8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
1/24
Reals Complexos
Tema 1: Els nombres complexos
Prof. Gisela Pujol
EET - Universitat Politècnica de Catalunya
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 1
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
2/24
Reals Complexos
Index
1 Els conjunts N,Z,Q i R
2 Els nombres complexos C
DefinicióForma polarConjugacióFórmula d’Euler, funcions exponencials i trigonomètriques,fórmula de Moivre
Càlcul d’arrelsAplicacions
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 2
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
3/24
Reals Complexos
Def. (N)
Designarem per N el conjunt dels nombres naturals, és a dir, elconjunt dels nombres utilitzats per comptar objectes:
N = {1, 2, 3, . . .}
En N definim dues operacions: la suma + i el producte · , queverifiquen:
1. Associativa de la suma: (a + b ) + c = a + (b + c ).
2. Associativa del producte: (a · b ) · c = a · (b · c ).3. Commutativa de la suma: a + b = b + a.
4. Commutativa del producte: a·
b = b ·
a.
5. Existència d’element neutre per al producte: a · 1 = a.6. Distributiva del producte respecte de la suma:
a
·(b + c ) = (a
·b ) + (a
·c ).
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 3
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
4/24
Reals Complexos
N és el conjunt més petit en el qual es pot garantir que:
(a) 1 ∈ N.(b) Si n ∈ N, també n + 1 ∈ N.
Def. (Principi d’inducció)
Sigui A un subconjunt de N (A ⊂ N) que és tal que:(a) 1 ∈ A.(b) Si n ∈ A, també n + 1 ∈ A.
aleshores A = N.
El principi d’inducció ens permet demostrar propietats que fanreferència a tots els nombres naturals.
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 4
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
5/24
Reals Complexos
El conjunt N té una mancança. Imaginem que busquem un nombrex ∈ N de forma que a + x = 0, amb a > 0. Aquest nombre noexisteix en el conjunt dels naturals.
Def. (Z)
El conjunt dels enters és Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
En aquest conjunt, l’equació a + x = 0 té solució: x = −a is’anomena l’element oposat respecte de la suma.
Les operacions suma i producte tenen dues propietats més:
7. Existència d’Element Neutre per a la Suma: a + 0 = a.
8. Existència d’Element Oposat per a la Suma:
∀a ∈ Z,∃x ∈ Z tal que a + x = 0.
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 5
R l C l
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
6/24
Reals Complexos
Ara volem resoldre l’equació a · x = 1, amb a ∈ Z. Si a = 1, noexisteix solució d’aquesta equació en Z.
Def. (Q)
El conjunt dels racionals Q es defineix per:
Q = ab |
a, b
∈Z, b
= 0 .
Les operacions suma i producte tenen una propietat afegida:
9. Existència d’element invers respecte al producte:
∀a ∈ Q, a = 0,∃x ∈ Q tal que a · x = 1.Aquestes dues operacions (suma i producte) amb les 9 propietatsanteriors doten a Q d’estructura de cos commutatiu.
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 6
R l C l
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
7/24
Reals Complexos
Finalment, volem resoldre x 2 = 2. Amb el que tenim fins ara,caldria expressar
√ 2 com a
b . Sabem que això no és possible. Per
això el nombre √ 2 s’anomena nombre irracional, encara que estracta d’un nombre que podem trobar a la natura (p.e., ésl’hipotenusa d’un triangle rectangle de costats 1 i 1).
Def. (R)
El conjunt de nombres format pels nombres racionals (Q) i elsnombres irracionals formen el conjunt dels nombres realsR = (−∞,∞) (recta real).
Inclusions
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 7
Reals Complexos Def Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
8/24
Reals Complexos Def. Polar Conjugacio Exponencial Arrels Aplicacions
Els nombres complexes o imaginaris
Ara volem resoldre equacions de l’estil x 2 + 3 = 0, que no tésolució a R. Per això cal ampliar el cos dels reals amb nombres querepresenten quantitats que no podem trobar a la natura.
Def.
Definim unitat imaginària complexa a l’element (0, 1), denotat peri .
En termes d’unitat imaginària, qualsevol nombre complex admet lasegüent expressió en forma binòmica:
z = (a, b ) = a + i b
que sol ser la més utilitzada.
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 8
Reals Complexos Def Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
9/24
Reals Complexos Def. Polar Conjugacio Exponencial Arrels Aplicacions
Def. (C)
S’anomena nombre complex a tot parell ordenat de nombres reals.
El conjunt de nombres complexes es denota per C,
C := {(a, b ) : a, b ∈ R} .
Per tant, com a conjunt, tenim que C R2.Donat un nombre complex z = (a, b ), anomenem a := Re z la partreal de z i b := Im z la part imaginària de z . Donats dos nombrescomplexos
z 1 = (x 1, y 1) , z 2 = (x 2, y 2) ,
es defineix la suma z 1 + z 2 i el producte z 1 z 2 per
z 1 + z 2 := (x 1 + x 2, y 1 + y 2) , z 1z 2 := (x 1x 2−y 1y 2, x 1y 2 + y 1x 2) .
Aquestes dues operacions doten al conjunt C d’estructura de cos.
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 9
Reals Complexos Def Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
10/24
Reals Complexos Def. Polar Conjugacio Exponencial Arrels Aplicacions
Mòdul i argument. Forma polar.
Donat un nombre complex z = a + i b ∈ C s’anomena mòdul de z ,i es denota per
|z |, a la longitud del vector (a, b )
∈R2:
|z | :=
a2 + b 2
Observa que el mòdul d’un nombre real és el seu valor absolut.
Eix real
Eix complex
zy
x
a | z |
Figura: Correspondència entre la forma polar z = (|z |, α) i binòmicaz = x + i y d’un nombre complex.
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 10
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
11/24
Reals Complexos Def. Polar Conjugacio Exponencial Arrels Aplicacions
Per a z = (a, b ) no nul, anomenem argument principal de z, i eldenotem per Arg z , a l’únic α ∈ [−π, π) que verifica
α = Arg z := arctan b
a (1)
El conjunt de tots aquests possibles angles es denomina argument de z i es denota per arg z:
arg z := {Arg z + 2nπ : n ∈ Z} .
Per tant, l’argument no és únic però anomenem principal al quecau dins l’interval [
−π, π). Anomenem forma polar d’un nombre
complex a |z |arg z . Cal observar que si z = 0, tenim quez = |z |(cos(α) + i sin(α)) . (2)
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 11
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
12/24
p j g p p
Conjugació
Def.
Sigui z = (a, b ) ∈ C. Anomenem conjugat de z a (a,−b ) i eldenotem per z .
És a dir,z := a − i b .
El conjugat de z , z , és el simètric de z en el pla complex respectel’eix real. Evidentement, si z = 0, z està carecteritzat per
|z | = |z | , Arg z = −Arg z .
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 12
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
13/24
p j g p p
Ex. (1.1)
Sigui z ∈ C. Demostra que
Re z = z + z
2 , Im z =
z − z 2i
.
Ex. (1.2)
Demostra que per a cada z ∈ C, |z |2 = z z . Com s’usa aquestafórmula per a calcular l’invers d’un nombre complex?
Ex. (1.3)
1 Sigui z = 3 + 2i . Quina és la seva expressió polar? Fes-ne laseva representació en el pla complex. Calcula i represent z .
2 Sigui z = 2π/3. Quina és la seva expressió binòmica? Fes-nela seva representació en el pla complex.Calcula i representa z .
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 13
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
14/24
Operacions: resum
Siguin dos nombres complexos:
z 1 =a1 + b 1i = r α1z 2 =a2 + b 2i = R α2
Suma: z 1 + z 2 = a1 + a2 + i (b 1 + b 2).
Producte:
Polar: z 1 · z 2 = (r · R )α1+α2Binòmica: z 1 · z 2 es calcula fent distributiva.
Divisió:
Polar: z 1z 2
=
r R
α1−α2
Binòmica: Es calcula multiplicant i dividint pel conjugat deldenominador: z 1
z 2= z 1
z 2· z 2
z 2
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 14
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
15/24
Ex. (1.4)
1 Donats els nombres complexos: z 1 = 2 − i , z 3 = 1 − 2i ,z 2 = 2i , calcula:(a) z 1 · z 2 (b) z 21 (c) z 2z 3 (d) z 1 + z 2 + z 3.
2 Trobeu el valor de x de forma que el següent producte siguiun nombre real: (3
−2i )
·(x + 3i ).
3 Resoleu a C les equacions: x 2 − 4x + 13 = 0 i x 3 + x + 10 = 0.4 Calculeu la part real i imaginària de (1−5i )(1−i )2i −1 .
5 Realitzeu les següents operacions:
(a) 2 − i 2i 3 + 6
− i (b )
1 −√ 2 i + √ 2 + i 1 − i
3
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 15
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
16/24
Fórmula d’Euler
La fórmula d’Euler diu que
e i ϕ
= cos(ϕ) + i sin(ϕ)sent ϕ un angle del pla complex.
Figura: La fòrmula d’Euler en el pla complex.
Nota: Si fem z = π, obtenim que e i π
= −1.Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 16
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
17/24
Funció exponencial
Per a cada z = a + i b
∈C, es defineix la funció exponencial
complexa e z mitjançant la identitat
e z := e a (cos(b ) + i sin(b )) ,
on e a és la funció exponencial real del nombre e .
|e z | = e Re(z ).Arg (e z ) = Im(z ).
Def. (Expressió exponencial de z )
Donat z = a + i b ∈ C, la seva forma exponencial és:z = |z | e Arg (z )·i .
Compte! No confondre e z amb la forma exponencial de z .
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 17
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
18/24
Funció exponencial i funcions trigonomètriques
Amb b ∈R, a partir de:
e i b = cos(b ) + i sin(b )
e −i b = cos(b ) − i sin(b )
obtenim:
cos(x ) = e ix + e −ix
2 , sin(x ) =
e ix − e −ix 2i
, x ∈ R .
Ho podem generalitzar als complexes:
cos(z ) = e z + e −z
2 , sin(z ) =
e z − e −z 2i
, z ∈ C .
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 18
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
19/24
Fórmula de Moivre
Tenim que per a cada α ∈ R i n ∈ Z es verifica l’anomenadafórmula de Moivre:
(cos(α) + i sin(α))n = cos(nα) + i sin(nα) .
La fórmula de Moivre es pot obtenir a partir de la fórmula d’Euler,usant que per a cada n ∈ Z i z ∈ C, (e z )n = e nz . Aleshores:
e i nb = cos(nb ) + i sin(nb )
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 19
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
20/24
Càlcul d’arrels
A partir del teorema fonamental de l’àlgebra:
Teorema (fonamental de l’àlgebra)
Sigui un polinomi p (x ) de grau n, amb coeficients complexes, té exactament n arrels complexes.
A R, en té com a molt n. Recorda que les arrels complexes semprevan conjugades.Volem resoldre x 3 − 8 = 0 a C. Sabem que tindrà 3 arrels. Per acalcular-les, usem la següent fórmula, que ve de la definició delogaritme complex. Volem calcular les n arrels de n
√ z :
z k =
Mòdul : n |z |
Arguments : Arg z n
+ 2πn · k , k = 0, . . . , n − 1
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 20
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
21/24
Volem resoldre x 3 − 8 = 0 a C. És a dir, cal trobar z = 3√ 8.Segons la fórmula anterior, hi ha tres nombres complexos que hoverifiquen. Els anomenarem z 1, z 2 i z 3. Sabem que tots tres tenen
mateix mòdul:|z k | = 3
|8| = 2
Els arguments són:
Arg 8
3 + 2π
3 · k , k = 0, 1, 2En aquest cas, Arg 8 = 0. Per tant, les arrels són:
20 , 2 2π3, 2 4π
3
En forma binòmica s’expressen com:
2,−1 ± i √
3 .
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 21
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
22/24
Arrels de la unitat
Els nombres complexes z que resolen z n = 1 s’anomenen arrelsn-èssimes de la unitat. N’hi ha justament n de diferents:
z n = e 2πik /n , k = 0, 1, . . . , n − 1.
Figura: Arrels cinquenes de la unitat: z 5 = 1.
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 22
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
23/24
Aplicacions
La base matemàtica dels Circuits Elèctrics són els nombrescomplexes: amplificadors, filtres, motors, generadors d’energiaelèctrica, circuits de medició i control, etc. I això s’aplica en altresciències. Per exemple, en medicina s’utilitza per a la
espectrometria; en telecomunicació en la transmisió i recepció desenyals electromagnètics (ràdio, TV, telèfon, etc).
Un filtre elèctric o electrònic és un element que discrimina unadeterminada freqüència d’un senyal elèctric que passa a travésd’ell, podent modificar tant la seva amplitut com la seva fase.
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 23
Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions
A li i
8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf
24/24
Aplicacions
Els nombres complexes s’usan en enginyeria electrònica i altres
camps per a una descripció adequada dels senyals periòdicsvariables (Anàlisi de Fourier). En una expressió del tipus z = re i φ,podem pensar en r com l’amplitut i en φ com la fase d’una onasinusoidal de freqüència donada.
Quan representem un corrent o un voltatge de corrent altern (pertant amb comportament sinusoidal) com la part real d’una funcióde variable complexa de la forma f (t ) = ze i ωt on ω representa lafreqüència angular i el nombre complexe z dona la fase i l’amplitut,el tractament de totes les fórmules que regeixen les resistències,
capacidats i inductors poden ser unificades introduint resistènciesimaginàries.Enginyers elèctrics i f́ısics usen la lletra j per a la unitat imaginària,en lloc de i que està t́ıpicament destinada a la intensitat de corrent.
Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 24
Top Related