue
desarrollaremos el método, debido a Linnhoff, para llevar a cabo la
optimización en casos más complicados.
Capítulo 9: Integración energética A.219
§ 9.3. Curvas compuestas
Vamos a extender ahora el análisis al caso general, en que habrá
más de dos corrientes en juego. En el caso elemental acabado de estudiar
se manejaba un gráfico con dos líneas C y F. Cuando haya más de dos
corrientes, las reuniremos en dos grupos: el de las calientes y el de las
frías, a los que corresponderán respectivamente las poligonales CCC
(“Curva compuesta caliente”) y CCF (“Curva compuesta fría”), que
sustituirán a las dos rectas del caso simple. Para ver cómo se construyen
estas curvas estudiaremos una situación muy sencilla, con cuatro
corrientes en juego, dos “calientes” o dadoras de calor, que han de ser
enfriadas, y otras dos “frías” o tomadoras de calor que han de ser
calentadas. Como en el caso anterior, supondremos que las corrientes son
homogéneas, de modo que se verifican relaciones de la forma (9.2.6) y
(9.2.7). En la tabla 9.3.1 se detallan las temperaturas de entrada y salida
de cada una de ellas, junto con su respectiva capacidad calorífica de
flujo, que serán los datos requeridos para los cálculos. Empezaremos por
trazar las líneas entalpía-temperatura de las cuatro corrientes tal como se
indica en la figura 9.3.1, asignándoles abscisas en el origen nulas. A
continuación se suman las líneas de cada clase, C o F, y se obtienen las
curvas compuestas caliente y fría CCC y CCF. Sus posiciones sobre el
eje de abscisas son arbitrarias, con la única precaución de que no se
Tabla 9.3.1
Datos de las corrientes
Temperaturas pcm
Corrientes entrada salida
ºC ºC kW/K
Calientes 1-C 210 80 2,00
2-C 170 40 2,50
Frías 3-F 90 190 4,00
4-F 20 120 2,00
Capítulo 9: Integración energética A.220
corten y de que la CCF quede a la derecha de la CCC. Con las posiciones
de las curvas de la figura 9.3.1, las demandas de calefacción y
refrigeración del sistema serán las que se indican en la misma figura.
Conforme se aproxima la CCF a la CCC van disminuyendo dichas
demandas y en la misma cuantía aumenta el calor intercambiado entre las
corrientes calientes y las frías. Además la transmisión de calor se
producirá con menores saltos de temperatura y, por tanto, menores
irreversibilidades. La aproximación de las curvas, en suma, disminuirá el
consumo de servicios externos de calefacción y refrigeración y mejorará
la reversibilidad del sistema. El acercamiento de las curvas tiene un
límite, ya que en ningún punto podrá ser el salto de temperatura menor
que un cierto ΔTmin , dependiendo del proceso de que se trate.
Figura 9.3.1
200
100
0
500 1000
1-C
2-C
3-F
4-F
CCC CCF
Demanda de
refrigeración
Demanda de
calefacción
Temperatura
kW
Calor intercambiado
entre corrientes
ºC
Capítulo 9: Integración energética A.221
En la tabla 9.3.2 se dan algunos valores típicos, fruto de la experiencia
industrial.
Tabla 9.3.2
Valores de ΔTmin
Sector ΔTmin /K
Refino de petróleo 20 - 40
Procesos químicos y petroquímicos 10 - 20
Procesos a bajas temperaturas 3 - 5
Figura 9.3.2
Temperatura
CCC
CCC*
CCF*
CCF
ΔTmin/2
ΔTmin/2
Punto de talle o “pinch”
Talle o “pinch” inferior
Talle o “pinch” superior
Demanda
mínima de
refrigeración
Demanda mínima
de calefacción
Capítulo 9: Integración energética A.222
Una vez fijado ese valor, puede determinarse geométricamente la
posición de CCF más próxima admisible a CCC. Para ello se desplaza
CCC verticalmente hacia abajo en ΔTmin/2 y la CCF hacia arriba en la
misma cuantía, tal como se indica en la figura 9.3.2, que se ha dibujado
fuera de escala para que se aprecie claramente la construcción. Las
curvas desplazadas se designarán respectivamente CCC* y CCF*. La
aproximación máxima se dará cuando se produzca el contacto entre
CCC* y CCF*, que corresponderá a una separación vertical ΔTmin entre
CCC y CCF en el punto de encuentro de las curvas desplazadas. Dicho
punto se denomina punto de talle o “pinch”. Su temperatura se llama
asimismo temperatura de talle o de “pinch”. Las temperaturas de CCC y
CCF en el talle reciben los nombres respectivos de temperatura de talle o
“pinch” superior e inferior. Como las curvas se encuentran con la
máxima aproximación posible, las demandas de calefacción y
refrigeración serán las mínimas posibles y los intercambios de calor se
acercarán lo más posible a la reversibilidad. Queda por resolver el
problema del diseño de una red de intercambiadores que realicen las
transferencias de calor entre las diversas corrientes implicadas en tales
condiciones, pero eso se estudiará más adelante.
Capítulo 9: Integración energética A.223
Figura 9.3.3
Aunque no sea frecuente, es posible que exista más de un talle, tal como
muestra el ejemplo dibujado en la figura 9.3.3. Otro tipo de situaciones
singulares se presenta en los llamados problemas de umbral, que se
caracterizan por requerir sólo refrigeración o calefacción, sin que se
produzca un talle. Consideremos, por ejemplo, el caso que se dibuja en la
figura 9.3.4a. Cuando la CCF se encuentra en la posición 1, existirán las
demandas de calefacción y refrigeración C1 y R1. Si se desplaza hasta la
posición 2, la demanda de calefacción se anula y la de refrigeración se
reduce a R2. Ésta será una situación umbral, en la que el sistema sólo
precisa refrigeración; el salto de temperatura menor será ΔTumbr, sin que
merezca la pena reducirlo, ya que no se logrará disminuir la demanda de
refrigeración. En la figura se aprecia que si se lleva CCF hasta la
posición 3, dicha demanda permanece constante e igual al valor umbral,
ya que 233 RRR . En la figura 9.3.4b se representa un caso en que el
umbral corresponde a sólo demanda de calefacción para la posición 2.
0
T CCC*
CCF*
Puntos de talle o “pinch”
Capítulo 9: Integración energética A.224
Figura 9.3.4a
T
CCC
CCF 3 2 1
ΔTumbr
ΔTmin
C1
R1
R2
R3’ R3’’
T
3 2 1 CCF
CCC
C1
C2
C3’ C3”
R1
ΔTumbr
ΔTmin
Capítulo 9: Integración energética A.225
Figura 9.3.4b
§ 9.4. Algoritmo tabular
La determinación gráfica del talle o “pinch”, que ha sido la que
acabamos de seguir, tiene el inconveniente práctico de ser incómoda y
poco precisa, aunque es muy intuitiva y facilita notablemente la
comprensión del método. Afortunadamente existe un algoritmo numérico
muy simple para realizar esta determinación, que vamos a desarrollar a
continuación. Para ello volveremos sobre el ejemplo anterior, cuyos datos
se exponían en la tabla 9.3.1. Supondremos ΔTmin = 20 K. En primer
lugar se compone una tabla 9.4.1, análoga a la 9.3.1, pero con las
temperaturas modificadas, esto es restándoles ΔTmin/2 = 10 K a las de las
corrientes calientes y sumándoles esa misma cantidad a las de las frías,
con el mismo proceso que condujo a las curvas compuestas modificadas
CCC* y CCF*. A continuación se dibuja un esquema de corrientes con
Tabla 9.4.1
Datos de las corrientes modificadas
Temperaturas
modificadas pcm
Corrientes entrada salida
ºC ºC kW/K
Calientes 1-C 200 70 2,00
2-C 160 30 2,50
Frías 3-F 100 200 4,00
4-F 30 130 2,00
las temperaturas modificadas en vertical, tal como se representa en la
figura 9.4.1. Las temperaturas iniciales y finales de las diversas corrientes
delimitan cinco dominios en los que es posible el intercambio de calor
entre corrientes calientes y frías, gracias al empleo de temperaturas
Capítulo 9: Integración energética A.226
modificadas, que garantiza que el salto de temperaturas es al menos ΔTmin
entre unas y otras. En cada dominio se producirán flujos de calor desde
Figura 9.4.1
las corrientes calientes a las frías en el correspondiente intervalo de
temperaturas modificadas. Es evidente que, en general, la demanda de
calor total de las corrientes frías en el intervalo no coincidirá con la oferta
total de las calientes. Si existe un superávit, el dominio tendrá que ceder
calor a algún lugar a menor temperatura, que podría ser el servicio de
refrigeración. Si hubiera un déficit, se podría tomar calor del servicio de
calefacción. Ambas opciones serían indeseables porque implicarían
probablemente flujos de calor con grandes saltos de temperatura. Ahora
bien, dado el escalonamiento de temperaturas entre dominios, las
corrientes calientes de cualquiera de ellos en que haya superávit pueden
ceder calor a las frías del inmediatamente inferior con menores saltos de
temperatura y, por tanto, menor irreversibilidad. En la figura 9.4.2 se
representa esquemáticamente un dominio genérico i, cuya temperatura
modificada superior es Ti*.
200
160
130
100
70
30
t* / ºC Dominios 1-C 2-C 3-F 4-F
1
2
3
4
5
tcal / ºC tfria / ºC
Corrientes
frías
210
170
140
110
80
40
190
150
120
90
60
20
Corrientes
calientes
6
Capítulo 9: Integración energética A.227
Figura 9.4.2
El calor que recibe del dominio i-1, en el que supondremos hay superávit,
se simboliza por iQ y el cedido al i+1 por
1iQ . Las corrientes calientes
(subíndice c) discurren en sentido descendente y las frías (subíndice f) lo
hacen en el ascendente. iceH , y icsH ,
representan los flujos entálpicos
totales de las corrientes calientes que atraviesan el dominio i.
Análogamente ocurre con ifeH , y ifsH ,
para las frías. Hay que tener en
cuenta a este respecto que, en general, icsH , y ifsH ,
no tienen por qué
coincidir con 1, iceH ni 1, ifeH , ya que las corrientes frías o calientes que
atraviesan cada dominio no han de ser necesariamente las mismas.
El balance energético del dominio i puede escribirse como sigue:
ifsicsiifeicei HHQHHQ ,,1,, , (9.4.1)
Dominio i
Al dominio i+1
Ti*
Ti+1*
Del dominio i-1
Capítulo 9: Integración energética A.228
o también
ifeifsicsiceii HHHHQQ ,,,,1 . (9.4.2)
Análogamente a (9.2.6) y (9.2.7), podemos transformar así el resultado
anterior:
pfpciiii cmcmTTQQ *
1
*
1 . (9.4.3)
Con la ayuda de (9.4.3) es fácil calcular los flujos de calor entre
dominios. En la tabla 9.4.2, llamada tabla del problema, se reflejan los
datos y resultados. Se empieza por suponer nulo el suministro de
calefacción ( 1Q con la notación empleada en la figura 9.4.2). Con ese
valor inicial y con la ayuda de (9.4.3) se van calculando los flujos
caloríficos entre cada dominio de temperaturas y su inmediato inferior.
La última 1iQ (
6Q en el ejemplo considerado) corresponde al calor
cedido al servicio de refrigeración. Los valores obtenidos se reflejan en la
penúltima columna y son los flujos que satisfarían el Primer Principio de
la Termodinámica si no se tomase calor del suministro de calefacción.
Como en este caso han resultado ser negativos, se requeriría la
transmisión de calor hacia dominios a mayores temperaturas, en
violación del Segundo Principio, luego esos flujos caloríficos – aunque
compatibles con el Primer Principio – no son posibles. Si se aumenta 1Q
por encima de cero, en la misma cuantía aumentarán todos demás flujos.
El mínimo requerido para un proceso termodinámicamente posible es el
opuesto al más negativo, en nuestro caso 1104 Q kW. Al sumar 110
kW a 1Q resultan los valores reseñados en la última columna, todos
positivos, con un valor nulo para t* = 100 ºC, que es precisamente el
punto de talle o “pinch” del sistema.
Tabla 9.4.2
Capítulo 9: Integración energética A.229
Tabla del problema
(a) (b) (a)×(b)
t* Dominio t*i-t
*i+1 pfpc cmcm
ii QQ 1 iQ
inicial iQ
óptimo
ºC K kW/K kW kW kW
200 1 40 -2,00 -80,00 0,00 110,00
160 2 30 0,50 15,00 -80,00 30,00
130 3 30 -1,50 -45,00 -65,00 45,00
100 4 30 2,50 75,00 -110,00 0,00
70 5 40 0,50 20,00 -35,00 75,00
30 6 -15,00 95,00
Con este algoritmo se consigue llegar numéricamente a la misma
situación que se alcanzó gráficamente en el § 9.3 mediante el
desplazamiento de las curvas compuestas modificadas CCC* y CCF*. La
situación óptima se caracteriza por el hecho de que las demandas de
calefacción y refrigeración son mínimas (en el ejemplo considerado 110
kW y 95 kW). Todo aumento en una de ellas provoca un incremento
igual en la otra. Es fácil realizar diversos cálculos que pueden servir para
verificar la corrección de los resultados, tal como puede verse en la tabla
9.4.3. En la columna (a) se detallan los resultados del cálculo de H
de cada corriente, que representa su oferta de calor, que es naturalmente
negativa para las corrientes frías (demandas). En la misma columna se
incluyen también las ofertas totales de cada grupo de corrientes. En la
columna (b) se reproducen los suministros externos de frío y de calor Si
se les suman algebraicamente los suministros de frío y de calor (-95 kW
y +110 kW) a las ofertas caliente y fría, se obtiene la potencia calorífica
intercambiada entre corrientes, que se reseña en la columna (c). Éste es el
Capítulo 9: Integración energética A.230
Tabla 9.4.3
Cálculos de comprobación (a)
Temperaturas pcm T H
entrada salida Oferta
Corrientes ºC ºC kW/K K kW
1-C 210 80 2,00 130 260
2-C 170 40 2,50 130 325 (b) (c)
3-F 90 190 4,00 -100 -400 Suministros Intercambio
4-F 20 120 2,00 -100 -200 kW kW
Ofertas totales De corrientes calientes 585 Refrig. -95 490
De corrientes frías -600 Calef. 110 -490
Balances de calor netos -15 15 0
ahorro de suministros logrado. El balance de calor global neto se puede
obtener por dos caminos: como suma algebraica de las ofertas totales
(-15 kW) en la columna (a) o de los suministros (+15 kW) en la columna
(b).
Vamos a realizar finalmente unas reflexiones que ayudarán a
profundizar en la comprensión de los flujos caloríficos entre dominios.
Para ello volveremos al dominio genérico i y transformaremos la
expresión (9.4.2) haciendo
icsiceic HHH ,,, , (9.4.4)
que representa la oferta de las corrientes calientes en el dominio, y
ifeifsif HHH ,,, , (9.4.5)
que simboliza la demanda de las frías en el mismo dominio, con el
resultado
Capítulo 9: Integración energética A.231
DemandaOfertaQHHQQ iificii
,,1 . (9.4.6)
En la figura 9.4.3 se dibujan los tramos de las curvas compuestas
modificadas correspondientes al dominio i. La (a) se refiere al caso en
que exista un solape vertical entre CCC* y CCF* y la (b) al contrario. En
el primer caso, la demanda de calor de las corrientes frías se cubre con el
flujo iQ procedente del dominio i-1 y con el
iZ cedido por las calientes
del dominio i. Una parte de la oferta pasa al dominio i+1 como flujo
1iQ . En el segundo caso, iQ cubre con creces la demanda, de modo que
la totalidad de la oferta junto con el excedente de iQ pasan al dominio
i+1 integrando el flujo 1iQ .
El algoritmo tabular constituye una herramienta de cálculo muy
simple y potente para la optimización energética. Los casos sencillos
pueden tratarse manualmente y, en general, es fácil desarrollar hojas de
cálculo adecuadas para todo tipo de problemas. Los datos necesarios para
el análisis se suelen obtener fácilmente de la documentación técnica de
los procesos. Las representaciones gráficas estudiadas en el § 9.3 y otras
que veremos más adelante son, en cambio, muy útiles para el planteo y
visualización de los problemas.
CCC*
CCF*
Oferta
Demanda
(a)
Capítulo 9: Integración energética A.232
Figura 9.4.3
§ 9.5. Aplicación del método
Las curvas compuestas son unas características objetivas del
sistema en estudio y sus posiciones relativas reflejan el grado de
integración calorífica del mismo. Ésta será nula cuando no haya solape
entre las curvas, en cuyo caso las demandas de caldeo de las corrientes
frías y las de enfriamiento de las calientes tendrán que atenderse con los
servicios externos de calentamiento y refrigeración. Al aumentar el
solape disminuyen dichas demandas, tal como se aprecia en la figura
9.3.1. En el § 9.3 se vio que el solape máximo viene limitado por el ΔTmin
de la transmisión de calor en el sistema. Al llegar a ese límite las
CCC*
CCF*
Oferta
Demanda
(b)
Capítulo 9: Integración energética A.233
Figura 9.5.1
demandas externas de frío y calor se hacen mínimas y el intercambio de
calor entre corrientes será el máximo posible. Todo esto es aplicable
desde las fases iniciales del proyecto de un sistema y facilita el
establecimiento de objetivos racionales para su integración energética.
Cuando, por el contrario, se analiza un sistema existente, permite
investigar cuánto se aparta del óptimo y qué oportunidades de mejora
existen.
En el § 9.3 hemos visto que, con la configuración de intercambio
de calor óptima entre corrientes, el flujo calorífico iQ en punto de talle es
nulo. Esto significa que el punto de talle divide el sistema en dos
T
CCC
CCF
Demanda de
frío óptima
Demanda de
calor óptima
Proceso por encima del talle,
o “subsistema superior”
Proceso por debajo del talle,
o “subsistema inferior”
Capítulo 9: Integración energética A.234
subsistemas entre los cuales no hay intercambio de calor, constituidos
respectivamente por las corrientes más calientes que el punto de talle y
las más frías, tal como se esquematiza en la figura 9.5.1. Salvo que se
trate de una situación umbral del tipo dibujado en las figuras 9.3.4, por
encima del talle (“subsistema superior”) las corrientes calientes
transfieren a las frías todo el calor posible, dejando una demanda de calor
sin cubrir por intercambio, que ha de ser atendida por el servicio de
calefacción. Este subsistema es un demandante neto de calor y en ningún
caso requerirá refrigeración externa. Como puede apreciarse en la figura
9.5.2, si se aplica refrigeración externa por encima del talle, se provoca
una demanda adicional equivalente del suministro de calor, de modo que
aumentan los consumos de frío y calor en una misma cuantía. Por el
contrario, en el subsistema situado por debajo del talle (“subsistema
inferior”) las corrientes calientes cubren por completo la demanda de las
frías y queda un excedente que ha de ser absorbido por el servicio de
refrigeración. El subsistema inferior es por tanto un cedente neto de calor
y no precisará nunca calefacción externa. Con una construcción análoga a
la de la figura 9.5.2 se puede comprobar que un aporte de calor adicional
al subsistema inferior da lugar a una demanda de frío adicional
equivalente.
Capítulo 9: Integración energética A.235
Figura 9.5.2
A consecuencia de todo lo anterior, en sistemas con integración
óptima, que tengan un solo talle y no presenten situaciones umbral, que
son los típicos, el enfriamiento de las corrientes calientes por encima del
talle y el calentamiento de las frías por debajo del talle se logran
enteramente por intercambio calorífico. Así se minimiza el consumo de
servicios de refrigeración y calefacción. El proyectista ha de intentar
utilizar todo el calor disponible en las corrientes calientes del subsistema
superior en calentar las frías del mismo subsistema y, en el subsistema
inferior, tomar de las calientes todo el calor posible para el calentamiento
de las frías. Por otra parte, con la configuración óptima no debe existir
intercambio calorífico entre los dos subsistemas. De no ser así, la de
T
CCC
CCF
Demanda de
frío óptima
Demanda de
calor óptima
Enfriamiento por
encima del talle
Demanda de
calor adicional
Subsistema superior
Subsistema inferior
Calor no tomado
por intercambio
Capítulo 9: Integración energética A.236
calor de un subsistema a otro a través del talle provocará consumos
adicionales de frío y calor externos tal como puede verse en la figura
9.5.3. Todo esto se resume en las tres reglas siguientes, debidas a
Linnhoff:
1. Sólo se tomará calor externo por encima del talle.
2. Sólo se tomará refrigeración externa por debajo del talle.
3. No debe existir flujo de calor a través del talle.
Figura 9.5.3
T
CCC
CCF
Demanda de
frío óptima
Demanda de
calor óptima
Demanda de
frío adicional
Demanda de
calor adicional
Subsistema superior
Subsistema
inferior
Calor no tomado
por intercambio
Calor no cedido
por intercambio
Flujo de calor a
través del talle
Capítulo 9: Integración energética A.237
El incumplimiento de alguna de ellas implicará una desviación
respecto de la integración óptima y, en consecuencia, mayores consumos
de calor y frío externos. Durante el proyecto de un sistema permitirán una
apreciación objetiva de los compromisos en que se incurra entre
eficiencia energética e inversión económica. Todo esto es sumamente útil
al ingeniero en el desarrollo de los proyectos. Las curvas compuestas y la
tabla del problema determinan rigurosamente los requerimientos
mínimos de calor y frío externos, que serán los patrones de referencia
para sus juicios de valor. Hemos visto que, cuando la integración
calorífica es óptima, el sistema puede considerarse constituido por dos
subsistemas sin intercambio calorífico: el superior, por encima del talle, y
el inferior, por debajo de él. Mientras se respete esta condición, puede
actuarse libremente sobre cada subsistema por separado. Las demandas
de calor y frío también quedan separadas: las de calor externo se
localizarán exclusivamente en el subsistema superior y las de frío en el
inferior. Esto proporciona una base rigurosa para decidir el
emplazamiento de los dispositivos de calentamiento o enfriamiento. Toda
divergencia del óptimo se traducirá en un flujo de calor a través del talle
y, en consecuencia en unos flujos de calor y frío externos equivalentes
hacia uno y otro subsistemas. Esto se aprecia claramente en las figuras
9.5.2 y 9.5.3: las demandas de calor o frío en exceso de un subsistema
implican una demanda de frío o calor opuesta en el otro subsistema,
duplicando los equipos de intercambio de calor requeridos. A veces se
traduce en que una reducción de consumo energético vaya acompañada
de una menor inversión en equipos.
§ 9.6. Gran curva compuesta
Vamos a desarrollar en primer lugar una representación
esquemática de la tabla del problema que ayuda a su visualización. Es
Capítulo 9: Integración energética A.238
ésta la llamada cascada calorífica, que se representa en la figura 9.6.1
para el mismo ejemplo que hemos venido analizando, cuya tabla del
Figura 9.6.1
problema se mostró en la tabla 9.4.2. Se trata de un diagrama en el que
aparecen dibujados los dominios de temperaturas modificadas y los flujos
de calor entre dominios sucesivos y entre los extremos y los servicios de
calefacción y refrigeración. A consecuencia del Primer Principio, el flujo
160
130
100
70
30
Talle
t* / ºC
1
2
3
4
5
-80 kW
15 kW
-45 kW
75 kW
20 kW
/ kW
Inicial Óptimo
0
-80
-65
-110
-35
-15
110
30
45
0
75
95
Capítulo 9: Integración energética A.239
que sale de cada dominio es igual al que entra más el aporte neto de calor
de las corrientes del dominio. Si recordamos (9.4.2) y representamos por
iH dicho aporte, se puede definir
ifeifsicsicei HHHHH ,,,, (9.6.1)
y, en consecuencia,
iii HQQ 1 , (9.6.2)
que equivale a (9.4.3). En cada dominio se anota el valor de
iii QQH 1 que le corresponda, según la tabla 9.4.2. A continuación
se realizan los cálculos que condujeron a las dos últimas columnas de la
tabla. Como vimos, se toma 0 como valor inicial de 1Q y se van
calculando los valores sucesivos por adición de los iH
correspondientes a cada dominio. Una vez determinada la temperatura de
talle, se realiza una nueva iteración tomando kWQ 1104 como valor
inicial y se obtienen así los flujos óptimos del mismo modo seguido en el
§ 9.4.
Ahora vamos a construir la gran curva compuesta GCC, que no
es otra cosa que la representación gráfica de la correspondencia entre los
flujos caloríficos iQ y las temperaturas modificadas respectivas, tal como
se dibuja en la figura 9.6.2 (poligonal 1-2-3-4-5-6). La GCC puede
considerarse también como la representación gráfica de las diferencias
entre las abscisas de CCF* y CCC*, en concordancia con la zona
sombreada de la figura 9.3.2. Los puntos 1 y 6 corresponden a las
demandas óptimas de calor y refrigeración. Como se aprecia en la figura
9.3.2, por encima del talle la demanda de calor de las corrientes frías es
Capítulo 9: Integración energética A.240
mayor que la oferta de las calientes y el déficit tiene que ser aportado por
el servicio de calefacción. Por debajo del talle, la oferta de calor de las
corrientes calientes supera a la demanda de las frías, de modo que el
exceso de calor ha de ser tomado por el servicio de refrigeración. Las
proyecciones de los lados de la poligonal sobre el eje de abscisas miden
la diferencia entre el calor aportado por las corrientes calientes y el
demandado por las frías, o en otras palabras, los aportes de calor netos
Figura 9.6.2
20
80
60
40
160
0 140
120
100
220
0 200
0 180
0
0 20 10 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
t* / ºC
1
5
6
4
3
2
Servicio de calefacción: 110 kW
Servicio de refrigeración: 95 kW
AP: 80 kW
BP: 30 kW
AT: 75 kW
BT: 20 kW
1’
2’
2’’
Capítulo 9: Integración energética A.241
iH de las corrientes en cada dominio, tal como expresan la tabla del
problema y la cascada calorífica. Cuando se recorre la GCC en el
sentido de las temperaturas decrecientes, por encima del talle, cuando
dichos aportes son negativos, las líneas se dirigen de derecha a izquierda,
en el sentido de mayores iQ . Ocurrirá lo contrario cuando sean positivos
(lado 2-3 en nuestro caso). A consecuencia de esto pueden producirse
puntos de retorno como el 3, que se encuentra a la derecha del 2. En la
figura se pone de manifiesto que este fenómeno contribuye a disminuir la
demanda de servicio de calefacción. En el ejemplo analizado, si el aporte
de calor 2H hubiera sido nulo, el punto 2 habría tomado la posición 2’,
en la vertical del 3, y el 1 se habría desplazado a la 1’, 15 kW a la
derecha, con el consiguiente aumento en la demanda de calor. Por el
papel que desempeñan, los triángulos del tipo 2-3-2" se denominan
retenes de calor. Algo análogo ocurre por debajo del talle, como se
indica en la figura 9.6.3, que no comentaremos.
La GCC proporciona además una información muy útil acerca de
las temperaturas óptimas para los intercambios caloríficos externos. En la
figura 9.6.2 aparecen, en principio las demandas totales de calor y frío en
los extremos superior e inferior, pero no es preciso que todos los
suministros se realicen a las temperaturas extremas. En el caso ilustrado,
por ejemplo, si la planta dispone de vapor de proceso a alta y baja
presión, los 110 kW de caldeo requeridos podrían fraccionarse en 80 kW
con vapor de AP y 30 kW con vapor de BP. El enfriamiento también
podría desdoblarse si se dispone de servicio de refrigeración a dos niveles
de temperatura, tal como se indica en el dibujo. Por otra parte, como el
talle ha de estar situado siempre sobre el eje de ordenadas, su
identificación es inmediata. Los talles múltiples se aprecian por tanto a
primera vista. En cuanto a los problemas de umbral, se caracterizan
porque el talle se sitúa en uno de los extremos del intervalo de
temperaturas.
Capítulo 9: Integración energética A.242
Figura 9.6.3
§ 9.7. Malla de intercambio
Llegados a este punto estamos en condiciones de abordar el
diseño de la red de intercambio de calor de la máxima eficiencia de
recuperación, o MER (“maximum energy recovery” en inglés). Para ello
es un auxiliar muy útil la llamada malla de intercambio, debida a
Linnhoff. En la figura 9.7.1 se dibuja la correspondiente al caso sencillo
que hemos venido considerando, cuyos datos se presentaron en la tabla
t*
Talle
Capítulo 9: Integración energética A.243
9.3.1. En ella se representan las corrientes mediante líneas horizontales,
Figura 9.7.1
orientadas de izquierda a derecha en el sentido de temperaturas
decrecientes. Las corrientes calientes se disponen en la parte superior y
las frías en la inferior. Las primeras transcurren de izquierda a derecha y
las segundas en sentido inverso. Así se pone de manifiesto el intercambio
de calor básicamente a contracorriente y se visualiza fácilmente la
viabilidad de los intercambios de calor. Éstos se representan mediante
pares de círculos unidos por líneas verticales. El talle viene marcado
sencillamente por una línea vertical. Se anotan las temperaturas de
entrada y salida de cada corriente y las de talle (superior para las
calientes e inferior para las frías). También se incluyen la pcm y el
H (oferta calorífica de cada corriente).
1-C
2-C
3-F
4-F
(oferta)
kW
kW/K
1
4
3
2
2,00
2,50
4,00
2,00
260
325
-400
-200
80ºC
40ºC
90ºC
20ºC
210ºC
170ºC
190ºC
120ºC
Talle
110ºC
110ºC
90ºC
90ºC
Capítulo 9: Integración energética A.244
Sobre la malla de intercambio es muy cómodo esbozar una red de
intercambiadores de calor. Vamos a realizar un primer tanteo sin recurrir
a la teoría desarrollada hasta el momento. Como se trata de transferir
Figura 9.7.2
calor de las corrientes calientes a las frías, parecería razonable empezar
por el extremo superior del intervalo de temperaturas. La corriente 2-C
no puede ceder calor a la 3-F porque su temperatura es inferior, luego la
corriente 2-C sólo es utilizable para calentar la 4-F. Mediante un
intercambiador 1 se puede transferir la demanda íntegra de 4-F, que es
200 kW, y quedará una demanda de refrigeración de 325 – 200 = 125
kW, que se atenderá con el enfriador F1. La temperatura de entrada a F1
será 170 - 200/2,5 = 90ºC y, al ceder 125 kW, bajará hasta 90 -125/2,5 =
40ºC. Con el intercambiador 2 la corriente 1-C podrá ceder calor a la 3-F
hasta que la temperatura de la primera descienda a 90 + ΔTmin = 110ºC,
lo que implica un flujo de calor igual a (210 – 110)x2 = 200 kW. Se
precisará un refrigerante F2, que tome los 60 kW requeridos para que la
temperatura de 1-C descienda a 80ºC. En cuanto a la corriente 3-F, la
1-C
2-C
3-F
4-F
(oferta)
kW
kW/K
1
4
3
2
2,00
2,50
4,00
2,00
260
325
-400
-200
80ºC
40ºC
90ºC
20ºC
210ºC
170ºC
190ºC
120ºC
Talle
110ºC
110ºC
90ºC
90ºC
F1
F2
1
1
200kW
2
2
200kW
C1
200kW
125kW
60kW
140ºC
110ºC
90ºC
Capítulo 9: Integración energética A.245
temperatura de salida del intercambiador 2 será igual a 90 + 200/4 =
140ºC. Para calentarla desde dicha temperatura hasta 190ºC se añadirá un
calentador C1 que aporte los 200 kW precisos.
Hagamos un resumen de los resultados obtenidos. Se han
recuperado por intercambio 200 + 200 = 400 kW, con unas demandas de
servicios de 200 kW de calefacción y 125 + 60 = 185 kW de
refrigeración. Si comparamos con los óptimos reflejados en la tabla 9.4.3,
se observa que el intercambio óptimo es 490 kW, superior en 90 kW al
conseguido. La demanda óptima de calefacción es 110 kW y la de
refrigeración es 95 kW, inferiores ambas en 90 kW a las que habían
resultado. A pesar de que creíamos haber procedido racionalmente, nos
hemos desviado sensiblemente del óptimo. Según se ha visto en el § 9.5,
esto ha tenido que deberse al incumplimiento de alguna de las reglas de
Linnhoff. En la figura 9.7.2 se aprecia que el calentador C1 está situado
por encima del talle y los enfriadores F1 y F2 están por debajo, así que se
satisface la primera. Tiene que haber necesariamente un flujo de calor a
través del talle y, en efecto tal cosa ocurre en el intercambiador 1, que
transfiere calor desde el intervalo (170ºC, 90ºC) al (120ºC, 20ºC). Para
evitar situaciones de este tipo se requiere una estrategia de diseño
radicalmente diferente de la tradicional, que suele atacar el desarrollo de
la red de intercambiadores por un extremo del intervalo de temperaturas.
Veamos cuál es la forma correcta de proceder.
Como se vio en el § 9.5, el talle divide el sistema óptimo en dos
subsistemas sin intercambio calorífico mutuo y con unas limitaciones
estrictas en sus intercambios internos y externos. Por lo tanto:
1. Se realizará el diseño por separado para cada uno de los dos
subsistemas.
2. En el subsistema superior las corrientes calientes se enfriarán
sólo por intercambio de calor con las frías y nunca con
Capítulo 9: Integración energética A.246
refrigeración externa. La demanda de calor no cubierta se
atenderá con servicio de calefacción externo.
3. En el subsistema inferior las corrientes frías se calentarán sólo
por intercambio de calor con las calientes y nunca con
calentamiento externo. La oferta de calor en exceso se atenderá
con servicio de refrigeración externo.
4. En cada uno de los dos subsistemas se iniciará el desarrollo de la
red de intercambio por el talle, que marca el límite a la
transmisión de calor.
De acuerdo con esto, volveremos al caso en estudio empezando por el
subsistema superior. En la figura 9.7.3 se dibuja la malla de intercambio
correspondiente. Las ofertas de calor se han ajustado a los nuevos
Figura 9.7.3
intervalos de temperatura. Ahora iniciaremos el proceso a partir del talle.
Conviene reparar en que, tal como se aprecia en las figuras 9.3.1 y 9.7.1,
1-C
2-C
(oferta)
kW
kW/K
4
3
2,00
2,50
4,00
2,00
200
150
-400
-60
210ºC
170ºC
190ºC
120ºC
Talle
110ºC
110ºC
90ºC
90ºC
1
1
150kW
2
2
60kW
140ºC
127,5ºC
b
a
Capítulo 9: Integración energética A.247
la corriente 3-F arranca del talle. En general puede afirmarse que, cuando
las pcm son constantes, el talle coincide siempre con el inicio de una
corriente, sea ésta fría o caliente. Para empezar por el talle, tendremos
que emparejar 3-F con una de las dos corrientes calientes. Para que la
transferencia de calor sea posible, el ΔT no deberá disminuir al irse
separando del talle. En la figura 9.7.4 se representan las situaciones
posibles para dos corrientes genéricas c y f en un diagrama entalpía-
temperatura análogo al de la figura 9.2.2. Hay que reparar en que la
Figura 9.7.4
escala de H se ha invertido, ya que en la malla de intercambio las
corrientes discurren en sentidos opuestos a los dibujados hasta ahora.
Según se vio en el § 9.2, los valores de las capacidades caloríficas de
flujo pcm determinan las pendientes de las líneas correspondientes. La
figura 9.7.4 (a) se refiere al caso en que fpcp cmcm ,,
; las líneas se van
separando conforme se alejan del talle hacia la izquierda y ΔT es cada
ΔTmin
Talle
(a)
f
c
T
Talle
(b)
f
c
T
ΔTmin
Capítulo 9: Integración energética A.248
vez mayor que ΔTmin, con lo que la transmisión de calor será posible. Por
el contrario, si fpcp cmcm ,,
, las líneas se irían aproximando, el salto de
temperaturas sería siempre menor que ΔTmin y la transmisión de calor
inviable. En general, para que la transferencia de calor sea factible
inmediatamente por encima del talle, es necesario que
fpcp cmcm ,, . (9.7.1)
En nuestro caso las corrientes 2-C y 3-F satisfacen esta condición, así
que se puede insertar un intercambiador 1 entre ambas, tal como se indica
en la figura 9.7.3. Como regla general para no complicar la red de
intercambiadores, conviene satisfacer enteramente la demanda o la
oferta de una de las dos corrientes, así que en esta ocasión intentaremos
agotar la oferta de 2-C, que es 150 kW, y la temperatura de 3-F
aumentará en 150/4 = 37,5 K, hasta 127,5ºC (punto a). Como 1-C y 4-F
satisfacen también la condición (9.7.1), pueden emparejarse mediante un
intercambiador 2, que agotará la demanda de 4-F. La temperatura de
entrada de 1-C en 2 será 110 + 60/2 = 140ºC (punto b). Como están
agotadas la oferta de 2-C y la demanda de 4-F, sólo quedará transferir
calor de 1-C a 3-F, pero el salto de temperatura entre los puntos b y a ha
resultado ser 12,5 K, poco más que la mitad de ΔTmin, luego no puede
situarse un nuevo intercambiador entre ambas corrientes. Para hacerlo
admisible, hay que reducir a 120ºC la temperatura del punto a. Esto
obliga a reducir convenientemente la carga de 1. Como el incremento de
temperatura de 3-F en 1 tiene que reducirse a 30 K, la carga se rebajará a
30x4 = 120 kW (figura 9.7.5). La temperatura de entrada de 2-C en 1
pasará a 110 + 120/2,5 =158ºC. Ahora se puede agotar 2-C con un
intercambiador 4 que transfiera a 3-F los 30 kW restantes. Con ello se
lleva la temperatura de 3-F en 4 de 138ºC a 145,5ºC. A continuación, con
el intercambiador 5 se agota 1-C, transfiriendo a 3-F los 68 kW
disponibles. Queda un déficit de 110 kW en 3-F, que se toma del servicio
de calefacción por medio de C1.
Capítulo 9: Integración energética A.249
Figura 9.7.5
Pasemos ahora al subsistema inferior. Las corrientes siguen
discurriendo de izquierda a derecha, pero el talle se sitúa a la izquierda,
de manera que la figura 9.7.4 queda sustituida por la 9.7.6. Al
desplazarse desde el talle hacia la derecha, las líneas se separarán o
aproximarán según sean los valores respectivos de pcm . Igual que en la
figura 9.7.4, el caso (a) se produce cuando fpcp cmcm ,,
; ahora las
líneas se aproximan conforme se alejan del talle hacia la derecha y la
transmisión de calor no será factible. El caso (b) corresponde a
fpcp cmcm ,, , que es cuando podrá producirse. Así que, para que la
transferencia de calor sea factible inmediatamente por debajo del talle,
es necesario que
fpcp cmcm ,, . (9.7.2)
(oferta)
kW
kW/K
4
3
2,00
2,50
4,00
2,00
200
150
-400
-60
1-C
2-C
210ºC
170ºC
190ºC
120ºC
Talle
110ºC
110ºC
90ºC
90ºC
1
1
120kW
120ºC
C1
2
2
140ºC
60kW
110kW
158ºC
3
3
72kW
4
4
5
5
176ºC
138ºC 145,5ºC 162,5ºC
30kW 68kW
Capítulo 9: Integración energética A.250
Figura 9.7.6
En la figura 9.7.7 se representa la malla de intercambio del
subsistema inferior. Las corrientes 1-C y 4-F la satisfacen, de modo que
se pueden emparejar mediante el intercambiador 6 para agotar la oferta
de 1-C. Como las corrientes 2-C y 4-F también la verifican, con el
intercambiador de calor 7 se aporta a 4-F el déficit de calor restante.
Finalmente se incluye un enfriador F1 para tomar el calor excedente en la
corriente 2-C.
Examinemos los resultados obtenidos:
La demanda de suministro de calor es 110 kW y la de
refrigeración es 95 kW, que son precisamente las óptimas.
El calor total intercambiado entre corrientes es igual a 490 kW,
también el óptimo.
El sistema toma calor externo sólo por encima del talle y lo cede
sólo por debajo del talle.
No hay transmisión de calor a través del talle.
Se precisan 9 intercambiadores de calor.
ΔTmin
Talle
(a)
f
c
T
Talle
(b)
f
c
T
ΔTmin
Capítulo 9: Integración energética A.251
Figura 9.7.7
Por lo tanto, el método seguido nos ha conducido a una configuración
óptima para la red de intercambio de calor desde el punto de vista
termodinámico. Puede que para alcanzar este objetivo haya sido
necesario recurrir a una estructura de intercambio algo complicada para
el subsistema superior (figura 9.7.5), que puede no estar justificada
económicamente. Esta cuestión merece un análisis específico que vamos
a iniciar a continuación.
§ 9.8. Número mínimo de intercambiadores
Como tantas veces hemos visto, no siempre el óptimo
termodinámico es el preferible desde el punto de vista económico. No es
raro que la mayor inversión requerida no sea respaldada por el ahorro
energético adicional que se obtendría. Esto ocurre frecuentemente con las
redes de intercambio de calor, en las que suele interesar reducir el
(oferta)
kW
kW/K
2,00
2,50
4,00
2,00
60
175
0
-140
2
1
80ºC
40ºC
Talle
110ºC
110ºC
90ºC
90ºC
F1
78ºC
6
6
60kW
7
7
80kW
95kW
3-F
4-F
90ºC
20ºC 60ºC
Capítulo 9: Integración energética A.252
número de unidades por razones económicas y operativas. Por ello es
fundamental saber cuál sería el número mínimo indispensable de
unidades para asegurar los intercambios necesarios, aunque no se
produjeran con la máxima eficiencia termodinámica. La pregunta que se
formula el proyectista es: ¿merecería la pena incurrir en una cierta
penalización energética por abaratar la red de intercambio calorífico?
Esto es lo que se llama relajación de la red, consistente en explorar el
efecto económico de una reducción del número de intercambiadores,
desviándose moderadamente del óptimo termodinámico.
Figura 9.8.1
En la figura 9.8.1 se esquematiza una red de tres corrientes, a la
que se agregan los servicios de calefacción y refrigeración, de modo que
resulta un sistema que no intercambia calor con su ambiente. En (a) se
representa un caso permisible, con el mínimo número posible de
intercambiadores, que resulta ser igual a cuatro. En general se verifica
1min fu , (9.8.1)
1
2
3
C
F
(a)
1
2
3
C
F
(b)
1
2
3
C
F
(c)
1
2
3
4
3
2
1
4
5
4
3
2
1
Capítulo 9: Integración energética A.253
En donde umin denota el número mínimo de intercambiadores y f el
número total de corrientes más servicios externos. Son topológicamente
posibles muchas otras configuraciones, siempre que cada corriente o
servicio estén conectados por lo menos a un intercambiador. En la figura
9.8.1 (b) se dibuja una de entre las muchas que pueden darse.
Naturalmente, las condiciones específicas de cada caso concreto imponen
limitaciones muy severas a las configuraciones admisibles. Cuando se
excede el número mínimo de unidades, se forman bucles o lazos que
permiten volver a una misma corriente recorriendo una cierta sucesión de
intercambiadores. Sobre la figura 9.8.1 (c) se aprecia que la unidad 5 en
exceso, junto con las 2 y 3, forma el bucle que se ha marcado con línea
de trazos. No es raro recurrir a bucles para respetar, por ejemplo, ΔTmin.
La relación (9.8.1) se verifica para todo sistema que no
intercambie calor con su ambiente. Así ocurre con los dos subsistemas en
que divide el talle a todo sistema, de modo que será aplicable por
separado a cada subsistema.
Volvamos ahora al caso que venimos estudiando. Para el subsistema
superior (figura 9.7.5) se verifica f = 4 + 1 = 5. Entonces, de acuerdo con
(9.8.1), será umin = 4. En la figura se aprecia que u = 6, luego hay dos
unidades en exceso. Esto se debe a la formación de dos bucles, tal como
se aprecia en la figura 9.8.2, que se han debido a la exigencia de respetar
ΔTmin , como se vio en el § 9.7. Esto obliga a emplear dos unidades más
de las estrictamente necesarias; merece la pena investigar cuánto nos
desviaríamos del óptimo termodinámico si se eliminaran esos dos
intercambiadores. Para ello retornaremos a la figura 9.7.3 y elevaremos
las temperaturas de trabajo de la unidad 2 en la corriente 1-C en 7,5ºC
para que la del punto b exceda a la del a en ΔTmin , de modo que resulte
igual a 147,5ºC (figura 9.8.3). La temperatura de salida de 1-C en 2
aumentará en la misma cuantía hasta 117,5ºC. Se inserta un
intercambiador 3 entre 1-C y 3-F que, con el descenso de temperatura de
Capítulo 9: Integración energética A.254
Figura 9.8.2
Figura 9.8.3
4
3
1-C
2-C
Talle
1
1 C1
2
2
60kW
3
3 4
4
5
5
1-C
2-C
(oferta)
kW
kW/K
4
3
2,00
2,50
4,00
2,00
185
150
-400
-60
210ºC
170ºC
190ºC
120ºC
Talle
110ºC
90ºC
90ºC
1
1
150kW
127,5ºC
2
2
147,5ºC
60kW
b
a
117,5ºC
3
3 C1
125kW 125kW
158,75ºC
Capítulo 9: Integración energética A.255
210ºC a 147,5ºC, transferirá 125 kW a 3-F, elevando su temperatura en
31,25ºC hasta 158,75ºC. Finalmente, el intercambiador C1 toma del
servicio de calefacción los 125 kW restantes para cubrir la demanda de 3-
F. Por otra parte, hay que observar que la oferta de 1-C disminuye 15 kW
hasta 185 kW, debido a que la temperatura de salida de 1-C ha
aumentado 7,5 K. Se ha logrado una configuración de cuatro
intercambiadores al precio de aumentar la demanda de calefacción del
subsistema superior en 15 kW.
Figura 9.8.4
Pasemos ahora al subsistema inferior. La corriente 3-F no
interviene en el recuento para la aplicación de (9.8.1) porque su
temperatura de entrada es igual a la del talle y su demanda de calor es
nula. Se verifica f = 3 + 1 = 4 y, por tanto, será umin = 3, que es el
(oferta)
kW
kW/K
2,00
2,50
4,00
2,00
75
175
0
-140
2
1
80ºC
40ºC
Talle
117,5ºC
110ºC
90ºC
90ºC
F1
84ºC
4
4
75kW
5
5
65kW
110kW
3-F
4-F
90ºC
20ºC 52,5ºC
Capítulo 9: Integración energética A.256
número de unidades que aparecían en la figura 9.7.7. No es preciso
modificar la configuración y sólo habrá que ajustar los valores a
consecuencia del cambio experimentado por la temperatura de entrada de
1-C. En la figura 9.8.4 se registran las alteraciones. En primer lugar la
oferta de 1-C aumenta 15 kW hasta 75 kW. El intercambiador 4
transfiere los 75 kW a 4-F y la temperatura de entrada de 4-F en el
intercambiador 5 desciende 7,5 K hasta 52,5ºC. El intercambiador 5 le
cede los 65 kW restantes, que toma de 2-C, con lo que se cubre su
demanda. Al ser 15 kW menor la potencia transferida por 5 que la
transferida por 7 en la figura 9.7.7, aumenta la oferta de calor de F1
(demanda de refrigeración) en la misma cuantía. Como era obligado, la
demanda de refrigeración del subsistema inferior ha aumentado los
mismos 15 kW que la demanda de calefacción del superior. Esto se debe
a que el intercambiador 4 está transfiriendo 15 kW a través del talle.
Se concluye, en resumen, que la eliminación de dos
intercambiadores provocaría un aumento de 15 kW en las demandas de
servicios externos. Un análisis económico podría poner en claro la
conveniencia de esta simplificación.
Como vimos en el § 9.7, por diseño tradicional se obtuvo una
configuración todavía más sencilla, representada en la figura 9.7.2, con
sólo 5 unidades, pero a costa de unas demandas de servicios que rebasan
las óptimas en 90 kW. La desviación es tan grande que probablemente
pueda desecharse sin más.
§ 9.9. Área de transferencia de calor
El cálculo del área total de transferencia de calor requerida por el
sistema es muy importante, bien por su interés en sí misma o porque
facilita la estimación del coste de la red de intercambio, que es un
Capítulo 9: Integración energética A.257
elemento imprescindible del análisis económico. El flujo de calor en un
intercambiador viene determinado por la expresión
mlTKAQ , (9.9.1)
en donde K es el coeficiente global de transmisión de calor del
intercambiador, A es su área de transferencia calorífica y ΔTml la
diferencia media logarítmica de temperaturas. Para una superficie de
intercambio plana de espesor L se verifica
fc h
L
h
K11
1
, (9.9.2)
en la que L es el espesor de la pared, su conductividad calorífica y hc y
hf los coeficientes de transmisión de calor o de película respectivos del
fluido caliente y el frío. Generalmente /L puede despreciarse frente a
las 1/h, de manera que (9.9.2) puede escribirse muy aproximadamente
como sigue:
fc hh
K11
1
, (9.9.3)
que es la forma que utilizaremos en este análisis.
Para el cálculo del área total de transmisión de calor del sistema,
se empieza por dibujar las curvas compuestas CCC y CCF, incluyendo
los suministros externos de calor y de frío, tal como se indica en la figura
9.9.1. A continuación se descompone el diagrama en n intervalos de H
cuyos extremos se encuentran en los puntos angulosos de alguna de las
Capítulo 9: Integración energética A.258
líneas, tal como se muestra en la figura 9.9.1. El proceso es análogo al
seguido en el § 9.4 para el algoritmo tabular, con la única diferencia de
que entonces interesaban los intervalos de temperatura y ahora interesan
los de flujo entálpico. En ambos casos, dichos puntos coinciden con el
inicio o fin de alguna corriente. En cada uno de los intervalos puede
Figura 9.9.1
suponerse insertado un intercambiador ficticio cuya área de transferencia
de calor podría despejarse de (9.9.1), teniendo presente que el calor
intercambiado en un intervalo genérico i es igual al iH
correspondiente:
mlii
ii
TK
HA
. (9.9.4)
T
Servicio de
refrigeración
Servicio de
calefacción
CCC
CCF
Capítulo 9: Integración energética A.259
Este resultado será válido siempre que todos los pares de corrientes del
intervalo tengan un mismo coeficiente global de transmisión de calor Ki
y la diferencia media logarítmica de temperaturas se calcule con las
extremas de CCC y CCF en el intervalo. Si además se supone que el
coeficiente global de transmisión de calor es el mismo para todos los n
intervalos, el área total sería
ni
i mli
ini
i
iT
H
KAA
11
min
1 . (9.9.5)
Con esta fórmula se suelen obtener resultados razonablemente
aproximados para el área mínima total de transferencia de calor, pese a
las hipótesis simplificadoras introducidas.
Para mejorar la aproximación pueden tenerse en cuenta los
diversos valores de los coeficientes h de transmisión de calor o de
película de los fluidos. Si empezamos por considerar un único
intercambiador con dos corrientes, de (9.9.1) y (9.9.3) se desprende que
fcmlml hhT
Q
TK
QA
11 . (9.9.6)
Para facilitar las formulaciones que siguen, introduciremos los flujos
“caliente y “frío” cq y fq , ambos iguales a Q :
Qqq fc , (9.9.7)
con lo que (9.9.6) toma la forma
Capítulo 9: Integración energética A.260
f
f
c
c
ml h
q
h
q
TA
1 . (9.9.8)
Para más de dos corrientes, esta expresión se generaliza como sigue:
cj
j
fk
k k
k
j
j
ml h
q
h
q
TA
1 1
1 , (9.9.9)
en la que c y f son los números respectivos de corrientes calientes y frías.
Esta fórmula se aplica fácilmente a las corrientes del intervalo genérico i:
cj
j
fk
k ik
ik
ij
ij
mli
ih
q
h
q
TA
1 1
1 (9.9.10)
y para el área total:
ni
i
cj
j
fk
k ik
ik
ij
ij
mli
ni
i
i
i i
h
q
h
q
TAA
1 1 11
min
1 , (9.9.11)
que proporciona la respuesta al problema planteado.
En igualdad de las demás circunstancias, las diferencias medias
logarítmicas mliT dependerán básicamente de la diferencia mínima
admisible minT del sistema. El área total de transferencia de calor
variará también con minT con una ley de dependencia inversa, tal como
se representa en la figura 9.9.2. Cuando minT tiende a cero, el área
tenderá a infinito. Por otra parte, el valor máximo que puede tomar minT
es igual a la diferencia entre la temperatura máxima de la CCC y la
mínima de la CCF, como puede apreciarse en la figura 9.9.3. A ella
Capítulo 9: Integración energética A.261
corresponderá el área de transmisión mínima, que es la requerida por los
servicios de calefacción y refrigeración para proveer las demandas totales
respectivas de las corrientes frías y las calientes.
Figura 9.9.2
Área total
ΔTmin0
Capítulo 9: Integración energética A.262
Figura 9.9.3
§ 9.10. Análisis económico
Una vez calculada el área total de transmisión de calor, es
bastante simple la estimación del coste de la red de MER. El coste de
adquisición de un intercambiador de calor puede ser estimado en función
de su área de transmisión mediante una fórmula de regresión del tipo
cbAaCAE , (9.10.1)
en la que a, b y c son constantes que dependen en general del tipo de
intercambiador, de los materiales con que esté construido y de sus
condiciones de trabajo (presión, temperatura y agresividad de los
fluidos). Como se trata de elementos bastante normalizados, estas
T
Servicio de
refrigeración
Servicio de
calefacción
CCC CCF
óptima
Mínimo
Máximo
Mínimo
Máximo
CCF
extrema
ΔTmin
ΔTmax
Capítulo 9: Integración energética A.263
fórmulas suelen proporcionar resultados satisfactorios para primeras
estimaciones.
El coste de adquisición o CAE de la red completa será la suma de
los costes individuales dados por (9.10.1). Una primera aproximación
simplista se basa en suponer que todos los intercambiadores tienen una
misma área de transmisión igual a Amin/Nmin . Entonces el coste total
mínimo será
c
N
AbaNCAE
min
minminmin . (9.10.2)
A pesar de la radical simplificación introducida, esta fórmula suele dar
una aproximación razonable al coste de adquisición total. De acuerdo con
lo expuesto en el § 7.6 y los valores típicos dados en la tabla 7.6.1, la
inversión total IT puede estimarse, por término medio, en 3,5 veces el
valor dado por (9.10.2):
minmin 5,3 CAEIT . (9.10.3)
Interesa ahora calcular los costes anuales del sistema de
intercambiadores de calor. Según se vio en el § 7.4, el coste total es igual
a la suma del coste fijo y el variable:
VFTOT CCC . (9.10.4)
Según (7.6.1), el coste fijo anual puede expresarse como suma del coste
de inversión anualizado y el coste de operación y mantenimiento anual:
CF = CI + COM . (9.10.5)
Capítulo 9: Integración energética A.264
El coste de inversión anualizado se calcula con la ecuación (7.6.3). El
factor de recuperación del capital A/Pi,n viene dado por (7.6.4).
El coste de operación y mantenimiento se determina mediante (7.6.2),
con un factor de operación y mantenimiento fOM que puede estimarse en
un 6%, tal como se dijo en el § 7.6. El coste fijo anual obedecerá a
(7.6.5):
CF = (A / Pi,n + fOM) IT . (9.10.6)
El coste variable anual se expresa sencillamente como la suma de los
costes de los suministros de calefacción y refrigeración. Como sus costes
unitarios respectivos son conocidos, se verificará:
AUEffccV tQcQcC )( , (9.10.7)
En donde cc y cf son los costes unitarios por unidad de energía y cQ y fQ
los flujos energéticos respectivos. tAUE es el tiempo anual de operación
equivalente, tal como se definió en el § 7.6.
En la figura 9.10.1 se representan los costes anuales típicos en
función de ΔTmin.
Capítulo 9: Integración energética A.265
Figura 9.10.1
Dada la conexión (9.10.2) existente entre la inversión y el área totales, el
coste fijo sigue una curva parecida a la de la figura 9.9.2 para el área. El
coste variable obedece a una ley prácticamente lineal, ya que las
demandas de servicios así lo hacen. El coste total presenta un mínimo
que corresponde al valor óptimo económico de ΔTmin. Como este mínimo
es muy aplanado, existe un margen amplio para ajustar el salto de
temperatura en función de requerimientos de otros tipos, tales como
mantenibilidad, operabilidad, etc…
Costes anuales
ΔTmin
Coste total
Coste variable
Coste f ijo
Capítulo 9: Integración energética A.266
§ 9.11. Temperaturas de los servicios
En el § 9.6 se ha visto que, con la ayuda de la gran curva
compuesta GCC, se pueden optimizar las temperaturas de los
intercambios de calor con los servicios externos de calefacción y
refrigeración. Es frecuente que existan diversas posibilidades, a
diferentes temperaturas y costes. Para suministro de calor, por ejemplo,
puede contarse con calentadores de vapor o fluidos térmicos, hornos,
intercambiadores de calor con gases calientes de múltiples procedencias,
condensadores de sistemas de refrigeración, etc... Para tomar calor,
además de enfriadores de agua o aire, pueden existir demandas de calor
para precalentamiento de agua de alimentación de calderas, bombas de
calor, etc...
De acuerdo con las reglas de Linnhoff, enunciadas en el § 9.5, las
entradas de calor han de producirse por encima del talle y las salidas por
debajo. Además, como se aprecia en la figura 9.6.2, las entradas han de
situarse por encima de la GCC y las salidas por debajo de ella. De no ser
así, habría un aporte de calor sobrante que habría que eliminar, o una
demanda de calor en exceso que habría que aportar.
En la figura 9.6.2 se supuso que los suministros de calor y frío se
producían a temperatura constante. Así ocurre, por ejemplo, con vapor
saturado o con calor radiante de un horno, mientras que el caldeo con
gases de combustión se produce a temperatura variable. Cuando los
suministros tienen lugar a temperatura constante, las líneas entalpía-
temperatura de los mismos serán segmentos horizontales, tal como se
dibujaba en dicha figura. Si, por el contrario, lo hacen a temperatura
variable, se convertirán en segmentos inclinados, tanto más cuanto menor
sea la capacidad calorífica de flujo pcm del fluido que preste el servicio.
Para ilustrar lo que ocurre en tales casos, volveremos sobre el ejemplo
considerado en el § 9.6, pero suponiendo ahora que como fuente de calor
Capítulo 9: Integración energética A.267
se dispone de gases calientes procedentes de combustión y la
refrigeración se produce con agua. Esto motiva que los suministros de
calor y frío se realicen a temperatura variable. Los gases calientes entran
a 250 ºC (t* = 240 ºC) y salen a 150 ºC (t* = 140 ºC). El agua fría entra a
15 ºC (t* = 25 ºC) y sale a 70 ºC (t* = 80 ºC). En la figura 9.11.1 se
representa gráficamente esta nueva situación.
Figura 9.11.1
Se puede observar que las líneas de los suministros se adaptan
razonablemente bien a la GCC, con la consiguiente disminución de las
irreversibilidades en las transferencias de calor. También se puede
apreciar que, si la temperatura modificada inferior de la línea de
20
80
60
40
160
0 140
120
100
220
0 200
0 180
0
0 20 10 30 40 50 60 70 80 90 100 110
1
5
6
4
3
2
Calefacción: 110 kW
Refrigeración: 95 kW
240
0
t* / ºC
Capítulo 9: Integración energética A.268
suministro de calor cayese un poco por debajo de 140ºC, podría
encontrarse en 2 con la GCC. Se produciría así lo que se llama un talle de
servicio, en el que serían iguales las temperaturas modificadas de ambas
líneas, y la transmisión de calor se produciría con el salto de temperatura
mínimo admisible ΔTmin. Para distinguirlo de los puntos de este tipo, al
auténtico talle en sentido estricto se le puede denominar talle de proceso.
La inclusión de las líneas entalpía-temperatura de los servicios en el
diagrama de la GCC, tal como se ha hecho en las figuras 9.6.2 y 9.11.1,
arroja mucha luz sobre los procesos de intercambio de calor entre el
sistema y los servicios. La construcción así completada se denomina gran
curva compuesta ampliada GCCA. Si se actúa análogamente sobre los
diagramas de curvas compuestas CCC y CCF, se obtienen las curvas
compuestas ampliadas CCCA y CCFA. A continuación vamos a
desarrollar algunos casos, referidos todos al ejemplo que se presentó en
el § 9.6, que ilustrarán su significado y utilidad. Empezaremos por
suponer que los servicios de calefacción y refrigeración se suministran a
temperaturas constantes e iguales, respectivamente, a 220 ºC y 20 ºC. En
la figura 9.11.2 se representa el resultado. Los suministros de calor y frío
vienen representados por sendos segmentos horizontales que cubren
exactamente las diferencias entre las abscisas extremas de CCC y CCF.
En este caso, al no existir solape entre las temperaturas de los suministros
y las del sistema, las líneas respectivas quedan claramente delimitadas.
Cuando se fraccionan los servicios, como en la figura 9.6.2, la
diferenciación se dificulta, ya que las líneas de ambas clases se
encuentran en unos mismos intervalos de temperaturas. Este caso se
dibuja en la figura 9.11.3. En ella se aprecia que CCC y CCCA tienen en
común la parte inferior (hasta 130 ºC) y CCF y CCFA la superior (a
partir de 60 ºC). También puede observarse cómo se aproximan una a
otra las curvas compuestas, como ya se ponía de manifiesto en la figura
9.6.2. Debido a ello se producen talles de servicio en los puntos 1, 2, 2’’,
Capítulo 9: Integración energética A.269
5 y 6 de dicha figura, que se han marcado en la figura 9.11.3, junto con el
talle de proceso 4.
Figura 9.11.2
Cuando el suministro de los servicios se realiza a temperatura
variable, como en la figura 9.11.1, el parecido entre las curvas
compuestas ordinarias y las ampliadas es todavía mayor. Así se pone de
manifiesto en la figura 9.11.4, que corresponde al caso que se representó
en la figura 9.11.1. Una vez más se comprueba un mayor acercamiento
entre las curvas compuestas. Se evidencia cómo una elección y un ajuste
juiciosos de los suministros de calor y frío permiten mejorar los diseños.
0
50
100
150
200
250
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Calef.
Refrig.
kW
ºC
Capítulo 9: Integración energética A.270
Figura 9.11.3
Figura 9.11.4
0
50
100
150
200
250
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 kW
ºC
CCCA
CCFA
6
5 4
2"
2
1
Talle de
proceso
0
50
100
150
200
250
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 kW
ºC
Capítulo 9: Integración energética A.271
§ 9.12. Integración de energía mecánica
Es posible recurrir a máquinas térmicas o a bombas de calor que
aprovechen intercambios de calor para mejorar la eficiencia energética de
algunos procesos. Por ejemplo, se puede utilizar una máquina térmica
para producir trabajo mecánico tomando calor de un punto “caliente” y
cediéndolo a un punto “frío”, en un montaje de cogeneración. Los
intercambios de calor se han de producir satisfaciendo las reglas de
Linnhoff (§ 9.5), que introducen serias limitaciones para el
emplazamiento correcto de las máquinas. En la figura 9.12.1 se
esquematizan las dos disposiciones posibles. En el caso (a) la máquina
Figura 9.12.1
Subsistema
superior
Subsistema
superior
Subsistema
inferior
Subsistema
inferior
M
M
Q1
Q1
Q2
Q2
W = Q1 – Q2
(a) (b)
Servicio de calefacción
Servicio de refrigeración
T
Temperatura de talle
QC – Q2
QF – Q1
W = Q1 – Q2
Capítulo 9: Integración energética A.272
térmica M toma calor del servicio de calefacción, cede calor al
subsistema superior y realiza un trabajo mecánico W. En el (b) se toma
calor del subsistema inferior y se cede al servicio de refrigeración. Es
instructivo ejecutar unos balances energéticos sencillos para relacionar el
trabajo producido con los calores intercambiados con los servicios.
Representaremos por QC el calor que se tomaría del servicio de
calefacción en ausencia de la máquina M y por QF el que se tomaría del
servicio de refrigeración en iguales circunstancias. En el caso (a) el calor
neto tomado por el subsistema superior es 2QQC y el total tomado
junto con M será WQQQQ CC 12 )( . Así pues se produce el
trabajo mecánico W consumiendo un calor adicional equivalente, con un
rendimiento marginal igual a la unidad. Algo parecido ocurre en el caso
(b). Ahora el calor total cedido es WQQQQ FF 21)( .
También puede integrarse energía mecánica en un proceso
mediante una bomba de calor, que puede ser considerada como el
resultado de invertir el funcionamiento
de una máquina térmica. Si recordamos
la figura 2.4.2, referente a una máquina
térmica, una bomba de calor obedece a
un esquema análogo, pero con todos los
flujos energéticos en sentidos opuestos,
como se dibuja en la figura 9.12.2. La
bomba de calor M toma un calor Q2 del
manantial “frío” 2 y cede un calor Q1 al
“caliente” 1, consumiendo un trabajo
mecánico W. El balance energético
(2.4.10) conserva su misma forma.
Si se quiere hacer uso de una
bomba de calor para transferir calor de
W
Q2
Q1
T1
T2 < T1
Figura 9.12.2
M
Capítulo 9: Integración energética A.273
una cierta temperatura a otra superior, las reglas de Linnhoff sólo
permiten una configuración, que es la dibujada en la figura 9.12.3. La
bomba ha de tomar el calor Q2 del subsistema inferior y ceder el calor Q1
al subsistema superior consumiendo un trabajo mecánico W. Sobre el
diagrama se han escrito las relaciones entre energías que hacen al caso.
Gracias a ellas se aprecia que la demanda de refrigeración del subsistema
inferior disminuye en Q2 y la demanda de calor del subsistema superior
experimenta una reducción igual a Q2 + W. Por consiguiente, gracias al
trabajo consumido por la bomba de calor se consigue reducir las
demandas de servicios del sistema. Conviene notar que el trabajo
consumido por la bomba de calor se invierte en refrigerar
Figura 9.12.3
Subsistema
inferior
M
Q1 = Q2 + W
W
Servicio de calefacción
Servicio de refrigeración
T
Temperatura de talle
Subsistema
superior
Q2
QC – Q1 = QC – Q2 - W
QF – Q2
Capítulo 9: Integración energética A.274
el subsistema inferior, reduciendo consecuentemente su demanda de
refrigeración. La demanda de calor del subsistema superior experimenta
una disminución mayor, ya que a ésta se le suma, en forma de calor, el
trabajo consumido por la bomba de calor.
Capítulo 9: Integración energética A.275
Bibliografía A.276
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Bibliografía A.279
Tabla de contenido A.280
Tabla de contenido
Ambiente, 17, 68
Balance termoeconómico, 169
Calor, 9, 24
Coste de adquisición de los equipos, 184
Curva compuesta, 225
Exergía, 8, 71, 79, 81, 82, 83, 85, 281
Exergía cinética, 82
Exergía física, 83
Exergía interna, 82
Exergía potencial, 82
Exergía química, 79, 83
Factor de capacidad, 187
Factor de carga, 186
Factor de utilización, 187
Factor exergoeconómico, 201
Flujo de coste de inversión, 183
Flujo de coste de operación y mantenimiento, 182
Fugacidad, 61
Gran curva compuesta, 242
Integración energética, 218
Ley de Dalton, 56, 57, 62
Ley de Joule, 52
Linnhoff, 224, 241, 247, 250, 270, 275, 277
Malla de intercambio, 247
Pinch, 281
Tabla de contenido A.281
Planck, 35, 36
Rant, 11
Ratio de destrucción de exergía, 159
Ratio de pérdidas de exergía, 160
Regla de las Fases, 51
Sistema, 17
Tabla del problema, 234
Teorema de Gibbs, 50
Teorema de Gouy-Stodola, 78, 90, 96
Termoeconomía, 7, 8, 14, 17
Trabajo, 24, 38
Valero, 145, 175
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